COMPLEMENTAÇÃO – Matemática e Raciocínio Lógico.pdf

Tcnico Bancrio CEF 1

SUMRIO

MATEMTICA..................................................................................................................................................... 03 RAZO E PROPORO..................................................................................................................................... 05 REGRA DE TRS COMPOSTA.......................................................................................................................... 07 DIVISO PROPORCIONAL................................................................................................................................. 08 PROBABILIDADES.............................................................................................................................................. 11

RACIOCNIO LGICO........................................................................................................................................ 13 PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM................................................................................................... 15 PROPOSIES................................................................................................................................................... 16 SENTENAS ABERTAS..................................................................................................................................... 21 PROPOSIO E SENTENA ABERTA NO CONTEXTO DOS CONCURSOS PBLICOS.............................. 24 TABELAS VERDADE........................................................................................................................................ 26

CONECTIVOS..................................................................................................................................................... 32

AFIRMAES FALSAS....................................................................................................................................... 45 IMPLICAO LGICA........................................................................................................................................ 47 CONDICIONAL. 48

BICONDICIONAL ................................................................................................................................................ 65

TAUTOLOGIA, CONTRADIO E CONTINGNCIA......................................................................................... 85 TCNICAS DA CONTRADIO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VERDADES, MENTIRAS E CULPADOS.........................................................................................................................................................

98

DIAGRAMAS: TODO, ALGUM E NENHUM........................................................................................................ 102

ARGUMENTOS................................................................................................................................................... 104

2 Tcnico Bancrio - CEF

MatemticaMatemtica

5Tcnico Bancrio - CEF

RAZO E PROPOROProporo a igualdade entre 2 razes

ou A : B :: C : D

Lemos A est para B assim como C est para D.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DASPROPORES

O PRODUTO DOS EXTREMOS IGUALAO PRODUTO DOS MEIOS

(EXTREMOS) A . D = B . C (MEIOS)

PROPORO DIRETAGRANDEZAS

DIRETAMENTEPROPORCIONAIS

5 Laranjas custam R$ 359 laranjas custaro X

DICA: A regra de trs DIretaMultiplica em DIagonal

GRAFICAMENTE

GRANDEZAS DIRETAMENTEPROPORCIONAIS TMRAZO CONSTANTE

.... k

EXEMPLO: As grandezas X e Y so diretamente proporci-

onais.

Calcule P, Q e RGrandezas x 240 P 25 R

y 48 16 Q 2

PROBLEMA PROPOSTO:

Uma engrenagem da 950 voltas em 15 minutos.Quantas voltas dar em 1h e 24 min?

DICA:

COMPLETE:N de operrios N semanas Produto

2 36 72 18

68

672

PROPORO INVERSAGRANDEZAS

INVERSAMENTEPROPORCIONAIS

12 operrios constroem uma casa em 6 semanas.8 operrios, nas mesmas condies, fariam amesma casa em:


GRANZEZAS INVERSAMENTEPROPORCIONAIS TM O SEUPRODUTO CONSTANTE

x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ... ... ... xn yn = k

EXEMPLO:As grandezas X e Y so INVERSAMENTE proporcionais. Calcule A e B:

GRANDEZA x 24 15 BGRANDEZA y 5 A 60

PROBLEMAS PROPOSTOS:

1. Um grupo de operrios faz uma obra em 9 dias, trabalhando 4 horas dia. Em quanto tempo, o mesmogrupo faria a mesma obra, trabalhando5h/dia?

A) 7 dias e meioB) 7 dias e 2hC) 7 dias 4h e 48minD) 7 dias e 1hE) 7 dias e 12 min

2. Antonio e Gino tm os pesos inversamente proporcionais s idades. Antonio tem 6 anos e 36 kg. Se Ginotem 9 anos, ento seu peso 54 kg.

( ) certo( ) errado( ) No sei


REGRA DE TRS COMPOSTA20 operrios constroem 80 metros de muro em 12 dias, trabalhando 10h/dia. Em quanto tempo 30 operrios

constroem 90 metros de muro trabalhando 6h/dia?

SOLUO:

Gabarito1. 13h e 20min 2. 30 dias 3. D 4. D 5. 60 6. A 7. 16 8. C

PROBLEMAS

1. Um carro com tanque cheio pode rodar 8h. Certodia, o dono do carro encheu o tanque e partiu emviagem sem perceber que havia um furo na basedo tanque. Em razo disso, rodou apenas 5h.Estando o carro parado com o tanque cheio esupondo que a vazo seja constante, em quantotempo o tanque esvazia?

2. 12 pessoas dispe de viveres para 40 dias. Paraquantos dias dariam os suprimentos se recebes-sem 4 novos companheiros?

3 Uma viagem de navio foi organizada para que 50pessoas permanecessem 36 dias no mar. Noentanto, nodia do embarque X novas pessoas seapresentaram de tal forma que a viagem teve deser feita em apenas 20 dias. Qual o nmero X decompanheiros?a) 90 b) 72c) 22 d) 40e) 122

4.Havia em um acampamento 400 soldados, comalimentao prevista para 8 meses. Ao partiremdesse acampamento 100 soldados, para quantosmeses a mais durar a alimentao, se cadasoldado restante passar a consumir 2/3 de suarao inicial?a) 16 b) 4c) 10 d) 8 e) 2

5.Uma expedio cientfica, acampada em um lugarisolado e composta de um determinado nmerode pessoas tinha viveres para 70 dias,que era otempo de durao da expedio. Aps 38 dias, aexpedio recolheu 20 homens que se encontra-vam perdidos e, por conseguinte, em virtude dosalimentos, a expedio foi obrigada a retornar 8dias de antecedncia. De quantos homens secompunha a expedio primitiva?

6.32 homens constroem 50m de calada em 28 dias,trabalhando 7h/dia. Em quanto tempo 48 homensconstruiro 90m de calada trabalhando 8h/dia?a) 29 dias, 3h e 12 min.b) 29 dias, e 4h.c) 29 dias, 9h e 36 min.d) 29 dias.

7. 20 operrios constroem 12m de muro em 8 diastrabalhando 6h/dia. Em quanto tempo 18 oper-rios construiro 60m de muro trabalhando 10h/dia sabendo que a capacidade destes operrios o dobro da capacidade dos anteriores, mas ograu de dificuldade deste servio 20% a maisque o anterior.

8. e 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8operarios, trabalhando 6h/dia, o restante da obraser feito, agora com 6 operarios, trabalhando10h/dia. EmA) 7 dias B) 6 diasC) 2 dias D) 4 diasE) 3 dias


DIVISO PROPORCIONALVamos imaginar que temos 120 bombons para distribuir em partes diretamente proporcionais a 3, 4, e 5,

entre 3 pessoas A, B e C, respectivamente.

Portanto:

1a Pessoa - Recebe proporcional a 3 A = 3 K

2a Pessoa - Recebe proporcional a 4 B = 4 K

3a Pessoa - Recebe proporcional a 5 C = 5 K

Logo: A + B + C = 120 3 K + 4K + 5K = 120

Achar a constante de proporcionalidade

K = K=10

Logo: A = 30.B = 40.C = 50.

PROBLEMAS PROPOSTOS

1. Dividir o nmero 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4.

2. Dividir o nmero 810 em parte inversamente proporcionais a , e

3. Dividir o nmero 48 em partes inversamente proporcionais a , e .

DICA:

IDIACENTRAL


4. Dividir o nmero 305 em partes inversamente proporcionais a , 5 e .

DICA:

5. Dividir o nmero 118 em partes simultaneamente proporcionais a 2, 5, 9 e 6, 4, 3.

DICA:

6. Dividir o nmero 148 em partes diretamente proporcionais a 2 6 8 e inversamente

proporcionais a , e 0,4.

DICA:

7. Dividir o nmero 670 em partes inversamente proporcionais simultaneamente a , 4, 0,3 e 6, , .

DICA:


8. Uma herana foi dividida entre 3 pessoas em partes diretamente proporcionais s suas idades que so32,38 e 45.

Se o mais novo recebeu R$ 96000, quanto recebeu o mais velho?

DICA:

9. Uma empresa dividiu os lucros entre seus scios, proporcionalmente a 7 e 11.Se o 2 scio recebeu R$ 20.000,00 a mais que o 1 scio, quanto recebeu cada um?

DICA:

10. Trs scios formam uma empresa. O scio A entrou com R$ 2000 e trabalha 8h/dia. O scio B entroucom R$ 3000 e trabalha 6h/dia. O scio C entrou com R$ 5000 e trabalha 4h/dia.

Se, na diviso dos lucros o scio B recebe R$ 90.000, quanto recebem os demais scios?

DICA:

PROBLEMAS DE CONCURSOS1. (Carlos Chagas) Certo ms o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionrios uma gratificao

no valor de R$ 500. Essa quantia foi dividida entre eles em partes que eram diretamente proporcionais aosrespectivos nmeros de horas de plantes que cumpriam no ms e, ao mesmo tempo, inversamenteproporcionais suas respectivas idades. Se um dos funcionrios tinha 36 anos e cumpriu 24 horas deplantes e, outro, de 45 anos cumpriu 18 horas, coube ao mais foram receber.a) R$ 302,50 b) R$ 310,00 c) R$ 312,50d) 325,00 e) 342,50

2. (Carlos Chagas) Na oficina de determinada empresa h um certo nmero de aparelhos eltricos a seremreparados. Incumbidos de realizar tal tarefa, dois tcnicos dividirem o total de aparelhos entre si, na razoinversa de seus respectivos tempos de servio na empresa: 8 anos e 12 anos.Assim, se a um deles coube 9 aparelhos o total reparados foi:a) 21 b) 20 c) 18d) 15 e) 12


PROBABILIDADES

PROBLEMA

Em uma urna h 10 bolas pretas, 4 bolas vermelhas e 6 bolas azuis.

Pergunta-se:1) Retirando uma bola ao acaso, qual a chance de ser

vermelha?

2) Qual a chance de ser azul ou vermelha?

3) Qual a chance de no ser vermelha?

