CALCULO I

AutorManoel Benedito Serra da Costa

2010 [1

COSTA, Manoel Benedito Serra da. Clculo I.Duque de Caxias :Escola Tcnica Atenew, 2010,p.28

1 impresso

Al: Francisco de Miranda, lt:09 qd:01 Jardim Primavera Duque de Caxias RJ 25.215 425 www.atenew.com 2

NDICE

TEM

PG.

1 FRAES .......................................................................................................... 04 A frao como uma parte de um conjunto ................................................................ 04 A frao como a diviso de uma grandeza contnua em partes iguais .................... 04 Fraes prprias........................................................................................................ 04 Fraes aparentes..................................................................................................... 05 Fraes imprprias e nmeros mistos...................................................................... 05 Fraes equivalentes................................................................................................ 05 Simplificao de Fraes.......................................................................................... 05 Frao decimal ......................................................................................................... 06 Exerccios 1 .......................................................................................................... 06 2 - NMEROS DECIMAIS ....................................................................................... 08 Propriedades dos nmeros decimais ....................................................................... 08 Transformao de frao decimal em nmero decimal............................................ 09 Transformao de frao em nmero decimal......................................................... 09 Operaes com nmeros decimais........................................................................... 09 Exerccios 2 .......................................................................................................... 11 3 - MEDIO E AS UNIDADES DE MEDIDAS ....................................................... 12 Exerccios 3 .......................................................................................................... 14 4 - PROPORCO ..................................................................................................... 16 5.1 - GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ........................................ 17 Exerccios 4 .......................................................................................................... 17 5.2 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ..................................... 19 5. RESUMO ......................................................................................................... 20 Exerccios 5 ...........................................................................................................20 USO DA CALCULADORA ........................................................................................21 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS .........................................................................28

3

CLCULO I1 - FRAES: A frao como uma parte de um conjunto. Neste sentido estamos lidando com objetos discretos (indivisveis), isto , que so contados um a um. Por exemplo: de um grupo com 12 pessoas, podemos escolher 5 pessoas para fazer um passeio. Diremos, ento, que as pessoas escolhidas representam a frao de 5/12 (cinco doze - avos) do grupo considerado.

A frao como a diviso de uma grandeza contnua em partes iguais. Neste sentido queremos medir uma grandeza, ou seja, determinar a sua extenso por comparao com outra, da mesma espcie, denominada unidade. Medir comparar. A medida nos diz quantas vezes a unidade escolhida cabe na grandeza que desejamos medir. Ao considerarmos a diviso de um todo em partes iguais, temos que: Numerador o nmero de partes consideradas. Denominador o nmero de partes em que o todo foi dividido d nome a cada parte. No smbolo que representa as fraes utilizamos dois nmeros naturais separados por um trao horizontal: n d numerador denominador e d 0

Desse modo, os nmeros n e d representam aes sobre o todo e formam um novo nmero a fraon . d

A seguir vamos comparar os valores do numerador e do

denominador para ver os tipos de frao que podemos ter.

Fraes prprias: Quando o numerador menor que o denominador. A frao representa uma parte da prpria unidade. Exemplos:3 ; 7 5 ; 8 1 ; 2 3 . 5

4

Fraes aparentes: Quando o numerador mltiplo do denominador. A frao representar uma ou mais unidades.Exemplos:

3 6 12 ; ; . 3 2 4

Fraes imprprias e nmeros mistos: Quando o numerador maior que o denominador. Temos a soma de uma frao aparente com uma frao prpria. A frao representara uma parte inteira mais uma parte fracionria. Exemplos:7 6 1 1 1 = + = 2+ = 2 ; 3 3 3 3 3 3 2 1 1 = + =1 ; 2 2 2 2 9 5 4 4 = + =1 . 5 5 5 5

Fraes equivalentes: So fraes que representam a mesma parte de um todo. Por exemplo, as fraes 1 2 4 , e so equivalentes. 2 4 8 Da equivalncia de fraes temos que: Multiplicando-se (ou dividindo-se) o numerador e o denominador de uma frao por um mesmo nmero, diferente de zero, obtm-se uma frao equivalente frao inicial. Considerando as fraes do exemplo, temos que elas so numerais diferentes para um mesmo nmero fracionrio. Elas expressam a mesma parte do todo. Desse modo podemos consider-las como nmeros iguais. Isto ,1 2 4 = = . 2 4 8

