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Definição de um coeficiente de rigidez para a verificação do estado limite de deformação máxima em lajes nervuradas

Definition of a stiffness coefficient for the verification of the maximum

deformation limit state in ribbed slabs Profº. Ronilson Flávio de Souza1

Leonéria Elis Nunes da Cruz2

Resumo: O presente artigo visa investigar a definição de um coeficiente de rigidez (no estádio II) para a verificação do estado limite de deformação máxima em lajes nervuradas. Para este fim, o mesmo conta com uma comparação de resultados da deformação obtidos através de cálculo manual utilizando formulação presente em bibliografias existentes, com as de um software de rotinas de cálculo baseadas no método dos elementos finitos, optou-se pelo SAP 2000 pela sua simplicidade de aplicação. Através desta comparação construiu-se um modelo numérico bastante razoável e aplicável à análise destas lajes, uma vez que, os valores encontrados por ambos não se destoaram. Desta forma, concluiu-se que, um coeficiente de minoração da rigidez de 30% atende bem à deformidade do componente estrutural em questão. Tendo em vista que a rigidez está intimamente relacionada com o aumento das deformações, especialmente as flechas elásticas, nota-se o grau de importância deste estudo.

Palavras-Chave: Lajes nervuradas; Deformação; Comparação; Coeficiente.

Abstract: This article aims to investigate the definition of a stiffness coefficient (in stage II) to verify the maximum deformation limit state in ribbed slabs. To this end, it has a comparison of the results of the deformation obtained by manual calculation using a formulation present in existing bibliographies, with those of a software of calculation routines based on the finite element method, was chosen by SAP 2000 by its Simplicity of application. Through this comparison was constructed a very reasonable numerical model and applicable to the analysis of these slabs, since, the values found by both did not disagree. In this way, it was concluded that a stiffness reduction coefficient of 30% matches well the deformity of the structural component in question. Considering that the stiffness is closely related to the increase in deformations, especially the elastic arrows, the degree of importance of this studyis noted.

Keywords: Ribbed slabs; Deformation; Comparison; Coefficient.

1 INTRODUÇÃO

O presente artigo visa investigar a definição de um coeficiente de rigidez (no estádio II) para a verificação do estado limite de deformação máxima em lajes nervuradas. Pode-se definir laje nervurada como“(...)a laje cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais podem ser colocados materiais não estruturais, chamados de materiais inertes, de modo a tornar plana a superfície inferior da peça. ”(SOUZA ,2015, p. 96).Alguns autores definem a laje nervurada como uma evolução natural das lajes maciças (que são lajes de seção homogênea de concreto), devido à eliminação da maior parte do concreto abaixo da linha

1Orientador. Professor Eng. Civil da Escola de Engenharia Kennedy- EEK, Belo Horizonte-

MG, Engenheiro Civil, Especialista em Estruturas, MBA em Construção Civil. E-mail engerf@hotmail.com

2Graduanda em Engenharia Civil: Escola de Engenharia Kennedy. -

mail:leoneriaelis.nc@gmail.com

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neutra, o que deixa estas estruturas mais leves e otimiza o uso das características de seus materiais componentes.

A utilização de lajes nervuradas de concreto armado em edificações, tanto residenciais, quanto comerciais, é crescente atualmente devido, principalmente, às suas diversas vantagens, como: possibilitarem maiores vãos entre pilares, maior altura útil por andar e maior liberdade na disposição de paredes internas, introduzirem maior versatilidade na distribuição de cargas e na ocupação de espaços, permitirem o uso de peças pré-fabricadas para as nervuras e placas, assim como o uso de fôrmas recuperáveis e utilizarem menor quantidade de concreto no volume total da obra.

Segundo Araújo (2003a, p. 144), a situação mais habitual para o dimensionamento dessas lajes ocorre quando as nervuras são inferiores e, neste caso, essas nervuras funcionam como vigas T para momentos fletores positivos. De acordo com a Norma Brasileira NBR-6118/2014, desde que seguidas algumas recomendações quanto ao pré-dimensionamento, os esforços e deslocamentos dessas lajes podem ser calculados como se fossem placas em regime elástico. Dessa forma a laje nervurada, quando em cruz e com inércia igual nas duas direções, também pode ser analisada como se fosse uma laje maciça.

O aprimoramento da construção civil, aliado aos avanços tecnológicos, tem possibilitado o desenvolvimento de projetos com elementos estruturais cada vez mais esbeltos, de dimensões geométricas reduzidas e maiores vãos livres. Além disso, tem-se trabalhado com estruturas cada vez mais próximas de alguns limites no que diz respeito às deformações.

