O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

1

UM ESTUDO SOBRE AS GEOMETRIAS: EUCLIDIANA E NÃO EUCLIDIANA

DANDO ÊNFASE A GEOMETRIA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Seila Barboza de Lima1

Valdeni Soliani Franco2

RESUMO

Este artigo descreve os resultados obtidos com a aplicação de algumas atividades sobre Geometrias, desenvolvidas com oitenta e dois alunos do 2° ano e 3° ano do Ensino Médio, em um Colégio Estadual de uma cidade ao norte do Estado do Paraná, e também faz uma avaliação a respeito de alguns depoimentos de professores da rede estadual de Ensino do Paraná que participaram do Grupo de Trabalho em rede – GTR, no qual foi trabalhado o mesmo tema, a saber, Geometrias. O objetivo do projeto foi de ampliar os conhecimentos de Geometria Euclidiana e das Geometrias Não Euclidianas, dando ênfase a Geometria da Superfície Esférica. O que nos motivou a realizar esta pesquisa, foi que a partir da matemática moderna, notou-se um abandono no ensino de Geometria, conforme indicam várias pesquisas que serão referenciadas no texto. A utilização de materiais manipuláveis foi um dos recursos na aplicação das atividades para tratar a Geometria da Superfície Esférica. Conforme foi observado durante a pesquisa, houve uma grande participação dos alunos nas aulas em que foram utilizados os materiais manipuláveis e as atividades diferenciadas. Esses recursos foram um grande aliado para definir a Geometria da Superfície Esférica e explorar as diferenças entre as Geometrias.

Palavras-chave: Geometria Euclidiana; Geometria Não Euclidiana; Geometria da Superfície Esférica; materiais manipuláveis.

1 Professora mestre da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná

e-mail: barbozaseila@seed.pr.gov.br 2 Professor doutor do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá

e-mail: vsfranco@uem.br

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INTRODUÇÃO

Os resultados relatados nesse artigo só foram possíveis de serem obtidos,

porque no primeiro ano de PDE tivemos afastamento integral do trabalho para a

dedicação exclusiva aos estudos. A isso foi associado à orientação de um professor

universitário de importância fundamental para a aquisição do embasamento teórico

das Geometrias: Euclidianas e Não Euclidianas, dando o suporte necessário para a

elaboração do projeto, da unidade didática e desse artigo.

O que nos levou a realizar esta pesquisa, foi que a partir da matemática moderna,

notou-se um abandono no ensino de Geometria e nos livros didáticos a geometria

era deixada para os últimos capítulos, fato observado em diversos trabalhos, tais

como PAVANELLO (1989), PIROLA (2000), VIANA (2000), PEREIRA (2001).

Segundo PAVANELLO (2002), a geometria é um dos conteúdos que os

professores tem mais dificuldades. Por isto é necessário a dedicação do professor

para a compreensão das Geometrias e perceber a importância das Geometrias e

jamais deixar de ensinar este conteúdo aos seus alunos.

Pelo que as pesquisas na área de Educação Matemática têm mostrado é que

grande parte dos alunos do Ensino Médio não está construindo o conhecimento, isto

ocorre na maioria das vezes devido a metodologia de ensino empregada pelo

professor que, em geral, é a tradicional: utilização de giz, apagador, quadro negro,

livro didático, voz e por meio de exercícios repetitivos sem a contextualização dos

mesmos, tornando as aulas desinteressantes. Isto, em geral, tem acarretado o

insucesso do aluno, pois não ocorre uma aprendizagem significativa. Por isso,

muitas vezes, o aluno não consegue aplicar os conteúdos matemáticos para resolver

questões básicas do seu dia a dia e obtém notas bem abaixo da média exigida nas

avaliações institucionais como SAEB, Prova Brasil, ENEM, entre outros.

Para, SANTOS e ORMEZZANO (2005), é inacreditável que vivendo em um

ambiente totalmente geométrico, e do conhecimento sistematizado adquirido nos

bancos escolares as pessoas nem sempre tem desenvolvido a capacidade de

observação geométrica e de diferenciação de suas dimensões, de relacionar o

cálculo e a representação gráfica, de conservar a proporção entre a medida real e a

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medida do desenho, de ver as relações geométricas na composição de uma obra de

arte, do pensar geométrico e do raciocínio visual.

A matemática não pode ser focada apenas na memorização de fórmulas e na

obtenção dos cálculos, ela deve ser trabalhada para levar o aluno a interpretar

resultados, à criação de significados, à construção de instrumentos para a resolução

de problemas, ao desenvolvimento do raciocínio lógico, da capacidade de abstrair,

generalizar, projetar. De acordo com ANDRADE e PAVANELLO (2002), muitos

pesquisadores consideram a Geometria o conteúdo matemático que mais favorece o

desenvolvimento das capacidades acima citadas.

Neste artigo, foi dado ênfase a Geometria da Superfície Esférica, resultado da

implementação didática aplicada com oitenta e dois alunos do 2° ano e 3° ano do

Ensino Médio, em um Colégio Estadual de uma cidade ao norte do Estado do

Paraná, utilizando materiais manipuláveis e atividades impressas.

