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7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
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Captulo 9
EXEMPLOS DIVERSOS
Agradecemos ao Professor Silvio Pinha Gomes do Departameneto de Anlise do IME-UERJ,por ceder, gentilmente estes exerccios.
9.1 Limites
[1] Determine o valor da constante a R para que exista
limx0
1 + x (1 + a x)
x2
e calcule o limite.
Soluo : Primeiramente racionalizemos a expresso:
1 + x (1 + a x)
x2=
1 + x (1 + a x)
x2
1 + x + (1 + a x)1 + x + (1 + a x)
=1 + x (1 + a x)2
x2 (
1 + x + (1 + a x))
= x
1 2 a a2 xx2 (
1 + x + (1 + a x))
=1 2 a
x (
1 + x + (1 + a x)) a
2
(
1 + x + (1 + a x)).
Logo, a condio necessria para que o limite exista que a primeira parcela seja nula, isto ,
a =1
2; ento:
limx0
1 + x (1 + a x)
x2= lim
x01
4 (
1 + x + (1 + a x))= 1
8.
[2] Calcule: limx0
sen(x)
x
sen(x)x sen(x) .
Soluo : Primeiramente reescrevamos o expoente da expresso:
sen(x)
x sen(x) =sen(x)
x
1 sen(x)x
.
373
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374 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Fazendo t = 1 sen(x)x
, temos que 1 t = sen(x)x
. Por outro lado observamos que se x 0,ento t 0 e:
sen(x)
x sen(x) =1 t
t=
1
t 1.
Logo:
limx0
sen(x)
x
sen(x)x sen(x) = lim
t0(1 t)
1
t1
= limt0
(1 t)1
t (1 t)1 = e1.
[3] Calcule: limx
4
tg(x)
tg(2x).
Soluo : Primeiramente reescrevamos o expoente da expresso. Fazendo t = 1 tg2(x), temosque tg(x) =
1 t e
tg(2 x) =2 tg(x)
1 tg2
(x)
=2
1 t
t
.
Por outro lado observamos que se x 4
, ento t 0 e:
limx
4
tg(x)
tg(2x)= lim
t0
1 t2
1 tt = lim
t0
1 t2t 1t = e2.
[4] Determine as constantes k, b R tais que
limx+
k x + b x1000
+ 1x999 + 1
= 0.
Soluo : Primeiramente reescrevamos a expresso:
k x + b x
1000 + 1
x999 + 1
=
k x1000 + k x + b x999 + b x1000 1x999 + 1
=x1000 (k 1) + b x999 + k x + b 1
x999 + 1.
Sabemos que limx+P(x)
Q(x) = 0 se grau(Q) > grau(P). Logo, k 1 = 0 e b = 0, ou seja k = 1 eb = 0.
[5] Calcule:
limx+
x +
x +
xx.
Soluo : Primeiramente racionalizemos a expresso:
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376 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Soluo : Dividindo os polinmios:
xn + xn1 + xn2 + . . . . . . + x2 + x n = (x 1) Pn(x),
onde Pn(x) = xn1 + 2 xn2 + 3 xn3 + . . . + (n 2) x2 + (n 1) x + n. Logo:
limx1
xn + xn1 + xn2 + . . . . . . + x2 + x nx 1
= limx1
Pn(x) = Pn(1).
Por outro lado:
Pn(1) = 1 + 2 + 3 + . . . . . . + (n 2) + (n 1) + n = n (n + 1)2
.
[8] Calcule: limx0
cos(x) [[sen(x)]],
2 x
2.
Soluo : Considere f(x) = cos(x) [[sen(x)]]. Se 2 x < 0, ento 1 sen(x) < 0 e
[[sen(x)]] = 1, logo f(x) = cos(x) + 1. Se 0 x < 2
ento 0 sen(x) < 1 e [[sen(x)]] = 0,logo f(x) = cos(x). Se x =
2, ento [[sen
2
]] = 1 e f
2
= 1. Logo:
f(x) =
cos(x) + 1 se 2 x < 0
cos(x) se 0 x < 2
1 se x = 2
.
Ento:
limx0+
f(x) = limx0+
cos(x) = 1,
limx0
f(x) = limx0
cos(x) + 1 = 2.
Consequentemente, limx0
cos(x) [[sen(x)]] no existe.
1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 9.1: Grfico de f(x) = cos(x) [[sen(x)]].
[9] Calcule:
limx
6
sen
x +5
6
cotg3(x) 3 cotg(x) .
