Cap. 4 – Equações básicas na forma integral para volumes de controle

4.1 – Equações para sistema

4.2 – Relação entre as equações para sistema e a formulação para VC

4.3 – Conservação da massa para volume de controle

4.4 – Conservação da Quantidade de movimento para VC inercial

4.5 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea

4.6 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração arbitrária

4.7 – Quantidade de movimento angular

4.8 – Conservação da Energia

4.1 – Equações para sistema

0dt

dm

Sistema

4.1.1 – Conservação da massa:

(sem reações químicas)

Sistemadt

PdF

4.1.2 – Conservação da quantidade de movimento

(Segunda lei de Newton):

Sistema

dmVP

(Força resultante)

(Quantidade de movimento)

(Torque resultante)

Sistemadt

HdT

4.1.3 – Conservação da quantidade de movimento angular

(Segunda lei de Newton-sistemas em rotação):

Sistema

dmVXrH(Quantidade de

movimento angular)

4.1.4 – Conservação da energia(Primeira lei da termodinâmica):

Sistemadt

dEQW

(Energia

total)

Sistema

2

SistemadV)gz

2

Vu(dmeE

4.2 – Relação entre as equações para sistema e a formulação para volume de controle

SistemaSistema

dVdmN

Propriedade Extensiva - N Propriedade Intensiva -

mN Massa 1

VmPN

Quantidade de movimento

V

)Vxr(mHN

Quantidade de movimento angular

Vxr

EN Energia gz2

Vue

2

Ad.Vt

dV

dt

dNSC

VC

Sistema

Teorema de Transporte de Reynolds

fluxo da propriedade N através da superfície

de controle

taxa de variação da propriedade N no

volume de controle

taxa de variação da propriedade N para

sistemas

4.3 – Conservação da massa para volume de controle

SC

VC

.Sist

Ad.Vt

dV0

dt

dm

fluxo de massa através da superfície

de controle

taxa de variação da massa no volume de

controle

taxa de variação da massa para sistemas é zero

Escoamento uniforme( uma entrada / uma saída ): eeesssSC

AVAVAd.V

AdV Velocidade paralela ao vetor área

(sempre para o exterior do V.C.):

0Ad.V

0Ad.V

saídas

entradas

SC

VC Ad.Vt

dV0

Equação da Conservação da massa

Exemplo 4.1: Calcule a velocidade média na seção 4 do misturador da figura:

1 3

4

A1 = 25 cm2

V1 = 2 m/s

A4 = 25 cm2V4 = ?

2143 mmmm0

5x50x2x25xxV25x10x50x0 4

2

A2 = 50 cm2

V2 = 5 m/s

A3 = 50 cm2

V3 = 10 m/s

SC

VC Ad.Vt

dV0

entsai mm00

em regime permanente e escoamento uniforme:

22114433 VAVAVAVA0

25050xV255000 4

4xV25200300500

]s/m[8V4

Valor negativo implica que a direção é contrária a dir. suposta inicialmente.

Exemplo 4.2: Calcule a vazão em volume e a velocidade média na seção da tubulação da figura, sendo que o perfil de velocidades é parabólico, umáx = 1 m/s e R = 1 m.

V

2

máxz R

r1u)r(V perfil de velocidades

parabólico

z)r(VV z

escoamento uni-dimensional

A

Ad.VQ

vazão em volume

A z zrdr2.z)r(VQ

R

0

2

máx rdr2R

r1uQ

R

0 2

3

máx drR

rru.2Q

2

R.u

R.4

R

2

R.u.2Q

2máx

2

42

máx

A

QVAVAd.VQ

A

2

u

R

1.

