curso-3200-aula-01

Aula 01

Curso: Raciocnio Lgico p/ IBGE (Tcnico em Informaes Geogrficas e Estatsticas)

Professor: Arthur Lima

067.286.996-94 - Gustavo Godinho Mandim de Oliveira

!

AULA 01: LGEBRA

SUMRIO PGINA 1. Teoria 01 2. Resoluo de exerccios 39 3. Questes apresentadas na aula 85 4. Gabarito 99

Ol!

Nesta primeira aula trabalharemos tpicos de aritmtica / matemtica bsica para nos facilitar a introduo ao tema lgebra do seu edital. Comearemos vendo os conjuntos numricos, bem como alguns outros tpicos que, embora no explicitados no seu edital, so essenciais para a resoluo da maioria das questes.

Tenha uma boa aula. Permaneo disposio para dirimir quaisquer dvidas.

1. CONJUNTOS NUMRICOS Chamamos de conjuntos numricos as principais classificaes dos nmeros conhecidos. Vejamos em detalhes cada um deles.

1.1 NMEROS NATURAIS Os nmeros naturais tm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de contagem natural. Isto , so aqueles construdos com os algarismos de 0 a 9. O smbolo desse conjunto a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22} As reticncias indicam que este conjunto no tem fim, ou seja, existem

infinitos nmeros naturais. Apesar de includo neste conjunto, o zero no um nmero natural propriamente dito (pois no um nmero de contagem natural). Por isso, utiliza-se

49699682760


!

o smbolo N* para designar os nmeros naturais positivos, isto , excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4} Alguns conceitos bsicos relacionados aos nmeros naturais:

a) Sucessor: o prximo nmero natural. Isto , o sucessor de 2 3, e o sucessor de 21 22. E o sucessor do nmero n o nmero n+1.

b) Antecessor: o nmero natural anterior. Isto , o antecessor de 2 1, e o antecessor de 21 20. E o antecessor do nmero n o nmero n-1. Observe que o nmero natural zero no possui antecessor, pois o primeiro nmero desse conjunto.

c) Nmeros consecutivos: so nmeros em sequncia. Assim, {2,3,4} so nmeros consecutivos, porm {2, 5,4} no so. E {n-1, n e n+1} so nmeros consecutivos.

d) Nmeros naturais pares: {0, 2, 4...}. Nmero par aquele que, ao ser dividido por 2, no deixa resto. Por isso o zero tambm par.

e) Nmeros naturais mpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1.

Sobre pares e mpares, vale a pena perceber que: - a soma ou subtrao de dois nmeros pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 6 = 6. - a soma ou subtrao de dois nmeros mpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 5 = 8. - a soma ou subtrao de um nmero par com outro mpar tem resultado mpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 5 = 7. - a multiplicao de nmeros pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. - a multiplicao de nmeros mpares tem resultado mpar: 3 x 5 = 15. - a multiplicao de um nmero par por um nmero mpar tem resultado par: 2 x 3 = 6.

49699682760


!

1.2 NMEROS INTEIROS Os nmeros inteiros so os nmeros naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto , Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}

Observem que todos os nmeros Naturais so tambm Inteiros, mas nem todos os nmeros inteiros so naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de nmeros naturais est contido no conjunto de nmeros inteiros, isto , N Z, ou

ainda que N um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relao entre N e Z:

Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de nmeros. Vejam que os nomes dos subconjuntos so auto-explicativos:

a) Nmeros Inteiros no negativos = {0,1,2,3...}. Veja que so os nmeros naturais.

b) Nmeros Inteiros no positivos = { -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero tambm faz parte deste conjunto, pois ele no positivo nem negativo.

c) Nmeros inteiros negativos = { -3, -2, -1}. O zero no faz parte.

d) Nmeros inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero no faz parte.

1.3 NMEROS RACIONAIS Os nmeros racionais so aqueles que podem ser representados na forma

da diviso de dois nmeros inteiros. Isto , so aqueles nmeros que podem ser

escritos na forma (A dividido por B), onde A e B so nmeros inteiros. Exemplos:

49699682760


!

Racional, pois a diviso do nmero inteiro 5 pelo nmero inteiro 4.

Racional, pois a diviso do nmero inteiro -15 pelo nmero inteiro 9,

ou a diviso de 15 por -9.

73 e -195 so Racionais, pois so a diviso dos nmeros 73 e -195 pelo nmero 1.

Observe este ltimo exemplo. J tnhamos visto que qualquer nmero natural tambm inteiro. E agora vemos que todo nmero inteiro tambm racional! Isto porque qualquer nmero inteiro o resultado da diviso dele mesmo por 1, podendo

ser representado na forma (A dividido por 1, onde A um nmero inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os nmeros Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para voc:

O zero tambm faz parte dos Nmeros Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porm, quando escrevemos um nmero racional na forma , o

denominador (isto , o nmero B) nunca zero. Isto porque a diviso de um nmero

por zero impossvel (exceto 00

, cujo valor indeterminado).

No conjunto dos Nmeros Racionais, temos basicamente 3 tipos de nmeros:

a) Fraes. Ex.: , , etc.

b) Nmeros decimais. Ex.: 1,25

49699682760


!

Veja que este nmero decimal tem escrita finita, isto , um nmero definido de casas aps a vrgula. Por isso, ele tambm poderia ser escrito na

forma . Neste caso, poderamos represent-lo como , ou mesmo

simplific-lo para .

c) Dzimas peridicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente).

As dzimas peridicas so consideradas racionais porque tambm

podem ser escritas na forma . O nmero deste exemplo poderia ser escrito

na forma . Existem mtodos que nos permitem encontrar qual frao

equivalente a uma determinada dzima peridica. Outro exemplo de dzima peridica: 1,352525252... ou .

Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as fraes que do origem a dzimas peridicas. Divida 1 por 3 e voc obter 0,333... , ou simplesmente 0,3 .

Assim, dizemos que a frao geratriz da dzima 0,3 igual a 13

. Existem mtodos

que nos permitem, a partir de uma dzima peridica, chegar at a frao que deu origem a ela. Em alguns casos, a parte que se repete j comea logo aps a vrgula. Isto o caso em:

0,333... 0,353535...

0,215215215...

Em outros casos, existem alguns nmeros entre a vrgula e o incio da repetio. Veja esses nmeros sublinhados nas dzimas abaixo:

0,1333... 0,04353535...

0,327215215215...

49699682760


!

Vamos comear trabalhando com os casos onde a repetio comea logo aps a vrgula, para a seguir estender o mtodo aos casos onde existem nmeros entre a vrgula e o incio da repetio.

Casos onde a repetio comea logo aps a vrgula:

Vamos trabalhar com a dzima 0,333... . Chamemos de X a frao que d origem a esta dzima. Ou seja,

X = 0,333...

Como a repetio formada por um nico nmero (3), se multiplicarmos esta dzima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vrgula, o primeiro nmero da repetio:

10X = 10 x 0,333... = 3,333...

Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtrao: 10X X = 3,333... 0,333...

Os dois nmeros direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idnticas. Portanto, o resultado desta subtrao :

9X = 3 3 19 3

X = =

Assim, descobrimos que a frao geratriz da dzima 0,333... 13

X = .

Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a frao geratriz da dzima 0,216216216... . Repare que temos a repetio de 216, e no h nenhuma casa separando a vrgula e o incio da repetio. Chamando de X a frao geratriz da dzima, temos:

X = 0,216216216...

Para passar a primeira repetio (216) para a esquerda da vrgula, precisamos multiplicar X por 1000:

1000X = 216,216216216...

49699682760


!

Efetuando a subtrao 1000X X podemos obter a frao geratriz: 1000X X = 216,216216216... 0,216216216...

999X = 216 216 24999 111

X = =

Assim, a geratriz de 0,216 a frao 24111

.

Casos onde existem nmeros entre a vrgula e o incio da repetio:

Vejamos como obter a frao geratriz da dzima 1,327215215215... . Veja que, neste caso, temos a repetio do termo 215. Entre a vrgula e o incio da repetio temos 3 nmeros (327). Deste modo, chamando de X a frao geratriz, temos:

X = 1,327215215215...

Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, direita da vrgula, apenas os termos que se repetem:

1000X = 1327,215215215...

E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetio 215 para o lado esquerdo da vrgula:

1000000X = 1327215,215215215...

Assim, podemos efetuar a seguinte subtrao: 1000000X 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215...

999000X = 1327215 1327 999000X = 1325888

1325888999000

X =

Temos, portanto, a frao geratriz da dzima 1,327215215215... . Poderamos ainda simplific-la, se quisssemos.

49699682760


!