Segundo, RÊGO e RÊGO (2004), acreditava-se até algum tempo atrás, que o

aluno aprendia apenas pelo método tradicional e se não ocorresse a aprendizagem

a culpa era essencialmente do aluno, desprezava-se que cada aluno tem uma

maneira própria de pensar e que este pensamento pode estar em constante

processo de mudança. A utilização de materiais manipuláveis faz com que os alunos

tenham uma visão positiva da matemática, desenvolvendo o gosto do prazer da

descoberta para enfrentar os desafios. Pelo ponto de vista de KALEFF (2006), os

materiais manipuláveis e atividades didáticas desenvolvidas em geometria devem

propiciar ao aluno a visualização das formas geométricas e a análise de

regularidades.

GEOMETRIA EUCLIDIANA

Segundo, FRANCO e GERÔNIMO (2007), a geometria surgiu no Egito e na

Babilônia de uma maneira não axiomática, mas intuitiva, com foco em aplicações de

medições, através de medição repetida de um mesmo fenômeno, regras para

auxiliar as atividades de agrimensura e a construção de pirâmides. Na antiga Grécia,

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com Tales de Mileto (624–547 a.C.) e Pitágoras (569–475 a.C.) teve início a

Geometria com caráter dedutivo, isto é, começaram a estabelecer as bases de uma

geometria lógica e organizada, utilizando um raciocínio dedutivo, sem precisar de

repetidas medições deduziam as fórmulas.

Para EVES (1992), a geometria é uma área da matemática que surgiu na

antiguidade, devido a necessidade do homem em medir a terra, isto é, em delimitar a

terra. O homem ao observar o seu dia a dia levou à concepção de curvas,

superfícies e sólidos. Os exemplos de círculos eram os mais destacados: contorno

do sol e da lua, círculos concêntricos obtidos ao cair uma pedra na superfície de um

lago, entre outros.

Euclides era um professor e matemático grego de Alexandria, que escreveu a

obra “Os Elementos”, por volta de 300 a.C.. Esta obra contém uma introdução e 13

capítulos denominados de livros, nos quais 09 capítulos são trabalhados a geometria

e os outros a aritmética dos números inteiros (maiores que zero) e também das

razões entre estes números.

Segundo, BARBOSA (1995), Euclides ficou famoso pela concepção da obra em

si, considerada como o 1º tratado científico, modelo para todos os outros em

qualquer ramo da ciência, e pela escolha que fez dos axiomas.

Na obra “Os Elementos”, no livro I, são enunciados os cinco postulados, que são

afirmações simples, aceitas sem precisar de demonstrações, mas observando o

quinto postulado não é isso que ocorre. Vamos enumerar os cinco postulados de

Euclides:

1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto. 2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta. 3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo. 4. Todos os ângulos retos são iguais. 5. Se uma reta t corta duas outras r e s (mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos interiores de um mesmo lado de t é menor que dois retos, então r e s, quando prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de t e s.

Nos livros didáticos de matemática o quinto postulado de Euclides é escrito da

seguinte maneira: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta

paralela à reta dada. Este quinto postulado ficou conhecido como o postulado das

paralelas e foi reescrito da maneira acima pelo físico e matemático escocês John

Playfair em 1795 no trabalho Elementos de Geometria.

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Proclus Diadochus, era um matemático, que na antiguidade não aceitava o quinto

postulado de Euclides, pois considerava que ele poderia ser demonstrado e portanto

deveria ser considerado um teorema. Vários matemáticos tentaram demonstrar o

quinto postulado sem sucesso, não existe demonstração para o quinto postulado.

Existem duas maneiras de negar o postulado das paralelas: uma delas é

assumindo que existem pelo menos duas retas paralelas passando por um ponto P

fora da reta e a outra maneira é assumir que não existem retas paralelas a reta dada

passando por um ponto P que não pertence a reta dada. Obtemos, respectivamente

a Geometria Hiperbólica (ou Lobachevsky) e a Geometria Elíptica (ou Riemanniana).

Segundo as DCEs (PARANÁ, 2008, p.56):

[…] Muitos problemas do cotidiano e do mundo só são resolvidos pelas Geometrias não Euclidianas. Um exemplo são os estudos que resultaram na Teoria da Relatividade em que a geometria do espaço, usada por Albert Einstein foi uma Geometria não Euclidiana, de modo como “ a luz se propaga ao longo de geodésicas e a curvatura do espaço é determinada pela natureza da matéria que o preenche”( COURANT & ROBBINS, 2000 p.276), foram fundamentais.

No parágrafo a seguir descreveremos brevemente uma das geometrias que não

é Euclidiana, a saber, a geometria da Superfície Esférica.

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GEOMETRIA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Quando um plano α passa pelo centro de uma superfície esférica S, ele é

denominado plano diametral.

Chama-se circunferência máxima a interseção do plano α com a superfície

esférica S.

Figura 3 - mostra alguns círculos máximos pelos pólos A e B

Por sua construção é fácil notar que toda circunferência máxima possui raio igual

ao da superfície esférica.

Figura 1 - A seção de uma esfera é um círculo

Figura 2 - A seção de uma superfície esférica é uma circunferência

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Já foi comentado anteriormente que a Geometria Elíptica é obtida substituindo o

quinto postulado de Euclides pela afirmação: que não existem retas paralelas (que

qualquer par de retas de um mesmo plano sempre se interceptam). Mas, ao se

trocar este postulado, existe uma inconsistência que deve ser corrigido em outros

postulados, como por exemplo, que por dois pontos passa uma única reta. Conforme

veremos, este postulado não ocorre na Geometria Elíptica.

