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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE POacuteS-GRADUACcedilAtildeO EM ENGENHARIA ELEacuteTRICA E DE COMPUTACcedilAtildeO
Caracterizaccedilatildeo de Antenas Planares com Substrato
Metamaterial
Marinaldo Pinheiro de Sousa Neto
Orientador Prof Dr Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes
Natal ndash RN Novembro de 2011
Dissertaccedilatildeo de Mestrado apresentada ao Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Eleacutetrica e de Computaccedilatildeo da UFRN (aacuterea de concentraccedilatildeo Engenharia de Telecomunicaccedilotildees) como parte dos requisitos para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Mestre em Engenharia Eleacutetrica
Seccedilatildeo de Informaccedilatildeo e Referecircncia
Catalogaccedilatildeo da Publicaccedilatildeo na Fonte UFRN Biblioteca Central Zila Mamede
Sousa Neto Marinaldo Pinheiro de Caracterizaccedilatildeo de antenas planares com substrato matematerial Marinaldo
Pinheiro de Sousa Neto ndash Natal RN 2011 56 f il Orientador Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes Dissertaccedilatildeo (Mestrado) ndash Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro
de Tecnologia Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Eleacutetrica e de Computaccedilatildeo
1 Antena de microfita ndash Dissertaccedilatildeo 2 Metamaterial ndash Dissertaccedilatildeo 3 Meacutetodo de
linha de transmissatildeo transversa ndash Dissertaccedilatildeo 4 Instituiccedilatildeo de Ensino Superior ndash Dissertaccedilatildeo I Fernandes Humberto Ceacutesar Chaves II Universidade Federal do Rio Grande do Norte III Tiacutetulo RNUFBCZM CDU 62139667
Caracterizaccedilatildeo de Antenas Planares com Substrato
Metamaterial
Marinaldo Pinheiro de Sousa Neto
Dissertaccedilatildeo de mestrado aprovada em Novembro de 2011 pela banca examinadora
composta pelos seguintes membros
Prof Titular Dr Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes (Orientador) DEEUFRN Prof Dr Luiz Marcos Garcia GoncalvesDCAUFRN Prof Dr Joabson Nogueira de CarvalhoIFPB Prof Dr Joseacute Patrocinio da SilvaDCATUFERSA
Aos meus pais - Ivanaldo e Maria Joseacute
pelo amor com que tem cuidado de mim
e a minha irmatilde Geacutessica pelo carinho
Aos meus tios - Ronaldo e Nanci pelo apoio
Agradecimentos
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedila e tranquumlilidade para a conclusatildeo deste trabalho
Aos meus pais Maria Joseacute de Aquino Sousa e Ivanaldo Andrade de Sousa a minha
irmatilde Geacutessica Andrade aos meus tios Ronaldo e Nanci pela compreensatildeo confianccedila e
companheirismo ao longo desses anos
Ao professor Dr Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes pela orientaccedilatildeo com
disponibilidade e alegria para ajudar e pela amizade
Aos colegas da graduaccedilatildeo
Aos colegas da poacutes-graduaccedilatildeo pelo companheirismo e amizade prestados durante esta
etapa da minha vida Hugo Michel Humberto Dioniacutesio Roberto Raniere Anderson
Max Leonardo Caetano Aline Farias
Agrave UFRN por proporcionar a realizaccedilatildeo deste trabalho e por consequumlecircncia a realizaccedilatildeo
do meu mestrado
A CAPES e CNPQ pelo suporte financeiro concedido para a realizaccedilatildeo deste Mestrado
e pesquisas
Resumo
Esta dissertaccedilatildeo de Mestrado apresenta uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterico-
computacional das caracteriacutesticas ressonantes de uma antena de microfita com patch
retangular utilizando substrato metamaterial A anaacutelise utiliza o formalismo de onda
completa atraveacutes da aplicaccedilatildeo do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
no domiacutenio da transformada de Fourier Eacute realizado um estudo acerca da teoria dos
metamateriais com o intuito de obter seus paracircmetros construtivos os mesmos satildeo
caracterizados atraveacutes de tensores permissividade e permeabilidade As equaccedilotildees gerais
para os campos eletromagneacuteticos da antena satildeo desenvolvidas aplicando o meacutetodo da
Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT A imposiccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno
adequada agrave estrutura permite determinar as funccedilotildees diaacutedicas de Green relacionando as
componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do
campo eleacutetrico O meacutetodo de Galerkin eacute entatildeo usado para obter a equaccedilatildeo matricial
cuja soluccedilatildeo natildeo trivial fornece a frequumlecircncia de ressonacircncia da antena A partir da
modelagem eacute possiacutevel obter resultados para a frequumlecircncia de ressonacircncia em diferentes
configuraccedilotildees de antenas e substratos aleacutem da perda de retorno
Palavras-chave Antena de microfita metamaterial meacutetodo de Linha de
Transmissatildeo Transversa
Abstract
This work presents a theoretical and numerical analysis for the radiation
characteristics of rectangular microstrip antenna using metamaterial substrate The full
wave analysis is performed in the Fourier transform domain through the application of
the Transverse Transmission Line - TTL method A study on metamaterial theory was
conducted to obtain the constructive parameters which were characterized through
permittivity and permeability tensors to arrive at a set of electromagnetic equations The
general equations for the electromagnetic fields of the antenna are developed using the
Transverse Transmission Line - TTL method Imposing the boundary conditions the
dyadic Greenrsquos function components are obtained relating the surface current density
components at the plane of the patch to the electric field tangential components Then
Galerkinrsquos method is used to obtain a system of matrix equations whose solution gives
the antenna resonant frequency From this modeling it is possible to obtain numerical
results for the resonant frequency and return loss for different configurations and
substrates
Keywords Microstrip antennas metamaterial Transverse Transmission Line
method
i
Sumaacuterio
Lista de Figuras iii Lista de Tabelas v Lista de Siacutembolos e Abreviaturas vi Capiacutetulo 1 1
Introduccedilatildeo 1 Capiacutetulo 2 4
Antenas de Microfita 4
21 Linha de Microfita 4
24 Meacutetodos de Anaacutelise 6
241 Meacutetodos Aproximados 7
242 Meacutetodos de Onda Completa 7
25 Conclusotildees 8 Capiacutetulo 3 9
Substrato Metamaterial 9
31 Introduccedilatildeo 9
32 A nova classe de materiais Metamateriais 10
33 Projeto do meio Metamaterial 12
33 Conclusotildees 19 Capiacutetulo 4 20
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT 20
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais 20
42 Conclusotildees 26 Capiacutetulo 5 27
Campos Eletromagneacuteticos na Antena 27
51 Introduccedilatildeo 27
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial 27
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos 28
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de 36
55 Conclusotildees 40 Capiacutetulo 6 42
Resultados da Antena com Substrato 42
61 Introduccedilatildeo 42
62 Antena Retangular 44
621 CASO 1 45
622 CASO 2 48
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base 49
64 Conclusotildees 50
ii
Capiacutetulo 7 52 Conclusotildees 52 Referecircncias Bibliograacuteficas 54
iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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Catalogaccedilatildeo da Publicaccedilatildeo na Fonte UFRN Biblioteca Central Zila Mamede
Sousa Neto Marinaldo Pinheiro de Caracterizaccedilatildeo de antenas planares com substrato matematerial Marinaldo
Pinheiro de Sousa Neto ndash Natal RN 2011 56 f il Orientador Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes Dissertaccedilatildeo (Mestrado) ndash Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro
de Tecnologia Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Engenharia Eleacutetrica e de Computaccedilatildeo
1 Antena de microfita ndash Dissertaccedilatildeo 2 Metamaterial ndash Dissertaccedilatildeo 3 Meacutetodo de
linha de transmissatildeo transversa ndash Dissertaccedilatildeo 4 Instituiccedilatildeo de Ensino Superior ndash Dissertaccedilatildeo I Fernandes Humberto Ceacutesar Chaves II Universidade Federal do Rio Grande do Norte III Tiacutetulo RNUFBCZM CDU 62139667
Caracterizaccedilatildeo de Antenas Planares com Substrato
Metamaterial
Marinaldo Pinheiro de Sousa Neto
Dissertaccedilatildeo de mestrado aprovada em Novembro de 2011 pela banca examinadora
composta pelos seguintes membros
Prof Titular Dr Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes (Orientador) DEEUFRN Prof Dr Luiz Marcos Garcia GoncalvesDCAUFRN Prof Dr Joabson Nogueira de CarvalhoIFPB Prof Dr Joseacute Patrocinio da SilvaDCATUFERSA
Aos meus pais - Ivanaldo e Maria Joseacute
pelo amor com que tem cuidado de mim
e a minha irmatilde Geacutessica pelo carinho
Aos meus tios - Ronaldo e Nanci pelo apoio
Agradecimentos
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedila e tranquumlilidade para a conclusatildeo deste trabalho
Aos meus pais Maria Joseacute de Aquino Sousa e Ivanaldo Andrade de Sousa a minha
irmatilde Geacutessica Andrade aos meus tios Ronaldo e Nanci pela compreensatildeo confianccedila e
companheirismo ao longo desses anos
Ao professor Dr Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes pela orientaccedilatildeo com
disponibilidade e alegria para ajudar e pela amizade
Aos colegas da graduaccedilatildeo
Aos colegas da poacutes-graduaccedilatildeo pelo companheirismo e amizade prestados durante esta
etapa da minha vida Hugo Michel Humberto Dioniacutesio Roberto Raniere Anderson
Max Leonardo Caetano Aline Farias
Agrave UFRN por proporcionar a realizaccedilatildeo deste trabalho e por consequumlecircncia a realizaccedilatildeo
do meu mestrado
A CAPES e CNPQ pelo suporte financeiro concedido para a realizaccedilatildeo deste Mestrado
e pesquisas
Resumo
Esta dissertaccedilatildeo de Mestrado apresenta uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterico-
computacional das caracteriacutesticas ressonantes de uma antena de microfita com patch
retangular utilizando substrato metamaterial A anaacutelise utiliza o formalismo de onda
completa atraveacutes da aplicaccedilatildeo do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
no domiacutenio da transformada de Fourier Eacute realizado um estudo acerca da teoria dos
metamateriais com o intuito de obter seus paracircmetros construtivos os mesmos satildeo
caracterizados atraveacutes de tensores permissividade e permeabilidade As equaccedilotildees gerais
para os campos eletromagneacuteticos da antena satildeo desenvolvidas aplicando o meacutetodo da
Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT A imposiccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno
adequada agrave estrutura permite determinar as funccedilotildees diaacutedicas de Green relacionando as
componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do
campo eleacutetrico O meacutetodo de Galerkin eacute entatildeo usado para obter a equaccedilatildeo matricial
cuja soluccedilatildeo natildeo trivial fornece a frequumlecircncia de ressonacircncia da antena A partir da
modelagem eacute possiacutevel obter resultados para a frequumlecircncia de ressonacircncia em diferentes
configuraccedilotildees de antenas e substratos aleacutem da perda de retorno
Palavras-chave Antena de microfita metamaterial meacutetodo de Linha de
Transmissatildeo Transversa
Abstract
This work presents a theoretical and numerical analysis for the radiation
characteristics of rectangular microstrip antenna using metamaterial substrate The full
wave analysis is performed in the Fourier transform domain through the application of
the Transverse Transmission Line - TTL method A study on metamaterial theory was
conducted to obtain the constructive parameters which were characterized through
permittivity and permeability tensors to arrive at a set of electromagnetic equations The
general equations for the electromagnetic fields of the antenna are developed using the
Transverse Transmission Line - TTL method Imposing the boundary conditions the
dyadic Greenrsquos function components are obtained relating the surface current density
components at the plane of the patch to the electric field tangential components Then
Galerkinrsquos method is used to obtain a system of matrix equations whose solution gives
the antenna resonant frequency From this modeling it is possible to obtain numerical
results for the resonant frequency and return loss for different configurations and
substrates
Keywords Microstrip antennas metamaterial Transverse Transmission Line
method
i
Sumaacuterio
Lista de Figuras iii Lista de Tabelas v Lista de Siacutembolos e Abreviaturas vi Capiacutetulo 1 1
Introduccedilatildeo 1 Capiacutetulo 2 4
Antenas de Microfita 4
21 Linha de Microfita 4
24 Meacutetodos de Anaacutelise 6
241 Meacutetodos Aproximados 7
242 Meacutetodos de Onda Completa 7
25 Conclusotildees 8 Capiacutetulo 3 9
Substrato Metamaterial 9
31 Introduccedilatildeo 9
32 A nova classe de materiais Metamateriais 10
33 Projeto do meio Metamaterial 12
33 Conclusotildees 19 Capiacutetulo 4 20
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT 20
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais 20
42 Conclusotildees 26 Capiacutetulo 5 27
Campos Eletromagneacuteticos na Antena 27
51 Introduccedilatildeo 27
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial 27
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos 28
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de 36
55 Conclusotildees 40 Capiacutetulo 6 42
Resultados da Antena com Substrato 42
61 Introduccedilatildeo 42
62 Antena Retangular 44
621 CASO 1 45
622 CASO 2 48
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base 49
64 Conclusotildees 50
ii
Capiacutetulo 7 52 Conclusotildees 52 Referecircncias Bibliograacuteficas 54
iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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Caracterizaccedilatildeo de Antenas Planares com Substrato
Metamaterial
Marinaldo Pinheiro de Sousa Neto
Dissertaccedilatildeo de mestrado aprovada em Novembro de 2011 pela banca examinadora
composta pelos seguintes membros
Prof Titular Dr Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes (Orientador) DEEUFRN Prof Dr Luiz Marcos Garcia GoncalvesDCAUFRN Prof Dr Joabson Nogueira de CarvalhoIFPB Prof Dr Joseacute Patrocinio da SilvaDCATUFERSA
Aos meus pais - Ivanaldo e Maria Joseacute
pelo amor com que tem cuidado de mim
e a minha irmatilde Geacutessica pelo carinho
Aos meus tios - Ronaldo e Nanci pelo apoio
Agradecimentos
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedila e tranquumlilidade para a conclusatildeo deste trabalho
Aos meus pais Maria Joseacute de Aquino Sousa e Ivanaldo Andrade de Sousa a minha
irmatilde Geacutessica Andrade aos meus tios Ronaldo e Nanci pela compreensatildeo confianccedila e
companheirismo ao longo desses anos
Ao professor Dr Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes pela orientaccedilatildeo com
disponibilidade e alegria para ajudar e pela amizade
Aos colegas da graduaccedilatildeo
Aos colegas da poacutes-graduaccedilatildeo pelo companheirismo e amizade prestados durante esta
etapa da minha vida Hugo Michel Humberto Dioniacutesio Roberto Raniere Anderson
Max Leonardo Caetano Aline Farias
Agrave UFRN por proporcionar a realizaccedilatildeo deste trabalho e por consequumlecircncia a realizaccedilatildeo
do meu mestrado
A CAPES e CNPQ pelo suporte financeiro concedido para a realizaccedilatildeo deste Mestrado
e pesquisas
Resumo
Esta dissertaccedilatildeo de Mestrado apresenta uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterico-
computacional das caracteriacutesticas ressonantes de uma antena de microfita com patch
retangular utilizando substrato metamaterial A anaacutelise utiliza o formalismo de onda
completa atraveacutes da aplicaccedilatildeo do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
no domiacutenio da transformada de Fourier Eacute realizado um estudo acerca da teoria dos
metamateriais com o intuito de obter seus paracircmetros construtivos os mesmos satildeo
caracterizados atraveacutes de tensores permissividade e permeabilidade As equaccedilotildees gerais
para os campos eletromagneacuteticos da antena satildeo desenvolvidas aplicando o meacutetodo da
Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT A imposiccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno
adequada agrave estrutura permite determinar as funccedilotildees diaacutedicas de Green relacionando as
componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do
campo eleacutetrico O meacutetodo de Galerkin eacute entatildeo usado para obter a equaccedilatildeo matricial
cuja soluccedilatildeo natildeo trivial fornece a frequumlecircncia de ressonacircncia da antena A partir da
modelagem eacute possiacutevel obter resultados para a frequumlecircncia de ressonacircncia em diferentes
configuraccedilotildees de antenas e substratos aleacutem da perda de retorno
Palavras-chave Antena de microfita metamaterial meacutetodo de Linha de
Transmissatildeo Transversa
Abstract
This work presents a theoretical and numerical analysis for the radiation