Nesse contexto surge a necessidade de se estudar o modelo de cálculo de flechas para lajes nervuradas de concreto armado utilizado atualmente. Ele tem conduzido a resultados aproximados, mas não precisos. Essa imprecisão se dá por causa da rigidez da estrutura, parâmetro de grande influência nos resultadosda flecha.

Na norma de concreto armado existente, contémapenas valores de coeficientes de redução da rigidez para análise de estabilidade global da estrutura, não havendopara análise de estabilidade local.Por esse motivo, utilizou-se neste estudo um coeficiente de redução estimado (análise local), para assim avaliaro grau de segurança que o mesmo propicia.

Este trabalho se justifica pela necessidade de se ter um coeficiente que represente a rigidez real das estruturas e conduzir a resultados mais precisos, de modo que seu valor retrate a nova realidade dos dimensionamentos.

Para alcançar o objetivo proposto, pretende-se comparar os resultados obtidos pelo método manual de dimensionamento de lajes nervuradas (escolhendo um apropriado modelo de comportamento mecânico para o concreto considerado fissurado), utilizando bibliografias existentes, com resultados obtidos a partir de um software que tem rotinas de cálculo baseadas no método dos elementos finitos (MEF). Optou-se por utilizar o software SAP pela simplicidade de sua aplicação. Para cada método foram modeladas três lajes com dimensões diferentes a fim de construir um modelo numérico e validá-lo por meio de comparação de resultados atingidos por ambos. Portanto, a metodologia de pesquisa empregada no mesmo foi bibliográfica e experimental.

1. REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 LAJES NERVURADAS CONCEITO E CÁLCULO Lajes nervuradas, segundo o item 14.7.7 da NBR 6118:2014, são“(...) lajes moldadas

no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos esteja localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte”. As lajes nervuradas são constituídas por um conjunto de vigas, chamadas de nervuras, solidarizadas por uma mesa de concreto.

As lajes nervuradas são divididas em duas classes, as lajes unidirecionais e bidirecionais.As lajes nervuradas armadas em uma direção (pré-fabricada) são constituídas por vigotas pré-moldadas espaçadas entre si por um material de inerte de preenchimento (normalmente cerâmica ou EPS), e cobertas por uma capa de concreto, que tem por função distribuir os esforços atuantes na estrutura e aumentar a resistência à flexão. Nesse caso a laje pode ser analisada como viga T onde a mesa de concreto contribui para resistir esforços de compressão.

Para o cálculo dos esforços solicitantes e dos deslocamentos dessas lajes, consideram-se as nervuras como um conjunto de vigas paralelas que trabalham praticamente independente, adotando-se uma seção transversal em forma de “T”, onde as nervuras são analisadas como vigas simplesmente apoiadas nas extremidades.

De acordo com a Norma Brasileira NBR-6118/2014, desde que seguidas algumas recomendações quanto ao pré-dimensionamento, os esforços e deslocamentos das lajes nervuradas armadas em duas direções podem ser calculados como se fossem placas em regime elástico. Dessa forma a laje nervurada, quando em cruz e com inércia igual nas duas direções, também pode ser analisada como se fosse uma laje maciça de mesma rigidez à flexão. O cálculo de placas por ser mais laborioso, é feito utilizando tabelas de regime elástico para simplificação, a exemplo a tabela de Bares.

2.2 TABELAS DE BARES PARA LAJES RETANGULARES

A complexidade do cálculo de deformação para lajes maciças bidirecionais, segundo Bastos (2005, p. 19), “motivou o surgimento de diversas tabelas, de diferentes origens e autores, com coeficientes que proporcionam o cálculo dos momentos fletores e das flechas para casos específicos de apoios e carregamentos”. Dentre essas tabelas, podemos citar a de Bares, que possibilitam que o cálculo seja executado manualmente, de maneira simples.

Bares deduziu os valores da equação da placa para diversas condições de contorno e relações de b/a, e sintetizou seu trabalho em tabelas, que são utilizadas tanto para o cálculo dos esforços quanto para calcular as flechas.

Condições de contorno de Bares para confecção das tabelas.

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Fonte: Notas de aula Prof. Ronilson

2.3 DEFORMAÇÃO EM LAJES DE CONCRETO Para o cálculo das deformações e dos esforços solicitantes nas lajes devem-se

estabelecer os vínculos das mesmas com os seus apoios. Para isto tornam-se necessário adotar algumas hipóteses simplificadoras, estabelecendo se uma laje é perfeitamente ou elasticamente engastada ou simplesmente apoiada ao longo de um determinado bordo.

As tabelas habituais para cálculo dos esforços solicitantes nas lajes só admitem três tipos de vínculos das lajes, o apoio simples, o engaste perfeito e apoios pontuais. Utilizando programas computacionais é possível considerar também o engaste elástico. BASTOS (2005).

Para determinação da deformação, as lajes de concreto retangulares podem ser divididas em dois tipos, lajes armadas em uma direção e lajes armadas em duas direções.