A Geometria da Superfície Esférica é um caso particular da Geometria Elíptica

(ou Geometria Riemanniana). A seguir serão dadas algumas definições da

Geometria da Superfície Esférica:

Plano: é a superfície de uma esfera.

Pontos: são os pontos euclidianos sobre a superfície da esfera.

Retas: as circunferências máximas da esfera, tendo a superfície dessa esfera o

plano.

Alguns resultados da Geometria da Superfície Esférica:

1. Não existem retas paralelas (como as retas são as circunferências máximas quaisquer duas retas se interceptam em dois pontos distintos). 2. Por dois pontos distintos passam infinitas retas se esses pontos forem antípodas, caso contrário existe uma única reta que os contém. 3. A soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que 180°. 4. Não existem retângulos nessa Geometria, pois qualquer quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos em que a soma dos ângulos internos é maior que 180° e assim a soma dos ângulos internos do quadrilátero será maior que 360° e não será possível seus ângulos internos serem iguais a 90°.

Para o desenvolvimento do projeto e uma melhor compreensão das Geometrias

foram elaboradas atividades diferenciadas impressas tais como: atividades de

ilusões óticas, caça palavras, entre outras e também atividades envolvendo

materiais manipuláveis.

DESENVOLVIMENTO:

Inicialmente a implementação didática era para ser aplicada com apenas os

alunos da terceira série do Ensino Médio com atividades sobre a Geometria

Euclidiana e as Geometrias não Euclidianas: Geometria da Superfície Esférica e

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Geometria Hiperbólica. Mas devido a importância das Geometrias optou-se em

desenvolver também com as segundas séries do Ensino Médio.

Na sequência, apresentaremos os resultados obtidos em atividades aplicadas,

para uma melhor compreensão, descreveremos as atividades sugeridas.

A primeira atividade destacada é a relacionada com exercícios de ilusão de ótica,

envolvendo Geometrias em que cada aluno recebeu a atividade impressa, como

veremos a seguir:

Atividade 1: Observando as figuras, responda o que se pede:

1.1. Qual segmento, da figura 4 é

mais longo, AB ou CD?

1.2. Qual dos dois segmentos de reta à

direita do retângulo, da figura 5, é

continuação do segmento de reta à

esquerda do retângulo?

Figura 4 Figura 5

Grande parte dos alunos demonstrou interesse em desenvolver a atividade 1,

porém tiveram pressa em fornecer a resposta. Apenas um ou dois alunos de cada

turma preocuparam-se em utilizar a régua para ter certeza nas suas afirmações.

As atividades de ilusões óticas mostram que não é sempre que podemos confiar

nas aparências.

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ATIVIDADE 2: Observe a figura abaixo, e responda: as retas r e s são paralelas?

Figura 6 – retas r e s e um feixe de retas concorrentes

Esta atividade foi desenvolvida com auxílio da investigação matemática.

Antes de iniciar a atividade 2, os alunos foram indagados com a seguinte

questão: O que são retas paralelas?

Em todas as turmas os alunos tiveram dificuldades em definir corretamente retas

paralelas. A seguir algumas respostas citadas pelos alunos:

- retas paralelas são retas que estão lado a lado. - eu sei, mas não consigo explicar. - mostrou com as mãos indicando que as retas não se cruzam. - as linhas do quadro negro (o quadro negro é quadriculado).

Notou-se que os alunos possuem dificuldade em definir retas paralelas, porém

eles as identificam.

Apenas dois alunos comentaram que a princípio as retas r e s do enunciado da

atividade 2 não eram paralelas. Observa-se que quanto menor o desenho da figura 6

maior a impressão de que as retas não são paralelas e a figura entregue para o

aluno foi maior que deste artigo por isto não se obteve o resultado esperado.

Atividade 3: Primeiramente foram feito alguns comentários sobre a Geometria

Euclidiana, contando que Euclides era um professor e matemático grego, de

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Alexandria, que escreveu a obra “Os Elementos”, por volta de 300 a.C. Nesta obra,

Euclides selecionou, organizou, desenvolveu e apresentou alguns conhecimentos

seus e de seus antecessores de forma axiomática. Estes conhecimentos eram sobre

a geometria plana e espacial e também sobre a teoria dos números. Esta obra é

uma das mais editadas do mundo e só perde para a Bíblia no número de edições.

No de 2009, tivemos a tradução de “Os Elementos”, para o português pelo

matemático brasileiro Irineu Bicudo.

Euclides enumerou alguns Postulados, que são afirmações simples, aceitas sem

precisar de demonstração. A seguir temos duas maneiras de enunciar o quinto

postulado de Euclides também denominado de postulado das paralelas:

1ª) Postulado das paralelas (quinto postulado de Euclides) escrito por Euclides da

seguinte maneira:

Se uma reta corta duas outras r e s (mesmo plano) de modo que a soma dos

ângulos interiores de um mesmo lado de t é menor que dois retos, então r e s,

quando prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de t.

2ª) Postulado reescrito por John Playfair em 1795 no trabalho Elementos de

Geometria:

Por um ponto fora de uma reta r pode-se traçar uma única reta paralela a reta r.

Responda as seguintes questões:

3.1. Após, a leitura do postulado das paralelas (quinto postulado de Euclides) escrito

acima de duas maneiras diferentes, transcreva a maneira que você achou de mais

fácil entendimento.

3.2. Faça a representação geométrica do Postulado de Euclides.

3.3. Construa se possível, três ou mais retas distintas paralelas a uma reta a dada

passando por um ponto P, não pertencente a reta a. Que relação existe entre as

retas paralelas a reta a passando pelo ponto P.