characteristics of rectangular microstrip antenna using metamaterial substrate The full
wave analysis is performed in the Fourier transform domain through the application of
the Transverse Transmission Line - TTL method A study on metamaterial theory was
conducted to obtain the constructive parameters which were characterized through
permittivity and permeability tensors to arrive at a set of electromagnetic equations The
general equations for the electromagnetic fields of the antenna are developed using the
Transverse Transmission Line - TTL method Imposing the boundary conditions the
dyadic Greenrsquos function components are obtained relating the surface current density
components at the plane of the patch to the electric field tangential components Then
Galerkinrsquos method is used to obtain a system of matrix equations whose solution gives
the antenna resonant frequency From this modeling it is possible to obtain numerical
results for the resonant frequency and return loss for different configurations and
substrates
Keywords Microstrip antennas metamaterial Transverse Transmission Line
method
i
Sumaacuterio
Lista de Figuras iii Lista de Tabelas v Lista de Siacutembolos e Abreviaturas vi Capiacutetulo 1 1
Introduccedilatildeo 1 Capiacutetulo 2 4
Antenas de Microfita 4
21 Linha de Microfita 4
24 Meacutetodos de Anaacutelise 6
241 Meacutetodos Aproximados 7
242 Meacutetodos de Onda Completa 7
25 Conclusotildees 8 Capiacutetulo 3 9
Substrato Metamaterial 9
31 Introduccedilatildeo 9
32 A nova classe de materiais Metamateriais 10
33 Projeto do meio Metamaterial 12
33 Conclusotildees 19 Capiacutetulo 4 20
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT 20
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais 20
42 Conclusotildees 26 Capiacutetulo 5 27
Campos Eletromagneacuteticos na Antena 27
51 Introduccedilatildeo 27
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial 27
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos 28
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de 36
55 Conclusotildees 40 Capiacutetulo 6 42
Resultados da Antena com Substrato 42
61 Introduccedilatildeo 42
62 Antena Retangular 44
621 CASO 1 45
622 CASO 2 48
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base 49
64 Conclusotildees 50
ii
Capiacutetulo 7 52 Conclusotildees 52 Referecircncias Bibliograacuteficas 54
iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
Aos meus pais - Ivanaldo e Maria Joseacute
pelo amor com que tem cuidado de mim
e a minha irmatilde Geacutessica pelo carinho
Aos meus tios - Ronaldo e Nanci pelo apoio
Agradecimentos
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedila e tranquumlilidade para a conclusatildeo deste trabalho
Aos meus pais Maria Joseacute de Aquino Sousa e Ivanaldo Andrade de Sousa a minha
irmatilde Geacutessica Andrade aos meus tios Ronaldo e Nanci pela compreensatildeo confianccedila e
companheirismo ao longo desses anos
Ao professor Dr Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes pela orientaccedilatildeo com
disponibilidade e alegria para ajudar e pela amizade
Aos colegas da graduaccedilatildeo
Aos colegas da poacutes-graduaccedilatildeo pelo companheirismo e amizade prestados durante esta
etapa da minha vida Hugo Michel Humberto Dioniacutesio Roberto Raniere Anderson
Max Leonardo Caetano Aline Farias
Agrave UFRN por proporcionar a realizaccedilatildeo deste trabalho e por consequumlecircncia a realizaccedilatildeo
do meu mestrado
A CAPES e CNPQ pelo suporte financeiro concedido para a realizaccedilatildeo deste Mestrado
e pesquisas
Resumo
Esta dissertaccedilatildeo de Mestrado apresenta uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterico-
computacional das caracteriacutesticas ressonantes de uma antena de microfita com patch
retangular utilizando substrato metamaterial A anaacutelise utiliza o formalismo de onda
completa atraveacutes da aplicaccedilatildeo do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
no domiacutenio da transformada de Fourier Eacute realizado um estudo acerca da teoria dos
metamateriais com o intuito de obter seus paracircmetros construtivos os mesmos satildeo
caracterizados atraveacutes de tensores permissividade e permeabilidade As equaccedilotildees gerais
para os campos eletromagneacuteticos da antena satildeo desenvolvidas aplicando o meacutetodo da
Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT A imposiccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno
adequada agrave estrutura permite determinar as funccedilotildees diaacutedicas de Green relacionando as
componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do
campo eleacutetrico O meacutetodo de Galerkin eacute entatildeo usado para obter a equaccedilatildeo matricial
cuja soluccedilatildeo natildeo trivial fornece a frequumlecircncia de ressonacircncia da antena A partir da
modelagem eacute possiacutevel obter resultados para a frequumlecircncia de ressonacircncia em diferentes
configuraccedilotildees de antenas e substratos aleacutem da perda de retorno
Palavras-chave Antena de microfita metamaterial meacutetodo de Linha de
Transmissatildeo Transversa
Abstract
This work presents a theoretical and numerical analysis for the radiation
characteristics of rectangular microstrip antenna using metamaterial substrate The full
wave analysis is performed in the Fourier transform domain through the application of
the Transverse Transmission Line - TTL method A study on metamaterial theory was
conducted to obtain the constructive parameters which were characterized through
permittivity and permeability tensors to arrive at a set of electromagnetic equations The
general equations for the electromagnetic fields of the antenna are developed using the
Transverse Transmission Line - TTL method Imposing the boundary conditions the
dyadic Greenrsquos function components are obtained relating the surface current density
components at the plane of the patch to the electric field tangential components Then
Galerkinrsquos method is used to obtain a system of matrix equations whose solution gives
the antenna resonant frequency From this modeling it is possible to obtain numerical
results for the resonant frequency and return loss for different configurations and
substrates
Keywords Microstrip antennas metamaterial Transverse Transmission Line
method
i
Sumaacuterio
Lista de Figuras iii Lista de Tabelas v Lista de Siacutembolos e Abreviaturas vi Capiacutetulo 1 1
Introduccedilatildeo 1 Capiacutetulo 2 4
Antenas de Microfita 4
21 Linha de Microfita 4
24 Meacutetodos de Anaacutelise 6
241 Meacutetodos Aproximados 7
242 Meacutetodos de Onda Completa 7
25 Conclusotildees 8 Capiacutetulo 3 9
Substrato Metamaterial 9
31 Introduccedilatildeo 9
32 A nova classe de materiais Metamateriais 10
33 Projeto do meio Metamaterial 12
33 Conclusotildees 19 Capiacutetulo 4 20
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT 20
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais 20
42 Conclusotildees 26 Capiacutetulo 5 27
Campos Eletromagneacuteticos na Antena 27
51 Introduccedilatildeo 27
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial 27
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos 28
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de 36
55 Conclusotildees 40 Capiacutetulo 6 42
Resultados da Antena com Substrato 42
61 Introduccedilatildeo 42
62 Antena Retangular 44
621 CASO 1 45
622 CASO 2 48
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base 49
64 Conclusotildees 50
ii
Capiacutetulo 7 52 Conclusotildees 52 Referecircncias Bibliograacuteficas 54
iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
Agradecimentos
Agradeccedilo a Deus por ter me dado forccedila e tranquumlilidade para a conclusatildeo deste trabalho
Aos meus pais Maria Joseacute de Aquino Sousa e Ivanaldo Andrade de Sousa a minha
irmatilde Geacutessica Andrade aos meus tios Ronaldo e Nanci pela compreensatildeo confianccedila e
companheirismo ao longo desses anos
Ao professor Dr Humberto Ceacutesar Chaves Fernandes pela orientaccedilatildeo com
disponibilidade e alegria para ajudar e pela amizade
Aos colegas da graduaccedilatildeo
Aos colegas da poacutes-graduaccedilatildeo pelo companheirismo e amizade prestados durante esta
etapa da minha vida Hugo Michel Humberto Dioniacutesio Roberto Raniere Anderson
Max Leonardo Caetano Aline Farias
Agrave UFRN por proporcionar a realizaccedilatildeo deste trabalho e por consequumlecircncia a realizaccedilatildeo
do meu mestrado
A CAPES e CNPQ pelo suporte financeiro concedido para a realizaccedilatildeo deste Mestrado
e pesquisas
Resumo
Esta dissertaccedilatildeo de Mestrado apresenta uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterico-
computacional das caracteriacutesticas ressonantes de uma antena de microfita com patch
retangular utilizando substrato metamaterial A anaacutelise utiliza o formalismo de onda
completa atraveacutes da aplicaccedilatildeo do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
no domiacutenio da transformada de Fourier Eacute realizado um estudo acerca da teoria dos
metamateriais com o intuito de obter seus paracircmetros construtivos os mesmos satildeo
caracterizados atraveacutes de tensores permissividade e permeabilidade As equaccedilotildees gerais
para os campos eletromagneacuteticos da antena satildeo desenvolvidas aplicando o meacutetodo da
Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT A imposiccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno
adequada agrave estrutura permite determinar as funccedilotildees diaacutedicas de Green relacionando as
componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do
campo eleacutetrico O meacutetodo de Galerkin eacute entatildeo usado para obter a equaccedilatildeo matricial
cuja soluccedilatildeo natildeo trivial fornece a frequumlecircncia de ressonacircncia da antena A partir da
modelagem eacute possiacutevel obter resultados para a frequumlecircncia de ressonacircncia em diferentes
configuraccedilotildees de antenas e substratos aleacutem da perda de retorno
Palavras-chave Antena de microfita metamaterial meacutetodo de Linha de
Transmissatildeo Transversa
Abstract
This work presents a theoretical and numerical analysis for the radiation
characteristics of rectangular microstrip antenna using metamaterial substrate The full
wave analysis is performed in the Fourier transform domain through the application of
the Transverse Transmission Line - TTL method A study on metamaterial theory was
conducted to obtain the constructive parameters which were characterized through
permittivity and permeability tensors to arrive at a set of electromagnetic equations The
general equations for the electromagnetic fields of the antenna are developed using the
Transverse Transmission Line - TTL method Imposing the boundary conditions the
dyadic Greenrsquos function components are obtained relating the surface current density
components at the plane of the patch to the electric field tangential components Then
Galerkinrsquos method is used to obtain a system of matrix equations whose solution gives
the antenna resonant frequency From this modeling it is possible to obtain numerical
results for the resonant frequency and return loss for different configurations and
substrates
Keywords Microstrip antennas metamaterial Transverse Transmission Line
method
i
Sumaacuterio
Lista de Figuras iii Lista de Tabelas v Lista de Siacutembolos e Abreviaturas vi Capiacutetulo 1 1
Introduccedilatildeo 1 Capiacutetulo 2 4
Antenas de Microfita 4
21 Linha de Microfita 4
24 Meacutetodos de Anaacutelise 6
241 Meacutetodos Aproximados 7
242 Meacutetodos de Onda Completa 7
25 Conclusotildees 8 Capiacutetulo 3 9
Substrato Metamaterial 9
31 Introduccedilatildeo 9
32 A nova classe de materiais Metamateriais 10
33 Projeto do meio Metamaterial 12
33 Conclusotildees 19 Capiacutetulo 4 20
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT 20
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais 20
42 Conclusotildees 26 Capiacutetulo 5 27
Campos Eletromagneacuteticos na Antena 27
51 Introduccedilatildeo 27
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial 27
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos 28
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de 36
55 Conclusotildees 40 Capiacutetulo 6 42
Resultados da Antena com Substrato 42
61 Introduccedilatildeo 42
62 Antena Retangular 44
621 CASO 1 45
622 CASO 2 48
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base 49
64 Conclusotildees 50
ii
Capiacutetulo 7 52 Conclusotildees 52 Referecircncias Bibliograacuteficas 54
iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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Resumo
Esta dissertaccedilatildeo de Mestrado apresenta uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterico-
computacional das caracteriacutesticas ressonantes de uma antena de microfita com patch
retangular utilizando substrato metamaterial A anaacutelise utiliza o formalismo de onda
completa atraveacutes da aplicaccedilatildeo do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
no domiacutenio da transformada de Fourier Eacute realizado um estudo acerca da teoria dos
metamateriais com o intuito de obter seus paracircmetros construtivos os mesmos satildeo
caracterizados atraveacutes de tensores permissividade e permeabilidade As equaccedilotildees gerais
para os campos eletromagneacuteticos da antena satildeo desenvolvidas aplicando o meacutetodo da
Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT A imposiccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno
adequada agrave estrutura permite determinar as funccedilotildees diaacutedicas de Green relacionando as
componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do
campo eleacutetrico O meacutetodo de Galerkin eacute entatildeo usado para obter a equaccedilatildeo matricial
cuja soluccedilatildeo natildeo trivial fornece a frequumlecircncia de ressonacircncia da antena A partir da
modelagem eacute possiacutevel obter resultados para a frequumlecircncia de ressonacircncia em diferentes
configuraccedilotildees de antenas e substratos aleacutem da perda de retorno
Palavras-chave Antena de microfita metamaterial meacutetodo de Linha de
Transmissatildeo Transversa
Abstract
This work presents a theoretical and numerical analysis for the radiation
characteristics of rectangular microstrip antenna using metamaterial substrate The full
wave analysis is performed in the Fourier transform domain through the application of
the Transverse Transmission Line - TTL method A study on metamaterial theory was
conducted to obtain the constructive parameters which were characterized through
permittivity and permeability tensors to arrive at a set of electromagnetic equations The
general equations for the electromagnetic fields of the antenna are developed using the
Transverse Transmission Line - TTL method Imposing the boundary conditions the
dyadic Greenrsquos function components are obtained relating the surface current density
components at the plane of the patch to the electric field tangential components Then
Galerkinrsquos method is used to obtain a system of matrix equations whose solution gives
the antenna resonant frequency From this modeling it is possible to obtain numerical
results for the resonant frequency and return loss for different configurations and
substrates
Keywords Microstrip antennas metamaterial Transverse Transmission Line
method
i
Sumaacuterio
Lista de Figuras iii Lista de Tabelas v Lista de Siacutembolos e Abreviaturas vi Capiacutetulo 1 1
Introduccedilatildeo 1 Capiacutetulo 2 4
Antenas de Microfita 4
21 Linha de Microfita 4
24 Meacutetodos de Anaacutelise 6
241 Meacutetodos Aproximados 7
242 Meacutetodos de Onda Completa 7
25 Conclusotildees 8 Capiacutetulo 3 9
Substrato Metamaterial 9
31 Introduccedilatildeo 9
32 A nova classe de materiais Metamateriais 10
33 Projeto do meio Metamaterial 12
33 Conclusotildees 19 Capiacutetulo 4 20
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT 20
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais 20
42 Conclusotildees 26 Capiacutetulo 5 27
Campos Eletromagneacuteticos na Antena 27
51 Introduccedilatildeo 27
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial 27
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos 28
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de 36
55 Conclusotildees 40 Capiacutetulo 6 42
Resultados da Antena com Substrato 42
61 Introduccedilatildeo 42
62 Antena Retangular 44
621 CASO 1 45
622 CASO 2 48
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base 49
64 Conclusotildees 50
ii
Capiacutetulo 7 52 Conclusotildees 52 Referecircncias Bibliograacuteficas 54
iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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Abstract
This work presents a theoretical and numerical analysis for the radiation
characteristics of rectangular microstrip antenna using metamaterial substrate The full
wave analysis is performed in the Fourier transform domain through the application of
the Transverse Transmission Line - TTL method A study on metamaterial theory was
conducted to obtain the constructive parameters which were characterized through
