CLCULO 1Mauro PatroUniversidade de BrasliaSUMRIOSumrio 10 Prefcio 31 Preliminares 71.1 Nmeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Funes reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Funes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Limite 272.1 Aproximao da origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Limite de sequncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Funo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Limite de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5 Continuidade de funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.6 Teorema do Valor Intermedirio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.7 Continuidade de funes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.8 Funes trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 Derivada 973.1 Reta tangente e velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2 Funo derivada e acelerao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.3 Derivada da funo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.4 Derivada de funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.5 Derivada de funes compostas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.6 Derivada de funes inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912 Sumrio4 Grcos 1534.1 Otimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.2 Crescimento e concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.3 Assntotas horizontais e verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.4 Mtodo de esboo de grcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045 Integral 2095.1 rea lquida e variao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.2 Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2185.3 Substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295.4 Substituio trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.5 Integrao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.6 Fraes parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2465.7 Volumes, comprimentos e reas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575.8 Pndulo sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746 Gabaritos de Fixao 279A Apndices 287A.1 Progresses geomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287A.2 Binmio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289A.3 Limite e monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291A.4 Derivada de funes compostas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294A.5 Propriedades da rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295A.6 Mtodo da exausto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Referncias Bibliogrcas 309ndice Remissivo 311CAPTULO0PREFCIOEste livro de Clculo foi concebido coma inteno de se desenvolver livros deMatemtica apoiados em dois eixos que o autor considera estratgicos.Um deles a adequao desses materiais realidade educacional brasi-leira, uma vez que grande parte das opes disponveis atualmente foi conce-bidaparalidarcomarealidadeeducacional depasesmuitodiversosdoBrasil. Nestesentido, estelivrosepreocupaemestabelecerumaconexoprxima entre o Clculo e alguns exemplos paradigmticos da Mecnica, en-sinados nos cursos de Fsica do ensino mdio brasileiro. A partir do exemplobsico do lanamentovertical de umobjetona Lua, onde inexiste o atritocoma atmosfera, apresentamos o conceito cinemtico de velocidade e seu corre-lato matemtico, a derivada da funo quadrtica.Posteriormente trazemoseste mesmo experimento para a Terra,onde introduzimos os efeitos da re-sistncia do ar,o que nos permite motivar o estudo da derivada da funoexponencial. Por sua vez,o problema da descrio do movimento de umamassa presa a uma mola motiva o estudo das derivadas das funes trigo-nomtricas. Esses exemplos paradigmticos, presentes na origem mesma daformulao do Clculo, acompanham cada novo tpico que vai sendo intro-duzido e desenvolvido ao longo do texto. Isto fornece a possibilidade dos lei-tores experimentaremalgumas das mesmas intuies vividas pelos primeirosformuladores do Clculo.34 Captulo 0. PrefcioAlis este o segundo dos eixos considerado estruturantes: oferecer abor-dagens mltiplas de um mesmo tpico, ora geomtricas, ora algbricas, oradinmicas. Isto d oportunidade ao estudante de se apoiar, em alguns mo-mentos, nas intuies em que ele se sente mais confortvel, mas tambm oajuda a explorar suas habilidades ainda pouco desenvolvidas. A abordagemdinmica est presente na denio do conceito de limite,feito atravs desequncias e cujo emprego j se fazia presente no mtodo grego da obten-o de reas por exausto, como tambm no estudo da cinemtica realizadopela mecnica moderna. Por sua vez, a abordagemalgbrica empregada nafamosa frmula do binmio de Newton, que utilizada na denio da fun-o exponencial. J a abordagem geomtrica aparece logo na denio dosnmeros e das funes reais, bem como na denio da medida de nguloatravs de reas e dos conceitos de derivada e de integral.ESTRUTURA DO LIVROOcontedodolivrodivididoemcincocaptulosecomplementadoporapndices. No nal de cada captulo, existe uma lista de exerccios divididaentre exerccios de demonstrao, destinados a exercitar a capacidade dedu-tiva dos estudantes, e exerccios de aplicao, destinados a apresentar maisexemplos signicativos da teoria desenvolvida no captulo. No nal da maio-ria das sees, existe uma lista de exerccios