Cap5

Capıtulo 5

Aproximacao por ElementosFinitos.

5.1 Introducao

Trata-se neste capıtulo, do aspecto numerico envolvido nas tecnicas deaproximacao que visam, a partir de uma discretizacao, determinar as solucoesde sistemas contınuos.

Iremos abordar o problema inicialmente da aproximacao do tipo nodalde um domınio Ω, para em seguida aplicar este tipo de aproximacao em sub-domınios. A aproximacao nodal em sub-domınios e chamada de aproximacaopor Elementos Finitos.

O uso do conceito de sub-domınios, ou elementos, sera estudado em umespaco de referencia, o que introduz os conceitos de transformacao geometricade um elemento do espaco real para o espaco de referencia, e a construcaoda Matriz Jacobiana da transformacao.

Exemplos Praticos serao apresentados, para ilustrar a precisao das aprox-imacoes obtidas.

5.2 Tecnicas de Aproximacao

5.2.1 Aproximacao Nodal

Em geral, nos modelos matematicos de um sistema fisico as grandezasdo tipo temperaturas, deslocamnetos, espessuras etc, sao representadas porvariaveis ou funcoes chamadas de exatas uex(x).

Quando nao e possıvel encontrarmos uma solucao exata para o proble-ma (casos ondes as condicoes de contorno sao complicadas, a geometria e

73

CAPITULO 5. APROXIMACAO POR ELEMENTOS FINITOS. 74

irregular , etc.), procura-se solucoes aproximadas do tipo u(x).Para que a qualidade da aproximacao seja boa, tem-se:

e(x) = u(x)− uex(x) (5.1)

onde e(x) e definido como erro na aproximacao e deve ser o menor possıvel.Para a construcao das funcoes aproximadas, procede-se da seguinte forma:

• Escolhe-se um conjunto finito de funcoes, dependente de n parametrosai

u(x, a1, a2, ..., an) (5.2)

• Determina-se a1, a2, ..., an satisfazendo:

e(x) = u(x)− uex(x) com e(x)suficientementepequeno (5.3)

Nota 5.1 Pode-se por Exemplo calcular e(x) = 0 em n pontos x1, x2, ..., xn,determinando-se desta forma os parametros ai.

Em geral escolhe-se estas funcoes aproximadas simples, para que as operacoesde diferenciacao e integracao sejam simplificadas, e que sejam facilmente uti-lizaveis em computadores.

Uma vez determinada a funcao aproximada, pode-se obter:

• uma solucao aproximada de uma funcao difıcil de ser avaliada, paraqualquer ponto do domınio.

• uma solucao aproximada de uma equacao diferencial ou uma equacaoem derivadas parciais.

Exemplo 5.1 Aproximacao de ux, grandeza fısica.Suponha que ux seja um campo de temperaturas, que so pode ser medido

em 3 pontos conforme mostrado na Tabela 5.1.Deseja-se obter pontos em outras posicoes xi, e tambem que a aproxi-

macao coincida com uex(x), nos pontos medidos. Um procedimento que podeser adotado e o seguinte:

• Escolhendo-se uma aproximacao quadratica, temos:

uex(x) ∼= u(x, a1, a2, a3) = a1 + a2x+ a3x2 (5.4)


Tabela 5.1: Valores de temperaturas conhecidos

x uex(x)0,0 20 C0,5 25 C1,0 22 C

• Substituindo os valores conhecidos dados na Tabela 5.1, tem-se:

a1 + a2 0 + a3 02 = 20a1 + a2 , 5 + a3 , 52 = 25a1 + a2 1 + a3 12 = 22

(5.5)

• Resolvendo-se o sistema linear associado as equacoes 5.5, obtem-se osseguintes valores para os parametors da aproximacao:

a1 = 20a2 = 18a3 = −16

(5.6)

• Assim pode-se definir a funcao aproximada da seguinte forma:

u(x) = 20 + 18x − 16x2 (5.7)

que pode ser visualizada na Figura 5.1:

• Pode-se entao determinar, em qualquer ponto o valor da funcao, comopor exemplo para x = 0, 7 :

u(x) = 20 + 18 . 0, 7− 16 . 0, 72 = 24, 76 (5.8)

Exemplo 5.2 Aproximacao de Equacoes de Equacoes diferenciais.


-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Figura 5.1: Aproximacao polinomial convencional-Aproximacao quadratica

• O Problema consiste em :

P1

Achar uex tal que :

d2uex(x)dx2 = f(x) 0 ≤ x ≤ 1

uex(x) = 0 para x = 0 e x = 1

f(x) = 1 Termo fonte emx = 0, 25

f(x) = 0, 25 Termo fonte em x = 0, 75

(5.9)

• Escolhendo uma aproximacao que satifaca as condicoes de contornotemos:

uex(x) ∼= u(x) = a1sen(πx) + a2sen(2πx) (5.10)

• Considerando que a funcao aproximada deve satisfzer a equacao difer-encial nos pontos conhecidos, temos:

(d2u

dx2)xi = −a1π

2sen(πxi)− a2 4π2 sen(2πxi) = f(xi) (5.11)


• Assim, a partir dos pontos conhecidos x = 0, 25 e X = 0, 75, pode-seconstruir a forma discretizada da equacao diferencial do problema P1,na forma de um conjunto de duas equacoes algebricas, como se segue:

−a1π2sen(0, 25π) − a2 4π2 sen(0, 5π) = 1

−a1π2sen(0, 75π)− a2 4π2 sen(1, 5π) = 0, 25

(5.12)

Resolvendo-se o sistema de equacoes 5.12 , obtem-se os valores dosparametros da aproximacao ai, ou seja:

a1 = 54√

21π2

a2 = 332

1π2

(5.13)

• E a solucao do problema P1 e dada em qualquer ponto por:

uex(x) ∼= u(x) =5

4√

2

1

π2sen(πx) +

3

32

1

π2sen(2πx) (5.14)

Observe que as funcoes aproximadas, sao geralmente lineares em ai , oque permite escrever a aproximacao nao Nodal como sendo:

u(x) = P1(x)a1 + P2(x)a2 + ....+ Pn(x)an (5.15)

ou ainda usando uma notacao do tipo matricial:

u(x) = P1(x) P2(x) ... Pn(x)

a1

a2

.

.

.an

= PTa (5.16)

onde:

• Pi(x) - Sao as funcoes interpoladoras, que devem ser Linearmente In-dependents (LI), e independentes de ai. Sao geralmente polinomios,funcoes trigonometricas, etc. Estas funcoes sao tambem chamadas defuncoes de base.

• ai - Sao os paraametros da aproximacao ou parametros gerais.


Supondo que os parametros da aproximacao, sao os valores da funcaoexata em n pontos dados, ou seja:

u(x1) = uex(x1) = u1

u(x2) = uex(x2) = u2

.

.

.u(xn) = uex(xn) = un

(5.17)

E importante observar que neste caso ui sao os parametros da aproxi-macao, e que a funcao aproximada ux coincide com a solucao exata em xi.Este tipo de aproximacao e dita do tipo Nodal e escreve-se:

u(x) = N1(x)u1 +N2(x)u2 + . . . +Nn(x)un (5.18)

Passando a expperssao 5.18 para a forma matricial, e escrevendo-se emnotacao mais compacta, tem-se:

u(x) = N1(x) N2(x) ... Nn(x)

u1

u2

.

.

.un

= NTu (5.19)

onde:

• ui - Parametros nodais ouvariaveis nodais.

• Ni(x) - Funcoesde interpolacao.

Levando-se em conta Eq. 5.17 e Eq.5.19, que definem a aproximacaoNodal, observa-se as seguintes propriedades:

Prop. 5.1 PR1- Como u(xi) = ui as funcoes Ni(x) verificam as seguintescondicoes:

Nj(xi) =

0 se i 6= j

1 se i = j(5.20)

Prop. 5.2 O erro da aproximacao e nulo nos nos xi, ou seja:

e(x) = u(x)− uex(x) = u(xi)− uex(xi) = ui − ui = 0 (5.21)


Apresenta-se na sequencia um exemplo de aproximacao Nodal do tipoLagrange para ilustrar este tipo de procedimento de aproximacao.

Exemplo 5.3 Aproximacao nodal do tipo Lagrange em 4 Pontos:Considera-se neste caso, que os valores da funcao uex generica, e con-

hecida em apenas 4 pontos. Usando-se uma aproximacao Nodal dada por:

u(x) = N1(x)u1 + N2(x)u2 + N3(x)u3 + N4(x)u4 (5.22)

Escolhendo-se polinomios de Lagrange de grau 3, tem-se:

Ni =4∏

j=1 j 6=i

x− xjxi − xj

(5.23)

Observa-se que os polinomios gerados pela expressao 5.23, satisfazem apropriedade PR1. As funcoes correspondentes sao dadas por:

N1 = x−x2

x1−x2x−x3

x1−x3x−x4

x1−x4

N2 = x−x1

x2−x1x−x3

x2−x3x−x4

x2−x4

N3 = x−x1

x3−x1x−x2

x3−x2x−x4

x3−x4

N4 = x−x1

x4−x1x−x2

x4−x2x−x3

x4−x3

(5.24)

Os pontos onde sao conhecidos os valores da funcao exata uex(x) saoapresentados na tabela 5.2

Tabela 5.2: Valores conhecidos

x1 x2 x3 x4

1.0 2.0 5.0 7.0

Sendo assim, as funcoes de interpolacao ficam definidas da segunte forma:

N1 = x−2−1

x−5−4

x−7−6

= − 124

(x− 2)(x− 5)(x− 7)

N2 = x−11

x−2−3

x−7−5

= 115

(x− 1)(x− 2)(x− 7)

N3 = x−14

x−23

x−7−2

= − 124

(x− 1)(x− 2)((x − 7)

N4 = x−16

x−25

x−52

= 160

(x− 1)(x− 2)(x− 5)

(5.25)


Estudando-se cada funcao de interpolacao, nota-se que as mesmas temum comportamento semelhante. Na figura 5.2 , apresenta-se a funcao N1.Ve-se neste caso, que a propriedade PR1 e respeitada.

