controle de caos em uma treliça de mises com memória de forma

CONTROLE DE CAOS EM UMA TRELIÇA DE MISES COM MEMÓRIA DE

FORMA

Augusto Luiz Cheffer de Melo

Projeto de Graduação apresentado ao

Curso de Engenharia Mecânica da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio

de Janeiro como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de

Engenheiro.

Orientador: Marcelo Amorim Savi

Rio de Janeiro

Agosto de 2015

i

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ


FORMA


PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

________________________________________________

Prof. Marcelo Amorim Savi

________________________________________________ Prof. Anna Carla Monteiro de Araujo

________________________________________________ Prof. Thiago Gamboa Ritto

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL.

AGOSTO DE 2015

ii

Cheffer de Melo, Augusto Luiz

Controle de caos em uma treliça de Mises com memória de forma. / Augusto Luiz Cheffer de Melo. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2015.

VII, 41 p.: il.; 29,7 cm.


Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Mecânica, 2015.

Referencias Bibliográficas: p. 42-43.

1. Controle de caos. I. Savi, Marcelo Amorim. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III. Controle de caos em uma treliça de Mises com memória de forma.

iii

Para Luciana e Ana Lúcia .

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço à minha família, principalmente à minha mãe Luciana e minha

tia Ana Lucia, por cuidarem de mim todos esses anos e por darem

oportunidades que tornaram possíveis todas as minhas conquistas.

Agradeço a todos os professores que contribuíram com minha formação,

desde o ensino fundamental até a universidade. Ao professor de física Jorge

Dias, por despertar meu interesse pela área de exatas, o que me incentivou a

ser engenheiro. Ao professor Antonio Carlos dos Santos, pelo aprendizado

durante a iniciação científica sob sua orientação no LACAM – IF/UFRJ. E

principalmente ao professor Marcelo Savi, pela orientação na realização deste

trabalho e pela oportunidade oferecida de realizar o programa de pós-

graduação sob sua orientação.

Por fim, a todos os amigos que conquistei desde a entrada na

universidade. Aos grandes amigos Alberto, Gabriel, Philippe, Raphael, Ribas e

Ricardo, pelo companheirismo ao longo do curso, e principalmente pelas

conversas de boteco. Aos companheiros de estágio, em especial a Jean

Frazzoli, por compartilhar seus conhecimentos sobre o universo e pelos

valiosos conselhos.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.


FORMA


Agosto/2015


Curso: Engenharia Mecânica

A modelagem não linear surge como uma abordagem mais realista da

natureza. O comportamento caótico é uma das possíveis respostas da rica dinâmica

dos sistemas não lineares. O caos tem como características marcantes a sensibilidade

a condições iniciais e a existência de inúmeras orbitas periódicas instáveis (OPIs). O

controle de caos se baseia na aplicação de pequenas perturbações de modo a

estabilizar OPIs desejadas, o que permite projetar dispositivos mais eficientes, com

economia de energia e respostas mais rápidas. Este trabalho apresenta a análise de

uma treliça de duas barras conhecida como treliça de Mises. Como não linearidade

adicional, as barras são de liga memória de forma. Por meio de simulações numéricas

aplica-se um forçamento de modo a provocar uma resposta caótica. O objetivo do

trabalho é controlar a treliça usando o método de realimentação defasada no tempo

(time-delayed feedback – TDF). Dois parâmetros de controle são tratados: momento e

temperatura. A análise do controle por temperatura leva em consideração aspectos

associados à transferência de calor, projetando três controladores: ideal, calculado

pelo TDF ;efeito Joule e convecção natural; e efeito Peltier. Os resultados mostram

que esses controladores são eficazes no controle da resposta caótica da treliça,

indicando o potencial para controle de caos através de perturbações na dinâmica do

sistema.

Palavras-chave: Controle de caos, Sistemas não lineares, Simulações numéricas.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Mechanical Engineer.

CAOS CONTROL OF A SHAPE MEMORY ALLOY VON MISES TRUSS


Agosto/2015

Advisor: Marcelo Amorim Savi

Course: Mechanical Engineering

The nonlinear modeling surges as more realistic approach of nature. Chaotic behavior

is a possible response of rich dynamics of nonlinear systems. Chaos has remarkable

characteristics as sensibility to initial conditions and existence of infinity of unstable

periodic orbits (UPOs). Chaos control is based on application of small perturbations in

order to stabilize desired UPOs, enabling to project more efficient devices, with energy

saving and faster responses. This work presents an analysis of a two-bar truss known

as Mises Truss. As an additional nonlinearity, bars are made of memory shape alloy.

By means of numerical simulations, an excitation is applied on way to induce chaotic

response. The objective is truss control using Time-delayed feedback (TDF) method.

Two control parameters are treated: moment and temperature. Control analysis by

temperature considers aspects related to heat transfer, projecting three controllers:

ideal, calculated by TDF; Joule effect and natural convection; and Peltier effect. The

results show that these controllers are effectives on truss chaotic response control,

indicating potencial of using perturbations on dynamic systems for chaos control.