1.3.1 OPERAES COM NMEROS RACIONAIS As quatro operaes bsicas que podemos efetuar com estes nmeros so: adio, subtrao, multiplicao e diviso. Vejamos em detalhes cada uma delas.

a) Adio: A adio de dois nmeros dada pela soma destes dois nmeros. Isto , a adio de 15 e 6 :

15 + 6 = 21

Voc se lembra do mtodo para se efetuar a soma de dois nmeros? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, voc deve posicionar estes nmeros um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): 728 +46

A seguir devemos comear a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a prxima soma: 1 728 +46 4 Agora, devemos somar os dois prximos nmeros (2 + 4), e adicionar tambm o nmero que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este nmero no resultado: 728 +46 74

Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do nmero 728. Como o segundo nmero (46) no possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 728 +46

49699682760


!

774

Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a prxima operao, vejamos as principais propriedades da operao de adio.

- propriedade comutativa: dizemos que a adio de nmeros racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos nmeros no altera a soma. Isto , 728 + 46 igual a 46 + 728.

- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais nmeros racionais, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade est presente na adio. Ex.: 2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14.

- elemento neutro: dizemos que o zero o elemento neutro da adio, pois qualquer nmero somado a zero igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.

- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois nmeros racionais SEMPRE gera outro nmero racionais. Ex: a soma dos nmeros racionais 2 e 5 gera o nmero racional 7 (2 + 5 = 7).

b) Subtrao: efetuar a subtrao de dois nmeros significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto , subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades:

9 5 = 4

Acompanhe a subtrao abaixo para relembrar o mtodo para a subtrao de nmeros racionais (veja que, por simplicidade, estamos usando nmeros inteiros nos exemplos, que no deixam de ser tambm racionais). Vamos efetuar a operao 365 97:

365 - 97

49699682760


!

Observe que o primeiro passo posicionar um nmero abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Comeamos a efetuar a subtrao a partir da casa das unidades. Como 5 menor do que 7, no podemos subtrair 5 7. Devemos, portanto, pegar uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 7 = 8, e anotar este resultado:

365 - 97 8

Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 9, e no 6 9, pois j utilizamos uma unidade na primeira subtrao acima. Como 5 menor que 9, devemos novamente pegar uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 9 = 6. Vamos anotar este resultado:

365 - 97 68

Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que no temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois j usamos uma unidade na operao anterior. Como 97 no tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado:

365 - 97 268

E se quisssemos efetuar a subtrao 97 365? Neste caso, como 97 menor que 365, devemos: - subtrair o menor nmero do maior, isto , efetuar a operao 365 97; - colocar o sinal negativo (-) no resultado.

Desta forma, 97 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operao de subtrao.

49699682760


!

- propriedade comutativa: dizemos que a subtrao de nmeros racionais NO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos nmeros ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 97 = 268, j 97 365 = -268.

- propriedade associativa: a subtrao NO possui essa propriedade, pois (A B) C pode ser diferente de (C B) A

- elemento neutro: o zero o elemento neutro da subtrao, pois, ao subtrair zero de qualquer nmero, este nmero permanecer inalterado. Ex.: 2 0 = 2.

- propriedade do fechamento: a subtrao de nmeros racionais possui essa propriedade, pois a subtrao de dois nmeros racionais SEMPRE gera outro nmero racional.

- elemento oposto: para todo nmero racional A, existe tambm o seu oposto, com sinal contrrio, isto , -A. Exemplos de nmeros opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Tambm podemos dizer que o elemento oposto de A aquele nmero que, somado a A, resulta em zero:

A + (-A) = 0

c) Multiplicao: a multiplicao nada mais que uma repetio de adies. Por exemplo, a multiplicao 15 x 3 igual soma do nmero 15 trs vezes (15 + 15 + 15), ou soma do nmero 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicao:

57 x 13

Novamente alinhamos os nmeros pela direita. Comeamos multiplicando os nmeros das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a prxima operao:

2 57 x 13

49699682760


!

1

Agora devemos multiplicar os nmero das unidades do segundo nmero (3) pelo nmero das dezenas do primeiro nmero: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operao anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos:

57 x 13

171

Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo nmero (1) pelo algarismo das unidades do primeiro nmero (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este nmero para o resultado, entretanto devemos coloc-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo nmero (1). Veja:

57 x 13

171 7

A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo nmero (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro nmero (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos:

57 x 13

171 57

Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57 x 13

171 570 741

Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da

49699682760


!

multiplicao do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaramos 2 zeros, e assim por diante.

importante relembrar as regras de sinais na multiplicao de nmeros. Voc deve se lembrar que: - a multiplicao de nmeros de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. - a multiplicao de nmeros de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25.

Portanto, se tivssemos multiplicado (-57) x 13, ou ento 57 x (-13), deveramos obter -741. E se tivssemos multiplicado (-57) x (-13) deveramos obter 741.

Vejamos as principais propriedades da operao de multiplicao:

- propriedade comutativa: a multiplicao possui essa propriedade, pois A x B igual a B x A, isto , a ordem no altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).

- propriedade associativa: a multiplicao possui essa propriedade, pois (A x B) x C igual a (C x B) x A, que igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24.

- elemento neutro: a unidade (1) o elemento neutro da multiplicao, pois ao multiplicar 1 por qualquer nmero, este nmero permanecer inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5.

- propriedade do fechamento: a multiplicao possui essa propriedade, pois a multiplicao de nmeros racionais SEMPRE gera um nmero racional (ex.: 5 x 7 = 35, que racional).

- propriedade distributiva: apenas a multiplicao possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que:

Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)

49699682760


!

Exemplificando: 5x(3+7) = 5x(10) = 50

ou, usando a propriedade: 5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50

d) Diviso: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5 = . Vamos relembrar como efetuar divises com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:

715 |18

Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (nmero a ser dividido) e o 18 de divisor (nmero que est dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que j mais que 71). J 18x3 = 54. Assim, temos:

715 |18 3

Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtrao:

715 |18 -54 3 17

Agora devemos pegar o prximo algarismo do dividendo (5): 715 |18

-54 3 175

Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, direita, e anotar o resultado da multiplicao 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtrao:

715 |18

49699682760


!

-54 39 175 -162 13

Agora temos o nmero 13, que inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a diviso. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta diviso no foi exata, pois ela deixou um resto.

Observe que o dividendo (715) igual multiplicao do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto :

715 = 18 x 39 + 13

Como regra, podemos dizer que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto

As regras de sinais na diviso de nmeros racionais so as mesmas da multiplicao: - a diviso de nmeros de mesmo sinal tem resultado positivo. - a diviso de nmeros de sinais diferentes tem resultado negativo.

Portanto, se tivssemos dividido (-10) por 2, ou ento 10 por (-2), deveramos obter -5. E se tivssemos dividido (-10) por (-2) deveramos obter 5.

Vejamos as principais propriedades da operao de diviso:

- propriedade comutativa: a diviso NO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.

- propriedade associativa: a diviso NO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 diferente de (3/5)/2.

- elemento neutro: a unidade (1) o elemento neutro da diviso, pois ao dividir qualquer nmero por 1, o resultado ser o prprio nmero. Ex.: 5 / 1 = 5.

49699682760


!

- propriedade do fechamento: a diviso possui essa propriedade, pois a diviso de nmeros racionais SEMPRE gera um nmero racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que racional).

Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo sobre as propriedades das operaes com nmeros racionais:

Elem. Neutro

Comut. Assoc. Fecham. Distributiva

Adio zero Sim Sim Sim No:

( ) ( ) ( )A B C A B A C+ + + + +

Multiplicao 1 Sim Sim Sim Sim:

( ) ( ) ( )A B C A B A C + +

Subtrao zero No No Sim

No: ( ) ( ) ( )A B C A B A C + +

Diviso 1 No No Sim No:

( ) ( ) ( )A B C A B A C + +

1.3.2 Operaes com fraes Ao trabalhar com nmeros racionais, recorrentemente estaremos lidando com

fraes, que nada mais so que operaes de diviso. Escrever 25

equivalente a

escrever 2 5 . As fraes esto constantemente presentes na resoluo de exerccios, motivo pelo qual essencial lembrar como efetuamos cada operao com elas: soma, subtrao, multiplicao e diviso.

a) Para somar ou subtrair fraes, preciso antes escrev-las com o mesmo denominador, isto , com um denominador comum. Este denominador , simplesmente, um mltiplo comum entre os denominadores das fraes originais. Falaremos sobre mltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o bsico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo:

1 36 8

+

49699682760


!

Veja o nmero 24 um mltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24).