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9.2. CONTINUIDADE 377
Soluo : Primeiramente reescrevamos o numerador:
sen
x +5
6
= sen(x) cos
56
+ sen
56
cos(x) =
1
2
cos(x)
3 sen(x)
=
sen(x)
2
cotg(x)
3
,
pois sen(x)
= 0, ento:
sen
x +5
6
cotg3(x) 3 cotg(x) =
sen(x)
cotg(x)32 cotg(x)
cotg(x) 3 cotg(x) + 3 = sen(x)2 cotg(x) cotg(x) + 3 .
Logo:
limx
6
sen
x +5
6
cotg3(x) 3 cot(x) = limx
6
sen(x)
2 cotg(x)
cotg(x) +
3 = 1
24.
9.2 Continuidade
Analise a continuidade das seguintes funes:
[1] f(x) =
sen(x)
|x| se x = 03 se x = 0.
Soluo : Claramente, o problema determinar se f contnua em 0. Reescrevamos a funo:
f(x) =
sen(x)
xse x < 0
3 se x = 0sen(x)
x se x > 0.
Logo,
limx0
f(x) = limx0+
sen(x)
x= 1 e lim
x0+f(x) = lim
x0+sen(x)
x= 1.
Ento f no contnua em 0.
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
Figura 9.2: Grfico de f.
[2] f(x) =21/x 121/x + 1
.
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378 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Soluo : Reescrevamos a funo:
f(x) =21/x 121/x + 1
=
21/x + 1
221/x + 1
= 1 221/x + 1
.
Sabendo que limx0
1
x= e lim
x0+1
x= +, temos:
limx0
f(x) = limx0
1 2
21/x + 1
= 1 e lim
x0+f(x) = lim
x0+
1 221/x + 1
= 1.
Ento, f no contnua em 0.
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
Figura 9.3: Grfico de f(x) =21/x 121/x + 1
.
[3] f(x) = limt+
ln
1 + ext
ln
1 + et
Soluo : Se x < 0, ento, limt+
ext = 0 e limt+
(1 + et) = +. Logo,
limt+
ln
1 + ext
ln
1 + et = 0.
Se x > 0, ento:
ln
1 + ext
= ln
ext
1 +1
ext
= ln
ext
+ ln
1 +1
ext
= x t + ln
1 +1
ext
ln
1 + et
= ln
et
1 +1
et
= ln
et
+ ln
1 +1
et
= t + ln
1 +1
et
.
Logo:
limt+
ln
1 + ext
ln
1 + et = lim
t+
x +ln 1 + 1
ext
t
1 +ln
1 +1
et
t
= x.
Se x = 0, ento limt+
2
ln
1 + et = 0. Reescrevendo a funo:
f(x) =
0 se x 0x, se x > 0.
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9.2. CONTINUIDADE 379
Ento, f contnua em R.
-3 3
3
Figura 9.4: Grfico de f.
Determine as constantes tais que as seguintes funes sejam contnuas:
[1] f(x) =
m x + 3 se x < 3cos x
3
se 3 x 3n x + 3 se x > 3.
Soluo : Se x = 3, ento f(3) = cos() = 1. Por outro lado:lim
x3f(x) = lim
x3
m x + 3
= 3 m + 3 e lim
x3+f(x) = lim
x3cos x
3
= 1.
Como os limites laterais devem ser iguais, temos que 3 m + 3 = 1, isto , m = 43
. Se x = 3,
ento f(3) = cos() = 1. Por outro lado:
lim
x3
f(x) = limx3
cos x
3 =
1 e lim
x3+
f(x) = limx3 n x + 3 = 3 n + 3.
e Como os limites laterais devem ser iguais, temos que 3 n + 3 = 1, isto , n = 43
. Logo:
f(x) =
4 x
3+ 3 se x < 3
cos x
3
se 3 x 3
4 x3
+ 3 se x > 3.
-3 3
-1
1
Figura 9.5: Grfico de f.
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380 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
[2] f(x) =
sen(11 x 22)3 x 6 se x < 2
m se x = 2
x3 + 5 x2 32 x + 36x3 3 x2 + 4 se x > 2.
Soluo : Primeiramente fatoremos os polinmios:
x3 + 5 x2 32 x + 36x3 3 x2 + 4 = (x 2)
2 (x + 9)(x 2)2 (x + 1) .
Por outro lado:sen(11 x 22)
3 x 6 =sen
11 (x 2))
3 (x 2) , fazendo t = x 2, temos que x 2, ento
t 0, e:sen(11 x 22)
3 x 6 =sen
11 (x 2))
3 (x 2) =sen
11 t
3 t
=11
3
sen
11 t
11 t
.