4) Em 3 retiradas com reposio, qual a probabilidade de seruma vermelha, uma preta e uma azul, nessa ordem?

5) Em 3 retiradas com reposio, qual a probabilidade de umaser vermelha, outra azul e outra preta?

6) Em 3 retiradas, sem reposio, qual a probabilidade daprimeira ser preta, a segunda ser azul e a terceira servermelha?

7) Em 3 retiradas sem reposio, qual a probabilidade de sairuma de cada cor?

8) Em 3 retiradas, com reposio, qual a probabilidade de sair2 pretas e 1 vermelha nessa ordem?

9) Em 3 retiradas, com reposio, qual a probabilidade de sair2 pretas e 1 vermelha?

10) Em 3 retiradas, sem reposio, qual a probabilidade desair 2 azuis e 1 vermelha, nessa ordem?

11) Em 3 retiradas, sem reposio, qual a probabilidade desarem 2 azuis e 1 vermelha?

12) Em 3 retiradas, com reposio, qual a probabilidade desarem 3 pretas?

13) Em 3 retiradas, sem reposio, qual a probabilidade desarem 3 pretas?


14) Qual a probabilidade de um casal ter 2 filhos homens euma mulher, nessa ordem?

15) Qual a probabilidade de um casal ter 2 filhos homens euma mulher?

16) Trs casais (marido e mulher) esto reunidos em umasala. Escolhendo 3 pessoas ao acaso, a possibilidade deformar um TRIO com apenas um dos cnjuges de cadacasal :

A) 1/2 B) 2/3C) 2/5 D) 3/10E) 1/15

17) Em uma classe de 100 alunos, 50 estudam fsica, 60estudam matemtica e 20 no estudam nenhuma das duas.Escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade de:

A) No estudar matemtica nem fsicaB) Estudar matemticaC) Estudar fsicaD) matemtica e fsicaE) matemtica ou fsicaF) matemtica e no fsicaG) fsica e no matemtica


1.


PROPOSIPROPOSIPROPOSIPROPOSIESESESES

Em lgica, chama-se proposio a uma sentena afirmativa que s pode assumir os valores VERDADEIRO ou FALSO.

No h uma terceira opo (princpio do terceiro excludo).

Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo (princpio da no contradio)

EXEMPLO 1

Existe vida em outros planetas.

Isto uma proposio embora, no contexto atual, no saibamos se verdadeira ou falsa.

Saber se uma proposio verdadeira ou falsa no um problema lgico.

um problema EPISTEMOLGICO.

EXEMPLO 2

1 + 1 = 10 uma proposio do ponto de vista lgico.

Mas o julgamento epistemolgico, isto , depende de conhecimentos que esto fora da proposio em si.

Pois, no sistema DECIMAL , a proposio acima FALSA.

Mas no sistema BINRIO a proposio dada VERDADEIRA.

O julgamento uma Funo Epistemolgica, ou seja, depende do contexto.

Ora, se o julgamento muda com o contexto (inclusive com o contexto tempo) ento no faz parte da lgica pois, como vimos, a mesma proposio poderia ser verdadeira e tambm poderia ser falsa. Isto fere o princpio da no contradio.

PARA A LGICA BASTA SABER QUE UMA PROPOSIO. Ou seja, independente do contexto a sentena afirmativa s poder assumir dois valores lgicos ou dois valores VERDADE: verdadeiro ou falso . Ou ainda, dois valores booleanos: 0 ou 1 .

Por isso dizemos que a lgica bivalente.


No entanto, quando o processo exige uma definio do valor lgico da proposio ento dever ficar claro qual o contexto que a proposio est inserida.

A maioria das proposies, portanto, so proposies contingenciais, ou seja, dependem do contexto.

Veremos adiante que tambm se fez necessria a criao de uma proposio funcional.

EXEMPLO 3

A CAPITAL DO BRASIL A CIDADE DO RIO DE JANEIRO.

Esta proposio era verdadeira em 1950 mas falsa no ano 2008 !

Mas em todos estes exemplos dados, se o contexto for bem definido, a proposio s pode assumir os valores verdadeiro ou falso. Por isso, do ponto de vista lgico so proposies.

NO SO PROPOSIES

As sentenas INTERROGATIVAS, EXCLAMATIVAS e IMPERATIVAS.

As sentenas VAGAS, AMBIGUAS ou PARADOXAIS.

EXEMPLOS

Onde est a caneta ? INTERROGATIVA

Que dia lindo ! EXCLAMATIVA

Fecha a porta IMPERATIVA

Ele grande VAGA

No agento mais a cadela da minha sogra AMBIGUA

Esta frase uma mentira PARADOXAL


A SENTENA AFIRMATIVA como PREMISSA ou PARMETRO

Por fora principalmente do uso da lgica na informtica, se faz necessrio fazer uma distino entre uma sentena afirmativa (no sentido bivalente) e uma sentena declarativa (no sentido monovalente)

Quando declaramos alguma coisa no portugus ou na informtica assumimos que aquela afirmao verdadeira. Ou seja, uma INFORMAO que no ser discutida. Tem o sentido de uma frase imperativa. monovalente porque assume apenas o valor lgico VERDADE.

a informao que alimentar o BANCO DE DADOS em nvel epistemolgico e servir como parmetro para julgar as proposies propriamente ditas.

As sentenas que so usadas como parmetros de verdade denominamos tambm PREMISSAS.

EXEMPLO 1

Se declararmos que x = 4, estamos dizendo que a varivel x no mais livre. No se trata de uma sentena aberta ou de uma afirmao bivalente. uma declarao de sentido imperativo.

EXEMPLO 2

O PACU UM PEIXE.

Est sendo informado que o Pacu um peixe (poderia ser uma comida, uma arma, uma planta, uma tribo, etc ). Esta informao servir como parmetro de VERDADE . O que est sendo feito uma declarao de um conhecimento em um determinado contexto. Tal informao no ser julgada e portanto no bivalente.

EXEMPLO 3

A CAPITAL DO BRASIL BUENOS AIRES

Para julgarmos o valor lgico dessa proposio deve haver um parmetro no BANCO DE DADOS que diga de forma declarativa que a capital do Brasil Braslia.

No entanto, na informtica, existem comandos que permitem distinguir se a sentena uma DECLARAO ou se uma proposio bivalente que pode assumir os valores lgicos verdadeiro ou falso.

J na linguagem escrita entre seres humanos poderamos ter a seguinte frase:

A AFIRMAO BRASILIA A CAPITAL DO BRASIL VERDADEIRA.

Esta frase pode ser considerada uma informao e neste sentido seria uma declarao.

Quando uma sentena atua como PREMISSA ou PARMETRO ela assumida como VERDADEIRA.


Mas essa mesma frase pode ser considerada uma proposio bivalente do ponto de vista lgico. (porque poderia ocorrer que a afirmao entre aspas no fosse verdadeira do ponto de vista do conhecimento)

Portanto, devemos ter muito cuidado com o SENTIDO das sentenas. Em nossa opinio temerrio o procedimento das bancas de concursos de simplesmente dar uma

frase e perguntar se ela ou no uma proposio no sentido bivalente !

At mesmo uma frase interrogativa poderia ter sentido afirmativo. Compartilho o comentrio feito no livro Introduo lgica (editora UNIJUI-2000, sob

coordenao de Vnia Dutra de Azevedo e tendo como autores Amrico R. Piovesan, Carlos Augusto Sartori, Mauri Hartmann e Paulo Cezar Tiellet). Dizem os autores na pgina 16: Convm notar que, por recursos retricos, certas formas de discurso so usadas com funes diferentes daquelas que normalmente so destinadas. Uma sentena interrogativa, cuja funo fazer uma pergunta, pode ser usada para fazer uma afirmao; uma sentena declarativa pode ser usada para dar uma ordem, e assim por diante. Ser que voc no est enganado? uma sentena interrogativa, mas pode ser usada no lugar de voc est enganado.

Neste exemplo dado pelo referido livro, a pergunta mero eufemismo.

Assim, alm de ser importante saber o contexto em que so apresentadas as sentenas. Tambm importante conhecer o seu sentido. Ou seja, a semntica possui um papel relevante nesse tipo de estudo.

EXEMPLO 4

O general Emlio Garrastazu Mdici o novo presidente do Brasil.

Tal como aconteceu no contexto histrico, esta sentena tinha o sentido de uma frase IMPERATIVA.

EXEMPLO 5

Um computador no saber dizer se 1 + 1 = 10 verdadeiro ou falso se no houver uma PREMISSA que diga se o sistema Binrio ou Decimal. Mas, partindo da premissa de que o contexto o sistema binrio ento poder ser julgado que a proposio verdadeira. Mas observe que a frase o contexto o sistema binrio no ser objeto de julgamento. uma DECLARAO de carter informativo.

Assim, frases como A expresso x + y positiva poderiam ser interpretadas como uma informao declarativa. No entanto essa frase, por essa razo, seria monovalente e portanto no poderia ser chamada de proposio ( no sentido bivalente ).


EXEMPLO 6

O nmero DOIS o nico nmero PAR que PRIMO.

Como j vimos, a frase acima tanto pode ser uma proposio ( bivalente e passvel de julgamento) como pode ser uma informao ou declarao ( no sentido monovalente ).

Agora analisemos a seguinte frase:

A raiz quadrada de um nmero positivo um nmero positivo.

Do ponto de vista do conhecimento matemtico e no contexto dos nmeros reais, considerando a frase acima como uma proposio do ponto de vista lgico ( e portanto bivalente ) ento seu valor lgico ser falso. ( Pois a raiz quadrada de NOVE + 3 ou -3 )

Mas observe a seguinte proposio condicional: Se a raiz quadrada do nmero positivo nove um nmero positivo, ento essa raiz o nmero positivo trs

Observe que o antecedente (A raiz quadrada do nmero positivo nove um nmero positivo) da proposio condicional uma sentena declarativa e neste caso no pode ser julgada, pois no bivalente. Ela funciona como premissa.

Mas a afirmao condicional como um TODO ser considerada uma proposio e no contexto da matemtica ser julgada como uma proposio verdadeira.

