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UNIVERSIDADE DE LISBOA
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE LISBOA
DISSERTAÇÃO
A UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS E OS
PROCESSOS DE APRENDIZAGEM:
UM ESTUDO NA INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA NO 2.º CICLO
Cláudia Isabel Ribeiro Cunha
CICLO DE ESTUDOS CONDUCENTE AO GRAU DE MESTRE
EM EDUCAÇÃO
Área de Especialização em TIC e Educação
2010
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UNIVERSIDADE DE LISBOA
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE LISBOA
DISSERTAÇÃO
A UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS E OS
PROCESSOS DE APRENDIZAGEM:
UM ESTUDO NA INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA NO 2.º CICLO
Cláudia Isabel Ribeiro Cunha
CICLO DE ESTUDOS CONDUCENTE AO GRAU DE MESTRE
EM EDUCAÇÃO
Área de Especialização em TIC e Educação
Orientadora: Professora Doutora Hélia Margarida Aparício Pintão Oliveira
2010
ii
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RESUMO
A motivação para a realização deste estudo surgiu da observação de que, em Portugal,
existe pouca reflexão sobre o efeito da utilização das tecnologias na aprendizagem dos alu-
nos. As escolas encontram-se cada vez mais bem equipadas ao nível dos materiais tecnológi-
cos disponíveis, mas pouco se reflecte sobre a utilização desses materiais, especialmente ao
nível do impacto destes na aprendizagem dos alunos.
Com este estudo pretende-se compreender os processos de resolução de tarefas com
sequências, de alunos do 5.º ano que fazem uso das Tecnologias da Informação e da Comuni-
cação (TIC) em comparação com alunos do mesmo ano de escolaridade que utilizam exclusi-
vamente papel e lápis. Para tal, foi desenhada uma proposta pedagógica no âmbito da área
disciplinar de Matemática, que visa o trabalho com sequências e regularidades, e que preten-
de auxiliar os alunos no desenvolvimento do pensamento algébrico, como forma de prepara-
ção para o trabalho algébrico formal do 3.º ciclo. De entre as várias ferramentas tecnológicas
disponíveis, este estudo debruça-se sobre a utilização de applets por se considerar que estas
permitem uma interactividade que pode ser útil no trabalho com sequências.
A metodologia de investigação é de natureza qualitativa, seguindo o paradigma interpre-
tativo. Foi realizada uma experiência de ensino de modo a estudar o conhecimento matemáti-
co dos alunos envolvidos, e realizados quatro estudos de caso para possibilitar a recolha
intensiva e detalhada dos dados sobre o trabalho dos alunos. A recolha de dados foi efectuada
recorrendo ao diário de bordo (complementado com dados obtidos por gravações áudio) e aos
documentos produzidos pelos alunos durante a realização das tarefas propostas.
Os resultados do estudo mostram que a utilização de applets em tarefas de exploração
de sequências permite um trabalho mais rápido e autónomo por parte dos alunos. No entanto,
a análise das sequências também se torna mais superficial, o que pode limitar as capacidades
de generalização dos alunos, pelo que é necessário que a utilização da applet seja acompa-
nhada de um conjunto de questões que obriguem os alunos a aprofundar a exploração da
sequência.
Palavras-chave: Tecnologias da Informação e comunicação (TIC), applets, sequências e
regularidades, tarefas de exploração.
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ABSTRACT
The motivation for this study came from the observation that, in Portugal, there is little
discussion on the effect of using technology in students learning. Schools are increasingly
better equipped with technological resources available, but still there is little a lack of reflec-
tion about the use of these resources, particularly how these impact students learning.
This study aims to understand the processes of solving tasks with sequences, of 5th
grade students who make use of Information and Communication Technology (ICT) in com-
parison to students of the same grade who use only paper and pencil. For this purpose, it was
designed a pedagogical proposal in Mathematics, which involves the work with sequences
and regularities, and aims to assist students in the development of algebraic thinking, as prep-
aration for the formal work in Algebra in the 3th cycle. Among the various technological
tools, this study focuses on the use of applets, because it was felt that it permits an interactivi-
ty that could be useful in the work with sequences.
The research methodology is qualitative in nature, following the interpretive paradigm.
It has been developed a teaching experiment in order to study the mathematical knowledge of
the students involved, and conducted four case studies to allow intensive and detailed collec-
tion of data on students' work. Data collection was performed using the logbook, supple-
mented with information from audio recordings, and the documents produced by students in
the carrying out tasks.
The study results show that when students use applets in the exploration of sequences,
they work more quickly and independently. However, sequence analysis also becomes more
shallow, which might limit the possibility for students to generalise. Therefore, it is necessary
that the use of the applet is accompanied by a set of questions that require students a deeper
exploration of the sequence.
Keywords: Information and Communication Technology (ICT), applets, regularities and
sequences, exploration tasks.
vi
vii
AGRADECIMENTOS
À minha orientadora, Professora Doutora Hélia Margarida Aparício Pintão de Oliveira,
pelo interesse e apoio com que me acompanhou neste estudo e pelas críticas, sugestões e
incentivos que foi dando ao longo da sua realização. Muito obrigada pela simpatia e pela
paciência em todos os momentos.
Aos meus alunos, participantes neste estudo, por terem acedido a colaborar na investi-
gação e pelo interesse e amizade que demonstraram.
Ao Gabinete do Director da minha Escola pela disponibilidade e apoio.
A todos aqueles que, de algum modo, contribuíram para a realização deste trabalho.
Por fim, e sem dúvida aos mais importantes, aos meus amigos e à minha família, em
particular, aos meus pais e ao meu marido, por todo o apoio que sempre me deram ao longo
da realização deste trabalho; sem vocês não teria sido possível.
viii
ix
ÍNDICE
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 1
1.1. PERTINÊNCIA E QUESTÕES DO ESTUDO .................................................................................................... 1
1.2. ORGANIZAÇÃO DO ESTUDO ..................................................................................................................... 4
CAPÍTULO 2 - PADRÕES E SEQUÊNCIAS NO DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO ........................................................................................................................................................... 5
2.1. ÁLGEBRA NO CURRÍCULO: A IMPORTÂNCIA DO PENSAMENTO ALGÉBRICO ................................................ 5
2.2. PADRÕES E SEQUÊNCIAS .............................................................................................................................. 8
2.3. ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE TAREFAS COM SEQUÊNCIAS ................................................................. 10
2.4. DIFICULDADES NA RESOLUÇÃO DE TAREFAS COM SEQUÊNCIAS ............................................................... 16
CAPÍTULO 3 - AS TIC NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ........................................................................... 19
3.1. AS TIC EM CONTEXTO EDUCATIVO ........................................................................................................... 19
3.2. AS TIC NO ENSINO DA MATEMÁTICA ....................................................................................................... 21
3.3. MATERIAIS MANIPULATIVOS VIRTUAIS E O ENSINO DA MATEMÁTICA ..................................................... 23
3.4. AMBIENTES DE APRENDIZAGEM COM AS TIC ........................................................................................... 26
3.5. AS POSSIBILIDADES DAS TIC NO DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO ............................. 27
CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO ............................................................................... 31
4.1. OPÇÕES METODOLÓGICAS ......................................................................................................................... 31
4.2. PARTICIPANTES ......................................................................................................................................... 34
4.3. ORGANIZAÇÃO DO ESTUDO ....................................................................................................................... 36
4.4. MÉTODOS DE RECOLHA DE DADOS ............................................................................................................ 36
4.4.1. Diário de Bordo ......................................................................................................................... 37
4.4.2. Resolução escrita das actividades realizadas ........................................................................... 38
4.4.3. Outros documentos .................................................................................................................... 38
4.5. ANÁLISE DOS DADOS ................................................................................................................................. 39
CAPÍTULO 5 - EXPERIÊNCIA DE ENSINO ................................................................................................... 41
5.1. ENQUADRAMENTO CURRICULAR DAS TAREFAS ........................................................................................ 41
5.2. PLANIFICAÇÃO .......................................................................................................................................... 44
5.3. TAREFAS .................................................................................................................................................... 47
x
5.4. DINÂMICAS DE SALA DE AULA .................................................................................................................. 52
5.4.1. O trabalho com suporte das applets .......................................................................................... 54
5.4.2. O trabalho com papel e lápis .................................................................................................... 63
CAPÍTULO 6 - RESULTADOS ........................................................................................................................... 65
6.1. ACTIVIDADE 1 – INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 65
6.2. ACTIVIDADE 2 – COLARES DE CONTAS ..................................................................................................... 73
6.3. ACTIVIDADE 3 – NÚMEROS EM CAIXA ...................................................................................................... 78
6.4. ACTIVIDADE 4 – SEQUÊNCIAS CRESCENTES .............................................................................................. 85
6.5. ACTIVIDADE 8 – FORMAÇÕES EM V .......................................................................................................... 89
CAPÍTULO 7 - CONCLUSÃO ............................................................................................................................ 97
7.1. SÍNTESE DO ESTUDO .................................................................................................................................. 97
7.2. CONCLUSÕES DO ESTUDO ......................................................................................................................... 98
7.2.1. Estratégias de resolução utilizadas ........................................................................................... 99
7.2.2. Dificuldades apresentadas pelos alunos ................................................................................. 102
7.2.3. Características do trabalho com recurso às TIC .................................................................... 103
7.3. REFLEXÃO FINAL ..................................................................................................................................... 105
REFERÊNCIAS ................................................................................................................................................... 109
ANEXOS ............................................................................................................................................................... 117
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ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 1 – UMA POSSÍVEL ESTRATÉGIA DE GENERALIZAÇÃO EM SEQUÊNCIAS ...................................................... 11 FIGURA 2 – PADRÃO DA TAREFA APRESENTADA AOS ALUNOS ................................................................................. 13 FIGURA 3 – GENERALIZAÇÃO CONSTRUTIVA DE UM PADRÃO FIGURATIVO .............................................................. 14 FIGURA 4 – GENERALIZAÇÃO DECONSTRUTIVA DE UM PADRÃO FIGURATIVO ......................................................... 14 FIGURA 5 – DIAGRAMA DO PROBLEMA DOS QUADRADOS SOMBREADOS ................................................................. 15 FIGURA 6 – ORIGINAL DA TAREFA UTILIZADA NO PURPOSEFUL ALGEBRAIC ACTIVITY ............................................. 28 FIGURA 7 – TAREFA UTILIZADA NO PROJECTO PURPOSEFUL ALGEBRAIC ACTIVITY ............................................... 28 FIGURA 8 – PÁGINA DE ENTRADA PARA AS ACTIVIDADES PLANIFICADAS ................................................................ 55 FIGURA 9 – PÁGINA CONTENDO A APPLET UTILIZADA PARA AS ACTIVIDADES 1 E 4. ............................................... 56 FIGURA 10 – PÁGINA CONTENDO A APPLET UTILIZADA NA ACTIVIDADE 2 .............................................................. 58 FIGURA 11 – PÁGINA CONTENDO A APPLET UTILIZADA NAS ACTIVIDADES 3, 6 E 8 ................................................. 59 FIGURA 12 – PÁGINA CONTENDO A APPLET UTILIZADA NA ACTIVIDADE 5 .............................................................. 61 FIGURA 13 – PÁGINA CONTENDO A APPLET UTILIZADA NA ACTIVIDADE 7 .............................................................. 62
ÍNDICE DE QUADROS QUADRO 1 – PLANIFICAÇÃO DAS ACTIVIDADES PROPOSTAS .................................................................................... 45 QUADRO 2 – OBJECTIVOS ESPECÍFICOS DAS ACTIVIDADES PROPOSTAS ................................................................... 48
ÍNDICE DE ANEXOS
ANEXO 1 – PLANIFICAÇÃO ..................................................................................................................................... 119 ANEXO 2 – SCREENSHOTS DAS APPLETS UTILIZADAS .............................................................................................. 121 ANEXO 3 – FICHAS DE TRABALHO PROPOSTAS AO 5.ºA .......................................................................................... 129 ANEXO 4 – FICHAS DE TRABALHO PROPOSTAS AO 5.ºB .......................................................................................... 145 ANEXO 5 – PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AO DIRECTOR DA ESCOLA ......................................................................... 163 ANEXO 6 – PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AOS ENCARREGADOS DE EDUCAÇÃO ........................................................ 165
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CAPÍTULO 1
Introdução
Quando se fala da utilização de tecnologia em educação, assume-se frequentemente que
a sua introdução no ensino é simples e benéfica, bastando para isso a disponibilização aos
alunos de ferramentas informáticas. No entanto, a investigação tem demonstrado que para
que a utilização destes materiais se traduza em resultados positivos na aprendizagem dos alu-
nos é necessário alterar as práticas e os hábitos do professor nas suas aulas. Neste capítulo
pretende-se apresentar as motivações para a realização do estudo realizado, assim como os
objectivos a que se propõe.
