Capítulo VIII Campos Relativísticos - uel.br Relativistica... · Usando a linguagem da Mecânica Quântica, o sistema físico é representado pelo vetor de estado 0 “ (,,)=0(,,)

8. Campos relativísticos

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Capítulo VIII

Campos Relativísticos

Na mecânica clássica, a dinâmica de uma partícula é definida pela evolução temporal da posição e da velocidade (ou do momento), que podem ser determinadas resolvendo o conjunto de equações diferenciais definidas pela segunda lei de Newton que, na sua equivalente relativística, é �� = �� , �� = �� ⋅ �� , �� , desde que a força seja conhecida além das condições iniciais definidas por dois parâmetros reais, por exemplo, a posição e a velocidade num determinado tempo ��.

Na mecânica quântica, pelo Princípio da Incerteza de Heisenberg, não se pode determinar, simultaneamente, a posição e o momento de uma partícula. E a dualidade onda-partícula leva ao conceito de função de onda e aos preceitos de quantização definidas pelas

relações de Planck e de De Broglie, � = ℎ� e � = ℎ/�, respectivamente. Considerando

ondas planas, unidimensionais, �� , (8.1)

onde ! = 2#� é a frequência angular e $ = 2#/� o vetor de onda, chega-se às igualdades

� = ℎ� = ħ! e � = �'2( = ħ'$'2( , (8.2)

( a massa de repouso. A massa relativística será explicitada como ().

Das derivadas de primeira ordem no tempo e no espaço resultam

*ħ ++� �� = �� e ħ* ++, �� = �� , (8.2)

que levam às associações

� → *ħ ++� � � → ħ* ++, . (8.3)

Desta forma, a equação da energia de uma partícula livre

� = �'2( (8.4)

sugere a equação diferencial

*ħ ++� 0(,, �) = − ħ'2( +'+,' 0(,, �) , (8.5) satisfeita pela superposição de ondas planas cuja representação geral tem a forma

0(,, �) = 3 4($)��$5�5 . (8.6)

A generalização imediata é considerar a energia mecânica total


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� = �'2( + 8(,, �) (8.7)

que leva à equação de onda mais geral

*ħ +0(,, �)+� = − ħ'2( +'0(,, �)+,' + 8(,, �)0(,, �) (8.8)

cuja generalização tridimensional é

*ħ +0(:, �)+� = − ħ'2( ∇'0(:, �) + 8(:, t)0(:, �) (8.9)

onde 8(:, �) é um potencial de interação da partícula. Esta é a equação de onda

apresentada por Erwin Schroedinger em 1926, para partículas não relativísticas. Associada a

esta equação existe a equação de conservação da probabilidade +>(:, �)+� + ∇ ∙ @ = 0 (8.10)

onde >(:, �) = 0∗0 = |0|' (8.11)

é a densidade de probabilidade da localização da partícula e

@(:, �) = ħ2(* D0∗∇0 − (∇0∗)0E (8.12)

a densidade da corrente de probabilidade que definem a interpretação probabilística. As diversas partículas relativísticas têm propriedades distintas que podem ser

caracterizadas nos campos relativísticos pelas propriedades específicas sob as transformações gerais de Lorentz

,F� = G�H,H . (8.13)

De acordo com as suas propriedades de transformações, os campos podem ser:

a) Escalares - são invariantes,

IF(,F) = I(,) . (8.14)

b) Vetores - transformam-se da mesma forma que as coordenadas,

JF�(,F) = G�HJH(,) , (8.15)

c) Tensores de ordem genérica - as componentes transformam-se, índice a índice, como as componentes dos vetores,

K F�H⋯(,F) = G� MGHN ⋯ KMN⋯(,) . (8.16)

De uma forma geral os vetores são tensores de primeira ordem e os escalares, tensores de ordem zero. Há ainda os pseudo-escalares, pseudo-vetores, etc., que se transformam da mesma forma que os escalares, vetores, etc., a menos de um fator multiplicativo ��G, que causa a troca de sinal na presença de uma reflexão espacial ou inversão temporal.


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d) Há ainda os espinores, cujas propriedades serão apresentadas junto com as respectivas equações de movimento.

8.1 Equações de movimento A primeira proposta de uma equação de onda relativística para uma partícula de massa de repouso ( vem das substituições dos operadores de energia e de momento, equação (8.3), ou a sua versão relativística

�� → *ħ+� = *ħ ++,� , na equação da energia, explicitamente invariante de Lorentz,

�� = �'�' − ' = ('�' , (8.17)

que, em termos dos operadores diferenciais, fica

+�+� = +'�'+�' − O' = − ('�'ℏ' . Aplicado sobre uma função escalar, I(:, �), resulta a equação de Klein-Gordon

Q +'�'+�' − O' + ('�'ℏ' R I(:, �) = 0 . (8.18)

Devido à relação fundamental da energia, equação (8.17), todos os campos relativísticos usados para representar as partículas elementares livres devem, em princípio, satisfazer à equação de Klein-Gordon, tendo como soluções as superposições de ondas livres

