Clculo I (2015/1) IM UFRJ

Lista 1: Pr-Clculo

Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral

Verso 17.03.2015

Para o Aluno

O sucesso (ou insucesso) no Clculo depende do conhecimento de tpicos do ensino mdio que chama-

remos de pr-clculo. Quanto antes foram revistos e dominados melhor. Recomendamos que o aluno,

alm de fazer esta lista, estude e revise estes tpicos utilizando livros do ensino mdio ou Clculo e a

Internet.

Recomendamos o uso de softwares: (a) para visualizao de grcos (uma sugesto fooplot, que

um site que plota grcos sem precisar instalar programa). (b) CAS (computer algebra system) que

faz manipulaes algbricas (sugerimos maxima, que tem verso para Linux e Windows).

Tpicos do Pr-Clculo

1. Aritmtica e lgebra.

(a) Propriedades de potncias de mesma base e de razes. Potncias fracionrias e negativas.

(b) Racionalizar expresses algbricas envolvendo razes.

(c) Diviso de polinmios.

(d) Teorema de D'Alambert: Se a raiz de um polinmio, ento ele divisvel por x a.

(e) Signicado de somatrios, como por exemplo

3i=1

(i25i) = (1251)+(2252)+(3253).

(f) Produtos notveis: (a b)2 = a2 2ab+ b2 e (a+ b)(a b) = a2 b2.2. Funes.

(a) Domnio e imagem de funo.

(b) Funes denidas por palavras, por grcos, por tabelas e por frmulas explcitas. Funo

denida por partes.

(c) Composio de funes.

(d) Funo injetiva, sobrejetiva, crescente/decrescente.

(e) Grcos de funes. Translao de grco de funes (horizontal e vertical).

(f) Quando uma curva no plano o grco de uma funo? Teste da reta vertical. Dado o

grco de uma funo, quando (e onde) ela possui inversa? Teste da reta horizontal.

(g) Funo par/impar: denio e simetrias no grco.

(h) Funo inversa e seu grco, obtido por reexo em torno da reta y = x. Exemplos impor-

tantes: arcsen, arctan, log x ex (no verdade que arsen x igual a

1

senx!).

(i) Sinal de funes racionais, funo da forma f(x) =p(x)

q(x), onde p e q so polinmios. Tcnica:

Quadro de sinais.

(j) Mximo e mnimo de funo do segundo grau em intervalos fechados (pode estar nos extre-

mos).

(k) Funes logaritmo e exponencial. Propriedades bsicas (soma/produto). Uma inversa da

outra. Observao: loge = ln. Em clculo log = ln, embora para alguns autores log = log10.Ao longo do Clculo ser explicado porque utilizamos e como base do logaritmo.

1

(l) Funes Trigonomtricas. ngulo medido em radianos (em Clculo esta a unidade con-

veniente). Comprimento do arco de crculo. Determinar quadrante de ngulo no crculo

trigonomtrico. Saber determinar sinal e/ou valor de seno, cosseno e tangente de ngulo

qualquer. Saber localizar no crculo trigonomtrico seno, cosseno, tangente. Proprieda-

des bsicas: sen(x) = senx, cos(x) = cosx. sen(a b) = . . ., cos(a b) = . . . etc.sen2(x) + cos2(x) = 1.

3. Geometria Analtica no Plano Bsica.

(a) Equao da reta no plano: signicado geomtrico do coeciente angular (incluindo como

determinar que 2 retas so perpendiculares entre si pelo coeciente angular), saber calcular

equao da reta que passa em dois pontos no plano, e que passa em um ponto com certo

coeciente angular

(b) Saber calcular interseo entre: duas retas (= resolver sistema linear); reta e equao do 2ograu; duas equaes do 2o grau.

(c) Distncia entre dois pontos no plano e Pitgoras. Funo mdulo e distncia.

x2 = |x|(no x).

Exerccios

Aritmtica e lgebra.