1.1.Pertinência e questões do estudo
The most important single factor influencing learning is what the
learner already knows. Ascertain this and teach him accordingly.
David Ausubel
Com o aumento do número de ferramentas tecnológicas à disposição do professor, tor-
na-se cada vez mais importante a reflexão sobre o impacto desse uso na aprendizagem dos
alunos. A utilização de ferramentas informáticas pode alterar a forma como os alunos apren-
dem, mas para tal o professor deve ter consciência deste facto e apoiar os seus alunos, desen-
volvendo actividades que os conduzam a novas aprendizagens.
Ao longo da minha experiência como professora tenho verificado que frequentemente
os professores utilizam as novas tecnologias em sala de aula, ou apenas como apoio no seu
modelo tradicional de aula, ou porque são incitados a fazer uso da tecnologia, embora não
reflictam sobre o seu real impacto na aprendizagem dos seus alunos. Daí considerar impor-
tante conhecer a forma como a utilização das ferramentas tecnológicas pode influenciar os
2
processos de aprendizagem dos alunos, mais do que simplesmente a sua motivação ou inte-
resse pela aula.
As escolas estão cada vez mais apetrechadas com material informático, calculadoras,
computadores, projectores de vídeo, quadros interactivos, e há cada vez mais a possibilidade
de acesso a software variado para as diferentes disciplinas e mesmo a aplicações da Web 2.0
que começam a ser também utilizados em contexto educativo. As potencialidades de todo
este material podem ser imensas, mas é sobretudo necessário e importante que seja averigua-
do o real impacto da utilização destes instrumentos na aprendizagem dos alunos. Segundo
Miranda (2007), a integração eficaz das tecnologias no ensino exige um esforço de reflexão e
de alteração de práticas de ensino, pois o simples apetrechamento das escolas não é suficien-
te.
Como a análise de uma situação de utilização da tecnologia em sala de aula não pode
surgir descontextualizada, decidiu-se enquadrar este estudo no contexto da aprendizagem da
Matemática, mais especificamente na aprendizagem inicial da Álgebra através da exploração
de padrões e sequências. Estudos recentes indicam que o trabalho realizado com a análise de
sequências e regularidades propicia o desenvolvimento do pensamento algébrico, facilitando
no futuro o estudo formal de estruturas algébricas (Kaput, 1999; Orton & Orton, 1999;
Threlfall, 1999; Stacey, 1989; Zazkis & Liljedahl, 2002).
A exploração de sequências, nomeadamente através da procura do seu termo geral, leva
os alunos a pensar sobre as relações numéricas e geométricas associadas, a identificar
regularidades, e eventualmente a generalizar através de diferentes processos. Seguindo as
orientações destes, e outros estudos que enfatizam a importância do pensamento algébrico,
também o novo Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 2007) passou a comtemplar
o trabalho com sequências e regularidades desde o 1.º Ciclo, aparecendo este trabalho
formalmente no 2.º Ciclo dentro do Tema Álgebra.
Apesar do novo Programa da Matemática não estar ainda em vigor na escola onde me
encontrava a leccionar, achei que esta era uma oportunidade interessante para realizar com os
meus alunos de 5.º ano um conjunto de tarefas de exploração de padrões, tentando assim
prepará-los para o trabalho algébrico que irão realizar num futuro próximo.
Desta forma, foi elaborada uma proposta pedagógica para o 5.º ano de escolaridade no
âmbito da exploração de sequências e regularidades, para ser desenvolvida nas aulas de
Estudo Acompanhado, de modo a evitar perturbar a planificação já desenhada para as aulas
de Matemática. A proposta elaborada é constituida por uma sequência de actividades
relacionadas com o estudo de padrões e regularidades, com um carácter essencialmente
3
exploratório e investigativo. Através desta proposta, procurou-se proporcionar aos alunos
uma experiência de aprendizagem significativa, tendo em vista o desenvolvimento do
pensamento algébrico.
Assim neste estudo procura-se compreender de que modo a utilização de tecnologias em
sala de aula influencia o ambiente de trabalho e os processos utilizados pelos alunos para
resolver problemas propostos em contexto de aprendizagem da Matemática. A partir deste
objectivo foi delineado o problema de investigação, o qual se centra na compreensão dos pro-
cessos de resolução de tarefas com sequências de alunos que fazem uso das TIC em compa-
ração com alunos do mesmo ano de escolaridade que utilizam exclusivamente papel e lápis
Segundo Bogdan e Bilken (1994), numa investigação qualitativa as questões estudadas
são escolhidas para analisar o fenómeno em causa em toda a sua extensão e contexto, e são
elas que orientam o estudo em vez de hipóteses que se procuram testar. Deste modo, para
ajudar a alcançar o objectivo delineado, foram identificadas as seguintes questões:
Como se caracterizam as estratégias dos alunos na exploração de sequências,
com e sem a utilização das TIC?
Que dificuldades apresentam os alunos durante a realização das tarefas com
sequências, com e sem recurso às TIC?
Que características apresenta o trabalho em sala de aula com recurso às TIC?
Com o objectivo de definir uma tecnologia específica a ser utilizada nas várias tarefas
propostas aos alunos, considerou-se que seria interessante focar o estudo sobre a utilização de
applets, por já existirem algumas disponíveis na Internet, e por este tipo de ferramenta tecno-
lógica permitir uma manipulação dos objectos analisados, que poderia ser útil neste contexto.
Através da aplicação da proposta pedagógica já referida e com base no trabalho desen-
volvido pelos alunos de duas turmas de 5.º ano (uma turma que realizará as tarefas propostas
com recurso adicional às applets e outra que realizará todas tarefas apenas com papel e lápis),
procura-se responder às questões apresentadas. Pretende-se assim contribuir para conhecer,
mais em pormenor, as características das tarefas realizadas com recurso às TIC, na fase ini-
cial da aprendizagem da Álgebra.
4
1.2.Organização do estudo
Este estudo encontra-se organizado em sete capítulos, sendo que neste primeiro realço a
pertinência da realização desta investigação, apresentado o problema e as questões orientado-
ras.
Nos capítulos dois e três apresenta-se uma fundamentação teórica, referindo documen-
tos e investigações realizados no âmbito da análise e exploração de sequências e regularida-
des, e também da utilização de tecnologia em contexto educativo, em especial no estudo da
Matemática.
No capítulo quatro são descritas e justificadas as opções metodológicas seguidas para a
realização da investigação, assim como os procedimentos seguidos com vista à recolha e aná-
lise de dados.
No capítulo cinco é apresentada a proposta pedagógica, contextualizada no currículo
actual, e com a descrição da planificação das tarefas e das dinâmicas de sala de aula, com e
sem a utilização de tecnologias. Apresenta-se também neste capítulo uma breve descrição do
desempenho geral das turmas durante a realização das actividades propostas.
No capítulo seis são apresentados os resultados, baseados nos estudos de caso realizados
em ambas as turmas, sendo analisadas as semelhanças e diferenças ao nível das estratégias
utilizadas pelos alunos ao longo da resolução da experiência pedagógica.
Finalmente, no capítulo sete, apresentam-se os principais resultados da investigação rea-
lizada, sendo também elaborada uma reflexão pessoal do trabalho desenvolvido.
5
CAPÍTULO 2
Padrões e sequências no desenvolvimento do pensamento
algébrico
As investigações realizadas nas últimas décadas em educação matemática têm demons-
trado a necessidade de crescimento de um domínio da matemática anteriormente reservado a
níveis de escolaridade mais avançados: a Álgebra. Actualmente considera-se que o estudo da
Álgebra deve ser iniciado de modo informal com crianças nos primeiros anos de ensino, visto
que o trabalho realizado nesse sentido auxilia ao desenvolvimento de competências e capaci-
dades de raciocínio importantes na resolução de problemas e na aprendizagem dos mais
variados conceitos. Neste capítulo pretende-se esclarecer como surgiu e qual a importância
do desenvolvimento do pensamento algébrico, assim como apresentar as características das
estratégias de resolução e de generalização utilizadas por crianças aquando da resolução de
tarefas envolvendo padrões e sequências.
2.1. Álgebra no Currículo: a importância do pensamento algébrico
Há já muitos séculos que o estudo da Álgebra tem vindo a ser construído, tendo como
aspecto central o cálculo algébrico. O seu espaço na matemática escolar esteve quase sempre
associado a níveis de escolaridade mais avançados (3.º Ciclo e Secundário) e o seu âmbito
normalmente reduzido ao trabalho realizado com equações e funções. No entanto, esta visão
da álgebra tem vindo a ser considerada, por muitos autores, como insuficiente e redutora
(Kaput, 1999; NCTM, 2007; Herbert & Brown, 1997), visto que desconsidera aspectos rela-
cionados com a resolução de problemas e com as relações entre números, aspectos que hoje
se consideram claramente necessários na Álgebra escolar.
6
Nas últimas décadas, vários autores em diversas investigações (Stacey, 1989; Herbert &
Brown, 1997; Kaput, 1999; Cai & Knuth, 2005), demonstraram a importância da Álgebra na
matemática escolar e que esta envolve o trabalho com símbolos, a linguagem algébrica, o
estabelecimento de relações matemáticas e a generalização, e que a natureza deste tipo de
trabalho está implícito e é necessário quer na resolução de problemas em Geometria, quer em
Aritmética, atravessando todo o currículo. É através desta perspectiva sobre a Álgebra que
surge o conceito de pensamento algébrico, no qual se enquadra o raciocínio e o trabalho que
permite chegar ao estabelecimento de relações e a generalizações através de uma linguagem
simbólica (Kaput, 1999), a qual se vai tornando cada vez mais formal ao longo da escolarida-
de.