I(:, �) = 1(2#)S/' 3 4(T) ��(��T∙:)�S$ (8.18)

onde � = ℏ! e U = ℏT resultando, da equação (8.18), a relação de dispersão

!' − V'�' = ('�Wℏ' . (8.19)

A função 4(V) é definida pela condição inicial

I(:, � = 0) = I(:) = 1(2#)S' 3 4(T) ��T∙:�S$ , uma integral de Fourier cuja inversa é

4(T) = 1(2#)S' 3 I(:) ��T∙:�S, . (8.20)

Associada à equação de Klein-Gordon existe a corrente conservada definida pelas

componentes

X� = *2( YI∗+�I − Z+�I∗[I\ (8.21)


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tal que +�X� = 0 . Esta corrente pode ser positiva ou negativa, impossibilitando a sua interpretação probabilística.

As dificuldades iniciais na interpretação probabilística das soluções da equação de Klein-Gordon levaram à proposta da equação de Dirac Z*ℏ)�+� − (�[0(:, �) = 0 (8.22)

onde )� = Z)�, )�[ são as quatro matrizes 4 × 4 (matrizes de Dirac) obedecendo à relação de

anti-comutação ()�)H + )H)�) = ^)�, )H_ = 24�H` , (8.23)

condição necessária para que a função 0(:, �), componente a componente, satisfaça também à equação de Klein-Gordon,

Q +'�'+�' − O' + ('�'ℏ' R 0M(:, �) = 0 , (8.24)

o índice a variando de 1 a 4. A corrente conservada associada à equação de Dirac é X� = 0b)�0 (8.25)

onde 0b = 0c)�. As equações de movimento devem ser as mesmas em quaisquer referenciais inerciais.

Assim, numa mudança do sistema referencial d → dF, a equação (8.22) deve ser covariante. Considere a transformação

0F(,F) = e(G)0(,) , (8.26)

onde e(G) é uma função matricial dos componentes G� H da transformação de Lorentz. A equação de Dirac no referencial dF deve ser Z*ℏ)�+�F − (�[0F(xF) = 0 , os operadores diferenciais transformando-se como

+�F = ++,F� = ++,g +,g+,F� = (Λ�i)g� +g (8.27)

de modo que a equação de Dirac em dF fica j*ℏ)�(Λ�i)g�+g − (�k e(G)0(,) = 0 . A equação de Dirac (8.22) será covariante se satisfeita a condição e)�e�i = (Λ�i)� H)H . (8.28)

A expressão

e(Λ) = e� lW�mnomn (8.29)


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para o conjunto de matrizes

p�H = i2 D)�, )HE = i2 ()�)H − )H)�) (8.30)

satisfaz a condição, resultando

0F(,F) = e(G)0(,) = e� rs�mnomn0(,) . (8.31)

As partículas de spin 1/2 (férmions) com massa não nula, como os elétrons, são representadas pelos espinores de Dirac, com estrutura de matriz coluna a quatro componentes complexos,

0 = t0i0'0S0Wu , 0b = 0c)� .

O campo relativístico mais conhecido é o campo eletromagnético, cuja dinâmica é determinada pelas quatro equações de Maxwell que, em notação tensorial, correspondem às equações não homogêneas

+�v�H = 4#� XH (8.32)

e às homogêneas +�vHw + +Hvw� + +wv�H ≡ 0 ⟺ zg�Hw+�vHw ≡ 0 . (8.33)

Desde que não haja cargas magnéticas, as equações homogêneas correspondem a identidades matemáticas que permitem expressar os campos elétrico e magnético em termos de um campo quadri-vetorial J� = (J�, {) = (I, {) , (8.34)

componentes do tensor eletromagnético v�H = +�JH − +HJ� . (8.35)

As componentes do campo elétrico correspondem a

�� = v�� = +�J� − +�J� ⟹ } = −4~��I − +{�+� (8.36)

Z�� = �i, �� = �' , �� = �S[ e as componentes do magnético, �� = v�� ⟹ � = ~��{ , (8.37)

para o conjunto de índices ^*X$_ tomados ciclicamente, isto é, Z�� = �i = v'S, �� = �' =vSi, �� = �S = vi'[.

Os campos físicos, mensuráveis, são os campos elétrico e magnético, que são invariantes pelas transformações de gauge J� → J�F = J� + +�� , (8.38)

consequência das identidades matemáticas ~��(4~��) ≡ 0 e 4~��(�*�) ≡ 0.


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Em termos das componentes do quadri-potencial, as equações não homogêneas mais a condição +�J� = 0 (gauge de Lorentz) resultam

+�+�JH = Q +'�'+�' − O'R JH = 4π� XH , (8.39)

onde XH = Z>�, X�[ é o quadri-vetor densidade de corrente elétrica, fonte do campo

eletromagnético. Na ausência da fonte, a equação de movimento resulta

Q +'�'+�' − O'R JH = 0 , (8.40)

que corresponde à equação de Klein-Gordon para massa nula, ( = 0, para cada uma das componentes J�, cujas soluções de ondas planas satisfazem a relação de dispersão !' − $'�' = 0 , (8.41)

indicando que todas as ondas se propagam com a mesma velocidade !/$ = �. A equação de movimento de um campo vetorial com massa não nula é a equação de Proca,

Q +'�'+�' − O' + ('�'ℏ' R JH(:, �) = 0 . (8.42)

As equações relativísticas têm soluções de energia positiva e negativa, � = ±�'�' + ('�W . Na Teoria Quântica dos Campos as correntes conservadas associadas às equações de

Klein-Gordon e de Dirac são interpretadas como densidades de corrente da carga elétrica. As soluções de energia positiva representam as partículas e as de energia negativa, as anti-partículas

8.2 Transformações de simetria. Geradores As transformações de simetria, por definição, mantêm as equações de movimento

invariantes, e podem ser internas ou externas. As primeiras afetam apenas os parâmetros internos do sistema, como nas transformações de fase 0(x, t) → 0F(x, t) = ��M0(x, t) . (8.43)

As transformações externas atuam sobre as coordenadas do espaço-tempo. As transformações mais gerais da Relatividade Restrita são as transformações de Lorentz não homogêneas, também conhecidas como transformações de Poincaré,

d → dF ∴ , F� = G� H,H + �� . (8.44)

As transformações de Poincaré conectam os referenciais inerciais entre si através de dez parâmetros independentes: quatro das translações, três das rotações e mais três das transformações especiais de Lorentz.


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Os campos descrevem ou representam sistemas físicos e, portanto, as equações de movimento que definem as dinâmicas destes sistemas devem ser invariantes. Significa que as equações de movimento são específicas para cada tipo de campo e preservadas pelas transformações de Poincaré, de acordo com o princípio da relatividade. Aos diferentes campos se associam as diferentes representações do grupo de Poincaré caracterizadas pela massa e pelo spin.

As transformações de coordenadas, do ponto de vista dos sistemas físicos, podem ser caracterizadas como ativas ou passivas. As transformações entre referenciais (d → d′) são passivas considerando que os sistemas físicos permanecem fixos. De forma equivalente, pode-se manter o referencial fixo e aplicar as transformações (inversas) sobre o sistema físico (e → e′). Estas duas formas são equivalentes para os referenciais inerciais.

Figura 8.1

Em (a) o sistema físico e representado

pelo vetor de estado 0�(,, �) no referencial d. Em (b), o mesmo

sistema físico S representado pelo vetor de estado 0�� (,′, �) no

referencial d′. Em (c), o sistema físico transformado e′ representado por 0� ′(,, �) no referencial R.

Veja a figura 8.1: em (a) o sistema físico e e o referencial d com um sistema de

coordenadas (,). Usando a linguagem da Mecânica Quântica, o sistema físico é representado pelo vetor de estado 0�(,, �) = 0(,, �).

A figura 8.1(b) ilustra a mudança do referencial d com o sistema de coordenadas (,) para outro referencial d′ com o sistema de coordenadas (,′) através das transformações

d → d′ ∴ ,′ = K(,) . (8.45)

Neste novo referencial d′ o sistema físico e é representado pelo vetor de estado

0��(, F, �) = 0F(,F, �) = G(K)0(,, �) (8.46)

onde a transformação G(K) depende da natureza do vetor de estado. Considerando transformações infinitesimais, ficam

, F = K(,) = , + �, (8.47)

e

0F(,F, �) = G(K)0(,, �) = 0(,, �) + ��0(,, �) , (8.48)

para as coordenadas e para o vetor de estado, respectivamente. A figura 8.1(c) ilustra a transformação do sistema físico e para e′ no mesmo

referencial d fixo,


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e →�� eF , (8.49) onde K⁻¹ indica tratar-se da transformação (8.42) inversa, o sistema físico transformado representado pelo vetor de estado 0�F (,, �). Pelo princípio da relatividade, as configurações (d′, e) e (d, e′), figuras 8.1 (b) e (c), respectivamente, são equivalentes e, para coordenadas numericamente iguais ,′ = , = �, 0�� (�, �) = 0�F (�, �) . (8.50)

Pela equação (8.43), 0�� (,, �) = 0�F (,, �) ≡ 0F(,, �) = G(K)0(K�i,, �) . (8.51)

onde a transformação inversa K�i, deve-se à compensação no campo necessária por causa do transporte do sistema físico. Para transformações infinitesimais as equações (8.47) e (8.48) ficam K�i(,) = , − �, (8.52)

e

0F(,, �) = G(K)0(, − �,, �) = 0(, − �,, �) + ��0(,, �) (8.53)

(infinitésimos de segunda ordem são desprezados) onde

��0(,, �) = 0F(,′, �) − 0(,, �) = G(K)0(,, �) − 0(,, �) (8.54)

é a variação total do vetor de estado, também expressa como

��0(,, �) = ��0 + ��0 , (8.55)

soma da variação funcional

��0 = 0F(,, �) − 0(,, �) (8.53)

mais a variação diferencial

��0(,, �) = 0(,, �) − 0(, − �,, �) = +0+, �, (8.56)

devido à variação do argumento da função. Em síntese, quando se faz a mudança do sistema físico e mantendo o referencial d

fixo, o vetor de estado 0′(,, �) do novo sistema e′ está relacionado com o vetor de estado 0(,, �) do antigo sistema e pela variação funcional,