EXERCCIOS IDENTIFIQUE AS PROPOSIES E IDENTIFIQUE AS PROPOSIES E IDENTIFIQUE AS PROPOSIES E IDENTIFIQUE AS PROPOSIES E JUSTIFIQUEJUSTIFIQUEJUSTIFIQUEJUSTIFIQUE 1. Hoje domingo. 2. Fecha a porta. 3. Onde est a caneta? 4. Esta frase falsa. 5. Ontem vi a cadela da minha sogra. 6. Que maravilha. 7. O Brasil fica na Europa. 8. 2 + 2 = 5 9. O pinto do vizinho amarelinho. 10. Maria alta.


SENTENSENTENSENTENSENTENASASASAS ABERTASABERTASABERTASABERTAS

Possuem variveis livres. So apenas estruturas frasais que precisam ter o sentido semntico definido para que possam ter um significado .

EXEMPLO 1

X cantor

Quando substitumos X por uma constante obtemos uma proposio. Da forma que est uma sentena aberta. Pois ela, independente do contexto, no bivalente. Uma vez que o valor lgico depende do que X significa. Portanto uma FUNO da varivel sujeito.

EXEMPLO 2

Paris a capital do pas P

Quando substitumos P pelo nome de um pas, a sentena aberta torna-se uma proposio.

Ateno: No confundir sentenas abertas com sentenas declarativas ou informativas ( premissas ).

EXEMPLO 3

No contexto da matemtica, afirma-se: P1. X um nmero par. P2, X um nmero primo Concluso: X o nmero dois

Neste caso, as frases atuam como premissas e, alm disso, X no uma varivel livre.

EXEMPLO 4

Se X um nmero par, ento X um nmero Real.

O antecedente funciona como premissa e a varivel X no livre. Portanto isso no uma sentena aberta. Por isso nem sempre a presena de variveis determinam que a sentena seja aberta. Mais adiante comentamos este assunto em relao aos concursos pblicos.


EXEMPLO 5

Se ele gacho ento ele brasileiro.

Na verdade este um caso que atrapalhou muito a lgica clssica. Pois uma maneira de dizer que todo gacho brasileiro atravs de uma proposio condicional associada.

No entanto, nosso objetivo mostrar que muitas vezes o sujeito irrelevante pois o que est sendo analisado a qualidade ou o predicado.

Na verdade, neste caso a varivel sujeito livre mas irrelevante. Isto equivaleria na lgica de 1 ordem, a dizer Para qualquer X usando quantificadores.

EXEMPLO 6

x + 2 = 5 uma sentena aberta.

Quando substitumos x por uma constante ela se torna uma proposio.

Mas podemos pensar tambm que a expresso dada uma frase interrogativa.

Qual o nmero que somado com dois igual a cinco?

Ou ainda uma frase imperativa:

Determine o nmero que somado com dois igual a cinco.

Por isso esta expresso no considerada uma proposio do ponto de vista lgico.

Mas j apareceram em concursos frases do tipo

Se x = 3 ento x + 2 = 5

E nestes casos as bancas consideraram o conseqente como uma proposio e no como uma sentena aberta. Alis, toda a afirmao condicional foi considerada proposio. Na verdade o antecedente est atuando como premissa e isso faz com que a varivel x no seja livre. Ou seja, x no uma varivel : x IGUAL A trs! (imperativa)


PROPOSIO FUNCIONAL

Quando uma sentena aberta considerada uma funo em um certo domnio (contexto), ela passa a ser uma funo proposicional.

Assim P(x) x + 2 = 5 uma funo proposicional em N. E uma funo porque dependendo do valor de x, a proposio ser verdadeira ou falsa.

Ou seja, a funo proposicional torna-se uma proposio (bivalente) quando atribumos valores s variveis.

Tal proposio recebe o nome de proposio funcional.

OBS: A banca CESPE j apresentou em provas proposio funcional como sinnimo de sentena aberta.

LGICA DE PRIMEIRA ORDEM

tambm chamada lgica dos predicados porque o predicado uma funo de um certo domnio para os valores booleanos ( 0 ou 1 , que equivale a V ou F ).

Assim, Paris a capital do pas P uma sentena aberta.

Mas ( P ) ( P universo dos pases do planeta terra )/ Paris a capital de P.

Existe um pas P pertencente ao domnio universo dos pases do planeta terra tal que Paris a capital do pas P.

A lgica de primeira ordem aquela que com auxilio de QUANTIFICADORES uma sentena aberta torna-se uma proposio.


PROPOSIO E SENTENA ABERTA NO CONTEXTO DOS CONCURSOS PBLICOS

Para as bancas de concursos pblicos, geralmente basta ter uma varivel para ser considerado uma sentena aberta e no uma proposio.

Assim, frases como:

A expresso x + y positiva

no considerada uma proposio ( Banca CESPE )

Por outro lado, se tivssemos:

x + y > 0

no restaria nenhuma dvida de que de fato uma sentena aberta.

A expresso x + y um nmero inteiro no proposio, segundo a FCC . 5

Opinio semelhante tem a CESGRANRIO.

Paulo alto considerada uma proposio pelas principais bancas de concursos.

Mas Ele alto no considerada uma proposio pelas mesmas bancas. vaga ou seja uma sentena aberta.

x + y > 40 uma sentena aberta.

A idade de Maria somada com a idade de Ana maior que 40 anos

considerada uma proposio.


No entanto, a banca CESPE j colocou a seguinte questo:

Considere as seguintes proposies. (o destaque nosso)

. ( 7 + 3 = 10 ) (5 12 = 7 )

. A palavra crime disslaba

. Se lmpada uma palavra trisslaba, ento lmpada tem acentuao grfica

. ( 8 4 = 4 ) ( 10 + 3 = 13 )

. Se x = 4 ento x + 3 < 6

Entre essas proposies, h exatamente duas com interpretao F.

Observe a ltima afirmao: Ela uma proposio condicional. A proposio condicional uma proposio composta por duas proposies simples. A primeira proposio chamada antecedente e a segunda proposio chamada conseqente.

No entanto essa condicional foi considerada pela banca CESPE uma proposio (no caso uma proposio composta). E por que? Porque a varivel x no livre. O antecedente funciona como premissa (monovalente) e com isto o consequente no mais uma sentena aberta porque foi declarado um valor para x. A banca CESPE est considerando a expresso x + 3 < 6 (conseqente) uma PROPOSIO !

Por isso dizemos que a definio do CONTEXTO fundamental!

Mas ateno: Se a prpria banca Cespe colocar a expresso x + 3 < 6 sozinha, dir que ela no uma proposio e sim uma sentena aberta.

Por essas razes que dissemos anteriormente que no achamos interessante esse tipo de questo que as bancas costumam fazer perguntando de forma isolada se uma afirmao ou no uma proposio. Mas, por ora, esta a realidade.

Especificamente no caso do exemplo dado, a banca apresentou no gabarito que a afirmao Entre essas proposies, h exatamente duas com interpretao F estava ERRADA. E a razo de estar errado a seguinte: A primeira proposio e a ltima esto erradas do ponto de vista matemtico. E a terceira est errada do ponto de vista do portugus (todas as proparoxtonas so acentuadas e no todas as trisslabas).


Outro tipo de afirmao que merece considerao a expresso

Hoje segunda-feira

Ela considerada proposio pelas bancas de concursos. Mas existem publicaes na internet (material de estudo de algumas universidades, inclusive de fora do Brasil) que alegam que no seria porque o hoje relativo para efeitos de julgamento. Evidentemente, do ponto de vista lgico essa frase bivalente. Ou essa afirmao verdadeira ou essa afirmao falsa, mas no ambas. Alm disso, quem faz essa afirmao o faz dentro de um contexto claro e inequvoco (o hoje o prprio dia que est sendo feita a afirmao. Portanto no uma varivel e sim um dia nico e bem definido.) Mas se ns no sabemos quando foi dita essa frase outro problema. um problema epistemolgico que ns temos e nada mais.

O mesmo ocorre com a expresso

Amanh chover

As bancas consideram uma proposio. Mas existem trabalhos isolados na internet que afirmam que no uma proposio por uma srie de alegaes. (Uns dizem que dependem da varivel tempo, outros dizem que vaga). Mas o importante que o candidato a concursos pblicos saibam que as principais bancas nem questionam esses argumentos e consideram a frase acima como uma proposio (no sentido bivalente ).

Como j vimos, uma PROPOSIO no precisa ser julgada. Basta que s possa assumir os valores V ou F.

EXERCCIOS JULGUE SE PROPOSIO E JUSTIFIQUE:JULGUE SE PROPOSIO E JUSTIFIQUE:JULGUE SE PROPOSIO E JUSTIFIQUE:JULGUE SE PROPOSIO E JUSTIFIQUE: 1. Paulo alto. 2. Ele foi o melhor jogador da copa. 3. x > y 4. Rossana mais velha que Marcela? 5. Mrio pintor 6. x + 2 = 5 7. 3 + 4 = 9 8. um pssimo livro de geografia 9. Se x um nmero primo ento x um nmero real 10. x um nmero primo.

GABARITOGABARITOGABARITOGABARITO 1.proposio 2. vaga ou sentena aberta 3.sentena aberta 4. interrogativa 5. proposio 6. sentena aberta 7. proposio 8. proposio 9. proposio ( varivel no livre ) 10. sentena aberta ou imperativa


1. Julgue se a afirmao a seguir CERTA ou ERRADA. H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas: I O BB foi criado em 1980. II Faa seu trabalho corretamente. III Manuela tem mais de 40 anos de idade.

2. Julgue com CERTO ou ERRADO: Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies. a frase dentro destas aspas uma mentira A expresso x + y positiva O valor de + 3 = 7 Pel marcou dez gols para a seleo brasileira. O que isto?

