Aula 09 Equacoes Vetorias Calculo 2

8/6/2019 Aula 09 Equacoes Vetorias Calculo 2

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No cálculo I trabalhou-se com o conceito de uma variável real;

Definiremos agora pares ordenados para entendermos o

mecanismo das funções de várias variáveis;

Designaremos por R2 o conjunto dos pares ordenados (x,y) denúmeros reais;

Sabemos que fixando um sistema de coordenadas cartesianas numplano estabelecemos uma correspondência um-a-um entre ospontos do plano e os pares ordenados de números reais;

Ou seja, a cada ponto P, do plano, associa-se um único elemento

(x,y). Este elemento tem 2 coordenadas.

Noções sobre Vetores



Curvas Planas Representamos as curvas planas por meio de equações:

Equação cartesiana; Equações paramétricas. A primeira tem a forma F(x,y)=0; A segunda, x = x(t)

y = y(t), onde t é um parâmetro que percorre um

intervalo de �.




Retas Qualquer vetor não-nulo paralelo a uma reta chama-se vetor

diretor dessa reta. Seja um vetor diretor de uma reta r e A um ponto de r.u

T

A

uT

r

Dizemos que um ponto x pertence à reta se, e somente se,

e forem múltiplos (ou submúltiplos) um do outro.

x AT

uT


.



Retas Em outras palavras, significa dizer que existe um número real P tal

que .

A

uT

r

Ou ainda,u xT

P!

u xTT

P!P uT

Devemos lembrar que se , eles não formam ângulo,

portanto

u xTT

//

.1cos !U

x




Retas A equação chama-se equação vetorial da reta r. E r é o lugar geométrico dos pontos x para os quais existe P que

torna verdadeira a igualdade acima.

Obsevações Como a escolha do ponto A é arbitrária, existem muitas equações

vetoriais diferentes para a mesma reta.

Por exemplo, suponha que em vez do ponto x fosse dado o ponto

B, distinto de A. Então AB também seria um vetor diretor de e a

equação x = A + P.AB seria uma das equações vetoriais possíveis.

u xT

P!

uT




Uma aplicação na cinemática A equação pode ser interpretada como a equação de

um movimento uniforme de velocidade , cuja trajetória é a retar. O parâmetro P, neste caso, indica o tempo.

Quando P percorre �--, a equação descreve o passado domovimento em relação ao instante inicial (P=0), e quando P

percorre �++, descreve o futuro.

A reta r pode ser trajetória de muitos movimentos uniformes, cadaum com sua velocidade e posição inicial.

u A xT

P!

uT




Exemplo-1 Um automóvel passa pelo marco quilométrico 25 km de uma

rodovia as 13 h e pelo marco 140 km as 15h. Escreva a equaçãovetorial da trajetória do automóvel.

t1=13 t2=15

si=25sf =140

vT

2125140 v

u X

t vS S i f

T

T

T

!

!

!

P




Equações paramétricas Essa mesma equação, escrita em termos de x, A e pode ainda ser

escrita em termos de coordenadas num certo sistema. No sistema cartesiano teremos a seguinte correlação:

x = (x, y, z); A = (x0, y0, z0); = (a, b, c), com

uT

uT

0{u

T




Equações paramétricas Da igualdade obtemos:

x = A + P .

(x,y,z) = (x0, y0, z0) + P . (a,b,c) (x,y,x) = (x0+ P.a , y0 + P.b , z0 + P.c) Que pode ser escrito da seguinte forma:

Esse sistema é chamado de sistema de equações paramétricas da reta.

u xT

P!

uT

c z z

b y y

a x x

.

.

.

0

0

0

P

P

P

!

!

!




Equação na forma simétrica Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor de r é nula,podemos isolar P no primeiro membro de cada uma dasequações acima:

Esse sistema é chamado sistema de equações da reta r na formasimétrica.

P

P

P

!

!

!

c

z z

b

y y

a

x x

0

0

0

c

z z

b

y y

a

x x 000 !

!




CUIDADO! Equações como:

Não são equações na forma paramétrica, pois não são

estritamente da forma apresentada. Os coeficientes de x e y nãosão iguais a 1.

P

P

P

24

2

312

!

!

