Cap07 - Elementos Armazenadores de Energia

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I

Capítulo 7

Elementos Armazenadores de Energia


A carga é proporcional a diferença de potencial:

onde C é a capacitância do dispositivo dada em farad [F] = [coulomb/volt].

Carga total dentro do capacitor é sempre zero.

Corrente que entra em um terminal sai pelo outro. Derivando em relação ao tempo a equação anterior obtemos a corrente:

7.1 Capacitores

Capacitor é um dispositivo de dois terminais constituído de dois corpos

condutores separados por um material não condutor.

dielétrico∆v

+

−

∆q

v

+

−

i

Cvq =

dtdvCi =


Exemplo: Capacitor C = 1 µF e a tensão sobre ele é

v = 6 cos(2000t) [V]

Então,

( )[ ] ( ) [ ]mA 2000sen122000sen000.1210 6 ttCidtdv −=−== −

Note que se a tensão v sobre o capacitor é constante, a corrente i é zero.

Portanto, o capacitor atua como um circuito aberto para tensão constante.

Se a tensão v varia, a corrente que flui nos terminais deixa de ser zero.


Exemplo: Considere uma tensão que cresce linearmente entre 0 e 1 [V] em

a-1 [s]:

>

≤<

≤

=

at

atat

t

v

1 1

10

0 0

Se o capacitor tiver C = 1 [F], a corrente resultante é:

>

≤<

≤

=

at

ata

t

i

1 0

10

0 0


v

t1/a

1

i

t1/a

a

Note que se a crescer, então v muda mais rapidamente e a corrente i também

crescerá.

Se a-1 = 0, então v muda abruptamente de 0 para 1 [V] ⇒ corrente infinita ⇒

potência infinita nos terminais do capacitor.


A carga total em um capacitor não pode variar instantaneamente (princípio da

conservação de carga).

Para obter v(t) em função de i(t), integramos no tempo:

obtendo

onde a tensão no capacitor no tempo t0 é

Portanto,

( ) ( )dt

tdvCti =

( ) ( ) ( )00

1tvdtti

Ctv

tt

+= ∫

( ) ( )C

tqtv 00 =

( ) ( )∫ ∞−= tdtti

Ctv

1


7.2 Energia Armazenada em Capacitores

Campo elétrico: força que atua sobre uma unidade de carga positiva.

Forças que atuam nas cargas dentro do capacitor podem ser consideradas

como resultantes de um campo elétrico.

Energia armazenada em um capacitor = Energia armazenada no campo elétrico.

Energia armazenada:

Considerando v(-∞) = 0, então

( )

( )t

t

ttC

tCvdvvC

dtdt

dvCvdtvitw

∞−∞−

∞−∞−

==

==

∫

∫∫

221

( ) ( ) [ ]J 21 2 tCvtwC = ( ) 0≥twC


Em termos de carga no capacitor, temos , então

O capacitor ideal não dissipa energia.

Exemplo: Capacitor de 1 F com tensão de 10 V. A energia armazenada é

Se o capacitor não está conectado a um circuito, então sua carga, sua tensão e

energia armazenada permanecem constantes, pois não flui corrente.

( ) ( ) ( )

( ) [ ]J 21

21

21

2

22

C

tq

C

tqCtCvtwC

=

==

Cvq =

( ) ( ) [ ]J 5010121

21 22 =⋅⋅== tCvtwC


Conectando uma resistência nos terminais do capacitor, uma corrente irá fluir

até que toda a energia seja dissipada como calor pelo resistor, fazendo a

tensão tornar-se zero.

Tensão sobre o capacitor é contínua ⇒ energia é contínua

t = 0- tempo imediatamente anterior a abertura da chave.

t = 0+ tempo imediatamente após a abertura da chave.

vc

+

−R2

R1

v1+ −

v

t = 0


Exemplo: vc(0-) =4 V.

Imediatamente antes do chaveamento, temos

Imediatamente após a chave ser aberta, temos

A tensão em R1 muda abruptamente, mas não no capacitor.

