Capítulo 5 Carga Axial - Professorprofessor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17430... · Determinar a tensão normal e as deformações ... que tenham a mesma resultante

Prof. MSc. Douglas M. A. [email protected]

Resistência dos Materiais I – SLIDES 05

Capítulo 5

Carga Axial

SLIDES 05 – Capítulo 5 / Carga Axial

REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt

Objetivos do capítulo

Determinar a tensão

normal e as deformações

em elementos carregados

axialmente

Calcular as reações de

apoio quando as

equações de equilíbrio

estático forem

insuficientes

Estudar o efeito da tensão

térmica

2



5.1 Princípio de Saint-Venant

3




4




5

A tensão e a deformação produzidas em pontos de um

corpo suficientemente distantes da região de aplicação

de cargas serão iguais à tensão e à deformação

produzidas por quaisquer carregamentos aplicados

que tenham a mesma resultante estaticamente

equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da

mesma região.




6



5.2 Deformação elástica de um

elemento sob carga axial

Consideremos a viga genérica sob carga axial:

7

Carga varia ao longo de x P (x)

Área varia ao longo de x A (x)

Elasticidade varia ao longo de x E (x)

Tensão uniforme em cada seção Saint-Venant





Vamos calcular a deformação no elemento dx:

8

E

Lei de Hooke!!!

)(

)(

xA

xP

dx

d

dx

dxE

xA

xP )(

)(

)(

)()(

)(

xExA

dxxPd





Para o comprimento total da barra, tem-se:

9

L

xExA

dxxP

0 )()(

)(

δ = deslocamento de um ponto na barra

relativo a um outro ponto.

L = distância original entre os dois pontos.

P(x) = força axial interna na seção, localizada

a uma distância x de uma extremidade.

A(x) = área da seção transversal da barra,

expressa em função de x.

E(x) = módulo de elasticidade do material,

expresso em função de x.





Elemento com P, A e E constantes (ao longo do

comprimento

Quando o elemento

é constituído de

segmentos:

10

L

dxEA

P

0

EA

LP

EA

LP





Convenção de sinais

11

+

Tração / Alongamento

─

Compressão / Contração



Exemplo 5.1

12



Exemplo 5.2

13



5.3 Princípio da Superposição

Metodologia:

Subdividir o carregamento em componentes;

Calcular os efeitos em separado;

Somar os resultados.

14

A tensão ou o deslocamento resultante no

ponto podem ser determinados se antes se

determinar a tensão ou o deslocamento

causado por cada componente de carga

agindo separadamente sobre o elemento.




Condições necessárias para aplicação do método:

A carga deve estar relacionada linearmente com a

tensão ou com o deslocamento a ser determinado:

Exemplos:

A carga não deve provocar mudanças significativas na

geometria ou na configuração original do elemento.

Lembrar da hipótese de pequenos deslocamentos!

15

A

P

AE

PL




16

Condições necessárias para aplicação do método:

Contra exemplo (o princípio não é válido):

No curso o princípio sempre será válido, a menos que se

explicite o contrário, como no caso de flambagem de colunas

212211 porque , ddddPdPdP



5.4 Elemento com carga axial

estaticamente indeterminado

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Um elemento é considerado estaticamente

indeterminado quando as equações de equilíbrio

são insuficientes para a determinação das reações

Uma forma de se resolver o problema consiste em

adicionar mais uma equação ao sistema, chamada

equação de compatibilidade ou cinemática, que

relaciona o deslocamento ao equilíbrio




estaticamente indeterminado Exemplo:

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0 PFF BA

Equilíbrio: 0

vF

Duas incógnitas e

apenas uma equação!

Equação de

compatibilidade

zero/ BA





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Percebendo-se que a força

interna no segmento AC é

+FA, e que no segmento CB

é -FB , a equação de com-

patibilidade pode ser escri-

ta como:

0// CBCA

0

EA

LF

EA

LF CBBACA





20

0

EA

LF

EA

LF CBBACA

AC

CBBA

L

LFF

Substituindo na equação de equilíbrio estático:

PFL

LFB

AC

CBB

PL

LF

AC

CBB

1

PL

LLF

AC

ACCBB

L

LPF AC

B

L

LPF CB

A



Exemplo 5.3

21



Exemplo 5.4

22



Exemplo 5.4

23



5.5 Tensão Térmica

24

A partir de estudos da Física, pode-se deduzir:

α: coeficiente linear de expansão térmica [T]-1

ΔT: variação de temperatura do elemento

L: comprimento inicial do elemento

δT: variação no comprimento do elemento

LTT



5.5 Tensão Térmica

25

Se a mudança na temperatura ou o deslocamento

mudar ao longo do comprimento:

Observação: quando o elemento é estaticamente

indeterminado, os deslocamentos térmicos podem

ser restringidos pelos apoios, o que produz

tensões térmicas que devem ser consideradas em

projeto.

L

T dxT0



Exemplo 5.5

26

1 m10 mm

10 mmEaço = 200 GPa

αaço = 12x10-6 ºC-1



Exemplo 5.5

27

1 m

10 mm

10 mm



Exemplo 5.6

28

Eaço = 200 GPa

αaço = 12x10-6 ºC-1

EAl = 73,1 GPa

αAl = 23x10-6 ºC-1



Exemplo 5.6

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