Se x = 2, ento f(2) = m. Logo:
limx2
f(x) = limx2
sen
11 (x 2))3 (x 2) = limt0
11
3
sen
11 t
11 t
=
11
3
limx2+
f(x) = limx2+
x3 + 5 x2 32 x + 36x3 3 x2 + 4 = limx2+
x + 9x + 1
= 113
.
Ento, m =11
3e:
f(x) =
sen(11 x 22)3 x 6 se x < 2
11
3se x = 2
x3 + 5 x2 32 x + 36x3
3 x2
+ 4
se x > 2.
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
Figura 9.6: Grfico de f.
[3] f(x) =
esen(x) 1x
se x < 0
mcos( x) + n se 0 x 3
x3 + 11 x2 93 x + 153x3 4 x2 3 x + 18 se x > 3.
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9.2. CONTINUIDADE 381
Soluo : Primeiramente fatoremos os polinmios:
x3 + 11 x2 93 x + 153x3 4 x2 3 x + 18 =
(x 3)2 (x + 17)(x 3)2 (x + 2) .
Se x = 0, ento f(0) = m + n, e:
limx0
f(x) = limx0
esen(x) 1x
= limx0
esen(x) 1sen(x)
sen(x)x
= 1,limx0+
f(x) = limx0+
mcos( x) + n
= m + n,
logo, m + n = 1. Se x = 3, ento f(3) = m + n, e:limx3
f(x) = limx3
mcos( x) + n
= m + n,
limx3+
f(x) = limx3+
(x 3)2 (x + 17)(x 3)2 (x + 2) = limx3+
x + 17
x + 2= 4,
logo, m + n = 4. Ento, temos o sistema:
m + n = 1m + n = 4,que tem solues m = 3
2e n =
5
2.
f(x) =
esen(x) 1x
se x < 0
3 cos( x)2
+5
2se 0 x 3
x3 + 11 x2 93 x + 153x3
4 x2
3 x + 18
se x > 3.
-2 2 4 6
1
2
3
4
Figura 9.7: Grfico de f.
[4] f(x) =
x + (m2 4)m arctg(11 x) se x < 0
m 1 se x = 0
sen(n x)
ln(1 + 100 x)se x > 0.
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382 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Soluo : Se x = 0, ento f(0) = m 1. Logo, necessriamente devemos ter que:
limx0
f(x) =m2 4
m= f(0) = m 1,
isto , m = 4. Por outro lado:
limx0+
f(x) = limx0+
sen(n x)
n x n x
ln(1 + 100 x) = n limx0+ x
ln(1 + 100 x)= n lim
x0+
1
ln(1 + 100 x)
1
x
.
Como: limx0+
ln(1 + 100 x)
1
x = ln
limx0+
(1+100 x)
1
x
= ln(e100) = 100, temos, limx0+
f(x) =n
100;
por outro lado, limx0+
f(x) = f(0), temos que n = 300 e:
f(x) =
x + 12
4 arctg(11 x) se x < 03 se x = 0
sen(300 x)ln(1 + 100 x)
se x > 0.
-0.1 - 0.05 0.05 0.1
Figura 9.8: Grfico de f.
9.3 Derivada
[1] Considere a funo f(x) = a+bcos(2 x)+ccos(4 x), onde a, b, c R. Sabendo que f2
= 1,
f(0) = f(0) = f(0) = f(3)(0) = 0 e que f pode ser escrita na forma f(x) = senn(x), n N,determine a, b, c e n.
Soluo : Primeiramente note que f(0) = a + b + c, f(0) = b + 4 c e f
2
= a b + c; logo,obtemos o sistema:
a + b + c = 0
a b + c = 1b + 4 c = 0,
cuja soluo a =3
8, b = 1
2e c =
1
8; ento:
f(x) =3
8 cos(2 x)
2+
cos(4 x)
8.
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9.3. DERIVADA 383
Por outro lado, cos(4 x) = 2 cos2(2 x) 1 e cos(2 x) = 1 2 sen2(x), logo:
f(x) =3
8 cos(2 x)
2+
cos(4 x)
8
=1
4 cos(2 x)
2+
cos2(2 x)
4= sen4(x).
Ento a =3
8, b = 1
2, c =
1
8e n = 4.
[2] Determine a equao da reta tangente e a equao da reta normal curva y = arcsenx 1
2
no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x.
Soluo : Determinemos a interseo da curva com o eixo dos x. Se y = 0, temos:
arcsenx 1
2
= 0 x 1
2= 0 x = 1.