Simplificao de fraes: Da equivalncia de fraes vimos que podemos escrever um mesmo nmero fracionrio de vrias maneiras diferentes. Assim, podemos determinar um conjunto de fraes equivalentes a uma frao irredutvel (frao cujo numerador e o denominador so nmeros primos entre si). Logo, para obtermos uma frao irredutvel equivalente a uma frao dada, basta dividirmos o numerador e o denominador da frao dada por um mesmo nmero 5

natural, divisor de ambos. Este processo o que chamamos simplificao de fraes.

Frao decimal: So fraes cujos denominadores so potncias de 10. Algumas fraes podem ser transformadas em fraes decimais equivalentes. Exemplos:2 4 1 25 = e = . 5 10 4 100 2 , pois no 3

Porm, h fraes que no admitem essa transformao, por exemplo, existe nmero natural que multiplicado por 3 d uma potncia de 10.

Uma potncia de 10 formada somente pelos fatores primos 2 e 5. Ento, uma frao irredutvel s admite frao decimal equivalente se o seu denominador possui apenas os fatores 2 ou 5.

Exerccios 1 1 Qual a frao cujo denominador 15 e o numerador 9? Resposta _________________________ 2 Um ms tem trinta dias. Escreva a frao do ms correspondente a: a) 1 dia - ______________ b) 5 dias - ______________ c) 17 dias - ______________ d) 29 dias - ______________

3 Transforme em fraes decimais equivalentes: a)3 4 3 25 1 5

=

b)

=

c)

= 6

4 Indique as fraes correspondentes a cada situao: a) Carolina comeu 3 doces de uma caixa que continha 8 doces. Resposta __________ b) Janice comprou 7 cadernos de um pacote que continha 10 cadernos. Resposta __________

5 Participam de uma conferncia 9 brasileiros, 6 ingleses e 4 argentinos. Que frao do total de membros da conferncia representam os brasileiros? E os ingleses? E os argentinos? Respostas: Brasileiros ________ ; Ingleses ________; Argentinos _______

6 Uma dzia de balas deve ser dividida igualmente entre 3 garotos. Que parte receber cada um?

Resposta _____________

7 Escreva uma frao equivalente a trs quartos, sendo trinta e cinco a soma do numerador com o denominador.

Resposta _____________

8 Escreva uma frao equivalente a cinco stimos cujo numerador seja quinze.

Resposta _____________

9 Escreva uma frao equivalente a dois teros cujo denominador seja 18. Resposta _____________ 10 Monte as fraes dadas e simplifique-as se for o caso:

a) Seis oitavos. ____________________

7

b) Doze quinze avos. ____________________

c) Dez dezesseis avos. ____________________

d) Sete trinta e cinco avos. ____________________

e) Quarenta e oito cento e vinte avos. ____________________

f) Cento e noventa e dois duzentos e quarenta avos. ____________________

g) Duzentos e trinta e quatro trezentos e noventa. ____________________

h) Cento e setenta e cinco vinte e cinco avos. ____________________

2 - NMEROS DECIMAIS: Pelo fato de nosso sistema de numerao ser posicional de base 10, podemos representar as fraes na notao decimal, como nmeros decimais. No nosso modo de representar os nmeros decimais a vrgula (ou o ponto) separa a parte inteira da parte decimal: esquerda da vrgula est a parte inteira e direita a sua parte fracionria ou decimal.

Propriedades dos nmeros decimais; (I) Um nmero decimal no se altera quando acrescentamos ou suprimimos zeros sua direita. Exemplo: 0,3 = 0,30 = 0,300; 3,12 = 3,120 = 3,1200

(II)

Para multiplicar um nmero decimal por uma potncia de 10, isto por 10n, basta deslocar a vrgula n ordens para a direita. (n IN) Para dividir um nmero decimal por uma potncia de 10, isto por 10n, basta deslocar a vrgula n ordens para a esquerda. (n IN).