A tensão em R2 é a mesma que no capacitor, então não muda também.

vc

+

−R2

R1

v1+ −

6 V

t = 0

( ) ( ) [ ]V 246001 =−=−= −−cvVv

( ) 001 =+v

( ) ( ) [ ]V 400 == +−cc vv


7.3 Capacitores em Série e em Paralelo

Capacitância equivalente ≡ condutância equivalente

Conexão em série de N capacitores:

Nvvvv +++= L21

( ) ( ) ( )∫∫∫ ++++++= tt N

N

tt

tt

tvidtC

tvidtC

tvidtC

v000

0022

011

111L

( )∫ ∑∑==

+

=

t

t

N

nn

N

n ntvidt

Cv

0 10

1

1

( )∫ += tts

tvidtC

v0

01

Cs+−

i

v

N

N

n ns CCCCC

11111

211

+++==∑=

L

v1 v2 vN-1

CNv

CN-1C2C1

vN

+

−

+ − + − + −

+−

i


Conexão em série de 2 capacitores:

Conexão em paralelo de N capacitores:

21

21CC

CCCs +

=

Cpi v+

−CNi C2C1

iNi1 i2

v+

−

Niiii +++= L21

dt

dvC

dt

dvC

dt

dvC

dt

dvCi

N

nnN

=+++= ∑

=121 L

dt

dvCi p=

=+++= ∑

=

N

nnNp CCCCC

121 L


Exemplo: Capacitância equivalente

60 µF 8 µF 110 µF

6 µF 14 µF 11 µF

241410141111011110

1 =+=++⋅=eqC

12666824824

2 =+=++⋅=eqC

[ ]F 1072720

60126012 µ==

+⋅=eqC

60 µF 8 µF

6 µF 24 µF

60 µF

12 µF


Exemplo: Divisão de corrente.

21 iii +=

( )dt

dvCC

dt

dvC

dt

dvCi 2121 +=+= ( )21 CC

i

dt

dv

+=

dt

dvCi 11 = i

CC

Ci

21

11 +

=

dt

dvCi 22 = i

CC

Ci

21

22 +

=

i

C2C1

i1 i2

−

+

v


Exemplo: Divisão de tensão. v1 v2

v

C2C1

+ − + −+

−

i

21 vvv +=

∫∫ ∞−∞− += ttidt

Cidt

Cv

21

11∫ ∞−

+= t

idtCC

v21

11 vCC

CCidt

t

21

21+⋅=∫ ∞−

∫ ∞−= tidt

Cv

11

1v

CC

Cv

CC

CC

Cv

21

2

21

21

11

1+

=+⋅⋅=

∫ ∞−= tidt

Cv

22

1v

CC

Cv

CC

CC

Cv

21

1

21

21

22

1+

=+⋅⋅=


7.4 Indutores

Indutor é um dispositivo de 2 terminais composto de um fio condutor enrolado

em espiral.

A corrente que flui pelo indutor induz um fluxo magnético φ que forma laços

fechados envolvendo a bobina.

v

+

−

i

L

Bobina com N espiras, então o fluxo total (enlace de fluxo) é igual a:

Em um indutor ideal, o enlace de fluxo é diretamente proporcional a corrente:

L = constante de proporcionalidade (indutância em weber/ampère = henry [H]).

φ=λ N

iL ⋅=λ


Lei da indução magnética: a tensão é igual à taxa de variação no tempo do fluxo

magnético total:

Se i = constante ⇒ v = 0 (curto circuito para corrente contínua).

Quanto maior a variação de i maior será a tensão que aparecerá nos terminais

do indutor.

dt

diL

dt

dv =λ=


Exemplo: Considere uma corrente que decresce linearmente entre 1 e 0 [A] em

b-1 s:

>

≤<−

≤

=

bt

btbt

t

i

1 0

10 1

0 1

Se o indutor tiver L = 1 [H], a tensão resultante é:

>

≤<−

≤

=

bt

btb

t

v

1 0

10

0 0


v

t

1/b

-b

Note que se b crescer, então i muda mais rapidamente e a tensão v se torna

mais negativa.