Para trocar o denominador da frao 16 para 24, preciso multiplicar o

denominador 6 por 4. Assim, tambm devemos multiplicar o numerador 1 por 4,

para manter a frao. Portanto, 1 46 24

=

J para trocar o denominador da frao 38para 24, preciso multiplicar o

denominador 8 por 3. Assim, tambm devemos multiplicar o numerador 3 por 3,

para manter a frao. Portanto, 3 98 24

=

Agora sim podemos efetuar a soma: 1 3 4 9 4 9 136 8 24 24 24 24

++ = + = =

b) Para multiplicar fraes, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo:

1 3 1 3 36 8 6 8 48

= =

c) Para dividir fraes, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo:

11 3 1 8 86

3 6 8 6 3 188

= = =

*** Dica importantssima: trabalhando com fraes, normalmente podemos substituir a expresso de pela multiplicao. Veja como:

- quanto um tero de 1000? Ora, simplesmente 1 10003

!

- e quanto dois stimos de 25? A resposta 2 257

- quanto vale um quarto da soma do nmero de homens (700) e de mulheres (600)

presentes em um evento? Simplesmente 1 (700 600)4

+ .

49699682760


!

- por fim, quanto vale 5/9 da diferena entre os nmeros X e Y? Aqui, a resposta

dada pela expresso 5 ( )9

X Y .

Certifique-se de que voc entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exerccios!

1.3.3 Operaes com nmeros decimais Os nmeros decimais so, em regra, aqueles que resultam da diviso no-exata de dois nmeros inteiros. So os nmeros que possuem casas aps a vrgula. A manipulao deles essencial para a resoluo de diversas questes, motivo pelo qual voc precisa saber som-los, subtra-los, multiplic-los, dividi-los, elev-los a potncias e extrair razes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operaes em detalhes.

a) Adio de nmeros decimais: A adio de dois nmeros decimais segue a mesma lgica da adio comum. Isto : - os nmeros devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vrgula logo abaixo da vrgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra - as casas correspondentes devem ser somadas, comeando da direita para a esquerda. - medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a prxima adio (das casas logo esquerda). Vamos aplicar estes passos na adio de 13,47 e 2,9. Colocando os nmeros um embaixo do outro, com a vrgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical:

13,47 + 2,9

Veja que a casa das unidades do primeiro nmero (3) est logo acima da casa das unidades do segundo nmero (2). A primeira casa decimal do primeiro nmero (4) est logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por

49699682760


!

diante. Como no h casa decimal abaixo do 7, podemos consider-la igual a 0. Agora, basta comear a somar as casas correspondentes, comeando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formao de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a prxima operao (3 + 2). Com isso, temos:

13,47 + 2,9

16,37

b) Subtrao de nmeros decimais: Aqui tambm devemos posicionar os nmeros um abaixo do outro, com a vrgula do primeiro na mesma vertical da vrgula do segundo nmero. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:

13,47 - 2,9

10,57 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtrao 4 9 foi preciso pegar uma unidade da casa esquerda do 4 (no caso, o 3) e transform-la em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invs de subtrair 3 2, tivemos que subtrair 2 2 pois uma unidade do 3 j havia sido utilizada.

c) Multiplicao de nmeros decimais: Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicao comum, com duas observaes: - devemos posicionar os nmeros assim como fizemos na adio e na subtrao, isto , com a vrgula de um logo abaixo da vrgula do outro. - o nmero de casas decimais do resultado ser igual soma do nmero de casas decimais dos dois nmeros sendo multiplicados. Assim voc saber posicionar a vrgula. Vejamos o nosso exemplo:

13,47

49699682760


!

x 2,9 12123 + 26940

39,063 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se multiplicao de 13,47 por 9. J a segunda linha refere-se multiplicao de 13,47 por 2. Nesta linha h um 0 direita porque o 2 est uma casa decimal frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtm-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos nmeros sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao nmero 39,063.

d) Diviso de nmeros decimais: Para efetuar a diviso de nmeros decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os nmeros (divisor e dividendo) por uma potncia de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Aps isso, s efetuar a operao normalmente. Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o nmero que possui mais casas decimais o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os nmeros por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais:

3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25

Agora, basta efetuar a diviso de 350 por 25, que voc sabe fazer, tendo como resultado o nmero 14.

EXERCCIO DE FIXAO NMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes operaes, cujo gabarito fornecido em seguida. a) 2,25 + 1,7 b) 2,25 1,7 c) 2,25 x 1,7 d) 2,25 / 1,5 e) 0,898 + 1,12

49699682760


!

f) 0,898 1,12 g) 0,898 x 1,12 h) 0,898 / 0,01 Respostas: a) 3,95 b) 0,55 c) 3,825 d) 1,5 e) 2,018 f) -0,222 g) 1,00576 h) 89,8

1.3.4 REPRESENTAO NA RETA Veja abaixo a reta numrica, onde podemos representar todos os nmeros racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce infinitamente para ambos os lados:

possvel localizar a posio exata de um nmero racional na reta numrica,

ainda que ele seja fracionrio. Por exemplo, vamos localizar o nmero 34

, ou 0,75

(na forma decimal). Na reta numrica, basta dividirmos o espao entre 0 e 1 em

quatro partes, e colocar o nmero 34

ao final da terceira delas:

1.4 NMEROS IRRACIONAIS Os Nmeros Irracionais so aqueles que, ao contrrio dos Racionais, no

podem ser obtidos da diviso de dois inteiros, ou seja, no podem ser escritos na

49699682760


!

forma (onde A e B so nmeros inteiros). Isto porque esses nmeros so formados por uma seqncia infinita de algarismos.

Exemplo: na obteno da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um nmero irracional:

(as reticncias indicam que este nmero composto por infinitos algarismos) Da mesma forma, o conhecido nmero (pi), muito utilizado na

trigonometria, possui infinitas casas decimais que no se repetem como em uma dzima peridica, o que faz dele um nmero irracional:

Devo ainda fazer uma observao a respeito da representao desses nmeros na reta numrica:

- no possvel localizar precisamente um nmero irracional na reta numrica. Isto porque esses nmeros tem infinitas casas decimais que no se repetem, no sendo

possvel escrev-los na forma AB

e usar o mesmo mtodo que vimos para localizar

os nmeros racionais.

1.5 NMEROS REAIS O conjunto dos Nmeros Reais formado pela unio dos nmeros Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que:

(O conjunto dos Nmeros Naturais est contido no dos Inteiros, que est contido no dos Racionais, que est contido no dos Reais)

E, alm disso,

(O conjunto dos Nmeros Irracionais est contido no dos Nmeros Reais)

Complementando o diagrama que desenhamos nos tpicos acima, agora temos:

49699682760


!

No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Nmeros Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos Nmeros Irracionais e Reais.

1.5.1 OPERAES COM NMEROS REAIS As propriedades das operaes com nmeros reais so as mesmas j vistas para os racionais.

1.5.2 REPRESENTAO DOS NMEROS REAIS NA RETA Dado que os nmeros reais so formados por 2 subconjuntos (racionais e irracionais), sabemos que alguns nmeros reais podem ser posicionados precisamente na reta numrica (os racionais) e outros no podem ser localizados exatamente (os irracionais).

1.6 TPICOS ADICIONAIS DE MATEMTICA BSICA Apesar de no mencionados explicitamente, entendo que preciso tratarmos ainda que rapidamente sobre alguns aspectos de matemtica bsica que sero essenciais na resoluo de exerccios.

1.6.1 NMEROS PRIMOS E FATORAO Dizemos que um nmero primo quando ele s pode ser dividido, sem

deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o nmero 7. Como qualquer nmero, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e no deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e ver que sempre h

49699682760


!

um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 que no encontraremos resto novamente. Portanto, 7 um nmero primo, pois s divisvel por 1 e por ele mesmo. Diversos outros nmeros possuem essa propriedade, como os listados abaixo:

{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} A ttulo de curiosidade, repare que o 2 o nico nmero primo par. Todos os

demais so mpares. Qualquer nmero natural pode ser representado como uma multiplicao de

nmeros primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um nmero qualquer em um produto de nmeros primos chamado de fatorao.

Vamos fatorar o nmero 24. Devemos comear tentando dividi-lo por 2, que o menor nmero primo (muitos autores no consideram que o 1 seja um nmero primo). Esta diviso exata (no possui resto), e o resultado 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora no mais possvel dividir por 2. Assim, devemos partir para o prximo nmero primo, que o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize este processo abaixo:

Nmero Fator primo 24 2 12 2 6 2 3 3 1 Logo, 24 = 23 x 3

Para praticar, vejamos a fatorao do nmero 450: Nmero Fator primo

450 2 225 3

75 3 25 5

49699682760


!