Nesta atividade, em apenas uma turma, 2ªA com vinte e três alunos, houve

interesse entre seis alunos para fazerem a leitura do texto em voz alta, nas demais

turmas apenas um ou outro aluno se propôs a fazer a leitura. Esta atividade foi de

difícil entendimento, pois os alunos possuem dificuldade de interpretar

geometricamente o Postulado das Paralelas, por isso o professor teve que intervir

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com explicação através do desenho. Mas a maneira escrita por John Playfair foi de

fato escolhida pelos alunos de fácil entendimento.

Com a próxima atividade o aluno tem a oportunidade de conhecer um pouco da

vida de alguns matemáticos, destacando que a descoberta das Geometrias não

Euclidianas precisou de muito estudo, existem outros matemáticos além dos citados

na atividade que também dedicaram suas vidas ao estudo da teoria que envolve o

quinto postulado de Euclides.

Atividade 4: Durante muito tempo, vários matemáticos preocuparam em questionar

a veracidade do quinto postulado de Euclides. Acreditavam que não se tratava de

um postulado, mas sim de um teorema. Inúmeros matemáticos tentaram, sem

sucesso, demonstrar o quinto postulado de Euclides.

Quatro matemáticos: o alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), o húngaro

Johan Bolyai (1802–1860), o russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793–1856) e

também o alemão Georg Friederich Bernhard Riemann (1826-1866) lançaram bases

de novas Geometrias tão consistentes como a Geometria de Euclides.

Segundo, KASNER (1968), apenas Bolyai e Lobachevsky na década de 1830,

apresentaram suas teorias em que o quinto postulado de Euclides poderia ser

substituído da seguinte maneira: Por um ponto P que não pertence a uma reta r

podem passar duas retas paralelas a reta r dada. Surgindo assim, a Geometria

Hiperbólica (Geometria de Lobachevsky).

Existem duas maneiras de negar o postulado das paralelas:

1ª ) assumir que existem pelo menos duas retas paralelas passando por um ponto P

fora da reta, e assim obtemos, como citado acima a Geometria Hiperbólica (ou

Lobachevsk).

2ª) assumir que não existem retas paralelas a reta dada passando por um ponto P

fora da reta, em outras palavras, que qualquer par de retas de um mesmo plano

devem se interceptar, obtemos a Geometria Elíptica (ou Riemanniana).

Nestas Geometrias Não Euclidianas permanecem válidos os teoremas

(proposições) da Geometria Euclidiana que não dependem do quinto postulado de

Euclides.

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Faça uma leitura do texto abaixo, e encontre no caça-palavras as palavras

sublinhadas no texto:

Os matemáticos Gauss e Wolfgang BOLYAI (1775-1856) estudaram em

GOTTINGEN e pesquisaram sobre o quinto postulado de Euclides. Mesmo após

terem deixado a universidade eles mantinham contato sobre os estudos.

GAUSS não divulgava seus estudos sobre o quinto POSTULADO, pois naquela

época a Geometria EUCLIDIANA era considerada a única Geometria aceitável.

Wolfgang Bolyai enviou para Gauss duas tentativas de DEMONSTRAÇÃO do

postulado: na primeira, Gauss encontrou um erro e indicou esse erro para Wolfgang.

Na segunda, Gauss não deu seu parecer sobre a demonstração, e Wolfgang

desistiu de estudar sobre o Postulado e dedicou-se a outros problemas

matemáticos.

Porém, o filho de Wolfgang Bolyai, JOHAN Bolyai também se tornou um

matemático e passou a estudar o quinto postulado, ficou vislumbrado com suas

descobertas sobre as paralelas, posteriormente denominado uma das novas

GEOMETRIAS, que seu pai até publicou no apêndice do livro Tentamen.

Quando Gauss, leu o apêndice do livro TENTAMEN escreveu para o amigo

Wolfgang Bolyai, citando na felicidade de saber que o filho de seu amigo escreveu

sobre o mesmo assunto que durante 35 anos ele estudou e não publicou.

Johan Bolyai continuou estudando sobre as PARALELAS e não publicou mais

suas descobertas, em 1848 teve uma grande surpresa ao saber que o matemático

russo Nicolas LOBACHEVSKY, também descobriu a nova Geometria dois anos

antes da publicação do livro Tentamen. E assim temos uma pequena noção de

como surgiu a Geometria Hiperbólica (Geometria de Lobachevsky).

Segundo, BOYER (1974), o alemão Georg Friederich Bernhard RIEMANN (1826-

1866) foi aluno de Gauss concluindo o doutorado em Gottingen. Na sua conferência

inaugural Das Hipóteses que Sustentam os Fundamentos da Geometria propôs que

por um ponto do plano, não se pode traçar nenhuma reta paralela a reta dada.

Surgindo a Geometria ELÍPTICA (ou Geometria Riemanniana). A Geometria da

Superfície ESFÉRICA é um caso particular da Geometria Elíptica.