1. Determine k e m se 27 322 = 3k e 25 52m+1

53= 52.

2. Escreva 274413915 na forma 2x3y.

3. Determine p, q inteiros tais que811/4

91/2 3

3

30=p

q.

4. Escreva expresso equivalente a

3x+ 1

1 +xsem raiz no denominador (racionalize).

5. Determine o quociente e o resto da diviso de x4 3x2 + x+ 1 por x2 1.6. (Verique o Teorema de D'Alambert.) Verique que 2 raiz de x3 + 4x2 11x 30.Aplique o teorema de D'Alambert para dividir o polinmio e obter TODAS raizes.

7. Determine o valor de

5i=2

(2i+ 1).

8. Calcule (a+ b)2 (a b)2. Funes.1. Determine imagem da funo g(x) = (3 x)2 5.2. Determine o domnio da funo g(x) =

log(1 x)1x+ 2 .3. Dado x R, dena f(x) como o maior inteiro menor que x. Determine: f(pi) e f(pi).Esta funo injetiva? sobrejetiva? Qual sua imagem?

4. Esboce o grco de f(x) =

{x2, se x < 1,

4 3x, se x 1.5. Se f(x) = 3x 1 e g(x) = 5x2 4, determine: g(f(x)) e f(g(x)).6. Determine o maior intervalo contendo 10 onde f(x) = (x+1)2+1 injetiva. Esta funo sobrejetiva?

7. Determine, caso seja possvel, TODOS intervalos onde crescente: (a) f(x) = 9 x2.(b) f(x) = 6 2x. (c) f(x) = log(x) 4. (d) f(x) = 3x 7. (e) f(x) = sen(x) 4.(f) f(x) = ex.

2

8. Baseado no grco de f(x) = x2, esboce o grco de g(x) = (x+ 2)2 3.9. Esboce os grcos de f(x) =

1

xe f(x) =

1

x2. Elas so funes par ou impar?

10. Esboce o grco de f(x) =x e, fazendo translaes, de g(x) = 3 +

x+ 4.

11. Determine intervalos onde a curva abaixo pode representar o grco de uma funo.

2x

y

12. Considere o grco de g da gura abaixo.(a) Determine intervalos onde g injetiva.(b) Nestes intervalos pode-se dena uma funo inversa g1. Determine o domnio de g1

associado a estes intervalos.

2

g(x)

1 2 x

y

13. Esboce o grco de f(x) = x3 e f(x) = x4 (so semelhantes ao de x e x2 respectivamente).Baseado nestes grcos, esboce o grco das inversas

3x, 4x (reexo em torno da reta

y = x).

14. Baseado no grco de f(x) = ex, esboce o grco da sua inversa log x (reexo em tornoda reta y = x).

15. Determine intervalos onde positiva e onde negativa cada funo abaixo.

(a) f(x) =x2 + 5x+ 6

1 x2 . (b) g(x) =x(x+ 2)

1 x2 .16. Determine o mximo e mnimo de f(x) = (x 1)2+2 nos intervalos: (a) [0, 3]. (b) [2, 3].17. Determine a R se log10(1003a 10) = 9.18. Determine o valor de: (a) e0. (b) log 0. (c) ln 1. (d) ln e. (e) eln 3. (f) ln(e5).

19. Determine o valor de: (a) sen(3pi/2). (b) cos(3pi). (c) tan(3pi/4). (d) cos(5pi/4).

20. Expresse log5 30 utilizando ln.

21. Determine em qual quadrante do crculo trigonomtrico ca o ngulo (em radianos):

(a) 32pi/3. (b) 13pi/4. (c) 21pi/5.22. Determine o sinal de seno e cosseno de = pi 1 e = 1 + 3pi/2.23. Sabendo que sen = 2/3, determine valores possveis para cos.24. Sabendo que tan = 5 e que cos > 0, determine sen .25. Determine em termos de sen a e cos a (utilizando frmulas de sen(a+b) e cos(a+b)): cos(3a)e sen(4a).

