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8/17/2019 Conjuntos B.pdf

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Matemática y Lógica

Ingeniero Julio Núñez Cheng 1

II UNIDAD

Conjuntos, Relaciones Binarias yFunciones


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ESQUEMA VISUAL DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

ConceptoDeterminación deconjuntosTipos deconjuntosOperaciones conconjuntosProblemas deconjuntos Autoevaluación

Concepto deRelacionesbinarias Distancia entreDos puntosPendiente dela rectaGráfica deDe funciones

Autoevaluación

Relacionesbinarias yFunciones

Conjuntos

Conjuntos,Relacionesbinarias yFunciones


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Objetivos y Tiempo de Estudio

Unidad de Aprendizaje

ObjetivoEspecífico

Temas Ejes ObjetivosOperacionales

Tiempode

estudio

Conjuntos,Relaciones

binarias yFunciones

Resolverejercicios y

problemasutilizandoconjuntosofunciones.

1 Conjuntos.

2 Relacionesbinarias.

3 Funciones.

1 Resolver ejerciciosy prob lemasaplicandooperaciones entreconjuntos.

2 Determinar eldominio y rango deuna relación binaria.

3. Calcular lapendiente y distanciaentre dos puntos.

4 Determinar eldominio y rango deuna función, así

como graficar unafunción en el planocartesiano.

3

semanas


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INTRODUCCIÓN

El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemática,incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrarimplícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras yaplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de losconjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas másclaras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobrela Teoría de conjuntos.

En relaciones binarias y funciones estudiamos las principales funciones,para lo cual se usa el método gráfico que incluyen la localización depuntos en el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas en unplano por medio dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejescoordenados, que se cortan en el origen O. La recta horizontal recibe elnombre de “eje x” y la vertical el de “eje y”; se indican con X e Yrespectivamente

En esta unidad se estudian los conjuntos con soluciones de ejercicios yproblemas tipos, así como una autoevaluación que debe ser desarrolladopor el estudiante.

Comprende asimismo el estudio del dominio y rango de las relacionesbinarias y de las funciones, determinación de la distancia y pendiente entre dos puntos, graficar las principales funciones.

Es importante mencionar que el estudiante debe resolver los ejerciciospropuestos en las autoevaluaciones comparando con las solucionesdadas, así como los ejercicios propuestos en cada tema dentro de loscontenidos, con la finalidad de enriquecer el aprendizaje.


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CONJUNTOS

Es uno de los temas más fáciles de entender debido a su simplicidad y a

la disponibilidad de aplicaciones para la ilustración de la teoría.

Elemento y Conjunto

En Matemática hay incontables casos donde los conceptos de “ elemento”

y “ conjuntos de elementos” tienen un papel decisivo.

Todo principiante está familiarizado con el conjunto de los números

enteros, el conjunto de triángulos, el conjunto de líneas perpendiculares a

un plano dado y el conjunto de puntos sobre una línea.

En cualquier materia de Matemática hay ciertos términos tan básicos que

es imposible definirlos. En geometría plana, los términos punto y línea no

se definen, aunque se alienta al estudiante para formarse una noción

intuit iva del significado de estas palabras.

Conjunto

Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos de

conjuntos.

Ejemplos: A = {a, e, i , o, u}

B = {matemática, lenguaje, inglés}

C = {x/x es un número real}

¡Ud. Proponga tres ejemplos de conjuntos!

Es la Colección de cualquier tipo de objetos consideradacomo un TODO.

El desarrollo es enteramente intui tivo, pues las demost raciones dadas

están basadas en conceptos intui tivos más que en axiomas formales.


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Diagramas de Venn

Determinación de Conjuntos:

Los conjuntos pueden determinarse por extensión y comprensión.

Por Extensión

Cuando se nombra uno a uno sus elementosPor Comprensión

Cuando se establece una propiedad que cumplen todos sus elementos

Ejemplo: Indicar la determinación por extensión o comprensión de los

conjuntos:

A = {a, e, i, o, u} B = {matemát ica, lenguaje, inglés}

C = {x/x es un número real} D = {0, 1, 2, 3}

E = {x/x es un alumno de la Uladech} F = {x/x es un Dpto. del Perú}

CLASES DE CONJUNTOS

Finito

Ejemplo:

A = {x/x es un día de la semana}

B = {1, 2, 3, 4}

Infinito

Son curvas simples cerradas, las cuales encierran los elementos de unconjunto.

“ Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos” .

Cuando el conjunto tiene un determinado número de elementos.

Cuando t iene una cantidad ilimitado de elementos y cuyo últ imoelemento no se uede señalar.

¿Recuerda Ud. estos conceptos de determinación?


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CONJUNTOS NUMÉRICOS

Son los números naturales, los números enteros, los números racionales,

los números i rracionales, los números reales y los números complejos.