Segundo Kriegler (2001) o pensamento algébrico é uma forma de desenvolver o racio-
cínio matemático e também o estudo dos conceitos algébricos fundamentais. Cai e Knuth
(2005) referem o pensamento algébrico como uma forma particular de pensamento que inclui
a análise de relações entre quantidades, a noção de estrutura, a generalização, a resolução de
problemas, a modelação, a justificação e a prova de ideias. O aluno deve aprender álgebra de
uma forma contextualizada, resolvendo problemas e desenvolvendo competências associadas
ao raciocínio matemático e competências de representação através de relações visuais, numé-
ricas ou simbólicas.
A importância de proporcionar aos alunos uma aprendizagem significativa em matemá-
tica, um ambiente que lhes permita envolverem-se na aprendizagem e que esteja relacionado
com a sua realidade e experiências, levou à introdução em matemática de actividades de
compreensão de padrões, visto que estes se encontram em todo o lado, nas vivências do dia-
a-dia (Vale & Pimentel, 2009). Através do estudo de padrões, os alunos são levados a “des-
cobrirem relações, encontrarem conexões, fazerem conjecturas, previsões e também generali-
zações” (Vale & Pimentel, 2009, p. 7). A resolução de problemas envolvendo padrões e
sequências e a sua generalização envolve frequentemente estes aspectos, auxiliando o aluno
no processo de desenvolvimento do pensamento algébrico que lhe facilitará no futuro a reso-
lução de outros tipos de tarefas matemáticas ou problemas do dia-a-dia.
A contextualização da aprendizagem da matemática e a atribuição de significado aos
símbolos envolvidos nas questões matemáticas, impedem que a álgebra escolar se resuma à
resolução de expressões algébricas ou exercícios abstractos, que afastam o aluno da com-
preensão total das questões e da sua apropriação. Freudenthal (1991) defende que a matemá-
tica pode ser trabalhada enquanto actividade humana, permitindo aos alunos reinventar a
matemática na sala de aula, atribuindo significado aos símbolos usados.
7
De acordo com o NCTM (2007) o trabalho algébrico deverá ser iniciado no 1.º ciclo de
modo a que a experiência desenvolvida, ao longo desse e do 2.º ciclo, crie bases para o traba-
lho mais complexo com funções no 3.º ciclo. Esta visão sobre a álgebra escolar e a importân-
cia do pensamento algébrico levou a alterações curriculares nos Estados Unidos, nomeada-
mente a iniciar o estudo da álgebra em idades mais jovens do que era anteriormente feito.
Ainda segundo o NCTM, o trabalho com padrões e as experiências com números e as suas
propriedades são formas de facilitar a compreensão das funções e o trabalho com símbolos e
expressões algébricas.
A descrição e análise de padrões e sequências levam a aprendizagem de uma matemáti-
ca que vai para além de procedimentos e rotinas. De um modo intuitivo e motivador, os alu-
nos podem aprender a desenvolver o seu pensamento algébrico, comunicando o seu raciocí-
nio de modo claro e justificando as suas decisões através das suas palavras ou de simbolismos
que considerem adequados (Vale, Palhares, Cabrita, & Borralho, 2006). McClure (2009) con-
sidera que a mudança curricular causada por esta visão da álgebra escolar constitui uma
mudança no paradigma do ensino da matemática, visto que se deixa de dar tão grande ênfase
à aritmética para o atribuir a hábitos de pensamento e raciocínio que auxiliam a uma com-
preensão mais profunda dos processos matemáticos.
Foi nesta perspectiva que também em Portugal o Programa de Matemática do Ensino
Básico (ME, 2007) foi alterado na sua estrutura e composição, dando lugar a um tema trans-
versal ligado ao pensamento algébrico. Já em 2001, o Currículo Nacional do Ensino Básico
evidenciava uma mudança nesta mesma direcção, ao determinar que ao longo de todos os
ciclos deveriam ser trabalhadas competências associadas ao estudo da Álgebra (Oliveira,
2009). No novo Programa é clara a importância dada ao desenvolvimento do pensamento
algébrico, sendo que:
a alteração mais significativa em relação ao programa anterior é o estabelecimento
de um percurso de aprendizagem prévio nos 1.º e 2.º ciclos que possibilite um
maior sucesso na aprendizagem posterior, com a consideração da Álgebra como
forma de pensamento matemático, desde os primeiros anos. (ME, 2007, p. 7)
As tarefas a desenvolver devem ser de índole exploratória ou investigativa (Ponte,
Branco, & Matos, 2009), de modo a promover hábitos de pensamento que permitam a gene-
ralização, considerando os números e as operações de forma algébrica, isto é, dando atenção
às relações existentes entre os números e não apenas os valores numéricos absolutos. Este
8
novo Programa realça a importância de desenvolver o pensamento algébrico, a capacidade de
representar através de símbolos as situações matemáticas e a capacidade de resolução de pro-
blemas em diversos contextos.
2.2. Padrões e sequências
As mudanças nas orientações do Programa de Matemática implicam uma reflexão apro-
fundada sobre as tarefas matemáticas propostas aos alunos, de modo a possibilitar o desen-
volvimento do pensamento algébrico (Oliveira, 2009) e do raciocínio matemático. A explora-
ção de sequências e padrões são um modo muito rico de trabalhar o currículo da matemática
transversalmente “tanto a nível de conteúdos como das capacidades que promove nos estu-
dantes de qualquer nível e, também, na forte ligação que tem com a resolução de problemas,
com actividades de exploração e de investigação” (Vale & Pimentel, 2009, p. 8). Alguns
investigadores chegam a definir a matemática como a ciência dos padrões, pois faz parte da
natureza humana a procura pela regularidade, pela ordem e pela existência de uma estrutura
(Vale & Pimentel, 2005). Na realidade, da mesma forma que a matemática se encontra pre-
sente em todos os aspectos da nossa vida quotidiana, também os padrões nos acompanham
diariamente.
A identificação de um padrão é algo muito pessoal por estar relacionado com a forma
como interpretamos o mundo. Mesmo os investigadores que se dedicam ao tema consideram
o conceito de padrão muito variável, associando-o ao contexto em que é utilizado (Orton,
1999). Para Vale, Palhares, Cabrita e Borralho (2006) padrão é um conceito utilizado princi-
palmente para referir disposições ou arranjos, sejam eles geométricos, numéricos ou mesmo
sonoros.
A utilização de sequências de imagens ou números e a realização de investigações sobre
as regularidades nelas presentes permite trabalhar o pensamento algébrico. Os alunos podem
eventualmente procurar generalizar as situações através de expressões simples criadas por si
mesmos e que permitem que a aprendizagem da Álgebra vá ocorrendo de forma gradual,
assim como a capacidade de abstracção que lhe está associada (Abrantes, Serrazina, &
Oliveira, 1999). A generalização tanto pode surgir como um propósito para a exploração das
tarefas, assim como um meio para explorar e analisar a sequência apresentada (Steele &
9
Johanning, 2004). Um aspecto importante no trabalho com padrões e sequências é proporcio-
nar um contexto para a exploração da sequência, de modo a apreender a sua expressão geral.
As tarefas deste âmbito a apresentar aos alunos no ensino básico podem ser constituídas
por sequências repetitivas ou por sequências crescentes. Nas sequências repetitivas, existe um
conjunto de elementos (termos) que se repete, sendo a sequência formada pelos mesmos ele-
mentos repetidos pela mesma ordem infinitamente. A procura de padrões neste tipo de
sequências leva os alunos à análise dos seus elementos, à identificação da unidade que se
repete e, numa fase posterior, à generalização relativamente à ordem dos vários elementos da
sequência. O trabalho com este tipo de sequências pode facilitar o desenvolvimento de capa-
cidades de manipulação simbólica e de generalização, mesmo em crianças pequenas
(Threlfall, 1999).
As sequências crescentes são formadas por elementos diferentes entre si (termos), mas
relacionados uns com os outros e com a sua posição (ordem) na sequência (Ponte, Branco, &
Matos, 2009). A forma de crescimento destas sequências está sempre associado a uma
sequência numérica, podendo os elementos dessa sequência ser números ou objectos dispos-
tos em configurações pictóricas e cuja contagem permite obter o valor numérico da ordem
correspondente. Um tipo de sequências muito presente na matemática escolar são as lineares,
nas quais o padrão aumenta ou diminui sempre na mesma proporção (Hargreaves, Threlfall,
Frobisher, & Shorrocks-Taylor, 1999). Liljedahl (2004) refere-se a este tipo de sequências
como padrões numéricos, visto a sua importância estar principalmente relacionada com o
valor numérico de cada elemento, sendo muitas vezes reconhecidos pelos alunos como
sequências de números familiares, por exemplo, os múltiplos de certos números naturais.
As sequências repetitivas são normalmente mais simples de analisar (Ponte, Branco, &
Matos, 2009). Os vários termos podem ser constituídos por elementos com apenas um atribu-
to, isto é, diferentes apenas no tamanho ou apenas na cor, ou então ser constituídos por dife-
rentes atributos. Threlfall (1999) salienta que estes padrões podem ser estudados por crianças
no início do ensino básico, começando por sequências com unidades de repetição pequenas e
poucos atributos, aumentando depois e progressivamente a sua complexidade. Segundo o
autor, o trabalho com estas sequências auxilia os alunos a desenvolver as suas capacidades de
manipulação de símbolos e de generalização. Para Zazkis e Liljedahl (2002) a exploração de
sequências repetitivas ainda permite introduzir ou evidenciar conceitos e relações numéricos,
especialmente os associados com a multiplicação de números naturais.
10
2.3. Estratégias de resolução de tarefas com sequências
Segundo o NCTM (2007) a resolução de problemas permite ao aluno desenvolver novas
formas de pensar, assim como hábitos de persistência e de curiosidade, além de permitir
ampliar e consolidar as aprendizagens realizadas. A resolução de problemas está intimamente
ligada aos padrões, pois a forma utilizada para descobrir um padrão parte da utilização de
poderosas estratégias para resolver problemas (Vale, Palhares, Cabrita, & Borralho, 2006).
A resolução de problemas envolvendo o estudo de padrões e sequências tornou-se assim
numa forma de auxiliar o desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos dos níveis de
escolaridade mais elementares do que aqueles que até aqui contactavam com temas do âmbito
da Álgebra. A resolução destas tarefas pressupõe que os alunos conseguem analisar a situa-
ção, organizar a informação obtida de modo a conseguir elaborar conjecturas, e chegar a uma
generalização (Barbosa, Vale, & Palhares, 2008), o que auxilia o desenvolvimento da capaci-
dade de resolução de problemas. Segundo Vale e Pimentel (2009) a resolução de problemas
envolvendo padrões é uma forma poderosa de levar os alunos a verbalizar as relações existen-
tes dentro do padrão, e a analisar outras conjecturas e diferentes justificações apresentadas
nas discussões em grande grupo.