Keywords: Chaos control, nonlinear systems, numerical simulations.

vii

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1

1.1 Organização do Trabalho .......................................................................................... 3

2 TRELIÇA DE MISES .................................. ........................................................... 4

2.1 Modelagem do sistema.............................................................................................. 5

2.2 Caos ............................................................................................................................. 8

2.2.1 Condições de existência do caos..................................................................... 9

2.2.2 Características da resposta caótica............................................................... 10

2.3 Simulações Numéricas ............................................................................................ 10

2.4 Identificação das OPIs ............................................................................................. 13

3 CONTROLE DE CAOS .................................. ..................................................... 16

3.1 Método de Controle .................................................................................................. 16

3.2 Treliça controlada por momento aplicado............................................................. 17

4 TRELIÇA CONTROLADA POR TEMPERATURA ................ .............................. 22

4.1 Temperatura calculada pelo TDF .......................................................................... 23

4.2 Modelo de aquecimento/resfriamento transiente ............................................... 25

4.2.1 Efeito Joule e resfriamento natural ................................................................ 27

4.2.2 Efeito Peltier ...................................................................................................... 30

4.3 Controle considerando efeito Joule e resfriamento natural .............................. 33

4.4 Controle por efeito Peltier ...................................................................................... 36

5 CONCLUSÕES ................................................................................................... 40

6 REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS ........................ ............................................ 42

1

1 INTRODUÇÃO

Desde a revolução científica no século XVIII, cientistas e engenheiros se

deparam com flutuações e desvios dos comportamentos previstos pelos modelos

lineares. A estes comportamentos não esperados foram dados nomes como acaso,

turbulência ou caos. Na engenharia utilizam-se procedimentos como normas, fatores

de segurança ou fórmulas empíricas de modo a corrigir tais modelos. Devido ao

sucesso da mecânica linear em varias áreas do conhecimento, a linearização da

realidade enraizou-se no pensamento cientifico.

A natureza é não linear em essência [1] e toda a variedade de formas,

estruturas e ritmos existentes se deve às flutuações e instabilidades. Dada a

dificuldade de se tratar problemas não lineares, sua análise foi historicamente evitada.

Porém os modelos ou técnicas não lineares fazem uma abordagem mais efetiva da

realidade, trazendo uma melhor compreensão dos diversos sistemas naturais

(mecânicos, biológicos, elétricos, sociais, econômicos, dentre outros). Os modelos

lineares tem como característica essencial que pequenas causas estão

necessariamente ligadas a pequenos efeitos. O comportamento não linear é o oposto

disso.

O comportamento caótico é uma das possibilidades dentre a grande variedade

de respostas existentes na dinâmica de um sistema não linear. Uma de suas principais

características é a sensibilidade às condições iniciais, que implica em pequenas

perturbações poderem causar grandes efeitos na evolução do sistema. Outra

característica de uma resposta caótica é a existência de uma infinidade de orbitas

periódicas instáveis (OPIs), responsável por criar uma estrutura muito rica. OPIs são

órbitas fechadas no espaço de estados que apresentam pelo menos uma direção de

instabilidade [2]. Explorar essas características de uma resposta caótica pode ser de

grande interesse para a engenharia, tornando possível o projeto de dispositivos e

2

mecanismos de controle mais eficientes, criando sistemas que tenham reações

rápidas a determinadas perturbações, garantindo-lhe flexibilidade.

Um exemplo da aplicabilidade do controle de caos foi a manobra realizada com

a sonda espacial ISEE-3 para exploração do cometa Halley durante sua última

passagem próximo à Terra. A ideia era posicionar o satélite na cauda do cometa e,

para executar a tarefa, se demandava uma grande quantidade de combustível para

direcionar a sonda ao corpo celeste usando procedimentos clássicos de transferência

de órbita, quantidade essa que não estava disponível. Decidiu-se então estabilização

em órbitas instáveis do sistema sonda-Terra-Lua. Como resultado, a sonda percorreu

a trajetória esquematizada na figura 1-1, e além de explorar o cometa Halley,

conseguiu se aproximar e explorar o cometa Giacobini-Zinner, sem gastar todo o

combustível [3].

Figura 1-1 – Representação da trajetória complexa que conduziu a sonda ISEE-3 de sua posição original até às proximidades dos cometas Giacobini-Zinner e Halley (retirado e modificado de [3]).

A motivação deste trabalho é buscar soluções para controle de vibrações e

instabilidades em estruturas que apresentam não linearidades, relacionadas a

respostas caóticas e flambagem. Considera-se uma estrutura clássica no estudo de

3

instabilidades elásticas conhecida como treliça de Mises. Contudo, este trabalho

considera uma não-linearidade constitutiva adicional, tratando uma treliça composta

por barras com memória de forma. As ligas com memória de forma possuem

singulares propriedades termomecânicas relacionadas a transformações de fase.

Possuem diversas aplicações [4] e, em especial, vale destacar aquelas associadas ao

controle de vibrações [5].

Estudos anteriores mostram a efetividade no controle de caos deste arranjo por

meio de perturbações externas como forças [6] e deslocamentos [7]. O presente

trabalho contribui com um estudo da aplicação da temperatura como parâmetro de

controle, visto que essa tem forte influência sobre a dinâmica do sistema. Objetiva-se

projetar controladores considerando os efeitos da transferência de calor através da

modelagem do aquecimento/resfriamento transiente relacionado aos seguintes

fenômenos: efeito Joule, convecção e efeito Peltier.

Deve-se ressaltar que este trabalho é de caráter exploratório, visto que não se

utiliza de todo o rigor científico da área de Controle. Os resultados mostrados são

colocados como soluções de Engenharia para casos específicos.

1.1 Organização do Trabalho

Este trabalho é dividido em 5 capítulos. Neste primeiro dedica-se a introduzir o

assunto, destacando as motivações e objetivos do trabalho.

No segundo capítulo é feita uma revisão da teoria não linear, bem como a

modelagem do sistema estudado. Descreve-se o método numérico utilizado, também

apresentando respostas periódica e caótica, e aplica-se um método de identificação de

orbitas periódicas instáveis imersas no atrator caótico.