5 5 1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52

Vejamos ainda a fatorao do nmero 1001. Observe que ele no divisvel (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo:

Nmero Fator primo 1001 7 143 11

13 13 1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13

A fatorao ser muito til na obteno do Mnimo Mltiplo Comum e Mximo Divisor Comum entre dois nmeros, como veremos a seguir.

1.6.2 MLTIPLOS E DIVISORES Para a resoluo de diversas questes que podem cair em sua prova, vale a

pena voc desenvolver a rapidez na obteno de mltiplos e divisores de um dado nmero, calcular o mnimo mltiplo comum e mximo divisor comum entre dois nmeros, e conhecer regras prticas para saber se um nmero ou no divisvel por outro (critrios de divisibilidade).

Os mltiplos de um nmero X so aqueles nmeros que podem ser obtidos multiplicando X por outro nmero natural. Por exemplo, os mltiplos de 3 so: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses nmeros podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 nmeros X e Y, e listamos os mltiplos de cada um deles, podemos ter mltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar alguns mltiplos de 8 e de 12: Mltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. Mltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. Observe que os seguintes nmeros so mltiplos de 8 e tambm de 12: 24, 48, 72. Isto , so mltiplos em comum desses 2 nmeros. O menor deles, neste

49699682760


!

caso o 24, chamado de mnimo mltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O clculo do MMC se mostra til na resoluo de diversos exerccios, como veremos adiante. Um mtodo simples de se calcular o MMC entre 2 nmeros dado pelos seguintes passos: 1. Decompor cada nmero em uma multiplicao de fatores primos; 2. O MMC ser formado pela multiplicao dos fatores comuns e no comuns dos dois nmeros, de maior expoente. Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo 12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3. Assim, o MMC ser formado pelos fatores comuns (2) e no comuns (3) de maior expoente (isto , MMC = 23 x 3 = 24). A ttulo de exerccio, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5, e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45. Para voc entender como o MMC pode ser til na resoluo de questes, imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, Joo e Jos, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. Joo costuma realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto Jos costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidiro novamente? Ora, se Joo d festas de 9 em 9 dias, sua prxima festa ser daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. J a prxima festa de Jos ser daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias em que ambos daro festas devem ser um mltiplos de 9 e tambm de 15, isto , mltiplos comuns de 9 e 15. A prxima festa ocorrer no menor desses mltiplos, isto , no mnimo mltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 15) = 45. Portanto, a prxima vez em que as festas coincidiro ocorrer daqui a 45 dias.

Dizemos que um nmero divisvel por outro quando esta diviso exata, no deixando resto nem casas decimais. Para saber se um nmero divisvel por outro, basta efetuar a diviso e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 5 = , portanto 25 divisvel por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o nmero 1765830275 divisvel por 5. Efetuar esta diviso mo consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critrios de divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo:

49699682760


!

Principais critrios de divisibilidade Divisor* Critrio Exemplos

1 Todos os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...

2 Nmeros pares (isto , terminados

em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc.

3 Nmeros cuja soma dos algarismos

divisvel por 3

0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), 27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915

(9+1+5=15) etc.

4 Se o nmero formado pelos 2

ltimos dgitos for divisvel por 4 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc.

5 Nmeros terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc.

6 Nmeros divisveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 ( par, e 9+2+4=15)

etc.

9 Nmeros cuja soma dos algarismos

divisvel por 9 0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155

(7+1+5+5=18) etc. 10 Nmeros terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc.

*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critrios muito difceis, motivo pelo qual praticamente no so cobrados.

Chamamos de mximo divisor comum (MDC) entre dois nmeros A e B o maior nmero pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto , sem deixar resto.

Podemos calcular o mximo divisor comum entre 2 nmeros listando os divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: - 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. - 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. - Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. Vejam que 8 o mximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40.

Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada nmero (como fizemos acima), basta seguir 2 passos:

1. Decompor cada um dos nmeros em fatores primos (ex.: 32 = 25; 40 = 235)

49699682760


!

2. O MDC ser formado pela multiplicao dos fatores comuns de menor expoente (neste caso, apenas o 2 comum, e seu menor expoente 3. Logo, MDC = 23 = 8);

Para voc visualizar uma aplicao prtica do MDC, imagine o seguinte caso: temos um conjunto de 20 ces e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de ces, sem mistur-los, porm todos os grupos devem ter o mesmo nmero de integrantes. Qual o menor nmero de grupos possvel?

Para obter o menor nmero de grupos possvel, precisamos dividir 20 e 30 pelo maior nmero possvel. Este maior nmero que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar resto, justamente o MDC entre 20 e 30.

Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos tambm que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. Isto , 2 grupos com 10 ces em cada, e 3 grupos com 10 gatos em cada. Assim, o menor nmero de grupos possvel 5.

1.6.3 POTNCIAS J tivemos que trabalhar com potncias nesta aula, ao abordar a fatorao,

mas nesta seo veremos mais detalhes sobre esta operao matemtica. Observe o exemplo abaixo:

35 5 5 5 125= = (l-se: cinco elevado terceira potncia igual a cinco vezes cinco vezes cinco)

Pelo exemplo dado, voc pode perceber que elevar um nmero X a uma determinada potncia n simplesmente multiplicar X por ele mesmo, n vezes. Outro exemplo, para no deixar dvida:

42 2 2 2 2 16= = (dois elevado quarta potncia igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes)

Resumindo, quando tratamos sobre potncias temos sempre uma base (nmero X) elevada a um expoente (n). Entendido o conceito bsico, podemos analisar algumas propriedades das potncias. Essas propriedades facilitaro bastante o manuseio de equaes que envolvam potncias:

a) Qualquer nmero elevado a zero igual a 1.

49699682760


!

Trata-se de uma conveno, isto , uma definio. Assim, podemos dizer que:

0

0

0

5 1( 25) 10,3 1

=

=

=

b) Zero elevado a qualquer nmero igual a zero. Isso bem lgico, pois zero elevado a n significa zero multiplicado por ele

mesmo, n vezes. Ex.: 30 0 0 0 0= =

c) Multiplicao de potncias de mesma base (X): A questo aqui como multiplicar 2 34 4 . Normalmente voc faria assim:

= =2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 Veja que basta somar os expoentes (n), uma vez que as duas potncias

tm a mesma base 4: + = = =2 3 2 3 54 4 4 4 1024

d) Diviso de potncias de mesma base (X):

Como voc faria a diviso 5

344

? Provavelmente seria assim:

5

34 4 4 4 4 4 4 4 164 4 4 4

= = =

Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (n), pois o numerador e denominador da diviso tem a base 4. Veja:

55 3 2

34 4 4 164

= = =

Analogamente, observe que 331 44

= . Isto porque:

00 3 3

3 31 4 4 44 4

= = =

O que vimos acima nos permitir levar uma potncia do numerador para o denominador de uma diviso, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da

potncia. Exemplificando, vamos resolver a expresso 3 54 4 . Temos duas formas:

49699682760


!

Usar a propriedade de multiplicao de potncias de mesma base, somando os expoentes:

3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16 + = = =

Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34 para o denominador e, a seguir, fazendo a diviso de potncias de mesma base:

53 5 5 3 2

344 4 4 4 164

= = = =

e) Potncia de potncia: A questo agora resolver 2 3(2 ) . Voc poderia inicialmente elevar 2

segunda potncia (isto , ao quadrado), e a seguir elevar o resultado terceira potncia (ao cubo):

2 3 3(2 ) (4) 64= = Entretanto, veja que basta voc elevar 2 ao resultado da multiplicao entre

os dois expoentes: 2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64= = =

f) Raiz de potncia: Quando estudarmos radiciao (prximo tpico), veremos que trata-se de uma operao inversa potenciao. Assim, obter a raiz quadrada de um nmero

equivalente a elev-lo a 12

, obter a raiz cbica equivalente a elev-lo a 13

, e assim

por diante.

Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderamos fazer simplesmente assim:

62 2 2 2 2 2 2 64 8= = =

Entretanto, como obter a raiz quadrada igual a elevar a 12

, podemos fazer:

( ) 11 66 6 3222 2 2 2 8= = = = Note que utilizamos a propriedade anterior (potncia de potncia) para resolver este caso.

49699682760


!

g) Potncia de produto: Se tivermos que resolver uma expresso como 2(2 3) , podemos fazer de

algumas formas:

2 2(2 3) (6) 36 = =

2(2 3) (2 3) (2 3) 36 = =

2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36 = = = Veja a ltima forma. Ela nos diz que um produto A B elevado uma

potncia n igual ao produto das potncias nA e nB .

h) Potncia de base 10: Quando a base da potncia for 10 e o expoente for um nmero natural n,

fica bem fcil resolver. O resultado ser formado pelo nmero 1 seguido de n zeros:

3

6

10 100010 1000000

=

=

Da mesma forma, se o expoente for um nmero inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos:

33

66

1 110 0,00110 1000

1 110 0,00000110 1000000

= = =

= = =

i) Potncia de base negativa: Quando a base da potncia um nmero negativo, devemos analisar qual

ser o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado positivo.