As lajes armadas em uma direção são aquelas cuja carga da laje é

distribuída, predominantemente, em apenas duas vigas, ou seja, não se comportam como placas, se comportam como vigas O cálculo da deformação neste tipo de laje é feito da mesma forma que nas vigas, utilizando as equações clássicas da resistência dos materiais para os três tipos possíveis de condições de contorno, e sempre na faixa de maior quinhão de carga, denominadacomo sendo simplesmente lado a e o outro lado será o lado b. Assim, a relação b/a será sempre utilizada como parâmetro para o dimensionamento das lajes em uma e duas direções.(SOUZA,2015, p. 33).

As lajes armadas em duas direções são aquelas em que a relação b/a é menor que 2.

Neste tipo de laje, o comportamento da estrutura é de placa. A rigidez a flexão acompanha a rigidez a torção e o sistema trabalha em conjunto proporcionando a estrutura uma rigidez mais elevada que no caso das faixas em uma direção. As flechas são menores e podem ser calculadas pela equação diferencial de placa.

Segundo a NBR 6118,a verificação dos valores limites de deformação devem ser estimados por meio de modelos que considerem a rigidez efetiva da seção da laje, ou seja, deve ser levada em consideração a presença de armadura, a existência de fissuras no concreto e as deformações diferidas no tempo. A deformação real da estrutura depende também do método construtivo, bem como das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração). Existe uma grande variabilidade desses parâmetros, e consequentemente uma grande variação das deformações reais.

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A análise da flecha é feita de maneira aproximada, porém, como parte da laje está trabalhando no estádio I (não fissurada) e parte trabalhando no estádio II (fissurada), devea flecha elástica ser calculada por processos exatos. Em contrapartida esses processos são pouco didáticos e na maioria dos casos obtém-se resultados próximos de 70% da rigidez equivalente, por isso para efeito de simplificação a flecha elástica inicial é dividida por 0,7. Para lajes nervuradas essa redução é de 30%.

“A flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior que a flecha imediata ou flecha elástica para levar em consideração os efeitos da fluência e retração”. (SOUZA,2015, p. 33).

2.1 ESFORÇOS EM LAJES DE CONCRETO

Para o cálculo dos esforços nas lajes existem dois grandes grupos de métodos. Os métodos clássicos, fundados na teoria da elasticidade, supõem que o material é homogêneo e isótropo e se comporta linearmente. Os métodos em ruptura, fundados na teoria da plasticidade, supõem, ao contrário, que o material se comporta como um corpo rígido-plástico perfeito (MONTOYA et al., 2000, p. 539).

Montoya et al. (2000, p. 540) indicam ainda que mediante os métodos clássicos

obtém-se, com grande aproximação, os esforços na situação de serviço a partir dos quais se pode escolher a distribuição das armaduras nas diferentes zonas da laje, o que representa de forma adequada o comportamento em serviço da mesma. Os métodos de ruptura não proporcionam, entretanto, qual é a distribuição adequada das armaduras, uma vez que este é um dado de entrada.

Para a determinação desses esforços em lajes (em particular momentos fletores), as mesmas são divididas em armadas em uma direção ou armadas em duas direções. Nas lajes unidirecionais a obtenção dos momentos considera simplificadamente que a flexão na direção do menor vão é predominante à direção maior, podendo a laje ser suposta e calculada como viga com largura constante de um metro (100cm), segundo a direção preponderante da laje. Já as lajes bidirecionais têm seus esforços solicitantes e as deformações determinados por diferentes teorias, sendo as principais a Teoria das Placas: desenvolvida com base na Teoria da Elasticidade (onde podem ser determinados os esforços e as flechas em qualquer ponto da laje), por Processos aproximados, Método das Linhas de Ruptura ou das Charneiras Plásticas e Métodos Numéricos, como o dos Elementos Finitos.

2.4 COMPORTAMENTO DE PLACAS (TEORIA DAS PLACAS)

Segundo Fusco (2013, p. 241), placas são definidas como estruturas limitadas por dois planos paralelos, cuja altura h é pequena em relação às outras dimensões, e nas quais atuam predominantemente solicitações perpendiculares ao seu plano médio. Nas estruturas de concreto armado, as placas são denominadas lajes.

Desde as primeiras verificações sobre lajes nervuradas, a NBR 6118 permite que sejam calculadas como placas em regime elástico, desde que a relação b/a da laje tenha valor inferior a 2, ou seja, armada em duas direções. A laje nervurada é transformada em uma laje maciça com espessura equivalente em inércia. Neste caso, a rigidez a flexão acompanha a rigidez a torção e o sistema trabalha conjuntamente conferindo a estrutura uma rigidez bem mais elevada que no caso das faixas em uma direção. As flechas são menores podendo ser calculadas pela equação diferencial de placa. Souza (2015, p. 33).