Logo, o nico ponto de interseo (1, 0). Por outro lado, os coeficientes angulares da reta
tangente e da reta normal curva so, respectivamente:
m1 = y =
13 + 2 x x2 m1(1) =
1
2
m2 = 1y
=
3 + 2 x x2 m2(1) = 2.
Logo, as equaes da reta tangente e da reta normal so, respectivamente:
y =1
2(x 1) x 2 y = 1
y = 2 (x 1) 2 x + y = 2.
1 1 2 3
2
1
1
2
Figura 9.9: Grficos do exemplo [2].
[3] Determine a equao da reta normal curva y = x ln(x), que paralela reta 2 x2 y+3 = 0.Soluo : Primeiramente, calculemos os coeficientes angulares que precisamos. O coeficienteangular da reta 2 x 2 y + 3 = 0 m1 = 1. O coeficiente angular da reta normal curva :
m2 = 1y
= 11 + ln(x)
.
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384 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Como as retas so paralelas, temos que m1 = m2, isto :
11 + ln(x)
= 1 ln(x) = 2 x0 = e2;
logo, temos que y0 = e2 ln(e2) = 2 e2. A equao da reta normal curva que passa pelo
ponto (e2,
2 e2) :
y + 2 e2 = x e2 y x = 3 e2.
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
Figura 9.10: A reta y x = 3 e2.
[4] Determine os parmetros a, b e c R tais que a parbola y = a x2 + b x + c tangencie a retay = x no ponto de abscissa 1 e passe pelo ponto (1, 0).
Soluo : Como o ponto (1, 0) deve pertencer parbola, substituindo na equao, temosque:
(1) a b + c = 0.Como a parbola deve tangenciar a reta y = x no ponto de abscissa 1, temos que se y = 1, entox = 1. Isto , o ponto (1, 1) comum reta e parbola; substituindo na equao, temos que:
(2) a + b + c = 1.
O coeficiente angular da reta m1 = 1 e o coeficiente angular da reta tangente parbola m2 = y
= 2 a x + b, logo m2(1) = 2 a + b. Como m1 = m2:
(3) 2 a + b = 1.
Logo, de (1), (2) e (3) temos o sitema:
a b + c = 0a + b + c = 1
2 a + b = 1,
cuja soluo : a = c =1
4e b =
1
2.
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9.3. DERIVADA 385
1
1
2
Figura 9.11: Exemplo [4].
[5] A forma de uma colina numa rea de preservao ambiental, pode ser descrita pela equaoy = x2 + 17 x 66, sendo 6 x 11. Um caador, munido de um rifle est localizado noponto (2, 0). A partir de que ponto da colina, a fauna estar 100% segura?
Soluo : Denotemos por P0 = (x0, y0) o ponto alm do qual a fauna no pode ser vista pelocaador, situado no ponto (2, 0). A fauna estar a salvo, alm do ponto P0 onde a reta que liga
(2, 0) colina seja tangente mesma.
2
Figura 9.12: Vista bidimensional do problema.
Observe que y = 2 x + 17 o coeficiente angular de qualquer reta tangente parbola; logo,no ponto P0, temos y
= 2 x0 + 17 e a equao da reta tangente :y y0 = (2 x0 + 17) (x x0).
Como a reta passa por (2, 0), temos:
(1) y0 = (2 x0 + 17) (2 x0).
O ponto P0 tambm pertence parbola; ento:
(2) y0 = x20 + 17 x0 66.Igualando (1) e (2):
x20 4 x0 32 = (x0 8) (x0 + 4) = 0 x0 = 8 e y0 = 6.Ento, P0 = (8, 6) e a fauna estar a salvo a partir de x > 8.
[6] A reta tangente curva y = x4 + 2 x2 + x no ponto (1, 2) tambm tangente curva emum outro ponto. Ache este ponto.
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386 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Soluo : O coeficiente angular da reta tangente curva y = 4 x3 + 4 x + 1, como (1, 2) um ponto comum reta e a curva, temos y(1) = 1. A equao da reta tangente que passapelo ponto (1, 2) : y = x + 1. Para determinar os pontos comuns curva e reta tangente,resolvemos o sistema:
y = x4 + 2 x2 + xy = x + 1,
obtendo x4
2 x2
+ 1 = (x2
1)2
= 0 e x = 1. O ponto procurado (1, 0).
-1 1
2
Figura 9.13: Exemplo [6]
[7] O ponto P = (6, 9) pertence parbola x2 = 4 y. Determine todos os pontos Q da parbolatais que a normal em Q passe por P
Soluo : Um ponto arbitrrio da parbola Q =
a,a2
4
e o coeficiente angular da reta normal
curva : m1 = 1y
= 2x
. A equao da reta normal curva no ponto Q :
y a2
4= 2
a(x a).