Se o expoente for mpar, o resultado ser negativo. Neste caso, como 3 mpar, o resultado correto -8. Voc pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas:

3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8 = = Veja um exemplo com expoente par:

4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16 = = j) Frao elevada a um expoente:

Uma frao elevada a um expoente igual a outra frao onde numerador e denominador esto elevados quele expoente. Veja:

49699682760


!

3 3

32 23 3

=

Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 3 3

32 2 2 2 2 2 2 2 83 3 3 3 3 3 3 3 27

= = = =

1.6.4 RAZES Como j disse acima, a radiciao uma operao inversa potenciao.

Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 3, isso significa que 3 elevado ao quadrado ser igual a 9. A operao de radiciao pode ser escrita usando-se o

smbolo n ou elevando o nmero em questo ao expoente 1n

. Veja alguns

exemplos: 1

3 327 27 3= = , pois 33 27= 1

2 216 16 4= = , pois 24 16=

Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o smbolo 2 ou simplesmente .

As principais propriedades da radiciao so:

a) Qualquer raiz de zero igual a zero: Isto , 0 0n = . Isto porque zero elevado a qualquer nmero tambm resulta

em zero.

b) Qualquer raiz de 1 igual a 1: Ou seja, 1 1n = . Isto porque 1 elevado a qualquer nmero tambm resulta em

1.

c) a

b a bx x=

49699682760


!

Essa uma propriedade muito importante. Exemplificando, 6

3 6 234 4 4 16= = = .

d) Raiz n de produto igual ao produto das razes n: Isto , a raiz n de A x B igual a raiz n de A x raiz n de B:

n n nA B A B = Veja que essa propriedade s vale se ambas as razes tiverem o mesmo radical n. Ilustrando, temos que:

25 16 25 16 5 4 20 = = =

e) Raiz da diviso igual diviso das razes: A raiz de A/B igual raiz de A dividida pela raiz de B:

n

nn

A AB B

=

Veja esse exemplo: 25 25 516 416

= =

f) Raiz de raiz: Por essa propriedade, temos que n m n mA A= . Exemplificando:

3 3 2 62 2 2= =

Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potncia: 1

1 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2

= = = =

=

Vamos estudar um mtodo para extrair a raiz de um nmero. Ele consiste em 2 passos:

1. Decomposio do nmero em fatores primos

2. Aplicao da propriedade a

b a bx x=

A ttulo de exemplo, vamos calcular 3 216 . Lembre-se que os nmeros primos so aqueles divisveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11,

49699682760


!

13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos comear dividindo 216 pelo menor nmero primo (2) e, quando no mais for possvel, passamos para o nmero primo seguinte (3), e assim sucessivamente. Teremos:

Nmero Fator primo 216 2 108 2

54 2

27 3 (pois no mais possvel usar o 2) 9 3 3 3 1 Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33

Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciao da seguinte forma: 1 1 13 33 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6 = = = = =

Se voc ficou em dvida, talvez precise voltar na seo de Potenciao e revisar as propriedades que estudamos.

Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em fatores primos, temos:

Nmero Fator primo 7056 2 3528 2 1764 2 882 2 441 3 147 3 49 7 7 7

1 Logo, 4 2 27056 2 3 7=

Portanto: 1 1 14 2 24 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84

= = = =

49699682760


!

Vrias vezes voc ir se deparar com nmeros que no possuem raiz exata. Apesar disso, possvel simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 32.

Fazendo a decomposio em fatores primos, temos que: 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25

Assim, 532 2=

Podemos simplificar esta expresso lembrando-se que 5 42 2 2= : 5 4 432 2 2 2 2 2 4 2= = = = ou, simplesmente, 4 2

Finalizando, bom lembrar que no conjunto dos nmeros reais no existe raiz par de nmeros negativos (ex.: no existe 2 16 ), mas existe raiz mpar ( 33 27 3, pois ( 3) 27 = = ).

1.6.5 EXPRESSES NMERICAS Uma expresso numrica uma sequncia de nmeros dispostos de acordo com sinais matemticos, que indicam as operaes a serem efetuadas. Veja um exemplo:

{ }( 25 2) (9 3) 7 4 + = A resoluo desse tipo de expresso muito simples, desde que voc se lembre das seguintes regras: 1. Primeiro resolver o que est dentro dos parnteses, depois o que est entre colchetes, e a seguir o que est entre chaves. 2. Primeiro resolver operaes de radiciao ou potenciao, a seguir multiplicao ou diviso, e a seguir resolver operaes de soma ou subtrao. Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operaes que encontram-se entre parnteses. Dentro desses parnteses, veja que h uma operao de radiciao ( 25 ), que a primeira a ser resolvida:

[ ]{ }(5 2) (9 3) 7 4+ = A seguir, resolvemos as demais operaes dentro dos parnteses, obtendo:

49699682760


!

[ ]{ }7 6 7 4 = Agora devemos resolver a multiplicao dentro dos colchetes:

{ }42 7 4 = Em seguida resolvemos a subtrao dentro das chaves:

35 4 =

Por fim, resolvemos a diviso que se encontrava fora das chaves, obtendo: 35 4 8,75 =

Vale a pena lembrar aqui que uma frao uma operao de diviso como outra qualquer, e se houver uma frao em sua expresso numrica, basta resolv-la no momento que voc resolveria aquela operao de diviso.

1.6.6 EXPRESSES ALGBRICAS As expresses algbricas so expresses matemticas que possuem variveis, tambm chamadas de incgnitas, que normalmente so representadas por letras. Estas variveis representam, em realidade, nmeros que no sabemos. Para descobri-los, precisamos saber manipular a expresso (que normalmente composta por letras e nmeros). Exemplos de expresses algbricas:

2

52 3 0

10 01 5

a bx

y yp

+ =

+ =

+ =

+ =

fundamental saber ler estas expresses. Veja alguns exemplos: - a soma de dois nmeros igual a 5 a + b = 5 - o dobro de um nmero, adicionado de 3 unidades, igual a zero 2x + 3 = 0 - o quadrado de um nmero, subtrado deste mesmo nmero e adicionado de 10 unidades igual a zero y2 y + 10 = 0

A maioria das questes no fornecer uma expresso algbrica como as que vimos acima. Normalmente, o enunciado apresenta informaes que permitiro que voc mesmo construa a(s) expresso(es) algbrica(s) para resolver a questo. As expresses algbricas so constitudas de um 1 termo ( esquerda), o sinal de igualdade e o 2 termo ( direita). Veja:

49699682760


!

2 3 5x x+ = + possvel somar, subtrair, multiplicar ou dividir um dos termos da expresso por qualquer nmero, desde que faamos a mesma coisa com o outro termo. Caso contrrio, no mais teremos uma igualdade. Exemplificando, podemos somar 1 unidade em cada membro da equao acima, obtendo o seguinte:

2 3 (1) 5 (1)2 4 6

x x

x x

+ + = + +

+ = +

Note o que acontece se somamos -4 (isto , subtramos 4) nos dois membros dessa ltima expresso:

2 4 ( 4) 6 42 6 4

x x

x x

+ + = + +

= +

Voc percebe que somar (-4) nos dois membros equivalente a passar o 4, que estava somando no primeiro termo (2x + 4) para o outro lado da igualdade, porm invertendo o sinal? Em resumo: sempre que voc quiser passar um nmero ou varivel que est somando ou subtraindo de um lado para o outro da igualdade, basta trocar o seu sinal. Agora, veja a seguinte expresso:

2( 2) 6x x+ = + Note que no primeiro membro temos o nmero 2 multiplicando o termo (x+2). Se dividirmos ambos os lados da igualdade por 2, teremos:

2( 2) 62 2

622

x x

xx

+ +=

++ =

Veja que o 2 que estava multiplicando o primeiro membro agora est dividindo o segundo membro. Assim, sempre que um nmero ou varivel estiver multiplicando ou dividindo um dos termos da igualdade, ele pode passar para o outro lado, bastando para isso inverter a operao. Muito cuidado para no cometer o seguinte erro:

3 1 661

3

x x

xx

+ = +

++ =

Neste caso acima, o nmero 3 estava multiplicando x e foi transferido para o outro lado da igualdade, dividindo o segundo termo. Porm, o 3 no estava multiplicando todo o primeiro termo, por isso no podia passar para o outro lado

49699682760


!

dividindo o segundo termo. Neste caso, o correto seria passar, primeiramente, o nmero 1 (que estava somando) para o outro lado (subtraindo). Feito isso, teramos:

3 6 1x x= + Agora sim o 3 est multiplicando todo o primeiro termo da igualdade, e pode passar para o outro lado dividindo:

6 13x

x+

=

Quando estamos diante de uma expresso algbrica e queremos descobrir o valor de uma varivel, basta passar todos os termos que contm a varivel para um lado da igualdade, e todos os que no a contm para o outro lado da igualdade. Utilizando a equao3 3 7x x+ = + , vamos descobrir o valor de x. Inicialmente, passamos para o lado esquerdo os termos que contm x, e para o lado direito os que no contm, fazendo as trocas de sinal ou inverso de operao necessrias:

3 3 73 7 32 4

x x

x x

x

+ = +

=

=

A seguir, podemos isolar a varivel x, passando para o outro lado da igualdade o 2 que a multiplica:

2 4422

x

x

x

=

=

=

Assim como vimos nas expresses numricas, devemos resolver primeiro o que est entre parnteses (), depois o que est entre colchetes [ ], e por fim o que est entre chaves { }. Da mesma forma, devemos resolver primeiro as operaes de potenciao ou radiciao, a seguir as de multiplicao ou diviso, e por fim as de soma ou subtrao. Preste ateno nesses aspectos ao estudar a resoluo dos exerccios.

49699682760


!

2. RESOLUO DE EXERCCIOS EXERCCIO DE FIXAO CONJUNTOS NUMRICOS) Marque certo (C) ou errado (E) nas afirmaes abaixo: ( ) Todo nmero racional real, porm nem todo nmero real racional ( ) Todo nmero natural tambm inteiro, e todo nmero irracional no inteiro ( ) -1520 um nmero natural, inteiro, racional e real ( ) 72 um nmero natural, inteiro, racional e real ( ) 4 um nmero natural, inteiro, racional e real ( ) 6 um nmero irracional e real ( ) 0,789789789... um nmero irracional e real

( ) 56

um nmero racional, porm no inteiro nem natural

( ) 126

um nmero natural e inteiro

( ) A multiplicao de dois nmeros naturais resulta sempre em um nmero natural ( ) A subtrao entre dois nmeros naturais resulta sempre em um nmero natural ( ) O elemento neutro da multiplicao e diviso o nmero 1, enquanto o da adio e subtrao o 0 ( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto adio quanto multiplicao ( ) A propriedade associativa est presente na adio e na multiplicao, porm no vlida na subtrao e na diviso ( ) A soma de um nmero racional com um nmero irracional tem como resultado um nmero irracional

( ) possvel localizar o nmero 11 exatamente na reta numrica ( ) O mdulo de um nmero igual ao mdulo de seu oposto ( ) Todo nmero inteiro tem um sucessor e um antecessor ( ) Todo nmero natural positivo tem um sucessor e um antecessor ( ) O conjunto dos nmeros inteiros no negativos equivalente ao conjunto dos nmeros naturais positivos ( ) Os nmeros decimais, desde que representados com um nmero finito de casas decimais, fazem parte do conjunto dos nmeros racionais ( ) 53,2% um nmero racional, porm no um nmero inteiro

49699682760


!

( ) Sabendo que o nmero de Euler e = 2,718281828459045235360287..., ele deve ser um nmero real ( ) Nos conjuntos dos nmeros inteiros e racionais, a adio e a subtrao possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo no ocorre no conjunto dos nmeros naturais ( ) A diviso de nmeros inteiros sempre gera um nmero racional, porm no necessariamente inteiro.

RESOLUO: Vamos examinar cada alternativa rapidamente. Se tiver dvidas, sugiro que voc volte no tpico de teoria especfico.

( ) Todo nmero racional real, porm nem todo nmero real racional Certo. Q est contido em R, porm h nmeros reais que no so racionais (ex.: nmeros irracionais).

( ) Todo nmero natural tambm inteiro, e todo nmero irracional no inteiro Certo. Sobre a segunda parte, veja que todo nmero irracional possui infinitas casas decimais, logo no pode ser inteiro.

( ) -1520 um nmero natural, inteiro, racional e real Errado. 1520 negativo, logo no pode ser natural (porm inteiro, racional e real).

( ) 72 um nmero natural, inteiro, racional e real Certo.

( ) 4 um nmero natural, inteiro, racional e real Certo, pois 4 = 2, que natural.

( ) 6 um nmero irracional e real Certo, pois 6 no exata, sendo formada por infinitas casas decimais.

( ) 0,789789789... um nmero irracional e real

49699682760


!

Errado, pois trata-se de uma dzima peridica, sendo portanto um nmero racional.

( ) 56

um nmero racional, porm no inteiro nem natural

Certo.

( ) 126

um nmero natural e inteiro

Certo, pois 126

= 2, que natural e inteiro.

( ) A multiplicao de dois nmeros naturais resulta sempre em um nmero natural Certo. Essa a propriedade do fechamento na multiplicao de nmeros naturais.

( ) A subtrao entre dois nmeros naturais resulta sempre em um nmero natural Errado. Ex.: 5 7 = -2 (negativo, portanto no natural)

( ) O elemento neutro da multiplicao e diviso o nmero 1, enquanto o da adio e subtrao o 0 Certo.

( ) A propriedade distributiva aplica-se tanto adio quanto multiplicao Errado. Somente multiplicao.

( ) A propriedade associativa est presente na adio e na multiplicao, porm no vlida na subtrao e na diviso Certo.

( ) A soma de um nmero racional com um nmero irracional tem como resultado um nmero irracional Certo. Um nmero irracional tem uma quantidade infinita de casas decimais (que no se repetem numa ordem definida). Ao somar com um nmero racional, o

49699682760


!

resultado ter tambm um nmero infinito de casas decimais, sendo impossvel

escrev-lo na forma AB

(pois no ser uma dzima peridica). Veja um exemplo:

3

22

1,5 1,41421356...2,91421356...

+ =

+ =

( ) possvel localizar o nmero 11 exatamente na reta numrica Errado. Trata-se de um nmero irracional.

( ) O mdulo de um nmero igual ao mdulo de seu oposto Certo. |A| = |-A|

( ) Todo nmero inteiro tem um sucessor e um antecessor Certo.

( ) Todo nmero natural positivo tem um sucessor e um antecessor Certo. No conjunto dos nmeros naturais, todos tem um sucessor, e apenas o zero no tem antecessor. Entretanto, como o item mencionou apenas os nmeros naturais positivos, podemos excluir o caso do zero.

( ) O conjunto dos nmeros inteiros no negativos equivalente ao conjunto dos nmeros naturais positivos Errado. A diferena a presena ou no do zero. Veja: - nmeros inteiros no negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} - nmeros naturais positivos = {1, 2, 3, 4, 5...}

( ) Os nmeros decimais, desde que representados com um nmero finito de casas decimais, fazem parte do conjunto dos nmeros racionais Certo. Veja no material terico os 3 tipos de nmeros racionais (fracionrios, decimais e dzimas peridicas).

( ) 53,2% um nmero racional, porm no um nmero inteiro

49699682760


!

Certo. 53,2% escrito na forma decimal corresponde a 0,532. Portanto, possui nmero finito de casas decimais, sendo racional, porm no inteiro.

( ) Sabendo que o nmero de Euler e = 2,718281828459045235360287..., ele deve ser um nmero real Certo. Trata-se de um nmero irracional, que tambm pertence ao conjunto dos nmeros reais.

( ) Nos conjuntos dos nmeros inteiros e racionais, a adio e a subtrao possuem a propriedade do fechamento, entretanto o mesmo no ocorre no conjunto dos nmeros naturais Certo.

( ) A diviso de nmeros inteiros sempre gera um nmero racional, porm no necessariamente inteiro. Certo, pois a prpria definio dos nmeros racionais diz que todos os

nmeros na forma AB

, onde A e B so inteiros, faz parte daquele conjunto.

Entretanto, a diviso AB

pode resultar em um nmero inteiro (ex.: 6 32

= ) ou no

(ex.: 5 2,52

= ).

01. FGV CAERN 2010) Analise as afirmativas a seguir: I 6 maior do que 5

2

II 0,555... um nmero racional III Todo nmero inteiro tem um antecessor Assinale:

a) Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas b) Se somente a afirmativa II estiver correta c) Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas d) Se somente a afirmativa I estiver correta e) Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas

49699682760


!

RESOLUO: Vamos comentar cada alternativa:

I 6 maior do que 52

Vamos assumir que essa afirmativa verdadeira e test-la. Se 562

> ,

ento, elevando os dois lados ao quadrado:

( ) 22 56 2 > 2564

>

6 4 2524 25

>

>

Veja que 24 > 25 um absurdo. Portanto, s se pode concluir uma coisa: 562

< , ou seja, a alternativa I falsa.