!

z

y

x




Exemplo-2 Considere reta r determinada pelos pontos A=(1,0,1) e

B=(3,-2,3). a) obtenha as equações de r na forma vetorial, paramétrica e

simétrica; b) verifique se o ponto P = (-9,10,-9) pertence a r; c) obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r,

distintos de A e B.

A Bx

AB = B ± A = (3-1, -2-0, 3-1) = (2,-2,2)




a) vetorial: x = A + P.AB ;

(x,y,x) = (1,0,1) + P.(2,-2,2);

Paramétrica:

Simétrica:c z z

b y y

a x x

.

.

.

0

0

0

P

P

P

!

!

!

2.1

)2.(0

2.1

P

P

P

!

!

!

z

y

x

P

P

P

21

2

21

!

!

!

z

y

x

c

z z

b

y y

a

x x 000 !

!

2

1

2

0

2

1 !

!

z y x




b) Para verificar se o ponto P=(-9,10,-9) pertence à reta basta

substituir em uma das equações e verificar como se comporta oparâmetro P.

Vamos pegar a equação paramétrica:

Substituindo x = -9, y = 10 e z = -9, teremos:

P

P

P

21

2

21

!

!

!

z

y

x

P

P

P

219

210

219

!

!

! P = -5 para todos os casos, portanto, o

ponto P � a reta r.




c)

Para obter 2 vetores diretores de r, basta escolher um vetor que

seja múltiplo do vetor AB, por exemplo: AB = 2 AB. 2.AB = (4,-4,4).

Agora, para obtermos 2 pontos na reta r distintos de A e B basta

chutar valores para o parâmetro P. Por exemplo, se escolhermos P=1, obtemos:

P

P

P

21

2

21

!

!

!

z

y

x

1.21

1.2

1.21

!

!

!

z

y

x

3

2

3

!

!

!

z

y

x

P1 = (3,-2,3)




c) Escolhendo P=2, obtemos:

Cuidado! Se chutarmos P=0, teremos:

P

P

P

21

2

21

!

!

!

z

y

x

2.21

2.2

2.21

!

!

!

z

y

x

4

4

5

!

!

!

z

y

x

P2 = (5,-4,5)

P

P

P

21

2

21

!

!

!

z

y

x

0.21

0.2

0.21

!

!

!

z

y

x

1

0

1

!

!

!

z

y

x

P = (1,0,1) é o ponto A.




Exemplo-3 Mostre que as equações abaixo descrevem uma reta. Re-escreva-

as na forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor na reta.

Colocando-as na forma simétrica e considerando P=1, teremos:1

2

1

3

12!

!

z

y x

11

12

1

13

12

!

!

!

z

y

x

1

23

2

1

2

3

2

12

3

2

1

312

312

!

!

!

!

!

x

x

x

x

x

12

1

21

21

1.21

!

!

!

!

y

y

y

y

11

1!

z




Exemplo-3 Na forma simétrica, o sistema é equivalente a:

onde

11

21

2

32

1

!

!

z y

x

2

10 ! x 10 ! y 10 ! z

2

3!a 2

!b 1!c

e ,,, ,

A equação vetorial é dada por: (x,y,z) = (1/2,1,-1) + P.(3/2,-2,1).

(1/2,1,-1) são as coordenadas do ponto A e

(3/2,-2,1) são as coordenadas do vetor diretor .




Equação geral da reta Um outro modo de expor a equação de uma reta é através de

sua forma geral: Ax+By+C=0 A toda equação que apresenta a forma acima, (desde que A e B

� � e A 0), corresponde uma reta do plano cartesiano cujospontos têm coordenadas que satisfazem à equação.

ExemploSeja r uma reta determinada por A(-5,-1) e B(-1,1). Obter uma

equação de r.




Sendo P(x,y) um ponto qualquer de r, basta calcular o determinante.

Portanto, r : x - 2y + 3 = 0 é a equação geral da reta procurada.

03205150

111

115

1

!!!

y x y y x

y x




Equações do plano Se os vetores e formam ângulo (ou seja, eles são não-

paralelos), eles determinam um plano.

Todos os planos paralelos a e são paralelos entre si. Logo,assim como um vetor não-nulo determina a direção de uma reta,um par de vetores linearmente independentes determina adireção do plano.

uT

vT

uT

vT




Equações do plano Se e são L.I. e paralelo a um plano T, o par ( , ) é

chamado par de vetores diretores de T.