Conjuntos de Números Naturales

N = { 1, 2, 3, 4, . . . . . . ., n }

Conjuntos de Números Enteros

Z = {. . . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . . .}

Cuando se desea designar a los enteros posit ivos o negativos, se designa

por:+ = { 1, 2, 3, 4, . . . . . .} - = { . . . . , - 5, - 4, -3, - 2, - 1}

Conjuntos de los Números Racionales

Q = {x/ax + b = 0 a, b Z} o bien

Q = { - b/a .... - 1, - 1/2, 0, 1/2, 1, b/a}

Todo número racional puede también ser representado mediante una

expresión decimal exacto o periódico .

Ejemplo:

1

2

3

4

2

3

“ Es el conjunto denotado por N y cuyos elementos son empleadosara realizar las o eraciones de contar” .

“ Es una extensión del conjunto de los números naturales,se denota por ” .

Es el conjunto que se denota por Q y que es la soluc ión de la ecuaciónax + b = 0, donde a y b son enteros, con a 0.


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Conjuntos de los Números Irracionales

I = { -, -5, 3, 2, , 7 }

Conjunto de los Números Reales

R = { . . . , -

, -

5, -1/2, 0, 3/2,

,

7, . . . . . }Conjunto de los Números Complejos

C = { a + b i/ a, b R, i = -1 }

Ejemplo:5 + 3i , 6 – 2i , 10 + 7i

Es conveniente introducir los nombres de los dos conjuntos especiales

que serán importantes en toda aplicación.

Conjunto Universal

El conjunto universal se designará con el símbolo 1.- Debe notarse que

todo conjunto es sub conjunto del conjunto universal.

El segundo conjunto especial, llamado conjunto vacío.

Conjunto Vacío

Por Definición, el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto .

Es el conjunto que se denota por I y está formado por los números queno son racionales, es decir, aquellos que no pueden expresarse en la

forma b/a.

Es el conjunto que se denota por R y está formado por los conjuntosQ – I.

Es el conjunto que se denota por C y cuyos elementos son de la formaa + b i, donde: a, b R, i = -1

Es el conjunto que se denota por U y que contiene a todos los conjuntosque podemos mencionar.

Es el conjunto sin elementos, se denota por la letra griega

(Phi).


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Conjunto Unitario

Ejemplo: A = {x/x vocales de la palabra vals}

B = {x/x capital del Perú}

C = {x/x números impares entre 6 y 8}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Diferencia de Conjuntos

Se Denota: A – B

A – B = {x /x A x B}

Complemento de un Conjunto

El caso particular del complemento de A respecto del universal U, sedenota por:

Es el que cont iene uno y sólo un elemento.

La diferencia de dos conjuntos A y B, se define como el conjunto detodos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B.

Dados los conjuntos A y B, tal que A es un subconjunto de B, se define elcomplemento de A respecto a B, a la diferencia de B – A.

CA = A = AC

Un ejercicio sencillo de demostrar: Usar la definición de complemento de

un conjunto para demostrar que:

(X

)

= X Para cualquier conjunto X

Después de haber revisado los fundamentos y clasificación de losconjuntos, ahora se revisarán las operaciones y prob lemas de

conjuntos.


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Demostración:

Sea el Conjunto: X

Por Definic ión de Complemento de X

X

= U – X Ahora el Complemento del Complemento de X será

(X) = U - X Reemplazando

(X) = U – (U – X) = U – U + X

(X) = X L. Q. Q. D.

También se puede usar los diagramas de Venn para realizar está

demostración. ¡DEMUESTRELO!

Unión

Se denota: A B

Intersección

Se denota: A B

Diferencia Simétrica

Se denota: A Δ B = A – B B – A

Resolución de Problemas con Conjuntos

a. De 30 alumnos se obtuvo la siguiente información: 12 de ellos practicanel voley, 20 practican el fútbol y 14 practican básquet; además 8 practicanvoley y básquet, 9 practican fútbol y básquet, 7 practican fútbol y voley y5 practican los 3 deportes. ¿Cuántos alumnos no practican ningúndeporte?

A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 7

Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto alconjunto A como al conjunto B.

Se define como el conjunto de los elementos que son comunes a A y B.

Dado los conjuntos A y B, se define la diferencia simétrica y se simbolizapor A Δ B, al conjunto:


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En el cuadro se han colocado los datos:

Considerando que como 5 practican los tres deportes se ha colocado:3, como d iferencia de 8 que practican voley y basket.2, como diferencia de 7 que practican fútbol y voley.4, como d iferencia de 9 que practican fútbol y basket.