(III)

8

Transformao de frao decimal em nmero decimal;

Tomamos o numerador da frao decimal e deslocamos a vrgula n ordens para a esquerda, conforme seja a potncia de 10 do denominador. Exemplos:6 = 0,6; 10 11 = 0,11; 100 125 = 1,25 100

Transformao de frao em nmero decimal; Para transformar uma frao que no est na forma decimal em nmero decimal, basta dividirmos o numerador pelo denominador da frao. Com isso pode ocorrer que a frao: a) Tenha notao decimal exata, isto , ela equivale a uma frao decimal. A diviso , pois exata. Exemplo: b)3 = 0,6 5

e

5 = 1,25 4

(ver exemplo anterior)

No tenha notao decimal exata, isto , ela no equivalente a uma frao decimal. A diviso no exata e gera uma dzima peridica. Exemplo:1 = 0,333... 3 5 = 0,8333... 6

Operaes com nmeros decimais Salvo o cuidado que se deve ter com a vrgula na notao decimal, h pequena diferena entre o clculo com nmeros decimais e o clculo com os inteiros.

I. Para somar ou subtrair decimais: Devemos conservar as vrgulas em coluna, ou seja, vrgula debaixo de vrgula. Igualamos o nmero de ordens decimais, acrescentando zero(s) parte decimal. Efetuamos a adio ou subtrao, mantendo a vrgula alinhada. Exemplo 1: 10,08 + 1,351 = ?10,08 0 + 1,351 11,431

Zero acrescentado

9

Exemplo 2: 10,08 1,351 = ? 10,08 0 - 1,351 8,729 Zero acrescentado

II. Para multiplicarmos decimais: Fazemos a multiplicao como se fossem inteiros. Em seguida colocamos a vrgula no produto, considerando o nmero de ordens decimais igual soma dos nmeros de ordens decimais dos fatores. Exemplo: 0,81 x 0,52 = ? 0,81 x 0,52 _ 0,4212 < 2 casas decimais

< + 2 casas decimais < 4 casas decimais

III. Para dividirmos decimais: a) Fazemos a diviso como se fossem inteiros. Em seguida colocamos a vrgula, considerando o nmero de ordens decimais do quociente igual a diferena entre o nmero de ordens decimais do dividendo e do divisor (inclusive se houver acrscimos de zeros no dividendo). Exemplo: 2,665 1,3 = ? 3 casas decimais 1 casa decimal = 2 casas decimais no quociente

2665 13 6 5 205 0.

b) Igualamos o nmero de ordens decimais do dividendo e do divisor; fazemos a diviso dos inteiros resultantes, desprezando as virgulas: Exemplo: 2,665 1,3 = ?

2665 1300 6500 2,05 0

10

Exerccios 2 1 Dada a frao decimal, diga que nmero decimal ela representa: a)45 = 10 869 = 1000 123 = 100 7 = 1000 961 = 10

b)

c)

d)

e)

2 Transforme as fraes abaixo em nmeros decimais:a) 3 = 4 7 = 5 8 = 25 7 = 3 17 = 6

b)

c)

d)

e)

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3 - MEDIO E AS UNIDADES DE MEDIDAS Desde os tempos mais remotos, os homens tiveram que descobrir meios de medir coisas. Precisavam saber quanta terra eles haviam cultivado, que quantidade de trigo poderiam trocar por flechas ou que tamanho de tecido precisariam para fazer uma roupa. Enfim, precisavam comercializar produtos. As primeiras unidades de medida que o homem utilizou foram baseadas no seu prprio corpo... Mas estas maneiras de medir eram muito confusas... O processo de medio precisava ser melhorado, o homem sentiu necessidade de medidaspadro que fossem mais universais. Nos antigos sistemas de medida, os nomes das unidades no possuam relao entre suas medidas. J no sistema mtrico decimal, o nome dos mltiplos e submltiplos da unidade indica claramente o seu valor. Isto porque foram utilizados prefixos gregos para sua denominao. [Centurin, 2002] Veja a tabela de mltiplos e submltiplos da unidade-padro (U):

