D - Torcao Pura

  • View
    102

  • Download
    6

Embed Size (px)

Transcript

D - Toro Pura

4.0 TORO PURA 4.1 MOMENTO DE TORO TORQUE Quando uma barra reta submetida, exclusivamente, a um momento em torno do eixo da barra, diz-se que estar submetida a um momento toror (ou torque). o caso comum dos eixos que transmitem potncia de motores para mquinas utilizadoras. A Fig. 4.1.1 representa um eixo de transmisso acionando um utilizador (bomba) atravs de um torque motor. Ao ser acionado, o movimento de rotao acelerado at que o torque resistente (crescente com o aumento da velocidade de rotao) iguala o torque motor, permanecendo, ento, o eixo em rotao constante e torcido por um torque uniforme entre suas extremidades. Torque Resistente

Utilizador

Torque MotorMotor Fig. 4.1.1 Eixo submetido a Torque constante ao longo de sua extenso, entre os flanges do motor e do utilizador, aps ser alcanada a velocidade em regime permanente de rotao.

A potncia P transmitida est relacionada com o torque T e a rotao atravs da relao: P = W/t = 2F. r / t = T . ; portanto, T = P/............(4.1.1)F

r

Exemplo 4.1.1 Um motor de 60 CV (1 CV = 736 w) aciona um utilizador atravs de um eixo com 4.000 rpm. Calcule o torque aplicado ao eixo. Soluo: P = 60 x 736 = 44,16 kW;

F

= 4000 x 2 / 60 =418,9 rad/s.T =105,4 m.N (Resp.)

9

D - Toro Pura

4.2 EIXOS DE SEO CIRCULAR E MATERIAL ELSTICO. O caso mais simples a ser analisado, e de grande importncia, por sua vasta aplicao nos equipamentos mecnicos, se refere aos eixos de transmisso de potncia de mquinas, fabricados em material elstico, torneados de forma a que sua seo transversal seja de forma circular (no caso dos eixos macios) ou em forma de coroa de crculo (eixos vazados). Pela simetria circunferencial envolvida, tanto sob o aspecto geomtrico como quanto ao carregamento, podemos afirmar que as tenses tangenciais despertadas nos diversos pontos da seo transversal sero funo apenas da distncia r do ponto em relao ao centro do eixo, onde a tenso dever ser nula. Admitindo que a deformao por toro do eixo provoque a rotao de uma seo em relao contgua (e que um certo dimetro, aps girar, permanea reto, mantendo-se como um dimetro), podemos afirmar que as deformaes por distoro () variaro linearmente em funo da distncia ao centro (r), e, admitindo ainda, tratar-se de um material elstico, para o qual as tenses so proporcionais s distores , podemos presumir que as tenses tangenciais iro variar linearmente com r, e escrever:

MaxT

L

r dr

r

(a) (b)

Fig. 4.2.1 Toro pura de eixos de seo circular; (a) tenses tangenciais ao longo da seo transversal; (b) deformaes por distoro das fibras longitudinais e por rotao da seo transversal.

= k r...........................................(4.2.1)Como o torque T a resultante dos momentos das foras tangenciais atuantes na seo, em relao a seu centro, podemos escrever:D/2

T = 0 2 r dr x r. Considerando a relao linear (4.2.1) teremos:D/2

T = 0 k 2 r3 dr = k [2 r4/4]0D/2 = k D4/32, de onde tiramos: k = T / ( D4/32).10

Convm observar que o termo D4/32 vem a ser o momento de inrcia polar (Jp) da rea da seo em relao a seu centro. Levando em (4.2.1) teremos: = (T/Jp) r = [T / ( D4/32)] r. ............................................(4.2.2) A mxima tenso ocorrer ao longo da borda externa do eixo, onde r = D/2, e. Max = 16 T / D3..........................................................(4.2.3) que pode ser reescrita como: Max = T / Wt sendo Wt o denominado mdulo de resistncia toro do eixo, valendo Wt = D3/16 0,2D3Exemplo 4.2.1 Para o eixo focalizado no exemplo 4.1.1, determine o valor admissvel para seu dimetro, adotando um valor mximo para a tenso tangencial que no ultrapasse 60 MPa. Soluo: utilizando a equao 4.2.3, teremos: (Dmin)3 =(16 x 105,4) / x 60 x 106 = 8,947 x 10-6 m3 e D = 20,8 mm (Resp.)

D - Toro Pura

Interessante realar que a parte central de um eixo macio (onde as tenses so baixas) pouca contribuio ter com respeito ao momento de inrcia polar, fazendo com que a tenso mxima seja diminuda no caso dos eixos vazados (largamente utilizados na indstria aeronutica, onde a questo de pesos crucial).

max

Para os eixos vazados teremos: Jp = (/32)(D4 d4), que levada em (4.4) d:

max = 16 T / D3 (1 - 4) ............(4.2.4)D d

sendo = d/D.

Fig. 4.2.2 Tenses nos eixos de material elstico e seo circular torcidos L

r R T

Quanto s deformaes entre duas sees contguas, separadas de L, podemos estabelecer a seguinte relao entre a distoro sofrida por uma fibra longitudinal distante r do centro e a deformao angular entre as sees:11

Fig. 4.2.3 Deformaes nos eixos de material elstico e seo circular torcidos

D - Toro Pura

r = ............................................ (4.2.5) L Levando em conta a hiptese de ser elstico o material ( = G ), teremos: r d = (/G) dL ...................................(4.2.6)Considerando (4.2.2) (/r = T/Jp) obtemos:

d = dL / G Jp ......(4.2.7)No caso de um eixo de dimetro e material uniformes ao longo de sua extenso L0, a integrao de (4.2.7), de L=0 a L=L0 nos fornece:

= T L0 / G Jp ........(4.2.8)(observe a semelhana entre as equaes 4.2.8, 1.6.8 e 3.1.1), sendo: Jp = (D4 d4)32 0,1 (D4 d4) A T1 = 30kN.m B T1 = 15kN.m T1

Exemplo 4.2.2 Para o eixo esquematizado pede-se determinar: a) a mxima tenso tangencial; b) o ngulo de toro entre as sees A e D. Obs.: o trecho macio BC se encaixa no trecho vazado AB, sendo fixado por um pino transversal em B. Dados: Gao = 80 GPa; GLatao = 39 GPa.