0F(,, �) = 0(,, �) + ��0 = 0(,, �) + ��0 − ��0 . (8.57)

A notação simplificada (,, �) das coordenadas do espaço e do tempo pode ser

facilmente generalizada para coordenadas espaciais múltiplas (, � , �) ou do espaço-tempo

relativístico (,�). Nesta notação simplificada, 0(,, �) ≡ 0Z,� , �[ ≡ 0(,, �, �, �) ≡ 0(,�). A variação total ��0 vem das propriedades matemáticas da função (escalar, vetor, espinor, etc.) associada ao vetor de estado. Por definição, as equações de movimento devem ser invariantes pelas transformações de simetria, que também levam às leis de conservação.


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8.2.1 Translações no espaço-tempo

Considere as translações no espaço-tempo, ,F� = ,� + �� (8.58)

ou, na forma infinitesimal, ,F� = ,� + �,� = ,� + z� . (8.59)

Pela invariância translacional ��0 = 0 resulta 0F(,�) = 0(,�) + ��0 = 0(,� − z�) = 0(,�) − z�+�0 (8.60)

e, portanto, ��0 = −z�+�0, de modo que

0F(,�) = Z1 − z� +�[0(,�) = �1 + *ℏ z�� 0(,�) . (8.61)

Para a translação finita resulta

0F(,�) = � �ℏ�m�m 0(,�) . (8.62)

onde �� = *ℏ+� = *ℏ ++,� , (8.63)

definido na equação (8.14), são os operadores de momento linear, geradores do grupo das translações, que contém quatro parâmetros independentes.

8.3 Transformações de Lorentz As transformações de Lorentz definem um grupo de simetria com 6 parâmetros

independentes (são 3 parâmetros das rotações mais 3 das transformações especiais de Lorentz).

Na forma infinitesimal fica ,F� = G�H,H = (��H + !�H),H , (8.64)

os parâmetros infinitesimais definidos pela condição !H� = −!�H . Dependendo das propriedades de transformação frente às transformações de Lorentz,

os campos são classificados como escalares, vetores, espinores, etc..

8.3.1 Escalares de Lorentz

Uma função escalar, por definição, é invariante pelas transformações de Lorentz, ��I(,�) = 0 ,

de modo que a equação (8.55) fica IF(,�) = I(, − �,�) = Z1 − �,�+�[I (8.65)

para


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�,�+� = !�H,H+� = *2ℏ !�HZ,��H − ,H��[ = *2ℏ !�H��H , (8.66)

resultando

IF(,) = �1 − *2ℏ !�H��H� I(,) (8.67)

e, na forma finita,

IF(,) = �� ℏ�mn�mnI(,) (8.68)

Os operadores diferenciais ��H = *ℏZ,�+H − ,H+�[ (8.69)

contém os operadores de momento angular orbital �� = �� = *ℏZ,�+� − ,�+�[ (8.70)

(índices espaciais (*, X, $) tomados em ordem cíclica) ligados às componentes de rotação !�H = z��. Os componentes mistos espaço-tempo são os geradores das tranformações especiais de Lorentz, �� = �� = *ℏ(,�+� − ,�+�) . (8.71)

8.3.2 Quadri-vetores

Em transformações ligadas às mudanças de referenciais (d → d′), os quadri-vetores transformam-se da mesma forma que as coordenadas, equação (8.64), JF�(,′) = J�(,) + !�HJH(,) . (8.72)

Para as transformações dos sistemas físicos (e → e′), JF�(,) = Λ�HJH(, − �,) = J�(, − �,) + !� HJH(,) (8.73)

para Λ� H = ��H + !�H que, em notação matricial, pode-se representar como

Λ = ` − *2ℏ !�H e�H . (8.74)

Na notação matricial dos quadri-vetores,

JF(,) = ΛJ(K�i,) = �` − *2ℏ !�H e�H� �` − *2ℏ !�H ��H � J(,) (8.75)

e, para �H = ��H + e�H , (8.76)

que definem os geradores das transformações de Lorentz,

JF(,) = �` − *2ℏ !�H �H� J(,) , (8.77)

considerando apenas os infinitésimos de primeira ordem.