Um ponto X pertence ao plano T se, e somente se, para( , , )

Existem números reais P e Q, tais que

Isto pode ser reescrito da seguinte forma:

Esta equação chama-se equação vetorial do plano.

uT

vT

uT

vT

uT

vT

A

vu ATT

QP !

vu ATT

QP !




Equações do plano O plano T é, portanto, o lugar geométrico dos pontos X para os

quais existem P e Q que tornam verdadeira a igualdade acima.

A grande diferença entre a equação vetorial da reta e do plano éque a quantidade de vetores diretores na equação do plano é dois.




Equações do plano


Neste caso: , sendo vetores diretores

de r 1 e r 2 ;

ppp

! 21 v x

vn

pp

21 vev

Neste caso: sendo um vetor diretor

de r 1 (ou r 2) e A1 � r1 e A2 � r2.

,211

ppp

! A A xvn 1

p

v



Simbologia É comum indicar o nome do plano à frete da equação, separando

dela por dois pontos; Para enfatizar que P e Q percorrem todo o conjunto dos números

reais, costuma-se escrever P, Q � R entre parênteses após aequação.

Como a escolha do ponto é arbitrária, existem muitas equaçõesvetoriais diferentes para o mesmo plano.

vu X TT

QPT !: ),( �� QP




Equações do plano Suponha que temos num plano os pontos A, B e C (não-colineares).

Algumas equações vetoriais possíveis seriam:

Considere que as retas r e s contém o ponto A e são,respectivamente, paralelas a e . Ou seja, o vetor é umvetor diretor de r e o vetor é um vetor diretor de s.

AC AB B X QP !

AC AB A X QP !

CA BC C X QP !

uT

vT

uT

vT

)(,: ��! PPu Ar T

)(,: ��! Q Qv A X s

T




Equações do plano Para cada valor fixado de P, indicando o ponto BP; o ponto(ou seja, extremidade do vetor de ponto inicial A e ponto final BP),

Podemos reescrever a equação do plano da seguinte maneia:

Ora, podendo ser reescrita dessa forma, a equação do plano T pode serentendida como a equação de uma reta, a reta s, só que em lugardo ponto A, teríamos como ponto inicial BP.

u AT

P

v B X

vu A X T

TT

Q

QP

P!

!




s sP

Ar

r Q

uT

vT

BP

CQ




Equações do plano Analogamente, a cada valor atribuído a Q está associada a reta rQ

da equação vetorial , onde da reta s. Podemos então construir várias retas paralelas a r e a s. Note que cada ponto do plano está na intersecção de duas delas.

Simbolicamente: Se , então P é o ponto comum às retas rQ e sP (em

particular (A � r0 � s0). O fato de existir um ponto comum entre duas retas que se

interceptam, determina um sistema de coordenadas em T com aorigem neste ponto.

uC X T

P Q ! v AC T

Q Q !

vu A P TT

QP !




Equações do plano No caso do nosso exemplo, com a origem no ponto A, a reta r irá

representar o eixo das abscissas e a reta s, o eixo das ordenadas. Note então que, apesar de usarmos habitualmente o plano

cartesiano ortogonal como um sistema de coordenadas, os eixosnão são, necessariamente, ortogonais.

s

r

s1

s2

S-1

r -1

uT

vT




Trabalhando sob um sistema de coordenadas Fixado um sistema 7 de coordenadas, suponhamos que

X=(x,y,z), A=(x0,y0,z0), e . A equação vetorial do plano pode ser reescrita como:

Esse sistema de equações é chamado de sistema de equaçõesdo plano na forma paramétrica.

),,( cbau !T

),,( pnmv !T

pc z z

nb y y

ma x x

QP

QP

QP

!

!

!

0

0

0




Exemplo-1Seja T o plano que contém o ponto A=(3,7,1) e é paralelo ae .

a) Obtenha duas equações vetoriais de T;b) Obtenha equações paramétricas de T;c) Verifique se o ponto (1,2,2) pertence a T;d) Verifique se o vetor é paralelo a T.

a) Usando A, u e v, podemos obter a seguinte equação para o plano:

)1,1,1(!uT

)0,1,1(!vT

)5,2,2(!wT

)0,1,1()1,1,1()1,7,3( QP

QP

!

!

X

vu A X TT




Exemplo-1Uma outra equação possível para o plano T é a seguinte:

Onde e funcionam como vetores diretores.