3. Agente Fiscal de Rendas Nvel I / SP 2006 FCC Considere as seguintes frases: I Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. II (x + y) / 5 um nmero inteiro III Joo da Silva foi o Secretrio da Fazenda do Estado de So Paulo em 2000.

verdade que APENAS a) I e II so sentenas abertas b) I e III so sentenas abertas c) II e III so sentenas abertas d) I uma sentena aberta e) II uma sentena aberta

4. Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, enquanto uma delas no tem essa caracterstica. I Que belo dia! II Um excelente livro de raciocnio lgico. III O jogo terminou empatado? IV Existe vida em outros planetas do universo. V Escreva uma poesia. A frase que no possui essa caracterstica comum a a) I b) II c) III d) IV e) V

5. CESPE (Adaptado) JULGUE COM CERTO OU ERRADO: Das cinco (5) afirmaes abaixo, trs delas so proposies. I Mariana mora em Pima. II Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. III A expresso algbrica x + y positiva. IV Se Joana economista, ento ela no entende de polticas pblicas. V A SEGER oferece 220 vagas em concurso pblico.

GABARITO

1. certa 2. errada 3. A 4. D 5. certa


TABELAS TABELAS TABELAS TABELAS VERDADEVERDADEVERDADEVERDADE NMEROS DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADE

EXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOS: 1 Proposies 2 proposies 3 proposies n proposies

P V F

NEGAO DE UMA PROPOSIO SIMPLES

Negar uma proposio equivale a dizer que ela no verdadeira, ou seja, que ela falsa

AfirmaoAfirmaoAfirmaoAfirmao NegaoNegaoNegaoNegao O Santos Ganhou Hoje domingo

O Universo possui 9 planetas Hoje no sbado O quadro branco

A metade das pessoas desta sala so idiotas

Todo brasileiro joga futebol

NO CONFUNDIR NEGAO COM ANTNIMO OU CONTRRIONO CONFUNDIR NEGAO COM ANTNIMO OU CONTRRIONO CONFUNDIR NEGAO COM ANTNIMO OU CONTRRIONO CONFUNDIR NEGAO COM ANTNIMO OU CONTRRIO

p q V V V F F V F F

p q r V V V V V F V F V


NEGAO DA NEGAO DE UMA PROPOSIO

~(~p) p

PROPOSIES CATEGRICAS

CONCLUSES

1- Duas proposies universais contrrias no podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas ao mesmo tempo.

2 Duas proposies particulares subcontrrias podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas no podem ser falsas ao mesmo tempo.

3 Se uma proposio universal verdadeira, a sua correspondente subalterna tambm verdadeira.

4 Se uma proposio universal falsa, ento s podemos afirmar que a sua Contraditria Verdadeira.


1. (Carlos Chagas) Em um trecho da msica SAMPA, Caetano Veloso se refere cidade de So Paulo dizendo que ela o avesso, do avesso, do avesso, do avesso. Admitindo que uma cidade represente algo bom, e que seu avesso representa algo ruim, do ponto de vista lgico, o trecho da msica de Caetano Veloso afirma que So Paulo uma cidade: a) Equivalente ao seu avesso b) Similar a seu avesso. c) Ruim e boa. d) Ruim e) Boa

2. (CESGRANRIO) A negao de Joo sempre vai de carro para o trabalho : a) Joo sempre vai a p para o trabalho b) Joo nunca vai de carro para o trabalho c) Joo, s vezes, no vai de carro para o trabalho d) Joo, s vezes, vai a p para o trabalho e) Joo nunca vai a p para o trabalho

3. A negao de Todos os homens so bons motoristas : a) Todas as mulheres so boas motoristas. b) Algumas mulheres so boas motoristas. c) Nenhum homem bom motorista. d) Todos os homens so maus motoristas. e) Ao menos um homem mau motorista.

4. A negao de Vadinho sempre bebe vinho no almoo : a) Vadinho nunca bebe vinho no almoo. b) Vadinho, s vezes, bebe gua no almoo. c) Pelo menos uma vez, Vadinho bebeu gua no almoo. d) s vezes, Vadinho no bebe vinho no almoo e) Alguma vez, Vadinho no bebeu vinho no almoo.

5. (REFAP/CESGRANRIO) A negao de todos os nmeros inteiros so positivos : a) nenhum nmero inteiro positivo. b) nenhum nmero inteiro negativo. c) todos os nmeros inteiros so negativos. d) todos os nmeros inteiros no so positivos. e) alguns nmeros inteiros no so positivos.

6. (CESPE- MPE/TO) A negao da proposio algum promotor de justia do MPE/TO tem 30 anos ou mais nem todo promotor de justia do MPE/TO tem 30 anos ou mais. Julgue a afirmao acima com Certo ou Errado:

7. (CESPE-MPE / AM 2008) Julgue com Certo ou Errado: Se a afirmativa todos os beija-flores voam rapidamente for considerada falsa, ento a afirmativa algum beija-flor no voa rapidamente tem de ser considerada verdadeira.

8. (CESPE-TRT5 / 2008) Julgue com Certo ou Errado: Considerando que P seja a proposio Todo jogador de futebol ser craque algum dia, ento a proposio P corretamente enunciada como Nenhum jogador de futebol ser craque sempre.


9. (FJG) Considere que S seja a sentena: todo poltico filiado a algum partido. A sentena equivalente negao da sentena S acima : a) nenhum poltico filiado a algum partido b) nenhum poltico no filiado a qualquer partido c) pelo menos um poltico filiado a algum partido d) pelo menos um poltico no filiado a qualquer partido

GABARITO 1 - E 2- Negar equivale a dizer que a afirmao NO VERDADEIRA.

Se sabemos que a afirmao FALSA somente podemos concluir que PELO MENOS UMA VEZ, JOO NO FOI DE CARRO AO TRABALHO

3- Ao menos um homem no BOM MOTORISTA. (no ser bom, no significa que seja mau). 4 - E 5- E (Algum nmero inteiro no positivo) 6 - Errada 7 - Certa 8 Errada 9- D


CONECTIVOSCONECTIVOSCONECTIVOSCONECTIVOS

Denominam-se CONECTIVOS a certas palavras ou frases que em lgica so utilizadas para formar PROPOSIES COMPOSTAS.

CONECTIVO SMBOLO PROPOSIO COMPOSTA

Conjuno E pq Disjuno Inclusiva OU pq Disjuno Exclusiva pq Condicional Se... Ento... pq

Bicondicional se, e somente se, p q

PROPOSIES COMPOSTAS

2 + 2 = 4 ou 2 . 3 = 5 V ou F?

2 + 2 = 4 e 2 . 3 = 5 V ou F?

PROPOSIO COMPOSTA PELA CONJUNO E

Smbolo pq L-se: P E Q

Uma afirmao atravs da proposio composta pq assume que AMBAS AS PROPOSIES SIMPLES p e q so verdadeiras.

Se, pelo menos, uma das proposies simples (p ou q) for FALSA, TODA A PROPOSIO COMPOSTA SER FALSA.

EXEMPLO:

Para fazer o concurso o candidato deve ser ECONOMISTA E ADVOGADO.

AS DUAS CONDIES DEVEM SER ATENDIDAS

ESQUEMATICAMENTE

A B

ADVOGADOS

ECONOMISTAS


TABELA VERDADE

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

UMA PROPOSIO COMPOSTA pq S VERDADEIRA QUANDO AMBAS FOREM VERDADEIRAS. NOS DEMAIS CASOS, FALSA.

Considere a frase

MRIO MDICO E DANTE DENTISTA

Se esta frase apresentada ela deve ser, em princpio, considerada VERDADEIRA. Para ela ser FALSA a banca deve informar que falsa ou pedir que seja feita uma verificao

EPISTEMOLGICA. Mas do ponto de vista LGICO, se recebermos essa informao porque MRIO MDICO (com certeza) e alm disso DANTE DENTISTA (com certeza).

NEGAO

Mrio no mdico OU Dante no dentista

Lembre-se que para NEGAR uma proposio, a banca poder usar as seguintes frases:

1 - Negue a proposio 2 - A proposio dada falsa. 3 Ora, a proposio dada NO VERDADEIRA. 4 Ou ainda: No verdade que...

No caso, para a afirmao Mrio mdico e Dante dentista ser falsa basta que Mrio no seja mdico ou que Dante no seja dentista ou ambas. (Ou seja, as 3 hipteses F da tabela verdade)

Eu no posso negar dizendo que Mrio no mdico e Dante no Dentista porque eu estaria assumindo UMA das TRS hipteses possveis da proposio ser FALSA.

Na verdade, NEGAR significa SABER QUE FALSA.

MAS NO PODEMOS, a priori, GARANTIR POR QUE MOTIVO ELA FALSA.


Exerccios

1. A negao de O gato mia e o rato chia : a) O gato no mia e o rato no chia. b) O gato mia ou o rato chia. c) O gato no mia ou o rato no chia. d) O gato e o rato no miam nem chiam. e) O gato chia e o rato mia.

2. A negao de Hoje segunda-feira e amanh no chover : a) Hoje segunda-feira e amanh chover. b) Hoje no segunda-feira ou amanh chover. c) Hoje no segunda-feira, ento amanh chover. d) Hoje no segunda-feira nem amanh chover. e) Hoje segunda-feira ou amanh no chover.

3. Dizer que no verdade que Pedro pobre e Alberto alto, logicamente equivalente a dizer que verdade que: a) Pedro no pobre ou Alberto no alto. b) Pedro no pobre e Alberto no alto. c) Pedro pobre ou Alberto no alto. d) Se Pedro no pobre, ento Alberto alto. e) Se Pedro no pobre, ento Alberto no alto.

GABARITO 1 C

2 B

3 A


DISJUNO EXCLUSIVA

Inicialmente devemos destacar a existncia de dois tipos de OU.

Existe o OU INCLUSIVO (smbolo )

E o OU EXCLUSIVO (smbolo )

OU EXCLUSIVO p q OU p, OU q MAS NO AMBOS

EXEMPLO 1

Joo gacho ou alagoano. Esquematicamente so conjuntos disjuntos

RS AL

EXEMPLO 2:

A lmpada est acesa ou apagada.

Tabela Verdade

Acesa Apagada

p q p q Justificativa V V F Impossvel V F V Possvel F V V Possvel F F F impossvel


O OU EXCLUSIVO deve ser reconhecido pelo contexto. De no ser assim, deve ser informado

OU A, OU B, MAS NO AMBOS

Alguns autores alegam que basta dizer OU A OU B para ser Exclusivo. Mas isso no aceito por muitas bancas.