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A Teoria das Placas desenvolveu-se com base na Teoria da Elasticidade, onde o material constituinte das placas é elástico (segue a Lei de Hooke, onde as tensões são proporcionais às deformações), linear fisicamente (não levando em conta a fissuração do concreto), isótropo (possui as mesmas propriedades qualquer que seja a direção observada) e homogêneo. A partir dessas considerações pode-se determinar os esforços e as flechas em qualquer ponto da laje.

Considerando essas hipóteses Lagrange (1811) desenvolveu a equação diferencial das placas, que relaciona a deformação elástica da placa com a carga unitária uniformemente distribuída na área da mesma. Essa equação tem a forma de uma diferencial de quarta ordem,o que faz com que seu cálculo manual seja bastante complexo.

2.5 TEORIA DAS GRELHAS DE MARCUS

Segundo Araújo (2003), o método de Marcus é uma adaptação da tituladaTeoria das grelhas para o cálculo de placas. O método consiste em simular uma malhaequivalente na placa (laje), conforme explicada por Carvalho et al. (2007, p. 298):

As cargas distribuídas dividem-se entre os elementos da grelha equivalente,de acordo com a área de influência de cada elemento. Podem serconsiderados uniformemente distribuídas ao longo dos elementos ou, dentrode certa aproximação, concentradas nos nós.

Na Teoria das Grelhas, estabeleceu-seassociações nas quais se deduz que a flecha no centro da laje, no encontro de duas faixas da grelha, é única, considerando valor igual nas direções X e Y, conforme ilustra a Figura.

Flecha central.

Fonte: Araújo (2003)

Porém, em uma análise mais realística do comportamento da placa, Marcus notou que devido aos efeitos de torção, o deslocamento máximo não ocorreria necessariamente no centro da laje para as duas direções. A partir daí, foi definido que os momentos fletores positivos encontrados na Teoria das Grelhas, precisariam ser reduzidos através de coeficientes, devido à própria rigidez a torção da placa, que consequentemente reduzem as deflexões.

O aparecimento desses coeficientes de redução resulta de imperfeição

dateoria das grelhas, que supõe os quinhões constantes e imagina a lajeconstituída por faixas independentes, ao passo que ela forma um conjuntoúnico, isto é, funciona como uma placa que se deforma no espaço sendo asflechas menores do que as que resultam da teoria das grelhas, e, portanto,menores os momentos (ROCHA, 1999, p. 54).

Os coeficientes estudados por Marcus, dependem das condições de contorno e da

relação entre os vãos da laje. A partir da relação entre vãos, carregamentos e condições de

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apoio, Marcus elaborou uma tabela com a finalidade de facilitar o dimensionamento manual de lajes em regime elástico.

Porém, este processo de cálculo por aproximação e uso de tabelas fornece apenas resultados de esforços máximos na laje, diferente da teoria das placas que permite o cálculo dos esforços em qualquer ponto da laje.

2.6 FLUÊNCIA E RETRAÇÃO DO CONCRETO E SUA INFLUÊNCIA NA

DEFORMAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO

Fluência é uma deformação diferida,que é causada por atuação de carregamento permanente na estrutura ao longo do tempo, ou seja, é uma deformação lenta.Essa deformação acontece da seguinte forma:

Ao ser aplicada uma força no concreto, ocorre deformação imediata, com uma acomodação dos cristais. Essa acomodação diminui o diâmetro dos capilares e aumenta a pressão na água capilar, favorecendo o fluxo em direção à superfície. Tanto a diminuição do diâmetro dos capilares quanto o acréscimo do fluxo aumentam a tensão superficial nos capilares, provocando a fluência. (PINHEIRO, 2007, p.19).

Bastos (2006) definiu que retração consiste na diminuição do volume do concreto ao longo do tempo, e isso pode ser causado, principalmente, através da evaporação da água não utilizada nas reações químicas de hidratação do cimento. A retração do concreto é independente de ações ou carregamentos externos, é uma característica interna comum e considerada natural do concreto.

As consequências da fluência e da retração para as estruturas de concreto armado se baseiam nos efeitos das deformações dependentes do tempo. Ambas estão relacionadas à perda constante de água do concreto, o que resulta em encurtamentos que se manifestam ao longo do tempo.Essa variação de volume e perda de água do concreto provocam tensões de tração e consequentemente, contribui para a diminuição da vida útil da estrutura, devido à formação de fissuras no concreto, que tem como resultado a redução da rigidez da peça.