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Para transformações finitas,

JF(,) = �� 'ℏ�mn ¡mnJ(,) . (8.78)

8.3.3 Espinores

Considerando as transformações dos campos espinoriais, equação (8.28), nas transformações de sistemas físicos (e → e′),

0F(,) = �` − *4 !�H p�H� �` − *2ℏ !�H ��H� 0(,�) . (8.79)

Para

�H = ��H + e�H , e�H = 12 p�H (8.80)

resulta, para infinitésimos de primeira dsordem,

0F(,) = �` − *2ℏ !�H �H� 0(,) (8.81)

e, para transformações finitas,

0F(,) = �� 'ℏ�mn ¡mn0(,) . (8.82)

Os geradores ��H são operadores diferenciais e e�H são matrizes e, sendo de naturezas matemáticas diferentes, devem comutar entre si D��H , e�HE = 0 . (8.83)

No entanto, ambos satisfazem às mesmas relações de comutação de �H, Y �H , wo \ = *4Hw �o − *4�w Ho − *4Ho �w + *4�o Hw , (8.84)

que definem a álgebra de Lie do Grupo das transformações de Lorentz. As componentes espaciais �� definem a álgebra Y ��, �¢\ = −*�� ¢ + *�� ¢ + *��¢ �� + *��¢ �� (8.85)

do grupo e£(3) das rotações, relacionadas aos três geradores (hermitianos) das rotações através de

� = 12 z�� , (8.86)

componentes do momento angular total ¤ = ¥ + ¦ (8.87)

soma do momento angular orbital ¥ mais o momento angular de spin ¦. (z�� é o tensor

completamente antissimétrico de Levi-Civita, com a definição z₁₂₃ ≡ 1.) Os outros três são os geradores das transformações especiais de Lorentz, �� = �� . (8.88)


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operadores anti-hermitianos. Em termos destes novos geradores, as relações de comutação (8.85) ficam

ª«¬« Y � , �\ = *z�� Y�� , ��\ = *z�� Y � , ��\ = *z��

, (8.89)

mostrando que os geradores das rotações e das transformações especiais de Lorentz não se separam em sub-álgebras. No entanto, introduzindo as definições

®� = 12 ( � + �� ) (8.90)

mais os seus conjugados hermitianos

®�c = 12 ( � − ��) , (8.91)

estes novos geradores ®� e ®�c comutam entre si e satisfazem, cada qual, à álgebra de Lie do grupo e¯(2),

ª«¬« Y®� , ®�\ = *z�� Y®�c, ®�c\ = *z��®�c Y®� , ®� c\ = 0

. (8.92)

Deste modo há dois invariantes de e¯(2), ®' = ®�®� e (®c)' = ®�c®�c (8.93)

(soma em * = 1 � 3) com auto-valores °(° + 1) e ((( + 1), respectivamente, ° e ( podendo assumir valores inteiros e semi-inteiros

°, ( = 0, 12 , 1, 32 , 2, ⋯ , ��., como é bem conhecido do grupo e¯(2) de spin. Assim, as representações do Grupo de Lorentz podem ser identificadas pelos pares (°, () e os seus estados pelos auto-valores de ®S

e ®Sc.

Os grupos e¯(2) definidos pelos geradores ®� e ®�c não são independentes pois os

mesmos podem ser intercambiados por conjugação hermitiana ou por operação de paridade, que transformam � → � , �� → −�� ®� → ®�c . (8.94)

Como � = ®� + ®�c , (8.95)


113

o spin da representação (°, () é a soma ° + (. Os escalares são representações de spin 0 e os quadri-vetores são representações de spin 1. As representações de spin semi-inteiros são os espinores.

A seguir, alguns exemplos destas representações: (0,0) - escalar, spin 0. (1/2,0) - espinor de mão esquerda, spin 1/2. (0,1/2) - espinor de mão direita, spin 1/2 (as definições esquerda e direita são simples

convenções). (1/2,1/2) - quadri-vetor, spin 1.

As representações (1/2,0) e (0,1/2) intercambiam entre si por transformações de paridade (não são auto-estados de paridade). São espinores a duas componentes complexas denominadas espinores de Weyl, de massa nula. Se a paridade for relevante, recorre-se à representação (1/2,0) × (0,1/2), espinores de Dirac que descrevem partículas espinoriais com massa, como os elétrons. Os espinores de Weyl representam partículas espinoriais sem massa.

8.4 Grupo de Poincaré As transformações de Poincaré (ou transformações de Lorentz não homogêneas),

equação (8.41), contêm as translações no espaço-tempo, equação (8.56), e as transformações de Lorentz homogêneas, equação (8.61), e conectam todos os referenciais inerciais entre si. O conjunto fechado de todas as relações de comutação de todos os geradores do grupo destas transformações define a álgebra de Lie deste grupo.

A álgebra de Lie do grupo Poincaré é definida pelas relações de comutação

ª«¬« Y�� , �H\ = 0 Y �H , �w\ = −*4�w�H + *4Hw�� Y �H , wo \ = *4Hw �o − *4�w Ho − *4Ho �w + *4�o Hw

(8.96)

entre os operadores de momento �� e de momento angular �H . As representações do grupo

são definidas pela massa e pelo spin, a massa definida pela invariante �� = ('�W ≥ 0 . (8.97)

A partir do quadri-vetor de Pauli-Lubanski definido como

²� = − 12 z�Hwo �H wo = − 12 z�Hwoewo �H (8.98)

chega-se às relações de comutação

ª«¬« Y²� , �H\ = 0 Y �H , ²w\ = −*4�w²H + *4Hw²� Y²�, ²H\ = *z�Hwo ²w�o

. (8.99)


114

O produto invariante ²�²� = ('�W³(³ + 1) (8.100)

define as representações de massa ( ≥ 0 e spin ³ (³ = 0, 1/2, 1, 3/2, ⋯ inteiros e semi-inteiros). No caso de massa nula, �� = ²�²� = 0 (8.101)

e, como ��²� = 0 , os vetores �� e ²� devem ser proporcionais entre si, ²� = ±³�� , (8.102

a constante de proporcionalidade ±³ definido pelo spin da representação. Uma representação de spin ³ = 1 admite somente dois estados correspondentes às duas únicas orientações do spin, ou helicidades, +³ e −³.