II 0,555... um nmero racional

0,555... ou 0,5 uma dzima peridica. Como vimos, as dzimas peridicas

tambm so nmeros racionais, pois podem ser escritos na forma AB

, onde A e B

so nmeros inteiros. Essa alternativa est correta.

III Todo nmero inteiro tem um antecessor De fato, todo nmero inteiro tem um antecessor. Basta visualizar a reta numrica, e veremos que para cada nmero inteiro n, existe um nmero inteiro n-1, que o seu antecessor:

Assim, essa alternativa tambm est correta. Resposta: E.

49699682760


!

02. CEPERJ PREFEITURA DE ITABORA 2011) Considere a expresso 155

x

x

+

+, onde x > 0. O nmero mximo de valores inteiros de x que tornam a

expresso dada tambm um nmero inteiro :

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

RESOLUO: Chamemos de z um dos nmeros inteiros dados pela expresso do enunciado. Portanto, sabemos que:

155

xz

x

+=

+

Como queremos saber quantas possibilidades existem para x, vamos isolar essa varivel. Acompanhe a manipulao algbrica abaixo:

+ = +( 5) 15z x x

+ = +5 15zx z x

= 15 5zx x z

= ( 1) 15 5x z z

15 51z

xz

=

Sendo assim, vamos testar alguns valores de z, lembrando que z deve ser um nmero inteiro, e x deve ser inteiro e positivo.

- Se z = 0, 15 5 0 15 150 1 1

x

= = =

. Como x no pode ser negativo, essa no

uma possibilidade vlida.

- Se z = 1, 100

x = . Entretanto a diviso de um nmero inteiro por zero impossvel

(exceto 00

, que um valor indeterminado). Logo, x = 1 no nos serve.

49699682760


!

- Se z = 2, x = 5, o que uma possibilidade vlida.

- Se z = 3, x = 0, o que no vale, pois x deve ser maior que zero.

- Se z = 4 ou mais, veja que x ser negativo, pois 15-5z ser negativo e z-1 ser positivo.

Faltou testar valores negativos para z (lembre-se que apenas x precisa ser >0). Entretanto, veja que se z for negativo, x ser tambm negativo (o que no vlido). Isso porque o numerador (15-5z) ser um valor positivo, e divisor (z-1) ser negativo, o que resulta em um nmero negativo. Para ilustrar, vamos testar z = -2:

15 5 ( 2) 252 1 3

x

= =

Assim, temos apenas 1 possibilidade vlida para x, que 5.

Resposta: B.

03. CEPERJ PREFEITURA DE BELFORD ROXO 2011) Os nmeros x e y so

tais que 10 30x e 40 60y . O maior valor possvel da expresso xy

:

a) 12

b) 34

c) 14

d) 23

e) 16

RESOLUO:

O maior valor possvel para xy

obtido quando o numerador (x) o maior

valor possvel e o denominador (y) o menor valor possvel. Como 10 30x , o

49699682760


!

maior valor possvel de x 30. E, sendo 40 60y , o menor valor possvel para y

40. Logo, temos:

30 340 4

x

y= =

Resposta: B.

04. CEPERJ PREFEITURA SO GONALO 2011) Em um determinado concurso foram totalizados 1500 candidatos inscritos, entre homens e mulheres. No

dia da prova faltaram 49

das mulheres e estavam presentes 56

dos homens. E

verificou-se que o nmero de homens e mulheres presentes no dia da prova era o mesmo. A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso foi de:

a) 30% b) 40% c) 45% d) 50% e) 60%

RESOLUO: Veja que essa questo envolve a manipulao de nmeros racionais, escritos

de duas formas: na forma fracionria, ab

, e na forma percentual. Para resolver,

vamos usar a letra m para representar o total de mulheres inscritas e h para representar o total de homens inscritos no concurso. De incio, sabemos que:

h + m = 1500

Faltaram 49

das mulheres. Se voc se lembra da minha dica, a expresso

das pode ser substituda pelo smbolo de multiplicao, da seguinte forma:

49

das mulheres = 49

m

O nmero de mulheres presentes, portanto, foi:

49699682760


!

4 59 9

m m m =

O nmero de homens presente, conforme o enunciado, foi de 56

h . E, se o

nmero de homens e mulheres presentes foi igual, temos:

5 59 6

m h=

Logo, 6 29 3

h m m= = . Substituindo h na expresso h+m=1500 por 23

m ,

temos:

2 150035 15003

31500 9005

m m

m

m

+ =

=

= =

Assim, as mulheres inscritas eram 900 em um total de 1500 candidatos. Percentualmente, elas eram:

900 9 3 0,6 60%1500 15 5

= = = =

Resposta: E.

05. FCC TRT/4 2011) Considere o nmero inteiro X1Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y um nmero:

a) Quadrado perfeito b) Menor que 10 c) Primo d) Divisvel por 6 e) Mltiplo de 4

RESOLUO:

49699682760


!

Ora, se 31692 761X Y

= , ento 31692 176

X Y= . Fazendo a diviso, temos:

417 1X Y=

Portanto, X = 4 e Y = 7. Assim, X+Y = 11, que um nmero primo. Alternativa C.

Resposta: C.

06. FCC TRT/22 2010) Seja P o produto de um nmero inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas trs dgitos e P tem os algarismos das unidades, dezenas e centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, ento P + N igual a:

a) 6480 b) 6686 c) 6840 d) 5584 e) 5960

RESOLUO: Quero mostrar-lhes 3 formas de resolver essa questo, todas relativamente

simples. Recomendo entender as 3, pois pode ser que em outra questo parecida seja possvel usar apenas 1 dos mtodos. Vamos comear entendendo a questo e estruturando o problema.

Sabemos que N possui trs dgitos, portanto vamos represent-lo como sendo o nmero xyz, onde x, y e z so os dgitos que representam as centenas, dezenas e unidades, respectivamente. Sabemos ainda que o nmero P termina com 364.

Assim, temos que N*9 = P, ou seja,

xyz * 9 = w364 (w representa o algarismo da casa dos milhares do nmero P)

Voc reparou que eu assumi que P possui 4 dgitos? Fiz isso porque um nmero de 3 dgitos multiplicado por 9 no pode dar um nmero maior que 4 dgitos. Afinal, mesmo o maior nmero de 3 dgitos (999) multiplicado por 9 tem 4 digtos.

49699682760


!

Ah, e pode ser que a gente descubra que w igual a zero, isto , que P tem apenas 3 dgitos.

Primeira forma de resolver: Sabemos que N*9 = P, portanto podemos dizer que N = P/9. Se N igual a P

dividido por 9, isso significa que P deve ser divisvel por 9 (caso contrrio N no seria um nmero inteiro, ou seja, teria casas decimais).

Qual o critrio de divisibilidade por 9? Um nmero divisvel por 9 se a soma dos seus algarismos tambm divisvel por 9. A soma dos algarismos de P w + 3 + 6 + 4 = w + 13. Qual o nico algarismo que, somado a 13, chega a um nmero divisvel por 9? Ora, w = 5, pois sabemos que 18 divisvel por 9, e 5 + 13 = 18. Portanto, P = 5364. Basta dividir 5364/9 que chegaremos no valor de N, neste caso, 596. Logo, N + P = 5960.

Segunda forma de resolver: (soluo braal) Digamos que voc entendeu que P deve ser divisvel por 9, mas no se recordou

de critrio de divisibilidade algum. Ora, no existem muitas opes para w (ele s pode ir de 0 a 9). Logo, voc pode substituir w por cada algarismo e tentar dividir P por 9. Quando conseguir, ter encontrado P e N (ex.: ao substituir w por 5, ver que 5364/9 = 596, encontrando simultaneamente P = 5364 e N = 596).

Terceira forma de resolver: Nesta resoluo vamos detalhar cada passo da multiplicao de xyz*9=w364.

Voc sabe que ns devemos comear multiplicando a casa das unidades de xyz por 9. Fazendo isso, vemos que z multiplicado por 9 resulta em um nmero terminado em 4. Ou seja, s h uma possibilidade para z: ele deve ser o algarismo 6, pois sabemos que 6 x 9 = 54. Nenhum outro algarismo, quando multiplicado por 9, resulta em um nmero terminado em 4. Substituindo o valor de z na equao acima, temos:

xy6 * 9 = w364 Vamos agora analisar o nmero y. Veja que y multiplicado por 9, e somado 5 (que vieram da multiplicao vista no pargrafo acima), resulta em um nmero terminado em 6. Subtraindo os 5 que vieram da multiplicao anterior, temos um

49699682760


!

nmero terminado em 1. O nico algarismo que, multiplicado por 9, resulta em um nmero terminado em 1, prprio 9 (9*9 = 81). Logo, y 9. At aqui, temos:

x96 * 9 = w364 Por fim, temos que o algarismo x multiplicado por 9 resulta em um nmero com final tal que, somado com os 8 que vieram da multiplicao anterior, resulta em um nmero terminado em 3. Portanto, x deve ser 5, pois 5*9 = 45, e 45 + 8 = 53:

596 * 9 = w364 Assim, vemos que w deve ser o algarismo 5, que veio da multiplicao mostrada no pargrafo anterior. De fato, verdade que:

596 * 9 = 5364 Assim, N 596 e P 5364, e a soma N+P = 5960 Resposta: E.