Estes dois fenômenos, acarretam um aumento considerável nas deformações do concreto ao longo dos anos, podendo chegar a três vezes o valor da flecha imediata (elástica), portanto, precisam ser considerados no cálculo da flecha, que com essa consideração passará a se chamar flecha diferida no tempo - f∞. Segundo o item 17.3.2.1.2 da NBR6118, a determinação da flecha diferida no tempo, decorrentes das cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata - fe - pelo fator αf. (SOUZA, 2015, p. 29).

2.7 MOMENTO DE FISSURAÇÃO

A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável devido à baixa

resistência do concreto à tração, e constitui-se em uma das maiores anomalias presentes nessas estruturas, pois tem a capacidade de desencadear a maioria de seus mecanismos de degradação, uma vez que expõe a mesma à agentes patogênicos.

“Nos estados-limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II. A separação entre esses dois comportamentos é definida pelo momento de fissuração”. (NBR-6118, 2014, p 124)

De acordo com item 17.3.4 da NBR 6118 a formação de fissuras pode ser verificada quando a máxima tensão de tração do concreto no Estádio I (comportamento elástico linear),

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atingir a resistência do concreto à tração na flexão (fct,f), o que ocorre quando o momento de serviço atingir o momento de fissuração, ou seja, a transição do Estádio I para o Estádio II .

O momento de fissuração pode ser calculado usando-se a expressão do item 17.3.1 da NBR 6118:

�� = ∝× ���;�×����²

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onde: ��- momento que ocasionará a abertura da primeira fissura; �� – comprimento da nervura; h - altura total da seção;

- é um parâmetro que transforma a resistência à tração direta em resistência à tração na flexão:Sendo igual a 1,5 para seções retangulares, no caso de seções T (lajes nervuradas ou mesmo vigas calculadas como tal) esta constante é igual a 1,2.

O valor da resistência característica inferior à tração fctk,inf é definido em função da resistência característica do concreto à compressão fck e de acordo com o item 8.2.5 da NBR6118, e sendo fct,m a resistência média à tração direta do concreto:

���,� = 0,3����

�

2.8 MOMENTO DE INÉRCIA PARA UMA SEÇÃO NO ESTÁDIO 2 PURO

Souza (2015) explica queo concreto possui baixa resistência à tração, ou seja, sempre que uma seção submetida a flexão é carregada com um momento em que essa resistência é atingida, aparece a primeira fissura. Esta fissura é causada pela transferência de tensão do concreto para a armadura, quando isso ocorre a seção não está mais trabalhando de forma “bruta”. Existe uma parte da seção que está fissurada e não atribui rigidez a peça. Portanto, pode-se dizer que a estrutura passou do estádio I, obedecendo a Lei de Hooke onde as tensões são proporcionais às deformações e a estrutura não está fissurada, para o estádio II onde a mesma está fissurada e não se comporta linearmente, ou seja as tensões não são proporcionais às deformações.No estádio II ocorre a diminuição da rigidez da peça, logo a deformação é maior neste estádio.

Sabe-se que, para a determinação do momento de inércia à flexão para o estádio II puro, considera-se apenas a região comprimida de concreto.��� é o momento de inércia da seção fissurada, para se determinar ��� é necessário conhecer a posição da linha neutra noEstádio II (ou seja, após a fissuração), para a seção retangular com largura ��, altura total h, altura útil d e a taxa de armadura As (em cm²/m).

2.9 EQUAÇÃO DE BRANSON PARA RIGIDEZ EQUIVALENTE O método simplificado proposto por Branson (1963) foi desenvolvido para o

cálculo de flechas em vigas. Essa formulação é caracterizada pela redução progressiva do momento de inércia equivalente (EIeq) da seção entre os Estádios I e II puro, de acordo com o momento fletor atuante (Ma), ser maior do que o momento devido à fissuração da peça (Mr). No caso de vigas de concreto armado, as diferentes quantidades de armadura e a distribuição variável de fissuração ao longo do vão fazem com que a rigidez à flexão EI não seja uma constante.

Segundo a NBR 6118, a verificação das rotações e deslocamentos em elementos estruturais lineares deve ser realizada por meio de modelos que considerem a rigidez efetiva

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das seções transversais dos elementos, levando em conta a presença da armadura, a fissuração do concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo.

“Com a diminuição da rigidez, a estrutura no estádio II , obviamente, irá se deformar mais, o segredo é saber o quanto mais e o quanto da inércia é perdida com a fissuração”. (SOUZA, 2015, p.28). A formulação de Branson permite estimar essa rigidez equivalente de forma aproximada. A NBR 6118 recomenta a equação de Branson para a verificação do estado limite de deformação excessiva:

Onde :

(��)�� = ��� ����

����

�� + �1 − ���

����

� ���� ≤ �����

Ecsé o módulo de elasticidade secante do concreto Icé o momento de inércia da seção bruta da nervura =�� ���é o momento de inércia da seção fissurada, que deve ser calculado levando em conta

a taxa de armadura e a altura real da linha neutra após a fissuração. Maé o momento de serviço da estrutura calculado com a carga em ELS Mré o momento que causa a primeira fissura na estrutura, chamado aqui de momento

de fissuração. O objetivo da utilização da fórmula de Branson é estimar de forma mais precisa o

comportamento dos deslocamentos e fissuras provenientes do carregamento.