EXEMPLO:

(UnB/CESPE SEGER Caderno F Cargo 5: Especialista em Polticas Pblicas e Gesto Governamental. Aplicao21/10/2007 Proposies so afirmaes que podem ser julgadas como verdadeira (V) ou falsa ( F ), mas no ambos. Proposies simples so denotadas, por exemplo, pelas letras iniciais maisculas do alfabeto: A,B,C etc. A partir das proposies simples, so construdas proposies compostas, simbolizadas pelas formas A B, que lida como A e B, e que V quando A e B so V, caso contrrio F; A B, que lida como ou A ou B, e que F quando A e B so F, caso contrrio V; A B, que lida como se A ento B, e que F quando A V e B F, caso contrrio V; e ainda A, que lida como no A, que V; se A F e F se A V. Parnteses podem ser usados para delimitar as proposies. As letras maisculas P, Q , R sero usadas para representar proposies compostas quaisquer.

Por outro lado, h bancas que entendem que ou A, ou B j identifica o OU EXCLUSIVO.

Portanto: CUIDADO!

EXERCCIO:

(CESPE/SEGER) Os smbolos que conectam duas proposies so denominados conectivos. Considere a proposio definida simbolicamente por A B que F quando A e B so ambos V ou ambos F, caso contrrio V. o conectivo denominado ou exclusivo porque V se, e somente se, A e B possurem valoraes distintas. Com base nessas informaes e no texto II, julgue os itens que se seguem. 19 19 19 19 Considerando que A e B sejam proposies, ento a proposio A Considerando que A e B sejam proposies, ento a proposio A Considerando que A e B sejam proposies, ento a proposio A Considerando que A e B sejam proposies, ento a proposio A B possui os mesmos valores lgicos que B possui os mesmos valores lgicos que B possui os mesmos valores lgicos que B possui os mesmos valores lgicos que a proposio (Aa proposio (Aa proposio (Aa proposio (A B)B)B)B) (A(A(A(A B).B).B).B).

A B A B ~(A B) ~(A B)(A B) V V V F F V F F

Comparar com a tabela do ou exclusivo


EQUIVALNCIAS DA DISJUNO EXCLUSIVA

A B ( A B ) ( A B )


DISJUNO INCLUSIVA A OU B (ou ambos)

Smbolo p q

EXEMPLO:

S pode fazer o concurso quem for Agrnomo OU Veterinrio

Esquematicamente

Basta que pelo menos uma das condies seja atendida.

Tabela verdade

p q p q V V V V F V F V V F F F

VETERINRIO AGRNOMO

A U B

A disjuno inclusiva s FALSA quando AMBAS

SO FALSAS


Considere a frase: Pedro pintor OU Carlos cantor

O que podemos concluir? Podemos dizer que Pedro pintor?

Julgue as Afirmaes a) Carlos cantor b) Carlos no cantor c) Pedro pode ser pintor d) Pedro cantor e) Pedro deve ser pintor f) Pedro pode ser cantor g) Carlos pode no ser cantor

Uma proposio composta pelo conectivo OU s permite concluir que

Pelo menos uma das proposies verdadeira

No caso da frase dada, JAMAIS saberemos se Pedro pintor (realmente) ou se Carlos cantor (de fato), ou AMBAS so verdadeiras.

Mas a banca pode dar uma SEGUNDA FRASE que chamaremos de DICA ou BIZU.

Pode haver

somente UMA verdadeira

DUAS verdadeiras

Quente

Sacana

A dica pode ser Ou

GABARITOGABARITOGABARITOGABARITO A) F B) F C) V D) F E) F F) V G) V


DICA QUENTE Na proposio Pedro pintor OU Carlos cantor apresentada outra afirmao.

Ora, Pedro no pintor

Logo: Veja: Pedro pintor OU Carlos cantor

Com a DICA QUENTE, temos CERTEZA que Carlos Cantor.

DICA QUENTE AQUELA QUE ELIMINA UMA DAS PROPOSIES.

ENTO A QUE SOBROU A CONCLUSO VERDADEIRA!

DICA SACANA Na proposio Pedro pintor OU Carlos cantor segue Ora, Pedro Pintor. Logo

Observe que a dica sacana aquela que repete uma das proposies j dadas.

Ora, neste caso NADA PODEMOS CONCLUIR! Por isso que a dica sacana. Porque embora saibamos que Pedro pintor, Carlos poder ser cantor ou no. Porque pode haver somente UMA PROPOSIO VERDADEIRA mas tambm pode ser que existam DUAS VERDADEIRAS. Logo: SEI L!


Exerccios

1. O sapo pula ou o galo no canta. Ora, o sapo no pula.

Logo: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Dica: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2. O sapo pula ou o galo no canta. Ora, o galo canta.

Logo: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Dica: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3. O sapo pula ou o galo no canta. Ora, o sapo pula.

Logo: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Dica: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4. o sapo pula ou o galo no canta. Ora, o galo no canta.

Logo: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Dica: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


5. A GRAMA PRETA OU O CU VERMELHO.

Com base na frase dada, julgue com CERTO ou ERRADO, as AFIRMAES ABAIXO: a) A grama preta. b) A grama pode ser preta. c) A grama deve ser preta. d) O cu vermelho e) A grama pode no ser preta f) O cu pode no ser vermelho g) O cu deve ser vermelho h) O cu pode ser vermelho i) Se o cu no vermelho, ento a grama preta. j) Se a grama preta ento o cu vermelho. k) Se a grama preta ento o cu no vermelho l) Se a grama no preta ento o cu no vermelho. m) Se a grama no preta, ento o cu vermelho. n) Se o cu no vermelho, ento a grama no preta. o) Se o cu vermelho, ento a grama preta. p) Se a grama preta, ento o cu pode ser preto. q) Se a grama no preta, ento o cu pode no ser vermelho. r) Se a grama no preta, ento o cu deve ser vermelho.

GABARITO 1) o galo canta ( dica quente ) 2) o sapo pula ( dica quente) 3) sei l ( dica sacana) 4) sei l ( dica sacana) 5) A) ERRADA B) CERTA C) ERRADA D) ERRADA E) CERTA F) CERTA G) ERRADA H) CERTA I) CERTA J) ERRADA K) ERRADA L)ERRADA M)CERTA N)ERRADA O)ERRADA P)CERTA Q)ERRADA R) CERTA


1. Jair est machucado ou no quer jogar. Mas Jair que jogar. Logo, a) Jair no est machucado nem quer jogar. b) Jair no quer jogar nem est machucado. c) Jair no est machucado e quer jogar. d) Jair est machucado e no quer jogar. e) Jair est machucado e quer jogar.

2. (ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou no surfo. Velejo ou no estudo. Ora, no velejo. Assim: a) Estudo e fumo b) No fumo e surfo. c) No fumo e no surfo. d) Estudo e no fumo. e) fumo e surfo.

3. Pinto ou bordo. Canto ou no pinto. Assobio ou no bordo. Ora, no assobio. Logo:

4. (CESPE) Considere que a proposio Slvia ama Joaquim ou Slvia ama Tadeu seja verdadeira. Ento pode-se garantir que a proposio Slvia ama Tadeu verdadeira. Julgue a afirmao acima com Certo ou Errado:

5. (ANCINE/2009-UFF) Namoro ou estudo. Passeio e no estudo. Acampo ou no estudo. Ocorre que no acampo. Logo: A) Estudo e passeio B) No passeio e namoro C) No acampo e no passeio D) Passeio e namoro E) Estudo e no passeio

GABARITO 1) E 2) E 3) pinto, canto e no bordo 4) Errado 5) D


AFIRMAES FALSAS

Quando dizemos que uma afirmao falsa haver dois motivos possveis:

1 - a afirmao falsa porque difere daquilo que temos certeza.

OU

2 - a afirmao falsa porque no podemos afirmar aquilo que no temos certeza.

Assim, sendo verdadeira a proposio Pedro pintor ou Carlos cantor pode ocorrer o seguinte:

1 - Recebo um dica quente: Pedro no pintor

2 - Recebo uma dica sacana: Pedro pintor

Mas elas so falsas no porque no ocorrem, e sim porque no temos certeza de qual delas ocorre. Evidentemente que uma delas verdadeira. Mas, com os dados que temos, JAMAIS poderemos

AFIRMAR qual delas a VERDADEIRA sob pena de fazermos uma afirmao LEVIANA, ou seja, FALSA. Estaramos cometendo uma FALCIA ou SOFISMA.

EXEMPLO:

- (ESAF) Dizer que Pedro no pedreiro ou Paulo paulista , do ponto de vista lgico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro pedreiro, ento Paulo paulista b) se Paulo paulista, ento Pedro pedreiro c) se Pedro no pedreiro, ento Paulo paulista d) se Pedro pedreiro, ento Paulo no paulista e) se Pedro no pedreiro, ento Paulo no paulista

A partir da, se dissermos

Carlos cantor (Afirmao verdadeira)

Carlos no cantor (Afirmao falsa pois difere daquilo que conclui com certeza).

A partir da, se dissermos

Carlos cantor (Falso)

Carlos no cantor (Falso)


NEGAO DA PROPOSIO COMPOSTA P Q

A porteira est aberta ou a balsa est funcionando

Negar essa frase limitar-se a saber que ela no verdadeira. E uma proposio composta pelo conectivo s falsa quando ambas so falsas.

Portanto a negao :

A porteira no est aberta E a balsa no est funcionando

EXERCCIOS:

1. Se a frase d ou desce falsa ento a frase verdadeira : a) no d ou no desce b) d mas no desce c) no d e desce d) no d e no desce e) d e desce

2. (Humor) Se verdade que: Nesta cidade s h vadias ou jogadores de futebol. Posso concluir que minha av (que mora nessa cidade)..........................................................

GABARITOGABARITOGABARITOGABARITO 1) D 2) A velha est jogando um bolo


IMPLICAO LGICA

IMPLICAO LGICA COMO RELAO:

simbolizada por => e indica um nexo.