O capítulo 3 apresenta alguns métodos de controle de caos, dos quais um é

escolhido para o estudo aqui desenvolvido – o Time-delayed feedback (TDF). Tal

4

método é implementado, utilizando-se a aplicação de momento como parâmetro de

controle.

No capitulo 4 é proposta a utilização da temperatura como parâmetro de

controle. São desenvolvidos três tipos de controlador: o caso ideal, em que a variação

de temperatura é calculada pelo TDF; considerando efeito Joule e convecção natural;

e por efeito Peltier. Por fim são apresentados os respectivos resultados e comparados

com as órbitas identificadas.

O capítulo 5 trata das conclusões sobre o desenvolvimento e contribuições do

trabalho, discussões sobre os resultados e propostas de trabalhos futuros.

2 TRELIÇA DE MISES

A treliça de duas barras, conhecida como Treliça de Mises, é um arranjo

amplamente usado para análise de estabilidade de estruturas armadas e fenômenos

relacionados à flambagem, como mostrado na figura 2-1. Sendo f o ângulo das

barras com a horizontal e P a carga aplicada.

Figura 2-1 - Treliça de Mises

A dinâmica não linear desta estrutura simples apresenta vários

comportamentos complexos como o snap-through [8], caracterizado por um salto

5

repentino de deslocamento quando aplicada uma carga crítica. A figura 2-2 ilustra tal

situação.

Figura 2-2 - Snap-through em uma treliça de Mises

2.1 Modelagem do sistema

Considere uma treliça composta por duas barras de massa desprezível e uma

massa m concentrada na junção pinada entre as barras, como mostrado na figura 2-3.

Figura 2-3 – Esquema do sistema analisado (Treliça de Mises)

Sejam as barras de mesmo comprimento L, feitas com liga de memória de

forma, temos um sistema com 1 grau de liberdade descrito pela coordenada X que

mede o deslocamento vertical da massa m. B é a projeção de L na horizontal. Um

atuador é responsável pelo forçamento P senoidal da forma . São

6

escolhidos os valores de L = 1m e f = 30°, assim a posição de equilíbrio inicial é X =

0.5m.

A figura 2-4 mostra o diagrama de corpo livre da massa m, em que F é a força

de tração exercida por cada barra. Foi considerado um termo de dissipação de modo a

representar a histerese existente no ciclo de carregamento representado por .

Figura 2-4 – Diagrama de corpo livre da massa m

Assim, podemos escrever a seguinte equação de equilíbrio do sistema:

2 (2.1)

A cinemática da deformação das barras, sujeitas apenas a esforços

longitudinais de tração e compressão, é descrita por:

∆

(2.2)

O uso das ligas com memória de forma (Shape Memory Alloys – SMAs) traz

uma não linearidade adicional ao sistema. As SMAs apresentam um comportamento

termomecânico complexo relacionado a transformações de fases sólidas.

Basicamente, SMAs possuem duas fases: austenita e martensita. A fase austenítica é

estável a altas temperaturas em um estado livre de tensões. A martensita é estável a

baixas temperaturas, também com um estado livre de tensões.

7

Porém, a fase martensítica possui variantes induzidas por campos de tensões.

Assim, o comportamento termomecânico das SMAs pode ser entendido pelo

comportamento macroscópico das fases, sendo elas: a fase austenitica A; a fase

martensitica induzida por temperatura (twinned) M; e as fases martensíticas induzidas

por tensões (detwinned) de tração M+, e de compressão, M- [7].

O comportamento termomecânico das SMAs possui duas características

típicas: memória de forma e pseudoelasticidade. O efeito de memória de forma é

caracterizado por corpos que aparentemente sofreram deformações plásticas

conseguem retornar à sua configuração original após um tratamento térmico adequado

[9-13]. O comportamento pseudoelástico é um fenômeno em que ocorre total

recuperação da deformação acompanhada por uma grande histerese no ciclo de

carregamento [14].

A descrição do comportamento termomecânico das SMAs é feita através de

equações constitutivas. Neste trabalho utiliza-se o modelo polinomial para representar

o comportamento das barras. Trata-se de um modelo simples que não considera a

histerese, descrevendo contudo o comportamento qualitativo geral das SMAs [15].

Desta forma, a equação constitutiva é escrita como se segue.

! !" (2.3)

onde a1, a2 e a3 são constantes do material; T é a temperatura; TM é a temperatura

abaixo da qual a fase martensítica é estável e TA é a temperatura acima da qual a

austenita é estável. Os valores típicos desses parâmetros são mostrados na tabela 2-

1.

Tabela 2-1 – Propriedades do material [15]

a1[MPa/K] a2[MPa] a3[MPa] TM[K] TA[K]

523.29 1.868x107 2.186x109 288 364.3

8

Combinando as equações (2.1), (2.2) e (2.3) e fazendo as devidas

manipulações algébricas, chega-se à seguinte equação da dinâmica do sistema:

2#

$ %& 3 5!) & !)$ * &3 10!) 1

$ * & 10!) 1

$ * 5!

$! * ! !$- * .

em que A é a área transversal e L0 é o comprimento inicial das barras.

Essa equação pode ser expressa em sua forma canônica, considerando a definição

das variáveis de estado, / e / , onde / e / . Com isso:

/ /

/ / 2#

$ / %& 3 5!)

& !)$/ *

&3 10!) 1$ / * & 10!) 1

$ / *

5!$! / * ! !

$- / * .

