Cap5Aula1_ForcasDistribuidas

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1ª Avaliação 13/05/2011 Próxima semana

Capítulo 2 – Estática dos Pontos Materiais

Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos

Capítulo 3 – Corpos Rígidos: Sistemas

Equivalentes de Forças



Capítulo 5 – Mecânica Vetorial para Engenheiros

F. P. Beer e E. R Johnston

Forças Distribuídas: Centróides eBaricentros

Parte I



Objetivos Ação de distribuição de forças em situações deequilíbrio

Gravitacional

Hidrostática

A distribuição de

massa vai influenciarno equilíbrio

Ponto GPonto G



Objetivos

Centróides• Centro de Massa

• Forças Distribuídas

Analisar a determinaçãode centróides de

superfícies e volumes

O peso da massa degelo está distribuídouniformemente sobre aasa do avião



Objetivos

A estabilidade dos veículosdepende da posição do

centro de massa

Aprenderemos a localizar ocentro de massa de

estruturas sólidas



Objetivos

A análise da estabilidade deestruturas frente à ação de

forças distribuídas éfundamental na área de

infraestruturas de transporte



Objetivos

A ação de forças distribuídashomogeneamente podem serrepresentada por uma força

efetivaAprenderemos a localizar este

ponto e determinar a intensidade

da força resultante



Conceitos e definições

Centro de Gravidade (CG) e Centro de Massa (CM)

Definição: o centro de massa é o pontoque representa toda a massa de um corpoou sistema de partículas

Onde está localizado o centro de massa

destas duas partículas?

21

2211 ..

mm

m xm x xM

+

+=

Centro de Massa



Definição: o centro de gravidade é o pontodo espaço que localiza a resultante dospesos em um sistema de partículas ou corporígido

Onde está localizado o centro de gravidadedestas duas partículas?


O CM e o CG coincidem no mesmo ponto

B AG d d M ).3().1(0 −+==∑

Centro de Gravidade




Definição: O Centróide é o ponto que

localiza o centro geométrico de umcorpo ou superfície ou linha. Dependesomente da forma (geométrico)

Convenção: designamos pela letra Co ponto do centróide

Centróide



O Centróide coincide com o CM (CG) somentequando o objeto for homogêneo: distribuição

uniforme de massa

Vamos aprender como localizar

este ponto neste capítulo


Centróide



Estruturas bidimensionais: Placas e Fios

Como localizar o centróide de umaplaca ?

=

=

y

x Coordenada x do C

Coordenada y do C

Se a placa for uniformementedistribuida em massa, os pontos C,

CM e CG possuem as mesmascoordenadas

( ) y xCM CGC ,===

Determinando centróides




Podemos encontrar o centro de gravidade (G)da placa através da soma de várias porçõesmenores, que será o local também docentróide, pois será o G do sistema de porçõesde massa (partículas)

Vamos fazer

isso supondo o

eixo do pesoperpendicular àplaca





Se as porções foremextremamentepequenas, podemos

supor que todaspossuem a mesmadimensão

n P P P P P ∆++∆+∆+∆= L321

( )11, y x ( )22 , y x ( )33, y x

( )nn y x ,

O peso da placa, P, localizado em G, será a soma dos pesos individuais de

cada porção de área ∆A, cada uma localizada em um ponto específico.

O centróide de cada área ∆A define a posição da porção de área





Para localizar o CG: Omomento do peso totallocalizado em C deve serequivalente à soma dos

momentos de cada porçãode massa da placa

P xM y .=

P x P x P x P x P x P xM

n

nn y

∆++∆+∆=

∆++∆+∆=

∑ ......

21

2211

L

L

P yM x .= P y P y P yM n x ∆++∆+∆=∑ ... 21 L

=

=

∑ ∆=

i

i P x P x .. ∑ ∆=

i

i P y P y ..




Se dividirmos a placa eminfinitas porções de massa

00 →∆→∆ P A

A soma de todas as unidades de

área ∆∆∆∆A→ 0 equivale ao valor exatoda área da figura representada, por

mais irregular que seja!!!!




Se dividirmos a placa eminfinitas porções de massa

00 →∆→∆ P A

∑∞

=

∆=

1

..i

i P x P x

∑∞

=

∆=

1

..i

i P y P y

Infinitamentepequeno

∑=

∞→∆=

i

i P x P x1

.lim.

∑=

∞→∆=

i

i P y P y1

.lim. ∫= dP x P x ..

∫= dP y P y ..




∫= dP x P x ..

∫= dP y P y ..

Para relacionar o CGcom o centróide,relacionamos o pesodP com a forma, dAt

P t P

Volume Peso

∆

∆===

..γ

PesoEspecífico

Valor constante sea distribuição demassa é uniforme

At P dAt dP

....