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

N1

Figura 5.2: Funcao de interpolacao N1

A aproximacao global pode ser obtida pela superposicao das quatro funcoesNi definidas na Eq. 5.25.

Nota 5.2 Este problema pode ser facilmente generalizado, para funcoes devarias variaveis,

uex(x, y, z) = uex(x) (5.26)

onde x = xyz, e o vetor das coordenadas definindo um domınio R3, tridi-mensional. Neste caso a aproximacao pode ser escrita da seguinte forma:

u(x, y, z) = u(x) = N1(x) N2(x) · · ·Nn(x)

u1

u2...un

(5.27)


sabendo-se que nos nos tem-se:

u(xi) = uex(xi = ui (5.28)

Uma aproximacao conforme definido no exemplo 5.3 para todo o domınio,nem sempre e facilmente obtida. Nos casos onde o numero de nos e elevado, ageometria do domınio e complexa, e ainda as funcoes u(x) devem satisfazer ascondicoes de contorno do problema, faz-se necessario definir novas estrategiaspara a obtencao de solucoes aproximadas.

Uma opcao para solucionar estes problemas, consiste em utilizar umaaproximacao nodal por sub-domınios, considerando as seguintes particulari-dades:

• O domınio Ω e inicilamente discretizado em elementos, que correspon-dem aos sub-domınios Ωe.

• Define-se uma aproximacao Nodal em cada Ωe, denominada de ue(x),que e funcao somente de variaveis nodais pertencentes a Ωe e sua fron-teira.

• As funcoes ue(x) de cada elemento sao contınuas em Ωe, e satisfazema continuidade entre elementos vizinhos.

A aproximacao que satisfaz as condicoes acima definidas, e denominadade aproximacao por Elementos Finitos, e a seguinte nomenclatura e utilizada:

• Sub-domınios Ωe → Elementos

• Pontos onde ue(x) = uex(x) → Pontos nodais

• Coordenadas xi dos pontos nodais → coordenadas nodais

• Valores ui = ue(xi) = uex(xi) → variaveis nodais

No processo de aproximacao por elementos finitos, duas etapas podem serclaramente definidas: definicao analıtica da geometria dos elementos e con-strucao das funcoes de interpolacao de cada elemento. No exemplo a seguirapresenta-se graficamente uma aproximacao tıpica de elementos finitos.

Exemplo 5.4 Aproximacao em uma dimensao usando Elementos FinitosInicialmente define-se a gemetria, dividindo-se o domınio Ω em Sub-

domınios denomidados de Elementos, conforme o esquema abaixo:


Ω1; x1 ≤ x ≤ x2

Ω2; x2 ≤ x ≤ x3

Ω3; x3 ≤ x ≤ x4

(5.29)

onde x1, x2, x3, x4 sao as cordenadas nodais.Na sequencia define-se as funcoes aproximadas que interpolem as solucoes

ue(x). Adotando-se uma aproximacao linear tem-se:

Ω1; u1(x) = N1u1 +N2u2

Ω2; u2(x) = N1u2 +N2u3

Ω3; u3(x) = N1u3 +N2u4

(5.30)

e a aproximacao sobre todo o volume e definida por:

u(x) = u1(x) + u2(x) + u3(x) (5.31)

Na Figura 5.3 apresenta-se um esquema da aproximacao global adotada:

5.3 Definicao da geometria

5.3.1 Utilizando Elemento de Referencia (Isoparametrico)

Alem da aproximacao das incognitas do problema, pode-se estabelecer aprox-imacoes para a geometria que sao definidas a partir das coordenadas dosnos. Neste caso pode-se usar um sistema de coordenadas local baseado emum elemento de referencia, chamado sistema isoparametrico. As funcoes datransformacao geometrica sao identicas as funcoes de interpolacao [1] [31].

Elementos de Referencia

Para simplificar a expressao analıtica para elementos de forma complexa umelemento de referencia e introduzido. Seja o elemento entao definido em umespaco nao dimensional abstrato com uma forma geometrica muito simples.A geometria do elemento de referencia e entao mapeada a partir da geometriado elemento real usando expressoes de transformacao geometricas. Para ocaso de uma regiao triangular, tem-se:


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

Aproximacao global - linear por elementos

Figura 5.3: Aproximacao linear por Elementos Finitos - 4 Elemetos

A transformacao τ e define a coordenada de cada ponto do elemento real xem termos das coordenadas abstratas ξ do ponto correspondente do elementode referencia.

τ e : ξ → xe = xe(ξ) (5.32)

A transformacao τ e depende da forma e localizacao do elemento real.Assim ha uma transfomacao τ e diferente para cada elemento real:

τ e : ξ → xe = xe(ξ, xi, xj, xk) (5.33)

Cada transformacao τ e e escolhida para ter as seguintes propriedades:

• O mapeamento deve ser feito um a um, ou seja, para qualquer ponto doelemento de referencia, ha um e somente um ponto do elemento real;

• Os nos geometricos do elemento de referencia correspondem aos nosgeometricos do elemento real;

• Qualquer porcao do contorno do elemento de referencia, definido pe-los nos geometricos deste contorno, correspondem a uma porcao docontorno do elemento real definido pelos nos correspondentes.