Geometria Analtica no Plano Bsica.1. Ordene as retas de acordo com seu coeciente angular:

3y 2x+ 4 = 0, 3x+ 2y = 4, 5x+ 3y = 0.2. Determine a equao da reta que passa em (1, 2):(a) e em (2, 3). (b) com coeciente angular 2. (c) perpendicular reta 3y + 2x = 1.3. Determine a interseo (todos os pontos) entre o grco de y = x2 + x 2 e o grco de:(a) 2y x+ 1 = 0. (b) y + x2 x = 0.4. Determine a distncia entre os pontos do plano (2, 1) e (4,1).5. Determine todo a, x R tal que: (a) |a+ 2| = 4. (b) |x 2| < |x+ 1|.6. Verique se

x4 + x2 = x

x2 + 1 para todo x R.

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Respostas dos Exerccios

Aritmtica e lgebra.1. k = 25, m = 4.2. x = 13/2, y = 21/2.

3. p = 1, q = 3.

4.

3x+ 2x+ 11 x , obtida multiplicando numerador e denominador por 1

x.

Com maxima: expand((3*sqrt(x)+1)*(1-sqrt(x)));

5. Quociente: x2 2, resto: x 1. Com maxima: divide(x^4 - 3*x^2 +x + 1, x^2-1);6. Raizes: 2,5, 3. Como 2 raiz, divida polinmio por (x (2)) = x + 2. Obtenha polinmiodo 2o grau e determine suas raizes.

7. 32. Com maxima: sum(2*i+1, i, 2, 5);

8. 4ab.

Funes.1. (5,) pois g(x) 5 para todo x (note que (3 x)2 sempre no-negativo).2. Resposta: os intervalos [2, 1) e (1, 1). Como existe logaritmo somente de nmeros positivos,

1x deve ser positivo, ou seja, 1x > 0, logo 1 > x. Por outro lado, x+2 0, logo x 2. Almdisso o denominador no pode se anular: 1x+ 2 6= 0, o que implica x 6= 1. Assim 1 > x > 1ou 1 > x 2.3. f(pi) = 3 e f(pi) = 4. No injetiva pois f(pi) = f(3, 5). No sobrejetiva pois a imagem somente os inteiros: Imagem de f : Z.4.

11 x

y

5. g(f(x)) = 45x2 30x+ 1 e f(g(x)) = 15x2 13.Com maxima: f(x) := 3*x-1; g(x) := 5*x^2-4;expand(f(g(x)));

6. (, 1), pois a funo decrescente (e portanto injetiva) para x < 1. Basta ver que seu vrtice em x = 1. No sobrejetiva pois sua imagem somente o intervalo (1, ).7. (a) (, 0). (b) Sempre decrescente. (c) (0, ). (d) (, ) = R. (e) Em (pi/2, pi/2) crescente. De forma geral em (2kpi pi/2, 2kpi + pi/2) para todo k Z. (f) Sempre decrescente.8. Basta transladar em 3 unidades verticalmente para baixo e 2 unidades para esquerda. Veja

grcos utilizando algum software (como o fooplot). Experimente modicar o 2 e 3 para ver efeito

no programa.

9. Faa um tabela de valores e verique o que ocorre quando x ca prximo de 0 (por exemplo1/100, 1/103, 1/105 e 1/100, 1/103, 1/105,1/1000) e tambm muito grande em mdulo prximo de (por exemplo 102, 103, 105 e 102, 103, 105). Depois (somente aps tentarpela tabela) veja os grcos utilizando algum software (como o fooplot). A funo 1/x impar e1/x2 par. Veja que so similares 1/x3, 1/x4, . . ..

10. Partindo do grco de x2, reita o grco na reta y = x para obter grco dex. Depois faatranslaes para obter o grco de g(x) = 3 +

x+ 4. Veja os grcos de y = x2, y =

x e y = xutilizando algum software (como o fooplot) para ver a reexo.