γ =

=

∆∆∆∆A

t

∆∆∆∆

P




( ) ( )

x

QdA y A y

y

QdA x A x

dAt x At x

dP x P x

x

y

arespeitocomordem primeirademomento

arespeitocomordem primeirademomento

=

==

=

==

=

=

∫

∫∫

∫

γ γ




∫

∫

∫

∫==

dA

dA y y

dA

dA x x

..





La P

La P

Volume Peso

∆

∆===

..γ

Fio = linha de massa de área a e comprimento L

( ) ( )

∫∫

∫∫

=

=

=

=

dL y L y

dL x L x

dLa x La x

dP x P x

γ γ

a∆∆∆∆L




Centróide de áreas simétricas

A área é simétrica em relação ao eixo BB’

Definição: uma área ésimétrica em relação a um eixoespecífico (BB’) quando paraqualquer ponto P da áreaexiste um ponto P’ também da

área tal que a reta PP’ éperpendicular ao eixo (BB’)





A área é simétrica emrelação ao eixo y

Para todo x.dAexiste um (-x).dA

0

0.

=

=∫ x

dA xel

O centróide vai estar, NECESSARIAMENTE, em algumponto do eixo de simetria

Neste caso, só necessitamos determinar a

coordenada y do centróide





Se a área possui 2 eixos de

simetria, o CentróideNECESSARIAMENTE está

localizado no ponto deintersecção





Para todo x.dAexiste um (-x).dA

Para todo y.dAexiste um (-y).dA

( ) ( )0,0, = y x




Determinando centróides por integração

1)





As coordenadas do centróideserão determinadas obedecendoeste sistema de coordenadas

( ) y x,



A área é dividida em infinitoselementos de área, dA

dy xdA .=Todos os elementosuma possuem área

X depende da localização doelemento infinitesimal dA, etem valor determinado pelolimite da superfície



∫∫

=dA

dA y y

.

Coordenada y doelemento de área dA

( )

( )3.

.

..

...

.

...

21

2

61

0

0 hhbhb

dy yh

dy yh y

dy x

dy x y

dA

dA y y

h

hb

h

hb

el

==

−

−

=

==

∫

∫

∫

∫

∫

∫





Empregamosum elementoinfinitesimaltriangular

2)

θ . R s =





Empregamosum elementoinfinitesimaltriangular

( )

θ

θ

θ θ

sen R y

R x

d

R

d R RhbdA

el

el

..

cos..

2...21

..21

3

2

32

2

=

=

===



( )

π

π θ

θ θ

π

π

3

4

3

4

2

.2

.)cos(

.

2

2

0

2

0

2

32

R

y

R

d R

d R R

dA

dA x x

el

=

==

==

∫

∫

∫∫

3)



3)

2

.

y

y

x xdx ydA

el

el

=

=

=

m

dx x

dx x

dx y

dx y x

dA

dA x x

A

A

el

75,0333,0

250,0

.

.

.

...

1

0

2

1

0

3

1

0

1

0=====

∫

∫

∫

∫

∫

∫

m

dx x

dx x

dx y

dx y

dA

dA y

y

x y

A

A

el

3,0333,0

100,0

.

..

.

...

1

0

2

1

0

2

2

1

0

1

0

2

2

=====

∫

∫

∫

∫

∫

∫







Centróide de superfícies compostas

P Y

P X

.

.

∑

∑

i

ii

i

ii

P y

P x

.

.

=




∑∑

∑∑

=

=

i

ii

i

ii

A y AY

A x A X

.

.


Centróide de superfícies compostas



Tabela devalores decentróides



Tabela de valores de centróides



Exemplo Resolvido

Determine para a superfície planada figura (a) os momentos

estáticos com relação aos eixos xe y e (b) a posição do centróide



Determine para a superfície planada figura (a) os momentos

estáticos com relação aos eixos xe y e (b) a posição do centróide

1. Dividir a área em um triângulo, um retângulo, um semicírculo e um cortecircular

2. Calcular os momentos de 1ª ordem para cada parte com respeito a cada

eixo coordenado

3. Encontrar a área total e os primeiros momentos do triângulo, retângulo esemicírculo. Subtrair a área e o primeiro momento do corte circular

4. Calcular as coordenadas do centróide da área dividindo o primeiromomento pela área total

Exemplo Resolvido



Exemplo Resolvido



33

33

mm107.757

mm102.506

×+=

×+=

y

x

Q

Q

Exemplo Resolvido



23

33

mm1013.828

mm107.757

×

×+==

∑∑

A

A x X

mm8.54=

23

33

mm1013.828

mm102.506

×

×+==

∑∑

A

A yY

mm6.36=Y

Exemplo Resolvido

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