Mas a normal passa pelo ponto (6, 9), logo:
9 a2
4= 2
a(6 a) a3 28 a 48 = (a 6) (a + 2) (a + 4) = 0.
Os pontos procurados so Q1 = (4, 4), Q2 = (2, 1) e Q3 = (6, 9).
-4 -2 6
1
4
9
Figura 9.14: Exemplo[7].
[8] Nos pontos de interseo da reta x y + 1 = 0 com a curva y = x2 4 x + 5, traam-se asnormais curva. Calcule a rea do tringulo formado pelas normais e pela corda que subtendeos referidos pontos de interseo.
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
15/26
9.3. DERIVADA 387
Soluo : Determinemos os pontos de interseco da reta x y + 1 = 0 com a curva:y = x2 4 x + 5y = x + 1.
Obtemos x25 x +4 = (x1) (x4) = 0; ento x = 1 e x = 4; logo temos os pontos P1 = (1, 2)e P2 = (4, 5). Por outro lado, os coeficientes angulares das normais so dados por:
m = 1y
= 12 x 4 ;
m(1) =1
2e m(4) = 1
4. As equaes das normais em P1 e P2, so respectivamente:
2 y x = 3,4 y + x = 24.
Resolvamos o seguinte sistema para achar os pontos de interseco das retas normais:
2 y = x + 34 y = x + 24;
obtemos y =9
2e x = 6. Seja P3 =
6,
9
2
. A rea do tringulo de vrtices P1, P2 e P3 dada por
A =|D|
2, onde:
D =
1 1 11 4 62 5 9/2
= 152 A = 154 u.a.
1 4 6
2
4
6
Figura 9.15: Exemplo [8].
[9] Esboce o grfico da curva y2 = x2 (x + 3).
Soluo : Primeiramente observamos que se mudamos y pory, a equao da curva no muda;logo a curva simtrica em relao ao eixo dos x. Por outro lado, y = f(x) = xx + 3, logoDom(f) = [3, +). Se x = 3, ento y = 0 e se y = 0, ento x = 0 ou x = 3. A curvaintersecta os eixos coordenados nos pontos (0, 0) e (3, 0). Determinemos os pontos crticos,derivando y = f(x) e igualando a zero:
y =3 (x + 2)
2
x + 3= 0 x = 2.
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
16/26
388 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Note que y(3) no existe e f contnua em x = 3; como Dom(f) = [3, +), no pontox = 3 a reta tangente curva vertical. Determinemos os pontos extremos, estudando o sinalde y ao redor do ponto x = 2:
y > 0 x > 2y < 0 x < 2,
logo, x = 2 ponto de mnimo local e y = 2. Pela simetria em relao ao eixo dos x, seconsideramos y = xx + 3, o ponto (2, 2) de mximo. A curva no possui pontos deinflexo ou assntotas.
-3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Figura 9.16: Exemplo [9].
[10] Dada uma circunferncia de raio r, determine o comprimento de uma corda tal que a somadesse comprimento com a distncia da corda ao centro da circunferncia seja mxima?
Soluo :
yy
rx
Figura 9.17: Exemplo [9].
Com as notaes do desenho, x2 + y2 = r2; ento y =
r2 x2. O comprimento da corda C = 2 y; logo C = 2
r2 x2. Logo, a funo que devemos maximizar : f(x) = x+2r2 x2.
Derivando e igualando a zero:
f(x) = 1 2 xr2 x2 = 0 2 x =
r2 x2 5 x2 = r2 x = r
5.
Derivando novamente:
f(x) =2 r2
(r2 x2)3/2 f r
5
= 5
5
4 r< 0.
Logo,r5
ponto de mximo e:
f r
5
=
5 r.
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
17/26
9.3. DERIVADA 389
[11] Determine o cilindro circular reto de volume mximo que pode ser inscrito num conecircular reto.
Soluo :
B E C
D
A
x
y
Figura 9.18: Seo bidimensional do problema.
Com as notaes do desenho, sejam r e h o raio e a altura do cone, respectivamente; x e y o raio
a altura do cilindro. Por outro lado, o ABC semelhante ao DEC; temos:
AB
DE=
BC
EC h
y=
r
r x y =h
r(r x) (1).
O volume do cilindro V = x2 y; logo, de (1) temos que a funo a maximizar :
V(x) = h
r(r x2 x3).