Se b-1 = 0, então i muda abruptamente de 1 para 0 [A] ⇒ tensão infinita ⇒

potência infinita nos terminais do indutor.

i

t1/b

1

0


A fluxo total em um indutor não pode variar instantaneamente (princípio de

conservação de carga).

Para obter i(t) em função de v(t), integramos no tempo:

obtendo

onde i(t0) é a corrente no indutor no tempo t0.

i(t0) é a corrente acumulada de t = -∞ até t = t0, onde i(-∞) =0

Portanto,

( ) ( )dt

tdiLtv =

( ) ( ) ( )00

1tidttv

Lti

tt

+= ∫

( ) ( )∫ ∞−= tdttv

Lti

1


7.5 Energia Armazenada em Indutores

Uma corrente i que flui pelo indutor produz um enlace de fluxo total λ que passa

pelas espiras da bobina.

Assim, um trabalho é necessário para estabelecer o fluxo φ no indutor.

Energia armazenada em um indutor = Energia armazenada no campo magnético.

Energia armazenada:

Considerando i(-∞) = 0, então

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )t

t

ttL

tiLditiL

dttidt

tdiLdttitvtw

∞−∞−

∞−∞−

==

==

∫

∫∫

221

( ) ( ) [ ]J 21 2 tLitwL = ( ) 0≥twL


Nvvvv +++= L21

dt

diL

dt

diL

dt

diLv N+++= L21

dt

diLv

N

nn

= ∑

=1

dt

diLv s=

Ls+−

i

v

N

N

nns LLLLL +++== ∑

=L21

1

v1 v2

LNv

L2L1

vN

+

−

+ − + −

+−

i

7.6 Indutores em Série e em Paralelo

Indutância equivalente ≡ resistência equivalente

Conexão em série de N indutores:


Conexão em paralelo de N indutores:

Niiii +++= L21

( ) ( ) ( )∫∫∫ ++++++= tt N

N

tt

tt

tivdtL

tivdtL

tivdtL

i000

0022

011

111L

( )00

1tivdt

Li

ttp

+= ∫

=+++= ∑

=

N

n nNp LLLLL 121

11111L

LNi L2L1

iNi1 i2

v+

−

( )∫ ∑∑==

+

=

t

t

N

nn

N

n ntivdt

Li

0 10

1

1

Lpi v+

−

Conexão em paralelo de 2 indutores:

21

21LL

LLLp +

=


Exemplo: Indutância equivalente

8972

7291 =

+⋅=eqL 8

12241224

2 =+⋅=eqL

[ ]mH 1082 =+=eqL

2 mΗ 4 mΗ 7 mΗ

24 mΗ 72 mΗ 2 mΗ

2 mΗ 4 mΗ

24 mΗ 8 mΗ

2 mΗ

8 mΗ


Exemplo: Divisão de tensão.

21 vvv +=

( )dt

diLL

dt

diL

dt

diLv 2121 +=+= ( )21 LL

v

dt

di

+=

dt

diLv 11 = v

LL

Lv

21

11 +

=

dt

diLv 22 = v

LL

Lv

21

22 +

=

v1 v2

v

L2L1

+ − + −+

−

i


Exemplo: Divisão de corrente.i

L2L1

i1 i2

−

+

v

21 iii +=

∫∫ ∞−∞− += ttvdt

Lvdt

Li

21

11∫ ∞−

+= t

vdtLL

i21

11 iLL

LLvdt

t

21

21+⋅=∫ ∞−

∫ ∞−= tvdt

Li

11

1i

LL

Li

LL

LL

Li

21

2

21

21

11

1+

=+⋅⋅=

∫ ∞−= tvdt

Li

22

1i

LL

Li

LL

LL

Li

21

1

21

21

22

1+

=+⋅⋅=


7.7 Regime Permanente em Corrente Contínua

Se as fontes independentes de um circuito são todas de corrente contínua (cc),

então, após um dado tempo, todas as correntes e tensões se estabilizam em

valores constantes.

Quando todas as tensões e correntes atingem valores constantes ⇒ circuito em

regime permanente cc.