Lato Vazado D=150;d=100

C 400 600

T1 = 5kN.m

D

Ao Macio D=100 mm

Soluo: o diagrama de torques ao longo do eixo permite obter os valores assinalados na figura ao lado: trecho DC: T = 5kN.m; trecho CB: T = 10kNm; trecho BA: T = 15 kNm. Portanto, as tenses mximas calculadas por (4.2.3) atingiro os valores: CD- max = 16x5x103/(0,080)3 = 49,7MPa BC- max = 16x10x103/(0,100)3 = 50,9 MPaBA- onde = 100/150 = 0,6667, teremos: max = 16x20x103/(1 4)(0,150)3 = 37,6 MPa

20kN.m

Ao Macio D=80 mm

500 mm

T 5kN.m 10kN.m

Portanto: Resp. (a)

max = 50,9 MPa (trecho BC).

Quanto s deformaes teremos:12

D - Toro Pura

DA = DC + CB + BA (soma algbrica), sendo = T L / G Jp DC = [5x103 x 0,500] / [(80x109)()(0,080)4/32] = 0,007771 rad ( ) CB = [10x103 x 0,600] / [(80x109)()(0,100)4/32] = 0,007639 rad () BA = [20x103 x 0,400] / [(39x109)()(0,1504 0,1004)/32] = 0,005143 rad ( ). Portanto: DA = 0,007771 0,007639 + 0,005143 = 0,005275 = 0,30 (Resp. b)32 dentes Eixo intermedirioR = 180mm 4

192 dentes Exemplo 4.2.3 - A caixa redutora (dupla reduo) esquematizada na figura transmite uma potncia de 200 CV, a 3600 rpm, reduzindo a rotao na sada para 100 rpm. Pede-se dimensionar o eixo intermedirio (ao - G = 80GPa e adm = 60 MPa). Considerar ainda como deformao limite o valor /L = 2,5 /m.

3

2 1 R= 30mm

200 CV3600 rpm

Soluo O eixo que aciona o pinho (1) de entrada da caixa estar submetido a um torque T1 = 200 x 736 / (3600x2/60) = 390,5 N.m; a componente tangencial da fora de contato entre os dentes do pinho e da engrenagem (coroa 2) valer F12 = 390,5/0,030 = 13,02kN. Portanto o torque aplicado ao eixo intermedirio pela coroa 2 valer T2 = 13,02 x 0,180 = 2.343 N.m (os torques variam na razo inversa das velocidades e proporcionalmente aos raios, dimetros e n de dentes das engrenagens). Admitindo desprezveis as perdas por atrito (hiptese conservativa para o clculo dos esforos nas diversas partes do mecanismo) conclumos que o eixo intermedirio estar submetido a um torque T2 = T3 = 2,343 kN.m. Tratando-se de um eixo macio e, levando em conta (4.2.3), podemos escrever, atendendo ao critrio de resistncia estabelecido:

Max = 16 T / D3 ; 60 x 106 = 16 x 2,243 x 103 / (D)3

e D = 57,5 mm

/ L0 = T / G Jp; (2,5 / 57,3 *) = 2,243 x 103 / (80 x 109)( D4/32) e D = 50,6 mm.

Considerando o critrio de rigidez admitido teremos, levando em conta (4.2.8):

Portanto teremos: D = 58 mm (resposta) (valor que atende aos dois critrios) * o ngulo deve ser expresso em radianos (1 rad = 57,3)

D = 20mm R

D = 18mm

r

Exerccio proposto: O motor M, de 3,5 CV,

C M

aciona o compressor C atravs do sistema de correias planas mostrado.Desprezando as perdas e considerando to-somente as tenses devido toro nos eixos das polias (de raios R = 120mm e r = 30mm), pede-se determinar a velocidade de rotao limite para o motor ( especificando se mxima ou mnima) de maneira a que a tenso tangencial nos eixos no ultrapasse o valor: = 70,0 MPa.13

D - Toro Pura

4.3 PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS. O conhecimento das deformaes por distoro angular dos eixos torcidos permite a soluo de problemas hiperestticos, bastando utilizar, em complemento s equaes de equilbrio dos torques, as equaes de compatibilidade de deformaes.T G2 ; D2

No exemplo da figura ao lado, o eixo escalonado bi-engastado, estando submetido ao toque T.

A B

L1 G1 ; D1 L2

C

A anlise do diagrama de torques permite escrever, pelas condies de equilbrio:

T1

T

T2

T1

+

T2 = T .....................(1)

A compatibilidade de deformaes (o ngulo de toro da seo B em relao ao engaste A igual em relao ao engaste C) permite escrever:

T1 L1 / G1 JP1 = T2 L2 / G2 JP2...(2)(sistema de 2 equaes que nos permite obter o valor das duas incgnitas T1 e T2)

T1 T2Fig. 4.3.1 Eixo bi-engastado e torcido.

Cordes de Solda

F CD = 20 TC 600 RB = 40 D = 20

Exemplo 4.3.1 Os eixos esquematizados so fabricados em ao (G = 80 GPa). Pede-se calcular: a) a mxima tenso tangencial; b) o ngulo de giro