2.10 CÁLCULO DE PLACAS E GRELHAS COM AUXÍLIO DE PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS (SAP)

Método dos elementos finitos é um método numérico muito empregado atualmente.

Nesse método, podem-se considerar as não linearidades física e geométrica, as diferentes condições de contorno e de carregamento, formas diversificadas, etc.

”O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma técnica de análise

numérica destinada à obtenção de soluções aproximadas de problemas regidos por equações diferenciais. Para problemas simples pode-se obter, através de princípios elementares da física, um modelo matemático governante que se apresenta sob a forma de equações diferenciais e as correspondentes condições de contorno”.(MARCELINO, 2013, p. 8).

Marcelino (2013) explica que com esse método é possível analisar comportamento estático linear e não linear, comportamento dinâmico linear e não linear, vibrações, entre outros. O método ainda apresenta outras vantagens: não há restrição à geometria do problema, o material pode variar de elemento para elemento e um único modelo pode conter componentes com comportamentos variados (barra, viga, placas, cascas, sólidos, etc.).

Dias (2003) apresentou um estudo sobre a placa-viga no cálculo estrutural de lajes nervuradas, aplicando o Método dos Elementos Finitos, considerando como fator principal de análise a excentricidade existente entre o eixo da nervura e o plano médio da placa e sua influência nos deslocamentos e esforços. Nesse estudo foi avaliada a influência das variáveis como número de nervuras e as características como, espaçamento entre as nervuras e altura em relação à altura da placa. Também apresentou comparações entre as teorias de cálculo simplificadas (Teoria de Grelha) e modelos mais realistas (com elementos finitos SAP que considera a excentricidade na formulação), buscando determinar o quanto as simplificações influenciam na análise estrutural das lajes nervuradas.

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Na avaliação por elementos finitos é necessário fazer a divisão do elemento contínuo em vários elementos menores, de dimensões finitas e mensuráveis. Assim os elementos formados a partir da divisão são chamados de elementos finitos e são interligados por meio de pontos denominados nodais. Portanto, é preciso discretizar um número de pontos infinitos originalmente através de um número finito de pontos nodais da malha.

Quanto maior for o número de elementos na malha, ou seja, quanto maior o refinamento desta malha, mais adequada é a solução obtida através do modelo. Deve-se atentar para os elementos da malha, que devem ser todos conectados através de nós, não sendo permitidos elementos de se conectem de forma diferente a essa.

Elemento do tipo viga apresentam a consideração de que suas seções transversais permaneçam planas e normais à linha neutra. Como as nervuras da laje nervurada unidirecional apresentam comportamento semelhante às vigas, tais propriedades também são válidas para estas.

Segundo Soriano (2003, p. 249), as placas são elementos submetidos a ações que promovem flexão transversal a sua espessura, a característica primordial destes elementos é transmitir as cargas que atuam perpendicularmente ao plano das mesmas. Na análise de elementos finitos, geralmente desprezam-se os esforços normais na direção da espessura, pois estes valores são considerados muito ínfimos frente à flexão. Esta simplificação possibilita afirmar que a espessura média das placas permanece constante, uma vez que não existem deformações ao longo da espessura.

Portanto, pode-se concluir que o cálculo que melhor simula o comportamento elástico-linear da laje é o que utiliza elementos finitos de placa, sendo o mais rígido, discretizado pelo software SAP.

3 METODOLOGIA

3.1 LAJES DE REFERÊNCIA

As lajes em estudo são três lajes nervuradas ��(8m x8m), ��(8mx12m) e ��(8mx16m)

com dimensões da nervura conforme a figura 1. O carregamento adotado é um carregamento uniformemente distribuído e em serviço de 7,74 kN/m², que representa a soma das cargas permanentes e variáveis.

Figura 1: Dimensões da nervura das lajes As propriedades do concreto para este estudo são:

Resistência característica à compressão ���: 25 MPa

Módulo de elasticidade E: 0,85x 5600√���

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Tensão de escoamento de cálculo fyd= 43,48 KN/cm² Tensão resistente de cálculo a compressão do concreto fcd = (fck/1,4) Tensão de compressão fc= 0,85x fcd Peso específico = 25KN/m³

As análises realizadas nos estudos a seguir correspondem ao estádio II, ou seja, para concreto considerado fissurado. Todas as lajes são tipo “A” segundo a tabela de Bares.