1 -> x i

xi

x

y

3 -> x

0,0 1,0

0,1

1 2

3

η τ

rj

k

Elemento de Referencia

x = < x y >

Elemento Real

2 -> x

x

x

xi

j

k

ξ = < ξ η >

ξ

Ω

Ω

Figura 5.4: Exemplo de uma transformacao entre elemento de referencia eelemento real

Note que um elemento de referencia de um tipo particular mapea todosos elementos de mesmo tipo usando diferentes transformacoes τ e. No casodos elementos triangulares de tres nos usa-se uma transformacao linear τreferente as coordenadas geometricas do elemento real.

τ : ξ→ x(ξ = [N(ξ)]xn (5.34)

Alem disso, funcoes de transformacao identicas sao usadas para todas astres coordenadas.

x(ξ) = [N(ξ)]xn (5.35)

y(ξ) = [N(ξ)]yn (5.36)

z(ξ) = [N(ξ)]zn (5.37)

Logo, para o triangulo de tres nos (xi, xj, xk),

x(ξ, η) = N1(ξ, η)xi + N2(ξ, η)xj + N3(ξ, η)xk = NTxixjxk

(5.38)

y(ξ, η) = N1(ξ, η)yi + N2(ξ, η)yj + N3(ξ, η)yk = NTyiyjyk

(5.39)


0,0 1,0

0,1

1 2

3

η

r

Elemento de Referencia

ξ = < ξ η >

ξ

Ω

x = < x y >

Elemento Real

x

y

τ

τ

τ Ω

Ω

Ω

x

xx

xx1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

Figura 5.5: Descricao da transformacao entre espaco real e espaco de re-ferencia

As funcoesNi, normalmente expressas como polinomios em ξ, sao chamadasfuncoes de transformacao geometricas. Considera-se (5.34) como uma aprox-imacao nodal por sub-domınios para as funcoes x(ξ) e y(ξ).

Com a transformacao geometrica τ e agora possıvel colocar a definicaoanalıtica de cada elemento real em termos das coordenadas x pela definicaoanalıtica simples de seus elementos de referencia em funcao das coordenadasnao dimensionais ξ. Assim, para o elemento triangular de tres nos, pode-seobter sua expressao analıtica como se vera a seguir.

O elemento de referencia e definido como:

ξ + η ≤ 1 (5.40)

ξ ≤ 0 (5.41)

η ≤ 0 (5.42)

Considere a transformacao linear τ abaixo:

x(ξ, η) =

1− ξ − η ξ η

xixjxk

(5.43)

y(ξ, η) =

1− ξ − η ξ η

yiyjyk

(5.44)


Tal que satisfaca as seguintes propriedades:

• Os nos geometricos do elemento de referencia com coordenadas 〈0, 0〉,1, 0, 0, 1 transformam-se nos nos geometricos do elemento real xi,xj, xk. Por exemplo,

x(ξ = 0, η = 0) =

1 0 0

xixjxk

= xi (5.45)

• Cada contorno do elemento de referencia transforma-se no contornocorrespondente do elemento real. Por exemplo, o contorno passandoatraves dos nos 1, 0 e 0, 1 que e descrito pela equacao

1− ξ − η = 0 (5.46)

transforma-se no contorno do elemento real passando atraves de xi exj , para os quais a equacao parametrica e:

x =

0 ξ 1− ξ

xixjxk

= ξ xj + (1− ξ) xk (5.47)

y =

0 ξ 1− ξ

yiyjyk

= ξ yj + (1− ξ) yk (5.48)

Nota-se que a equacao acima e linear em ξ e η, e depende apenas dascoordenadas xi e xk dos nos pertencentes a este contorno.

Sendo a matriz Jacobiana de transformacao nao singular, a transformacaodeve uma a uma ser avaliada.

[J ] =

∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

=

[xj − xi yj − yixk − xi yk − yi

](5.49)

det(J) = (xj − xi)(yk − yi)− (xk − xi)(yj − yi) (5.50)

O determinante da matriz Jacobiana e igual ao dobro da area do triangulo.Este pode anular-se apenas quando os tres nos estao na mesma linha.


5.4 Aproximacao no Elemento de Referencia.

Espacos Isoparametricos

Forma Algebrica da Funcao de Aproximacao u(x)

Escolhe-se um conjunto de nos interpolados de coordenadas xi em umdomınio Ω. Esses nos nao precisam coincidir com os nos geometricos. Paracada elemento real usa-se uma aproximacao nodal, como na eq.(9.95).

u =

u(x, y)v(x, y)

=

[N1 0 N2 0 N3 00 N1 0 N2 0 N3

]

u1

v1

u2

v2

u3

v3

N(x)T q

(5.51)Agora, substituindo a aproximacao no elemento real pela aproximacao

correspondente no elemento de referencia tem-se

u(ξ) = N(ξ)Tq (5.52)

onde N(ξ)T sao as funcoes de interpolacao para o elemento de referencia.