8.4.1 Álgebra de Lie graduada

Considere um conjunto de parâmetros a� de uma transformação tal que a�a� = (−1)´�´µ a�a� (8.103)

para

¶°� = 1 se a� for uma variável fermiônica �°� = 0 se a� for uma variável bosônica . Assim, se a� e a� forem ambos ou se um deles for bosônico, a�a� = a�a� . (8.104)

E se a� e a� forem ambos fermiônicos, a�a� = −a�a� . (8.105)

Estas regras de comutação (graduação) definem as variáveis bosônicas e as fermiônicas: as variáveis bosônicas comutam entre si e com as variáveis fermiônicas e as variáveis fermiônicas anti-comutam entre si e comutam com as variáveis bosônicas.

Considere uma transformação K(a), que pode ser expressa como uma série de potências em a�,

K(a) = 1 + a�K� + 12 a�a�K�� + ⋯ , (8.106)

com K�� = (−1)´�´µK�� (8.107)

e a lei de composição


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K(a)K(Å) = KD�(a, Å)E , (8.108)

a função �(a, Å), tendo a mesma graduação de a e Å, definida por ��(a, Å) = a� + Å� + ��a�Å� + ⋯ . (8.109)

Comparando os termos de mesma potência em a� e Å� na equação (8.106), resulta a

relação que define a álgebra de Lie graduada K�K� − (−1)´�´µ K�K� = Æ��K� (8.110)

para Æ�� = (−1)´�´µ�� − �� = −(−1)´�´µ Æ�� (8.111)

A álgebra de Lie graduada assim definida generaliza a identidade de Jacobi na forma (−1)´Ç´� ÈÉK�, K�Ê, K�Ë + (−1)´�´µ ÈÉK�, K�Ê, K�Ë + (−1)´µ´Ç È^K� , K�_, K�Ë = 0 (8.112)

onde o símbolo ^⋯ , ⋯ _ pode indicar comutação ou anti-comutação seguindo a definição ÉK� , K�Ê = K�K� − (−1)´�´µK�K� (8.113)

conforme a natureza bosônica ou fermiônica dos geradores K� e K�.

A álgebra de Lie graduada pode ser vista como uma extensão da álgebra de Lie usual, indtroduzindo uma graduação através de geradores fermiônicos que obedecem a relações de anti-comutação entre si e de comutação com os demais geradores bosônicos. A álgebra de Lie do grupo de Poincaré pode ser graduada introduzindo geradores espinoriais ÌM cuja característica fundamental é misturar os campos bosônicos e fermiônicos, o que permite a construção de multipletos contendo bósons e férmions, levando à simetria bóson-férmion, ou supersimetria.

Considerando somente os geradores fermiônicos ÌM, a relação de anti-comutação ÉÌM , Ì′NÊ = ÌMÌ′N + Ì′N ÌM (8.114)

deve resultar numa quantidade bosônica e pode ser escrita, de uma forma geral, como ÉÌM , Ì′NÊ = JMN� �� + �MN�H �H + ÆMN¢ Í¢ (8.115)

onde �� e �H são os geradores de momento do grupo de Lorentz e Í¢ são geradores bosônicos

de alguma simetria interna. Foi visto que as representações do grupo de Lorentz são identificadas pelos pares (°, (), a soma ° + ( definindo o spin da representação. Assim, os geradores como

representações do grupo de Lorentz são

ª««¬««

�� ⟷ (1/2,1/2) → quadrivetor. �H ⟷ (1, 0) � (0, 1) → ��°³�~ �°�*³³*(é�~*��. Í¢ ⟷ (0, 0) → �³��Ò�~. ÌM ⟷ (1/2, 0)� (0, 1/2) → �³�*°�~, ��(��°�°��³ � � d.


116

Se considerar o gerador ÌM na representação básica (1/2,0) e Ì′N = ÌN∗ na representação (0,1/2), o produto ÌMÌN∗ pertence à representação vetorial (1/2,1/2) e, portanto, deve ser

proporcional ao único quadri-vetor disponível dentre os geradores do grupo de Poincaré, de modo que ÉÌM , ÌN∗ Ê = JMN� �� . (8.116)

Se tanto ÌM como Ì′N = ÌN pertencerem à mesma representação (1/2, 0), como (1/2, 0) × (1/2, 0) = (1,0) + (0,0) ,

a relação de anti-comutação entre ÌM e ÌN deve resultar numa combinação linear de �H e Í¢. No entanto, como �� e ÌM comutam entre si, fica proibido o termo proporcional a �H , de

modo que se deve ter ÉÌM , ÌN Ê = ÆMN¢ Í¢ . (8.117)

Com apenas um gerador fermiônico, é o exemplo mais simples de supersimetria.