Derivando e igualando a zero:
V(x) = h
r(2 r
3 x) x = 0
x = 0 ou x =
2 r
3.
como x = 0, o nico ponto crtico x = 2 r3
. Estudemos o sinal de 2 r 3 x:
2 r 3 x > 0 0 < x < 2 r3
2 r 3 x < 0 x > 2 r3
.
Ento x =2 r
3 ponto de mximo. Logo, o cilindro de volume mximo inscrito num cone tem
raio da base igual a 2/3 do raio da base do cone e altura igual a 1/3 da altura do cone.
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
18/26
390 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
[12] Determine o trapzio de permetro mximo que pode ser inscrito num semi-crculo de raior.
Soluo :
B
CD
A
n
2r
y
xh
Figura 9.19:
O tringulo ADB retngulo pois inscrito num semi-crculo; note que y = 2 r 2 n. Sabe-mos que num tringulo retngulo, cada cateto a mdia geomtrica entre a hipotenusa e suaprojeo sobre a hipotenusa; logo:
x2 = 2 r n n = x2
2 re y = 2 r 2 n = 2 r x
2
r.
Ento, o permetro P, :
P(x) = 2 x + 2 r x2
r+ 2 r P(x) = 4 r + 2 x x
2
r.
Derivando e igualando a zero:
P(x) = 2 xr
+ 2 = 0 x = r.
Derivando novamente:
P(x) = 2r
P(r) < 0.Logo, P = 5 r. O trapzio de permetro mximo que pode ser inscrito num semi-crculo de raior tem base maior igual a 2 r, base menor igual a r e lados no paralelos iguais a r.
9.4 Integrao
[1] Calcule I =
ln
tg(x)
sen(x) cos(x)dx.
Soluo : Fazendo : u = ln
tg(x) du = sec2(x)
tg(x)dx du = dx
sen(x) cos(x). Ento:
I =
u du =
u2
2+ c =
ln2
tg(x)
2+ c.
[2] Calcule I =
sen(x) cos(x)
1 + sen4(x)dx.
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
19/26
9.4. INTEGRAO 391
Soluo : Fazendo : t = sen(x) dt = cos(x) dx. Ento:
I =
t
1 + t4dt =
t
1 +
t22 dt = arctg(t2)2 + c = arctg
sen2(x)
2
+ c.
[3] Calcule I = x
1 + x
2
+
(1 + x2
)3
dx.
Soluo : Note que 1 + x2 +
(1 + x2)3 = 1 + x2 + (1 + x2)
1 + x2 = (1 + x2) (1 +
1 + x2),ento;
1 + x2 +
(1 + x2)3 =
1 + x2
1 +
1 + x2.
Agora, fazendo:
u = 1 +
1 + x2 du = x1 + x2
dx;
logo,
I = du
u= 2
u + c = 21 + 1 + x
2 + c.
[4] Calcule I =
xarctg(x) ln(x2 + 1) dx.
Soluo : Integramos por partes:
u = ln(x2 + 1) du = 2 x1 + x2
dx
dv = xarctg(x) dx v =
xarctg(x) dx.
Denotemos por I1 = xarctg(x) dx. Para achar v, novamente integramos por partes:u = arctg(x) du = dx
1 + x2
dv = x dx v = x2
2.
Logo:
I1 =x2 arctg(x)
2 1
2
x2
1 + x2dx =
x2 arctg(x)
2 1
2
1 1
1 + x2
dx
=x2 arctg(x)
2
1
2xarctg(x) =
(x2 + 1) arctg(x)
2
x
2.
Voltando a I: v du =x
x2 + 1
(x2 + 1) arctg(x) x = x arctg(x) x2
x2 + 1e:
v du = I1 + arctg(x) x,
Ento:
I = u v
v du =1
2
(1 + x2) arctg(x) x ln(x2 + 1) 1 arctg(x) + x + c.
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
20/26
392 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
[5] Calcule I =
0
xsen(x)
1 + cos2(x)dx.
Soluo : Fazendo x = t, dx = dt; se x = 0, ento t = e se x = , ento t = 0. Por ourolado:
xsen(x)
1 + cos2(x)=
( t) sen( t)1 + cos2( t) =
( t) sen(t)1 + cos2(t)
.
Logo:
I = 0
( t) sen(t)1 + cos2(t)
dt =
0
sen(t)
1 + cos2(t)dt I 2 I =
0
sen(x)
1 + cos2(x)dx.
Observe que a integral definida no depende da varivel de integrao. Fazendo u = cos(x),ento du = sen(x) dx e:
2 I = 11
du
1 + u2=
11
du
1 + u2=
arctg(1) arctg(1) = 2
2.
Logo I =2
4.