Nome Significado

Quilo (U) U 1000

Hecto (U) U 100

Deca (U) U 10

U Deci (U) U U 10

Centi (U) U 100

Mili (U) U 1000

O Sistema Internacional de Unidades define o smbolo e a unidade-padro para cada grandeza a ser medida, como a seguir. Comprimento: Unidade de medida o metro (m). Superfcie (rea): Unidade de medida o metro quadrado (m2)

Frmulas para clculo de rea de algumas figuras planas:

b

Retngulo: A = a x b

Quadrado: A = a

2

a

a

12

b

Trapzio: A =

a+b 2

h

r

Crculo: A = r

2

a

Tringulo: A =

axh 2a

Tringulo Equiltero: A = a 3 4

2

h

a

Paralelogramo: A = a x h

h

a

Volume (capacidade): Unidade de medida o metro cbico (m3) Frmulas para clculo de volume de alguns slidos: Volume do cubo de arestas de medida (a)

V = aaa ou V = a3

Volume do paraleleppedo de largura (L); comprimento (C); altura (h)

V=L.C.h

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Volume do cilindro de raio da base (r) e altura (h)

V = . r2 . h

Volume da esfera de raio (r)

V=

4 3

r3

Como conduzir as medies. Para efetuar medidas necessrio fazer uma padronizao, escolhendo unidades para cada grandeza.

Exerccios - 3

Comprimento: 1 Faa as transformaes: a) 3 km = b) 12 m = c) 4 cm = d) 3,5 m = e) 7,21 m = m dm mm cm mm

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2 Quanto vale em metros? a) 3,6 km + 450 m = b) 6,8 hm + 0,34 dam = c) 16 dm + 54,6 cm + 200 mm = d) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam = e) 82,5 hm + 6 hm = m m m m m

Superfcie (rea): 1 Um paralelogramo tem 20 cm de base e 17 cm de altura. Qual a sua rea?

2 - Temos um tringulo eqiltero de lado 6cm. Qual o permetro (soma dos lados) e qual a rea deste tringulo?

3 - Um trapzio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a rea deste trapzio?

4 - Sabendo que o permetro (soma dos lados) de um quadrado 24 cm. Calcule a sua rea.

5 - Calcule a rea e o permetro (soma dos lados), em metros quadrados, dos retngulos descritos: a) a = 25 m e b = 12 m; b) a = 14 m e b = 10 m

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Volume (capacidade): 1 - As arestas de um paraleleppedo reto-retngulo medem 2m, 3m e 5m. Qual o seu volume?

2 - Uma piscina tem 10 m de comprimento, 7 m de largura e 1,80 m de profundidade. Qual o seu volume total? 3 - Se o volume total de um cubo 27 m3, quanto mede sua aresta?

4 Uma esfera tem 2 m de raio, qual o seu volume?

5 Um cilindro tem 15 cm de raio e 30 cm de altura, qual o seu volume? 4 PROPORCO a igualdade entre duas razes. A igualdadea1 a2 = forma uma proporo em que os termos a1 e b2 representam os b1 b2

extremos e b1 e a2 os meios. A propriedade fundamental das propores afirma que o produto dos meios igual ao produto dos extremos, isto , a1b2= b1a2. Numa proporo, os numeradores das fraes so chamados de antecedentes e os seus denominadores so os conseqentes. Uma outra propriedade das propores afirma que a soma dos antecedentes e a soma dos conseqentes formam uma nova proporo com os antecedentes e conseqentes da proporo inicial, isto , a1 + a2 a1 = b1 + b2 b1 ou a1 + a2 a2 = . b1 + b2 b2

Dadas as sucesses numricas A=(a1, a2, a3, ..., an) e B=(b1, b2, b3, ..., bn) , ambas com n elementos, sendo A os numeradores e B os denominadores. Se tivermos a1 a2 a3 a = = = L = n = K , ento vale a propriedade anterior, isto , b1 b2 b3 bn

a1 + a2 + a3 +L + an a1 a a a = ou 2 ou 3 ou L ou n , b1 + b2 + b3 + L +bn b1 b2 b3 bn