permittivity and permeability tensors to arrive at a set of electromagnetic equations The
general equations for the electromagnetic fields of the antenna are developed using the
Transverse Transmission Line - TTL method Imposing the boundary conditions the
dyadic Greenrsquos function components are obtained relating the surface current density
components at the plane of the patch to the electric field tangential components Then
Galerkinrsquos method is used to obtain a system of matrix equations whose solution gives
the antenna resonant frequency From this modeling it is possible to obtain numerical
results for the resonant frequency and return loss for different configurations and
substrates
Keywords Microstrip antennas metamaterial Transverse Transmission Line
method
i
Sumaacuterio
Lista de Figuras iii Lista de Tabelas v Lista de Siacutembolos e Abreviaturas vi Capiacutetulo 1 1
Introduccedilatildeo 1 Capiacutetulo 2 4
Antenas de Microfita 4
21 Linha de Microfita 4
24 Meacutetodos de Anaacutelise 6
241 Meacutetodos Aproximados 7
242 Meacutetodos de Onda Completa 7
25 Conclusotildees 8 Capiacutetulo 3 9
Substrato Metamaterial 9
31 Introduccedilatildeo 9
32 A nova classe de materiais Metamateriais 10
33 Projeto do meio Metamaterial 12
33 Conclusotildees 19 Capiacutetulo 4 20
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT 20
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais 20
42 Conclusotildees 26 Capiacutetulo 5 27
Campos Eletromagneacuteticos na Antena 27
51 Introduccedilatildeo 27
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial 27
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos 28
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de 36
55 Conclusotildees 40 Capiacutetulo 6 42
Resultados da Antena com Substrato 42
61 Introduccedilatildeo 42
62 Antena Retangular 44
621 CASO 1 45
622 CASO 2 48
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base 49
64 Conclusotildees 50
ii
Capiacutetulo 7 52 Conclusotildees 52 Referecircncias Bibliograacuteficas 54
iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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i
Sumaacuterio
Lista de Figuras iii Lista de Tabelas v Lista de Siacutembolos e Abreviaturas vi Capiacutetulo 1 1
Introduccedilatildeo 1 Capiacutetulo 2 4
Antenas de Microfita 4
21 Linha de Microfita 4
24 Meacutetodos de Anaacutelise 6
241 Meacutetodos Aproximados 7
242 Meacutetodos de Onda Completa 7
25 Conclusotildees 8 Capiacutetulo 3 9
Substrato Metamaterial 9
31 Introduccedilatildeo 9
32 A nova classe de materiais Metamateriais 10
33 Projeto do meio Metamaterial 12
33 Conclusotildees 19 Capiacutetulo 4 20
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT 20
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais 20
42 Conclusotildees 26 Capiacutetulo 5 27
Campos Eletromagneacuteticos na Antena 27
51 Introduccedilatildeo 27
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial 27
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos 28
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de 36
55 Conclusotildees 40 Capiacutetulo 6 42
Resultados da Antena com Substrato 42
61 Introduccedilatildeo 42
62 Antena Retangular 44
621 CASO 1 45
622 CASO 2 48
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base 49
64 Conclusotildees 50
ii
Capiacutetulo 7 52 Conclusotildees 52 Referecircncias Bibliograacuteficas 54
iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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ii
Capiacutetulo 7 52 Conclusotildees 52 Referecircncias Bibliograacuteficas 54
iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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iii
Lista de Figuras
Capiacutetulo 1
1 Antena de microfita com patch retangular 1 Capiacutetulo 2
21 Antena patch convencional 4
22 Formas geomeacutetricas para o patch 5
2 3 Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial 5
Capiacutetulo 3
31 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios Reproduzido de (WILTSHIRE 2001) 10
32 Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 11
33 Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006) 12
34 (a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006) 13
35 Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006) 15
36 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006) 16
37 Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade 17
Capiacutetulo 5
51 Antena de microfita com substrato metamaterial 28
Capiacutetulo 6
61 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 44
62 Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de (BUELL et al 2006) 45
63 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98 46
64 Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia 46
65 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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iv
66 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 47
67 Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 48
68 Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch 49
69 Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo 50
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
v
Lista de Tabelas
Capiacutetulo 2
21 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo 6
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
vi
Lista de Siacutembolos e Abreviaturas
η Impedacircncia Intriacutenseca do Espaccedilo Livre
gλ Comprimento de onda guiada
L Comprimento do patch
γ Constante de Propagaccedilatildeo na Direccedilatildeo y
W Largura do patch
ω Frequumlecircncia Angular Complexa
micro Permeabilidade Magneacutetica
ε Permissividade Eleacutetrica
κ Nuacutemero de Onda
ik Nuacutemero de Onda da Eneacutesima Regiatildeo Dieleacutetrica
j Nuacutemero Imaginaacuterio Unitaacuterio 1j = minus
effmicro Permeabilidade Magneacutetica efetiva
xxmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo x
yymicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo y
zzmicro Permeabilidade Magneacutetica Relativa na Direccedilatildeo z
0micro Permeabilidade Magneacutetica no Espaccedilo Livre
effε Permissividade Eleacutetrica efetiva
xxε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo x
yyε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo y
zzε Permissividade Eleacutetrica Relativa na Direccedilatildeo z
0ε Permissividade Eleacutetrica no Espaccedilo Livre
[ ]ε Tensor Permissividade Eleacutetrica
[ ]micro Tensor Permeabilidade Magneacutetica
nα Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo x
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
vii
kβ Variaacutevel Espectral na Direccedilatildeo z
x Versor na Direccedilatildeo x
y Versor na Direccedilatildeo y
z Versor na Direccedilatildeo z
Eɶ Vetor Campo Eleacutetrico
Hɶ Vetor Campo Magneacutetico
n Iacutendice de refraccedilatildeo
SRR Ressoador de Anel Partido
TW Fio Milimeacutetricos
LHM ndash Left-Handed Materials
LTT Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
RHM ndash Right-Handed Materials
1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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1
Capiacutetulo 1
Introduccedilatildeo
Com o raacutepido desenvolvimento tecnoloacutegico seja nas telecomunicaccedilotildees na
induacutestria eletrocircnica ou na informaacutetica buscaram-se soluccedilotildees teacutecnicas que atendessem os
requisitos de novos e melhores serviccedilos O tamanho reduzido eacute uma exigecircncia
importante para equipamento de comunicaccedilatildeo portaacutetil como sateacutelite de posicionamento
global (GPS) e vaacuterias aplicaccedilotildees de comunicaccedilotildees moacuteveis Em decorrecircncia dessa
demanda novos materiais satildeo desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de
controle e propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas Nesse contexto as antenas de
microfita satildeo introduzidas como alternativa viaacutevel de transmissatildeo e recepccedilatildeo de
microondas podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas
ndash Comunicaccedilatildeo via sateacutelite telefonia moacutevel redes Wireless (AQUINO 2008) Essas
antenas satildeo estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato
dieleacutetrico e um plano de terra na parte inferior (BAHL BHARTIA 2001) Fig 1
Nessa dissertaccedilatildeo metamateriais formados como substratos dieleacutetricos e condutores
devidamente arranjados (estruturas perioacutedicas) satildeo utilizados como substratos com o
objetivo de desenvolver antenas de alta eficiecircncia e tamanhos reduzidos
Fig 1 ndash Antena de microfita com patch retangular
Neste trabalho eacute utilizado o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT
(FERNANDES 1984) em conjunto com Galerkin caso particular do meacutetodo dos
Momentos (SANTOS 2005) que satildeo meacutetodos de anaacutelise rigorosa no domiacutenio espectral
2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2
O meacutetodo LTT consiste em se obter os componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos
em funccedilatildeo dos componentes transversais no domiacutenio da transformada de Fourier ndash DTF
(BRACEWELL 1965) Em comparaccedilatildeo com outros meacutetodos de onda completa o
meacutetodo LTT apresenta alta eficiecircncia aleacutem de importantes simplificaccedilotildees algeacutebricas
das equaccedilotildees envolvidas no processo o que gera reduccedilatildeo de esforccedilos computacionais
O trabalho estaacute distribuiacutedo em sete capiacutetulos buscando-se abordar todo o
referencial teoacuterico para o estudo da estrutura e equacionamento matemaacutetico e em
seguida apresentar uma anaacutelise dos resultados obtidos na caracterizaccedilatildeo da antena A
principal contribuiccedilatildeo do trabalho eacute o desenvolvimento das equaccedilotildees gerais de campos
para uma antena planar com metamaterial assim como sua comprovaccedilatildeo com (BUELL
et al 2006)
No capiacutetulo 2 eacute apresentada a estrutura de uma antena de microfita
convencional com suas caracteriacutesticas assim como vantagens e desvantagens quando
comparadas a outras antenas para microondas Caracteriacutesticas e tipos de substratos
empregados na sua fabricaccedilatildeo bem como as aplicaccedilotildees formas e principais meacutetodos e
modelos de alimentaccedilatildeo e anaacutelises
No capiacutetulo 3 descrevem-se os metamateriais apresentando um estudo geral do
iacutendice de refraccedilatildeo permeabilidade e permissividade Satildeo definidos os principais tipos
de metamateriais descrevendo-se suas estruturas equacionamentos e curvas
caracteriacutesticas
O Capiacutetulo 4 trata dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de microfita
utilizando o meacutetodo LTT Onde a partir das equaccedilotildees de Maxwell seratildeo determinadas as
expressotildees gerais das componentes dos mesmos em uma regiatildeo qualquer dessa forma
obtecircm um conjunto de equaccedilotildees nas quais as componentes dos campos nas direccedilotildees x e
z satildeo determinadas em funccedilatildeo das componentes na direccedilatildeo y considerando uma
propagaccedilatildeo ldquovirtualrdquo nesta direccedilatildeo O meacutetodo seraacute empregado no desenvolvimento de
todas as equaccedilotildees dos campos eletromagneacuteticos das estruturas de antenas de microfita
com substrato metamaterial atraveacutes em conjunto com a teoria de substrato
bianisotroacutepico Essas equaccedilotildees constituem-se na alma do trabalho pois eacute o ponto de
partida para todo o desenvolvimento analiacutetico
No capiacutetulo 5 a teoria desenvolvida nos capiacutetulos anteriores eacute aplicada a uma
antena de microfita retangular com substrato metamaterial com o objetivo de obter-se a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa e os campos eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita
condutora Para tanto eacute aplicado agrave soluccedilatildeo das equaccedilotildees de Helmohltz utilizando-se
3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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3
condiccedilotildees de contorno eletromagneacuteticas adequadas Em seguida aplica-se o meacutetodo dos
momentos - as densidades de corrente satildeo expandidas em termos de funccedilatildeo de bases e
obteacutem-se a equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Os resultados numeacutericos para a antena de microfita com substrato metamaterial
satildeo apresentados no capiacutetulo 6 Fazem-se comparaccedilotildees com outros autores e anaacutelises
dos resultados obtidos
No Capiacutetulo 7 eacute apresentada a conclusatildeo da aplicaccedilatildeo do meacutetodo LTT agraves
estruturas analisadas assim como dos resultados apresentados
4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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4
Capiacutetulo 2
Antenas de Microfita
21 ndash Linha de Microfita
A antena de microfita na sua forma mais simples eacute composta de um elemento
metaacutelico (patch) depositado sobre um substrato que por sua vez estaacute sobre um plano de
terra como mostrado na Fig 21
Fig 21ndash Antena patch convencional
O patch pode ter vaacuterias geometrias tais como quadrada retangular eliacuteptica anel
circular circular triangular fractal ou qualquer outra configuraccedilatildeo de acordo com a
caracteriacutestica desejada como mostrado na Fig 22
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
SCIENCE Berakthroughof the year The runners-up Science v 314 no 5807 pp
1850-1855 2006 SHELBY R A SMITH D R SCHULTZ S Experimental verification of negative
index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
5
Fig 22ndash Formas geomeacutetricas para o patch
A forma do patch influencia na distribuiccedilatildeo de corrente e por consequumlecircncia na
distribuiccedilatildeo do campo na superfiacutecie da antena
A radiaccedilatildeo da antena de microfita pode ser determinada atraveacutes da distribuiccedilatildeo
de campo entre o patch metaacutelico e o plano de terra Da mesma forma a radiaccedilatildeo pode
ser descrita em termos de distribuiccedilatildeo de corrente de superfiacutecie sobre o elemento
metaacutelico
A alimentaccedilatildeo do patch pode ocorrer de vaacuterias maneiras destacando-se a
alimentaccedilatildeo por meio de cabo coaxial como mostrado na Fig 23 linhas de microfita
linhas de fenda acoplamento por iacuteris ou abertura dentre outras
Fig 2 3ndash Antena de microfita convencional com patch retangular alimentada por cabo coaxial
A tabela 21 faz uma siacutentese das teacutecnicas citadas acima mostrando as principais
caracteriacutesticas vantagens e limitaccedilotildees (BAHL BHARTIA 2001)
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
6
Caracteriacutesticas Linha de
Microfita
Alimentaccedilatildeo
Coaxial
Acoplamento
por Abertura
Acoplamento
por
Proximidade
Espuacuterios de
Radiaccedilatildeo
Maior Maior Menor Meacutedio
Confiabilidade Oacutetima Boa (a
depender da
solda)
Boa Boa
Fabricaccedilatildeo Faacutecil Faacutecil Difiacutecil Difiacutecil
Casamento de
Impedacircncia
Faacutecil Faacutecil Faacutecil Faacutecil
Largura de
Banda
2-5 2-5 2-5 13
Tabela 2 1 Tabela comparativa entre as diversas teacutecnicas de alimentaccedilatildeo
As antenas de microfita apresentam particularidades geomeacutetricas e propriedades
eleacutetricas que podem ser interpretadas como vantagens ou desvantagens dependendo das
aplicaccedilotildees a que se destinam Assim pode-se destacar dimensotildees e pesos reduzidos
facilidade e baixo custo de fabricaccedilatildeo adequaccedilatildeo agrave aerodinacircmica dos dispositivos onde
satildeo montadas facilidade de integraccedilatildeo com outros circuitos baixa eficiecircncia pequena
largura de banda excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie e radiaccedilatildeo em um hemisfeacuterio
(BAHL 2001 BHARTIA 1991 JAMES 1989 POZAR 1995)
Existem muitas formas de diminuir o efeito destas limitaccedilotildees como por
exemplo a reduccedilatildeo da excitaccedilatildeo de ondas de superfiacutecie atraveacutes da utilizaccedilatildeo de novos
substratos sendo o metamaterial um deles Um aumento na largura de banda pode ser
obtido com antenas com estrutura de patches empilhados ou com multicamadas
dieleacutetricas
Diversos meacutetodos de anaacutelise satildeo reportados na literatura para a caracterizaccedilatildeo
das antenas de microfita destacando-se os modelos aproximados e os modelos de onda
completa
24 ndash Meacutetodos de Anaacutelise
Os principais meacutetodos de anaacutelise de antenas de microfita satildeo o da linha de
transmissatildeo o modelo da cavidade ambos aproximados e os de onda completa dentre
7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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7
os quais se incluem o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Equivalente (LTE) ou Meacutetodo
da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa - LTT o qual seraacute usado neste trabalho Esses se baseiam em
equaccedilotildees diferenciais integrais e utilizam-se do meacutetodo dos momentos e de funccedilotildees de
base para determinar as soluccedilotildees
241 ndash Meacutetodos Aproximados
O modelo da linha de transmissatildeo eacute um dos meacutetodos mais simples embora