2.2 Caos

O caos está associado à imprevisibilidade e à sensibilidade às condições

iniciais. Tal imprevisibilidade não está relacionada à aleatoriedade. Deve-se enfatizar

(2.4)

9

que o comportamento caótico é de natureza determinística, ou seja, toda dinâmica é

conhecida dadas as condições iniciais, porém a existência de erros na determinação

dessas condições, como arredondamentos, erros de integração numérica ou de

medição, torna impossível a determinação dos estados futuros de maneira

aproximada.

2.2.1 Condições de existência do caos

Vários sistemas dinâmicos são passiveis de exibir um comportamento caótico,

desde que satisfeitas algumas condições, sendo essas: a existência de não

linearidades, possuir pelo menos três dimensões e a existência de transformações do

tipo Ferradura de Smale.

A sequência de transformações conhecidas como Ferradura de Smale

promove expansão, contração e dobra em direções distintas. A título de ilustração

geométrica, seja um sistema tridimensional, sujeito à ação da função f, cuja projeção é

feita no plano da página, sendo a terceira dimensão (tempo) perpendicular a esta.

Considerando um quadrado unitário no espaço de estados, a figura 2-5 mostra as

deformações ocasionadas por f [16].

Figura 2-5 - Ação da função f sobre um quadrado unitário

10

2.2.2 Características da resposta caótica

A resposta caótica é composta por uma infinidade de orbitas periódicas

instáveis (OPIs), como consequência da estrutura gerada pelas transformações do tipo

expansão-contração-dobra. Outra característica ligada a essas transformações é que

não importa o quão próximos estejam dois estados em uma vizinhança, após um

número finito de transformações, estes estarão separados por uma distancia finita [17],

garantindo a propriedade de sensibilidade às condições iniciais.

Uma característica importante é a existência de um atrator de dimensão

fracionária ou fractal [18], muitas vezes denominado atrator estranho. Isso se deve à

formação de vazios no espaço de estados inerentes à Ferradura de Smale.

2.3 Simulações Numéricas

Um procedimento numérico é adotado para lidar com as não linearidades da

equação de movimento. Considera-se o método de Runge-Kutta de 4ª ordem para a

resolução do sistema de equações diferenciais. Os valores dos parâmetros utilizados

no método estão na tabela 2-2. A programação foi feita no software Matlab.

Tabela 2-2 – Valores dos parâmetros entrada do método numérico

Parâmetro Valor

Posição inicial – x1(0) [m] 0.49

Velocidade inicial – x2(0) [m/s] 0.0

Temperatura – T [K] 300

Comprimento inicial – L0 [m] 1

Área transversal – A [mm2] 0.01

Massa – m [kg] 50

Coeficiente de amortecimento – c [kg/s] 20

11

Para um forçamento de amplitude P0 = 20N e frequência 201 é obtida a

resposta periódica mostrada na figura 2-6. Desconsiderando o regime transiente, é

construído o espaço de estados apresentado na figura 2-7. Nota-se a formação de

uma curva fechada, caracterizando uma órbita periódica.

Figura 2-6 – História temporal do deslocamento, X.

Figura 2-7 – Espaço de Estados

12

As figuras 2-8 e 2-9 mostram a evolução da posição no tempo e o espaço de

estados, respectivamente, para um forçamento de amplitude P0 = 100N e frequência

501. É importante observar a falta de periodicidade no deslocamento e o

preenchimento do espaço de estados pela existência de inúmeras órbitas não

periódicas, sendo estes indícios da existência de caos.

Figura 2-8 – História temporal do deslocamento, X

Figura 2-9 – Espaço de Estados

13

A seção de Poincaré é composta pelos estados 23 4 5 , discretizados por um

período de referência, que nesse caso é a frequência de forçamento. A figura 2-10

apresenta uma seção de Poincaré mostrando um atrator estranho, que corresponde à

dinâmica caótica, para 5000 períodos de forçamento, superposto ao espaço de

estados.

Figura 2-10 – Atrator estranho superposto ao Espaço de Estados

2.4 Identificação das OPIs

A ideia básica do controle de caos é identificar órbitas periódicas instáveis

imersas no atrator caótico e depois estabilizá-las. Essa abordagem consome pouca

energia para manter o sistema em uma órbita escolhida.

Neste trabalho, considera-se o método dos vizinhos próximos [2] que é

baseado na comparação de uma série temporal do sistema, ou seja, os vetores

compostos pelo espaço de estados 6237389 , 23 4 5 , da seguinte forma:

23 23:; < =

14

onde r1 é uma tolerância arbitrada para a comparação e k é a ordem do período da

orbita identificada. Caso a condição acima seja satisfeita, significa que o sistema

retorna para o mesmo estado xi (dentro da tolerância r1) após k períodos, ou seja, é

identificada uma órbita de período k.

Caso uma órbita seja visitada mais de uma vez, é necessária uma verificação

dentre as orbitas de mesmo período se elas podem ser consideradas idênticas. Utiliza-

se uma tolerância r2 que mede a distância entre as órbitas, e caso sejam consideradas

equivalentes é tomada a média aritmética dos pontos das órbitas como uma

aproximação da real.

Uma busca das órbitas órbitas no atrator caótico da treliça utilizando r1 = 0.05 e

r2 = 0.08 identifica seis órbitas instáveis: período-1 (3 diferentes), período-3 (2

diferentes) e período-7. A figura 2-11 mostra 3 órbitas identificadas de período-1, duas

em torno de pontos de equilíbrio com coordenadas negativas e uma para

deslocamentos positivos. Na figura 2-12 são mostradas duas órbitas de periodicidade

3, sendo uma para deslocamentos positivos e outra para negativos. Na figura 2-13 é

apresentada uma órbita de período-7 imersa no atrator caótico.