Regime permanente cc:

• Capacitores são como circuitos abertos.

• Indutores são como curto circuitos.

• Correntes e tensões no circuito são obtidas resolvendo um circuito

resistivo com fontes constantes.

Análise de circuito para t > 0 ⇒ conhecer algumas condições iniciais para t = 0+.


Exemplo: Circuito RLC em regime permanente cc quando a chave é aberta em

t = 0.

v+

−

2 Ω

10 V

t = 02 H

3 Ω1/4 F

i

Em t = 0−, imediatamente antes da chave ser aberta, o circuito era:

v(0-)+

−

2 Ω

10 V 3 Ω

i (0-)

( ) [ ]A 25

100 ==−i

( ) ( ) [ ]V 6030 =⋅= −− iv


Em t = 0+, imediatamente após a chave ser aberta, o circuito é:

( ) ( ) [ ]A 200 == −+ ii

( ) ( ) [ ]V 600 == −+ vv

( ) ( ) ( ) 00030

2 =−+ +++

vidt

diEquação de laço:

v(0+)+

−

2 Ω

10 V

2 H

3 Ω1/4 F

i(0+)0 A

( ) ( ) 0000

41 =−+ +

+i

dt

dvEquação nodal:

( ) ( )[ ] 0623210 =+⋅−=

+

dt

di

( ) ( ) [ ]V/s 8240 −=⋅−=

+

dt

dv


7.8 Capacitores e Indutores Práticos

Capacitores práticos:

• grande variedade de tipos,

• classificado pelo tipo de dielétrico empregado na fabricação,

• tensão nominal – máxima tensão que pode ser aplicada no capacitor,

• dissipam pequena quantidade de potência (correntes de fuga),

• dielétricos possuem uma condutância não nula.

Tipos de capacitores (1 pF – 1 µF):

• cerâmico,

• tântalo,

• poliester,

• poliestireno,

• eletrolítico (1 – 100.000 µF) (perdas maiores e polarizados)


Circuito equivalente:

CRc


Indutores práticos:

• dissipam pequena quantidade de potência (resistência do fio e perdas no núcleo),

• faixa 1 µH – 100 H,

• núcleo composto de materiais ferrosos.


Circuito equivalente:

L

RL


7.9 Dualidade e Linearidade

Relações duais entre capacitor e indutor:

Quantidades duais:

dt

diLv =

dtdvCi =

admitânciaimpedância

lei de Kirchhoff de correnteslei de Kirchhoff de tensões

enlaceramo de árvore

malha externanó de referência

malhanó de não referência

paralelosérie

circuito abertocurto-circuito

capacitânciaindutância

condutânciaresistência

fluxocarga

correntetensão


Exemplo: Circuito dual.

C

L

R1

x V

t = 0

+− y A

R2

C

L1/R1x A t = 0 y V

+−

1/R2


7.10 Circuitos Singulares

Circuitos singulares: possui uma chave que parece ter a função de produzir

uma descontinuidade nas tensões de capacitores ou nas

correntes de indutores.

Exemplo:

Antes da chave fechar:

t = 0

C1 = 1 F−

+v2 (t)

−

+v1 (t) C2 = 1 F

( ) [ ]

( ) [ ]V 00

V 10

2

1

=

=

−

−

v

v ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]J 00121

021

0

J 21

1121

021

0

22222

22111

vCw

vCw

=⋅⋅==

=⋅⋅==

−−

−−


( ) ( ) ( ) [ ]J 21

000 21 www =+= −−−

Energia total armazenada no circuito:

Expressão do nó generalizado envolvendo a chave:

Integrando de t = 0− a 0+, temos

022

11 =+

dt

dvC

dt

dvC

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 000002211 2221110

0=−+−=+ −+−+=

=∫+

− vvCvvCdvCdvCt

t

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) 100

0001101

21

21

=+

=−⋅+−⋅

++

++

vv

vv


Para t > 0, temos

Portanto, a energia total armazenada em t = 0+ é

Pergunta: O que aconteceu com o outro 1/4 J do circuito de t = 0- a t = 0+?

