CÁLCULO I

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AULA 1

CÁLCULO I

CONJUNTOS

1. DEFINIÇÃO

A ideia de conjunto é a mesma de coleção.

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EXEMPLOS

a) Uma coleção de revistas é um conjunto. Cada revista é um

elemento desse conjunto.

b) Os aluno de uma sala de aula formam um conjunto. Você é

um elemento desse conjunto.

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2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

TABULAR

POR UM DIAGRAMA DE VENN

POR UMA PROPRIEDADE

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2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

2.1 TABULAR

A representação tabular (forma de tabela) de um conjunto é aquela

em que o elementos são apresentado entre chaves e separados por

vírgula .

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2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

2.1 TABULAR

Exemplos: A = {a,e,i,o,u} B= {1,2,3,4}

É usual dar nomes aos conjuntos usando as letras maiúscula A,

B, C, D...

Os elementos de um conjunto são comumente representados

pelas letras minúscula a b, c, d...

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2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

2.1 TABULAR

Note que, no exemplo dado, u é elemento do conjunto A e não é

elemento do conjunto B. Esses fatos são indicados,

respectivamente, por:

u E A (lê- e: "u pertence a A") e

u Ɇ B (lê-se: "u não pertence a B")

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2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

2.2 POR UM DIAGRAMA DE VENN

A representação de um conjunto por um diagrama de Venn (John

Venn, 1834-1923) é aquela em que os elementos são simbolizados

por pontos interiores a uma região plana, delimitada por uma linha

fechada que não se entrelaça.

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2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

2.2 POR UM DIAGRAMA DE VENN

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2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

2.2 POR UMA PROPRIEDADE

A representação de um conjunto A por meio de uma propriedade é

aquela em que os elementos são descritos por uma propriedade que os

determina.

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2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

2.2 POR UMA PROPRIEDADE

EXEMPLOS

a) A = {x / x é país da Europa}

Propriedade p

O conjunto A é formado por todos o países da Europa.

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2. REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO - RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

2.2 POR UMA PROPRIEDADE

EXEMPLOS

b) B = {x /x é mamífero} .

Propriedade p

O conjunto B é formado por todos os mamíferos.

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3. TIPOS

CONJUNTO UNITÁRIO

CONJUNTO VAZIO

CONJUNTO FINITO

CONJUNTO INFINITO

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TIPOS

3.1 CONJUNTO UNITÁRIO

É todo conjunto formado por um único elemento.

Exemplos:

a) A = {5}

b) B = {x / x é estrela do sistema solar} = {Sol}.

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TIPOS

3.2 CONJUNTO VAZIO

É aquele que não possui elemento algum. Representa-se

o conjunto vazio por Ø ou por { }.

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TIPOS

3.2 CONJUNTO VAZIO

Exemplos

a) A = {x / x é número e 0.x = 5} = Ø

b) B = {x / x é palavra proparoxítona não acentuada, em

português } = { }

Observação: O conjunto C = {Ø} é um conjunto unitário

cujo elemento é a letra Ø.

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TIPOS

3.3 CONJUNTO FINITO

É todo conjunto que, contando o elemento um a um,

chega-se ao fim da contagem.

Exemplos

a) A = {a,b,c,d,e,f}

b) B = {x Ix é brasileiro}

c) C= 0

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TIPOS

3.4 CONJUNTO INFINITO

É todo conjunto que não é finito.

Exemplos

a) Um importante conjunto infinito que será usado como

referência adiante é o conjunto dos números naturais:

N = {0, 1, 2, 3, 4, ... }

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TIPOS

3.4 CONJUNTO INFINITO

b) Outro importante conjunto infinito que também será

usado frequentemente como referência é o conjunto do número

inteiro:

Z = {..., -3, -2, -1,0,1,2,3, ...}

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4. SUBCONJUNTO

Consideremos o conjunto B formado por todas as pessoas

brasileiras. Com o elemento de B pode-se formar o conjunto H, de

todos os homens brasileiros, e o conjunto M, de todas as

mulheres brasileiras.

Dizemos que os conjunto H e M são subconjuntos de B.

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4. SUBCONJUNTO

Se um conjunto T de pessoas possui como elemento pelo

menos uma pessoa que não seja brasileira diz-se que T não é

subconjunto de B.

Indicamos esse fato por:

H C B (lê-se: "H está contido em B")

M C B (lê-se: "M está contido em B")

T Ȼ B (lê- e: "T não está contido em B")

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4. SUBCONJUNTO

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e

somente se, todo elemento de A pertence a B.

Exemplos

a) {2, 5, 3} C {2, 5, 3, 8, 9}

b) {2,5,3} C {2,5,3}

d) {2, 5, 3} Ȼ {2, 5, 7, 9}

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4. SUBCONJUNTO

Um conjunto B é subconjunto de um A se, e somente

se, todo elemento de B pertence a A.

Exemplo:

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4. SUBCONJUNTO

PROPRIEDADES

P1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

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4. SUBCONJUNTO

PROPRIEDADES

P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

Exemplos:

a) {5,4,0} C {5,4,0}

b) Ø C Ø

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5. IGUALDADE DE CONJUNTOS

Observe que todo elemento do conjunto {1, 2, 3}

também pertence ao conjunto {3, 2, 1} e que todo elemento

de {3, 2, 1} também pertence a {1, 2, 3}.

Por isso, dizemos: {1, 2, 3} = {3, 2, 1}

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CONJUNTOS

5. IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dois conjuntos A e B são iguais (A = B) se, e somente

se, A C B e B C A

Exemplos:

a) {b, c, d, e} = {e, b, d, c}

b) Ø = Ø

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CONJUNTOS

5. CONJUNTO UNIVERSO

Quando estudamos a história da humanidade, o

conjunto de todo os seres humanos é chamado de conjunto

universo (U) desse estudo.

Quando estudamos os números que podem resultar

da contagem de unidades o conjunto universo (U) é o

conjunto dos números naturais: N= {0, 1,2,3,4, ...}

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CONJUNTOS

5. CONJUNTO UNIVERSO

O conjunto universo de um estudo é aquele ao qual

pertencem todos os elementos desse estudo.

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EXERCÍCIOS

CÁLCULO I

EXERCICIO 1

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SOLUÇÃO 1

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EXERCICIO 2

CÁLCULO I

SOLUÇÃO 2

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EXERCICIO 3

CÁLCULO I

SOLUÇÃO 3

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EXERCICIO 4

CÁLCULO I

SOLUÇÃO 4

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EXERCICIO 5

Maurício trabalha na Bolsa de Valores e informa três corretores ,

A, B e C, sobre a oscilações do mercado de ações. Para se organizar

ele constrói diariamente um diagrama, como o mostrado a seguir,

em que A, B e C representam os

conjunto de informações transmitida

ao corretores A, B e C,

respectivamente. O diagrama

descreve para quem as informações 1,

2, 3, 4 e 5 foram transmitidas.

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EXERCICIO 5

Em vez de usar o diagrama, Maurício poderia e organizar por

meio de uma tabela, como a mostrada a seguir, onde no cruzamento da

linha (informação) com a coluna (corretor) ele escreveria um X,

indicando que tal informação já foi transmitida a tal corretor. Preencha

essa tabela com as informações fornecidas pelo diagrama acima.

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SOLUÇÃO 5

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EXERCICIO 6

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SOLUÇÃO 6

SISTEMAS DE AJUSTAGEM

FIM