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Figura 7 – caça-palavras

A maioria dos alunos estavam ansiosos em encontrar as palavras destacadas no

texto no caça palavras, porém sem ler o texto na íntegra. Demonstraram pouco

interesse pela vida dos matemáticos que dedicaram vários anos para o estudo das

Geometrias. O objetivo desta atividade foi ampliar o conhecimento em Geometrias,

despertando o interesse em conhecer outras Geometrias além da Geometria

Euclidiana. A atividade com o caça palavras teve grande aceitação pelos alunos,

porém para obter o objetivo esperado recomenda-se:

intercalar o texto com imagens na TV, pendrive, com fotos ou fatos sobre os

matemáticos envolvidos;

não colocar em destaque as palavras a serem procuradas no quadro do caça

palavras, mas questões em que o aluno tenha que ler o texto, responder a questão e

depois encontrar a palavra.

Os professores que participaram do GTR – Grupo de Trabalho em Rede:

”Utilizando recursos computacionais e materiais manipuláveis como facilitador para a

compreensão da Geometria Euclidiana e algumas Geometrias não Euclidianas” para

professores da rede Estadual do Estado do Paraná, deram os seguintes

depoimentos sobre esta atividade:

- “As propostas de atividades de exploração de como surgiram as geometrias me parecem ser muito interessantes e acredito também que a

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utilização de materiais manipuláveis para a introdução das geometrias não-euclidianas seja o caminho mais adequado.” - “O caça-palavras é uma forma diferente e interessante para apresentar a história das geometrias não-euclidianas”.

Em outras atividades trabalhou-se com mais detalhes a noção de uma das Geometrias Não Euclidianas: Geometria da Superfície Esférica.

ATIVIDADE 5: Esta atividade foi dividida em três partes:

1ª Parte: Sobre a Geometria Euclidiana, complete os espaços indicados tornando as

sentenças verdadeiras:

a) A representação de uma linha construída com grafite, com auxílio de uma régua

nos fornece a idéia de _____________.

b) Ponto, reta e plano são noções __________, isto é, são conceitos aceitos

_____definição.

c) Por dois pontos distintos existe _____única _______ que passa por esses dois

pontos.

d) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a ________.

e) A representação da marca de um toque de grafite no papel nos fornece a idéia de

_______.

f) Por um ponto P fora de uma reta r, passa _______única ________paralela a reta

r. (Postulado de Euclides ou postulado das paralelas).

g) Duas retas em um mesmo plano são denominadas retas _____________quando

não se interceptam.

h) A representação de uma folha de papel bem fina e rígida nos fornece a idéia de

________.

Na primeira turma ao aplicar esta atividade os alunos tiveram bastante dificuldade

em completar as frases corretamente , por isto nas demais turmas de aplicação do

projeto foi feita uma revisão da Geometria Euclidiana das questões envolvidas na

atividades antes de apresentar a atividade 5.

2ª Parte: Imagine dois barcos pesqueiros A e B navegando lado a lado

(paralelamente):

a) Desenhe em uma folha de papel o caminho percorrido pelos dois barcos.

b) Desenhe sobre a esfera os caminhos percorridos pelos barcos A e B.

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c) É possível traçar retas paralelas para representar o caminho percorrido pelos dois

barcos na folha e na esfera de isopor?

d) A resposta do item anterior tem algo a ver com o quinto postulado de Euclides?

No item (a) grande parte dos alunos desenharam no caderno o caminho correto

percorrido pelos dois barcos A e B, apenas alguns alunos esqueceram de mostrar o

caminho, desenharam apenas os barcos. A seguir fotos dos desenhos de alguns

alunos:

Figura 8 - desenho do caminho de dois barcos paralelos feito por um aluno do Ensino Médio

Figura 9 - desenho do caminho de dois barcos paralelos feito por um aluno do Ensino Médio

Figura 10 – parte da atividade desenvolvida

por um aluno do Ensino Médio

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No item b, para desenhar o caminho de dois barcos sobre a esfera, foi

comentado que teria uma surpresa e um aluno do 2° B, comentou “só vale a

surpresa se for em 3D!”. E realmente a surpresa era tridimensional: materiais

manipuláveis quatro bolas de isopor e frascos conta gotas e embalagens de cola

com sucos artificiais coloridos.

Em todas as turmas não teve problemas em encontrar dois ou três voluntários

para fazer a experiência. Com essa experiência era para imaginar um barco

navegando na superfície esférica e o percurso realizado pelas gotas de suco seria o

mesmo percurso do barco.

Esta atividade realmente promove um ambiente para a aprendizagem, pois os

alunos ficaram concentrados e interessados em perceber o que iria acontecer com

as gotas do suco na superfície da bola de isopor. Notou-se que com apenas uma

gota de suco não foi possível analisar o caminho formado, e assim foi necessário

aumentar o número de gotas de sucos até chegar mais ou menos em quatro gotas

para ficar visualizar o caminho por ela descrito.

A seguir foto retirada na sala de aula no momento da experiência com a e esfera

de isopor:

Figura 11 – experiência realizada por um aluno do Ensino Médio para visualizar o percurso de gotas de um líquido na Superfície Esférica

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Nesse momento observa-se que a reta na superfície esférica é a circunferência

máxima. Eles tentaram construir retas paralelas, mas perceberam que as retas

sempre se encontravam. Portanto não existem retas paralelas na Geometria da

Superfície Esférica.

Nesta atividade deve-se destacar que a reta na Geometria da Superfície Esférica

não é a mesma reta da Geometria Euclidiana. Na Geometria da Superfície Esférica

retas são definidas como as circunferências máximas ou geodésicas.