O modo como se interpreta um padrão, como se reconhece uma regularidade, como se
tenta procurar ordem no que aparentemente é caos, varia de pessoa para pessoa. No entanto,
alguns estudos de Gardner (1993) e Krutetskii (1976) citados por Barbosa, Vale e Palhares
(2008) revelam que o raciocínio predominantemente utilizado pelos alunos na resolução de
problemas com padrões tem características analíticas, embora nem sempre sejam a forma de
resolução mais eficiente.
Krutetskii (1976) debruçou-se sobre este problema e efectuou um estudo com uma
amostra de alunos com bom desempenho em Matemática. Tendo como foco a aná-
lise do raciocínio evidenciado por esses alunos na resolução de problemas, identifi-
cou três categorias: analítico (não visual), geométrico (visual) e harmónico (capa-
cidade de utilizar em simultâneo representações visuais e não visuais). (p. 463)
Stacey (1989) num estudo envolvendo alunos entre os 9 e os 13 anos na resolução de
tarefas com sequências crescentes, verificou que estes obtêm melhores resultados quando
utilizam um processo harmónico na resolução das tarefas, isto é, quando conjugam as estraté-
gias analíticas com as geométricas.
11
Segundo Herbert e Brown (1997), o processo de análise e investigação de padrões em
álgebra segue, frequentemente, as seguintes fases: primeiro o aluno analisa a sequência e ten-
ta identificar um padrão; em seguida o aluno compreende o padrão, conseguindo descrevê-lo
e analisar os seus aspectos matemáticos; por fim consegue determinar o termo de qualquer
ordem, ou seja, consegue a generalização da situação através da análise que efectuou. Tam-
bém Stacey (1989) refere que a procura de padrões é uma estratégia importante na resolução
de problemas, tendo em consideração que muitas situações matemáticas se podem resolver
através da observação de casos especiais ou padrões.
De acordo com Driscoll (1999), a generalização é dos processos mais importantes para
o pensamento matemático e na resolução de problemas, pois permite-nos olhar para situações
a analisar além das suas particularidades e identificar que tipo de problema se trata ou talvez
qual a estratégia mais adequada para o resolver.
Hargreaves, Threlfall, Frobisher e Shorrocks-Taylor (1999) realçam que o trabalho de
exploração de padrões e sequências e de generalização contribui significativamente para o
desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos, auxiliando-os a criar estratégias de
raciocínio importantes para o trabalho mais avançado em Álgebra. No entanto, estes autores
distinguem estratégias de processos, referindo-se a estratégias como modos de acção utiliza-
dos com um propósito, um objectivo. Por outro lado, processo é o emprego de qualquer acção
à disposição do aluno, mesmo que este não tenha um objectivo determinado. Uma estratégia,
pode assim ser constituída pela utilização ordenada de vários processos disponíveis ao aluno.
Figura 1 – Uma possível estratégia de generalização em sequências (Hargreaves, Threlfall, Frobisher, & Shorrocks-Taylor, 1999, p. 71)
Frequentemente, quanto maior o nível de dificuldade das questões colocadas, como uma
situação de generalização de uma sequência quadrática, maior o número de processos utiliza-
dos e mais complexa se torna a estratégia a adoptar.
ESTRATÉGIA
Vários processos podem ser combinados para formar uma estratégia
Observa os
números
Compara as
diferenças
Repete até encontrar todas as diferenças
Foca atenção em dois
números adjacentes
Conta de um número
até ao seguinte
Memoriza a diferença
entre os números
12
No processo de resolução de problemas relacionados com padrões e sequências podem
ser utilizadas várias estratégias. No estudo já referido anteriormente, Stacey (1989) identifi-
cou quatro métodos utilizados pelos alunos durante a resolução das tarefas com sequências
crescentes, com suporte pictórico. São eles contagem, diferença, objecto inteiro e linear. No
método de contagem, os alunos procediam à contagem dos elementos apresentados no dese-
nho e se necessitarem de indicar o termo de determinada ordem, contam até o alcançar.
No método da diferença os alunos verificavam quantos elementos aumentavam por cada
termo, e quando pretendiam calcular os seguintes iam adicionando o mesmo número recursi-
vamente ou então multiplicavam a diferença encontrada pela ordem do termo a encontrar.
No método do objecto inteiro, os alunos utilizavam o conceito de múltiplo ou de pro-
porcionalidade directa para calcular o número de elementos de determinado termo, a partir
daqueles que já detinham (Orton & Orton (1999), na investigação realizada com alunos entre
os 10 e os 13 anos, identificam este método como short-cut ou atalho, por ser utilizado quan-
do os alunos pretendem um método que lhes dê uma resposta rápida).
O método linear era utilizado quando os alunos reconheciam que na generalização do
padrão eram necessárias a multiplicação e a adição, e que a ordem pela qual as operações
eram realizadas também era importante. Stacey refere também que frequentemente os alunos
usavam mais que um método para encontrar a solução.
Stacey (1989) menciona também que na identificação dos termos seguintes da sequência
– que a autora denomina de generalização próxima – os alunos usam os mesmo métodos que
na identificação de termos mais afastados – denominado de generalização distante. Realça, no
entanto, que alguns alunos que nas questões de generalização próxima usaram o método
linear, passaram para o método da diferença nas questões de generalização distante, o que
revela falta de reflexão sobre a resolução realizada. A autora considera que as estratégias
adequadas para resolução de cada um dos tipos de generalização são diferentes, e embora
exista uma tendência dos alunos em utilizar o método da diferença para resolver a maioria
das questões (Orton & Orton, 1999), este não facilita o acesso ao termo geral, pelo que a sua
utilização frequente deve ser desencorajada.
Num estudo realizado com alunos do 6.º ano de escolaridade, Barbosa, Vale e Palhares
(2008) evidenciaram que a estratégia mais utilizada pelos alunos em questões de generaliza-
ção próxima é a contagem dos seus elementos ou o desenhar do termo pedido (embora tam-
bém utilizem o método do objecto-inteiro e o método recursivo), e que em questões de gene-
ralização distante utilizam principalmente o método linear.
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14
Ainda relativamente à generalização de padrões figurativos associados a sequências
lineares, Becker e Rivera (2005) realizaram um estudo com alunos de 9.º ano no qual identi-
ficaram vinte e três estratégias diferentes utilizadas, sendo algumas numéricas e outras
visuais. Os autores agruparam as formas de generalização identificadas de acordo com a sua
similaridade em três grupos: numéricas, figurativas e pragmáticas, sendo as numéricas as
mais predominantes. Segundo estes autores, os alunos que utilizam estratégias numéricas
empregam a ‘tentativa e erro’ como uma estratégia de semelhança, sem preocupação sobre o
valor do coeficiente do padrão linear. Os alunos que utilizam a generalização figurativa
empregam estratégias de similaridade perceptual, nas quais o importante é a relação entre os
números na sequência linear. Os alunos que generalizam de forma pragmática utilizam estra-
tégias numéricas e figurativas, conseguindo identificar as relações e as propriedades nas
sequências numéricas.
Rivera e Becker (2008) realizaram ainda estudos envolvendo alunos entre os 11 e os 14
anos em tarefas com padrões figurativos e referem a existência de três formas de generaliza-
ção utilizada: uma forma construtiva convencional, uma construtiva não convencional e outra
deconstrutiva. A forma construtiva convencional é a mais fácil para os alunos estabelecerem,
assim como a mais comum, enquanto a construtiva não convencional já se apresenta mais
difícil, e a deconstrutiva sendo a que menos alunos conseguem atingir. A generalização cons-
trutiva ocorre normalmente quando a expressão geral é simples e se obtém a partir de padrões
figurativos cujas imagens em cada termo se apresentam isoladas, facilitando a sua contagem.
Figura 3 – Generalização construtiva de um padrão figurativo
(Rivera & Becker, 2008, p. 68)
Figura 4 – Generalização deconstrutiva de um padrão figurativo
(Rivera & Becker, 2008, p. 68)
Sem sobreposição Subtrai 1 lado interior sobreposto
Subtrai 2 lados interiores sobrepostos
15
Quando cada termo é constituído por elementos que se sobrepõem, dificultando a sua
contagem, e cuja generalização envolve a combinação de adições e subtracções sucessivas
em cada parte de cada termo, os autores consideraram um caso de generalização deconstruti-
va. Os autores evidenciam a tendência dos alunos pelas formas de generalização construtivas.
Steele e Johanning (2004) realizaram estudos envolvendo a exploração de sequências
crescentes sob forma pictórica, lineares e quadráticas, por alunos do 7.º ano e referem que
estes desenvolvem esquemas mentais para a resolução de problemas algébricos envolvendo
padrões e que estes determinam a forma como tentam generalizar esses mesmos padrões. As
autoras referem duas formas de generalização: uma construída através de subtracções e outra
a partir de construções adicionais.
No caso da estratégia de subtracções, os alunos identificam um valor constante a ser
retirado nos seus cálculos de forma a obterem o total desejado. No estudo realizado pelas
autoras, os alunos tinham de calcular o número de quadrados sombreados numa sequência de
figuras como as abaixo apresentadas; alguns alunos conseguiram chegar ao termo geral mul-
tiplicando o número de lados pelo número de quadrados presente em cada lado (no caso da
Figura 5 fariam 4 x 3), subtraindo depois a este valor o número 4. Nesta situação, a figura
ajuda a identificar mais facilmente qual o valor a retirar pois os alunos aperceberam-se que o
4 obtido e que necessitavam de utilizar correspondia ao número de cantos da figura (os quais
contavam duas vezes ao fazer 4x3).
Figura 5 – Diagrama do problema dos quadrados sombreados
(Steele & Johanning, 2004, p. 73)
Com a estratégia das construções adicionais, os alunos procedem como se estivessem a
construir a figura, adicionando um certo número de quadrados a cada lado do quadrado; os
alunos que utilizaram esta estratégia no estudo referido por Steele e Johanning começaram
por colocar 3 quadrados num dos lados da figura, mas ao lado seguinte apenas adicionaram 2
quadrados, assim no lado que se lhe seguiu; para o último lado apenas foi possível acrescen-
tar mais um quadrado para a figura ficar completa, chegando os alunos a uma sequência de
adições do tipo n+(n-1)+(n-1)+(n-2). No entanto, os principais resultados evidenciados pelo
16
estudo relacionam-se com os esquemas mentais desenvolvidos pelos alunos, os quais vão
sequencialmente acomodando e assimilando novos aspectos de modo a facilitar a resolução
de cada nova situação matemática que lhes é apresentada. Estes ajustes ocorrem à medida que
vão resolvendo tarefas semelhantes, evidenciando como o trabalho continuado com este tipo
de tarefas contribui para o desenvolvimento e fortalecimento de estratégias de resolução viá-
veis.