3.2 CÁLCULO DAS LAJES POR FORMULAÇÃO PROPOSTA

Para calcular manualmente as flechas nas lajes, utilizou-se a formulação contida no

referencial teórico com algumas adjeções propostas adiante. Preliminarmente foi definido o peso, que é constante para as três lajes, uma vez que as dimensões da nervura não se alteram. Através da relação dessas medidas, obteve-se também o peso da nervura de 3,54 KN/m² que somado às cargas estimadas de 1KN/m² para cada um dos itens: revestimento, alvenaria e piso, e à sobrecarga de 3KN/m² (multiplicada pelo coeficiente de ponderação = 0,4), representam o peso total da laje P em serviço igual a 7,74 KN/m².

A classe de agressividade ambiental ficou delimitada como classe II (tabela 6.1- NBR 6118/2014), com cobrimento de 2,5 cm (tabela 7.2 - NBR 6118/2014) e d’= 0,5 cm + cobrimento da armadura (2,5 cm) = 3 cm, resultando numa altura útil da seção d (que é medida do centro de gravidade da peça até a sua parte mais comprimida) de 32 cm (d = h-d’).

Obtenção das grandezas para cálculo das lajes

Fonte: Notas de aula Prof. Ronilson

Em seguida foram determinados os coeficientes mae mb,usados para calcular os momentos fletores positivos nas duas direções da laje. Estes são obtidos pela tabela de Bares através da relação b/a, onde b é sempre o vão maior e a o menor. O momento de cálculo é dado pela multiplicação do quadrado do vão a pela carga P dividida pelo coeficiente da tabela. Para as lajes em estudo��, �� e ��, obteve-se os coeficientes destacados na figura abaixo na devida ordem.

Tabela de Bares para momentos fletores elásticos da laje tipo A

� =���²

�

Fonte: Notas de aula Prof. Ronilson Os valores encontrados pela fórmula acima para os momentos fletores das mesmas

foram:

Momentos fletores

Dimensão da nervura

Momentos fletores por nervura

Ma= 20,9KN.m 0,6 m Ma=12,59 KN.m

Mb= 20,9KN.m 0,6 m Mb=12,59 KN.m

Ma=38,1 KN.m 0,6 m Ma=22,86 KN.m

Mb=19,27KN.m 0,6 m Mb=11,82 KN.m

Ma=49,05KN.m 0,6 m Ma=29,43 KN.m

Mb=15,98KN.m 0,6 m Mb=9,41 KN.m

Porém, com intuito de alcançar maior precisão, se fez necessário encontrar os

momentos de serviço (Ma e Mb) em cada nervura; para atingi-los multiplicou-se os valores dos momentos fletorespela largura da nervura que é ��=0,6 m.

É importante salientar que todo o estudo foi realizado com a estrutura em serviço. Foram utilizados cargas e momentos fletores em estado limite último apenas para o cálculo da taxa de armadura de aço da laje.

Tabela de Bares para flecha elática da laje tipo A

��

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Fonte: Notas de aula Prof. Ronilson

A análise da flecha imediata também se baseou em uma tabela de Bares, dessa vez relacionada à flecha elástica, onde, o coeficiente �� da mesma é aplicado na expressão da ���.

��� = ��(����

�����³)

No entanto, os valores encontrados pela fórmula acima foram ajustados a fim de levar

em conta a possível fissuração da laje. Logo, ���������= ���x ��é�������������ç�

��������������, como a

seção de concreto é igual para as três lajes �� ����³

��= 214.375��� e ��= 69063��� não se

modificam. Para chegar ao valor de ��acima foi preciso dividir a peça em duas partes e calcular o centro de gravidade da mesma, que se encontra no ponto igual a 11,25 cm, a distância da peça A e B ao centro de gravidade foi de Ya= 8,75 cm, e Yb idem. A partir destes valores a inércia da peça A resultou em 23.594 ��� e B= 45.469 ���, que somadas encontrou-se a inércia da nervura de ��= 69063���.

Seção de concreto das lajes

Progressivamente, os valores obtidos pelo ajuste da flecha imediata foram usados para

determinar as flechas no estádio II (����), estado em que o concreto trabalha fissurado. Para este propósito, dividiu-se a flecha ajustada por um coeficiente de minoração de 30% da rigidez bruta da estrutura.