11. (, 2) ou (0, 2) ou (0, ) dependendo de qual parte do grco ser utilizada.12. (a) (, 1), (1, 2) e (2, ). (b) Pelo grco pode-se ver que a imagem destes intervalos so,respectivamente, os intervalos: (, 2), (0, 2) e (0, ). Logo domnios possveis para g1 (noser a mesma funo!): (, 2), (0, 2) e (0, ). Comprove a existncia de mais de uma inversaobservando que existem trs possibilidades para g1(1): aproximadamente 2, 1 e 3 pelo grco.13. Faa um tabela de valores positivos e negativos. Depois (somente aps tentar pela tabela) veja os

grcos com algum software (como o fooplot). Obtenha inversas por reexo. Veja os grcos de

y = x3, y = x1/3 = 3x e y = x utilizando algum software (como o fooplot) para ver a reexo.

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14. Verique com algum software (como o fooplot) plotando y = exp(x) = ex, y = log(x) e y = x.

15. (a) Positiva nos intervalos (3, 2) e (1, 1). Negativa em x < 3 ou 2 < x < 1 ou x > 1.(b) Positiva nos intervalos (2, 1) e (0, 1). Negativa em x < 2 ou 1 < x < 0 ou x > 1. Commaxima: load("solve_rat_ineq"); solve_rat_ineq((x*(x+2))/(1-x^2) 0), log x seaproxima de . Veja grco de log prximo do 0. (c) ln 1 = 0. (d) ln e = 1.(e) eln 3 = 3. (f) ln(e5) = 5.

19. (a) sen(3pi/2) = 1. (b) cos(3pi) = 1. (c) tan(3pi/4) = 1. (d) cos(5pi/4) = 2/2.20. Por propriedade do logaritmo, log5 30 =

ln 30

ln 5.

21. (a) 2o quadrante pois 32pi/3 = 2pi/3 + 5 2pi e 2pi/3 est no 2o quadrante. (b) 3o quadrante pois13pi/4 = pi + pi/4 + 2pi. (c) 4o quadrante 21pi/5 = 2 2pi pi/5.22. Como est no 2o quadrante e no 4o, sen > 0, cos < 0, sen < 0, cos > 0.

23. cos = 5/3 ou cos = 5/3. No maxima: solve(x^2 + (-2/3)^2=1);.24. sen = 5/26. Dica: utilizar 1 + tan2 x = sec2 x = 1/ cos2 x.25. cos(3a) = cos3 a 3 cos a sin2 a e sen(4a) = 4 cos a sin3 a 4 cos3 a sin a.No maxima: trigexpand(cos(3*a)).

Geometria Analtica Bsica.1. Maior coeciente para menor: 3y 2x+ 4 = 0 (2/3), 3x+ 2y = 4 (3/2) e 5x+ 3y = 0 (5/3).2. (a) y = 7/3 x/3. (b) y = 2x. (c) y = (3x+ 1)/2.3. (a) x = 1, y = 0 e x = 3/2, y = 5/4. (b) x = 1, y = 2 e x = 1, y = 0. No maxima:algsys([y=x^2 + x-2, x^2 + y -x=0], [x,y]);.

4. 210.

5. (a) R: a = 6 ou a = 2. Dica: distncia de a at 2 deve ser 4.(b) R: x > 1/2.

Dica 1: Separe em casos: se x 2 > 0 . . . e se x 2 < 0. Em cada um destes casos existem 2subcasos: x+ 1 > 0 ou x+ 1 < 0. Alguns destes casos no tem soluo alguma.

Dica 2: Em termos de distncia, x deve estar mais perto de 2 do que de 1. Faa uma gura.6. Errado. O correto

x4 + x2 = |x|x2 + 1 pois

x2 = |x|. Para x > 0 correto, mas para x < 0no (verique!).

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