Num estudo realizado em Portugal com crianças de 5.º ano, Santos (2008) investigou
também as estratégias de generalização de padrões utilizadas na resolução de tarefas envol-
vendo padrões figurativos e numéricos. A investigadora identificou uma evolução das estra-
tégias utilizadas pelos alunos, os quais começam por utilizar estratégias recursivas, de conta-
gem ou aditivas para encontrar os termos próximos ou distantes numa dada sequência. Ao
longo do trabalho com este tipo de tarefas, acabam por ter a necessidade de encontrar rela-
ções, usando estratégias de agrupamento visual para melhor compreenderem a construção da
figura. Mais tarde, acabam por procurar uma relação directa entre o termo e a sua ordem,
independentemente de se tratar de uma situação de generalização próxima ou distante, reve-
lando uma evolução na escolha das estratégias. A investigadora concluiu também que “as
estratégias implementadas foram-se tornando mais intencionais, pois os alunos sabiam o que
procuravam, percepcionando a necessidade de encontrar uma generalização” (Santos, 2008,
p. 154).
2.4. Dificuldades na resolução de tarefas com sequências
Aquando da resolução de tarefas envolvendo a procura e análise de padrões, os alunos
encontram obstáculos que dificultam, entre outros aspectos, a obtenção da generalização. Em
alguns casos, trata-se de pormenores que, quando ignorados, inviabilizam a resposta mais
adequada, desorientando os alunos no caminho a percorrer para a solução. Driscoll (1999)
realça três erros frequentemente dados pelos alunos aquando do trabalho com padrões: um
deles é a pressa de encontrar uma expressão geral, o que muitas vezes os leva a ignorar casos
particulares da sequência e, consequentemente, a obter uma generalização errada; outro erro
comum é o trabalho com a sequência conduzir a conclusões que não são adequadamente ana-
lisadas, isto é, os alunos podem até chegar a uma conclusão correcta – a uma relação numéri-
ca, por exemplo – mas não chegam a reflectir sobre essa relação e a sua importância na con-
17
clusão a que chegaram, sendo esta relação interpretada como trivial quando não o é; o outro
erro salientado pelo autor é facto de os alunos muitas vezes criarem generalizações baseadas
em propriedades erradas usando, por exemplo, o conceito de proporcionalidade directa em
situações em que este não se pode aplicar.
Também Stacey (1989) identifica no seu estudo alguns dos condicionantes identificados
por Driscoll nos processos de resolução das tarefas. A utilização de métodos incorrectos ou
de vários métodos conjugados de modo errado são outros obstáculos salientados pela autora
que também realça a falta de consistência na escolha dos modelos matemáticos utilizados. A
pressa para chegar à resposta levou frequentemente os alunos a mudar de estratégia meio da
tarefa para o método da diferença ou do objecto-inteiro, de modo a obter uma resposta mais
rapidamente, mas frequentemente a resposta encontrada era incorrecta. Segundo refere a
autora, os alunos desenvolvem uma compreensão incompleta de determinados conceitos
como proporcionalidade directa e função linear, o que os leva posteriormente utilizar as suas
propriedades de modo errado e irreflectido.
A capacidade de abstracção dos alunos também condiciona as suas aprendizagens neste
âmbito. De acordo com o estudo realizado por Orton e Orton (1999) o grau de abstracção de
um aluno pode determinar as dificuldades que terá durante a resolução da tarefa e mesmo o
seu interesse e motivação ao longo da realização da tarefa. Os autores referem que embora
perto de metade dos alunos do seu estudo, com idades entre os 10 e os 13, tenham conseguido
encontrar o termo seguinte numa sequência, a identificação de termos mais distantes dos
apresentados tornou-se numa tarefa difícil para a grande maioria dos alunos. Muitos dos erros
cometido pelos alunos estão relacionados com a sua falta de competência aritmética, o que
torna mais difícil a continuação da sequência ou identificação de termos mais distantes.
Estes autores salientam também que os alunos apresentam uma clara preferência por
relações recursivas, o que dificulta a obtenção de uma generalização da sequência, assim
como (mais uma vez) a utilização de métodos desadequados à situação. Já Hargreaves, Threl-
fall, Frobisher e Shorrocks-Taylor (1999) referem a tendência dos alunos para identificarem
números pares e impares na exploração de sequências lineares, método este que também não
permite obter uma expressão geral.
Zazkis e Liljedahl (2002) referem no seu estudo que o uso excessivo do pensamento
aditivo e a falta de associação entre as propriedades da adição e da multiplicação podem difi-
cultar a obtenção da expressão geral associada à sequência. Estas dificuldades foram identifi-
cadas em adultos (professores em início de carreira) sendo natural que também se encontrem
no trabalho realizado por alunos mais jovens.
18
Quando se trata de alunos mais jovens, a transição para a ideia de sequência como fun-
ção pode ser difícil (Warren & Cooper, 2008). Este facto pode dever-se à falta da linguagem
adequada para expressar essa relação (não fazem uso de expressões como ‘coluna’ ou ‘linha’)
e à falta de capacidade para visualizar a continuidade dos padrões, ou seja, falta de capacida-
de de abstracção. No estudo realizado com alunos de 8 anos, Warren e Cooper (2008) salien-
tam que muitos alunos revelam capacidade de expressar as generalizações oralmente, embora
com pouca precisão. Verificaram que as respostas escritas estavam frequentemente incorrec-
tas, apesar das suas respostas orais terem sido consideradas correctas; os investigadores justi-
ficam este facto com o facto de se subentender o que os alunos dizem oralmente, pelas
expressões que utilizam ou por exemplificarem com materiais manipuláveis, o que não se
pode incluir nas respostas escritas. Também Santos (2008) realça esta dificuldade no trabalho
realizado com alunos do 5.º ano, nomeadamente dificuldades em exprimir raciocínios e em
justificá-los.
No entanto Warren e Cooper (2008) realçam que mesmo os alunos do 1.º ciclo são
capazes de um pensamento funcional e que o desenvolvimento deste pensamento pode ser
auxiliado pela utilização de padrões através de materiais manipuláveis, e do acompanhamento
do professor através de questões que tentem tornar explícita a relação entre as figuras e a sua
posição nos padrões. Tornando explícita a posição de cada termo através da indicação do
valor da sua ordem, ajuda a enfatizar a ligação entre o padrão e o número da posição que lhe
corresponde.
19
CAPÍTULO 3
As TIC na Educação Matemática
A escola sempre tentou acompanhar as evoluções tecnológicas, desde as já longínquas
potencialidades do rádio e da televisão, até mais recentemente com a utilização de redes
sociais ou ambientes virtuais. A procura de novas formas de chegar aos alunos, e de auxiliar
as suas aprendizagens, tem trazido para dentro das escolas ferramentas cuja utilização nem
sempre é simples, mas que se espera que criem melhores condições para o ensino. Na última
década foram as Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) que ganharam terreno,
com as suas múltiplas ferramentas e mundos de aprendizagem.
Neste capítulo pretende-se apresentar um quadro geral da utilização das TIC no ensino,
em especial no ensino-aprendizagem da matemática e aquando do uso de materiais manipula-
tivos virtuais, como é o caso das applets. Ao fazê-lo, tentar-se-á também chamar a atenção
para alguns aspectos da utilização das TIC em sala de aula, nomeadamente das alterações
ocorridas nos espaços de aprendizagem e nos papéis desempenhados pelo professor e pelos
alunos nas situações de ensino. Serão também salientadas algumas potencialidades da utiliza-
ção de ferramentas tecnológicas no desenvolvimento do pensamento algébrico.
3.1. As TIC em contexto educativo
A tecnologia é um termo muito vasto e cuja definição frequentemente envolve a combi-
nação de um dispositivo, a forma como pode ser utilizado e em que contextos, e que aplica-
ções tem. Segundo Damásio (2007) a tecnologia “envolve um conjunto de artefactos e dispo-
sitivos que incorporam um vasto número de práticas no seu uso e desenvolvimento e que se
organizam de acordo com lógicas sociais e organizacionais específicas. A tecnologia combina
elementos tecnológicos com práticas e formas de organização social” (Damásio, 2007, p. 45),
20
sendo as TIC uma forma de manifestação tecnológica que assume grande importância na nos-
sa sociedade.
A forma como os instrumentos tecnológicos são desenhados para aplicação no contexto
escolar depende da corrente psicológica que os orienta e consequentemente do propósito para
o qual a ferramenta foi criada. No entanto, as ferramentas tecnológicas utilizadas no ensino
tendem a ter algumas propriedades comuns (Damásio, 2007) como permitir a participação
activa dos alunos de modo interactivo, facilitar a prática repetitiva de determinada acção,
possibilitar diferentes percursos de aprendizagem e níveis de dificuldade e realizar um feed-
back imediato às acções dos alunos pela correcção das tarefas, na tentativa de os motivar e
auxiliar.
Mas a tecnologia por si só não faz qualquer diferença no ensino; é a relação entre o con-
texto tecnológico utilizado, o professor, os alunos, o currículo e a actividade matemática que
podem fazer diferença na aprendizagem (Heid & Blume, 2008). A tecnologia é mais uma
ferramenta ao dispor do professor, a quem cabe a decisão de escolher os materiais mais ade-
quados para os seus alunos e para os conteúdos a trabalhar. Isto porque diferentes alunos têm
diferentes formas de aprender e de compreender o que lhes é apresentado.
Em grande parte das salas de aula existem alunos que necessitam do trabalho com mate-
riais manipulativos para compreender os conceitos, outros que conseguem facilmente apren-
der através de uma história ilustrada ou de um esquema, e ainda outros que precisam cons-
truir uma explicação sua para o conceito em causa (Alejandre & Moore, 2003) de forma a
compreendê-lo adequadamente e conseguir resolver problemas relacionados. Ao professor
cabe a tarefa de escolher as actividades a realizar em cada conteúdo de modo a promover as
aprendizagens desejadas nos seus alunos, mas ao utilizar ferramentas tecnológicas existem
outras preocupações a que deve dar atenção (Clements & Sarama, 2005).
Estudos revelam que, até há poucos anos em Portugal, a utilização que era feita das TIC
em contexto educativo era fraca e quando era realizada não era adequadamente pensada, pla-
nificada ou pedagogicamente cuidada (Paiva, 2002). Na última década houve um grande
crescimento de materiais e ferramentas ao dispor da sociedade e também da escola. A criação
do Plano Tecnológico da Educação e o apetrechamento das escolas com meios electrónicos
foi uma das medidas aplicadas pelo Governo Português para tentar facilitar e melhorar a inte-
gração curricular das TIC. Espera-se assim transformar as escolas “em espaços de interactivi-
dade e de partilha sem barreiras, preparando as novas gerações para os desafios da sociedade
do conhecimento” (ME, 2006). O aumento que ocorreu ao nível da variedade de aplicações e
ferramentas disponíveis teve como base principalmente a Internet. Esta forma de divulgação
21
de informação tem sofrido várias e rápidas mutações ao longo dos últimos 10 anos, tendo-se
tornado num dos principais meios de comunicação utilizados na nossa sociedade.
3.2. As TIC no ensino da Matemática
As potencialidades da utilização das TIC na educação são várias (Correia, 2004; Ponte,
2002; Paiva, 2002; Martinho & Pombo, 2009). Estudos referem que a implementação de tec-
nologias em actividades de sala de aula criam um ambiente mais motivador para os alunos, os
quais se revelam mais empenhados, interessados e mesmo rigorosos no tratamento dos resul-
tados obtidos durante a actividade (Martinho & Pombo, 2009).