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5.1 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. A esteira de uma mina tem sua produo de transporte de minrio de acordo com a tabela abaixo: Tempo (min.) 05 10 15 20 Produo (kg) 100 200 300 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra, isto , se aumentamos o valor de uma delas, o valor da outra tambm aumenta : - Quando duplicamos o tempo, a produo tambm duplica.Isto , passando de 5 min para 10 min, a produo passa de 100Kg para 200Kg; - Quando triplicamos o tempo, a produo tambm triplica. Isto , passando de 5 min para 15 min, a produo passa de 100Kg para 300Kg. Ao escrevermos a razo entre as grandezas produo (P) e tempo (T), teremos como unidade de medida Kg/min. Da tabela temos queP 100 200 300 400 = = = = = K = 20 Kg / min T 5 10 15 20

Da definimos: Duas grandezas variveis so diretamente proporcionais quando a razo entre os valores correspondentes das grandezas sempre constante.

Exerccios - 4 1 - A quantia de R$1280,00 dever ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receber cada uma, se a diviso for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7?

2 - Calcule o valor de x e y na proporo

x 2 = , sabendo que x + y = 42 . y 5

3 - Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte ser?

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4 - Trs pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balano anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, quanto cada scio receber, respectivamente?

5 - Separe a quantia de R$ 129,00em partes proporcionais a 0,2, 2 e 2/3

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5.2 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. Analisemos a seguinte tabela da velocidade utilizada para percorrer certa distncia e o tempo gasto. Velocidade (km/h) 24 30 40 120 Tempo gasto (horas) 10 8 6 2

As grandezas variam em desacordo uma com a outra, isto , se aumentamos o valor de uma delas, o valor da outra diminui. Observe que neste caso, os valores da velocidade utilizada e o tempo gasto no so diretamente proporcionais, pois temos24 30 40 120 . 10 8 6 2

Mas, se fizermos o produto dos valores correspondentes das duas grandezas, teremos 24 x 10 = 30 x 8 = 40 x 6 = 120 x 2 = 240, que constante. Quando isso ocorre dizemos que os valores da primeira coluna (velocidade) so inversamente proporcionais aos seus valores correspondentes da segunda coluna (tempo gasto), ou seja, os nmeros 24, 30, 40 e 120 so, respectivamente, inversamente proporcionais a 10, 8, 6 e 2. Podemos escrever os produtos constantes na forma equivalente de razo entre dois valores, como segue: 24 10 = 30 8 = 40 6 = 120 2 24 30 40 120 = = = 1 1 1 1 10 8 6 2

De modo geral, dizer que se uma sucesso numrica (a, b, c) inversamente proporcional sucesso numrica (m, p, q) equivalente a dizer que a sucesso 1 1 1 numrica (a, b, c) diretamente proporcional sucesso numrica , , . m p q assim: a m = b p = c q ou a b c = = 1 1 1 m p q

Exemplo: os nmeros 2, 3 e 6 so inversamente proporcionais a 6, 4 e 2 respectivamente, pois, 26 = 12; 34 = 12; 62 = 12 e o nmero k = 12 o fator, constante ou coeficiente de proporcionalidade.

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Exemplo - Determine os valores de m e p para que os nmeros 2, m e 12 sejam inversamente proporcionais a 18, 4,5 e p. Como os nmeros so inversamente proporcionais, temos: 2 x 18 = 4,5 x m = 12 x p 36 = 4,5m = 12p a) Considerando 36 = 4,5m m=8 b) Considerando 36 = 12p p=3

5.3 RESUMO Dadas as sucesses numricas A=(a1, a2, a3, ..., an) e B=(b1, b2, b3, ..., bn) , ambas com n elementos, diremos que se: (i) (ii) A diretamente proporcional a B, ento A inversamente proporcional a B, entoa a1 a2 a3 = = =L = n = K b1 b2 b3 bn

a1b1 = a2b2 = a3b3 = L = anbn = K

Onde K a constante de proporcionalidade entre os termos correspondentes das sucesses A e B. Exerccios 5 1 - A 60 km/h fao o percurso entre duas cidades em duas horas. trafegando a 80km qual o tempo estimado para percorrer este trajeto?

2 - Um tecelo levou 12 horas para produzir um tapete, razo de 6 metros por hora. Se ele trabalhasse razo de 9 metros por hora, quanto tempo teria levado para tecer o mesmo tapete?