Vale lembrar que nas funcoes N(ξ)T , x e ξ sao relacionados pela funcaode transformacao definida na eq.(5.34).

Na expressao (5.51) as funcoes N(x) dependem das coordenadas de cadaelemento e entao sao diferentes para cada elemento. Por outro lado, naexpressao (5.52) as funcoesN(ξ) sao independentes da geometria do elementoreal. Um unico conjunto de funcoes N(ξ) pode entao ser usado para todosos elementos que tem a mesma referencia ou pertencem a mesma famılia deelementos. Uma famılia de elementos e caracterizado pela:

• sua forma;

• seus nos geometricos;

• seus nos de interpolacao.

Para o caso de elemento triangular de tres nos a interpolacao no elementode referencia e dada por:


u(ξ, η) = 〈N1(ξ, η) N2(ξ, η) N3(ξ, η)〉

uiujuk

(5.53)

N1(ξ, η) = 1− ξ − η (5.54)

N1(ξ, η) = ξ (5.55)

N1(ξ, η) = η (5.56)

A expressao u(ξ, η) obtida pela interpolacao no elemento de referencia eidentica a expressao 9.79 de u(x,y) obtida para o elemento real desde que ospontos (ξ, η) e (x,y) sejam relacionados pela seguinte transformacao τ :

x(ξ, η) = 〈N1 N2 N3〉

xixjxk

(5.57)

y(ξ, η) = 〈N1 N2 N3〉

yiyjyk

(5.58)

onde N1 ≡ N1, N2 ≡ N2, N3 ≡ N3.

E facil mostrar que u(ξ0, η0) ≡ u(x0, y0) se o ponto (ξ0, η0) correspondeao (x0, y0) na transformacao τ .

5.5 Construcao das Funcoes N(ξ) e N(ξ)

As transformacoes geometricas N (ξ) e as funcoes de interpolacao N(ξ) pos-suem propriedades identicas. Eles podem algumas vezes ser construıdos compolinomios. Tais polinomios sao sempre polinomios de Lagrange ou de Her-mite; contudo um metodo sistematico tem sido encontrado para todos oscasos. Um numero bem conhecido de formulas tem sido encontrado para oselementos classicos.

Seguindo o procedimento descrito por Dhatt e Touzot [1], serao con-struıdas as funcoes de interpolacao para o elemento isoparametrico triangularde tres nos e de seis nos.

I. Escolha da base polinomial

Pode-se escrever u(ξ), o elemento de referencia, na forma de uma com-binacao linear de funcoes independentes conhecidas P1(ξ), P2(ξ), ...


cuja maioria sao monomios independentes. A escolha das funcoes Pi(ξ)e uma das mais importantes operacoes no metodo de elementos finitos.

Considerando-se o caso de uma aproximacao linear, tem-se:

u(ξ) = 〈P1(ξ) P2(ξ) P3(ξ)〉

a1

a2

a3

(5.59)

Com P =

1 ξ η

Ja para o caso de uma aproximacao quadratica, pode-se escrever:

u(ξ) =P1(ξ) P2(ξ) P3(ξ) P4(ξ) P5(ξ) P6(ξ)

a1

a2

a3

a4

a5

a6

(5.60)

Com P =

1 ξ η ξ2 ξη η2

Ou seja, usando-se uma aproximacao linear para u(ξ, η) e v(ξ, η), nodomınio elementar, tem-se

u(ξ, η) ≈ u(ξ, η) = α1 + α2ξ + α3η (5.61)

v(ξ, η) ≈ v(ξ, η) = α4 + α5ξ + α6η (5.62)

onde u e v sao aproximacoes lineares para u e v.

Pode-se, portanto, reescrever esta expressao matricialmente, de tal for-ma que

u =

u(ξ, η)v(ξ, η)

=

[1 ξ η 0 0 00 0 0 1 ξ η

]

α1

α2

α3

α4

α5

α6

= P Tα (5.63)


Ou ainda, usando-se uma aproximacao quadratica para u(ξ, η) e v(ξ, η),no domınio elementar, tem-se

u(ξ, η) ≈ u(ξ, η) = α1 + α2ξ + α3η + α4ξ2 + α5ξη + α6η

2 (5.64)

v(ξ, η) ≈ v(ξ, η) = α7 + α8ξ + α9η + α10ξ2 + α11ξη + α12η

2(5.65)

onde u e v sao aproximacoes lineares para u e v.

Pode-se, portanto, reescrever esta expressao matricialmente, de tal for-ma que

u =

u(ξ, η)v(ξ, η)

=

[1 ξ η ξ2 ξη η2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 ξ η ξ2 ξη η2

]

α1

α2

α3

α4

α5

α6

α7

α8

α9

α10α11α12

(5.66)

= P Tα (5.67)

O conjunto de funcoes P (ξ) constitui a base polinomial da interpolacao.O numero de termos na base deve ser igual ao numero de graus deliberdade do elemento. Assim, como se verifica nas eqs.(5.59) e (5.60),o elemento linear possui tres graus de liberdade (GDL), enquanto oquadratico possui seis graus de liberdade, em cada direcao. Uma basepolinomial completa e sempre preferıvel, todavia isto nem sempre epossıvel de ser obtido.