A utilização das TIC no ensino, em especial da matemática, tem também tido um grande
crescimento, havendo actualmente uma vasta gama de possibilidades tecnológicas ao dispor
do professor e dos alunos. O computador, a calculadora, o projector de vídeo ou o quadro
interactivo são materiais que cada vez mais estão presentes nas salas de aula em Portugal,
permitindo um conjunto numeroso de actividades e formas de aprendizagem, como nunca
antes foi visto.
No ensino da matemática, a utilização de ferramentas electrónicas como a calculadora
ou o computador, podem permitir uma visão mais clara dos conceitos matemáticos, ajudar na
organização e análise de dados e fazer cálculos de modo extremamente rápido e eficaz
(NCTM, 2007). A utilização destas tecnologias permite envolver os alunos em actividades
significativas, auxiliando ao desenvolvimento de atitudes positivas face à matemática, além
de facilitar a colaboração e interacção entre professor e aluno (Ponte, 1995).
A utilização efectiva dos computadores no ensino básico e secundário teve o seu grande
impulso na década de 90 com o projecto Minerva, embora não existisse muito software dedi-
cado ao desenvolvimento de aprendizagens em Matemática. O aumento dos materiais dispo-
níveis foi crescendo de acordo com o interesse dos professores e as suas aprendizagens dentro
desta nova ferramenta (Silveira, 2007) e assim apareceram várias experiências com o LOGO,
a folha de cálculo e pequenos programas feitos em Basic. A calculadora gráfica foi também
um instrumento lentamente integrado no ensino, não só por ainda existir em pouco número
mas devido a normas administrativas que impediam a utilização da calculadora em determi-
nados contextos de avaliação, como os exames no ensino secundário. No entanto, ao longo da
década de 90 a utilização de calculadoras no ensino começou a ser facilitada e as experiências
22
de utilização de calculadoras gráficas em sala de aula demonstraram a importância desta fer-
ramenta. O NCTM (2007) realça que “as tecnologias electrónicas – calculadoras e computa-
dores – constituem ferramentas essenciais para o ensino, aprendizagem e o fazer matemática”
(p. 26), sendo instrumentos importantes na investigação em matemática, pois facilitam o tra-
balho aos alunos na medida em que lhes permitem dedicar maior atenção aos seus raciocí-
nios, reflexões, conjecturas e à resolução de problemas.
Na década de 90 iniciou-se também a utilização da Internet pelo grande público, e mul-
tiplicam-se os programas e as experiências dedicadas à educação matemática, como a lingua-
gem LOGO, o Cabri-géomètre, a folha de cálculo, o Derive, o Mathematica, o Sketchpad, e a
utilização do computador para permitir actividades de modelação computacional. Segundo
Ponte (1995) as vantagens da utilização do computador referem-se à possibilidade de visuali-
zação, modelação e criação de micromundos de aprendizagem, sendo dos instrumentos mais
importantes que os professores têm ao seu dispor para proporcionar experiências diversifica-
das aos seus alunos. O apetrechamento das escolas com os materiais necessários foi sempre
uma necessidade e preocupação, tendo sido realizada muito lentamente.
A par da utilização da tecnologia, surgiu também a necessidade de reflexão e avaliação
sobre essa utilização, visto que a própria sociedade se foi transformando na sociedade da
informação. Segundo Ponte (1997) o papel da matemática escolar passou a ser o de “dar um
contributo essencial para aprender a interrogar, conjecturar, descobrir e argumentar racioci-
nando sobre objectos abstractos e relacionando-os com a realidade física e social” (p. 1). Esta
alteração levou também a que o papel do professor se alterasse, assim como as metodologias
e materiais tradicionalmente utilizados em sala de aula. A Associação de Professores de
Matemática (1998) sugere igualmente a diversificação dos materiais utilizados pelo professor
nas tarefas realizadas em sala de aula, nomeadamente pela utilização de materiais manipulá-
veis, calculadoras e computadores, realçando que estes proporcionam um grande envolvimen-
to dos alunos na sua aprendizagem. Referem também que os professores devem preparar as
suas aulas baseando-se em várias fontes, entre as quais a Internet. Actualmente é possível
encontrar na Internet várias aplicações informáticas ou mesmo ferramentas Web 2.0 que
começam a ser utilizadas em contexto educativo (Coutinho, 2009; Carvalho, 2008; O’Hear,
2006; Kumar, 2009).
Para a aprendizagem de conteúdos associados a Funções e Álgebra existem ao dispor do
professor várias aplicações criadas exclusivamente para a aprendizagem, como é o caso dos
Computer Assisted Systems (CAS) como o Derive, o Maple ou o Mathcad, disponíveis tanto
em software para instalação em computadores como nas calculadoras das marcas Casio ou
23
Texas Instruments. No entanto, quando analisamos investigações realizadas sobre o trabalho
algébrico com padrões e sequências nos 1.º e 2.º ciclos utilizando o computador, a ferramenta
mais comummente escolhida é a folha de cálculo (Ponte, Branco, & Matos, 2009). Isto por-
que se trata de um programa de simples acesso e utilização, chegando a ser sugerido no novo
Programa da Matemática a sua utilização, visto que “permite realizar com rapidez experiên-
cias com números e pôr em evidência relações numéricas” (ME, 2007, p. 40). A folha de cál-
culo é um instrumento que se considera ainda que auxilia o desenvolvimento do conceito de
variável e a compreensão das relações entre variáveis, libertando o aluno dos cálculos numé-
ricos e manipulações numéricas repetitivas, o que permite uma maior concentração no traba-
lho a realizar (Neves, Monteiro, Rocha, Silva, & Ponte, 2005).
Por sua vez, o Geogebra é um programa recente que interliga o trabalho de Geometria e
Álgebra, permitindo relacionar a representação gráfica e em tabela com as informações que
lhe são dadas algebricamente (Ponte, Branco, & Matos, 2009).
Existem, no entanto, outras ferramentas disponíveis na Internet, nomeadamente applets,
que podem ser utilizadas de forma contextualizada de modo a orientar os alunos em activida-
des de exploração e desenvolvimento do raciocínio matemático. As applets, que também se
encontram referidas no novo Programa de Matemática como ferramentas úteis no trabalho em
sala de aula, encontram-se disponíveis em vários sítios da Internet, como é o caso do sítio do
Instituto Freudenthal, e podem ser utilizadas nas aulas de Matemática para trabalhar diversos
“conceitos matemáticos de uma forma diferente, estimulante para os alunos, possibilitando a
diferenciação pedagógica na sala de aula” (Figueiredo & Palha, 2005, p. 6).
3.3. Materiais manipulativos virtuais e o ensino da Matemática
No ensino da matemática, tal como nas restantes áreas disciplinares, a utilização das
TIC pode levar à criação de novos ambientes de aprendizagem, de novos procedimentos den-
tro da sala de aula, isto é, novas formas de actuar por parte do professor e dos alunos. Estas
modificações devem ser cuidadosamente analisadas pelo professor de forma a verificar se são
positivas para os seus alunos, ou se apenas irão substituir algo que o professor costuma fazer
sem trazer benefícios claros para a aprendizagem.
De entre o vasto conjunto de ferramentas que as TIC disponibilizam ao professor e ao
ensino da matemática estão os materiais manipulativos virtuais. Young (2006) utiliza o termo
24
‘virtual manipulatives’ para se referir a elementos cuja utilização é possível através da Inter-
net e não apenas com o computador, pelo que inclui neste grupo as applets, não só as desen-
volvidas em Java mas as programadas em Flash. Assim, a manipulação destes materiais vir-
tuais deverá possibilitar as mesmas propriedades que os materiais manipuláveis reais, acres-
cendo a vantagem de poderem ser usados em qualquer altura, por professores ou alunos, visto
encontrarem-se disponíveis na Internet.
Além disso, muitos destes materiais possibilitam a correcção automática das respostas
dadas pelos alunos e são adequados à utilização por parte dos que são portadores de deficiên-
cia (Young, 2006). A utilização de materiais manipulativos virtuais pode proporcionar
ambientes nos quais os alunos reflectem sobre as suas conjecturas e resolvem as dificuldades
que vão encontrando durante a resolução da tarefa, estabelecendo conexões entre diferentes
conceitos matemáticos e operações (Durmus & Karakirik, 2006).
As applets são pequenas aplicações que podem ser desenvolvidas em linguagem Java1 e
que se podem incluir em páginas HTML de modo a serem utilizadas através um browser;
estas aplicações não necessitam de instalação no computador e permitem manipular objectos
ou obter algum resultado a partir da interacção com essa aplicação. Existe uma grande varie-
dade de applets disponíveis na Internet, cuja utilização se pode associar ao trabalho sobre
diferentes conceitos matemáticos, embora seja menos comum encontrá-las escritas em portu-
guês.
A criação de applets em Flash2 começa também a ser cada vez mais comum. O Macro-
media Flash é uma ferramenta de desenvolvimento de aplicações, principalmente utilizada
por permitir a criação de objectos gráficos e animações de forma simples e de grande quali-
dade. O resultado de uma aplicação feita em flash é muito semelhante a uma applet Java,
sendo também possível a sua utilização online através da sua inclusão numa página html.
A utilização de applets pode auxiliar os alunos na compreensão de conceitos matemáti-
cos, através da visualização das suas múltiplas representações – numéricas, algébricas, gráfi-
cas, pictóricas e verbais – e da exploração de actividades (Garofalo & Summers, 2004). O seu
uso em sala de aula de matemática obtém os seus maiores benefícios da interactividade per-
mitida, o que pode tornar a tarefa apresentada mais motivadora e interessante para os alunos
(Figueiredo & Palha, 2005). Além disso, muitas das applets disponíveis permitem a correc-
ção automática das tarefas realizadas, o que concede ao aluno uma maior autonomia no seu
percurso de aprendizagem pois não necessita do professor para saber se as suas respostas 1 http://java.com/pt_BR/ 2 http://en.wikipedia.org/wiki/Adobe_Flash
25
estão correctas e assim poder passar às tarefas seguintes. As applets também podem ser usa-
das para realizar demonstrações por parte do professor, evitando que este se alongue em
exposições demoradas e muitas vezes pouco claras para os alunos (Heath, 2002). Este poder
de interactividade, a possibilidade de modelar situações reais e demonstrar determinados con-
ceitos ou acontecimentos aos alunos, tornam também as applets em boas ferramentas para
serem utilizadas nos quadros interactivos.
A interactividade é um dos aspectos mais importantes destas ferramentas. Esta interacti-
vidade pode ter várias formas de ser identificada, quer por existência de feedback por parte da
aplicação, ou pelo controlo que o utilizador faz do objecto representado. Ao definirmos uma
aplicação como interactiva estamos a avaliar o seu índice de usabilidade, o carácter lúdico do
seu conteúdo e os controlos existentes da interface apresentada. Assim, a interactividade pode
ser considerada com um conceito multifacetado que “introduz o uso, a participação e a adop-
ção lúdica como propriedades sociais das TIC” (Damásio, 2007, p. 88).