produza resultados satisfatoacuterios sendo adequado para anaacutelise de antenas de microfita
com patch retangular ou quadrado Para outras geometrias do patch torna-se inviaacutevel a
anaacutelise atraveacutes deste modelo Nessa anaacutelise o elemento radiante pode ser modelado por
duas aberturas paralelas representando dipolos magneacuteticos
O Modelo da Cavidade a princiacutepio pode se empregado para o estudo de antenas
com patches de qualquer geometria O modelo da cavidade basicamente trata a antena
como sendo uma cavidade com paredes ressonantes onde na base e no topo haacute paredes
eleacutetricas e nas laterais paredes magneacuteticas Os campos na antena satildeo considerados como
os campos na cavidade desta forma sendo expandidos em termos de modos
ressonantes na cavidade onde cada modo tem a sua frequumlecircncia de ressonacircncia
(BALANIS 1997)
242 ndash Meacutetodos de Onda Completa
A anaacutelise de estrutura planar a partir de modelos aproximados (descritos acima)
oferece rapidez nas formulaccedilotildees no entanto incluem uma parcela de erro devido agraves
simplificaccedilotildees feitas sobretudo quando se trata de aplicaccedilotildees em altas frequumlecircncias e
substratos anisotroacutepicos Assim a anaacutelise a partir de um meacutetodo rigoroso eacute
imprescindiacutevel para a precisatildeo dos resultados Eacute sabido que o modo de propagaccedilatildeo da
microfita eacute modificado devido agrave interface dieleacutetrico-ar tornando-se um modo hiacutebrido
natildeo -TEM Logo o meacutetodo de anaacutelise deve considerar a natureza hiacutebrida dos modos de
propagaccedilatildeo por esse motivo tais meacutetodos satildeo chamados de anaacutelise dinacircmica ou de onda
completa Os mais relatados na literatura satildeo o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Equivalente - LTE ou Meacutetodo da Imitacircncia o Meacutetodo dos Potenciais Vetoriais de Hertz
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
8
e o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa - LTT Esse seraacute utilizado ao longo
deste trabalho com uma nova formulaccedilatildeo para substratos metamateriais Por esse
motivo eacute desnecessaacuterio apresentaacute-lo neste momento pois eacute detalhado com todo o
formalismo matemaacutetico no capiacutetulo 4
25 ndash Conclusotildees
Nesse capiacutetulo foram apresentados conceitos e grandezas essenciais ao
entendimento dos temas que seratildeo abordados nos capiacutetulos seguintes situando assim o
leitor acerca do trabalho desenvolvido
9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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9
Capiacutetulo 3
Substrato Metamaterial
31 - Introduccedilatildeo
As propriedades eleacutetricas e magneacuteticas dos materiais podem ser determinadas
por dois paracircmetros constitutivos denominados permissividade eleacutetrica (ε) e
permeabilidade magneacutetica (micro) Em conjunto a permeabilidade e a permissividade
determinam a resposta do material quando uma onda eletromagneacutetica se propaga atraveacutes
do mesmo Geralmente ε e micro satildeo ambos positivos em meios convencionais Enquanto ε
pode ser negativo em alguns materiais (por exemplo ε pode apresentar valores
negativos abaixo da frequumlecircncia de plasma dos metais) nenhum material natural com micro
negativo eacute conhecido Poreacutem certos materiais chamados de materiais LHM (Left-
Handed Materials) possuem permissividade efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (microeff)
apresentando simultaneamente valores negativos (VASCONCELOS 2010) Em tais
materiais o iacutendice de refraccedilatildeo (n) eacute negativo fator este que resulta na inversatildeo de
fenocircmenos eletromagneacuteticos conhecidos os quais foram investigados teoricamente
pelo fiacutesico russo Veselago (VESELAGO 1968) Na eacutepoca da publicaccedilatildeo do estudo o
proacuteprio Veselago ressaltou que tais materiais natildeo estavam disponiacuteveis na natureza o
que fez com que suas observaccedilotildees ficassem apenas no territoacuterio das curiosidades
Esses novos materiais satildeo denominados de metamateriais onde o prefixo meta eacute
uma alusatildeo agrave natureza excecircntrica de seus paracircmetros eletromagneacuteticos Entretanto
existem outras denominaccedilotildees para estes meios na literatura de acordo com as
propriedades do material tais como materiais left-handed (LHM) materiais de iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (NRI) materiais de iacutendices negativos (NIM) materiais duplo-
negativos (DNG) dentre outros
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia capaz de atender
agraves exigecircncias excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicaccedilotildees Baseados em
uma atraente e revolucionaacuteria classe de materiais que possuem novas e poderosas
propriedades de propagaccedilatildeo eletromagneacutetica eles foram considerados pela revista
10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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10
Science como sendo um dos maiores avanccedilos da ciecircncia no ano de 2006 (SCIENCE
2006)
32 ndash A nova classe de materiais Metamateriais
As caracteriacutesticas desses meios artificiais vatildeo aleacutem de sua funcionalidade jaacute que
eacute permitida a combinaccedilatildeo de sinais entre os paracircmetros de permissividade e
permeabilidade Esses paracircmetros satildeo relacionados ao iacutendice de refraccedilatildeo n dado por
(ITOH 2006)
r r
n micro ε= plusmn (31)
Onde micror e εr satildeo a permeabilidade e permissividade relativas respectivamente
relacionadas agrave permeabilidade e permissividade no espaccedilo livre dadas por micro0 = micromicror =
4π10-7 e ε0 = εεr = 885410-12 respectivamente Na equaccedilatildeo 31 o sinal plusmn para um
duplo valor da funccedilatildeo raiz quadrada eacute admitido a priori para casos gerais As quatro
possibilidades de combinaccedilotildees de sinais para ε e micro satildeo (++) (+-) (-+) e (--)
A Fig 31 ilustra uma representaccedilatildeo graacutefica de quatro diferentes possibilidades
de materiais para aplicaccedilotildees eletromagneacuteticas baseados em suas permissividades e
permeabilidades Satildeo tambeacutem ilustradas a refraccedilatildeo e a reflexatildeo considerando uma
interface entre o ar e cada meios em questatildeo Haacute quatro regiotildees no diagrama
Fig 31 ndash Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (micro) para os quatro tipos de meios
Reproduzido de (WILTSHIRE 2001)
11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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11
Veselago determinou que se ε ou micro fossem negativos ou seja tivessem sinais
opostos o material natildeo suportaria a propagaccedilatildeo de ondas eletromagneacuteticas
(VESELAGO et al 1968) Este fenocircmeno veio a ser conhecido como ldquoband gap
eletromagneacutetico (EBG)rdquo Ainda temos a regiatildeo onde ε e micro satildeo positivos que eacute o caso
dos materiais convencionais (RHM ndash Right-Handed Materials) onde a refraccedilatildeo ocorre
positivamente e a regiatildeo onde ε e micro satildeo negativos simultaneamente onde se encontram
os metamateriais (LHM ndash Left-Handed Materials) nos quais a refraccedilatildeo ocorre
negativamente
A presenccedila de iacutendice de refraccedilatildeo negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo antiparalela agrave velocidade de fase causando interessantes efeitos
como por exemplo uma inversatildeo da direccedilatildeo do efeito Doppler ou uma inversatildeo do raio
refratado na Lei de Snell comparado aos meios convencionais (iacutendice de refraccedilatildeo
negativo) Como Veselago apontou estas reversotildees da onda eletromagneacutetica contem
implicaccedilotildees para muitos fenocircmenos Muitos dos efeitos do iacutendice de refraccedilatildeo negativo
tecircm sido examinados pelos pesquisadores do ponto de vista experimental ou
computacional
O iacutendice de refraccedilatildeo determina como o feixe eacute defletido na interface de
separaccedilatildeo entre dois meios distintos Se o iacutendice eacute positivo o feixe eacute defletido no lado
oposto da normal agrave superfiacutecie em relaccedilatildeo ao feixe incidente Enquanto se o iacutendice eacute
negativo ele eacute defletido no mesmo lado da normal aacute superfiacutecie Considerando um
prisma de RHM e LHM Fig 32 eacute possiacutevel observar o fenocircmeno da refraccedilatildeo nos dois
meios Para o prisma RHM o raio refratado produz um acircngulo positivo com a normal
no prisma de LHM o raio refratado produz um acircngulo negativo com a normal Aleacutem
disso a velocidade de grupo que caracteriza o fluxo de energia e a velocidade de fase
que caracteriza o movimento das frentes de onda aponta em direccedilotildees opostas como
mostra a Fig 33
Fig 32 ndash Ilustraccedilatildeo da propagaccedilatildeo em um meio com iacutendice de refraccedilatildeo positivo (RHM e com iacutendice de
refraccedilatildeo negativo (RHM) θ1 eacute o acircngulo de incidecircncia e θ2 eacute o acircngulo de refraccedilatildeo Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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12
Fig 33 ndash Ilustraccedilatildeo das direccedilotildees do campo eleacutetrico do campo magneacutetico do vetor de Poyting e do vetor
de onda (a) RHM e (b) LHM Reproduzido de (SUDHAKARAN 2006)
Vale ressaltar que estes materiais artificiais com iacutendice de refraccedilatildeo negativo
possuem os valores de ε e micro dependentes da frequumlecircncia ou seja satildeo meios dispersivos
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de frequumlecircncia
(VASCONCELOS 2010)
Os metamateriais tambeacutem podem ser projetados de modo que possam apresentar
os mesmos paracircmetros eletromagneacuteticos dos materiais pertencentes aos outros trecircs
quadrantes Daiacute muitos trabalhos tecircm sido desenvolvidos e validados
experimentalmente (SMITH et al 200 SHELBY et al ZIOLKOWKSI et al 2001)
33 ndash Projeto do meio Metamaterial
Os metamateriais podem ser definidos como estruturas eletromagneacuteticas efetivas
homogecircneas artificiais com propriedades incomuns que natildeo satildeo encontradas em
materiais na natureza (ITOH 2006) Estruturas nano-compostas de banda
eletromagneacutetica proibida satildeo exemplos de metamateriais
Uma estrutura efetiva homogecircnea eacute uma estrutura cuja meacutedia do comprimento
estrutural de ceacutelula p eacute muito menor que um comprimento de onda guiada λg Assim
esse comprimento meacutedio de ceacutelula pode ser pelo menos menor que um quarto de
comprimento de onda p lt λg4 Esta condiccedilatildeo de referecircncia p=λg4 seraacute denominada
como o limite de homogeneidade efetiva para garantir que o fenocircmeno refrativo iraacute
dominar em relaccedilatildeo ao fenocircmeno de espalhamentodifraccedilatildeo quando a onda se propaga
13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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13
dentro do meio metamaterial A Fig 34 mostra o primeiro metamaterial proposto por
Pendry constituiacutedo de metais e dieleacutetricos e seguindo a condiccedilatildeo de homogeneidade
efetiva (p lt λg4)
Fig 34 ndash(a) estrutura composta por fios milimeacutetricos (thin wire ndash TW) (b) estrutura composta pelos
ressoadores de anel partido (split-ring resonator ndash SRRs) Reproduzido de (ITOH 2006)
O metamaterial descrito na Fig 34 (a) eacute o fio fino de metal (thin-wire TW) Se a
excitaccedilatildeo do campo eleacutetrico Eeacute paralela ao eixo dos fios ( )E z
para induzir corrente
ao longo destes e gerar o momento de dipolo eleacutetrico equivalente esse metamaterial
exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a permissividade na seguinte
forma (PENDRY et al 2000)
( )2 2 2
2 2 2 2 21 1pe pe pe
r jj
ω ω ξωε
ω ωξ ω ξ ω ω ξ= minus = minus +
+ + + (32)
onde ( )2 2 22 ln pe c p p rω π = (c velocidade da luz r raio dos fios) eacute a frequumlecircncia
plasmaacutetica eleacutetrica ajustado na faixa de GHz e ( )20 pep rξ ε ω πσ= (σ
condutividade do metal) eacute o fator de amortecimento devido agraves perdas do metal Pode ser
notado nessa formula que
( ) 2 2Re 0 para r peε ϖ ϖ ξlt lt minus (33)
que eacute reduzida se 2 0ξ = para
14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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14
20 para r peε ϖ ϖlt lt (34)
Por outro lado a permeabilidade eacute simplesmente micro = micro0 uma vez que natildeo haacute
presenccedila de material magneacutetico e o momento de dipolo magneacutetico natildeo eacute gerado Deve
ser notado que os fios satildeo muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente
tendendo ao infinito) significando que os fios satildeo excitados em frequumlecircncias situadas
bem abaixo de sua primeira ressonacircncia
O metamaterial descrito na Fig 34 (b) eacute o ressoador de anel partido (split-ring
resonator ndash SSR) Se a excitaccedilatildeo do campo magneacutetico H eacute perpendicular ao plano dos
aneacuteis ( )H yperp
para induzir a corrente na malha fechada e gerar o momento dipolo
magneacutetico esse metamaterial exibe uma funccedilatildeo de frequumlecircncia do tipo plasmaacutetica para a
permissividade na seguinte forma (PENDRY et al 2000)
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
2 20
2 2 2 20
2 22 22 2 2 20 0
1
1
r
m
m
m m
F
j
F Fj
ωmicro
ω ω ωξ
ω ω ω ω ξ
ω ω ωξ ω ω ωξ
= minus =minus +
minusminus +
minus + minus +
(35)
Onde ( )2F r pπ= (r raio interno do anel menor) ( )0 3
3
ln 2 m
pc
dr sϖ
π= (d
largura dos aneacuteis s espaccedilo radial entre os aneacuteis) eacute a frequumlecircncia de ressonacircncia
magneacutetica que pode ser ajustada para GHz e 02 pR rζ micro= (Rrsquo resistecircncia do metal
por unidade de comprimento) eacute o fator de preenchimento devido agraves perdas Deve ser
notado que a estrutura SRR possui uma resposta magneacutetica apesar do fato de natildeo incluir
materiais condutores magneacuteticos devido agrave presenccedila de momentos de dipolo magneacutetico
artificial gerado pelos aneacuteis ressoadores A equaccedilatildeo 36 revela que uma faixa de
frequumlecircncia pode existir quando ( )Re 0rmicro lt em geral ( )0ζ ne No caso sem perdas
( )0ζ ne temos que
000 para
1m
r m pmF
ϖmicro ϖ ϖ ϖlt lt lt =
minus (36)
15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
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15
onde ωpm eacute chamada de frequumlecircncia de plasmaacutetica magneacutetica Uma diferenccedila essencial
entre as expressotildees plasmaacuteticas para a permissividade e a permeabilidade eacute que o ultimo
eacute de natureza ressonante ( )0mmicro ϖ ϖ= = infin da estrutura devido agrave ressonacircncia dos
SRRs dados por (CHARLES 1976) como sendo ( )
2
0 3
3
ln 2 m
pc
d s rϖ
π=
O circuito equivalente do SRR eacute mostrado na Fig 35 (PENDRY et al 2000)
Na configuraccedilatildeo de anel duplo Fig 35(a) acoplamento capacitivo e indutivo entre os
aneacuteis maiores e menores satildeo modelados por uma capacitacircncia de acoplamento (Cm) e
por um transformador (de raio n) Na configuraccedilatildeo de um anel Fig 35(b) o modelo do
circuito eacute um simples ressoador RLC com frequumlecircncia ressonante 0 1 LCϖ = O SRR
duplo eacute essencialmente equivalente ao SSR uacutenico se o acoplamento muacutetuo eacute fraco
porque as dimensotildees dos dois aneacuteis satildeo muito proacuteximas umas das outras assim L1 asymp L2
asymp L e C1 asymp C2 asymp C resultando em uma frequumlecircncia ressonante combinada proacutexima a do
SRR simples com as mesmas dimensotildees porem com um maior momento magneacutetico
devido agrave maior densidade de corrente
Fig 35 ndash Modelo de circuito equivalente do SRR (a) SRR configuraccedilatildeo dupla e (b) configuraccedilatildeo simples Reproduzido de (ITOH 2006)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) satildeo apresentadas
na Fig 37 (ITOH 2006) Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magneacutetica
ressonante agraves ondas eletromagneacuteticas quando o vetor campo magneacutetico H for paralelo
ao eixo dos SRRs
16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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16
Fig 36 ndash Primeiras estruturas LH de TW e SRRs (a) Estrutura LH unidimensional (b) Estrutura LH
bidimensional Reproduzido de (ITOH 2006)
Resultados para a estrutura da Fig 36 (a) podem ser vistos nas Fig 37
(a)
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
17
(b)
Fig 37 ndash Resultados teoacutericos computacionais para uma estrutura TW-SRR (a) permeabilidade (b) permissividade
Recentemente novos substratos artificiais com propriedades dieleacutetricas eou
magneacuteticas tecircm sido empregados para a miniaturizaccedilatildeo de antenas e circuitos planares
de microondas (MOSALLAEI et al 2007) O uso destes materiais tambeacutem eacute
investigado em antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al 2007)
Neste trabalho seraacute utilizado o metamaterial na faixa de frequumlecircncia onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores positivos para aplicaccedilotildees em
antenas de microfita No contexto dos metamateriais devido ao fato de apresentarem