3ª Parte: Um grupo de esportistas, tendo armado um acampamento, saíram para

caçar ursos. Andaram 15 Km para o sul, depois 15 Km para leste, 15 Km ao norte

quando viram um urso. Carregando a caça, voltaram para o acampamento e

verificaram que ao todo, tinham caminhado 45 Km. Responda. a) Qual a cor do

urso? b) Esta atividade, foi adaptada do livro de matemática Imaginação de Edward

Kasner de 1968. Nos dias atuais, será que é possível caçar ursos?

Nesta atividade houve dificuldade para a compreensão do enunciado. Quando foi

explicado por meio de representação geométrica o caminho no plano e na superfície

esférica, como mostra as figuras a seguir, percebeu-se a compreensão do exercício.

Figura 12 – esboço do caminho percorrido pelo grupo de esportistas na superfície plana.

Figura 13 – esboço do caminho percorrido pelo grupo de esportistas na superfície esférica.

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Apenas para os alunos da turma: 2ªA, foi pedido que quem quisesse poderia

escreveram no verso da folha que contempla a atividade 5, o que acharam da

atividade para serem sinceros. A seguir alguns relatos:

- a aula foi bem legal e criativa; - eu entendi a aula de hoje e gostei muito do que a professora trouxe; - sim, a aula foi legal, essa experiência diferente é mais fácil de entender; - eu entendi a aula e gostei muito de ter uma aula diferente; - eu gostei, pois é legal trazer coisas novas, experiências para visualizar melhor; - gostei.... Mas não entendi muito bem, pois acho complicada esta matéria. E através das bolinhas de isopor, pude entender melhor; - adorei a aula de hoje, pois com a prática conseguimos entender melhor; - professora eu entendi a sua aula e foi muito legal, traga mais vezes; - achei interessante pois nunca tinha imaginado os percursos na prática; - deu para entender sim! Mais eu nem gosto de geometria; - entendi algumas coisas, a aula foi boa, todo mundo participou; - mais fácil de entender e mais legal; - eu achei legal, ótimo, porém não entendi muito a terceira parte da atividade 5. - eu entendi e gostei da aula.

Para a melhor compreensão da próxima atividade: Geometria da Superfície

Esférica com materiais manipuláveis precisou considerar alguns pré requisitos da

Geometria Euclidiana. Por isto necessitou de aproximadamente cinco aulas para

rever os conceitos de círculo, circunferência, esfera, superfície esférica e

compreender as fórmulas do cálculo do comprimento da circunferência e a área do

círculo.

Iniciou-se com uma revisão com os conceitos de círculo e circunferência e

atividades que envolvessem área e comprimento do círculo. Percebe-se a falta de

compreensão da equivalência de determinadas afirmações, como por exemplo: o

raio é a metade do diâmetro ou o diâmetro é o dobro do raio.

Geralmente a geometria Euclidiana trabalhada no Ensino Fundamental dá ênfase

na parte axiomática, sem se preocupar em detalhar as definições, explorar a

visualização de figuras geométricas, e muito menos em utilizar os materiais

manipuláveis.

Apenas alguns alunos de cada turma conseguiram desenvolver as atividades

sem o auxílio do professor e assim foi necessário resolver várias atividades

propostas no quadro negro com a participação dos alunos.

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Os alunos preferem questões desafiadoras, como a seguinte questão trabalhada:

Desenhe três retas para dividir um círculo que gere a) quatro regiões b) cinco

regiões c) seis regiões d) sete regiões.

Alguns conteúdos de esfera e superfície esférica: raio, eixos, pólos,

circunferência máxima, círculo máximo entre outros, foram desenvolvidos e para

finalizar uma atividade de cruzadinha sobre este conteúdo da Geometria Euclidiana.

A seguir foi desenvolvida a atividade 6, sobre a Geometria da Superfície Esférica

com o auxílio de materiais manipuláveis: bola de isopor, alfinetes coloridos e

pedaços de linhas.

ATIVIDADE 6: 6.1. Na geometria da superfície esférica é possível definir: ponto, reta

e plano? Em caso afirmativo, escreva a definição.

6.2. A bola de isopor, a linha e a cabeça do alfinete o que podem representar na

geometria da superfície esférica?

6.3. Represente na superfície da esfera de isopor, retas passando por dois pontos

distintos.

6.4. Se dois pontos da superfície são pontos pertencentes a pólos opostos da esfera

(antípodas), quantas retas podemos formar passando por esses pontos?

6.5. Represente na superfície esférica três retas. O que você pode observar? Elas

possuem pontos em comum?

6.6. É possível representar duas retas que se interceptam em um único ponto?

6.7. Você se recorda, na geometria euclidiana com dois pontos distintos pode-se

traçar uma única reta que passa por esses pontos. E na geometria da superfície

esférica com dois pontos distintos, quantos retas, podemos formar?

6.8. Na geometria da superfície esférica existem retas paralelas?

6.9. Qual a diferença entre a geometria euclidiana e a geometria da superfície

esférica?

A dificuldade encontrada no desenvolvimento desta atividade: alguns alunos do

Ensino Noturno, preferiram brincar com as bolinhas isopor, sem terminar as

atividades propostas.

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Foram trabalhadas nove questões em que o aluno visualizava a Geometria da

Superfície Esférica e explorava as diferenças entre esta Geometria e a Geometria

Euclidiana. Devido a falta de tempo, a última questão apenas o professor

desenvolveu com os materiais manipuláveis. Os alunos apenas visualizaram que a

soma dos ângulos internos de um triângulo na superfície Esférica é maior que 180°.

No desenvolvimento da atividade 6, verificou-se o entusiasmo de vários alunos

em construir retas na Geometria da Superfície Esférica, utilizando materiais

manipuláveis.