de xao, cujo gabarito se en-contra no Captulo 6.No Captulo 1,apresentamos as preliminares indispensveis a qualquerlivro de Clculo. Os nmeros reais e suas operaes,bem como a funesreais e suas inversas, so apresentados de um ponto de vista geomtrico queenfatiza a importncia do plano Cartesiano nas principais denies da ma-temtica moderna.No Captulo 2,introduzimos o conceito de limite de funes atravs doconceitode limite desequncias. Essa abordagem amais adequada aosmodernos mtodos numricos de aproximaes sucessivas, implementadosatualmente em qualquer calculadora ou computador. Alm disso, essa abor-dagem de limite ajuda a explorar as intuies dinmicas por trs do conceitode limite, j presentes nos gregos desde os tempos de Zeno. Tambmpermiteoferecer demonstraes mais simples de resultados sosticados como o Teo-rema do Valor Intermedirio, que provado atravs do Mtodo da Bisseco.Com essa abordagem, denimos a funo exponencial de modo bastante ri-5goroso e demonstramos suas propriedades fundamentais j no incio do livro.As funes trigonomtricas tambmso apresentadas de modo bastante rigo-roso e se estabelece ao longo do livro um paralelo entre suas propriedades eas da funo exponencial.No Captulo 3, o conceito de derivada introduzido a partir do problemageomtrico de denir a reta tangente e aplicamos este conceito no estudo dasantenas parablicas. A derivada tambm apresentada em conexo com oconceito de velocidade. Os conceitos de funo derivada e de funo derivadasegunda so introduzidos de modo a se compreender os conceitos de funovelocidade e de funo acelerao. A derivada da funo exponencial moti-vada pelo estudo da velocidade de umtrem-bala sendo freado pela resistnciado ar. J a derivada das funes trigonomtricas introduzida atravs da an-lise do movimentono sistema massa-mola. Oestudodo movimentodo pistoe do virabrequimde ummotor exploso motiva a obteno da denominadaregra da cadeia.NoCapitulo4, introduzidaaanlisedoformatodogrcodefun-es reais. Iniciamos esse estudo com o problema de se determinar a alturamxima de uma bola arremessada verticalmente. Atravs da teoria de otimi-zao demonstramos o Teorema do Valor Mdio e o utilizamos para obter afamosa Regra de LHospital.Esta ltima utilizada para se determinar o queocorre no arremesso vertical com atrito medida que o ar vai cando cadavez mais rarefeito. Posteriormente obtemos a relao entre o crescimento eo sinal da derivada primeira e a relao entre a concavidade e o sinal da de-rivada segunda de uma funo.Analisamos as denominadas retas assntotasde uma funo atravs dos conceitos de limite no innito e de limite innito,que so introduzidos atravs do conceito de limite innito de sequncias. Nonal deste captulo, apresentamos um mtodo passo a passo para se obter oesboo do grco de funes derivveis por partes.No Captulo 5, introduzimos o conceito de integral a partir do conceito derea lquida. No caso do arremesso vertical sem atrito, fazemos conexo daintegral com o conceito de variao do espao e variao da velocidade. Essaconexo para movimentos gerais estabelecida atravs do famoso TeoremaFundamental do Clculo. A partir desse teorema e de suas consequncias in-troduzimos o conceito de integral indenida e as denominadas tcnicas dede integrao. Atravs do mtodo de substituio, obtemos a lei da conserva-o da energia no sistema massa-mola. A partir da conservao da energia,utilizamos o mtodo de substituio trigonomtrica para determinarmos omovimento do sistema massa-mola. Depois de apresentarmos o mtodo de6 Captulo 0. Prefciointegrao por partes, utilizamos o mtodo das fraes parciais para deter-minamos o movimento da suspenso de um veculo, o denominado sistemamassa-mola-amortecimento. Fechamos este captulo determinando o movi-mento do pndulo sem atrito e como utilizar a integral para obter frmulaspara volumes de slidos de revoluo, comprimentos de grcos e reas desuperfcies de revoluo.Nos apndices, apresentamos complementos de contedos utilizados naparte principal do livro. Demonstramos a frmula da soma dos termos deuma progresso geomtrica innita, a frmula do binmio de Newton, a exis-tncia de limite de sequncia montonas limitadas, as propriedades da reae calculamos a rea do crculo unitrio atravs do Mtodo de Exausto.CAPTULO1PRELIMINARES1.1 NMEROS REAISNesta primeira seo,indicamos como construir os nmeros e suas opera-es a partir de conceitos e propriedades puramente geomtricas. Para istofazemos uso dos resultados da geometria plana euclideana. Iniciamos coma reta R determinada pelos dois pontos distintos 0 e 1, garantidos pelos pos-tulados de existncia e determinao, como mostra a Figura 1.1. O ponto 0 denominado zero ou origem e o ponto 1 denominado um ou unidade. Ospontos sobre a reta R so denominados nmeros reais.Figura 1.1: Reta real denida pelos pontos 0 e 1.Existe uma ordem entre pares de nmeros reais, denotada por < e deno-minada esquerda de oumenor que. Sea, b R, temos intuitivamente quea < bseaest esquerda deb,como ilustrado pela Figura 1.1. Podemosdenir a partir da ordem< as seguintes ordens:78 Captulo 1. Preliminares(1) a >b se e s se b 0.(P2) Fechamento multiplicativo: se a, b >0, ento ab >0.Por satisfazer as Propriedades A1-A4, M1-M4, D e P1-P2, a estrutura conjuntaaditiva emultiplicativa dosreaisdenominada umcorpoordenado. Numcorpo ordenado, valemtambmas seguintes propriedades comrelao s de-sigualdades.Proposio 1.1: Sejam a, b, c, d R. Temos ento que(1) a