Para construir as funcoes de transformacao geometricas N , seleciona-seexpressoes de mesma forma para x, y.


u1

u2

u3

u1

u2

u3

nt

η

ξ

1 2

3

x

y

1

23

Figura 5.6: Elemento triangular linear

u1

u2

u3

u2

u3

u1

nt

η

ξ

1

x

y

1

2 3

2

345

6

4

5

6

uu

u

u3

u

u

u

45

6

4

5

6

Figura 5.7: Elemento triangular quadratico

x(ξ) = P (ξ)Tax (5.68)

y(ξ) = P (ξ)Tay (5.69)

O numero de funcoes P (ξ e coeficientes ax, ay e αi e igual ao numerode nos geometricos do elemento.

Pode-se definir entao que:

• Os coeficientes a e α sao chamados variaveis generalizadas doelemento para distingui-las das variaveis q;

• A expressao u(ξ) = P (ξ)Ta define um aproximacao general-izada para ser distinta da aproximacao nodal u(ξ) = N(ξ)Tq;


II. Relacao entre variaveis nodais e generalizadas

Para cada no de interpolacao das coordenadas ξi, a funcao u(ξ) avaliaseu valor nodal ui = u(ξ):

Para o triangulo de tres nos:

~u1

~u2

~u3

= q =

〈P1(ξ1) P2(ξ1) P3(ξ1)〈P1(ξ2) P2(ξ2) P3(ξ2)〈P1(ξ3) P2(ξ3) P3(ξ3)

a (5.70)

q = [Pn]a (5.71)

A relacao expressa por eq.(5.70) pode ser escrita como

q =

u1

v1

u2

v2

u3

v3

=

1 ξ1 η1 0 0 00 0 0 1 ξ1 η1

1 ξ2 η2 0 0 00 0 0 1 ξ2 η2

1 ξ3 η3 0 0 00 0 0 1 ξ3 η3

α1

α2

α3

α4

α5

α6

= P nα (5.72)

Substituindo-se os valores nos nos i,j,k do triangulo de referencia (fig.5.6),tem-se [17]:

u(0, 0) = u1 = α1

u(1, 0) = u2 = α1 + α2ξ (5.73)

u(0, 1) = u3 = α1 + α3η

Obtendo-se entao que:

u1

u2

u3

=

1 0 01 1 01 0 1

α1

α2

α3

= P nuα (5.74)

Tem-se entao para ui que,


α = P−1n q (5.75)

ou seja,

α1

α2

α3

=

1 0 0−1 1 0−1 0 1

u1

u2

u3

(5.76)

As expressoes para vi sao obtidas de forma analoga.

Para o triangulo de seis nos

~u1

~u2

~u3

~u4

~u5

~u6

= q =

P1(ξ1) P2(ξ1) P3(ξ1) P4(ξ1) P5(ξ1) P6(ξ1)P1(ξ2) P2(ξ2) P3(ξ2) P4(ξ2) P5(ξ2) P6(ξ2)P1(ξ3) P2(ξ3) P3(ξ3) P4(ξ3) P5(ξ3) P6(ξ3)P1(ξ4) P2(ξ4) P3(ξ4) P4(ξ4) P5(ξ4) P6(ξ4)P1(ξ5) P2(ξ5) P3(ξ5) P4(ξ5) P5(ξ5) P6(ξ5)P1(ξ6) P2(ξ6) P3(ξ6) P4(ξ6) P5(ξ6) P6(ξ6)

a

(5.77)= [Pn]a (5.78)

Assim, para ui pode-se reescrever a expressao acima como:

~u(ξ, η) =

1 ξ η ξ2 ξη η2

α1

α2

α3

α4

α5

α6

(5.79)

Substituindo-se os valores nos nos i,j,k do triangulo de referencia (fig.5.7),tem-se:

u(0, 0) = u1 = α1

u(1

2, 0) = u2 = α1 +

1

2α2ξ +

1

4α4ξ

2

u(1, 0) = u2 = α1 + α2ξ + α4ξ4 (5.80)


u(1

2,1

2) = u2 = α1 +

1

2α2 +

1

2α3 +

1

4α4ξ

2 +1

4α5ξη +

1

4α6η

2

u(0, 1) = u3 = α1 + α3 + α6η2η

u(1

2,1

2) = u2 = α1 +

1

2α3 +

1

4α6η

2

Obtendo-se:

u1

u2

u3

u4

u5

u6

=

1 0 0 0 0 01 0.5 0 0.25 0 01 1. 0 1 0 01 0.5 0.5 0.25 0.25 0.251 0 1 0 0 11 0 0.5 0 0 0.25

α1

α2

α3

α4

α5

α6

= P nuα (5.81)

Tem-se entao para ui,

α = P−1n q (5.82)

ou seja,

α1

α2

α3

α4

α5

α6

=

1 0 0 0 0 0−3 4 −1 0 0 0−3 0 0 0 −1 42 −4 2 0 0 04 −4 0 4 0 −42 0 0 0 2 −4

u1

u2

u3

u4

u5

u6

(5.83)

As expressoes para vi sao obtidas de forma analoga.