2

R.u

A

QV máx

2

2máx

]s/m[5,0V]s/m[57,1Q 3

]s/lb[30me

]s/lb[L9ms

L [ft]

A=3 [ft2]

= 62,4 [lb/ft3]Exemplo 4.3: Esboçar graficamente a variação da altura de líquido com o tempo no tanque da figura. 1 [lb] = 0,453

[kg]1[ft] = 0,3048 [m]

]s/kg[6,13me A=0,279 [m2] = 998 [kg/m3]

]s/lb[3048,0/L9m ms

]s/kg[453,03048,0/L9m ms

]s/kg[L37,13m ms

entsaiVC mm

dt

dm0

mVC ALVm

dt

dLA

dt

dm mVC esm mm

dt

dLA0

21 CyCdtdy

tC

1

2 1e1CC

y 049,0L048,0dt

dLm

m

t048,0m e102,1L L[m]

t[s]

Am

C e2

ALm

C s1

6,13L37,13dt

dL279,0x9980 m

m

Exemplo: Considerando o conceito de camada-limite, modelo de escoamento próximo a uma placa plana onde o perfil da velocidade na direção x é dado pela equação u=f(y,), determine a vazão em massa através da superfície bc do volume de controle mostrado na figura, sendo que a largura da placa, W, é 0,6 [m].

a

b c

d

5 [mm]

U U

2yy

2U

u

perfil da velocidade na camada

SC

Ad.V0

Eq. da conservação da massa(regime permanente)

cdbcab

Ad.VAd.VAd.V0

Conservação da massa aplicada ao VC abcd

a

b c

d

5 [mm]

U U

cdbcab

Ad.VAd.VAd.V0

2yy

2U

u

cd

Ad.Vm)W(U0

cd

Ad.V)W(Um

cd

)Wdy(u)W(Um

0

2

)Wdy(yy

2U)W(Um

cd

2

dyyy

2WUm

0

3

2

2

3

y1

2

y2WUm

3

WUm3

WUm

s

kg037,03

005,0x6,0x30x24,1m

F

1V 2V

4.4 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle inercial

SC

VCSC

.Sist

Ad.VVt

dVVFFF

dt

)Vm(d

Exemplo típico: Curva de 90o

1VMudança de quantidade de

movimento do escoamento depara através da aplicação da

força externa 2V

F

SC

VCSC Ad.VV

t

dVVFFF

fluxo da quantidade de movimento através da superfície de controle

taxa de variação da quantidade de movimento no

volume de controle

taxa de variação da quantidade de movimento para sistemas é igual a força externa aplicada (soma das forças de campo e de superfície)

Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle

inercial

Exemplo 4.4: Calcular a força de reação que atua sobre o anteparo devido ao jato de d´água com vazão em massa de 1 kg/s e velocidade de 1 m/s.

SC

VC Ad.VVt

dVVF

Em regime permanente o termo da taxa de variação da

quantidade de mov. no VC é zero

0

SCSC Ad.VVFFF

Equação da Quant. de Mov.

Desprezando a força peso: 0FC

SCXS Ad.VVz.RF

Injetor

Base do anteparo

V1

r

z

V2

AXR

XR

SCX Ad.VVz.R

21

Ad.VVAd.VV

rVVzVV 2211

2 222

1 111

rdA.rVrVAd.VV

)z(dA.zVzVAd.VV

0dArVAd.VV

zAVdAzVAd.VV

2

222

12

11

211

zVmzR 1X

1X VmR

)z(VmR 1X

Sobre o fluido )z(VmR 1AX

Sobre o anteparo

Injetor

V1

r

z

V2

AXR

XR

]N[1R AX

Exemplo 4.5: Calcular a força que atua sobre a estrutura curva, que descarrega água na atmosfera, para mantê-la fixa, considerando os seguintes dados:

F

1V

2Vp1 = 221 kPa (absoluta)

pATM = 101 kPaV2 = 16 m/s A1= 0,01 m2

A2 = 0,0025 m2

SCSC Ad.VVFFF

Equação da Quant. de Mov. em regime permanente

SCpresS Ad.VVRFF

Desprezando as forças de campo gravitacional

R

1V

2V

V.C.

21xxp Ad.VuAd.VuRF

Decompondo a equação vetorial nas direções x e y:

21yyp Ad.VvAd.VvRFy

x

LATM1LATM1abs1xp A.p)AA.(pA.pF

Determinação das forças de pressão nas direções x e y:

V.C.