Exemplo p q => p

Traduzindo: A proposio composta pq ser verdadeira implica que a proposio simples p tambm verdadeira.

IMPLICAO LGICA COMO PROPOSIO COMPOSTA:

do tipo SE p ento q Antecedente conseqente

Simbologia p q

A IMPLICAO LGICA como PROPOSIO COMPOSTA pode ser representada por conjuntos. Existe nexo entre as proposies simples que a compe.

EXEMPLO:

Se Gacho, ento Brasileiro (Ser Gacho implica necessariamente ser Brasileiro)

Conceitos Epistemolgicos: Gacho Nascido no Rio Grande do Sul Brasileiro Nascido no Brasil


TABELA VERDADE construda com auxlio do julgamento POSSVEL?

impossvel ser gacho e no ser brasileiro

CONDICIONAL

Se p ento q

Simbologia p q

A condicional no apresenta um nexo obrigatrio entre as proposies simples que a compe.

EXEMPLO Se eu passar no concurso, ento irei praia

TABELA VERDADE construda com auxlio dos raciocnios cumpriu a promessa? e Descumpriu a promessa?

Observe que a CONDICIONAL construda ANTES da confirmao do EVENTO. Assim posso afirmar:

1 Se chover ento eu guardo o carro 2 Se no chover ento eu coloco as roupas no varal

Ser Gacho Ser Brasileiro Se Gacho ento brasileiro

P q P q V V V

V F F

F V V

F F V

Passou no concurso

Foi praia

P q p q V V V V F F F V V F F V

(antecedente) (consequente)

Cumpriu a promessa Passou no concurso e no foi praia (no cumpriu com o prometido) No descumpriu No descumpriu


Em princpio, AMBAS SO VERDADEIRAS a no ser que seja informado que so falsas. Mas, o fato de chover ou no chover (confirmao do evento) no torna nenhuma delas falsa.

O QUE TORNA UMA CONDICIONAL FALSA NO CUMPRIR COM O PROMETIDO.

No caso do exemplo, como so excludentes, somente uma das duas promessas ter obrigao de ser cumprida (sob pena do descumprimento tornar a afirmao condicional falsa, ou seja, uma mentira).

Mas, a promessa que fica desobrigada de ser cumprida (pela no confirmao do antecedente) pode igualmente ocorrer.

Assim, possvel que o carro seja guardado E que as roupas sejam colocadas no varal.

A outra hiptese das condicionais serem falsas que seja informado:

Ora, A condicional 1 no verdadeira. Ou, A condicional 2 falsa.

LEMBRE-SE!

Uma condicional (ou implicao lgica) s falsa quando o antecedente for verdadeiro e o conseqente for falso. Ou seja, quando ocorrer V F nessa ordem na tabela verdade.

DICA

Se FALSO ENTO ? Antecedente conseqente

A proposio composta ser VERDADEIRA independente do valor lgico do consequente


1. Sabe-se que a terra redonda e a lua redonda. Com base nisso, julgue com certo ou errado.

I Se a terra quadrada ento a lua triangular. II Se a terra redonda ento a lua quadrada. III Se a terra quadrada ento a lua redonda.

2. Sabe-se que Alda alta e Bino no baixo. Julgue com certo ou errado.

I Se Alda no alta ento Bino no baixo. II Se Alda alta ento Bino baixo. III Se Alda no alta ento Bino baixo. IV Alda alta ou Bino baixo. V Alda no alta ou Bino no baixo. VI Alda no alta ou Bino baixo.

3. Considere as afirmaes:

p uma proposio verdadeira q uma proposio falsa r uma proposio falsa w uma proposio verdadeira

Julgue com certo ou errado.

a) ( p q ) w falso b) ( p q ) r verdadeira c) ( p q ) (r w) falso d) ( p q ) (r w) falso e) ( p r ) (q w ) verdadeira f) ( q r ) (p q) verdadeira

GABARITO

1) CERTO, ERRADO, CERTO

2) CERTO, ERRADO, CERTO, CERTO, CERTO, ERRADO

3) A- ERRADO B- ERRADO C-CERTO D- ERRADO E-CERTO F-CERTO


ESTUDO DA CONDICIONAL

Julgue luz da matemtica com v ou F:

AFIRMAO: Se um quadrado, ento possui quatro ngulos retos

RECPROCA: Se possui quatro ngulos retos ento um quadrado

INVERSA: Se no um quadrado ento no possui quatro ngulos retos

CONTRAPOSITIVA: Se no possui quatro ngulos retos ento no um quadrado

EXERCCIO

AFIRMAO: Se Gacho ento Brasileiro

RECPROCA: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

INVERSA: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

CONTRAPOSITIVA: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Julgue com V ou F:

A inversa de uma afirmao condicional tambm a contrapositiva da recproca dessa mesma afirmao

Quando dada uma afirmao condicional s podemos concluir a sua CONTRAPOSITIVA.

p q ~q~p

Se vaca ento voa

Equivale a dizer

Se no voa ento no vaca

equivalente


1. A proposio Se o Roque bebe vinho ento Andr bebe cerveja equivalente a: a) Roque bebe vinho se, e somente se, Andr bebe cerveja. b) Se Roque no bebe vinho, ento Andr no bebe cerveja. c) Se Andr no bebe cerveja, ento Roque no bebe vinho. d) Se Andr bebe cerveja, ento Roque bebe vinho. e) Se Roque bebe cerveja, ento Andr bebe vinho.

2. Dado Se Joo casa com Maria ento o gato caa o rato, podemos concluir que: a) Joo casa com Maria ento o gato caa o rato. b) Se Joo no casa com Maria ento o gato no caa o rato. c) Se o gato no caa o rato, ento Joo no casa com Maria. d) Se o gato caa o rato, ento, Joo casa com Maria. e) NDA.

3. Se Rodrigo mentiu, ento ele culpado. Logo: a) Se Rodrigo no e culpado, ento ele no mentiu; b) Rodrigo culpado; c) Se Rodrigo no mentiu, ento ele no culpado; d) Rodrigo mentiu; e) Se Rodrigo culpado ento ele mentiu;

4. Se Pedro gosta de pimenta, ento ele falante. Portanto a) Se Pedro no falante, ento ele no gosta de pimenta; b) Se Pedro falante ento ele gosta de pimenta; c) Se Pedro falante ento ele no gosta de pimenta; d) Se Pedro no gosta de pimenta ento ele no falante; e) Se Pedro gosta de pimenta, ento ele no falante;

5. (CESGRANRIO) Considere verdadeira a declarao: Se algum brasileiro, ento no desiste nunca. Com base na declarao, correto concluir que: a) Se algum desiste, ento no brasileiro. b) Se algum no desiste nunca, ento no brasileiro. c) Se algum no desiste nunca, ento no brasileiro. d) Se algum no brasileiro, ento desiste. e) Se algum no brasileiro, ento no desiste nunca.

6. (CESGRANRIO/2007) Considere verdadeira a afirmao Se uma figura plana for um quadrado, ento ser um retngulo. Com base nessa afirmao, correto afirmar que, se uma figura plana: a) no for um quadrado, ento no ser um retngulo b) no for um quadrado, ento ser um retngulo c) no for um retngulo, ento no ser um quadrado d) no for um retngulo, ento ser um quadrado e )for um retngulo, ento ser um quadrado

GABARITO 1) C 2) C 3) A 4) A 5) A 6) C


No confundir INVERSA com NEGAO.

Observe: Na porta de uma sala h um cartaz:

Se mulher ento entra na sala

Voc, homem, entraria na sala?

E, se houvesse este outro cartaz?

Se mulher ento entra na sala Se no mulher ento no entra na sala

Voc, homem, entraria na sala?

O segundo cartaz entrou em contradio com o primeiro cartaz?

Exerccio

A negao da afirmao condicional se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva :

a) Se no estiver chovendo eu levo o guarda-chuva; b) No est chovendo e eu levo o guarda-chuva; c) No est chovendo e eu no levo o guarda-chuva; d) Se estiver chovendo eu no levo o guarda-chuva; e) Est chovendo e eu no levo o guarda-chuva;

gabarito E


NEGAO DA CONDICIONAL

Negar uma condicional no cumprir o prometido.

Ocorre p e a promessa no cumprida

NEGAO DA NEGAO DA CONDICIONAL

A negao de p ~ q ~p v q

EQUIVALNCIAS LGICAS

pq ~q~p ~(p ~q) ~pvq

CONDICIONAL CONTRAPOSITIVA NEGAO DA NEGAO

AFIRMAO CONDICIONAL

p q

equivale a contrapositiva

~q~p

AFIRMAO

p q

NEGAO

p ~q

NEGAO

p ~q

equivale

~(pq)

NEGAO DA NEGAO

~p v q

~[~(pq)]

~(p ~q)


1.(CESPE/UNB) Uma expresso da forma (A B) uma proposio que tem exatamente as mesmas valoraes V ou F da proposio A B. Certo ou errado?

2.(NCE/UFRJ) Sabendo que o smbolo denota negao e que o smbolo denota o conector lgico ou, a frmula A B , que lida como se A ento B, pode ser escrita como: a) A B b) A B c) A B d) A B e) ( A B )

3.(Agente Fiscal de Rendas FCC) Se p e q so proposies, ento a proposio p ~q equivalente a

a) ~(p~q) b) ~(pq) c) ~q~p d) ~(q ~p) e) ~(pvq)

A tabela-verdade abaixo refere-se questo 4

4. Julgue com Certo ou Errado: A proposio simbolizada por (A B) (B A) possui uma nica valorao F

5. (CESPE) Julgue com Certo ou Errado: Uma proposio da forma (p q) v ( r s) tem exatamente 8 possveis valoraes V ou F.

6. Julgue com Certo ou Errado: Existem exatamente 8 combinaes de valoraes das proposies simples. A, B e C para as quais a proposio composta (A B) ( C) pode ser avaliada, assumindo valorao V ou F.