III. Expressao analıtica para N e N

Para o triangulo de tres nos

Substituindo-se 5.59 em 5.70,

u(ξ) = P (ξ)T [Pn]−1q (5.84)


ou

u(ξ) = N(ξ)Tq (5.85)

ondeN(ξ) = P (ξ)T [Pn]−1 (5.86)

Da mesma forma, tem-se

x(ξ) = N (ξ)Txi (5.87)

y(ξ) = N (ξ)Tyi (5.88)

ondeN(ξ) = P (ξ)T [Pn]−1 (5.89)

sendo

N (ξ) = N(ξ) (5.90)

Para este elemento as funcoes de forma sao definidas como sendo:

N1 = 1− ξ − η (5.91)

N2 = ξ (5.92)

N3 = η (5.93)

e finalmente pode-se definir a matriz de funcoes de forma como:

NT =N1 N2 N3

(5.94)

Desta maneira a interpolacao da geometria e escrita por:

x(ξ, η) = N1x1 + N2x2 + N3x3 =3∑i=1

Nixi (5.95)

y(ξ, η) = N1y1 + N2y2 + N3y3 =3∑i=1

Niyi (5.96)


onde x(ξ, η) e y(ξ, η) sao as coordenadas dos pontos em relacao a umsistema local de referencia, e xn e yn sao as coordenadas cartesianasglobais dos nos do elemento triangular linear.

E os deslocamentos, analogamente:

u(ξ, η) = N1u1 +N2u2 +N3u3 =3∑i=1

Niui (5.97)

v(ξ, η) = N1v1 +N2v2 +N3v3 =3∑i=1

Nivi (5.98)

Para o triangulo de seis nos

Substituindo-se 5.60 em 5.77,

u(ξ) = P (ξ)T [Pn]−1q (5.99)

ou

u(ξ) = N(ξ)Tq (5.100)

ondeN(ξ) = P (ξ)T [Pn]−1 (5.101)

Da mesma forma, tem-se

x(ξ) = N (ξ)Txi (5.102)

y(ξ) = N (ξ)Tyi (5.103)

ondeN(ξ) = P (ξ)T [Pn]−1 (5.104)

sendo

N (ξ) = N(ξ) (5.105)

Para este elemento as funcoes de forma sao definidas como sendo:


N1 = 1− 3η + 2η2 − 3ξ + 4ηξ + 2ξ2 (5.106)

N2 = 4ξ − 4ηξ − 4ξ2 (5.107)

N3 = −ξ + 2ξ2 (5.108)

N4 = 4ηξ (5.109)

N5 = −η + 2η2 (5.110)

N6 = 4η − 4η2 − 4ηξ (5.111)

e finalmente pode-se definir a matriz de funcoes de forma como:

NT =N1 N2 N3 N4 N5 N6

(5.112)

Deste modo a interpolacao da geometria e escrita por:

x(ξ, η) = N1x1 + N2x2 + N3x3 + N4x4 + N5x5 + N6x7

=6∑i=1

Nixi (5.113)

y(ξ, η) = N1y1 + N2y2 + N3y3 + N4y4 + N5y5 + N6y6

=6∑i=1

Niyi (5.114)

onde x(ξ, η) e y(ξ, η) sao as coordenadas dos pontos em relacao a umsistema local de referencia, e xn e yn sao as coordenadas cartesianasglobais dos nos do elemento triangular linear.

E os deslocamentos, analogamente:

u(ξ, η) = N1u1 +N2u2 +N3u3 +N4u4 +N5u5 +N6u6

=6∑i=1

Niui (5.115)

v(ξ, η) = N1v1 +N2v2 +N3v3 +N4v4 +N5v5 +N6v6

=6∑i=1

Nivi (5.116)


Transformacao dos Operadores Diferenciais

Generalidades

As equacoes que governam o problema fısico sao escritas no domınio reale involvem funcoes desconhecidas de u e suas derivadas:∂u

∂x, ∂u∂y

. Considerandoque a aproximacao no espaco do elemento real e sempre mais complicada, emais conveniente trabalhar no espaco do elemento de referencia

u ≈ u(ξ) = N(ξ)Tq (5.117)

juntamente com a transformacao τ definida da seguinte forma:

τ : ξ→ x = x(ξ) = [N(ξ)](xi) (5.118)

Ou ainda,

τ−1 : x→ ξ = ξ(x) (5.119)

Desde que o inverso da transformacao τ−1 e geralmente muito difıcil deconstruir, exceto para os elementos mais simples, e mais conveniente avaliartodos os operadores no espaco do elemento de referencia. Para expressoescontendo derivadas referentes ao espaco real (x,y) e necessario obter as ex-pressoes equivalentes no espaco do elemento de referencia (ξ, η). Tais ex-pressoes dependem da matriz Jacobiana de transformacao.