A1

AS

AL

pATM

pATM

pATM

y

x

1rel1xp A.pF 0F yp

SATMSATMyp A.pA.pF

1V

2V

V.C.

xR

yR

21x1rel1 Ad.V0Ad.VuRAp

21y Ad.VvAd.V0R0

y

x 11rel1x Ad.VuApR

2y Ad.VvR

111rel1x Ad.VVApR

22y Ad.V)V(R

)Q(VApR 11rel1x

QVR 2y

11rel1x VmApR

2y VmR

11rel1Ex VmApR

2Ey VmR

EyR

ExR

]kN[36,1R Ex

]kN[64,0R Ey

Exemplo 4.6: Um reservatório metálico com altura de 1 [m] e área de 2 [m2] pesa 2.000 [N]. Este é colocado sobre uma balança e água escoa para o reservatório através de uma entrada no topo, e para fora através de duas aberturas iguais nas laterais, conforme esquema. Sob condições de escoamento permanente, a altura da água no tanque é 0,9 [m], determine a leitura da balança.

Dados :V1 = 1,6 [m/s] A1 = A2 = A3 = 0,1 [m2]

Balança

V1

V2 V3 Como a área total de escoamento na saída é o dobro da entrada, pela conservação da massa, a velocidade nas seções

de saída serão a metade da velocidade na entrada :

V2 = V3 =0,8 [m/s]

Balança

V1

V2 V3

SCSC Ad.VVFFF

Como o fluxo da quantidade de movimento da saída pelas duas laterais do reservatório se anulam (direção x), a equação será aplicada somente para a entrada (direção y):

x

y

SCySyC Ad.VvFF

VC

WR

WA

FBal

V1

SCBalAR Ad.VvFWW

1BalAR VmFWW

1ARBal VmWWF

6,1.m)9,0x2(x000.2FBal

]N[896.196,1.160640.17000.2FBal

4.4.1 – Análise do Volume de Controle diferencial

0dzg2

Vd

dp 2s

+Equação da Quant. de Mov.

em regime permanente

Equação da Conservação da Massa em regime permanente

0dzg2

Vd

dp 2s

ctegz2

Vp 2s

Fluido incompressível:

Equação de Bernoulli

Exemplo 4.6 : Bocal

Expressar a vazão em volume, Q, como função de p1, sendo D1 = n D2 (n>1) e p2 = pATM.

2

222

1

211 gz

2

Vpgz

2

Vp

2

222

1

211 gz

2

Vpctegz

2

Vp

Simplificações:

21 zz 0pp ATM2 (Pressões relativas)

2

V

2

Vp 22

211

2211 AVAVQ Conservação da massa:

22

11 A

QVAQV

22

2

21

21

A2

Q

A2

Qp

21

22

21

A

1

A

1

2

Qp

1

A

A

A2

Qp22

21

21

21 1n

A2

Qp 421

21

)1n(

2pAQ

41

1

158,0pAQ3n

365,0pAQ2n

11

11

Equação de Bernoulli: para escoamento sem perdas por atrito

2

22

21

21

1 Zg2

VpZg

2

Vp

p

2

V2

Zg

= pressão estática na seção

= pressão dinâmica na seção

= pressão de "posição"

Linhas de corrente

Seção 1 Seção 2

Unidade => N/m2

2

2

sm

kgJ

2

222

1

211 ougz

2

Vpctegz

2

Vp

Exemplo: Descarga de um reservatório através de uma tubulação para atmosfera, calcule a velocidade de saída.

2

22

21

21

1 Zg2

VpZg

2

Vp

Bernoulli: escoamento sem perdas

1

2

2

V)ZZ(g

22

21

Z1

Z2

H=30 m

Condições do problema:

ATM21 ppp

2

V

2

V 22

21

HZZ 21

gH2V2

s/m26,2430x81,9x2V2

Quais são as transformações de energia que ocorrem em um escoamento deste tipo ?