[6] Verifique que: 1
0(1 x2)n dx = 22n
n!2
2 n + 1)!, n N.
Soluo : Fazendo x = sen(t), dx = cos(t) dt; se x = 0, ento t = 0 e se x = 1, ento t =
2. Por
outro lado, (1 x2)n dx = 1 sen2(t)n cos(t) dt = cos2n+1(t) dt, ento:In =
10
(1 x2)n dx =/20
cos2n+1(t) dt;
integrando por partes:
In = cos2n(t) sen(t)
/2
0
+ 2 n /2
0
cos2n1(t) sen2(t) dt
= 2 n
/20
cos2n1(t) dt 2 n/20
cos2n(t) dt
= 2 n
/20
cos2n1(t) dt 2 n In,
isto In =2 n
2 n + 1In1, como I0 =
/20
cos(t) dt = 1, logo:
I1 =2
3I0 =
2
3=
1 21 3
I2 = 45I1 = 1 2 4
1 3 5I3 =
6
7I2 =
1 2 4 61 3 5 7
I4 =8
9I3 =
1 2 4 6 81 3 5 7 9
...
In =1 2 4 6 . . . (2 n 2) 2 n
1 3 5 7 . . . (2 n 1) (2 n + 1) (1).
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
21/26
9.4. INTEGRAO 393
Multipliquemos (1) por1 2 4 6 . . . (2 n 2) 2 n1 2 4 6 . . . (2 n 2) 2 n , ento:
In =
(1 2)(2 2)(2 3)(2 4) . . . 2 (n 1) 2 n21 2 3 4 5 . . . (2 n 2) 2 n (2 n + 1)
=22n 1 2 3 4 5 . . . (n 1) n
2
2 n + 1
!
=22n
n!2
2 n + 1)!.
[7] Determine a rea da regio limitada pelas curvas x2 = 2p y e x2 y = p2 (p y), onde p N.Soluo : Se mudamos x por x, as equaes no mudam, logo as curvas so simtricas emrelao ao eixo dos y. Determinemos as intersees das curvas com os eixos coordenados. Sex = 0, ento y = 0 e p2 (p y) = 0; se y = 0, ento x = 0; logo os pontos (0, 0) e (0, p) so ospontos de interseo das curvas com os eixos coordenados. Escrevendo y =
x2
2pe y =
p3
x2 + p2,
determinamos a interseo das curvas, resolvendo o sistema:
y =x2
2p
y =p3
x2 + p2,
donde, x4 + p2 x2 2p4 = 0; fazendo u = x2 temos u2 + p2 u 2p4 = 0 e x = p. Note quex = 0 o nico ponto crtico de ambas as curvas; para a parbola um ponto de mnimo e paraa outra curva um ponto de mximo.
Figura 9.20: Regio do exemplo [7].
Pela simetria da regio, calculamos a rea no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor 2:
A = 2
p0
p3
x2 + p2 x
2
2p
dx = p2
2 1
3
u.a.
[8] Determine a rea da regio limitada pela curva x6 x4 + y2 = 0 e pelos eixos coordenados.Soluo : Se mudamos x por x e y por y, a equao no muda, logo a curva simtricaem relao ao eixo dos x e dos y. Determinemos os pontos de interseo da curva com os eixoscoordenados. Se x = 0, ento y = 0 e se y = 0, ento x4 (x21) = 0; logo os pontos (0, 0), (1, 0)e (1, 0) so os pontos de interseo da curva com os eixos. Consideramos y = x2
1 x2; logo
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
22/26
394 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
x [1, 1]. No difcil ver que em x = 0 a curva possui um ponto de mnimo local e quex =
6
3so pontos de mximo local.
-1 1
0.4
-1 1
0.4
Figura 9.21: Regio do exemplo [8].
Pela simetria da regio, calculamos a rea no primeiro quadrante e multiplicamos o resultadopor 2.
A = 210 x
21 x
2
dx.
Fazendo x = sen(t), ento dx = cos(t) dt e x2
1 x2 dx = sen2(t) cos2(t) dt; ento:
A = 2
/20
sen2(t) cos2(t) dt =1
2
/20
2 sen(t) cos(t)
2dt
=1
2
/20
sen2(2 t) dt =1
4
/20
1 cos(4 t) dt
=
8u.a.
[9] Determine a rea da regio limitada pelas curvas 9 y x2 81 = 0, 4 y x2 16 = 0,y x
2
1 = 0 e o eixo dos y.Soluo : Determinemos as intersees das curvas:
(1)
9 y x2 = 814 y x2 = 16 (2)
9 y x2 = 81y x2 = 1 (3)
4 y x2 = 16y x2 = 1
De (1) obtemos y = 13, logo x = 6; de (2) obtemos y = 10, logo x = 3 e de (3) obtemos y = 5,logo x = 2.