uma anisotropia tanto dieleacutetrica quanto magneacutetica estes meios podem ser considerados
como meios bianisotroacutepicos Com isto a inclusatildeo destes materiais em formalismos
numeacutericos tais como MoM FDTD entre outros pode ser realizada
Na anaacutelise utilizando o meacutetodo de onda completa da Linha de Transmissatildeo
Transversa eacute preciso que os paracircmetros constitutivos do meio sejam definidos Neste
caso o metamaterial considerado eacute caracterizado por permissividade e permeabilidade
tensoriais (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(37)
18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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18
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(38)
Quando uma estrutura LH eacute unidimensional (1D) somente eacute permitida para a
dupla ( )E H
Tem-se entatildeo que εxx (ω lt ωpe) lt 0 e εyy = εzz gt 0 microxx gt 0 e microyy = microxx
(ω0m lt ω lt ωpm) lt 0 Logo o tensor para o metamaterial 1D eacute dado por (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 ( ) 0
0 0
r
eff
r
micromicro micro micro ω
micro
=
(39)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(310)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D) embora E tenha que ser orientado
ao longo do eixo dos fios satildeo possiacuteveis duas direccedilotildees para H o [ε] eacute inalterado mas microxx
= microyy (ω0m lt ω lt ωmp) lt 0 e microzz gt 0 Portanto o tensor para o metamaterial 2D eacute dado
por (ITOH 2006 MOSALLAI et al 2004)
[ ] 0
( ) 0 0
0 ( ) 0
0 0
eff
eff
r
micro ωmicro micro micro ω
micro
=
(311)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 ( )
r
r
eff
εε ε ε
ε ω
=
(312)
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
19
33 ndash Conclusotildees
Neste capiacutetulo uma introduccedilatildeo sobre o estado da arte dos metamateriais foi
apresentado Foram mencionados os primeiros estudos teoacutericos e praacuteticos a respeito
dessas estruturas bem como alguns resultados que caracterizam essas estruturas Foi
descrito o fenocircmeno de refraccedilatildeo negativa observando assim o potencial de aplicaccedilotildees
eletromagneacuteticas dessas estruturas
20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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20
Capiacutetulo 4
Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT
Diferentemente de outros meacutetodos de onda completa o Meacutetodo da Linha de
Transmissatildeo Transversa utiliza agrave direccedilatildeo de propagaccedilatildeo ldquoyrdquo transversa a direccedilatildeo real de
propagaccedilatildeo ldquozrdquo Dessa forma haacute uma diminuiccedilatildeo do tempo computacional quando este
meacutetodo eacute implementado em alguma linguagem computacional
41 Desenvolvimento dos Campos Transversais
Como exemplos de aplicaccedilatildeo satildeo determinados os campos para a regiatildeo do
substrato metamaterial de uma linha de lacircmina bilateral As equaccedilotildees gerais dos campos
satildeo obtidas com a utilizaccedilatildeo do meacutetodo LTT (FERNANDES 1986) a partir das
equaccedilotildees de Maxwell
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(41)
x H [ ]Ejω εnabla =
(42)
Os vetores campo eleacutetrico e magneacutetico no meacutetodo LTT satildeo decompostos nas
suas trecircs componentes (FERNANDES 1986)
ˆ ˆ ˆy t x y zH H H H x H y H z= + = + +
(43)
ˆ ˆ ˆy t x y zE E E E x E y E z= + = + +
(44)
ˆ ˆ ˆ ˆy t t y x y z
y x y z
partpart
part part partnabla = nabla +nabla = nabla + = + +
part part part (45)
nabla = + = minustxx
zz
xx z
partpart
partpart
partpart
ɵ ɵ ɵ ɵΓ (46)
onde
21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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21
H H Ht x z= + ndash campo magneacutetico na direccedilatildeo transversa (47) E E Et x z= + ndash campo eleacutetrico na direccedilatildeo transversa (48)
Γ = +α βj ndash constante de propagaccedilatildeo (49)
Para o caso do metamaterial temos que (ITOH 2006)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(410)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(411)
Substituindo (44) a (46) em (43)
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
E x
x y z H x H y H z j E yx y z
E z
εωε ε
ε
part part part + + times + + = sdot part part part
(412)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
H z H y H z H x H y H xx x y y z z
j E E Eω ε ε ε ε
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(413)
Separando as componentes transversais x e z de (413) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzH z H z H x H x j E E
x y y zω ε ε ε
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(414)
Reescrevendo
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
22
( )0ˆ ˆˆ ˆz x y y x xx z zzH x H z H z H x j E E
y y x zω ε ε ε
part part part part minus + minus = + part part part part
(415)
como
ˆ ˆˆz x tH x H z y H
y y y
part part partminus = times part part part
(416)
e
ˆˆy y t yH z H x H
x z
part part minus = nabla times part part
(417)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t y x xx z zzy H H j E E
yω ε ε ε
part times + nabla times = + part
(418)
assim
0
1x Z y
xx
E H Hj y zωε ε
part part= minus part part
(419)
e
0
1Z y x
zz
E H Hj x yωε ε
part part= minus part part
(420)
23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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23
( ) 0
ˆ0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0 0
0 0 ˆ
xxx
x y z yy y
zz z
H x
x y z E x E y E z j H yx y z
H z
microωmicro micro
micro
part part part + + times + + = minus sdot part part part
(421)
( ) ( ) ( )
( )0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆy z x z x y
x xx y yy z zz
E z E y E z E x E y E xx x y y z z
j H H Hω ε micro micro micro
part part part part part part+ minus + minus + + + minus
part part part part part part
= + +
(422)
Separando as componentes transversais x e z de (422) teremos
( ) ( ) ( )0ˆ ˆˆ ˆy x z y x xx z zzE z E z E x E x j H H
x y y zω ε micro micro
part part part part + minus + + minus = + part part part part
(423)
reescrevendo
( )0ˆ ˆˆ ˆy y z x x xx z zzE z E x E x E z j H H
x z y yω ε micro micro
part part part part minus + minus = + part part part part
(424)
como
ˆ ˆˆz x tE x E z y E
y y y
part part partminus = times part part part
(425)
e
ˆˆy y t yE z E x E
x z
part part minus = nabla times part part
(426)
entatildeo
( ) ( )0ˆt t t x xx z zzy E E j H H
yω ε micro micro
part times + nabla times = + part
(427)
assim
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
24
0x z y
xx
jH E E
y zωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(428)
e
0Z y x
zz
jH E E
x yωmicro micro part part
= minus part part ɶ ɶ ɶ
(429)
Aplicando a eq(419) em (429) temos
0 0
1z y Z y
zz xx
jH E H H
x y y zωmicro micro ωε ε
part part part part= minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (430)
2
2
020
1z n xx y y
y zz xx
H E Hy zK K
α ωε εmicro ε
part= + part part+
ɶ ɶ ɶ (431)
E assim
2
02 20
1z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (432)
Agora aplicando a eq (429) em (419) temos
0 0
1x y x y
xx zz
jE E E H
j y x y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (433)
2
02 20
1x y k zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part ɶ ɶ ɶ
(434)
Manipulando as equaccedilotildees (420) e (428) temos
25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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25
0 0
1x y x y
xx zz
jH H H E
y j x y zωmicro micro ωε ε
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (435)
2
02 20
1x y K zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (436)
Por final aplicando a eq (428) em (420) temos
0 0
1Z y Z y
zz xx
jE H E E
j x y y zωε ε ωmicro micro
part part part part = minus minus part part part part
ɶ ɶ ɶ ɶ (437)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (438)
Onde
22 2
2 yky
partγ
part= = (439)
2 2n K iKγ α β= + minus (440)
njx
αpart
= minuspart
(441)
Kjz
βpart
= minuspart
(442)
Assim temos as equaccedilotildees de campo eleacutetrico e magneacutetico
26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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26
2
02 20
1x y K zz y
y xx zz
E E HK K y x
β ωmicro microε micro
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (443)
2
02 20
1Z y n xx y
y zz xx
E E HK K y z
α ωmicro microε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (444)
2
02 20
1x y k zz y
y zz xx
H H EK K y x
β ωε εε micro
part= minus + part part
ɶ ɶ ɶ (445)
2
02 20
1Z n xx y y
y zz xx
H E HK K y z
α ωε εmicro ε
part= + + part part
ɶ ɶ ɶ (446)
42 ndash Conclusotildees
Foi apresentado o desenvolvimento matemaacutetico e a determinaccedilatildeo dos campos
eletromagneacuteticos da antena de microfita com substrato metamaterial utilizando o
Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
27
Capiacutetulo 5
Campos Eletromagneacuteticos na Antena com
Substrato Metamaterial
51 Introduccedilatildeo
A anaacutelise atraveacutes de meacutetodos rigorosos de onda completa se faz necessaacuteria para
a obtenccedilatildeo de resultados mais exatos e eficientes que se aproximam dos resultados reais
Partindo das equaccedilotildees de Maxwell as componentes dos campos eleacutetrico e
magneacutetico xE
~ zE
~ xH
~ e zH
~ satildeo escritos em funccedilatildeo das componentes yE
~ e yH
~ no
domiacutenio da transformada de Fourier Tomando uma soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo de onda e
aplicando as condiccedilotildees de contorno adequadas satildeo obtidas as constantes envolvidas
nesta soluccedilatildeo em funccedilatildeo do campo eleacutetrico fora da fita e tambeacutem agrave equaccedilatildeo matricial
natildeo homogecircnea envolvendo as densidades de corrente nas fitas Aplicando o meacutetodo
dos momentos as densidades de corrente satildeo expandidas em funccedilotildees de base e uma
equaccedilatildeo matricial homogecircnea eacute obtida A soluccedilatildeo natildeo-trivial gera a equaccedilatildeo
caracteriacutestica na qual as raiacutezes permitem a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da
antena
Neste capiacutetulo eacute apresentada a antena de microfita retangular com substrato
metamaterial a qual eacute uma modificaccedilatildeo da antena retangular
52 Antena de Microfita com Substrato Metamaterial
As equaccedilotildees de campo eletromagneacutetico satildeo desenvolvidas para a obtenccedilatildeo da
frequumlecircncia de ressonacircncia da antena de microfita convencional atraveacutes do meacutetodo de
onda completa LTT e em combinaccedilatildeo com este seraacute utilizado o modelo da Linha de
Transmissatildeo para a obtenccedilatildeo do diagrama de irradiaccedilatildeo da antena
A antena eacute composta por um patch ressoador sobre um substrato dieleacutetrico que
tem na parte inferior um plano de terra como ilustrado na Fig 51
28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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28
Fig 51 ndash Antena de microfita com substrato metamaterial
Durante o processo de analise da estrutura a espessura da fita condutora eacute
desprezada pois seratildeo considerados os paracircmetros dimensionais e eletromagneacuteticos da
estrutura e o sistema cartesiano
53 Determinaccedilatildeo das Equaccedilotildees de Campos Eletromagneacuteticos
Nessa seccedilatildeo satildeo desenvolvidas as soluccedilotildees das equaccedilotildees de ondas para antena
de microfita com substrato metamaterial na regiatildeo 1 Para regiatildeo 2 eacute considerado o
espaccedilo livre
Das equaccedilotildees de Maxwell tem-se
x E [ ]Hjω micronabla = minus
(51)
x H [ ]Ejω εnabla =
(52)
Onde para o caso de substrato metamaterial uniaxial
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(53)
0
0 0
[ ] 0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(54)
29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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29
Como as soluccedilotildees das equaccedilotildees de onda satildeo feitas considerando a direccedilatildeo de
propagaccedilatildeo as equaccedilotildees 53 e 54 se tornam
0[ ] yyε ε ε= (55)
0[ ] yymicro micro micro= (56)
Calculando-se o rotacional da eq 51 tem-se
[ ]E j Hω micronablatimesnablatimes = minus nablatimes
(57)
Substituindo a eq 52 em 57
20 0yy yyE Eω ε ε micro micronablatimesnablatimes =
(58)
Assim
2 20 0( ) yy yyE E Eω ε ε micro micronabla nabla sdot minusnabla =
(59)
Como a regiatildeo eacute livre de cargas e correntes eleacutetricas tem-se pelas equaccedilotildees de
Maxwell que
0Enabla sdot =
(510)
logo pode-se escrever 59 como segue
2 20 0 0yy yyE Eω ε ε micro micronabla minus =
(511)
esta relaccedilatildeo eacute vaacutelida para todas as componentes de E e em particular para yE ou seja
2 20 0 0y yy yy yE Eω ε ε micro micronabla minus =
(512)
30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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30
decompondo-se o operador 2nabla tem-se
2 2 22
2 2 2x y z
part part partnabla = + +
part part part (513)
assim 612 eacute dada por
2 2 22
0 02 2 20yy yyE
x y zω ε ε micro micro
part part part+ + + =
part part part
(514)
Da teoria da transformada de Fourier tem-se
22
2
y
n y
EE
xα
part= minus
part
(515)
22
2
y
k y
EE
zβ
part= minus
part
(516)
Transformando-se 514 para o domiacutenio da transformada de Fourier tem-se
2 2 20 02
0y
n y k y yy yy
EE E E
yα β ω ε ε micro micro
partminus + minus + =
part
(517)
ou ainda
22 2 2
2( ) 0y
n k y
Ek E
yα β
partminus + minus =
part
(518)
Onde 20 0yy yy yk Eω ε ε micro micro=
Logo
22
20y
y
EE
yγ
partminus =
part
(519)
31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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31
Onde 2 2 2 2n k kγ α β= + minus
A equaccedilatildeo 519 eacute a equaccedilatildeo de onda para yE De maneira anaacuteloga mostra-se que
2
22
0y
y
HH
yγ
partminus =
part
(520)
As soluccedilotildees das equaccedilotildees dos campos em y para as duas regiotildees da estrutura em
estudo (onde a regiatildeo 1 representa agrave ressonacircncia e a regiatildeo 2 a propagaccedilatildeo atraveacutes do
ar) atraveacutes das equaccedilotildees de onda de Helmholtz satildeo dadas por
Regiatildeo 1
( )1 1 1coshy eE A yγ=ɶ (521)
( )1 1 1y hH A senh yγ=ɶ (522)
Regiatildeo 2
)(22
2~ hy
ey eAEminusminus= γ (523)
)(
222
~ hy
hy eAHminusminus= γ (524)
Substituindo as componentes em y (521) ndash (524) nas equaccedilotildees (443) ndash (446)
obtecircm-se as demais componentes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos para as duas regiotildees da estrutura Regiatildeo 1
( )1 1 1 1 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )x n e k zz h
xx zz
jE A y j A y
Kα γ γ β ωmicro γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (525)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) sinh( )z k e n xx h
zz xx
jE A y j A y
Kβ γ γ α ωmicro micro γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (526)
( )1 1 1 1 0 1 12 21 0
cosh( ) cosh( )x n h k zz e
zz xx
jH A y j A y
Kα γ γ β ωε ε γ
γ ε microminus
= minus+
ɶ (527)
32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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32
( )1 0 1 1 1 1 12 20
cosh( ) cosh( )z n xx e k h
xx zz
jH j A y A y
Kα ωε ε γ β γ γ
γ ε microminus
= ++
ɶ (528)
Regiatildeo 2
( ) ( )[ ]hy
hk
hy
enx eAeAjk
Eminusminusminusminus +
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroβγαγ
(529)
( ) ( )[ ]hy
hn
hy
ekz eAeAjk
Eminusminusminusminus minus
+= 22
22222
22
2
1~ γγ ωmicroαγβγ
(530)
( ) ( )[ ]hy
ek
hy
hnx eAeAjk
Hminusminusminusminus minus
+= 22
222222
22
2
1~ γγ βωεγαγ
(531)
( ) ( )[ ]hy
en
hy
hkz eAeAjk
Hminusminusminusminus +
+= 22
222222
22
2
1~ γγ αωεγβγ
(532)
As constantes dos campos eleacutetricos e magneacuteticos (A1e A1h A2e e A2h) satildeo obtidas
atraveacutes da aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno da estrutura na direccedilatildeo y As condiccedilotildees
de contorno satildeo dadas por (DAMIANO et al 1990)
bull Os campos eleacutetricos tangentes agraves paredes eleacutetricas satildeo iguais a zero ( 0tE =ɶ )
bull Os campos eletromagneacuteticos no infinito tendem a zero
bull Os campos eletromagneacuteticos nas interfaces dieleacutetrico-dieleacutetrico satildeo iguais (
ti tjE E=ɶ ɶ e ti tjH H=ɶ ɶ )
bull Os campos eleacutetricos tangentes a uma interface dieleacutetrico-dieleacutetrico que possua
fitas metaacutelicas satildeo iguais aos campos eleacutetricos a essa interface (ti tj fitaE E E= =ɶ ɶ ɶ )
A aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno gera um sistema de equaccedilotildees no qual
a quantidade de equaccedilotildees e de incoacutegnitas eacute igual a 4 vezes a quantidade de regiotildees
dieleacutetricas consideradas para a estrutura em estudo A resoluccedilatildeo deste sistema natildeo-
homogecircneo de equaccedilotildees fornece os valores das constantes dos campos eleacutetricos e
magneacuteticos
33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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33
Aplicando as condiccedilotildees de contorno agrave estrutura em estudo tecircm-se
em y = h
xhxx EEE~~~
21 == (533)
zhzz EEE~~~
21 == (534)
Com a aplicaccedilatildeo destas condiccedilotildees de contorno as constantes dos campos
eleacutetricos e magneacuteticos satildeo obtidas em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais xhE~
e
zhE~