Derivadas Primeira

Usando a regra da cadeia do calculo, obtem-se as seguintes expressoes:∂∂ξ∂∂η

=

[∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

]∂∂x∂∂y

(5.120)

ou

∂ξ = [J ]∂x (5.121)

onde [J ] e a matriz Jacobiana da transformacao geometrica. Uma ex-pressao similar e obtida trocando-se as derivadas do espaco real pelas doespaco de referencia.

∂∂x∂∂y

=

[ ∂ξ∂x

∂ξ∂y

∂η∂x

∂η∂y

]∂∂ξ∂∂η

(5.122)


ou

∂x = [j]∂ξ (5.123)

Sendo,[j] = [J ]−1 (5.124)

Pode-se notar que, na pratica, e a matriz [J ] que e explicitamente defini-da, sendo a matriz [j] obtida numericamente a partir de [J ]−1.

Assim, para o caso bidimensional define-se que:

[J ] =

[J11 J12

J21 J22

]; [J ]−1 =

1

det(J)

[J22 −J12

−J21 J11

](5.125)

Avaliacao dos termos de [J ]

Os varios termos de [J ] sao obtidos diretamente da expressao (5.34) ree-scrita como a seguir:

x yT

= N(ξ)T[xi yi

](5.126)

sendo xi e yi as coordenadas dos nos geometricos. Logo, a matriz Jacobianasera dada por:

[J ] =

∂∂ξ∂∂η

x y

T=

[〈N,ξ〉〈N,η〉

] [xi yi

](5.127)

O Jacobiano e obtido como o produto de duas matrizes, uma contendo asderivadas das funcoes de transformacao geometrica com respeito ao espacodo elemento de referencia, e outra contendo as coordenadas reais dos nosgeometricos do elemento.

Assim, para o elemento triangular linear (tres nos) tem-se:

∂N∂ξ =

−110

(5.128)

e

∂N∂η =

−101

(5.129)

Logo,


[J ] =

[x2 − x1 y2 − y1x3 − x1 y3 − y1

](5.130)

sendo

det(J) = 2A = (x2 − x1)(y3 − y1)− (x3 − x1)(y2 − y1) (5.131)

Ja para o elemento triangular quadratico (seis nos) tem-se:

∂N∂ξ =

−3 + 4η + 4ξ4− 4η − 8ξ−1 + 4ξ

4η0−4η

(5.132)

e

∂N∂ξ =

−3 + 4η + 4ξ−4ξ

04ξ0

4− 8η − 4ξ

(5.133)

Logo,

J11 = −3x1 + 4x2 − x3 + ξ(4x1 − 8x2 + 4x3)

+η(4x1 − 4x2 + 4x4 − 4x6) (5.134)

J12 = −3y1 + 4y2 − y3 + ξ(4y1 − 8y2 + 4y3)

+η(4y1 − 4y2 + 4y4 − 4y6) (5.135)

J21 = −3x1 + η(4x1 − 8x6) + ξ(4x1 − 4x2 + 4x4 − 4x6) + 4x6(5.136)

J22 = −3y1 + η(4y1 − 8y6) + ξ(4y1 − 4y2 + 4y4 − 4y6) + 4y6 (5.137)

Usando-se as definicoes (5.120) e (5.121), e as expressoes dos Jacobianosdos elementos triangulares linear e quadratico, obtem-se uma relacao entreas operacoes de derivacao, definidas no espaco real ou de referencia.

Transformacao de uma Integral


A mudanca de variaveis dada por (5.118) permite mudar o domınio deintegracao da funcao f no domınio real Ω para uma integracao mais simplesno espaco do elemento de referencia Ωr.∫

Ωf(x)dxdydz =

∫Ωrf(x(ξ)) det(J)dξdηdζ (5.138)

sendo det(boldmath J) o determinante da matriz Jacobiana [J ]. O vol-ume elementar e definido por um produto misto

dV = (d~x× d~y).d~z (5.139)

Em um sistema cartesiano pode-se escrever

d~x = dx.~i; d~y = dy~j ; d~z = dz~k (5.140)

onde ~i, ~j, ~k sao vetores unitarios.Isto conduz a:

dV = dx dy dz. (5.141)

No espaco do elemento de referencia

dV = (d~ξ × d~η).d~ζ (5.142)

onde

d~ξ = (J11~i+ J21

~j + J31~k)dξ (5.143)

d~η = (J12~i+ J22

~j + J32~k)dη (5.144)

d~ζ = (J13~i+ J23

~j + J33~k)dζ (5.145)

Portanto,

dV = det(J)dξdηdζ (5.146)

Apos a obtensao da forma analıtica, deve-se entao resolver a integracaonumerica do dominio elementar usando-se, por exemplo, o esquema de pontosde Hammer. Pode-se tambem definir o elemento triangular de tres nos porum referencial local em coordenadas de area, avaliando as expressoes atravesde manipulacao simbolica, evitando-se assim a integracao numerica.

Vale lembrar que uma formulacao isoparametrica e mais geral que umaformulacao geometrica de referencia local. Logo, tendo-se o procedimen-to geral dominado, nao so os elementos triangulares lineares e quadraticospodem ser desenvolvidos sem muito custo, mas toda familia de elementosquadrilineares.


5.6 Exemplo - Problema de ”a definir ”.

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Cap5