Como qualquer outra actividade de exploração, a utilização de applets permite desen-
volver as capacidades argumentativas dos alunos, os quais poderão depois ser aliciados a dis-
cutir as suas descobertas com os colegas. Aliás, visto que os alunos podem seguir diferentes
percursos de aprendizagem e as aulas se podem tornar pouco orientadas pelo professor, é
importante a existência de momentos de discussão em grande grupo. Estes momentos permi-
tirão ao professor ter uma ideia geral do trabalho realizado pelos alunos, assim como também
permitirá aos alunos reflectir sobre as actividades realizadas e as suas aprendizagens, discu-
tindo diferentes caminhos seguidos na resolução das actividades (Figueiredo & Palha, 2005).
A utilização destas novas tecnologias não descarta a importância do trabalho com papel
e lápis, devendo ser assumido que se trata apenas de mais uma forma de representar o concei-
to matemático em estudo (Ventura & Oliveira, 2008). A aprendizagem pode beneficiar com a
tecnologia mas porque esta facilita a visualização das noções matemática por diversas pers-
pectivas, pois os alunos devem ser capazes de alterar entre formas de representação dos con-
ceitos, de acordo com o que é mais adequado (NCTM, 2007). As tarefas a propor ao aluno
deverão ser contextualizadas e cuidadosamente preparadas pelo professor, a quem cabe o
papel de dinamizar a tarefa tendo como suporte o computador e orientar a discussão e refle-
xão posterior, relacionando as diferentes descobertas dos alunos e promover a consolidação e
generalização dos conceitos abordados.
26
3.4. Ambientes de aprendizagem com as TIC
Como foi já referido, a utilização de ferramentas TIC em contexto de sala de aula acar-
reta algumas alterações naquilo que é quotidiano na preparação das aulas e no desenvolvi-
mento das tarefas. Para os professores que têm pouca familiaridade com os instrumentos tec-
nológicos, a adaptação às ferramentas e às novas rotinas de sala de aula tem de ser realizada
com tempo e calma (Alejandre, 2005). É preciso considerar vários factores como o material
disponível, como irão trabalhar os alunos, se em grupo ou individualmente, quais os objecti-
vos para os quais se irá utilizar as TIC, etc.
As alterações que se impõem sobre o papel do professor e do aluno são dos principais
factores de resistência à utilização educativa das TIC (Amado & Carreira, 2008). Para acom-
panhar o ritmo a que as novas tecnologias vão surgindo, a que novas ferramentas são dispo-
nibilizadas, é essencial uma formação constante por parte do professor, uma atenção perma-
nente sobre as novas possibilidades para as suas aulas e para facilitar a aprendizagem dos
seus alunos.
O professor deve assumir que, neste campo, não é o detentor supremo do conhecimento,
para se colocar a par com os seus alunos na aprendizagem centrada no uso da tecnologia.
Embora pareça que o papel do professor é secundarizado, a realidade é que a sua importância
reside na escolha adequada das ferramentas aquando da criação e condução das situações de
aprendizagem necessárias (Ponte, 1995). É neste sentido que o professor deve direccionar o
seu esforço, fazendo uma planificação cuidada da aula e da tarefa a realizar, e tentando o
mais possível tornar-se fluente no uso da ferramenta ou tecnologia escolhida.
Claro que o professor pode recorrer às TIC e continuar a leccionar aulas mais expositi-
vas, fazendo aulas demonstrativas com utilização das ferramentas seleccionadas ou usando o
projector como substituto do quadro preto. Desta forma, ser-lhe-á mais fácil manter o contro-
lo sobre o uso da tecnologia e reduzir o risco de questões sobre o uso da ferramenta que pode-
ria não saber responder imediatamente aos alunos. Aliás, diversos estudos têm demonstrado
que o facto de a tecnologia estar presente na sala de aula não implica que ocorram alterações
na prática educativa (Oliveira & Domingos, 2008).
No entanto, a utilização efectiva da tecnologia por parte dos alunos, torna-os mais
envolvidos na realização das tarefas e na sua aprendizagem. O papel assumido pelo aluno em
aulas em que ocorre a utilização das TIC é mais activo e central (Amado & Carreira, 2008).
Ao utilizarem o computador os alunos conseguem mais facilmente exemplificar, conjecturar
e trabalhar múltiplas representações do mesmo conceito, num espaço de tempo mais curto e
27
com menor ansiedade relativamente à possibilidade de erros da sua parte. Podem ainda testar
as suas conjecturas e corrigi-las ou ampliá-las consoante os exemplos com os quais vão traba-
lhando. Nesta perspectiva, a utilização da tecnologia permite a diferenciação pedagógica, o
que é essencial quando se tem alunos com níveis de desempenho heterogéneos (Zulatto,
2002), como é habitual nas nossas salas de aula.
A integração das TIC na sala de aula surge cada vez mais como uma necessidade, mas a
sua utilização efectiva e útil depende do interesse e dedicação do professor. A utilização de
applets, ou qualquer outra ferramenta tecnológica, implica a proximidade entre o professor e
a tecnologia, a sua apropriação, escolha cuidadosa das actividades a realizar com os alunos,
assim como a definição de como a tecnologia irá complementar a aprendizagem realizada
também por outros meios. Só assim os alunos realizarão aprendizagens válidas, significativas,
e enfrentarão a aprendizagem de forma entusiástica e produtiva.
3.5. As possibilidades das TIC no desenvolvimento do Pensamento Algébrico
Como foi referido anteriormente, a utilização do computador no trabalho em Álgebra
está principalmente voltado para o uso de ferramentas próprias para níveis mais avançados.
Nos níveis de escolaridade mais baixos, é comum a utilização da folha de cálculo ou do mais
recente Geogebra, o qual apresenta facilmente a forma gráfica da relação ordem/termo da
situação em estudo.
Healy, Pozzi e Sutherland (2001) referem que durante as décadas de 80 e 90 foram rea-
lizados alguns estudos associados à utilização da linguagem LOGO que revelaram que a uti-
lização de ambientes computacionais podem auxiliar os alunos a ultrapassar algumas das suas
dificuldades na aprendizagem da álgebra, sendo-lhes mais fácil a adopção da linguagem
algébrica do que acontecia com a realização de tarefas de papel e lápis: “students necessarily
used formal language to converse with the computer giving them a more meaningful intro-
duction to, for example, the notion of variables” (Healy, Pozzi, & Sutherland, 2001, p. 238).
A perspectiva que guia o modelo das tarefas utilizadas nestes estudos é diferente daquela que
se começa a implementar em Portugal, visto que não tem a sua ênfase no trabalho de análise
de sequências e padrões mas sim na possibilidade de utilizar o sistema simbólico como uma
forma de comunicação, como acontece com a linguagem LOGO.
28
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29
A utilização da folha de cálculo nesta situação torna muito clara a estrutura iterativa da
tarefa e permite aos alunos oscilar entre a utilização dos exemplos numéricos (resultados das
formulas visíveis na Figura 7) e as formulas utilizadas para encontrar os valores numéricos e
que reflectem uma notação algébrica. Segundo Ainley, Bills e Wilson (2005), a utilização da
notação necessária à folha de cálculo obriga os alunos a estabelecer relações entre as diferen-
tes células, ou seja, diferentes valores numéricos, e tem o propósito imediato de obter um
resultado para a tarefa a realizar. Ao introduzir a fórmula necessária numa célula o aluno
também obtém uma resposta ao nível da sua correcção, evitando de esperar pela verificação
do professor.
Apesar de ainda pouco comum, começam a surgir estudos de tentativas de desenvolvi-
mento de ambientes tecnológicos contextualizados para o trabalho em Álgebra com alunos
mais jovens. Em 2008 foi criado em Londres um projecto – MiGen – com o objectivo de
melhorar a capacidade de generalização em matemática em alunos entre os 11 e os 14 anos,
através da utilização de um ambiente tecnológico. A equipa envolvida no projecto tem tenta-
do desenvolver um micromundo de aprendizagem em Álgebra – o eXpresser – que possibilita
aos alunos analisar e generalizar usando padrões, através da construção de modelos. Gera-
niou, Mavikis, Hoyles e Noss (2009) realizaram um estudo com alunos entre os 11 e 14 anos
no qual investigaram as estratégias dos alunos na resolução de tarefas com padrões e sequên-
cias num protótipo do eXpresser chamado ‘ShapeBuilder’. Esta ferramenta foi elaborada para
possibilitar a construção e exploração de padrões, facilitando diferentes representações, como
simbólicas, icónicas, numéricas e mesmo verbais, e permitir a compreensão das relações e
equivalência entre diferentes representações. Os investigadores seguiram uma abordagem
construtivista, encorajando os alunos a construir relações usando uma linguagem quase-
algébrica. Concluíram que a construção colaborativa dos padrões, quer com as formas como
com as expressões, apresenta o potencial de encorajar os alunos a desenvolver uma estratégia
explícita, a qual têm de comunicar aos restantes colegas assim como desenvolver uma lin-
guagem que permita a sua descrição.
A aplicação desenvolvida, o micromundo eXpresser, incentiva os alunos a fazer cone-
xões entre actividades concretas de padrões e as expressões algébricas que as gerem
(Gutierrez, Makrikis, & Pearce, 2008) de uma forma em que a expressão geral está presente
desde o início, em vez de ser o objectivo da tarefa. Geraniou, Mavikis, Hoyles e Noss (2009)
realizaram também outro estudo no âmbito do projecto MiGen, no qual referem que a inte-
racção com este micromundo envolve os alunos na aprendizagem, e provoca-os a pensar
30
sobre as formas de generalização, ajudando-os a fazer a transição de números para variáveis
de uma forma significativa. Os autores realçam que as actividades de papel e lápis podem
limitar a propensão dos alunos para estabelecer relações entre as variáveis e utilizá-las de
modo significativo pois tornam menos claras as origens das variáveis:
Paper and pencil approaches tend to lead to the referents of the relevant va-
riables becoming obscured, thus limiting students’ propensity to conceptualize
relationships between variables, to justify and use them in a meaningful way.
With eXpresser, students have to construct models employing the structures
they see and find rules with generality in mind. (Geraniou E. , Mavrikis,
Hoyles, & Noss, 2009, p. 107).
31
CAPÍTULO 4
Metodologia de investigação
Tendo em consideração que o objectivo do presente estudo é identificar diferenças nos
processos e estratégias utilizados durante a exploração de padrões e sequências por alunos
que o fazem com suporte tecnológico relativamente aqueles que não fazem uso de tecnolo-
gias, apresentam-se de seguida os aspectos e características da metodologia seguida na inves-
tigação realizada, salientando que esta teve uma natureza qualitativa. O estudo realizado
focou-se numa realidade específica, a qual será neste capítulo explicada, justificando as
opções tomadas relativamente à escolha dos participantes, dos métodos de recolha de dados e
à análise dos resultados. Serão também explicadas algumas condicionantes que surgiram ao
longo da realização da investigação, e que obrigaram a alterações na metodologia inicialmen-
te pensada.