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 20 1
( ) ( )
sinh( )( )k xh xx zz n zh zz xx
h
n xx k zz
E K E KA
y
β γ ε micro α γ ε microωmicro γ α micro β micro+ minus +
=+
ɶ ɶ (535)
2 2 2 21 1 0 1 1 0
1 2 21 1
( ) ( )
sinh( )( )zz k zh zz xx xx n xh xx zz
e
k zz n xx
j E K j E KA
y
micro β γ ε micro micro α γ ε microγ γ β micro α micro
minus + minus +=
minus
ɶ ɶ (536)
( )2
2
n xh k zh
e
j E EA
α β
γ
minus +=
ɶ ɶ
(537)
( )2
0
k xh n zh
h
E EA
β α
ωmicro
minus=
ɶ ɶ
(538)
Apoacutes a obtenccedilatildeo das constantes dos campos eacute aplicada a condiccedilatildeo de contorno
magneacutetica na interface onde se localiza a fita condutora A condiccedilatildeo de contorno
utilizada eacute apresentada abaixo (HASSANI et al 1995)
zhxx JHH
~~~21 =minus (539)
xhzz JHH~~~
21 minus=minus (540)
A aplicaccedilatildeo das condiccedilotildees de contorno (539) e (540) pode ser escrita na forma
matricial gerando uma matriz que relaciona os campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
34
da fita e agraves densidades de corrente tangenciais Essa matriz eacute chamada de matriz
admitacircncia ou impedacircncia dependendo da forma como a equaccedilatildeo matricial eacute
representada A matriz admitacircncia e a matriz impedacircncia satildeo representadas abaixo
(ANGUERA et al 2003)
[ ] [ ] [ ]JEY~~
=sdot (541)
[ ] [ ] [ ]EJZ~~
=sdot (542)
onde [ ]Y eacute a matriz admitacircncia [ ]Z eacute a matriz impedacircncia [ ]J~ eacute o vetor da densidade
de corrente na fita condutora e [ ]E~ eacute o vetor campo eleacutetrico tangencial agrave interface da
fita
Sendo a matriz impedacircncia o inverso da admitacircncia e vice-versa ou seja [ ]Z =
[ ]Y -1 e a matriz impedacircncia uma matriz simeacutetrica a sua inversa [ ]Z tambeacutem eacute entatildeo
jiij YY = (ITOH et al 1990)
Entatildeo analisando as condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) conclui-
se que o sistema de equaccedilotildees obtido eacute o (541) desta forma para a obtenccedilatildeo do sistema
de equaccedilotildees (542) apropriado para a microfita eacute necessaacuteria a inversatildeo da matriz
admitacircncia ou seja deve-se utilizar a matriz impedacircncia
Substituindo as constantes dos campos em funccedilatildeo dos campos eleacutetricos
tangencias (535) - (538) nas condiccedilotildees de contorno magneacuteticas (539) e (540) e apoacutes
algumas manipulaccedilotildees algeacutebricas obteacutem-se a matriz admitacircncia como pode ser
observado em (543) e (544) (COLLIN 2001)
xhzhxzxhxx JEYEY~~~
=+ (543)
zhzhzzxhzx JEYEY~~~
=+ (544)
ou na forma matricial
35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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35
=
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
J
J
E
E
YY
YY~
~
~
~
(545)
os elementos desta matriz podem ser observados de (546) a (549)
2 2 2 22 22 1 0 1
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )xx xx n k
xx k
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ ε micro α β γγ β
γ γ ϖmicro β micro α micro minus
= + minus + (546)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k zz xx
xz
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro +
= + + (547)
22 1 0 1
12 21 2 0
cot ( )( )
( )n k xx zz
zx
k zz n xx
j gh h kY
α β γ γ ε micro γγ
γ γ ϖmicro β micro α micro minus +
= + + (548)
2 2 2 22 22 1 1 0
1 22 21 2 0
cot ( )( )( )
( )n k xx xx
zz n
k zz n xx
gh h kjY k
γ γ α γ β ε microγ α
γ γ ϖmicro β micro α micro minusminus
= + minus + (549)
Eacute importante ressaltar que a inversatildeo matricial soacute eacute possiacutevel se as matrizes
admitacircncia e impedacircncia forem simeacutetricas isto eacute sendo [ ]Y a inversa de [ ]Z entatildeo [ ]Z eacute a inversa de [ ]Y (550)
1minus
=
zzzx
xzxx
zzzx
xzxx
YY
YY
ZZ
ZZ (550)
Assim obtecircm-se a equaccedilatildeo matricial da impedacircncia [ ]Z em funccedilatildeo das densidades de corrente [ ]J~
=
sdot
zh
xh
zh
xh
zzzx
xzxx
E
E
J
J
ZZ
ZZ~
~
~
~
(551)
na qual os termos Zxx Zxz Zzx Zzz satildeo as componentes da funccedilatildeo diaacutedica de Green da estrutura em estudo
36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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36
54 Expansatildeo das Densidades de Corrente em Termos de Funccedilotildees de
Base
O meacutetodo de Galerkin eacute um caso particular do meacutetodo dos momentos onde as
funccedilotildees de peso satildeo consideradas iguais agraves funccedilotildees de expansatildeo ou funccedilotildees de base
(COLLIN 2001) Assim efetua-se o produto interno da equaccedilatildeo matricial da
impedacircncia pelos conjugados das funccedilotildees de base como seraacute abordado mais adiante
Esse meacutetodo eacute usado com eficiecircncia na anaacutelise de estruturas planares na faixa de
frequumlecircncias de microondas e ondas milimeacutetricas Para sua aplicaccedilatildeo agrave estrutura em
estudo satildeo definidas funccedilotildees de base que devem representar as caracteriacutesticas fiacutesicas
das distribuiccedilotildees de corrente na fita condutora A escolha dessas funccedilotildees eacute de
fundamental importacircncia para a expansatildeo dos campos eleacutetricos tangenciais agrave interface
da fita condutora ou para a expansatildeo das densidades de corrente que existem na
superfiacutecie da fita condutora Logo condicionam a estabilidade e convergecircncia do
meacutetodo dos momentos (BAHL 2001) satildeo responsaacuteveis pela aproximaccedilatildeo dos
resultados para os valores corretos A escolha das funccedilotildees de base deve ser tal que
obedeccedilam agraves condiccedilotildees de contorno da estrutura (BAHL 2001) No estudo de estruturas
de microfita tanto os campos eleacutetricos quanto as densidades de corrente podem ser
expandidos em funccedilotildees de base Como existe campo eleacutetrico apenas fora da fita
condutora seria necessaacuterio utilizar-se de mais funccedilotildees de base do que para o caso da
expansatildeo das densidades de corrente pois a aacuterea que conteacutem os campos (fora da fita
condutora) eacute muito maior do que a aacuterea que conteacutem as densidades de corrente
(superfiacutecie da fita) assim eacute preferiacutevel expandir as densidades de corrente (que estatildeo
presentes apenas na fita condutora) pois utilizam-se menos funccedilotildees de base
Ao se obter a equaccedilatildeo (551) aplicam-se as funccedilotildees de base adequadas para
aproximar os valores das densidades de corrente agrave forma da funccedilatildeo real conforme
apresentado por
( ) ( )1
M
xh xi xi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (552)
e
( ) ( )1
N
zh zi zi
i
J x z a f x z=
=sumɶ (553)
37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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37
onde M e N satildeo nuacutemeros inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um)
mantendo os resultados com uma oacutetima aproximaccedilatildeo dos resultados reais
Fazendo-se a aproximaccedilatildeo M = N = 1 e calculando a dupla transformada de
Fourier conforme definida em (BRACEWELL 1965) as equaccedilotildees (552) e (553)
tomam a seguinte forma
( )knxxknxh faJ βαβα ~
)(~
= (554)
( )knzzknzh faJ βαβα ~
)(~
= (555)
os termos xa e za satildeo constantes desconhecidas
Para este trabalho foram utilizadas duas funccedilotildees de bases nas direccedilotildees
cartesianas OX e OZ As suas escolhas basearam-se em trabalhos anteriores onde foram
comprovadas as suas funcionalidades (FERNANDES 1984) E satildeo definidas por
bull Para a direccedilatildeo OZ
( ) ( ) ( )zfxfzxf zzz sdot= (556) Com
( )( ) 2
2
2
1
xwxf z
minus= (557)
e
( )
=l
zzf z
πcos (558)
que no domiacutenio espectral satildeo Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral nα
( )
=2
~~0
wJf nnz απα (559)
38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
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38
Componente espectral da funccedilatildeo em Z variando com a variaacutevel espectral kβ
( )( )22
2cos2
~
l
ll
fk
k
kzβπ
βπ
βminus
= (560)
sendo as variaacuteveis espectrais nα e kβ dadas por
xn
n
b
πα = (561)
com
2
dBb = (562)
e
15dB w= (563)
zk
n
dL
πβ = (564)
Com
2
LdL = (565)
e L = 15l (566) A combinaccedilatildeo das duas componentes (559) e (560) resulta na transformada de Fourier de (656) como segue
( ) ( )( )
sdotminus
=2
~cos2
~022
2w
Jl
llf n
k
k
knz αβπ
βπβα (567)
onde 0J eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie e ordem zero
Por se tratar de uma estrutura simeacutetrica foi utilizada a mesma funccedilatildeo de base tanto para
a direccedilatildeo OX quanto OZ necessariamente fazendo as devidas adequaccedilotildees quanto agraves
variaacuteveis espectrais e as dimensotildees da estrutura Conforme o supracitado tem-se
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
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Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
39
bull Para a direccedilatildeo OX
( ) ( ) ( )x x xf x z f x f z= (568)
Onde
2 22
1( )
( )x
lf z
z=
minus (569)
e
( ) cosx
xf x
w
π =
(570)
que no domiacutenio espectral satildeo
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral kβ
0( )2x k k
lf Jβ π β =
(571)
componente espectral da funccedilatildeo em X variando com a variaacutevel espectral nα
22 2
2 cos( )( )
( )
nw
x n
n
fw
απα
π α=
minus (572)
a combinaccedilatildeo das duas componentes (571) e (572) resulta na transformada de Fourier
de (568) com abaixo
22
02 2
2 cos( )( )
( ) 2
nw
x n k k
n
w lf J
w
απα β β
π α = minus
(573)
onde J0 eacute a funccedilatildeo de Bessel de primeira espeacutecie de ordem zero
40
Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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2002
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Aplicando-se o produto interno do sistema de equaccedilotildees com uma funccedilatildeo teste
existente apenas na regiatildeo da fita de acordo com o meacutetodo de Galerkin que utiliza uma
funccedilatildeo teste igual agrave funccedilatildeo de base da densidade de corrente Como a funccedilatildeo teste existe
em uma regiatildeo complementar agrave funccedilatildeo de base do campo eleacutetrico este produto interno eacute
nulo fazendo com que o sistema de equaccedilotildees se torne homogecircneo
=
sdot
0
0
z
x
zzzx
xzxx
a
a
KK
KK (574)
onde cada elemento da matriz [K] eacute representado abaixo
( ) ( )zxfZzxfK xxxxxx ~
~ sum
infin
infinminus
= (575)
( ) ( )zxfZzxfK xxzzxz ~
~ sum
infin
infinminus
= (576)
( ) ( )zxfZzxfK zzxxzx ~
~ sum
infin
infinminus
= (577)
( ) ( )zxfZzxfK zzzzzz ~
~ sum
infin
infinminus
= (578)
onde o somatoacuterio surge da aplicaccedilatildeo da transformada de Fourier
O caacutelculo do determinante da equaccedilatildeo matricial [K] fornece a soluccedilatildeo da
equaccedilatildeo caracteriacutestica cuja raiz complexa eacute a constante de propagaccedilatildeo βαγ j+=
O Meacutetodo dos Momentos associado com o Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo
Transversa permite a obtenccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia da estrutura em estudo
55 Conclusotildees
O estudo apresentado neste capiacutetulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita
retrata uma anaacutelise dinacircmica da estrutura atraveacutes do meacutetodo LTT que a partir das
equaccedilotildees de Maxwell chega-se agraves equaccedilotildees gerais dos campos eletromagneacuteticos
permitindo o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia complexa
Para a obtenccedilatildeo efetiva dos resultados propostos foi escrito um programa
computacional na linguagem FORTRAN que atraveacutes do meacutetodo numeacuterico de
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
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Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
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56
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ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
41
NEWTON RAPHSON consegue chegar agrave raiz da equaccedilatildeo caracteriacutestica a partir de uma
aproximaccedilatildeo inicial
As principais vantagens e contribuiccedilotildees do presente trabalho satildeo a utilizaccedilatildeo de
um meacutetodo de onda completa para o caacutelculo da frequumlecircncia de ressonacircncia de uma
antena de patch retangular com substrato bianisotroacutepico jaacute que se trata de uma estrutura
nova ainda natildeo caracterizada na literatura Aleacutem de fornecer os campos
eletromagneacuteticos tangenciais agrave fita essencial ao caacutelculo dos campos distantes da antena
O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alto desempenho
e com largo grau de liberdade de projeto pois os paracircmetros micro e ε podem assumir
qualquer valor
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
AQUINO M B L Antenas de Microfita com Substrato Metamaterial Dissertaccedilatildeo de
Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2008
BAHL I J BHARTIA P Microstrip Antennas Dedham MA Artech House 2001 BALANIS C Antenna Theory Analysis and Design New Jersey USA John Wiley
Sons Inc 1997 BHARTIA P RAO K V S TOMAR R S Millimeter-wave microstrip and printed
circuit antennas Norwood USA Artech House Inc 1991 BRACEWELL R The Fourier Transform and its Applications Londres Mc Graw-Hill
Book Company 1965 BUELL K MOSALLAEI H SARABANDI K lsquoA substrate for Small Patch
Antennas providing Tunable Miniaturization Factorsrsquo IEEE Trans Microwave Theory Tech v 54(no 1)p 135-146 2006
CHARLES K ldquoIntroduction to solid State Phisicsrdquo John Wiley amp Sons Inc 1976 COLLIN R E ldquoFoundations for Microwave Engineeringrdquo New Jersey USA John
Wiley Sons 2001 DAMIANO J P BENNEGUEOUCHE J PAPIERNIK A ldquoStudy of Multilayer
Microstrip Antennas with Radiating Elements of Various Geometryrdquo IEE Proceedings vol 137 Pt H no 3 June 19907
FERNANDES H C C Estruturas Gerais em Guias de Onda Milimeacutetricas Linhas de
Lacircmina Tese de Doutorado) Universidade Estadual de Campinas Unicamp Campinas SP Brasil dez 1984
FERNANDES H C C Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa ndash LTT relatoacuterio
teacutecnico Outubro 1986 HASSANI H R MIRSHEKAR-SYAHKAL D ldquoStudy of Electromagnetically
Coupled Stacked Rectangular Patch Antennasrdquo IEE Proc Microw Propag vol 142 no 1 February 1995
55
ITOH T CALOZ C Electromagnetic metamaterials transmission line theory and microwave applications New Jersey USA John Wiley amp Sons Inc 2006
ITOH T Spectral Domain Immitance Approach for Dispersion Characteristics of
Generalized Printed Transmission Lines IEEE Trans On Microwave and Techniques vol Mttt-28 no 7 July 1990
JAMES J R HALL P S Handbook of microstrip antennas vol 1 London UK
Peter Peregrinus Ltd 1989 MOSALLAEI H SARABANDI K Design and Modeling of Patch Antenna printed
on Magneto-Dielectric Embedded-Circuits Metasubstrate IEEE Trans On Antennas and Propagation v 55(no1) p 45-52 2007
MOSALLAEI H SARABANDI K Magneto-Dielectrics in Electromagnetics
Concept and Applications Concept and Applications IEEE Trans On Antennas and Propagation v 52(no6) p 1558-1567 2004
PENDRY J B Negative refraction makes a perfect lens Physical Review Letters Vol
85 pp 3966-3969 2000 POZAR D M SCHAUBERT D H Microstrip antennas ndash The analysis and design of
microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
SCIENCE Berakthroughof the year The runners-up Science v 314 no 5807 pp
1850-1855 2006 SHELBY R A SMITH D R SCHULTZ S Experimental verification of negative
index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
42
Capiacutetulo 6
Resultados da Antena com Substrato
Metamaterial
61 Introduccedilatildeo
A partir da teoria desenvolvida no Capiacutetulo 5 obtiveram-se resultados para a
antena de microfita retangular com substrato metamaterial Resultados de frequumlecircncia de
ressonacircncia e perda de retorno satildeo apresentados
Na anaacutelise considera-se que os metamateriais usados como substratos no
projeto de antenas de microfita satildeo caracterizados pelos tensores permissividade
eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica dados respectivamente por (SOUSA NETO
2010)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
micromicro micro micro
micro
=
(61)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
xx
yy
zz
εε ε ε
ε
=
(62)
Inicialmente a investigaccedilatildeo numeacuterica leva-se em consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas
do metamaterial descrito em (BUELL et al 2006) onde os tensores permissividade e
permeabilidade satildeo definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 0
0 0 1effmicro micro micro
=
(63)
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
AQUINO M B L Antenas de Microfita com Substrato Metamaterial Dissertaccedilatildeo de
Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2008
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FERNANDES H C C Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa ndash LTT relatoacuterio
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microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
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SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
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2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
43