07. FCC TRT/24 2011) Nicanor deveria efetuar a diviso de um nmero inteiro e positivo N, de trs algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se, invertendo as posies dos dgitos extremos e mantendo o seu dgito central. Assim, ao efetuar a diviso do nmero obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24. Nessas condies, se q e r so, respectivamente, o quociente e o resto da diviso de N por 63, ento:

a) q + r = 50. b) r < 40. c) q < 9. d) r mltiplo de 4. e) q um quadrado perfeito.

RESOLUO: Se um nmero N, dividido por D, deixa quociente q e resto r, podemos dizer que N = D*q + r. Ex: 7 dividido por 2 tem quociente 3 e resto 1. Logo, 7 = 2*3 + 1, concorda? Vamos chamar de M o nmero que foi utilizado por engano, isto , o nmero N com os dgitos extremos trocados. Sabemos que M dividido por 63 tem quociente 14 e resto 24. Logo,

M = 63*14 + 24 M = 882 + 24 = 906

49699682760


!

Se M = 906, N deve ser 609 (basta trocar os algarismos das extremidades). Dividindo N por 63, temos:

609 6342 9

Isto , q = 9 e r = 42. Das respostas possveis, vemos que apenas a letra E est correta, pois sabemos que 9 um quadrado perfeito (isto , a raiz quadrada de 9 um nmero inteiro, neste caso 3). Resposta: E.

08. FCC TRT/01 2011) Se X um nmero inteiro positivo tal que 1 1 1 12 3 7

Ex

= + + + seja um nmero inteiro, ento:

a) Existem infinitas possibilidades distintas para x b) X mltiplo de 12 c) X maior que 84 d) X tem oito divisores e) E pode ser maior que 2

RESOLUO: Inicialmente, para somar as fraes que compem o nmero E, preciso escrev-las com o mesmo denominador. A multiplicao dos denominadores (237x, ou 42x) sempre uma possibilidade de denominador comum. Portanto, vamos utilizar esse denominador. Assim, teramos:

21 14 6 4242 42 42 4221 14 6 42

4241 42

42

x x xEx x x xx x xE

xxE

x

= + + +

+ + +=

+=

Feito isso, podemos manipular a equao acima para isolar a varivel x:

49699682760


!

42 41 42(42 41) 42

4242 41

E x xx E

xE

= +

=

=

Lembra que tanto x quanto E devem ser nmeros inteiros? Veja que se E for igual a 1, x tambm ser inteiro:

42 42 4242 1 41 1

x = = =

Veja ainda que se E for maior que 1, o denominador ser maior que o numerador (portanto no obteremos nenhum nmero inteiro). Por exemplo, se E = 2, temos:

42 4242 2 41 43

x = =

Ou seja, se E > 1, no possvel que x seja um nmero inteiro. Ainda, se E=0, x tambm no ser inteiro:

42 4242 0 41 41

x = =

E tambm sabemos que E no pode ser menor que zero, pois o enunciado disse que ele inteiro positivo. Dessa forma, a nica possibilidade E = 1 e x = 42.

Como 42 tem 8 divisores (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42), a alternativa correta a letra D. Resposta: D.

09. FCC TRT/1 2011) Em uma campanha de doao de livros, x pessoas receberam 4 livros, e y pessoas receberam 3 livros, sendo x e y nmeros inteiros e positivos. Se foram distribudos 100 livros, ento, as possibilidades diferentes para x + y so em nmero de:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

49699682760


!

e) 10 RESOLUO: Como foram distribudos 100 livros no total, temos que:

4 3 100x y+ =

Para facilitar a anlise, podemos isolar uma das variveis (por ex.: y) dessa equao da seguinte forma:

4 3 1003 100 4

100 4 2543 3

x yy x

x xy

+ =

=

= =

Como y deve ser um nmero inteiro, isso significa que 25-x deve ser divisvel por 3. Como x e y devem ser nmeros naturais (pois representam quantidades de pessoas), podemos ir variando o valor de x de modo que 25-x seja divisvel por 3 (ou seja, 25-x deve ser igual a 24, 21, 18, 15 etc.). Por exemplo, para que 25-x seja igual a 24, x deve ser igual a 1. E, substituindo x = 1 na expresso acima, y = 4 x 24/3 = 4x8 = 32. Veja os demais casos na tabela abaixo:

25 x x y x+y

24 1 32 33

21 4 28 32

18 7 24 31

15 10 20 30

12 13 16 29

9 16 12 28

6 19 8 27

3 22 4 26

0 25 0 26

49699682760


!

Veja, na coluna da direita da tabela acima, que temos 9 possibilidades para x+y. Entretanto, devemos excluir a ltima (x = 25 e y = 0), pois o enunciado disse que tanto x quanto y devem ser nmeros inteiros positivos (e o zero no considerado um nmero natural positivo, lembra-se?). Assim, ficam 8 possibilidades vlidas.

Resposta: C.

10. FCC TRT/1 2011) Sejam x e y nmeros naturais, e e smbolos com os seguintes significados:

- x y igual ao maior nmero dentre x e y, com x y ;

- x y igual ao menor nmero dentre x e y, com x y ;

De acordo com essas regras, o valor da expresso [64 (78 64)] {92 [(43 21) 21]} :

a) 92 b) 78 c) 64 d) 43 e) 21

RESOLUO: Devemos lembrar aquela regra bsica para resoluo de equaes matemticas: primeiro resolvemos o que est entre parnteses (), depois entre colchetes [], e por fim o que est entre chaves {}. Assim, efetuando as operaes e como definidas no enunciado, veja os passos abaixo:

[64 (78 64)] {92 [(43 21) 21]}[64 78] {92 [21 21]}64 {92 21}64 9264

= =

==

Resposta: C.

49699682760


!

11. FCC TRT/22 2010) Em julho de 2010, dois Analistas Judicirios receberam um lote com X licitaes para emitir pareceres. No ms seguinte, indagados sobre quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam: Anabela: 6/11 do total das licitaes receberam meu parecer

Benivaldo: A quantidade de licitaes em que dei meu parecer corresponde a 3/5 do nmero de pareceres emitidos por Anabela.

Sabendo que cada licitao recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e que a soma das quantidades que cada um emitiu era um nmero compreendido entre 100 e 150, ento:

a) X < 50 b) 50 < X < 100 c) 100 < X < 150 d) 150 < X < 200 e) X > 200

RESOLUO: Sabemos que Anabela deu parecer em 6/11 do total de licitaes (X), ou

seja, o nmero de licitaes em que ela deu parecer 6 X11

. J a quantidade de

licitaes com parecer de Benivaldo 3/5 do total de Anabela, ou seja, 3 6 18X X5 11 55

=

.

Sabemos que tanto o nmero de licitaes com parecer de Anabela quanto

de Benivaldo devem ser nmeros inteiros. Isto , 6 X11

e 18 X55

devem ser nmeros

inteiros.

Somando os pareceres dados por Anabela e por Benivaldo, temos:

49699682760


!

6 18X X11 5530 18X+ X=55 5548 X55

+ =

Sabemos que a soma dos pareceres dados por ambos deve ser um nmero inteiro. E este nmero deve estar entre 100 e 150. Ou seja,

48100 X

!

em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres, respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um nmero compreendido entre 100 e 200, correto afirmar que:

a) h+m = 158 b) h-m = 68 c) 70 < h < 100 d) 50 < m < 70 e) m.h < 4000

RESOLUO: Devemos comear simplificando a expresso dada. Acompanhe os passos abaixo:

13 13 133

1 1 13 3 31 1 33 3 3 19 1 8 83 3

1 1 13 3 33 24 3 2138 8 88 8 63 8 553 1 321 21 21 21

hm

hm

hm

hm

=

= = =

= = =

= = = =

Como 5521

hm

= , podemos escrever que 5521

h m= . E como o exerccio diz que

o total de participantes est entre 100 e 200 pessoas, temos que:

100 20055100 2002176100 20021

h m

m m

m

< +

Documents

curso-3200-aula-01