3.3 MODELAGEM POR ELEMENTOS FINITOS

Anteriormente à modelagem das lajes no programa apresentado, calculou-se a rigidez equivalente (��)��(a formula se encontra no referencial acima) de cada uma delas. Sabe-se que este parâmetro exerce influência sobre suas deformações, pois, ao fissurar a peça perde rigidez acarretando no deslocamento da linha neutra e, consequentemente se deforma mais. Esse deslocamento é medido levando em conta a diferença (n) existente entre os módulos de elasticidade do aço (����������/��²) e do concreto (����������/��² ),que é mensurado

dividindo o primeiro pelo segundo nesta ordem descrita , a taxa de armadura efetivamente

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colocada (cm²/m) e altura útil da seção, além da metade da largura da nervura. Formando uma

equação de segundo grau como adiante: ��

�x² + nAsx- nAs.d=0, que resolvida resulta numa

altura ��. Para cada laje,��, ��,��,essa altura foi igual a 3,22��; 4,06�� e 5 cm, respectivamente. Em função dessa altura calculou-se o momento de inércia da seção no estádio II puro, representado por��� = �����³

�+ ���(� − ��)

�,����, ���1 = 9629,8���, ���2 = 15.187,9���e���3 =

22.700,7���aproximadamente.Após concluir, os resultados das rigidezes equivalentes foram, (��)��1 =4x10����,(��)��2 =3,9x10����,(��)��3 = 5,5�10����.Foi feita a

relação das mesmas com a rigidez bruta da nervura ��� (dada por ��� x ��), onde: (��)��

��� = % e

varia em valores próximos a 25% e 40%. As lajes em questão resultaram em 24%, 23% e 33% na sequência proposta.

Iniciou-se o estudo no programa de elementos finitos (SAP 2000) modelando as lajes com uma malha retangular de (8mx8m), (8mx12m), (8mx16m), em seguida definiu-se sua seção de área com membranas de 0,05m de espessura, e um carregamento uniforme de 1,2 KN/m² que representa sua sobrecarga. Logo após o comprimento de cada uma foi dividido pelo comprimento do enchimento da nervura (��) = 0,6m tanto no eixo X como no eixo Y. Subsequentemente foram atribuídos os elementos às seções de concretoda vigota de armação com 0,1m de base por 0,35m de altura, neste seguimento ainda foram inseridas as vigas em todo o seu plano.

Para que as placas viessem a ser executadas corretamente foi preciso determinar também o tipo de material usado para sua confecção, neste caso, o concreto. Onde foi

colocado seu peso específico de 25 KN/m³ e módulo de elasticidade com valor reduzido((��)��

���

= % x ���) nos referentes campos de preenchimento. Feito isso, apoiou-se as lajes escolhendo o apoio do tipo pino e confirmando. Finalizadas todas estas etapas, elas estavam prontas para mostrar suas deformações. No estudo em questão analisou-se apenas as flechas máximas, cujos valores estão concentrados no centro das lajes (marcados pela cor rosa) como mostram as figuras abaixo:

��������������

��������������

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��������������

4 CONCLUSÕES

O presente trabalho buscou verificar um coeficiente de rigidez para deformação máxima em lajes nervuradas. Para este fim foram calculadas as flechas em três lajes por dois métodos diferentes, o cálculo manual usando formulação de revisão bibliográfica e pelo software de elementos finitos (SAP 2000). Com resultados contidos na tabela abaixo:

Tabela. Comparação das flechas

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Lajes Flecha obtida através do

cálculo manual utilizando formulação proposta

Flecha obtida através do software SAP

Laje 8mx8m

1,60 cm 1,4 cm

Laje 8mx12m

2,90 cm 2,38 cm

Laje 8mx16m

3,80 cm 2,66 cm

Obs: Os resultados acima representam as flechas máximas corrigidas

considerando o concreto fissurado-Estádio II= (feII)

Nota-se que as deformações encontradas pelos dois métodos não se destoaram, tendo

em vista que o propósito do estudo era este, se conclui que o objetivo principal foi alcançado. Analisando os resultados, verificou-se que o valordo coeficiente de redução da rigidez

nessas lajesse converge para 30% da rigidez bruta da maneira em quefoi empregado.Sendo assim, ainda pode-se constatar que este coeficiente se encontra a favor da segurança, pois, ao realizar a minoração da rigidez a peça se deforma menos.

Como a norma brasileira de concreto não tem um valor definido para este, percebe-se que, o valor proposto é aplicável para o cálculo manual. Lembrando que se faz necessário um estudo mais criterioso e ensaios laboratoriais para a conclusão exata do mesmo.

5. REFERÊNCIAS

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Concreto I - Fundamentos do Concreto Armado. Curso de graduação em Engenharia Civil. Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2006.

BASTOS, Paulo Sérgio dos Santos. Notas de Aula da disciplina de Estruturas de

Concreto I – Lajes de Concreto. Curso de graduação em Engenharia Civil. Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2005.

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DIAS. R. H. Analise numérica de pavimentos de edifícios em lajes nervuradas.

Dissertação de Mestrado, Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo, São Paulo, 2003.

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2013. GIL, Antônio Carlos. Como elaborar projetos de pesquisa. 4. ed. São Paulo: Atlas,

2008.