)()(: vuvu A X r TTTT

! QP

vuTT

vuTT

)1,2,2()0,1,1()1,1,1( !! vuTT

)1,0,0()0,1,1()1,1,1( !! vu

TT

)1,0,0()1,2,2(: QP ! A X r




Exemplo-1b) Indicando por (x,y,z) as coordenadas de X e usando A, u e v.

temos:

c) Para verificar se o ponto (1,2,2) pertence a T, basta utilizar asequações paramétricas obtidas no item b). Substituímos x por 1,y por 2 e z por 2, obtendo:

pc z z

nb y y

ma x x

QP

QP

QP

!

!

!

0

0

0

011

117

113

QP

QP

QP

!

!

!

z

y

x

P

QP

QP

!

!

!

1

7

3

z

y

x

P

QP

QP

!

!

!

12

72

31




Exemplo-1Depois, resolvemos o sistema de 3 equações e 2 incógnitas.Da 3.ª equação tiramos que P=1;Da 2.ª equação tiramos que Q=-6;

Ao substituir esses valores na 1.ª equação verificamos umaincompatibilidade pois:

3+1-6 1, portanto, se conclui que o ponto (1,2,2) não pertence aoplano.




Exemplo-1

d) Para verificar se o vetor w é paralelo aos outros 2 vetores doplano, basta calcular o determinante. Se ele for igual a zerosignifica que os vetores são paralelos.

077]502[205

22

11

11

522

011

111

!!!

Portanto, w // a T.




Equação geral do planoFixado um sistema de coordenadas, seja T o plano que contém o

ponto A=(x0,y0,z0) e tem vetores diretores u=(a,b,c) ev=(m,n,p). Sabemos que um ponto pertence a T se, esomente se, ( , , ) forem paralelos.

Isto também pode ser expresso do seguinte modo:uT

vT

A X

0

000

!

pnm

cba

z z y y x x

0! d czbya x




Equação geral do planoDesenvolvendo este determinante obtemos a seguinte equação:

Que é a equação geral do plano.

0! d czbya x


000

000

000

0)()()(

0),,).(,,(

cbya xczbya x

z zc y yb x xa

z z y y x xcba

!

!

!

-d

0! d czbya x



Equação geral do planoQualquer equação semelhante a esta pode ser usada para descrever

um plano.Exemplo: 3x-y-z-1=0; 3x-y=z+1; 6x=2y+2z+2. Todas elas sãoequações de T.

Exemplo-2

Obtenha a equação geral do plano T descrito em cada um dos casosabaixo.

a) T contém o ponto A=(9,-1,0) e é paralelo aos vetores u=(0,1,0)e v=(1,1,1);

b) T contém os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,1) e C=(2,1,2).




Exemplo-2 Vamos supor que os vetores u e v são L.I. (isto é, formam ângulo,

eles não são paralelos entre eles, embora sejam paralelos aoplano T).

Se é assim, então u e v são vetores diretores de T. Indiquemos porX=(x,y,z), temos que:

0

111

010

000

!

z z y y x x




Exemplo-2

9]00[00)9(

11

10

19

111

010

19

!!

z x z x

y x z y x




Exemplo-2x-z-9=0 é uma equação geral do plano em que a=1, b=0, c=-1 e d=-9.

b) AB=B-A=(-2,0,0) AC=C-A=(1,1,1)

Como o ponto A, temos:

São vetores diretores de T.

0

111

002

000

!

z z y y x x




Exemplo-2

0

111

002

000

!

z z y y x x

0222)]2(00[)1)(2(00

11

02

1

111

002

000

!!!

!

z y y z

y x z z y y x x




Proposição Sejam ax+by+cz+d=0 uma equação geral de um plano T e

u=(m,n,p). Então, u é paralelo a T se, e somente se,am+bn+cp=0.

A) T contém ou é paralelo a um dos eixos coordenados se, esomente se, o coeficiente d variável correspondente a esse eixoé nulo (ou seja, essa variável está ausente da equação);

B) T é paralelo a um dos planos coordenados se, e somente se,os coeficientes das duas variáveis correspondentes a esse planosão nulos (ou seja, essas variáveis estão ausentes daequação).




Equação geral do plano No 1.º caso A), T contém ou é paralelo a Ox se, e somente se,

T é paralelo ao vetor e1=(1,0,0). Isto ocorre se, e somente se,a.1+b.0+c.0=0. Ou seja, T é paralelo a Ox se, e somente se,a=0.

