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SEM 500 – Estática Aplicada às Máquinas

Prof. Assoc. Flávio D. Marques (www.eesc.usp.br/fmarques)

Desligueocomputador!Silencieocelular!

Thedarksideiscallingyou!

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Sumário sobre o curso:

Datas das provas: P1 – 02/10/2018 (Terça-feira) P2 – 27/11/2018 (Terça-feira)

P3 (extra) – 04/12/2018 (Terça-feira)

Obs.: P3 é prova extraordinária para os que precisaram faltar na P1 ou P2 (mediante comprovação oficializada no

Serviço de Graduação da EESC). Seu conteúdo é o da prova perdida.

NÃO HAVERÁ PROVA SUBSTITUTIVA

Média Final = (2*P1 + 3*P2)/5

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MECÂNICA: ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou de movimento de corpos sujeitos a ação de forças.

Corpos Rígidos Corpos Elásticos Fluidos

ESTÁTICA DINÂMICA

(equilíbrio) (movimento)

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FORÇA Agente externo que modifica o equilíbrio ou movimento de um corpo (rígido ou elástico).

E nos fluidos?

•  Força é uma grandeza vetorial – definida por magnitude, direção e sentido.

•  Nos problemas envolvendo forças usamos as Leis de Newton.

Observações:

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Por que o engenheiro precisa estudar Estática?

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Princípio fundamental da Estática é o EQUILÍBRIO.

Σ F = 0 Σ {f } = {0} Σ f = 0

… que podemos aplicar no projeto de máquinas e estruturas, os quais estão sujeitos a carregamentos externos.

somatória das forças externas

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θ

CG

pressure center

L (lift)

D (drag)

R (aerodynamic

resultant force)

W (weight) Nr (normal)

Nf

Fr (tractive)

Ff Rf

Rr (rolling resistance)

x

z

v(t)

a(t)

carregamento

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empuxo hidrostático

peso (navio+carga)

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empuxo dos motores

arrasto sustentação

peso (aeronave+carga)

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Considerações gerais:

v Para corpos em movimento com velocidade constate, vale também uma análise estática já que Σ f = 0.

v Os casos estudados neste curso consideram idealizações como: ponto material, corpo rígido, força concentrada. Veremos mais adiante que tais idealizações precisam ser reconsideradas, por exemplo, na análise de esforços internos e cargas distribuídas.

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VetoresForçaSe força é uma grandeza vetorial, o vetor resultante deve ser obtido através da operação vetorial de adição. Qualquer outra manipulação com forças deve seguir as operações vetoriais.

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Operações Vetoriais Multiplicação e

divisão por escalar

Adição vetorial Lei do Paralelogramo

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Adição de Forças Vetoriais notação

cartesiana

F1 = { 15 sin 40° i + 15 cos 40° j } kN

= { 9,642 i + 11,49 j } kN F2 = { -(12/13)26 i + (5/13)26 j } kN = { -24 i + 10 j } kN

F3 = { 36 cos 30° i – 36 sin 30° j } kN = { 31,18 i – 18 j } kN

Resultante:

FR = { (9,642 – 24 + 31,18) i + (11,49 + 10 – 18) j } kN = { 16,82 i + 3,49 j } kN

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Vetores Cartesianos

A = (AX i + AY j + AZ k)

Magnitude do vetor A:

A = (AX2 + AY

2 + AZ2) ½

Orientação (direção) do vetor A:

(cossenos diretores de A)

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Vetores Unitários

Vetor de magnitude unitária de é usado para determinar a direção e sentido de um outro vetor.

A = uA A

u A = cos α i + cos β j + cos γ k

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Vetores Posição Motivação: Como podemos determinar o vetor força agindo em uma direção específica?

F

Vetor posição direcionado de A para B: rAB = {(xB – xA ) i + (yB – yA) j + (zB – zA) k} m

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Vetores Posição (cont.)

a) Determinar, rAB , ao longo da linha AB. b) Calcule o vetor unitário, uAB = (rAB/rAB). c) Determina-se o vetor de força pela sua

magnitude e vetor unitário, F = F uAB .

Exemplo: Obtendo o vetor força sabendo a magnitude da força F e as coordenadas de pontos ao longo da linha de ação dessa força.

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O Produto Escalar A•B = A B cos θ

onde θ é o menor ângulo entre os vetores (sempre entre 0º e 180º).

O produto escalar resulta em um escalar.

Para dois vetores cartesianos:

A • B = (Ax i + Ay j + Az k) • (Bx i + By j + Bz k)

= AxBx + AyBy + AzBz

Sendo que, i • j = 0 , i • i = 1, e assim por diante.

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O Produto Escalar (cont.)

Usando o produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores dados (vetores cartesianos):

a) Calcular o produto vetorial,

A • B = (AxBx + AyBy + AzBz ),

b) Calcular as magnitudes dos vetores A e B, e

c) Usar a definição do produto escalar para encontrar θ, ou seja,

θ = cos-1 [(A • B)/(A B)], onde 0º ≤ θ ≤ 180º .

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O Produto Escalar (cont.) O Produto Escalar (cont.)

Usando o produto escalar para encontrar a projeção de um vetor conhecido em uma direção específica:

1.  Encontrar o vetor unitário, u, ao longo da direção aa´

2.  Encontrar a magnitude da projeção de A ao longo de aa´ pelo produto escalar

A|| = A • u = Axux + Ayuy + Az uz

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O Produto Escalar (cont.)

3. Do passo anterior tem-se, A|| = A|| u

4. Então, a magnitude da componente perpendicular pode ser obtida calculado,

A⊥ = (A2 - A||2 ) ½

portanto A⊥ = A – A||

que pode ser rearranjado como A = A⊥ + A||

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Exemplo:

Determinar:

(a)  O ângulo entre a força aplicada e direção do mastro (OA).

(b)  A magnitude a força na direção OA do mastro.

A

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Solução:

(a) θ = cos-1{(F • rOA)/(F rOA)}

rOA = {2 i + 2 j – 1 k} m

rOA = (22 + 22 + 12)1/2 = 3 m

F = {2 i + 4 j + 10 k} kN

F = (22 + 42 + 102)1/2 = 10,95 kN

θ = cos-1 {2/(10,95 * 3)} = 86,5°

F • rOA = (2)(2) + (4)(2) + (10)(-1) = 2 kN·m

✔

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Solução:

(b)

uOA = rOA/rOA = {(2/3) i + (2/3) j – (1/3) k}

FOA = F • uOA = (2)(2/3) + (4)(2/3) + (10)(-1/3) = 0,667 kN

ou então, conhecido θ:

FOA = F cos θ = 10,95 cos(86,51°) = 0,667 kN

FOA = F • uOA

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✔

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Por hoje é só!

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