A maioria dos alunos compreendeu o conceito de circunferência máxima, que na

Geometria da Superfície Esférica não existem retas paralelas, que por dois pontos

distintos nem sempre existe uma única reta, isso vai depender dos pontos

pertencerem a pólos opostos ou não.

Figura 14 – experiência realizada por um aluno na construção de retas que passam por

dois pontos antípodas na Geometria da Superfície Esférica

Figura 15 - experiência realizada por um aluno na construção de retas que passam por

dois pontos antípodas na Geometria da Superfície Esférica

RELATOS DOS PROFESSORES DO GTR:

A seguir depoimentos de alguns professores, da rede Estadual do Estado do

Paraná, que participaram do curso a distância GTR em 2009:

- “Sobre o texto referente ao projeto acho o tema em discussão muito interessante onde é um tema pouco abordado onde historicamente pouco é falado sobre a geometria não euclidiana, no meu caso por exemplo, quando fui aluno de ensino fundamental e médio não ouvi falar em nada diferente da geometria euclidiana na minha graduação ouvi sobre outras geometrias

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superficialmente, mais em conversas informais do que em conteúdo específico o pouco que conheço é através de pesquisa e interesse próprio e repassar essas geometrias aos alunos não é uma tarefa simples pelo tempo que dispomos e o número de conteúdos que temos que vencer e o melhor jeito de demonstrar essas geometrias é na prática e mesmo assim ainda as vezes é de difícil compreensão e o interesse dos alunos hoje anda muito mal, está se facilitando cada vez mais e os alunos não querem mais nada e nós é que somos cada vez mais cobrados.”

A maioria dos professores não tiveram em seu Ensino Básico o conhecimento de

outras geometrias. Porém em algumas faculdades de matemática, trabalha-se as

Geometrias Não Euclidianas de maneira abstrata preocupando em apenas

formalizar e demonstrar teoremas. Espero que esse artigo consiga despertar no

professor de matemática e áreas afim o interesse em conhecer e compreender as

novas Geometrias.

- “Seu projeto é muito interessante, pois estou muito curiosa para saber os resultados que você irá conseguir, sem dizer que estou procurando e estudando bastante a geometria não euclidiana, pois também tenho terceiro ano e quero aplicar o seu projeto com eles. O projeto em si está muito bem fundamentado e elaborado e espero que você alcance todos os seus objetivos.”

O curso GTR despertou o interesse em compreender as Geometrias Não

Euclidianas. Não foi possível trabalhar com a Geometria Hiperbólica, mas a

Geometria Euclidiana e a Geometria da Superfície Esférica teve uma ótima

aceitação pela maioria dos alunos.

- “Na minha opinião, o projeto é totalmente adequado, relevante e atrativo, porque não existem muitas bibliografias que trabalhem geometrias não-euclidianas, que seja de fácil entendimento e que possa ser aplicado na Educação Básica. Os objetivos a serem atingidos são coerentes com o material a ser produzido e teoricamente o projeto está bem fundamentado, permitindo acompanhar historicamente como surgiram as geometrias não-euclidianas. Apesar do projeto estar voltado para o Ensino Médio pretendo, se possível, adaptá-lo para o trabalho com o Ensino Fundamental. As propostas de atividades de exploração de como surgiram as geometrias me parecem ser muito interessantes e acredito também que a utilização de materiais manipuláveis para a introdução das geometrias não-euclidianas seja o caminho mais adequado. ”

É gratificante perceber que o professor está em busca do conhecimento e este

artigo contempla uma noção sobre as Geometrias Não Euclidianas, Geometria da

Superfície Esférica. Alguns livros didáticos do Ensino Médio estão dando uma breve

noção das Geometrias Não Euclidianas, como por exemplo:

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”Essas geometrias deram relevantes contribuições ao desenvolvimento de

modelos matemáticos para estudos como o da natureza da luz, o das dimensões do

Universo e o da Teoria da Relatividade”.(YOUSSEF, SOARES e FERNANDEZ,

2004,p.268)

Segundo, DANTE (2004.p.274), as novas Geometrias permitiram às ciências

exatas do século XX uma variedade de avanços, dentre eles Teoria da Relatividade.

- “Não há como negar a importância de se trabalhar as geometrias na Educação Básica, pois segundo as diretrizes curriculares (p. 55), “a geometria euclidiana serve de modelo lógico para as outras ciências físicas”, e as geometrias não euclidianas surgiram para esclarecer situações que a geometria de Euclides não explica. Portanto, o educando deve ter conhecimento da existência delas. Utilizar a tecnologia e materiais manipuláveis para que ocorra uma aprendizagem significativa e prazerosa é bastante válido, uma vez que o educando se cansa do monólogo do professor e diversificar a aula é fundamental. Mas levá-los ao Paraná digital para utilizar o software Geogebra sem o conhecimento da geometria de Euclides, não terá um efeito significativo. Falo das noções básicas como ponto, reta, reta paralela, reta perpendicular, semi-reta, segmento de reta, ponto médio, polígonos, polígonos regulares, enfim, conhecimentos que o educando necessita ao trabalhar com o Geogebra. Se o educando tem esses conhecimentos procura resolver os problemas com mais facilidade, por tentativas, fazendo e refazendo as atividades. Na minha opinião, o que nos leva a não trabalhar com as geometrias não-euclidianas é o desconhecimento sobre o assunto. Grande parte dos professores não teve, em sua formação, contato com essas geometrias e por conta disso, é comum expressões como: “aquilo que eu não sei, eu não trabalho e também não tenho tempo para estudar com a minha carga horária semanal”. Por isso, há a necessidade de termos acesso a materiais como o que estudaremos nesse curso, que trata dessas geometrias e que contempla todos os passos para a apresentação do conteúdo aos educandos.” - “Esse é um tema relativamente novo e percebe-se uma certa rejeição de muitos em se inteirar do assunto. Mas a presença dele é marcante nas DCEs. A primeira noção no assunto tive no DEB do ano passado, e deu para perceber sua complexidade. Dentro desse meu limite de conhecimento sobre o tema, apóio totalmente a realização do projeto, porém acredito que para que atinja seu real objetivo, faz-se necessário que os alunos tenham conhecimento básico da Geometria Euclidiana para que possam fazer relações.”