1

2

energia potencial (Z)para

energia de pressão (p)

energia de pressão (p)para

energia cinética (V2/2)

paraenergia de pressão (p)

energia potencial (Z)

1 2

2

V2

g.Z

p

fora

de

esc

ala

2

22

21

21

1 Zg2

VpZg

2

Vp

2

222

1

211 Zg

2

VpZg

2

Vp

Unidade => m2/s2 = J/kg

4.4.2 – Volume de Controle movendo em velocidade constante

Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de referência xyz, movendo-se a velocidade constante , Vrf, em relação a um sistema de referência fixo (e inercial) XYZ, também é inercial, visto que não possui aceleração em relação a XYZ.

xyz

XYZ

Vrf

U = 10 [m/s]

V = 30 [m/s]

Bocal

SC xyzxyzVC xyzSC Ad.VVdVV

tFFF

Velocidades no volume de controle em relação ao sistema de referência xyz (móvel)xyzV

Exemplo) O esquema mostra uma aleta de ângulo de curvatura igual a 60o, que se move em velocidade constante U igual a 10 [m/s], recebendo um jato d´água que sai do bocal estacionário a uma velocidade V igual a 30 [m/s]. Sabendo que o bocal tem uma área de saída de 0,003 [m2], calcule a força externa que atua na aleta.

x

i20V1

20V2

xSF

ySF

U = 10 [m/s]

V = 30 [m/s]

Bocal

SC xyzxyzSC Ad.VVFFF

Equação da Cons. da Quant. de Movimento, em regime permanente :

Desconsiderando as forças de campo (massa da água)

SC xyzxyzS Ad.VVF

)jseni(cos20V2

)j32,17i10V2

xxSF

ySF

SC xyzxyzS Ad.VVF

j32,17i10V2

i20V1

2 xyz21 xyz1xS Ad.V)iV(Ad.V)iV(F

2 xyz21 xyz1yS Ad.V)jV(Ad.V)jV(F

)m)(i10()m)(i20(F xS

)m)(j32,17()m)(j0(F yS

]s/kg[6020x003,0x000.1AVm

]N[j2,039.1j32,17mF yS

]N[i600i)2010(mF xS

4.5 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea

xyz

XYZrfa

Um volume de controle, fixo em relação a um sistema de referência xyz, que se move com aceleração retilínea, , em relação a um sistema de referência inercial (fixo) XYZ, não é inercial, visto que possui aceleração em relação a XYZ.

rfa

Sistema

XYZ

dt

PdF

Segunda lei de Newton:

Sistema XYZXYZ dmVP

(Força resultante)

(Quantidade de movimento)

dt

dmVdsist XYZ

sist

XYZ dmdt

Vd

sist XYZdmaF

rfxyzXYZ aaa

Quando o movimento é somente de translação :

sist rfsist xyzsist XYZ dmadmadmaF

sist xyzsist rf dmadmaF

sist

xyz

sist rf dmdt

VddmaF

dt

PddmaF xyz

sist rf

SC xyzxyzVC xyzVC rfSC Ad.VVdVV

tdVaFF

Equação da Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração retilínea

dt

dmVddmaF sist xyz

sist rf

V = 35 [m/s]

Bocal

U

Exemplo) Uma aleta de ângulo de curvatura igual a 60o, é fixada a um carrinho. O carrinho e aleta, de massa M=75 [kg], rolam sobre uma pista nivelada. O atrito e a resistência do ar podem sere desprezados. A aleta recebe um jato d´água, que parte de um bocal estacionário horizontalmente, com V=35 [m/s]. A área de saída do bocal é de 0,003 [m2]. Determine a velocidade, U, do carrinho como função do tempo.