Figura 2-11 – Órbitas de período-1

15

Figura 2-12 – Órbitas de período-3

Figura 2-13 – Órbita de período-7

16

3 CONTROLE DE CAOS

A resposta caótica apresenta como características marcantes a sensibilidade a

pequenas ações e a existência de uma infinidade de OPIs imersas no atrator. Essas

propriedades podem ser exploradas no desenvolvimento de sistemas dinâmicos

capazes de responder com rapidez e atuar em uma faixa maior de possibilidades,

oferecendo assim operações flexíveis.

O princípio do controle de caos é, através de pequenas perturbações, explorar

a estrutura composta por OPIs, estabilizando-as de modo a executar um

comportamento desejado para a aplicação em questão. Basicamente, os métodos de

controle são classificados em contínuos e discretos. O método discreto OGY, proposto

por Ott [19], introduziu a ideia básica de controle de caos. Pyragas introduziu o método

contínuo baseado em perturbações continuas relacionadas a estados defasados [20].

De Paula & Savi (2011) apresentam uma análise comparativa das principais técnicas

de controle de caos [21].

3.1 Método de Controle

Das inúmeras possibilidades para estabelecer o controle de caos, os métodos

contínuos são interessantes em diversas situações. O método de controle conhecido

como Time-delayed feedback (TDF), proposto por Pyragas [20] e baseado em

perturbações contínuas no tempo em um sistema dinâmico modelado por um sistema

de equações diferenciais ordinárias não-lineares da forma:

/ >/, /

/ /, / , /, /

17

onde / e / são variáveis de estado, >/, / e /, / descrevem a

dinâmica do sistema e , /, / está relacionado à ação de controle.

O método considera perturbações de controle avaliadas a partir da diferença

entre o estado atual e um estado defasado:

, /, / @/ A /

onde K é o ganho do controlador, / A / B e B é a defasagem de tempo entre

os estados.

O método TDF apresenta bons resultados, confirmados numérica e

experimentalmente, para diferentes sistemas incluindo dispositivos mecânicos [22,23],

osciladores eletrônicos [24,25] e lasers [26].

A escolha de K depende da análise dos expoentes de Lyapunov da órbita em

que se deseja estabilizar o sistema. O valor apropriado de K é aquele que torna

negativo o maior expoente de Lyapunov, significando que as OPIs escolhidas

tornaram-se estáveis [27]. Porém, neste trabalho o ajuste do ganho é feito através de

uma varredura para encontrar valores de K que provoquem respostas próximas às

OPIs identificadas.

3.2 Treliça controlada por momento aplicado

Considere a aplicação do controle de caos na treliça de von Mises com

memória de forma, onde a perturbação de controle é feita por intermédio um momento

conforme mostrado figura 3-1.

18

Figura 3-1 – Esquema da estrutura utilizando a aplicação de momento como controlador.

Considera-se que o momento M pode ser substituído por uma força vertical de

módulo C aplicada no ponto onde a força externa é aplicada. A figura 3-2 mostra o

diagrama de forças atuantes.

Figura 3-2 – Diagrama de forças atuantes.

Desta forma, a equação de movimento da treliça controlada a partir do TDF é

expressa da seguinte forma:

/ /

/ / 2#

$ / %& 3 5!)

& !)$/ *

&3 10!) 1$ / * & 10!) 1

$ / *

5!$! / * ! !

$- / * . D

*

19

E o termo de controle é da seguinte forma:

D @/ A /

onde K é o ganho do controlador, / A / B e B é a diferença de fase entre os

estados. É considerado que B é o passo de tempo usado na solução do Runge-Kutta

de 4ª ordem, ou seja, D 1 @&/ / 1) a cada iteração.

O método numérico de Runge-Kutta de 4ª ordem é utilizado para realizar as

simulações numéricas. Como o termo de controle é dependente de estados anteriores,

a simulação é iniciada e após um tempo o controle é acionado, de modo a satisfazer a

necessidade de informações sobre estados precedentes. Neste caso o início do

controle ocorre em t = 10s.

Considere então o controle da treliça utilizando um ganho K = 0.34. Nessas

condições é obtida a resposta mostrada na figura 3-3. Observa-se que a resposta

controlada possui características que tendem às da órbita de período-7 imersa no

atrator caótico e identificada anteriormente. A figura 3-4 mostra a comparação da

resposta do sistema controlado e a órbita instável de período-7.

Figura 3-3 – Resposta do sistema para um ganho do controlador K = 0.34

20

Figura 3-4 – Comparação da resposta com controle com a órbita identificada de período-7.

Na figura 3-5 temos o momento aplicado pelo controlador em função do tempo. È

possível notar que a amplitude do momento é pequena, da ordem de 10-2 N m, quando

comparada ao momento correspondente à carga critica de snap-through. A carga crítica é

dada por E !√!

GHI !, em que E é o modulo de Young e I o momento de inércia da

seção. Assim temos E 9.09 L, logo DE E $ 9.09L .

Figura 3-5 – Momento aplicado pelo controlador

21

Agora, para um ganho K = 0.096, é obtida a resposta apresentada na figura 3-6.

Tal resposta se aproxima da região no espaço de estados ocupada pela orbita

identificada de período 3 para valores negativos de /. Fato esse comprovado pela

comparação mostrada na figura 3-7.