3 - Utilizando copos descartveis de 175 ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de 150 ml, quantas pessoas eu conseguirei servir com o mesmo volume de bebida?

4 - Preciso empilhar uma certa quantidade de caixas. Se eu fizer a pilha com 4 caixas na base, irei empilhar 6 fileiras de caixas, uma sobre a outra. Se eu fizer a base com 3 caixas, quantas fileiras irei precisar? 20

5 - Com o dinheiro que possuo, posso comprar 21 passagens de nibus ao custo unitrio de R$ 1,80. Eu soube, porm que o valor da passagem est para aumentar para R$ 2,10. No novo valor, quantas passagens poderei comprar com a mesma quantia que tenho? Resposta =

USO DA CALCULADORAIntroduo A matemtica uma ferramenta poderosa que desenvolve o raciocnio lgico e nos ajuda a resolver problemas e a tomar decises de forma mais consciente. Uma das decises que constantemente precisamos tomar diz respeito ao tipo de clculo mais adequado a diferentes situaes problema. De maneira geral poderamos falar em quatro tipos de clculo que deveriam ser explorados e exercitados na escola: o clculo escrito (algoritmos), o clculo mental exato, o clculo mental aproximado (estimativas) e o clculo feito com ferramentas de apoio, das quais a mais comum a calculadora. Explore situaes e estratgias especficas de cada uma dessas modalidades de clculo, bem como ter certa margem de liberdade na escolha de que tipo de clculo seria mais adequado aos problemas que resolva, de forma semelhante ao que ocorre fora da escola, quando escolhe livremente o procedimento de clculo que mais lhe convm. lgico que a calculadora no deve ter mais espao que as outras formas de clculo na escola, mas ela pode enriquecer muito a prtica, se for mediada. Objetivos: Espera-se que ao final destas atividades voc seja capaz de perceber quando a calculadora pode ou no ajudar-lhe a resolver alguns problemas que se apresentam cotidianamente. Contedos especficos - Utilizao adequada da calculadora em situaes em que pertinente; - Identificao do procedimento mais adequado s diferentes situaes-problema que se apresentam; - Sistema de numerao decimal; - Propriedades das operaes; - Funcionamento da calculadora; - Observao de regularidades; - Levantamento de hipteses; - Diferentes procedimentos de clculo. Material necessrio: Calculadora.

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Desenvolvimento: 1 passo: Explore livremente, num primeiro momento, com o objetivo de se familiarizar minimamente com ela.Tente responder as perguntas seguir: 1 - Quais so as teclas numricas que aparecem na calculadora? 2 - Quais so as teclas que indicam operaes? 3 - Quais so as outras teclas que aparecem? Voc as conhece? Continue explorao da calculadora com alguns exerccios mais dirigidos, do tipo: a) Aperte a seguinte seqncia de teclas e observe o que acontece: 5+3 ====== 3x2 ====== 3x ====== Essa proposta deve ser seguida de uma discusso acerca da funo da tecla igual (=) nas calculadoras, assim como de uma discusso acerca da estrutura de funcionamento das calculadoras, uma vez que voc poder encontrar diferentes resultados apertando essas seqncias de teclas em diferentes calculadoras. b) Conhea a utilizao das teclas de memria. Experimente a seguinte utilizao das teclas de memria e observe o que acontece: 50 M- 2x5 M+ 3x5 M+ MRC O que aconteceu? Veja a utilizao das teclas de memria para a resoluo de um problema com vrias operaes: Fui ao mercado e comprei 3 litros de leite por R$2,20 cada um, 2 pes integrais por R$3,50 cada e paguei com uma nota de R$20,00. Qual foi o meu troco? Experimente resolver o problema usando as teclas de memria. Existem tambm vrias maneiras de utilizao das teclas para a resoluo desse problema. Uma delas : 20 M- 3x2,2 M+ 2x3,5 M+ MRC

2 passo: Utilize a calculadora como instrumento de verificao de clculos feitos de outras maneiras e, tambm, como instrumento de auto-correo. Neste passo voc poder resolver problemas por algoritmos ou por clculo mental. Depois, a calculadora ser utilizada para a verificao dos clculos feitos. Exemplos de problemas: a) Quantos dias aproximadamente voc j viveu desde o seu nascimento?