SC xyzxyzVC xyzVC rfSC Ad.VVdVV

tdVaFF

Não há forças resistentes ao movimento (dir. x)

atuando no V.C. :0F xS

e 0F xC

SC xyzxyzVC xyzVC xrf Ad.VudVut

dVa

V = 35 [m/s]

Bocal

U

Pode-se desprezar a variação da quantidade de movimento no V.C. se considerarmos que a massa de água é bem menor que a massa do carrinho :

0dVut VC xyz

SC xyzxyzVC xrf Ad.VudVa

]A)UV([cos)UV(]A)UV()1[()UV(dVaVCx

]A)UV([cos)UV(]A)UV()1[()UV(dVaVCx

V = 35 [m/s]

Bocal

U

A)UV()1(cosdVa 2

VCx A)UV()cos1(Ma 2

x

A)UV()cos1(Mdt

dU 2

dtM

A)cos1(

)UV(

dU2

4.6 – Conservação da Quantidade de movimento para volume de controle sob aceleração arbitrária

4.7 – Quantidade de movimento angular

SC

VCeixos Ad.VVr

t

dVVrTdmgrFrT

Lei da conservação da quantidade de movimento angular:

4.8 – Conservação da Energia

Sistemadt

dEWQ

Sistema

2

SistemadV)gz

2

Vu(dmeE

Q > 0 W > 0++

Q < 0 W < 0_ _Sistema

Ad.Vet

dVe

dt

dESC

VC

Sistema

Ad.Vet

dVe

dt

dESC

VC

Sistema

fluxo de energia específica através da superfície de controle

taxa de variação de energia específica no volume de controle

taxa de variação da propriedade energia

para sistemas

Equação da energia para Vez:

gz2

Vue

2

4.8.1 – Taxa de trabalho realizado em um Volume de Controle

outrostocisalhamennormale WWWWW

1 – Trabalho de eixo

eW Trabalho de eixo que cruza a superfície de controleEx.: Motor elétrico, turbina ou bomba hidráulica, compressores e etc.

scsc nnnormal Ad.VpAd.VW

2 – Trabalho realizado pelas tensões normais (pressão) na superfície de controle

sd.FW

V.Ft

sd.Flim

t

WlimW

0t0t

Ad.VV.AdV.FdW nnnnnormal

O sinal – aparece devido a convenção de sinais para sist.

sctocisalhamen dAV.W

3 – Trabalho realizado pelas tensões de cisalhamento na superfície de controle

dAV.V.dAV.FdW tocisalhamen

4 – Outros trabalhos

0Woutros

Nas paredes, se , tem-se,0V

0W tocisalhamen

Nas entradas e saídas, se , tem-se,

V 0W tocisalhamen

Portanto, em geral, tem-se: 0W tocisalhamen

Ad.Vgz2

Vu

t

dVeWQ

SC

2VC

Equação da energia para VCs:

Ad.Vgz2

Vu

t

dVeWWQ

SC

2VC

normale

Ad.Vgz2

Vu

t

dVeAd.VpWQ

SC

2VC

SCe

Ad.Vgz2

Vpu

t

dVeWQ

SC

2VC

e

Equação da energia para VCs:

Ad.Vgz2

Vh

t

dVeWQ

SC

2VC

e

p

uhDefinição de entalpia

Em regime permanente:

Ad.Vgz2

VhWQ

SC

2

e

4.7) Determine a taxa de transferência de calor de um compressor cuja potência mecânica é de 600 [HP] e vazão em massa de 20 [lbm/s] sendo que as condições de entrada e saída são dadas na figura.

Equação da energia em regime permanente: Ad.Vgz

2

VhWQ

SC

2

e

Desprezando a energia potencial e considerando escoamento uniforme :

2

Vhm

2

VhmWQ

21

1

22

2e

compressor

p1 = 14,7 [psia]

T1 = 70 [F]

p2 = 50 [psia]

T2 = 100 [F]

A2 = 1 [ft2]V1 = 0

]HP[600We

2

Vhm

2

VhmWQ

21

1

22

2e

1

22

2e hm2

VhmWQ

2

VmTTcmWQ

22

12pe Considerando o ar

como gás perfeito:

]s/kg[072,9]lbm/kg[4536,0x]s/lbm[20m

C1,219/5x)32T(T oF1C1 C7,379/5x)32T(T o

F2C2

]W[10x476,4]HP/W[746x]HP[600W 5e

]K.kg/J[006.1cp

]Pa[750.344]psia/m/N[895.6x]psia[50p 22

]m[0929,0]ft/m[0929,0x]ft[1A 22222

compressor

p1 = 14,7 [psia]