No 2.º caso B), T é paralelo a Oxy se, e somente se, T éparalelo a e1=(1,0,0) e e2=(0,1,0). Isto ocorre se, e somente

se, a=0 e b=0.




Exemplo-3 Verifique se u=(1,2,1) e v=(3,2,3) são paralelos ao plano T: 2x-

3y+4z-600=0.De acordo com a proposição, o vetor u é paralelo a T, pois 2.1-

3.2+4.1=0

O mesmo não acontece com o vetor v, pois 2.3-3.2+4.3{0.




Exemplo-4Na figura abaixo está representado um sistema de coordenadas.

Sendo a um número positivo, faça esboços dos planos descritosem relação a esse sistema pelas equações:

a) x=a;

b) x+y=a;

c) x+y+z=a. e2

x

y

z

e1

e3




Exemplo-4a) x=a

x

y

z

e1

e3

A(a,0,0)

e2

O plano contém o ponto A=(a,0,0) e é paralelo a Oyz,

pois y e z estão ausentes na equação.




Exemplo-4b) x+y=a

x

y

z

e1

e3

A(a,0,0)

B(0,a,0)

e2

A única variável ausente na equação é a z. Logo, o

plano é paralelo ao eixo Oz, mas não aos outros 2.




Exemplo-4c) x+y+z=a

x

y

z

e1

e3

A(a,0,0)

B(0,a,0)

C(0,0,a)

Este plano não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados pois

as três variáveis têm coeficientes não-nulos.




Métodos de Cálculo II Aplicação: utilização do software Bump Mapping



Métodos de Cálculo II� Quando falamos de superfícies paramétricas, estamos falando de superfícies

que podem ser descritas ou representadas através de equações em função de

dois parâmetros (u,v) que representam alguma ordem de grandeza.

� No caso de um Toro as equações para cada ponto {x,y,z} podem ser

representados através de dois parâmetros (s,t) como mostra a figura a seguir.

� Os vetores nas direções das derivadas podem ser calculadas derivando cada

uma das componentes {x,y,z} em relação a (s,t) e assim ter os vetorestangentes na direção das derivadas com respeito a s e t.



Métodos de Cálculo II



Métodos de Cálculo II Cálculo dos Vetores Base do Espaço de Textura.

Já que cada um dos vértices tem uma orientação diferente é preciso

calcular uma matriz diferente para cada um dos vértices.



Métodos de Cálculo II� Os cálculos dos vetores da base do espaço da textura são o vetor tangente T , o

vetor normal N e o vetor binormal B.

� O vetor tangente T é um vetor em qualquer uma das direções das derivadas parciais em relação a s ou a t .

� O vetor normal e produto vetorial entre os dos vetores nas direções das

derivadas parciais, ou seja o produto vetorial entre o vetor na direção do

parâmetros

pelo vetor na direção emt , ou vice-versa.

� O vetor binormal B e o produto T x N .



Métodos de Cálculo IICálculo dos Vetores da Iluminação e Transformar eles para o

Espaço da Textura.

Os vetores L e V da iluminação são calculados em relação as coordenadas

da luz e do observador no espaço do objeto, estes vetores precisam ser transformados para o espaço da textura.

Para poder transformar estes vetores para o espaço da textura precisamos

construir uma matriz de rotação que leva do espaço do objeto para o espaço

da textura, esta matriz esta baseada nos vetores da base normalizados e é

expressada da seguinte maneira.

�



Métodos de Cálculo IIAssim com mostra a figura, podemos utilizar esta matriz para transformar os

vetores L e V do espaço do objeto (em vermelho) para o espaço da textura (em

azul).



Métodos de Cálculo II Nesta etapa é feito o cálculo da iluminação por pixel, para cada fragmento. A

iluminação é feita no espaço da textura, os vetores L e V são interpolados para

cada fragmento e a normal e extraída do mapa de normais que é passado ao

f r agment pro g r am como sendo uma textura a mais da geometria. Na próximafigura, temos o resultado final do processo de Bump Mapping.

.

Fonte: htt p://www.tecgraf.puc-rio.br/~alain/rendering/



Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person

Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São

Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-

Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of

Mathematics. Dover, 1990.

Métodos de Cálculo II

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