8.5 Invariância de gauge

Os campos elétrico e magnético

Ó = −4~��I − +Ô�+� � Õ = ~��Ô

são invariantes pelas transformações (de gauge)

Ô → ÔF = Ô + O� � I → IF = I − +��+� , (8.118)

do campo vetorial J� = (J�, Ô) = (I, Ô). Na Mecânica Quântica de Schroedinger, a dinâmica de uma partícula é dada pela

equação diferencial

iℏ +0(,, �)+� = Ö0(,, �) (8.119)

e a interpretação probabilística associada ao módulo ao quadrado das funções de onda

implica a invariância

×��M0(x, t)×' = |0(x, t)|'

pelas transformações de fase 0(x, t) → 0F(x, t) = ��M0(x, t) . Para obter a dinâmica de uma partícula carregada interagindo com um campo

eletromagnético externo, é necessário identificar a função hamiltoniana contendo a interação eletromagnética. Considere a equação de movimento da eletrodinâmica clássica, �((Ø)�� = � �� + 1� Ø × Õ� , (8.120)


117

onde )(� é o momento mecânico de uma partícula eletricamente carregada de massa relativística (. Esta equação pode ser obtida de uma hamiltoniana a partir das equações de Hamilton-Jacobi,

,Ù � = +Ö+�� ; �Ù� = − +Ö+,� , (8.121)

a hamiltoniana H satisfazendo à relação

(Ö − �I)' = jU − �� ÔkÛ + ('�W . (8.122)

Na equação de Schroedinger pode-se considerar a hamiltoniana não relativística,

Ö = 12( jU − �� ÔkÛ + �I . (8.123)

Da primeira das equações de Hamilton-Jacobi resulta �� = +Ö+�� = 1( j�� − �� J�k , que relaciona o momento canônico e o momento mecânico (�,

U = (Ø + �� Ô . (8.124)

As derivadas em relação ao tempo das suas componentes resultam �� = �� Z(��[ + �� J�� = �� Z(��[ + �� +�J�� + �+�J� = − +Ö+,� . Por outro lado, +Ö+,� = ++,� Ü 12( jU − �� ÔkÛ + �IÝ = − �� +�J� + �+�I ,

resultando �� Z(��[ = �� +�J� − �� +�J� − �Z+�I + +�J�[ . Considerando que −Z+�I + +�J�[ = ��

e (Ø × Õ)� = z�� = z��z�¢Þ+¢JÞ = z��z�¢Þ��+¢JÞ = Z��¢��Þ − ��Þ��¢[��+¢JÞ= Z��+�J� − ��+�J� [ ,

então �� Z(��[ = �� + �� (Ø × Õ)� ,


118

que é justamente a equação (8.120), em componentes. Com a hamiltoniana (8.123), a equação de Schroedinger, equação (8.119), na presença

de um campo eletromagnético externo, fica

iℏ +0(,, �)+� = ß 12( �ℏ* O − �� Ô�Û + �Ià 0(,, �) . (8.125)

As transformações de gauge, equação (8.115), alteram apenas o lado direito da equação de Schroedinger,

iℏ +0(,, �)+� = ß 12( �ℏ* O − �� Ô − �� O��Û + �I − �� +�+�à 0(,, �) . (8.126) Para tornar a equação (8.119) covariante, introduz-se a transformação de fase na

forma local 0(x, t) → 0F(x, t) = ��Má(�,�)0(x, t) . (8.127)

Desta forma, o lado esquerdo fica da equação (8.122) fica

iℏ +0(,, �)+� = iℏ��Má(�,�) � ++� + *a +�+� � 0(x, t)

e, para a = �/(ℏ�), iℏ +0(,, �)+� = ��Má(�,�) �iℏ ++� − �� +�+� � 0(x, t) .

No lado direito da equação (8.123),

�ℏ* O − �� Ô − �� O�� Má(�,�)0(,, �) = ��Má(�,�) ℏ* jO − * �ℏ� Ôk 0(,, �)

e

�ℏ* O − �� Ô − �� O��Û ��Má(�,�)0(,, �) = −ℏ'��Má(�,�) jO − * �ℏ� ÔkÛ 0(,, �) . Estes resultados mostram que as transformações conjuntas de gauge do campo

eletromagnético e de fase local da função de onda, J�(x, t) → J�F (x, t) = J�(x, t) + +��(x, t) 0(x, t) → 0F(x, t) = ��Má(�,�)0(x, t) , (8.128)

mantêm a equação de Schroedinger invariante. Rearranjada na forma

iℏ � ++� + * �ℏ I� 0(,, �) = − ℏ'2( jO − * �ℏ� ÔkÛ 0(,, �) , (8.129)

pode-se identificar a derivada covariante â� = j+� + * �ℏ� J�k = Z+� + *aJ�[ , (8.130)

quadri-vetor de Minkowski, que tem a propriedade de se transformar da mesma forma que o campo,


119

â�0(x, t) → â�F 0F(x, t) = ��Má(�,�)â�0(x, t) . (8.131)

Esta covariância é a base das teorias de gauge que, identificado uma transformação de simetria global de um sistema livre, postula que a mesma simetria seja válida localmente, o que leva à necessidade de introduzir campos adicionais (de compensação ou de gauge) e a construção das derivadas covariantes (que devem substituir as derivadas usuais). Os campos de gauge são os responsáveis, mediadores, das interações entre as constituintes (partículas) do sistema original.