Los que practican solo voley será: 12 - (3+5+2) = 2Los que practican solo fútbol será: 20 - (2+5+4) = 9Los que practican solo Basket será: 14 - (3+5+4) = 2

Entonces los que practican un solo deporte será: 2 + 9 + 2 = 13

Los que no practican ningún deporte será:30-(3 + 5 + 2 + 4 +13) = 30- 27 = 3

b. En una competencia participaron 42 atletas, siendo los resultados: 4conquistaron medallas de oro, plata y bronce; 6 de oro y plata, 8 de plata ybronce y 7 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas conquistaron al menos dosmedallas?

A) 10 B ) 11 C ) 12 D) 25 E) 13

42

4

Oro

Bronce

2

43

Plata

30

Voley: 12Fútbol

20

Basket 14

4

2


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Por un procedimiento simi lar al anterior prob lema:4, representa la intersección, es decir el número de atletas queconsiguieron las tres medallas de oro, plata y bronce.¿Cómo sale 2, 3, y 4 por diferencia con la intersección 4, pues :

6, conquistaron medallas de oro y plata.8, conquistaron medallas de plata y bronce.7, de oro y bronce.

¿La pregunta cuántos conquistaron al menos dos medallas?

Será la suma de: 3 + 4 + 2 + 4 = 13

En este caso se considera, la intersección, pues no limita a que puedanser mas de dos.

Una aclaración y si la pregunta hubiera sido:

¿Cuántos conquistaron solo dos medallas?

La respuesta sería: 3 + 2 + 4 = 9 sin considerar la intersección

c. De los 600 bañistas se supo que 250 iban a la playa, 220 iban a lapiscina, 100 iban a la playa y a la piscina, ¿Cuántos no iban a la playa ni ala piscina?

A) 2 30 B) 240 C) 250 D) 210 E) 190

Del cuadro se aprecia que:

600Playa: 250 Piscina: 220

100150

120


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1. De 120 alumnos se obtuvo lo siguiente: 45 aprobaron lenguaje, 46

inglés y 38 matemática; además 7 aprobaron lenguaje e inglés, 8 inglés y

matemática, 10 matemática y lenguaje y 4 aprobaron las 3 asignaturas.

¿Cuántos no aprobaron ninguna asignatura? ¿Cuántos aprobaron solo

dos asignaturas?

A) 12 y 15 B) 13 y 14 C) 12 y 13 D) 12 y 12

2 . De un grupo de turistas: 26 visitaron Ancash, 8 visitaron solo elCuzco y 2 visitaron solo Cajamarca. Además 13 visitaron Ancash yCuzco, 20 visitaron Cuzco y Cajamarca, 16 visitaron Ancash yCajamarca y 6 visitaron las 3 ciudades. ¿Cuántos visitaron solo Ancash?

A) 3 B ) 2 C) 8 D) 4 E) 5

3. De un grupo de 65 alumnos: 30 prefieren lenguaje, 40 prefierenMatemática y 5 prefieren otros cursos ¿Cuántos prefieren Matemática yLenguaje?

A) 12 B) 5 C) 15 D) 10 E) 8

4. De una encuesta a 50 estudiantes: de los cuales 20 practican solofútbol, 12 practican fútbol y básquet y 10 no practican ninguno de estosdeportes ¿Cuántos practican básquet?

A) 8 B) 12 C) 32 D) 18 E) 20

5. En un fundo hay 93 agricul tores que cult ivan uvas y plátanos, 55cultivan uvas, 10 cultivan uvas y plátanos ¿Cuántos agricultores cul tivansolo una de las dos frutas?

A) 58 B) 72 C) 83 D) 60 E) 45

6. En una encuesta a 500 amas de casa sobre el consumo de pol lo ypescado, se obtuvo que: 100 no consumen ninguno de estos productos,250 no consumen pollo, 300 no consumen pescado ¿Cuántos consumenpescado y pollo?

A) 18 B) 22 C) 32 D) 50 E) 40

AUTOEVALUACIÓN


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7. 150 alumnos salen al recreo, 45 bebieron Inka kola, 30 bebieronCoca Cola y 10 bebieron ambas bebidas ¿Cuántos alumnos bebieron so louna de estas bebidas?

A) 23 B) 28 C) 32 D) 40 E) 55

8. De 60 alumnos se obtuvo la siguiente información: 30 de ellospractican el voley, 37 practican el fútbol y 25 practican básquet; además12 practican voley y básquet, 15 practican fútbol y básquet, 20 practicanfútbo l y voley. Además 8 practican los 3 deportes. ¿Cuántos alumnos nopractican ningún deporte?

A) 8 B) 7 C) 5 D) 6 E) 4

1. Clave C2. Clave A3. Clave D

4. Clave A5. Clave C6. Clave D7. Clave E8. Clave B

Julio Núñez ChengCelular 943803233

Rpm: Numeral 609208 junuche@hotmai l.com

SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN

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