Figura 3-6 – Resposta do sistema para um ganho do controlador K = 0.096

Figura 3-7 – Comparação da resposta com controle com a órbita identificada de período-3

O momento aplicado pelo controlador é mostrado na figura 3-8. É conseguida uma

amplitude ainda menor (10-3) neste caso, apoiado pelo uso de um ganho menor.

22

Figura 3-8 – Momento aplicado pelo controlador

Assim, conclui-se que o método de controle cumpriu sua proposta de manter o

sistema em órbitas pertencentes à dinâmica do sistema e demandando pouca energia,

confirmado pela pequena amplitude de momento aplicado.

4 TRELIÇA CONTROLADA POR TEMPERATURA

Neste capítulo o controle é realizado considerando a temperatura como

parâmetro de controle. A temperatura tem forte influência no comportamento

constitutivo da SMA, e consequentemente, na dinâmica do sistema. Note que a

equação do movimento possui o termo explícito da temperatura,

/ /

/ / 2#

$ / %& 3 5!)

& !)$/ *

&3 10!) 1$ / * & 10!) 1

$ / *

5!$! / * ! !

$- / * .

23

Contudo, é importante destacar a dificuldade da variação da temperatura

devido a fenômenos associados à transferência de calor. A frequência do controlador

é limitada por essas questões e sua eficácia está diretamente relacionada a isso.

Utilizam-se modelos simplificados para o regime transiente de modo a investigar

quantitativa e qualitativamente o comportamento de controladores possíveis de

possível utilização.

Supõe-se que a temperatura nas barras é uniforme e, portanto,

desconsideram-se aspectos relacionados à condução de calor.

4.1 Temperatura calculada pelo TDF

Inicialmente considera-se uma situação ideal de temperatura calculada pelo

método TDF, sendo esta variação contínua no tempo. Isso significa que a variação de

temperatura pode ser rápida o suficiente o que, provavelmente, não é

experimentalmente viável. Nessas condições, o termo de controle é da seguinte forma:

@/ A /

onde é utilizado o valor para a temperatura ambiente T0 = 280K.

Para um ganho K = 910 e iniciando o controle em t = 10s, obteve-se a resposta

mostrada na figura 4-1. A resposta controlada apresenta comportamento aproximado

da órbita de periodicidade 3 identificada para deslocamentos positivos. A figura 4-2

mostra a comparação do espaço de estados obtido com tal órbita de período-3.

24

Figura 4-1 – Resposta do sistema para um ganho K = 910.


A figura 4-3 mostra a variação de temperatura ao longo do tempo. Pode-se

observar que em determinados instantes ocorrem grandes amplitudes de temperatura,

da ordem de 102 K, e destaca-se a alta frequência de variação, demonstrando ser

experimentalmente inviável. Isto se deve ao elevado valor do ganho (K = 910).

25

Figura 4-3 – Temperatura, calculada pelo método TDF, em função do tempo.

Neste caso, é necessário um ganho elevado do controlador para manter o

sistema nesta região do espaço de estados e, provavelmente, essas órbitas não

pertencem à dinâmica do sistema.

4.2 Modelo de aquecimento/resfriamento transiente

A fim de descrever o comportamento transiente da temperatura das barras pela

ação de um controlador real, utiliza-se o método dos parâmetros concentrados [28].

Este método é baseado na suposição de que a temperatura do sólido é espacialmente

uniforme, ou seja, o gradiente de temperatura é nulo. A validade do método está

garantida caso a seguinte condição seja satisfeita:

* M $EN O 0.1

onde Bi é o número de Biot, h é o coeficiente de convecção, LC é o comprimento

característico e k é a condutividade térmica. Para cilindro longo, LC = r/2. Tal condição

pode ser interpretada como se a resistência à condução no interior do solido fosse

pequena comparada à transferência de calor entre o sólido e o ambiente.

26

Desprezando o gradiente de temperatura, a formulação do problema para o

interior do solido não é possível. Por isso, a solução transiente da temperatura é obtida

pela formulação do balanço global de energia no solido. Este balanço relaciona a taxa

de perda de calor pela superfície com a taxa de variação da energia interna, da

seguinte forma:

PQRS P3TS (4.1)

onde PQRS é o fluxo de energia através da superfície da barra e P3TS UV , sendo U é

a massa especifica do material, V o volume e é o calor especifico.

Dados os parâmetros de construção das barras, comprimento L = 1m e área

transversal AT = 0.01m2, são calculados os valores da tabela 4-1. A tabela 4-2 contem

valores das propriedades do material. Para a convecção natural com gás, é dado que

coeficiente de convecção h[W/m K] = 2~25, adota-se então h = 25 W/m K [28].

Tabela 4-1 – Parâmetros do sólido (barra)

Parâmetro Valor

Raio – r[mm] 0.056

Área da superfície lateral – AL[mm2] 354

Volume – V[mm3] 10

Tabela 4-2 – Propriedades do Níquel-Titânio @ 300K

Propriedade Valor

Massa especifica – W[kg/m3] 6450

Calor especifico – c[J/kg.K] 490

Condutividade térmica – k[W/m.K] 8.6

27

Com os valores acima, encontra-se Bi = 3,27 x 10-5, verificando assim a

validade do método dos parâmetros concentrados para a treliça.

4.2.1 Efeito Joule e resfriamento natural

Um possível controlador consiste na utilização do efeito Joule para

aquecimento e convecção natural com o ar ambiente para resfriamento. O efeito Joule

consiste na dissipação de energia na forma de calor devido à passagem de corrente i

por uma resistência R, da forma PX3YY 5 .