[ ]0 0
0 0
0 0
eff
diel
eff
εε ε
ε
=
(64)
Em seguida a investigaccedilatildeo numeacuterica eacute realizada de duas formas levando-se em
consideraccedilatildeo as caracteriacutesticas do metamaterial (VASCONCELOS 2010) No primeiro
caso (CASO 1) considera-se que os elementos do tensor permissividade assumam
valores εzz = εeff e εxx = εyy = 1 De maneira oposta microzz = 1 e microxx = microyy = microeff (SOUSA
NETO 2011) Portanto para o CASO 1 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser definidos respectivamente por
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
ε εε
=
(65)
[ ] 0
0 0
0 0
0 0 1
eff
eff
micromicro micro micro
=
(66)
No segundo caso (CASO 2) considera-se que εzz = εeff εxx = εyy = εr microzz = microeff e
microxx = microyy = 1 Portanto para o CASO 2 os tensores permissividade e permeabilidade
passam a ser representados por
[ ] 0
0 0
0 0
0 0
r
r
eff
εε ε ε
ε
=
(67)
[ ] 0
1 0 0
0 1 0
0 0 eff
micro micromicro
=
(68)
Para validaccedilatildeo da anaacutelise realizada no capiacutetulo 5 foram elaborados programas
computacionais na linguagem Fortran utilizando essas variaccedilotildees descritas acima como
dados de entrada assim como dados de entrada do Ansoft HFSSreg e as curvas foram
traccediladas com a utilizaccedilatildeo do software Matlabreg
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
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ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
44
62 Antena Retangular
A Fig 61 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
comprimento do patch com w = 93 cm e h = 2 cm para um substrato metametrial
descrito em (BUELL et al 2006) onde o meio perioacutedico eacute composto por um arranjo
perioacutedico de linhas de transmissatildeo compostas por indutores e capacitores O material eacute
caracterizado com os tensores dados pelas equaccedilotildees (63) e (64) com εr = 338 εeff =
98 e microeff = 31 para uma frequumlecircncia de ressonacircncia igual a 250 MHz Eacute possiacutevel
observar que a antena ressoa em aproximadamente 250 MHz para comprimento l = 930
cm e verifica-se na Fig 62 que para as mesmas dimensotildees os resultados medidos em
(BUELL et al 2006) ressoa em aproximadamente 251 MHz validando o meacutetodo LTT
utilizado na anaacutelise
Fig 61 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
AQUINO M B L Antenas de Microfita com Substrato Metamaterial Dissertaccedilatildeo de
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BAHL I J BHARTIA P Microstrip Antennas Dedham MA Artech House 2001 BALANIS C Antenna Theory Analysis and Design New Jersey USA John Wiley
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Book Company 1965 BUELL K MOSALLAEI H SARABANDI K lsquoA substrate for Small Patch
Antennas providing Tunable Miniaturization Factorsrsquo IEEE Trans Microwave Theory Tech v 54(no 1)p 135-146 2006
CHARLES K ldquoIntroduction to solid State Phisicsrdquo John Wiley amp Sons Inc 1976 COLLIN R E ldquoFoundations for Microwave Engineeringrdquo New Jersey USA John
Wiley Sons 2001 DAMIANO J P BENNEGUEOUCHE J PAPIERNIK A ldquoStudy of Multilayer
Microstrip Antennas with Radiating Elements of Various Geometryrdquo IEE Proceedings vol 137 Pt H no 3 June 19907
FERNANDES H C C Estruturas Gerais em Guias de Onda Milimeacutetricas Linhas de
Lacircmina Tese de Doutorado) Universidade Estadual de Campinas Unicamp Campinas SP Brasil dez 1984
FERNANDES H C C Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa ndash LTT relatoacuterio
teacutecnico Outubro 1986 HASSANI H R MIRSHEKAR-SYAHKAL D ldquoStudy of Electromagnetically
Coupled Stacked Rectangular Patch Antennasrdquo IEE Proc Microw Propag vol 142 no 1 February 1995
55
ITOH T CALOZ C Electromagnetic metamaterials transmission line theory and microwave applications New Jersey USA John Wiley amp Sons Inc 2006
ITOH T Spectral Domain Immitance Approach for Dispersion Characteristics of
Generalized Printed Transmission Lines IEEE Trans On Microwave and Techniques vol Mttt-28 no 7 July 1990
JAMES J R HALL P S Handbook of microstrip antennas vol 1 London UK
Peter Peregrinus Ltd 1989 MOSALLAEI H SARABANDI K Design and Modeling of Patch Antenna printed
on Magneto-Dielectric Embedded-Circuits Metasubstrate IEEE Trans On Antennas and Propagation v 55(no1) p 45-52 2007
MOSALLAEI H SARABANDI K Magneto-Dielectrics in Electromagnetics
Concept and Applications Concept and Applications IEEE Trans On Antennas and Propagation v 52(no6) p 1558-1567 2004
PENDRY J B Negative refraction makes a perfect lens Physical Review Letters Vol
85 pp 3966-3969 2000 POZAR D M SCHAUBERT D H Microstrip antennas ndash The analysis and design of
microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
SCIENCE Berakthroughof the year The runners-up Science v 314 no 5807 pp
1850-1855 2006 SHELBY R A SMITH D R SCHULTZ S Experimental verification of negative
index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
45
Fig 62 ndash Perda de Retorno para antena de microfita sobre substrato metamaterial Reproduzido de
(BUELL et al 2006)
621 CASO 1
Com os tensores dados por (65) e (66) valores efetivos para permissividade e
permeabilidade do metamaterial obtidos por (BUELL et al 2006) e valores obtidos por
(VASCONCELOS 2010) para materiais com bianisotropia unixial pode-se extrair os
primeiro resultados considerados para o CASO 1
Eacute importante ressaltar que o iacutendice de refraccedilatildeo do meio bianisotroacutepico apresenta
apenas valores efetivos caracteriacutestica essa tambeacutem inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al 2007)
A Fig 63 mostra o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do
raio externo do patch em anel para um substrato dieleacutetrico isotroacutepico e um substrato
metamaterial com w = 93 cm e h = 0127 cm Observa-se que agrave medida que aumenta a
dimensatildeo do comprimento do patch a frequumlecircncia de ressonacircncia diminui como
esperado Usando-se o Ansoft HFSSreg obteacutem-se a perda de retorno da estrutura com
substrato bianisotroacutepico (h = 0 127 cm) como mostra a Fig 64 Verifica-se que para o
patch quadrado com w = l = 93 cm a perda de retorno eacute de -22 dB
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
AQUINO M B L Antenas de Microfita com Substrato Metamaterial Dissertaccedilatildeo de
Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2008
BAHL I J BHARTIA P Microstrip Antennas Dedham MA Artech House 2001 BALANIS C Antenna Theory Analysis and Design New Jersey USA John Wiley
Sons Inc 1997 BHARTIA P RAO K V S TOMAR R S Millimeter-wave microstrip and printed
circuit antennas Norwood USA Artech House Inc 1991 BRACEWELL R The Fourier Transform and its Applications Londres Mc Graw-Hill
Book Company 1965 BUELL K MOSALLAEI H SARABANDI K lsquoA substrate for Small Patch
Antennas providing Tunable Miniaturization Factorsrsquo IEEE Trans Microwave Theory Tech v 54(no 1)p 135-146 2006
CHARLES K ldquoIntroduction to solid State Phisicsrdquo John Wiley amp Sons Inc 1976 COLLIN R E ldquoFoundations for Microwave Engineeringrdquo New Jersey USA John
Wiley Sons 2001 DAMIANO J P BENNEGUEOUCHE J PAPIERNIK A ldquoStudy of Multilayer
Microstrip Antennas with Radiating Elements of Various Geometryrdquo IEE Proceedings vol 137 Pt H no 3 June 19907
FERNANDES H C C Estruturas Gerais em Guias de Onda Milimeacutetricas Linhas de
Lacircmina Tese de Doutorado) Universidade Estadual de Campinas Unicamp Campinas SP Brasil dez 1984
FERNANDES H C C Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa ndash LTT relatoacuterio
teacutecnico Outubro 1986 HASSANI H R MIRSHEKAR-SYAHKAL D ldquoStudy of Electromagnetically
Coupled Stacked Rectangular Patch Antennasrdquo IEE Proc Microw Propag vol 142 no 1 February 1995
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ITOH T Spectral Domain Immitance Approach for Dispersion Characteristics of
Generalized Printed Transmission Lines IEEE Trans On Microwave and Techniques vol Mttt-28 no 7 July 1990
JAMES J R HALL P S Handbook of microstrip antennas vol 1 London UK
Peter Peregrinus Ltd 1989 MOSALLAEI H SARABANDI K Design and Modeling of Patch Antenna printed
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Concept and Applications Concept and Applications IEEE Trans On Antennas and Propagation v 52(no6) p 1558-1567 2004
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85 pp 3966-3969 2000 POZAR D M SCHAUBERT D H Microstrip antennas ndash The analysis and design of
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em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
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1850-1855 2006 SHELBY R A SMITH D R SCHULTZ S Experimental verification of negative
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S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
46
Fig 63 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch para εr = 98
Fig 64 ndash Perda de Retorno em funccedilatildeo da frequumlecircncia de ressonacircncia
Eacute possiacutevel tambeacutem realizar uma investigaccedilatildeo da variaccedilatildeo dos valores efetivos
das componentes do tensor (65) e (66) Assim eacute possiacutevel observar quais satildeo os
paracircmetros que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato
bianisotroacutepico (VASCONCELOS 2010) O comportamento da frequumlecircncia de
ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch eacute analisado considerando w = 93 cm
e altura do substrato h = 0127 cm A Fig 65 mostra o comportamento da antena em
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
AQUINO M B L Antenas de Microfita com Substrato Metamaterial Dissertaccedilatildeo de
Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2008
BAHL I J BHARTIA P Microstrip Antennas Dedham MA Artech House 2001 BALANIS C Antenna Theory Analysis and Design New Jersey USA John Wiley
Sons Inc 1997 BHARTIA P RAO K V S TOMAR R S Millimeter-wave microstrip and printed
circuit antennas Norwood USA Artech House Inc 1991 BRACEWELL R The Fourier Transform and its Applications Londres Mc Graw-Hill
Book Company 1965 BUELL K MOSALLAEI H SARABANDI K lsquoA substrate for Small Patch
Antennas providing Tunable Miniaturization Factorsrsquo IEEE Trans Microwave Theory Tech v 54(no 1)p 135-146 2006
CHARLES K ldquoIntroduction to solid State Phisicsrdquo John Wiley amp Sons Inc 1976 COLLIN R E ldquoFoundations for Microwave Engineeringrdquo New Jersey USA John
Wiley Sons 2001 DAMIANO J P BENNEGUEOUCHE J PAPIERNIK A ldquoStudy of Multilayer
Microstrip Antennas with Radiating Elements of Various Geometryrdquo IEE Proceedings vol 137 Pt H no 3 June 19907
FERNANDES H C C Estruturas Gerais em Guias de Onda Milimeacutetricas Linhas de
Lacircmina Tese de Doutorado) Universidade Estadual de Campinas Unicamp Campinas SP Brasil dez 1984
FERNANDES H C C Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa ndash LTT relatoacuterio
teacutecnico Outubro 1986 HASSANI H R MIRSHEKAR-SYAHKAL D ldquoStudy of Electromagnetically
Coupled Stacked Rectangular Patch Antennasrdquo IEE Proc Microw Propag vol 142 no 1 February 1995
55
ITOH T CALOZ C Electromagnetic metamaterials transmission line theory and microwave applications New Jersey USA John Wiley amp Sons Inc 2006
ITOH T Spectral Domain Immitance Approach for Dispersion Characteristics of
Generalized Printed Transmission Lines IEEE Trans On Microwave and Techniques vol Mttt-28 no 7 July 1990
JAMES J R HALL P S Handbook of microstrip antennas vol 1 London UK
Peter Peregrinus Ltd 1989 MOSALLAEI H SARABANDI K Design and Modeling of Patch Antenna printed
on Magneto-Dielectric Embedded-Circuits Metasubstrate IEEE Trans On Antennas and Propagation v 55(no1) p 45-52 2007
MOSALLAEI H SARABANDI K Magneto-Dielectrics in Electromagnetics
Concept and Applications Concept and Applications IEEE Trans On Antennas and Propagation v 52(no6) p 1558-1567 2004
PENDRY J B Negative refraction makes a perfect lens Physical Review Letters Vol
85 pp 3966-3969 2000 POZAR D M SCHAUBERT D H Microstrip antennas ndash The analysis and design of
microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
SCIENCE Berakthroughof the year The runners-up Science v 314 no 5807 pp
1850-1855 2006 SHELBY R A SMITH D R SCHULTZ S Experimental verification of negative
index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
47
funccedilatildeo da variaccedilatildeo da permissividade efetiva Verifica-se que a antena impressa em um
substrato com constante dieleacutetrica elevada apresenta uma frequumlecircncia de ressonacircncia
baixa o que contribui para a miniaturizaccedilatildeo do dispositivo O comportamento da
frequumlecircncia de ressonacircncia quando a variaccedilatildeo ocorre ao longo de microeff eacute anaacutelogo ao
observado na εeff como mostra a Fig 66
Fig 65 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
Fig 66 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
AQUINO M B L Antenas de Microfita com Substrato Metamaterial Dissertaccedilatildeo de
Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2008
BAHL I J BHARTIA P Microstrip Antennas Dedham MA Artech House 2001 BALANIS C Antenna Theory Analysis and Design New Jersey USA John Wiley
Sons Inc 1997 BHARTIA P RAO K V S TOMAR R S Millimeter-wave microstrip and printed
circuit antennas Norwood USA Artech House Inc 1991 BRACEWELL R The Fourier Transform and its Applications Londres Mc Graw-Hill
Book Company 1965 BUELL K MOSALLAEI H SARABANDI K lsquoA substrate for Small Patch
Antennas providing Tunable Miniaturization Factorsrsquo IEEE Trans Microwave Theory Tech v 54(no 1)p 135-146 2006
CHARLES K ldquoIntroduction to solid State Phisicsrdquo John Wiley amp Sons Inc 1976 COLLIN R E ldquoFoundations for Microwave Engineeringrdquo New Jersey USA John
Wiley Sons 2001 DAMIANO J P BENNEGUEOUCHE J PAPIERNIK A ldquoStudy of Multilayer
Microstrip Antennas with Radiating Elements of Various Geometryrdquo IEE Proceedings vol 137 Pt H no 3 June 19907
FERNANDES H C C Estruturas Gerais em Guias de Onda Milimeacutetricas Linhas de
Lacircmina Tese de Doutorado) Universidade Estadual de Campinas Unicamp Campinas SP Brasil dez 1984
FERNANDES H C C Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa ndash LTT relatoacuterio
teacutecnico Outubro 1986 HASSANI H R MIRSHEKAR-SYAHKAL D ldquoStudy of Electromagnetically
Coupled Stacked Rectangular Patch Antennasrdquo IEE Proc Microw Propag vol 142 no 1 February 1995
55
ITOH T CALOZ C Electromagnetic metamaterials transmission line theory and microwave applications New Jersey USA John Wiley amp Sons Inc 2006
ITOH T Spectral Domain Immitance Approach for Dispersion Characteristics of
Generalized Printed Transmission Lines IEEE Trans On Microwave and Techniques vol Mttt-28 no 7 July 1990
JAMES J R HALL P S Handbook of microstrip antennas vol 1 London UK
Peter Peregrinus Ltd 1989 MOSALLAEI H SARABANDI K Design and Modeling of Patch Antenna printed
on Magneto-Dielectric Embedded-Circuits Metasubstrate IEEE Trans On Antennas and Propagation v 55(no1) p 45-52 2007
MOSALLAEI H SARABANDI K Magneto-Dielectrics in Electromagnetics
Concept and Applications Concept and Applications IEEE Trans On Antennas and Propagation v 52(no6) p 1558-1567 2004
PENDRY J B Negative refraction makes a perfect lens Physical Review Letters Vol
85 pp 3966-3969 2000 POZAR D M SCHAUBERT D H Microstrip antennas ndash The analysis and design of
microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
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index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
48
622 CASO 2
Para o CASO 2 a anaacutelise considera o valor da permissividade eleacutetrica relativa
εr do material dieleacutetrico no qual o arranjo perioacutedico de elementos metaacutelicos eacute embutido
Logo o tensor passa a ser caracterizado por (67) e (68)
A antena de microfita com patch quadrado estaacute impressa sobre uma camada de
substrato bianisotroacutepico co os seguintes valores εr = 338 εeff = 98 micror = 1 e microeff = 31
Observa-se que ao contraacuterio do anterior CASO 1 os valores efetivos estatildeo no mesmo
eixo oacuteptico neste caso ao longo do eixo z (VASCONCELOS 2010) Esse tipo de
caracterizaccedilatildeo eacute bastante utilizado (ITOH et al 2006 MOSALLAEI et al 2004)
A Fig 67 apresenta o comportamento da frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo
da variaccedilatildeo nas dimensotildees do comprimento do patch com w = 93 cm e l variando de
90 a 115 cm Eacute possiacutevel observar que a antena com substrato isotroacutepico apresenta
maior frequumlecircncia de ressonacircncia quando comparada agrave antena com material
bianisotroacutepico uniaxial para uma determinada dimensatildeo de patch e altura de substrato
O mesmo comportamento pode ser observado na Fig 68 para w = 45 cm e l variando
de 45 agrave 70 cm
Fig 67 ndash Frequumlecircncia de Ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
AQUINO M B L Antenas de Microfita com Substrato Metamaterial Dissertaccedilatildeo de
Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2008
BAHL I J BHARTIA P Microstrip Antennas Dedham MA Artech House 2001 BALANIS C Antenna Theory Analysis and Design New Jersey USA John Wiley
Sons Inc 1997 BHARTIA P RAO K V S TOMAR R S Millimeter-wave microstrip and printed