( ) ( ) [ ]V 21

00 21 == ++ vv

( ) ( ) ( )

[ ]J 41

81

81

21

121

21

121

021

021

0

22

222

211

=+=

⋅⋅+

⋅⋅=

+= +++ vCvCw


v1 muda abruptamente de 1 para 1/2 volts em t = 0, mas mudanças

instantâneas de tensão não são possíveis.

Portanto, durante um intervalo de tempo infinitesimal de 0− a 0+, o modelo

matemático adotado não é válido!!!

Quando a chave fecha em t = 0, uma corrente elevada gera uma onda

eletromagnética que irradia a energia de 1/4 J.

A tensão v1 muda em um pequeno intervalo de tempo (∆t ≠ 0) de 1 para 1/2 V.

Entretanto, as soluções para tensões e energias antes e depois o fechamento

da chave são corretas, embora o modelo de circuito não seja válido no instante

de fechamento desta chave.

Motivo: a carga total não muda durante este intervalo de tempo.


Motivo:

ou seja, continua-se respeitando o postulado da conservação das cargas:

Se um resistor em série for incluído no circuito, as tensões e as energias dos

capacitores serão funções contínuas, isto é

( ) ( ) ( ) ( )++−− +=+ 022011022011 vCvCvCvC

( ) ( ) ( ) ( )++−− +=+ 02010201 qqqq

( ) ( )

( ) ( )+−

+−

=

=

00

00

22

11

vv

vv


Exemplo:

Antes da chave fechar:

( ) [ ]

( ) [ ]A 00

A 10

2

1

=

=

−

−

i

i ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]J 00121

021

0

J 11221

021

0

22222

22111

iLw

iLw

=⋅⋅==

=⋅⋅==

−−

−−

t = 0

L1 = 2 H i2 (t)i1 (t) L2 = 1 H

( ) ( ) ( ) [ ]J 1000 21 www =+= −−−


Enlace de fluxo de cada indutor:

Enlace de fluxo total:

Depois que a chave é fechada (por dualidade com o capacitor):

Quando a chave é fechada, a conservação do enlace de fluxo requer que o fluxo

total permaneça constante, portanto

( ) ( ) [ ]Wb 21200 111 =⋅==λ −− iL

( ) ( ) [ ]Wb 00100 222 =⋅==λ −− iL

( ) ( ) ( ) [ ]Wb 2000 2211 =+=λ −−− iLiL

( ) ( )++ = 00 21 ii

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )+

++−−

+=

+=+

0

0000

121

22112211

iLL

iLiLiLiL


ou

( ) ( ) ( ) ( )

( )+

+−−

⋅=⋅+⋅

+=+

030112

000

1

1212211

i

iLLiLiL

Portanto,

( ) ( ) [ ]A 32

00 21 == ++ ii

Energia armazenada em cada indutor:

( ) ( ) [ ]

( ) ( ) [ ]J 92

32

121

021

0

J 94

32

221

021

0

22222

22111

iLw

iLw

=

⋅⋅==

=

⋅⋅==

++

++


Energia total:

em t = 0−:

em t = 0+:

Note que 1/3 [J] foi perdido no circuito.

i1(t) muda abruptamente de 1 para 2/3 A em t = 0.

Durante um intervalo de tempo infinitesimal de 0- a 0+, o modelo matemático

adotado não é válido!!!

Quando a chave fecha em t = 0, uma corrente elevada gera uma onda

eletromagnética que irradia a energia de 1/3 J.

( ) ( ) [ ]J 32

92

94

00 21 =+=+ ++ ww

( ) ( ) [ ]J 10100 21 =+=+ −− ww


A corrente i1 muda em um pequeno intervalo de tempo (∆t ≠ 0) de 1 para 2/3 A.

Entretanto, as soluções para correntes e energias antes e depois o fechamento

da chave são corretas, embora o modelo de circuito não seja válido no instante

de fechamento desta chave.

Se um resistor em paralelo for incluído no circuito, as correntes e as energias

dos indutores serão funções contínuas.

Documents

Cap07 - Elementos Armazenadores de Energia