As transformações de fase martensítica são processos em que ocorre variação

de entalpia, podendo ser endo ou exotérmicas. Para baixas frequências de

carregamento, existe tempo suficiente para dissipação desta energia através da

convecção, provocando variações desprezíveis na temperatura. Porém para altas

frequências de carregamento, este termo provoca aumento de temperatura, pois a

convecção não é suficiente para dissipar tal contribuição. Adota-se a hipótese que a

retirada de calor das barras é rápida o suficiente podendo-se desprezar as parcelas de

variação de energia devido às transformações de fase no balanço de energia.

Considera-se que as barras da treliça possuem seção transversal circular e

estão sujeitas a transferência de calor somente na superfície lateral. O efeito Joule se

dá pela passagem de corrente pelas barras, cuja resistência é 5 Z I , onde Z é a

resistividade do material dada por Z 8 \ 10]Ω ; L é o comprimento e A é a área

da seção transversal [29]. Através da área lateral AL das barras ocorre convecção. A

figura 4-4 mostra o balanço de energia das barras.

28

Figura 4-4 – Seção transversal da barra mostrando o fluxo de energia pela superfície lateral

Utilizando a equação (4.1) chega-se ao seguinte problema de valor inicial (PVI),

onde e são as temperaturas do gás ambiente e inicial das barras,

respectivamente:

UV M#EQTa& ) PX3YY

cuja condição inicial é:

0

Seguem as definições de alguns parâmetros importantes para a solução do

problema:

b (4.2)

c IdefghiE c Ij

hiE (4.3)

> GklmmUV n3ohiE (4.4)

Assim, o PVI torna-se:

b b >

com a seguinte condição inicial:

b0 b

29

Temos como solução analítica:

b pqSb rstuvq (4.5)

Da eq.(4.2), temos que a temperatura das barras em função do tempo é dada

por:

pqS& ) rstuvq (4.6)

Durante a passagem de corrente na resistência (aquecimento) a temperatura

das barras é dada pela eq.(4.6). Porém, se a corrente é interrompida, o último termo

torna-se nulo, pois se i = 0, Q = 0; então a temperatura passa a diminuir

exponencialmente, agora com sendo a temperatura no momento em que corrente é

interrompida.

Arbitrando-se valores de corrente de 50A e 300@, a fim de

demonstração do comportamento da temperatura, e com os valores das tabelas 4-1 e

4-2, são obtidos m = 0.280 e Q = 6.32. A figura 4-4 mostra a evolução da temperatura

no tempo, com interrupção da passagem de corrente em t = 10s.

Figura 4-5 – Gráfico do aquecimento por efeito Joule e resfriamento por convecção

30

4.2.2 Efeito Peltier

O efeito Peltier é observado ao se passar corrente elétrica por uma junção

metálica ocorrendo liberação e absorção de energia na forma de calor em regiões

distintas desta, gerando assim uma temperatura alta TH e uma temperatura baixa TL

em suas extremidades. Pode ser usado para arrefecimento ou aquecimento apenas se

alterando o sentido da corrente, como esquematizado na figura 4-6.

Figura 4-6 – Efeito Peltier numa junção de acordo com o sentido da corrente

O calor produzido ou absorvido q é relacionado com a corrente i da seguinte

forma:

w xyz (4.7)

onde xyz é o coeficiente de Peltier, seu valor é dado em V e depende do material da

junção ab.

Utiliza-se o conceito de uma camisa isolante constituída por módulos Peltier

envolvendo as barras, desprezando a convecção. Um material muito utilizado na

construção desses módulos é uma liga de bismuto-telúrio Bi2Te3 cujo coeficiente de

Peltier vale 0.072V à temperatura ambiente. A figura 4-7 mostra o fluxo de energia

pela superfície lateral das barras.

31

Figura 4-7 – Seção transversal da barra mostrando o fluxo de energia pela superfície lateral

Utilizando a hipótese que a absorção de calor por efeito Peltier é

suficientemente rápida no sentido de desprezar os termos variação de energia devido

às transformações de fase.

Da eq. (4.1), o seguinte problema de valor inicial pode ser escrito:

UV w #

com a condição inicial:

0

Utilizando as equações (4.2), (4.3) e fazendo > | 3hiE , neste caso m = 0, pois

#EQTa 0, o sistema torna-se:

b >

b0 b

A solução analítica é a seguinte:

b b > (4.8)

Então:

32

> (4.9)

Observa-se que a eq.(4.9) é uma função linear da temperatura com o tempo.

Durante o aquecimento, a partir de , temos um coeficiente angular positivo Q para

uma corrente arbitrada num sentido positivo e no resfriamento o coeficiente é –Q para

a mesma corrente no sentido oposto, e passa a ser a temperatura no inicio do

resfriamento.

Para a mesma corrente de 50A usada anteriormente, temos Q = 5695.3, a

figura 4-8 mostra a variação da temperatura no tempo para o aquecimento iniciado em

t = 0s seguido de um resfriamento em t = 1.25s.

Figura 4-8 – Gráfico do aquecimento e resfriamento por efeito Peltier

A figura 4-9 mostra uma comparação entre os controladores desenvolvidos

nesta e na subseção anterior. É possível notar que para a mesma intensidade de

corrente, se consegue variações de maiores amplitude e velocidade com o efeito

Peltier.