Para uma melhor compreensão da Geometria Não Euclidiana necessita-se que o

aluno tenha um conhecimento básico sobre a Geometria Euclidiana. Nas atividades

propostas nesse artigo o aluno é levado a comparar as Geometrias.

- “Acredito que a dificuldade da maioria dos professores não está só em trabalhar a geometria não euclidiana, mas também as outras geometrias. Quem sabe os novos professores venham com uma bagagem maior sobre geometria, pois o que sei sobre, aprendi pela necessidade, ou seja, para poder passar para os alunos.”

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Este artigo servirá de base para os estudos da Geometria da Superfície Esférica.

A internet é um forte aliado como fonte de pesquisa em que o professor consegue

ler os artigos, dissertações, teses sobre estas geometrias e também ter acesso via

e-mail com os pesquisadores das universidades para a troca de conhecimentos.

- “Eu acho muito importante a oferta de aprendizagem aos alunos sobre as geometrias não euclidianas mas se torna um pouco difícil pelo contexto em que vivemos, onde os alunos estão cada vez mais devagar onde estão cada vez mais sendo menos cobrados cada vez mais se aprova alunos com menos qualidade e ai fica difícil você trabalhar com uma geometria que é muito intuitiva ainda, que tem que ser visualizada em materiais concretos (balões ou esferas de isopor) para serem compreendidos, sem conter o tempo das aulas que realmente isso levaria dentro do nosso cronograma de conteúdos e cada ano que passa ainda diminuem as aulas de matemática fica mais difícil ainda realizar este trabalho.”

Além da Geometria Não Euclidiana fazer parte das Diretrizes Curriculares de

matemática do Estado do Paraná, ela é um conteúdo que tem aplicabilidade no dia a

dia do aluno. O entusiasmo em aprofundar os conhecimentos em Geometria Não

Euclidiana trabalhando com atividades diferenciadas e também com materiais

manipuláveis pode levar uma aprendizagem. O professor de matemática deve

priorizar alguns conteúdos de matemática e sempre ter como objetivo a qualidade

das aulas para que aprendizagem ocorra.

- “O material traz atividades que proporcionam descobertas por tentativas, proporcionando dessa forma, a relação de conteúdos e, com essas atividades, o aluno adquire a base para o conhecimento da geometria de Euclides. O educando ao manusear objetos, observando o que ocorre experimentalmente, obtém a aprendizagem inicial que permite generalizar e abstrair matematicamente o resultado. Enfim, gostei do material e não vou dizer que vou aplicá-lo integralmente, mas com certeza o utilizarei fazendo adaptações para a minha realidade.”

As aulas investigativas juntamente com os materiais manipuláveis proporcionam

aos alunos a compreensão, a visualização, dando significado a alguns resultados

matemáticos.

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Considerações Finais:

Conforme foi observado durante a pesquisa, houve uma grande participação dos

alunos nas aulas em que foram utilizados os materiais manipuláveis e as atividades

diferenciadas. Esses recursos foram um grande aliado para definir a Geometria da

Superfície Esférica e explorar as diferenças entre as Geometrias. Porém, para ter

essa participação dos alunos e a melhoria da qualidade das aulas de matemática o

professor precisa ser um pesquisador, buscar novos conhecimentos, interagir com

os alunos, outros professores de matemática e áreas afins, e socializar com as

mídias tecnológicas: internet, e-mail, software de matemática entre outros.

Observamos que dessa forma, o professor consegue refletir sua prática

pedagógica ao conhecer algumas das tendências da educação matemática, tendo

como foco a aprendizagem significativa dos objetivos propostos.

Esse processo propiciará ao professor maior segurança para trabalhar os

conteúdos de matemática, escolhendo para isso uma das tendências da Educação

Matemática que melhor se adapta ao conteúdo proposto e ao público alvo. Os

alunos percebem uma aula elaborada de modo inovador e assim é possível que a

aprendizagem ocorra.

Constatamos com pesquisa, que o professor necessita revisar a Geometria

Euclidiana com consultas em vários livros e artigos, para obter clareza e confiança

nos seus conteúdos, e assim, trabalhar com os alunos e perceber a riqueza desse

conteúdo matemático. A partir disso, poderá dedicar-se ao estudo da Geometria da

Superfície Esférica e buscar metodologias inovadoras como as apresentadas nesse

artigo (materiais manipuláveis e atividades diferenciadas), podendo compreender as

semelhanças e diferenças entre Geometrias.

Pode-se concluir que aulas inovadoras contribuem para a aprendizagem.

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