ROBÓTICA (ROB74) – AULA 2

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E COORDENADAS HOMOGÊNEAS

PROF.: Michael Klug

PROGRAMA

• Transformações Geométricas e Coordenadas Homogêneas– Notações Introdutórias

• Vetores, matrizes, pontos e referenciais

– Transformações Geométricas Elementares– Coordenadas Homogêneas–Matrizes de Transformação a 3 dimensões– Orientação e Ângulos de Euler (RPY)

Ponto e Vetor

• Representado por um vetor coluna• Vetor associado a um conceito de movimento ou deslocamento em dada direção e sentido

Operações

• Produto de um escalar por uma matriz

• Inversão de uma matriz

• Produto Interno (escalar) de vetores

Operações

• Produto Externo de vetores (produto vetorial)

onde                é a base ortonormal do sistema de coordenadas

Obs: anti‐comutatividade

Referenciais

• Qualquer ponto no espaço pode ser visto de diferentes formas consoante o referencial utilizado– Sejam os referenciais R e N, tem‐se:

Relação:  posição e orientação entre os dois referenciais, ou seja, da forma como se obtém um a partir do outro

Movimentação de Pontos• Movimento de q1 para q2 (do mesmo referencial) – translação

• Para um segmento de reta

Movimentação Complexa

• Translação de figuras mais complexas implica em recalcular todas as novas posições de todos os pontos relevantes. – Alternativa: definição de um segundo referencial solidário com o 

objeto a mover

Transformações Geométricas Elementares

Translação e Rotação:

No espaço: 3 translações e 3 rotações elementares: Trans(x,a), Trans(y,a), Trans(z,a), Rot(x,α), Rot(y,α) e Rot(z,α)

Transformações Genéricas

• Notação Genérica:

• p/ Translação: “T=I”• p/ Rotação

T p

• Exemplo: Rotação de 90 graus

Transformações Genéricas

Novos Pontos:

• Forma aumentada de definir as coordenadas de um vetor:

• Matriz de transformação homogênea:

Coordenadas Homogêneas

• Uma sucessão de transformações traduz‐se na multiplicação das diversas transformações

• IMPORTANTE!!! A ordem das multiplicações (operação das transformações) não é necessariamente comutativa (apenas para os casos de translações e rotações puras)

Transformações Compostas

Significados da matriz de Transformação:1) movimentação de ponto:

2) relação de coordenadas em dois referenciais

3) transformação de referenciais

Transformações a 3 dimensões

• Rotações:

Transformações a 3 dimensões

• Sejam T1=Rot(45) e T2=Trans(x,a) usadas para criar novos referenciais

• OBS:  nestes casos as transformações foram realizadas em relação ao referencial original xy

Pós e Pré Multiplicação

• Alternativa: aplicar as transformações em relação a cada referencial recém‐criado. Ex: aplicar a rotação e depois a translação ao longo do referencial resultante da rotação

• Conclusão:– Pré: equivale a aplicar a segunda transformação no referencial global– Pós: equivale a aplicar a segunda no novo referencial

Pós e Pré Multiplicação

Coincide com o segundo caso anterior, Tb.

• Exercício: Determinar o novo referencial depois detranslacionar o original de uma unidade em cada eixo, depoisrodá‐lo 90 graus em torno do novo eixo dos yy, translacionar 1unidade no novo eixo dos xx, e depois translacionar 1 unidadenegativa no eixo do zz da referência original.

T=????

Transformações a 3 dimensões

• Solução:

Obs: Passo 4 – pré‐multiplicação (referencial global), Passos 2 e 3 – pós‐multiplicação (novo referencial)

Transformações a 3 dimensões

• Obtenção de um ponto (original) a partir de outro (o que era designado de novo)

Transformações Inversas

RELAÇÕES

• Propriedades Particulares:

Se:

Então:

Transformações Inversas

Referenciais: W: referencial global de trabalho (bancada ousala), R: referencial da base do robo, H: referencial do end‐effector, O: referencial do objeto a pegar, G: referencial doponto de contato no objeto

Montagem e Grafos

Montagem e Grafos• Exemplo: Determinar a transformação a aplicar no

paralelepípedo, e do seu ponto de vista, de tal modo que encaixena peça mãe ao longo das arestas assinaladas. Escolheram‐se ospontos A e B para origem dos referenciais respectivos eassinalaram‐se os eixos como indicado para satisfazer osrequisitos de alinhamento final.

Montagem e Grafos• Exemplo (continuação):

Sabendo que                  e                   determinar a transformação 

necessária a aplicar à peça, do seu ponto de vista, para elaencaixar, isto é, determinar BTA .

DICA:

Montagem e Grafos• Solução:

e portanto

Orientação e Ângulos de Euler• Ângulos de Euler: ângulos de rotação em torno de cada um 

dos três eixos (seu significado depende da combinação de rotação utilizadas). Número de combinações distintas é 12.

Mais Utilizada: Roll‐Pitch‐Yaw (RPY) – rotação em relação a um referencial fixo, segundo os eixos x, y e z (nesta ordem).

Orientação e Ângulos de Euler• Matematicamente:

Resultando em

Usualmente: