COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.1. DEFINIÇÕES Circunferência: Considerando-se um ponto C qualquer de um plano, e

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

7.1. DEFINIÇÕES

Circunferência: Considerando-se um ponto C qualquer de um plano , e uma medida positiva qualquer r, chama-se circunferência de centro C e raio r o conjunto de pontos do plano que distam de C a medida r.


7.1. DEFINIÇÕES

Círculo: É a união de uma circunferência com os seus pontos interiores.


7.2. ELEMENTOS

Arco: é qualquer uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois pontos A e B.

Corda: é um segmento de reta determinado por dois pontos da circunferência. A corda que passa pelo centro da circunferência se chama diâmetro.


7.2. ELEMENTOS

Flecha: o menor dos dois segmentos em que fica dividido o diâmetro de uma circunferência, por uma corda perpendicular a ele.

.A BM

P

C

AB: Corda

MP: Flecha

PP’: DiâmetroP’


7.3. REGIÕES DA CIRCUNFERÊNCIA E SUAS ÁREAS

a) Círculo

A = .r2

b) Coroa Circular

A = .R2 - .r2

c) Setor Circular

360o ------- .r2

o ------- A

2..r ------- .r2

C ------- A

Em função do ângulo : Em função do comprimento C:

2

.CrA2

or..

360A


7.3. REGIÕES DA CIRCUNFERÊNCIA E SUAS ÁREAS

d) Segmento Circular

A = Asetor – Atriângulo

2. ---- .r2

--- Asetor

2

. 2rAsetor

h

senrhr

hsen

r

hsen o

.

)180(

2

.

2

..2

.

2

.

.

.

senrA

senrrA

hbA

tri

tri

tri

180 -

).(2

2

.

2

.

2

22

senr

A

senrrA


7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

Tangente: um único ponto comum d = r

Secante: dois pontos distintos em comum

Exterior: não há ponto comum.d > r

d < r



OBSERVAÇÃO: PROPRIEDADES

a) Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

r

T

C.




b) Considere P um ponto exterior a uma circunferência e os pontos A e B pertencentes a ela, de modo que os segmentos PA e PB sejam tangentes à circunferência. Dessa forma, as medidas desses segmentos são iguais.

PA

B

.PA = PB




c) Uma conseqüência da observação anterior: as somas dos lados opostos de um quadrilátero circunscrito são iguais.




d) Arcos e cordas compreendidos entre cordas paralelas são geometricamente iguais.


7.5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS

Externas Uma interna à outra



Secantes Tangentes exteriormente



Tangentes interiormente Coincidentes

)(ABmed


7.6. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

Ângulo Central: o ângulo que tem como vértice o centro de uma circunferência é chamado ângulo central dessa circunferência. Ângulo Inscrito: é o ângulo cujo vértice pertence à circunferência e seus lados são secantes a ela.

2



Ângulo de segmento: é o ângulo cujo vértice pertence à circunferência, um lado é tangente e o outro é secante

2



Ângulo Excêntrico Interno: é o ângulo cujo vértice é um ponto qualquer interior à circunferência.

2

)CD(med)AB(med

2

)CD(med)AB(med



Ângulo Excêntrico Externo: é o ângulo cujo vértice é um ponto qualquer exterior à circunferência, e seus lados são secantes, ou tangentes, ou ainda um secante e um tangente à circunferência.


7.7. POTÊNCIA DE UM PONTO

Ponto interior: Considere uma circunferência com duas cordas AB e CD concorrentes no ponto P, conforme a figura abaixo.

Chama-se Potência do ponto P a cada um dos produtos PA.PB ou PC.PD.



Ponto exterior: Considere duas retas secantes a uma circunferência, e que se interceptam num ponto P exterior à circunferência, conforme a figura abaixo:

Chama-se Potência do ponto P a cada um dos produtos PA.PB ou PC.PD.



OBSERVAÇÕES:

a) A potência de um ponto P exterior à circunferência também pode ser calculado em relação a um segmento PT, tangente à circunferência em T. Observe na figura a seguir:

PA.PB = PT2



OBSERVAÇÕES:

b) Pontos que pertencem à circunferência têm potência zero.