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b) Quantos alunos h em sua escola?

Aps a resoluo, verifique os clculos na calculadora. No caso de observar, reflita sobre os erros. Uma outra atividade interessante a realizao de vrios clculos serem realizados em duplas. Um dos alunos realiza os algoritmos conhecidos e o outro utiliza a calculadora. Ao final de cada clculo comparam os resultados obtidos e refazem os procedimentos em caso de erro. Nessa atividade, os alunos podem se surpreender ao ver que nem sempre aquele que faz os clculos escritos que erra, e que mesmo usando a calculadora uma pessoa pode se equivocar nas teclas pressionadas.

3 passo: Utilize a calculadora como apoio na resoluo de problemas complexos, com vrias operaes, muitos dados e nmeros grandes. O objetivo desse passo no a verificao das tcnicas operatrias e, sim, a observao das estratgias e caminhos escolhidos para resoluo dos problemas. Voc ganhar tempo com a utilizao da calculadora e poder resolver uma quantidade bem maior de problemas. falsa a impresso de que as pessoas no aprendem e ficam preguiosas ao utilizarem a calculadora, pois a calculadora pode facilitar os clculos, mas s far os clculos pensados pelo aluno, com os dados selecionados por ele.

4 passo: Faa um jogo de stop de operaes, semelhante ao conhecido stop de palavras, com clculos que estejam sendo trabalhados nas aulas. Por exemplo, o clculo de porcentagens. Nesse jogo, calcule, usando a tabela abaixo, as vrias porcentagens indicadas do nmero ditado por voc. A utilizao da calculadora ser livre. Aquele que mais rapidamente preencher toda a linha de clculos com o nmero ditado diz stop e todos os outros devem parar. Conferem-se os resultados e todos recebem 10 pontos por clculo feito corretamente. Tabela: 50% 25% 10% 5% 1% 20% Pontos Nessa atividade, muito provavelmente voc perceber que aqueles que a realizam por clculo mental so mais rpidos e acabam falando stop sempre antes dos que recorrem calculadora. Essa constatao ajuda a desmistificar a calculadora como a solucionadora de todos os problemas relativos a clculos, destacando o clculo mental como um procedimento mais rpido e to bom quanto a calculadora (ou melhor).

5 passo: Neste passo, voc utilizar a calculadora para observar regularidades e formular algumas explicaes sobre o que observou. Execute a lista de clculos abaixo com a calculadora preenchendo as tabelas com os clculos realizados e o registro posterior das descobertas feitas. Nmero por 0,1 ou 0,5: 23

96 x 0,1 = 100 0,1 = 250 x 0,5 = 124 0,5 = 500 x 0,1 = 360 0,5 = Nessa atividade, voc dever concluir que: - um nmero multiplicado por 0,1 fica 10 vezes menor do que era; - um nmero dividido por 0,1 fica 10 vezes maior do que era; - um nmero multiplicado por 0,5 resulta na metade daquele nmero; - um nmero dividido por 0,5 resulta no dobro daquele nmero. lgico que todas essas descobertas devem ser acompanhadas de discusses sobre o significado dessas operaes, por exemplo, discutindo-se que, quando dividimos um nmero por 0,5, estamos dividindo aquele nmero em metades e que como um inteiro tem duas metades, ficamos com o dobro de metades em relao ao nmero inteiro.

6 passo: Nesse passo, a calculadora ser usada como parte indispensvel de uma problematizao que, se feita sem a mquina, seria muito cansativa e aborrecida. Trata-se de um problema que explora caractersticas dos nmeros e operaes, colocando-as em primeiro plano, e que pode ser utilizado para a retomada dos contedos j trabalhados. a) Escolha um nmero de 3 algarismos e multiplique-o sucessivamente por 7, por 11 e por 13. Observe o resultado obtido e compare-o com o nmero escolhido por voc. Faa o mesmo com outros nmeros de 3 algarismos e observe se isso sempre acontece. O que aconteceu? Por qu? Ex.:237 x 7 x 11 x 13 = 237.237 b) O que deveramos fazer para obter o mesmo efeito no resultado, multiplicando nmeros de 2 algarismos? E de 4 algarismos? Com certeza voc se surpreender com os resultados obtidos, mas pode ter alguma dificuldade em descobrir por que isso acontece. A explicao est no fato de que a multiplicao de7 x 11 x 13 resulta em 1001, e da esse curioso resultado. A percepo de por que a multiplicao de 1001 causa esse efeito no resultado exige do aluno a compreenso de propriedades dos nmeros e operaes.