T1 = 70 [F]

p2 = 50 [psia]

T2 = 100 [F]

A2 = 1 [ft2]V1 = 0

2

VmTTcmWQ

22

12pe

222222 RT/pRTp

]m/kg[86,3 32 )A/(mVVAm 222222

]s/m[3,25)0929,0x86,3/(072,9V2

2

3,25072,91,217,37x006.1x072,9)10x47,4(Q

25

000.447903.2500.151Q ]W[600.292Q

]kW[6,292Q

compressor

p1 = 14,7 [psia]

T1 = 70 [F]

p2 = 50 [psia]

T2 = 100 [F]

A2 = 1 [ft2]V1 = 0

85,310x287/750.3442

Equação da energia para VC em regime permanente:

Ad.Vgz2

VhWQ

SC

2

e

Se a troca de calor e o trabalho de eixo forem iguais a zero :

Ad.Vgz2

Vh0

SC

2

Para um VC com uma entrada e uma saída, em escoamento uniforme:

E

2

S

2

gz2

Vhmgz

2

Vhm0

E

2

S

2

gz2

Vpugz

2

Vpu

Em temperatura constante 2

222

1

211 gz

2

Vpgz

2

Vp

Equação de

Bernoulli

Determine a potência transferida à água pela bomba.

Exercício 4.8) A vazão da bomba instalada no caminhão mostrado na figura é 42,5 [l/s] e o jato d água lançado pelo canhão deve alcançar o plano distante 18,3 [m] do hidrante. A pressão da água na seção de alimentação da mangueira, que apresenta diâmetro igual a 102 [mm], é 69 [kPa].

Considerando escoamento uniforme, a seção de entrada na seção após o hidrante (onde z=0 ) e a seção de saída onde a velocidade é praticamente zero (ponto mais

alto da trajetória do jato), tem-se:

Ad.Vgz2

VhWQ

SC

2

e

cteT0Q

Ad.Vgz2

VpW

SC

2

e

1

211

2

222

e gz2

Vpmgz

2

VpmW

0V2 0z1

2

Vpgz

pmW

211

22

e

p1 = 69.000 [N/m2] e p2 = 0 (atmosfera)

2

VpgzmW

211

2e

Determinação de V1 211

1 D

Q4

A

QV

2102,0

0425,0x4

][2,5 s

m

2

2,5

000.1

000.693,18x8,90425,0x000.1W

2

e

52,156934,1795,42We ]W[030.4We

Se p1 = 0 52,1534,1795,42We ]W[962.6We

Exercício 4.9) A vazão de óleo no tubo inclinado mostrado na figura é 142 [l/s].

Sabendo que a densidade do óleo é igual a 0,88 e que o manômetro de mercúrio indica uma diferença entre as alturas das superfícies livres do mercúrio igual a 914 [mm], determine a potência que a bomba transfere ao óleo.

1

211

2

222e gz

2

Vpgz

2

Vp

m

WQ

Eq. da energia para um VC com uma entrada e uma saída, em escoamento uniforme, em temperatura constante:

0Q

)zz(g2

V

2

Vpp

m

W12

21

22

O

12e

hHLLHpp OOOHgO12 Manometria :

ghgLLgpp

O

Hg

O

12

Q = 142 [l/s] d=0,88

)h(g2

V

2

VghgL

d

Lgd

m

W 21

22

O

Hge

2

V

2

VgL

d

Lgd

m

W 21

22

O

Hge

hgLgLgpp OOHg12

1

2

Q = 142 [l/s] d=0,88

2

V

2

VgL

d

Lgd

m

W 21

22

O

Hge

211

1 D

Q4

A

QV

222

2 D

Q4

A

QV

41

2

2

42

2

2

O

Hge

D

Q8

D

Q8gL

d

Lgd

m

W

41

42

2

2

O

HgOe D

1

D

1Q81

d

dgLQW

442

2

e 305,0

1

152,0

1142,0x81

88,0

6,13914,0x8,9142,0x880W

73,2847,12996,124We ]kW[8,19]W[768.19We

1

2