7.(GEFAZ/MG/2005) A afirmao No verdade que, se Pedro est em Roma, ento Paulo est em Paris logicamente equivalente afirmao: a) verdade que Pedro est em Roma e Paulo est em Paris. b) No verdade que Pedro est em Roma ou Paulo no est em Paris. c) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo no est em Paris. d) No verdade que Pedro no est em Roma ou Paulo est em Paris. e) verdade que Pedro est em Roma ou Paulo est em Paris.

A B AB BA (AB)(BA) V V V F F V F F

GABARITOGABARITOGABARITOGABARITO 1) CERTO 2) B 3) B 4) CERTO 5) ERRADO 6) CERTO 7) D


RESUMO

Vimos que uma condicional existe antes da confirmao do evento que desencadeia posteriormente o cumprimento da promessa.

Antecedente conseqente Desencadeia

Porm este fato ativador do cumprimento da promessa poder ocorrer ou no. Veja:

Se chover; eu guardo o carro Se no chover; coloco as roupas no varal

evidente que ou chove, ou no chove. Mas, no ambos.

Portanto, observe o quadro-resumo; Considerando que a condicional verdadeira.

Na condicional p q

Antecedente conseqente

1 Ocorre p Com certeza ocorre q 2 No ocorre p ou ocorre (~p) q poder ocorrer ou no 3 Ocorre q p pode ter ocorrido ou no 4 No ocorre q, ou ocorre

(~q) Com certeza no ocorre p

EXERCCIO:

Se Gacho ento Brasileiro

1 Est confirmado que Gacho

2 Est confirmado que no Gacho

3 Sabe-se que com certeza Brasileiro

4 Sabe-se com certeza que no Brasileiro


1. (CESPE) Julgue com certo ou errado. correto o raciocnio dado pela sequncia de proposies seguintes: Se Clia tiver um bom currculo, ento ela conseguir um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Clia tem um bom currculo.

2. (CESPE/BB) Julgue com certo ou errado: Considere que as afirmativas: Se Mara acertou na loteria ento ela ficou rica Mara no acertou na loteria sejam ambas proposies verdadeiras. Podemos garantir que a proposio ela no ficou rica tambm verdadeira.

3. Julgue com certo ou errado: correto o raciocnio lgico dado pela sequncia de proposies seguintes: Se Antnio for bonito ou Maria for alta, ento Jos ser aprovado no concurso. Maria alta. Portanto, Jos ser aprovado no concurso.

4. Se raposo esperto ou galinho no ave ento o boi est na linha. Ora, o boi no est na linha. Portanto A) raposo no esperto e galinho ave B) raposo esperto e galinho no ave C) raposo no esperto e galinho no ave D) raposo esperto e galinho ave E) raposo pode ser esperto

5. Considere a proposio composta p q R R verdadeira. Portanto A) P verdadeira B) Q verdadeira C) P Q verdadeira D) P falsa ou Q falsa E) P pode ser falsa e Q pode ser verdadeira

6. ( ANCINE/2009- UFF ) Ivo cearense ou Andr paulista. Se Vitor mineiro, ento Ivo cearense. Ocorre que Andr no paulista. Logo: A) Ivo no cearense B) Vitor no mineiro C) Andr paulista D) No se pode ter certeza se Ivo cearense E) No se pode ter certeza se Vitor mineiro

7. ( UFF/2009) De acordo com as regras do clculo proposicional e com as equivelncias lgicas, das frases apresentadas abaixo a nica que pode ser considerada uma negao de Se como comida gordurosa, ento passo mal : A) como comida gordurosa e passo mal B) No como comida gordurosa e no passo mal C) Se no como comida gordurosa, no passo mal D) Como comida gordurosa e no passo mal E) Se no passo mal, ento como comida gordurosa


8. ( UFF/2009) Utilizando as propriedades das proposies e tambm as equivalncias lgicas, podemos dizer que, das proposies apresentadas abaixo, a nica que equivalente proposio Se corro bastante ento fico exausto : A) No corro bastante ou fico exausto B) Se no corro bastante, ento no fico exausto C) Se no fico exausto, corro bastante D) Se no corro bastante, fico exausto E) corro bastante e no fico exausto

9) (ESAF/AFC-96) Se Beto briga com Glria , ento Glria vai ao cinema. Se Glria vai ao cinema, ento Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, ento Raul briga com Carla. Ora, Raul no briga com Carla. Logo: a) Carla no fica em casa e Beto no briga com Glria. b) Carla fica em casa e Glria vai ao cinema c) Carla no fica em casa e Glria vai ao cinema d) Glria vai ao cinema e Beto briga com Glria e) Glria no vai ao cinema e Beto briga com Glria

10) Se o Santos ganha do Milan, o Benfica ganha do Flamengo. Se o Benfica ganha do Flamengo, o Palmeiras no perde para o Barcelona. Se o Palmeiras no perde para o Barcelona, o Cruzeiro empata com o Atltico. Se o Cruzeiro empata com o Atltico, o Grmio joga com o Inter. Ora, o Grmio no joga com o Inter, ento podemos afirmar: a) O Palmeiras empata com o Barcelona b) O Cruzeiro ganha do Atltico e o Palmeiras ganha do Barcelona c) O Atltico ganha do Cruzeiro d) O Palmeiras perde para o Barcelona e o Atltico ganha do Cruzeiro e) O Cruzeiro pode ter ganho do Atltico

11) (ESAF) Jos quer ir ao cinema assistir o filme Fogo contra Fogo. Mas no tem certeza se o mesmo est sendo exibido. Seus amigos Maria, Lus e Jlio tem opinies discordantes sobre se o filme est ou no em cartaz. Se Maria estiver certa ento Jlio est enganado. Se Jlio estiver enganado, ento Lus est enganado. Se Lus estiver enganado , ento o filme no est sendo exibido. Ora, ou o filme Fogo contra Fogo est sendo exibido, ou Jos no ir ao cinema. Verificou-se que Maria est certa. Logo: a) O filme Fogo contra Fogo est sendo exibido b) Luis e Jlio no esto enganados c) Jlio est enganado, mas no Lus d) Lus est enganado mas no Jlio e) Jos no ir ao cinema

12) (ESAF) Se o jardim no florido, ento o gato mia. Se o jardim florido, ento o passarinho no canta.Ora, o passarinho canta. Logo: a) O jardim florido e o gato mia b) O jardim florido e o gato no mia c) O jardim no florido e o gato mia d) O jardim no florido e o gato no mia e) Se o passarinho canta, ento o gato no mia

13) Se o jardim no florido, ento o gato mia. Se o jardim florido, ento o passarinho no canta. Ora, o passarinho no canta. Logo: a) O jardim florido e o gato no mia b) O jardim florido e o gato mia c) O jardim no florido e o gato mia d) O jardim no florido e o gato no mia e) Sei l.


14) Se o jardim no florido, ento o gato mia. Se o jardim florido, ento o passarinho no canta. Ora, o passarinho no canta e o jardim florido. Portanto, o gato: a) mia b) no mia c) assobia d) canta e) pode cacarejar

15) ( ESAF/AFC-96 ) Se Carlos mais velho do que Pedro, ento Maria e Jlia tm a mesma idade. Se Maria e Jlia tm a mesma idade, ento Joo mais moo do que Pedro. Se Joo mais moo do que Pedro, ento Carlos mais velho do que Maria. Ora, Carlos no mais velho do que Maria. Ento, a) Carlos no mais velho do que Jlia, e Joo mais moo do que Pedro b) Carlos mais velho do que Pedro, e Maria e Jlia tm a mesma idade c) Carlos e Joo so mais moos do que Pedro d) Carlos mais velho do que Pedro, e Joo mais moo do que Pedro e) Carlos no mais velho do que Pedro, e Maria e Jlia no tem a mesma idade

GABARITO 1) ERRADO 2) ERRADO 3) CERTO 4) A 5) E 6)E 7) D 8)A 9) A 10) E 11) E 12) C 13) E 14) E 15) E


CONDICIONAL E DIAGRAMAS LGICOS

SE GACHO ENTO BRASILEIRO Se A ento B

BR B

RS A

TODO GACHO BRASILEIRO TODO A B

ALGUM BRASILEIRO GACHO Algum B A

SOMENTE OS BRASILEIROS SO GACHOS Somente B A

SE NO BRASILEIRO ENTO NO Se ~B ento ~A GACHO

GACHO SOMENTE SE BRASILEIRO A somente se B

1. (CESGRANRIO) Considere verdadeira a declarao abaixo. Todo ser humano vaidoso Com base nessa declarao, correto concluir que: a) se vaidoso , ento no humano b) se vaidoso, ento humano c) se no vaidoso, ento no humano d) se no vaidoso, ento humano e) se no humano, ento no vaidoso

2. Considere a declarao SOMENTE OS BANDIDOS SO CORRUPTOS Logo: a) se bandido ento corrupto b) h corruptos que no so bandidos c) se corrupto ento bandido d) se no corrupto ento no bandido e) todo bandido corrupto

3. Somente os mentirosos so demagogos. Portanto: a)todo mentiroso demagogo b)se no mentiroso ento no demagogo c)Existem demagogos que no so mentirosos d) se mentiroso ento demagogo e) Nenhum demagogo mentiroso

GABARITO 1) C 2) C 3) B


CONDIES DE NECESSIDADE E SUFICINCIA

SE FALO ENTO ESTOU VIVO

Falar suficiente para estar vivo. Mas no necessrio falar para estar vivo.

Por outro lado

Estar vivo necessrio para falar. Mas no suficiente estar vivo para falar.