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7 passo: Participe de uma atividade em dupla ou grupo que exija um pouco de cada uma das habilidades trabalhadas nas atividades anteriores, ou seja, envolve conhecimentos sobre os nmeros e operaes, tomada de decises, verificao, deduo etc. Trata-se de uma atividade simples, porm desafiadora. Usando apenas uma vez cada tecla numrica da calculadora e necessariamente as quatro operaes fundamentais, tambm apenas uma vez, obtenha o maior nmero possvel. Adapte o enunciado de acordo com os contedos trabalhados. Nessa proposta, voc repensar questes como as abaixo, entre muitas outras: O que acontece se dividirmos um nmero por zero? E por 1? O que acontece se multiplicarmos um nmero por 9? E por 98? E se subtramos 0 ou 1? Reflita sobre os procedimentos de clculo mais adequados a cada problema. Por exemplo: Assinale o procedimento mais adequado, na sua opinio, para a resoluo de cada problema abaixo:

Trs amigos foram a uma lanchonete e gastaram 45 reais. Quanto pagou cada um, se eles dividiram a conta igualmente? a) Clculo escrito ( ) b) Clculo mental ( ) c) Estimativa ( ) d) Uso da calculadora ( )

Uma moto pode ser paga em 39 vezes de 129 reais. Qual o valor a ser pago pela moto? a) Clculo escrito ( ) b) Clculo mental ( ) c) Estimativa ( ) d) Uso da calculadora ( )

Um homem ganha R$ 4105,00 e gasta R$680,00 de aluguel, R$550,00 com alimentao, R$330,00 com transporte e R$2000,00 com sade e educao. Quanto lhe sobra para outros gastos? a) Clculo escrito ( ) b) Clculo mental ( ) c) Estimativa ( ) d) Uso da calculadora ( )

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Meu carro faz 10 km com um litro de gasolina e tenho ainda do tanque de combustvel. Se o tanque tem aproximadamente 52 litros, ser possvel chegar a uma distncia de 96 km? a) Clculo escrito ( ) b) Clculo mental ( ) c) Estimativa ( ) d) Uso da calculadora ( )

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Um breve histrico.Como tudo comeou. Manoel Benedito Serra da Costa, tambm conhecido como NEO, graduado em pedagogia pela UCB (Universidade Castelo Branco), instrutor nas reas de Caldeiraria e Estruturas Metlicas. Participou em 1992 da 1 turma, no Brasil, do curso de Complementao Pedaggica para Formao de Instrutores de Formao Profissional num convnio entre SENAI/RJ e a UERJ. Formou-se em 1990 em Supervisor de 1 linha nas reas de Caldeiraria e Estruturas Metlicas em outro convnio entre SENAI/RJ e a Cmara de Comrcio Brasil /Alemanha. Entrou para o corpo docente do SENAI/RJ em 1980 saindo em 1995 para criar a NEO WILSEN EDUCAO PROFISSIONAL. Em 2005, junto com exinstrutores do SENAI, Supervisores, Encarregados, Caldeireiros e Encanadores Industriais das prestadoras de servio da REDUC / Rio Polmeros e professores, fundaram a Associao Tcnica Educacional Neo Wilsen mantenedora da ESCOLA TECNICA ATENEW, que vem contribudo para a formao profissional de jovens e adultos trabalhadores de todo territrio nacional.27

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS: Ayres Jr., Frank; Matemtica Financeira; So Paulo; McGrawn-Hill do Brasil, 1981. Centurin, Marlia; Nmeros e Operaes; So Paulo; Ed Scipione, 2002. Gonalves, Dalton. Fsica do Cientfico e do Vestibular. RJ: Ao Livro Tcnico, 1973. Rubinstein, Cla e outros. Matemtica para o Curso de Formao de Professores, So Paulo. Moderna, 1997.

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