Questão 4

Calcule a área da coroa circular limitada pelas circunferências inscritas e circunscritas a um triângulo eqüilátero de lado 4dm.

a) dm2

b) 2dm2

c) 3dm2

d) 4dm2

e) 5dm2


Solução:

r

2

R

).(

..22

22

rRA

rRA

4

222

222

rR

rR

2.4 dmA


Questão 6

Uma placa retangular de aço tem 60cm de comprimento por 30cm de largura. Dessa placa será retirado o maior número possível de arruelas com 1,5cm de raio externo e 0,5 cm de raio interno. O aço que sobrar será fundido e transformado em uma placa circular, com a mesma espessura da placa original. A medida do raio dessa nova placa, em cm, será:

7

61800)e

)d

6)c

41800)b

4001800)a


Solução:

2

22

22

.2

.25,0.25,2

5,0.5,1.

..

cmA

A

A

rRA

coroa

coroa

coroa

coroa

60 cm

30 cm 200 arruelas2

2

.4002200

800.13060

cmxA

cmxA

arruelas

placa

2).400800.1( cmAsobra

2

2

.400800.1

.400800.1.

cmr

rA placanova


Questão 8

Sendo 18 cm2 a área da coroa circular, e AB, uma corda da circunferência externa, tangente à circunferência interna, calcule a área do quadrado ABCD.a) 68b) 70c) 72d) 74e) 76


Solução:

R

r

x222

222

xrR

xrR

).(

..22

22

rRA

rRA

coroa

coroa

18)(

.18).(22

22

rR

rR

2

2

72

18

cmA

x

quadrado


Questão 9

Com centro no ponto médio de cada lado e com raio igual à metade de cada um, descrevem-se quatro semicírculos que passam pelo centro do quadrado, conforme a figura abaixo. A área da rosácea de quatro folhas assim formada, em m2, é igual a:

2

1)e

3

2)d

2

2)c

4)b

2)a


Solução:

quadradocírculosemirosácea AAA .4

2

2

2

.8

1

)2

1.(.

2

1

..2

1

mA

A

rA

círculosemi

círculosemi

círculosemi

2

2

2

1

1

mA

A

lA

quadrado

quadrado

quadrado

2

2

2

1.2

1

1.8

1.4

:

mA

A

A

Então

rosácea

rosácea

rosácea


Questão 10

Na figura a seguir, as quatro circunferências têm o mesmo centro, e seus raios são 2, 3, 4 e 5. A área do maior anel sombreado é p% maior do que a área do menor anel sombreado. Indique p.a) 40b) 50c) 60d) 70e) 80


Solução:

.9

4.5. 22

COROA

COROA

A

A

.5

2.3. 22

coroa

coroa

A

A

8,1.5

.9

coroa

COROA

A

A


Questão 11

Na figura, calcule a medida em graus do ângulo x.

a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30


Solução:

25o

x = 25º


Questão 14

(UFPR-adaptada) Uma circunferência de raio 5cm tangencia um lado de uma quadrado e passa pelos vértices que não pertencem a esse lado, conforme a figura. Calcule a área desse quadrado.a) 25 cm2

b) 40cm2

c) 50cm2

d) 64cm2

e) 36cm2


Solução:

x

10 – x

(10 – x)/2 (10 – x)/2

)(10''2'

020.12

)5(0100.60.5

.4.40.20100

4

.20100.10

)2

10().10(

2

2

22

22

2

nãoconvémxex

xx

xx

xxxx

xxxx

xxx

264

8

:

cmA

cmlado

Então


Questão 17

(Fuvest) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. A medida de é:

a) /3b) 2c) 1d) 2/3e) /2


Solução:

RRP

RC

setor .2.

.

RPquadrado .4

2

.2.

.4.2.

RR

RRR


Questão 19Traçam-se retas tangentes exteriores comuns a duas circunferências de raios 2cm e 4cm. Sabendo-se que as circunferências são tangentes exteriormente, calcule o perímetro do quadrilátero cujos vértices são o ponto de interseção das tangentes, o centro da circunferência maior e os pontos de contato das tangentes com a circunferência maior.

cm)228()e

cm)221.(8)d

cm)328()c

cm)32.(2)b

cm)221()a


Solução:

4 cm2 cm

12 cm

x

cmx

x

x

x

2.8

128

16144

124

2

2

222

cmP

P

P

)2.21.(8

2.168

2.82.844


Questão 20

(Mackenzie) Na figura, a medida de MN, tangente ao círculo, é variável. O perímetro do triângulo AMN é:a) 15b) 16c) 17d) 18e) 19


Solução:

a b

c

15

71012

10127

cba

cba

bac

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