P Q

SUFICIENTE NECESSRIO

SE P ENTO Q Suficiente Necessrio

RESUMO

SE MICHELE NO TRABALHA ENTO JLIO NO COME

CONCLUSES

1. Michele no trabalhar condio SUFICIENTE para jlio no comer 2. Jlio no comer condio NECESSRIA para Michele no trabalhar

Mas podemos fazer a contrapositiva

SE JLIO COME ENTO MICHELE TRABALHA

3. Jlio comer condio SUFICIENTE para Michele trabalhar 4. Michele trabalhar condio NECESSRIA para Jlio comer


1. (ESAF) Se Marcos no estuda, Joo no passeia. Logo: a)Marcos estudar condio necessria para Joo no passear b) Marcos estudar condio suficiente para Joo passear c)Marcos no estudar condio necessria para Joo no passear d) Marcos no estudar condio suficiente para Joo passear E) Marcos estudar condio necessria para Joo passear

2. Somente os filsofos so bons maridos. Ento:

a) todo filsofo bom marido b) ser filsofo condio suficiente para ser bom marido c) se filsofo ento bom marido d) se no bom marido ento no filsofo e) ser bom marido condio suficiente para saber que filsofo

3. SOMENTE QUEM SOFREU SABE PERDOAR. Logo:

a) perdoar condio necessria para ter sofrido b) ter sofrido condio suficiente para perdoar c) ter sofrido condio necessria para perdoar d) Todos os que sofreram sabem perdoar e) Nem todos os que perdoam j sofreram

4. (CESPE-MPE/TO2006) Julgue com Certo ou Errado: A proposio P : Ser honesto condio necessria para um cidado ser admitido no servio pblico corretamente simbolizada na forma A B , em que A representa ser honesto e B representa para um cidado ser admitido no servio pblico.

5. (Analista de controle de ordens) O rei ir caa condio necessria para o duque sair do castelo, e condio suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa condio necessria e suficiente para o baro sorrir e condio necessria para a duquesa ir ao jardim. O baro no sorriu, logo: A) A duquesa foi ao jardim e o conde encontrou a princesa. B) Se o duque no saiu do castelo, ento o conde encontrou a princesa. C) O rei foi caa e a duquesa no foi ao jardim. D) O duque saiu do castelo e o rei no foi caa E) O rei no foi a caa e o duque no saiu do castelo


6. (MPU/2004) Sabe-se que Joo estar feliz condio necessria para Maria sorrir e condio suficiente para Daniela abraar Paulo. Sabe-se, tambm, que Daniela abraar Paulo condio necessria e suficiente para Sandra abraar Srgio. Assim, quando Sandra no abraa Srgio,

A) Joo esta feliz, e Maria no sorri, e Daniela abraa Paulo. B) Joo no esta feliz, e Maria sorri, e Daniela no abraa Paulo. C) Joo esta feliz, e Maria sorri, e Daniela no abraa Paulo. D) Joo no esta feliz, e Maria no sorri, e Daniela no abraa Paulo. E) Joo no esta feliz, e Maria sorri, e Daniela abraa Paulo.

7. A B C D F E

A) Se ocorre A, ento B) Se ocorre B, ento C) Se no ocorre D, ento

8. F H A B C D G E I

A) No ocorre H, logo B) Ocorre A, logo C) No ocorre C, logo

9. (FCC) O manual de garantia de qualidade de um empresa diz que, se um cliente faz uma reclamao formal, ento aberto um processo interno e o departamento de qualidade acionado. De acordo com essa afirmao, correto concluir que:

A) A existncia de uma reclamao formal de um cliente uma condio necessria para que o departamento de qualidade seja acionado. B))A existncia de uma reclamao formal de um cliente uma condio suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado. C) A abertura de um processo interno uma condio necessria e suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado. D) Se um processo interno foi aberto, ento um cliente fez uma reclamao formal. E) No existindo qualquer reclamao formal feita por um cliente, nenhum processo interno poder ser aberto.


10)(ESAF) Sabe-se que a ocorrncia de B condio necessria para a ocorrncia de C e condio suficiente para a ocorrncia de D. Sabe-se tambm, que a ocorrncia de D condio necessria e suficiente para a ocorrncia de A. Assim quando C ocorre, a) D ocorre e B no ocorre b) D no ocorre ou A ocorre c) B e A ocorrem d) Nem B nem D ocorrem e) B no ocorre ou A no ocorre

11. Se voc se esforar, ento ir vencer. Assim sendo: A) seu esforo condio suficiente para vencer B) seu esforo condio necessria para vencer C) se voc no se esforar, ento no vencer D) voc vencer s se se esforar E) mesmo que se esforce, voc no vencer

12.(CESGRANRIO/2007) Considere verdadeira a proposio Marcela joga vlei ou Rodrigo joga basquete. Para que essa proposio passe a ser falsa: a) suficiente que Marcela deixe de jogar vlei b) suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete c) necessrio que Marcela passe a jogar basquete d) necessrio , mas no suficiente , que Rodrigo deixe de jogar basquete. e) necessrio que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vlei

GABARITOGABARITOGABARITOGABARITO 1) E 2) E 3) C 4) E 5) E 6) D 7) A) ocorre B, C, D. B) ocorre C, D. C) no ocorre nada

8) A) no ocorre B,A,F,G,I,C,E; e D pode ocorrer ou no. B) ocorre B, C, D e H. C) no ocorre E, B, G, I, A, F, mas D e H podero ocorrer ou no.

9) B 10) C 11) D


BICONDICIONAL BICONDICIONAL BICONDICIONAL BICONDICIONAL

SMBOLO qp

ESTRUTURA p SE, E SOMENTE SE q .

Exemplo:

O tringulo eqiltero, se , e somente se, o tringulo possui 3 ngulos congruentes.

Isto significa que verdade que:

SE O TRINGULO EQUILTERO, ENTO ELE POSSUI 3 NGULOS CONGRUENTES.

E

SE O TRINGULO POSSUI TRS NGULOS CONGRUENTES ENTO ELE EQUILTERO

SEMPRE QUE A RECIPROCA DE UMA AFIRMAO CONDICIONAL FOR VERDADEIRA ESTAREMOS DIANTE DE UMA BICONDICIONAL.

Assim, se for afirmado que:

Se VACA ento VOA. E tambm for afirmado que: Se VOA ento VACA.

Podemos com certeza concluir :

VACA SE, E SOMENTE SE VOA

Ou tambm

VOA SE, E SOMENTE SE VACA


RESUMO

p q equivalente a pq BA

equivalente a AB

Assim, se dissermos:

vegetal se, e somente se, vermelho poderemos dizer com certeza que se vegetal ento vermelho.

p q qp pq

Uma bi condicional

entre duas preposies

p e q

A afirmao condicional dessas

duas proposies e sua recproca so

verdadeiras

Se a informao for apenas

Se vegetal ento vermelho

NO PODEREI AFIRMAR QUE A RECPROCA VERDADEIRA E NEM DIZER:

vegetal, se e somente se, vermelho

Nesse caso, a nica concluso que poderamos tirar a CONTRAPOSITIVA:

Se no vermelho, ento no vegetal

Equivale a dizer que


Da frase

vegetal, se, e somente se, vermelho

Tambm podemos concluir que

Se vermelho, ento vegetal

TABELA-VERDADE

P Q P Q V V V V F F F V F F F V

CASAL CMPLICE

Condio suficiente Condio necessria e necessria e suficiente

CONCLUSES

Dada uma BICONCIONAL do tipo

VACA, SE E SOMENTE SE, VOA

podemos concluir:

1. Se voa, ento vaca. 2. Se vaca ento voa.

com suas contrapositivas

3. Se no vaca, ento no voa. 4. Se no voa, ento no vaca.

p q


Podemos dizer ainda:

Ser vaca NECESSRIO E SUFICIENTE para voar.

Voar NECESSRIO E SUFICIENTE para ser vaca.

E podemos afirmar tambm de forma particular:

1. Voar necessrio para ser vaca 2. Voar suficiente para ser vaca. 3. Ser vaca necessrio para voar. 4. Ser vaca suficiente para voar.

ATENO: COMO REGRA, PODEMOS VIR DO GERAL PARA O PARTICULAR. MAS NO PODEMOS IR DO PARTICULAR PARA O GERAL.

Ou seja:

Se sabemos que ser vaca necessrio e suficiente para voar podemos afirmar que verdade que ser vaca necessrio para voar.

Mas se soubermos apenas que ser vaca necessrio para voar a nica coisa que podemos concluir que voar suficiente para ser vaca.

SE VOA ento VACA suficiente necessria

Lembre tambm que:

Se vaca, ento voa significa que TODA VACA VOA .

VOA

VACA


Se voa ento vaca significa dizer que TUDO QUE VOA VACA

VACA

VOA

Mas vaca, se e somente se, voa significa que

TODA VACA VOA E TUDO QUE VOA VACA.

VOA

VACA


1. Considere as frases: Se vive na gua ento borboleta Se borboleta ento vive na gua. Podemos afirmar: a) borboleta se, e somente se, no vive na gua. b) Vive na gua se, e somente se, no borboleta. c) Ser borboleta necessrio para no viver na gua. d) Ser borboleta necessrio e suficiente para viver na gua. e) Se borboleta ento no vive na gua.

2. Joga futebol se e somente se brasileiro. Logo: a) Pode haver ingleses que jogam futebol. b) Com certeza h jogadores de futebol no brasileiros. c) Pode haver brasileiro que no joga futebol. d) Se joga futebol ento brasileiro. e) Jogar futebol suficiente para ser brasileiro mas no necessrio ser brasileiro para jogar futebol.

3. A cigarra cantar necessrio e suficiente para a formiga trabalhar. Portanto: a) A formiga trabalha se, e somente se, a cigarra no canta. b) Se a formiga trabalha, ento a cigarra no canta. c) Se a cigarra canta ento a formiga no trabalha. d) Se a cigarra no canta ento a formiga no trabalha. e) A cigarra canta se, e somente se, a formiga no trabalha.

4. Se gacho ento anda a cavalo. Se anda a cavalo ento gacho. Portanto FALSO que: a) Ser gacho necessrio o suficiente para andar a cavalo. b) Anda a cavalo se, e somente se, gacho. c) No ser gacho necessrio e suficiente para no andar a cavalo. d) No gacho se, e somente se, no anda a cavalo. e) Anda a cavalo e no gacho.

5. Julgue com CERTO ou ERRADO: Helena vive com Pedro se, e somente se o passarinho canta. Ora, o passarinho no canta. Nesse caso correto afirmar que possvel que Helena viva com Pedro.

6. alagoano se, e somente se, be

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COMPLEMENTAÇÃO – Matemática e Raciocínio Lógico.pdf