circuit antennas Norwood USA Artech House Inc 1991 BRACEWELL R The Fourier Transform and its Applications Londres Mc Graw-Hill
Book Company 1965 BUELL K MOSALLAEI H SARABANDI K lsquoA substrate for Small Patch
Antennas providing Tunable Miniaturization Factorsrsquo IEEE Trans Microwave Theory Tech v 54(no 1)p 135-146 2006
CHARLES K ldquoIntroduction to solid State Phisicsrdquo John Wiley amp Sons Inc 1976 COLLIN R E ldquoFoundations for Microwave Engineeringrdquo New Jersey USA John
Wiley Sons 2001 DAMIANO J P BENNEGUEOUCHE J PAPIERNIK A ldquoStudy of Multilayer
Microstrip Antennas with Radiating Elements of Various Geometryrdquo IEE Proceedings vol 137 Pt H no 3 June 19907
FERNANDES H C C Estruturas Gerais em Guias de Onda Milimeacutetricas Linhas de
Lacircmina Tese de Doutorado) Universidade Estadual de Campinas Unicamp Campinas SP Brasil dez 1984
FERNANDES H C C Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa ndash LTT relatoacuterio
teacutecnico Outubro 1986 HASSANI H R MIRSHEKAR-SYAHKAL D ldquoStudy of Electromagnetically
Coupled Stacked Rectangular Patch Antennasrdquo IEE Proc Microw Propag vol 142 no 1 February 1995
55
ITOH T CALOZ C Electromagnetic metamaterials transmission line theory and microwave applications New Jersey USA John Wiley amp Sons Inc 2006
ITOH T Spectral Domain Immitance Approach for Dispersion Characteristics of
Generalized Printed Transmission Lines IEEE Trans On Microwave and Techniques vol Mttt-28 no 7 July 1990
JAMES J R HALL P S Handbook of microstrip antennas vol 1 London UK
Peter Peregrinus Ltd 1989 MOSALLAEI H SARABANDI K Design and Modeling of Patch Antenna printed
on Magneto-Dielectric Embedded-Circuits Metasubstrate IEEE Trans On Antennas and Propagation v 55(no1) p 45-52 2007
MOSALLAEI H SARABANDI K Magneto-Dielectrics in Electromagnetics
Concept and Applications Concept and Applications IEEE Trans On Antennas and Propagation v 52(no6) p 1558-1567 2004
PENDRY J B Negative refraction makes a perfect lens Physical Review Letters Vol
85 pp 3966-3969 2000 POZAR D M SCHAUBERT D H Microstrip antennas ndash The analysis and design of
microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
SCIENCE Berakthroughof the year The runners-up Science v 314 no 5807 pp
1850-1855 2006 SHELBY R A SMITH D R SCHULTZ S Experimental verification of negative
index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
49
Fig 68ndash Frequumlecircncia de ressonacircncia em funccedilatildeo do comprimento do patch
63 Resultados do Comportamento das Funccedilotildees de Base
As funccedilotildees de base que representam as caracteriacutesticas fiacutesicas da antena
retangular satildeo usadas apenas na direccedilatildeo z tendo partes em x e z por ser esta a direccedilatildeo
de propagaccedilatildeo dos campos tendo seu produto representado pela equaccedilatildeo (73) e a sua
curva esboccedilada na Fig 69
( )( ) 2
2
2
1
x
xf zminus
=ω
(71)
( )
=l
zzf z
πcos (72)
( )( )
sdotminus
=l
z
x
zxf zπ
ωcos
2
1
22
(73)
Tendo como limites 22 wxw leleminus ou seja sobre a superfiacutecie do patch
metaacutelico
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
AQUINO M B L Antenas de Microfita com Substrato Metamaterial Dissertaccedilatildeo de
Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2008
BAHL I J BHARTIA P Microstrip Antennas Dedham MA Artech House 2001 BALANIS C Antenna Theory Analysis and Design New Jersey USA John Wiley
Sons Inc 1997 BHARTIA P RAO K V S TOMAR R S Millimeter-wave microstrip and printed
circuit antennas Norwood USA Artech House Inc 1991 BRACEWELL R The Fourier Transform and its Applications Londres Mc Graw-Hill
Book Company 1965 BUELL K MOSALLAEI H SARABANDI K lsquoA substrate for Small Patch
Antennas providing Tunable Miniaturization Factorsrsquo IEEE Trans Microwave Theory Tech v 54(no 1)p 135-146 2006
CHARLES K ldquoIntroduction to solid State Phisicsrdquo John Wiley amp Sons Inc 1976 COLLIN R E ldquoFoundations for Microwave Engineeringrdquo New Jersey USA John
Wiley Sons 2001 DAMIANO J P BENNEGUEOUCHE J PAPIERNIK A ldquoStudy of Multilayer
Microstrip Antennas with Radiating Elements of Various Geometryrdquo IEE Proceedings vol 137 Pt H no 3 June 19907
FERNANDES H C C Estruturas Gerais em Guias de Onda Milimeacutetricas Linhas de
Lacircmina Tese de Doutorado) Universidade Estadual de Campinas Unicamp Campinas SP Brasil dez 1984
FERNANDES H C C Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa ndash LTT relatoacuterio
teacutecnico Outubro 1986 HASSANI H R MIRSHEKAR-SYAHKAL D ldquoStudy of Electromagnetically
Coupled Stacked Rectangular Patch Antennasrdquo IEE Proc Microw Propag vol 142 no 1 February 1995
55
ITOH T CALOZ C Electromagnetic metamaterials transmission line theory and microwave applications New Jersey USA John Wiley amp Sons Inc 2006
ITOH T Spectral Domain Immitance Approach for Dispersion Characteristics of
Generalized Printed Transmission Lines IEEE Trans On Microwave and Techniques vol Mttt-28 no 7 July 1990
JAMES J R HALL P S Handbook of microstrip antennas vol 1 London UK
Peter Peregrinus Ltd 1989 MOSALLAEI H SARABANDI K Design and Modeling of Patch Antenna printed
on Magneto-Dielectric Embedded-Circuits Metasubstrate IEEE Trans On Antennas and Propagation v 55(no1) p 45-52 2007
MOSALLAEI H SARABANDI K Magneto-Dielectrics in Electromagnetics
Concept and Applications Concept and Applications IEEE Trans On Antennas and Propagation v 52(no6) p 1558-1567 2004
PENDRY J B Negative refraction makes a perfect lens Physical Review Letters Vol
85 pp 3966-3969 2000 POZAR D M SCHAUBERT D H Microstrip antennas ndash The analysis and design of
microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
SCIENCE Berakthroughof the year The runners-up Science v 314 no 5807 pp
1850-1855 2006 SHELBY R A SMITH D R SCHULTZ S Experimental verification of negative
index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
50
A largura w da microfita utilizada para a obtenccedilatildeo do comportamento da funccedilatildeo
de base foi de 15 mm e o comprimento L de 16 mm
Observando a figura 77 pode-se perceber que a funccedilatildeo de base se divide em
duas componentes uma fz(x) e outra fz(z) sendo a multiplicaccedilatildeo das duas componentes
fz(xz)
Fig 69 ndash Comportamento da funccedilatildeo de base na direccedilatildeo de propagaccedilatildeo
As funccedilotildees de base se comportam de tal maneira que em cima do patch
metaacutelico elas obtecircm seu valor maacuteximo Nas bordas apresentam uma singularidade (uma
queda brusca para o valor zero) ou seja a concentraccedilatildeo de cargas eacute maior nas bordas
que no centro do elemento irradiador pois fora do patch ela deve ser nula conforme
pode ser observado agrave Figura 69
64 Conclusotildees
Utilizando a anaacutelise teoacuterica realizada no Capiacutetulo 5 foram obtidos os resultados
para antenas de microfita com patch retangular sobre substrato metamaterial tendo sido
realizado um estudo de caso para as duas diferentes configuraccedilotildees de tensores ε e micro
bem como a configuraccedilatildeo utilizada por (BUELL et al 2006) para validaccedilatildeo deste
trabalho Observou-se que a definiccedilatildeo adequada da bianisotropia do metamaterial
possibilita uma reduccedilatildeo significativa na faixa de operaccedilatildeo da antena o que acarreta uma
miniaturizaccedilatildeo da estrutura
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
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Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2008
BAHL I J BHARTIA P Microstrip Antennas Dedham MA Artech House 2001 BALANIS C Antenna Theory Analysis and Design New Jersey USA John Wiley
Sons Inc 1997 BHARTIA P RAO K V S TOMAR R S Millimeter-wave microstrip and printed
circuit antennas Norwood USA Artech House Inc 1991 BRACEWELL R The Fourier Transform and its Applications Londres Mc Graw-Hill
Book Company 1965 BUELL K MOSALLAEI H SARABANDI K lsquoA substrate for Small Patch
Antennas providing Tunable Miniaturization Factorsrsquo IEEE Trans Microwave Theory Tech v 54(no 1)p 135-146 2006
CHARLES K ldquoIntroduction to solid State Phisicsrdquo John Wiley amp Sons Inc 1976 COLLIN R E ldquoFoundations for Microwave Engineeringrdquo New Jersey USA John
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55
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85 pp 3966-3969 2000 POZAR D M SCHAUBERT D H Microstrip antennas ndash The analysis and design of
microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
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1850-1855 2006 SHELBY R A SMITH D R SCHULTZ S Experimental verification of negative
index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
51
As simulaccedilotildees foram obtidas com a utilizaccedilatildeo de programas computacionais
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg assim como a utilizaccedilatildeo do software comercial
Ansoft HFSSreg para efeito de comparaccedilotildees
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
54
Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
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Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2008
BAHL I J BHARTIA P Microstrip Antennas Dedham MA Artech House 2001 BALANIS C Antenna Theory Analysis and Design New Jersey USA John Wiley
Sons Inc 1997 BHARTIA P RAO K V S TOMAR R S Millimeter-wave microstrip and printed
circuit antennas Norwood USA Artech House Inc 1991 BRACEWELL R The Fourier Transform and its Applications Londres Mc Graw-Hill
Book Company 1965 BUELL K MOSALLAEI H SARABANDI K lsquoA substrate for Small Patch
Antennas providing Tunable Miniaturization Factorsrsquo IEEE Trans Microwave Theory Tech v 54(no 1)p 135-146 2006
CHARLES K ldquoIntroduction to solid State Phisicsrdquo John Wiley amp Sons Inc 1976 COLLIN R E ldquoFoundations for Microwave Engineeringrdquo New Jersey USA John
Wiley Sons 2001 DAMIANO J P BENNEGUEOUCHE J PAPIERNIK A ldquoStudy of Multilayer
Microstrip Antennas with Radiating Elements of Various Geometryrdquo IEE Proceedings vol 137 Pt H no 3 June 19907
FERNANDES H C C Estruturas Gerais em Guias de Onda Milimeacutetricas Linhas de
Lacircmina Tese de Doutorado) Universidade Estadual de Campinas Unicamp Campinas SP Brasil dez 1984
FERNANDES H C C Meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa ndash LTT relatoacuterio
teacutecnico Outubro 1986 HASSANI H R MIRSHEKAR-SYAHKAL D ldquoStudy of Electromagnetically
Coupled Stacked Rectangular Patch Antennasrdquo IEE Proc Microw Propag vol 142 no 1 February 1995
55
ITOH T CALOZ C Electromagnetic metamaterials transmission line theory and microwave applications New Jersey USA John Wiley amp Sons Inc 2006
ITOH T Spectral Domain Immitance Approach for Dispersion Characteristics of
Generalized Printed Transmission Lines IEEE Trans On Microwave and Techniques vol Mttt-28 no 7 July 1990
JAMES J R HALL P S Handbook of microstrip antennas vol 1 London UK
Peter Peregrinus Ltd 1989 MOSALLAEI H SARABANDI K Design and Modeling of Patch Antenna printed
on Magneto-Dielectric Embedded-Circuits Metasubstrate IEEE Trans On Antennas and Propagation v 55(no1) p 45-52 2007
MOSALLAEI H SARABANDI K Magneto-Dielectrics in Electromagnetics
Concept and Applications Concept and Applications IEEE Trans On Antennas and Propagation v 52(no6) p 1558-1567 2004
PENDRY J B Negative refraction makes a perfect lens Physical Review Letters Vol
85 pp 3966-3969 2000 POZAR D M SCHAUBERT D H Microstrip antennas ndash The analysis and design of
microstrip antennas and arrays New York USA The IEEE Inc 1995 SANTOS K C Aplicaccedilatildeo do Meacutetodo LTT agrave Estruturas Retangulares e Triangulares
em Multicamadas e Empilhadas em Substratos PBG para comunicaccedilotildees Moacuteveis Dissertaccedilatildeo de Mestrado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Nov 2005
SCIENCE Berakthroughof the year The runners-up Science v 314 no 5807 pp
1850-1855 2006 SHELBY R A SMITH D R SCHULTZ S Experimental verification of negative
index of refraction Sience Magazine v 292(no5514) p 77-79 2001 SMITH D R PADILLA W J VIER D C NEMAT-NASSER S C SCHULTZ
S Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity Physical Review Letters v 84(no18) p 4184-4187 2000
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Full-Wave Analysis of Rectangular
Microstrip Antenna on Metamaterial In INTERNATIONAL MICROWAVE AND OPTOELECTRONICS CONFERENCE Proccedings IMOC 2011 Natal Rio Grande do Norte Brasil 2011
SOUSA NETO M P FERNANDES H C C Metamterials Applied to Microstrip
Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
VESELAGO V G The eletrodynamics of substances with simultaneosly negative
values of ldquoεrdquo and ldquomicrordquo Soviet Physucs Uspekhi v 10(no 4) p 509-514 1968 WILTSHIRE M C K Bending of light in the wrong way Science 292 pp 60-61
2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
52
Capiacutetulo 7
Conclusotildees
Este trabalho apresentou uma anaacutelise teoacuterica e numeacuterica das caracteriacutesticas
ressonantes da antena de microfita com patch retangular (quadrado) atraveacutes de um
formalismo rigoroso de onda completa utilizando metamateriais como substratos com
sua respectiva bianisotropia magneacutetico-dieleacutetrica
A antena foi modelada atraveacutes do meacutetodo da Linha de Transmissatildeo Transversa
ndash LTT no domiacutenio da transformada de Fourier em combinaccedilatildeo com o meacutetodo de
Galerkin Assim foi necessaacuterio desenvolver uma teoria aplicada ao caso do
metamaterial com o objetivo de obter-se as equaccedilotildees gerais de campos eletromagneacuteticos
no domiacutenio espectral Em seguida as equaccedilotildees gerais de campos foram aplicadas agrave
estrutura em estudo juntamente com condiccedilotildees de contorno adequadas para obtenccedilatildeo
das soluccedilotildees eletromagneacuteticas Funccedilotildees de base adequadas agrave estrutura foram aplicadas
juntamente com o meacutetodo dos momentos para obter-se os campos tangenciais agrave fita e a
frequumlecircncia de ressonacircncia complexa da antena
Obtivemos resultados numeacuterico-computacionais usando programas
desenvolvidos em Fortran e Matlabreg e com o auxiacutelio do software comercial Ansoft
HFSSreg Usamos sub-rotinas para a inversatildeo matricial complexa (invertendo a matriz de
admitacircncia complexa [ ]Y obtendo assim a matriz de impedacircncia complexa [ ]Z da
estrutura a qual eacute adequada para o estudo de microfita) Para a extraccedilatildeo das raiacutezes
complexas da equaccedilatildeo caracteriacutestica da estrutura usamos o meacutetodo iterativo de Newton
Raphson que atraveacutes de aproximaccedilotildees iniciais sofre um processo de convergecircncia para
os zeros da equaccedilatildeo assim como sub-rotinas internas do Fortran
Os resultados apresentados mostraram a interferecircncia direta da permissividade e
permeabilidade efetiva do meio metamaterial na frequumlecircncia de ressonacircncia bem como a
influencia de cada um dos dois diretamente nos resultados Os resultados deste trabalho
tambeacutem evidenciam que o meacutetodo desenvolvido apresenta precisatildeo e eficiecircncia quando
comparado com os resultados medidos e comparado com a utilizaccedilatildeo do software
comercial Ansoft HFSSreg
53
Entretanto a principal contribuiccedilatildeo deste trabalho foi desenvolver uma anaacutelise
rigorosa a partir do meacutetodo LTT para antenas de microfita com patch retangular sobre
substrato metamaterial atraveacutes do estudo de seus paracircmetros constitutivos
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial
Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
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Referecircncias Bibliograacuteficas ANGUERA J PUENTEC BORJA C DELBENE N and SOLER J ldquoDual-
Frequency Broad-Band Stacked Microstrip Patch Antennardquo IEEE Antennas and Propagation Lett vol 2 2003
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Coupled Stacked Rectangular Patch Antennasrdquo IEE Proc Microw Propag vol 142 no 1 February 1995
55
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Antennas In SIMPOacuteSIO BRASILEIRO DE MICROONDAS E OPTOELETROcircNICA Proccedings MOMAG 2010 Vila Velha Espiacuterito Santo Brasil 2010
56
VASCONCELOS C F L Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel utilizando Materiais Ferrimagneacuteticos e Metamateriais Tese de Dotourado Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Natal RN Brasil Abr 2010
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2001
ZIOLKOWSKI R W Doubler negative metamaterial design experiments and
applications In IEEE AP-S INT SYMP Proceedingshellip vol 2 pp 396-399
2002
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Como continuidade deste trabalho sugere-se
bull Determinaccedilatildeo de outras caracteriacutesticas ressonantes da antena como
diagrama de radiaccedilatildeo impedacircncia de entrada ganho e diretividade
bull Anaacutelise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre
substrato metamaterial
bull Investigaccedilatildeo da adaptaccedilatildeo do meacutetodo teoacuterico desenvolvido para anaacutelise
de antena com substratos metamateriais que utilizam valores negativos
para a permissividade eleacutetrica e permeabilidade magneacutetica
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