1 2 3 4 5 6
4
5
9
10
1 2 3 4 5 6
4
5
9
10
Figura 9.22: Regio do exemplo [9].
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
23/26
9.4. INTEGRAO 395
Logo:
A = 2
54
y 4 dy +
105
y 1 dy 9
109
y 9 dy = 20 u.a.
[10] Determine o volume da calota esfrica de altura h se a esfera tem raio R.
h
R
Figura 9.23: Regio do exemplo [10].
Soluo : Fazendo uma rotao da esfera se for necessrio, consideramos y = R2 x2 e aseguinte regio:
R
R-h
Figura 9.24:
Logo:
V =
RRh
R2 x22 dx = R
Rh
R2 x2 dx = R2 x x3
3
RRh
=
h2 (3 R h)3
u.v.
Em particular, se h = R, ento V =2 R3
3 o volume da semi-esfera de raio R; se h = 2 R
ento V =4 R3
3 o volume da esfera de raio R.
[11] Calcule o volume do slido de revoluo gerado pela rotao da regio limitada pelascurvas y = e2x 1, y = ex + 1 e o eixo dos x, em torno do eixo dos x.Soluo : Determinemos os pontos de interseo das curvas:
y = e2x 1y = ex + 1
e2x ex 2 = 0 ex = 2 x = ln(2).
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
24/26
396 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2
1
2
3
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2
1
2
3
Figura 9.25: Regio do exemplo [11].
Logo:
V =
0ln(2)
ex + 1
2 e2x 12 dx = 0ln(2)
e4x + 3 e2x + 2 ex dx= 11 4 u.v.
[12] Calcule o comprimento de arco da curvas 5 y3 = x2 situado dentro do crculo x2 + y2 = 6.
Soluo : Determinemos os pontos de inteseo das curvas:5 y3 = x2
x2 + y2 = 6 5 y3 + y2 6 = (y 1)(5 y2 + 6 y + 6) = 0 y = 1.
-1-2 1 2
-1
-2
1
2
Figura 9.26: Regio do exemplo [12].
Pela simetria da curva, consideremos x = 5 y3/2, derivando x = 352
y1/2; ento:
L = 2
10
1 +
45 y
4dy.
Fazendo u = 1 +45 y
4, obtemos:
L =8
45
1+45/41
u du =
134
27u.c.
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
25/26
9.4. INTEGRAO 397
[13] Calcule a rea da regio determinada por y2 =x3
2 a x e sua assntota, a = 0.
Soluo : Se mudamos y por y, a equao no muda, logo a curva simtrica em relao aoeixo dos x. Note que a curva intersecta os eixos na origem.
Figura 9.27: Regio do exemplo [13].
A equao da assntota x = 2 a; ento consideramos y =
x3
2 a x e:
A = 2
2a0
x3
2 a x dx = 2 lim2a0
x3
2 a x dx.
Fazendo x = 2 asen2(t), temos que dx = 4 asen(t) cos(t) dt. Por outro lado:
x3
2 a x dx =x
x2 a x dx = 8 a
2 sen4(t) dt.
Temos, x = 0 t = 0 e x = sen2(t) = 2 a
; se 2 a t = 2
. Ento:
2
0
x3
2 a x dx =a2
2
sen(4 t) 8 sen(2 t) + 12 t
0
=a2
2sen(4 ) 8 sen(2 ) + 12 .
Logo: A = lim/2
a2
2
sen(4 ) 8 sen(2 ) + 12 = 3 a2 u.a.
[14] Calcule a rea da regio limitada pela curva y =1
x2 (x + 1), x 1 e o eixo dos x.
Soluo : Devemos calcular a rea da regio ilimitada:
7/27/2019 CALCULO 1 EXERCCIOS RESOLVIDOS UERJ
26/26
398 CAPTULO 9. EXEMPLOS DIVERSOS
Figura 9.28: Regio do exemplo [14].
Logo:
A =
+1
dx
x2 (x + 1)= lim
b+
b1
dx
x2 (x + 1)
= limb+
b1
1
x+
1
x2+
1
x + 1
dx = lim
b+ ln(b) 1
b+ 1 + ln(b + 1) ln(2)
= lim
b+
ln
b + 1b 1
b+ 1 ln(2) = lim
b+
ln
1 + 1b 1
b+ 1 ln(2)
=
1 ln(2) u.a.