33

Figura 4-9 - Comparação entre os controladores

4.3 Controle considerando efeito Joule e resfriame nto natural

Nesta seção e na próxima são aplicados os modelos de temperatura

desenvolvidos anteriormente para corrigir a temperatura de controle calculada pelo

TDF. Busca-se uma temperatura de controle corrigida ~bE, onde g é uma função

que representa as limitações relativas aos fenômenos de transferência de calor e bE é

a temperatura calculada pelo TDF. Porém, observa-se que bE apresenta variação com

frequência de 1.25 Hz, inviável de ser compatibilizada com os modelos propostos.

Como uma solução, assume-se a imposição de corrente, com frequência e intensidade

escolhidas de modo a se obter variações de temperatura que cruzem TM = 288K,

podendo assim tirar proveito das transformações de fase do material para controle.

Novamente utiliza-se o Runge-Kutta de 4ª ordem para obtenção da solução

numérica. Iniciando pelo regime sujeito a aquecimento por efeito Joule e resfriamento

por convecção natural, por tentativa-erro-acerto, aplica-se a variação de corrente em

função do tempo mostrada na figura 4-10.

34

Figura 4-10 – Variação de corrente no tempo

O controle é iniciado em t = 19s, com variações periódicas de 24s, sendo 18s

com corrente de 50A e 6s com corrente nula. A figura 4-11 mostra a evolução da

temperatura no tempo para este controlador. Assume-se a temperatura inicial das

barras igual à temperatura ambiente de 280K.

Figura 4-11 – Evolução da temperatura no tempo

Na figura 4-12 temos a resposta do sistema, à esquerda é mostrada a posição

em função do tempo e à direita o espaço de estados. Pode-se notar que a resposta do

35

sistema estabilizou-se tendendo a uma orbita de período-3. Na figura 4-13 é feita uma

comparação do espaço de estados com a órbita identificada de período-3.

Figura 4-12 – Resposta do sistema para controle por efeito Joule e convecção.


Observa-se que em relação ao primeiro controle proposto (TDF) este se mostra

mais eficiente energeticamente, pois com menor variação de temperatura (ordem de

10K), e consequentemente, menor consumo de energia.

36

4.4 Controle por efeito Peltier

Partindo das mesmas considerações da seção anterior para a faixa desejada

de variação de temperatura, agora para o controle por efeito Peltier, inicia-se o

controle em t = 19 s, com variações periódicas de 3s, sendo 1.5s com corrente de 10A

e 1.5s com corrente de -10A, mostrado na figura 4-14. A variação da temperatura no

tempo é mostrada na figura 4-15.



37

A resposta do sistema é mostrada na figura 4-16, sendo à esquerda a posição

em função do tempo e à direita o espaço de estados. Observa-se uma proximidade da

resposta com uma orbita de período-7. Na figura 3-17 é feita uma comparação do

espaço de estados com a órbita identificada de período-7.

Figura 4-16 – Resposta do sistema para controle por efeito Peltier.


38

Alterando os parâmetros do controlador, partindo o controle em t = 20s, para

períodos de 1.5s, sendo 0.75s com corrente de 10A e 0.5s com corrente de -10A,

como mostrado na figura 4-18. A figura 4-19 mostra a variação da temperatura no

tempo.



39

Na figura 4-20 é mostrada a resposta do sistema. Pode-se também observar,

como mostrado na figura 4-21, uma tendência ao comportamento de uma orbita de

período-3.

Figura 4-20 – Resposta do sistema para controle por efeito Peltier.


Assim como o controlador por efeito Joule e convecção, o controle por efeito

Peltier apresenta resultados razoáveis para pequenos gastos energéticos, justificada

pela pequena variação de temperatura.

40

5 CONCLUSÕES

Este trabalho discute o controle de caos em uma treliça de von Mises com

memória de forma. Utilizou-se um método de controle de caos baseado no uso de

perturbações externas contínuas – TDF. Dois parâmetros de controle foram

empregados: momento e temperatura.

Pode-se dizer que o método foi empregado com sucesso para a proposta de

controle por aplicação de momento, tendo em vista que estudos sobre a efetividade da

aplicação de parâmetros de controle dessa natureza estão bem estabelecidos.

Com relação à temperatura, consideram-se diferentes situações: controle ideal;

efeito Joule e convecção natural; e efeito Peltier. Desenvolveu-se, através do método

dos parâmetros concentrados, a modelagem das respostas de cada controlador para o

sinal de entrada (corrente). Como uma análise quantitativa dos resultados, temos para

o caso ideal uma variação da temperatura é da ordem de 1,25 Hz; com a utilização do

efeito Joule e convecção natural observa-se uma frequência de 0,042Hz; e por meio

do efeito Peltier é conseguida uma frequência uma ordem de grandeza acima, de

aproximadamente 0,5Hz.

Apesar das limitações deste estudo com relação às hipóteses fortes a respeito

dos fenômenos de transferência de calor, como contato e isolamento perfeitos,

entende-se ter uma abordagem inicial no sentido de construções experimentais. E

estudos mais aprofundados e modelos mais acurados são necessários diante dos

desafios ainda existentes para tratamento do problema proposto.

Uma observação importante é que se utilizando do rigor da área de Controle,

não se pode dizer que o sistema foi controlado. Foram utilizados conhecimentos de

engenharia para a obtenção de respostas para casos particulares, podendo considerá-

las soluções de engenharia.

41

Baseado na proposta principal deste trabalho de verificar utilização de

alterações na dinâmica do sistema como forma de controle e nos resultados favoráveis

expostos, pode-se dizer que uma continuação deste trabalho pode ser uma análise

rigorosa do controlador usando temperatura avaliada segundo as leis de transferência

de calor.

42

6 REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS

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