As transformações de fase uni-paramétrica, que definem o grupo ¯(1) da interação eletromagnética, podem ser generalizadas através de geradores �� não comutativos, que na forma global fica 0(x, t) → 0F(x, t) = ��gãáã0(x, t) . (8.132)

para �� (� = 1, 2, 3, ⋯ ) constantes, de modo que as derivadas mantêm a mesma forma das transformações do campo, +�0(x, t) → +�0F(x, t) = ��gãáã+�0(x, t) . (8.133)

Tornar a transformação global para local significa fazer a substituição �� → ��(,, �), 0(x, t) → 0F(x, t) = ��gãáã(�,�)0(x, t) . (8.134)

de modo que as derivadas transformam-se como +�0(x, t) → +�0F(x, t) = ��gãáã +�0(x, t) + *��Z+��[��gãáã0(x, t) . Para restabelecer a transformação covariante, define-se a derivada covariante

introduzindo campos auxiliares �� , â� = Z+� + *��[ . (8.135)

A transformação â�0 → â�F 0F = ��gãáã+�0 + *�äZ+��ä[��gãáã0 + *�ä�Fä��gãáã0 , fica covariante, isto é, â′�0F(x, t) = ��gãáãâ�0(x, t) , (8.136)

se �äZ+��ä[��gãáã + �ä�Fä��gãáã = ��gãáã�ä�ä� , ou seja, �F� = ¯��¯�i − �ä+��ä (8.137)

para �F� = �ä�ä� � ¯ = ��gãáã , (8.138)

onde os geradores �� do grupo de simetria tem as propriedades de comutação

D��, �åE = ��å − �å�� = *Æ�åä�ä . (8.139)


120

Uma outra forma de escrever as transformações dos campos de gauge (8.137) é ��F� = �� − +�� + Æäå��ä��å . (8.140)

O formalismo de gauge é a base do Modelo Padrão das interações fundamentais englobando a interação forte, baseada na simetria e¯(3) de cores do modelo a quarks, e as interações fraca e eletromagnética unificadas no grupo ¯(1) × e¯(2). Na nomenclatura dos grupos de simetria, ¯(1) nomeia o grupo das transformações de fase e e¯(°) o grupo especial das transformações unitárias de ordem ° (número de componentes da representação fundamental do grupo). Especial significa geradores (matrizes) de traço nulo.

Exercícios 1. Nas transformações de Lorentz infinitesimais , F� = G� H,H = (��H + !�H),H ,

mostre que a condição de invariância do produto escalar, ,F�,′� = ,�,� , leva à anti-simetrização !�H = −!H� .

2. Mostre que, para um campo escalar I(æ, �) satisfazendo à equação de Klein-Gordon Q +'�'+�' − O' + ('�'ℏ' R I(:, �) = 0 , as funções

ª«¬« > = *2( �I∗ +I�+� − +I∗�+� I� @ = 12*( (I∗OI − (OI∗)I)

satisfazem a equação de continuidade +>+� + O ∙ @ = 0 3. Mostre que o tensor eletromagnético v�H = +�JH − +HJ�

é invariante pela transformações de gauge J� → J�F = J� + +�� , onde � = �(,�) é uma função escalar. 4. Utilize a derivada covariante â� = j+� + * �ℏ� J�k

para introduzir a interação eletromagnética na equação de Klein-Gordon do exercício anterior.


121

5. Aplique o operador Z−*ℏ)�+� − (�[ à esquerda da equação de Dirac Z*ℏ)�+� − (�[0(:, �) = 0 para mostrar que o campo 0(:, �) satisfaz também a equação de Klein-Gordon desde que ^)�, )H_ = ()�)H + )H)�) = 24�H` . Bibliografia

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(1965). 3. James D. Bjorken e Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill

(1965). 4. Pierre Ramond, Field Theory: A Modern Primer (second edition), Addison-Wesley

(1990). 5. C. Itzykson and J. B. Zuber: Quantum Field Theory, McGraw-Hill (1980). 6. John J. Brehm e William J. Mullin, Introduction to the Structure of Matter - A course

in Modern Physics, John Wiley & Sons (1989). 7. David Griffiths, Introduction to Elementary Particles, John Wiley & Sons, N.Y.

(1987).

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Capítulo VIII Campos Relativísticos - uel.br Relativistica... · Usando a linguagem da Mecânica Quântica, o sistema físico é representado pelo vetor de estado 0 “ (,,)=0(,,)