4.1. Opções metodológicas
A escolha da metodologia de investigação a seguir num estudo está dependente de
vários aspectos (Yin, 2003) como o tipo de questões do estudo, o nível de controlo que o
investigador tem sobre as ocorrências e se o objecto em estudo ocorre ou não durante a reali-
zação da investigação. Tendo estes aspectos em consideração optou-se por uma metodologia
qualitativa, visto que neste estudo se procurou fazer a descrição e explicação de vários aspec-
tos passados na sala de aula.
Segundo Bogdan e Bilken (1994), a metodologia qualitativa é possível quando se con-
jugam algumas características específicas como: o ambiente natural ser a fonte primária de
dados, sendo o investigador o principal instrumento de recolha de dados; os dados recolhidos
serem descritivos; o foco do investigador residir no processo mais do que nos resultados; os
32
dados serem analisados de modo indutivo; e o sentido ou o significado das acções e experiên-
cias dos participantes constituírem o cerne da investigação. Estas características estão todas
presentes no estudo realizado, visto que este decorreu na sala de aula de Estudo Acompanha-
do – o ambiente natural – de modo a recolher directamente os dados à medida que as aulas
decorriam, e a recolha de dados foi realizada pela investigadora, apesar de esta recorrer tam-
bém à gravação áudio e aos documentos produzidos pelos alunos. Os dados recolhidos cor-
respondem a dados descritivos, como é o caso das transcrições dos diálogos realizados entre
os alunos ou entre os alunos e investigadora, do diário de bordo realizado pela investigadora
ou pelos excertos de documentos utilizados, e foram analisados de modo indutivo, tendo sido
agrupados de acordo com as suas relações, e interpretados de forma a alcançar um conheci-
mento mais aprofundado sobre as questões em estudo, relacionadas com as estratégias utili-
zadas pelos alunos na resolução das actividades. Ao longo do estudo, pretendeu-se conhecer
melhor os métodos utilizados pelos alunos, as estratégias seguidas, e a forma como os alunos
interpretaram as várias questões propostas. Pelas características referidas e tendo em vista o
seu objectivo principal, esta investigação seguiu uma abordagem interpretativa, de modo a
conseguir uma análise mais aprofundada do processo em estudo, e visto haver uma grande
proximidade da investigadora com os participantes (Miles & Huberman, 1994).
Considerando os objectivos do estudo, dentro das modalidades possíveis na investigação
qualitativa, optou-se pela realização de uma experiência de ensino. Esta técnica de investiga-
ção foi desenhada para estudar o conhecimento matemático de crianças e como este é apren-
dido dentro do contexto do ensino da matemática (Steffe, 1991). Thompson (1979) resume as
principais características de uma experiência de ensino nos seguintes termos: tem uma orien-
tação para descobrir os processos através dos quais os alunos aprendem os conteúdos escola-
res, é uma investigação de natureza longitudinal, o investigador intervém no processo de
aprendizagem do aluno, existe uma interacção constante entre as observações registadas e a
planificação das futuras actividades na investigação, e os dados recolhidos são essencialmen-
te qualitativos. A característica mais óbvia neste método é que o investigador actua como
professor, tornando-se participante na interacção com o aluno. De acordo com Steffe (1991),
durante a interacção com o aluno, e baseando-se na interpretação que faz das palavras e atitu-
des do aluno, o investigador pode tomar decisões relativas a que questões colocar ou que
novas situações criar, sendo este aspecto o modus operandi das experiências de ensino.
De acordo com Engelhardt, Corpuz, Ozimek e Rebello (2003), em termos de desenvol-
vimento curricular, a experiência de ensino é vantajosa pois durante os episódios de ensino
em que o professor/investigador interage com o aluno, é possível testar novas estratégias de
33
ensino, analisando que instrumentos ou métodos proporcionaram aos alunos maior cresci-
mento conceptual. Segundo Steffe (1991), para tal é necessário ter em mente um modelo do
conhecimento do aluno, o qual se obtém a partir da formulação e teste de conjecturas sobre
vários aspectos da actividade matemática do aluno, de modo a perceber qual o conhecimento
que este detém.
Esta modalidade de investigação tem os seus fundamentos nas teorias construtivistas de
Piaget, as quais determinam que as raízes do conhecimento matemático podem ser encontra-
das na forma coordenada das acções dos alunos (Steffe, 1991). O conhecimento matemático é
baseado na coordenação de acções individuais organizadas em padrões que permitam alcan-
çar um objectivo, podendo estas acções tanto ser físicas como mentais. De acordo com Steffe
(1991) estas acções mentais constituem operações, e os esquemas envolvidos são operativos.
Embora esta metodologia permita desenvolver modelos úteis de aprendizagem em
matemática, no caso do presente estudo foi usada como forma de entender que estratégias são
utilizadas durante a resolução de tarefas com sequências e padrões, e descobrir semelhanças e
diferenças que ocorrem durante essa resolução por alunos que trabalham apenas com papel e
lápis e alunos que também utilizam a tecnologia como ferramenta. Não se pretende generali-
zar os resultados obtidos mas apenas apresentar um conjunto de dados que ajudem a com-
preender que diferenças existem na aprendizagem da Álgebra por jovens alunos quando se
recorre ou não à utilização do computador em sala de aula.
Optou-se também pela realização de estudos de caso, visto que se pretendia observar
detalhadamente uma realidade: o desenvolvimento de estratégias de resolução de tarefas com
sequências (Bogdan & Bilken, 1994). De acordo com Coutinho e Chaves (2002), “a caracte-
rística que melhor identifica e distingue esta abordagem metodológica é o facto de se tratar de
um plano de investigação que envolve o estudo intensivo e detalhado de uma entidade bem
definida: o caso” (p. 223). Num estudo de caso pretende-se estudar os fenómenos no seu con-
texto, neste caso na sala de aula, focando-se para isso a atenção em dois pares de alunos em
cada turma envolvida que trabalharam em grupo. O trabalho desenvolvido por estes grupos
foi analisado mais pormenorizadamente, de modo a compreender a forma de resolução das
tarefas propostas e identificar semelhanças e diferenças entre os grupos que utilizaram ferra-
mentas tecnológicas e os que não o fizeram.
Segundo Cohen, Manion e Morrison (2000) o estudo de caso permite construir afirma-
ções teóricas desde que fundamentadas pelas provas obtidas durante a realização do estudo,
no contexto em que este decorreu. Assim, a generalização dos resultados é restrita, podendo
ser aplicada aos restantes alunos pertencentes às turmas onde foi realizado o estudo de caso
34
ou a outros alunos, mas desde que tenham características comuns, como a idade, o nível de
ensino e experiências semelhantes com a Matemática.
Visto que durante a realização deste estudo desempenhei as funções tanto de investiga-
dora como de professora das turmas em estudo, tive a oportunidade de aprofundar a reflexão
sobre a minha prática em sala de aula e procurar compreender melhor os problemas que, por
vezes, surgem nas aulas. De acordo com Bogdan e Bilken (1994), a investigação em educa-
ção pode ser utilizada pelos professores para melhorarem a sua própria prática e tornarem-se
mais eficazes. Além disso, pode ainda ajudar os professores a serem mais observadores do
meio escolar e mais conscientes na sua formação. Assim, esta foi uma oportunidade para
aperfeiçoar o meu desempenho em sala de aula, reflectindo, de uma forma mais estruturada,
sobre as minhas intervenções junto dos alunos.
4.2. Participantes
O estudo foi realizado na escola sede do Agrupamento de Escolas D. Pedro II, na Moita,
onde existem alunos do 5.º até ao 9.º ano de escolaridade. A escola está situada na vila da
Moita, junto da Escola Secundária, numa zona calma e tranquila. O município da Moita inte-
gra a Área Metropolitana de Lisboa e, embora a sua população esteja maioritariamente activa,
há a realçar um envelhecimento da população e um decréscimo ao nível dos jovens entre os 0
e os 14 anos. As principais actividades económicas situam-se no sector terciário, o qual tem
registado um grande crescimento nos últimos anos.
Para além dos alunos provenientes da freguesia da Moita, a Escola recebe também alu-
nos de algumas freguesias rurais. Devido à falta de transportes e ao povoamento disperso das
zonas rurais, os alunos permanecem grande parte do dia na Escola, só retornando a casa no
final do dia. A Escola tem procurado dinamizar vários espaços que permitam a estes alunos
que permanecem na escola participar em diversas actividades, algumas desportivas, outras
lúdicas ou de apoio ao estudo. A nível socioeconómico, as famílias pertencem principalmente
à classe média, embora existam muitos alunos provenientes de famílias com dificuldades
económicas, o que se tem vindo a comprovar pelo aumento de alunos a beneficiar de apoios
da acção social. O ambiente na escola é calmo e agradável, com pouca incidência de situa-
ções de indisciplina e de abandono escolar.
35
As turmas envolvidas no estudo pertencem ao 5.º ano de escolaridade. A turma A era
constituída por 27 alunos, com idades compreendidas entre os 10 e os 11 anos, sendo 14
rapazes e 13 raparigas. A turma B tinha 23 alunos, sendo 12 rapazes e 11 raparigas, entre os
10 e os 12 anos, havendo dois alunos repetentes. Em relação ao aproveitamento, os alunos da
turma B apresentavam maiores dificuldades de aprendizagem, não só na disciplina de Mate-
mática mas nas várias áreas curriculares. No entanto, os alunos eram interessados e, na maio-
ria, empenhados na realização das tarefas propostas. O 5.ºA, apesar de ser uma turma grande
e por vezes barulhenta, os alunos trabalhavam muito bem, chegando a competir entre eles
para ver quem acabava primeiro as tarefas de modo correcto. Nenhuma das turmas tinha na
sua constituição alunos a repetir o 5.º ano.
Tendo em consideração os objectivos da investigação realizada, era necessário utilizar
duas turmas com características semelhantes, de modo a reduzir as variáveis que pudessem
influenciar o desempenho dos alunos na realização das tarefas. Embora tivessem algumas
similaridades, na realidade ao longo do ano lectivo as turmas foram-se revelando muito dife-
rentes relativamente ao aproveitamento obtido nas várias áreas curriculares, tendo a turma B
apresentado um aproveitamento muito baixo em relação à turma A. Além destes factos, os
alunos do B apresentavam mais dificuldades em cumprir as regras de sala de aula, levantan-
do-se frequentemente do lugar sem pedir autorização e criando alguns conflitos entre si. No
entanto, enquanto professora de ambas as turmas nunca tive dificuldades em lidar com
nenhum dos alunos, tendo a relação com eles sido agradável, embora me acusassem frequen-
temente de ser demasiado exigente com eles.
De modo a esbater as diferenças entre os participantes no estudo, escolheram-se para a
recolha mais pormenorizada de dados grupos de alunos que apresentassem características
semelhantes nas duas turmas. Foram escolhidos dois grupos de alunos em cada turma, sendo
que cada grupo era formado por dois elementos. Os alunos escolhidos tinham entre 10 e 11
anos, e eram alunos com bom comportamento e resultados escolares satisfatórios. Outros
critérios utilizados para a escolha dos alunos recaíram na assiduidade apresentada ao longo
do ano (de forma a garantir que se poderia recolher dados análogos para todos os grupos) e na
capacidade de trabalho em grupo revelado noutras actividades realizadas ao longo do ano
lectivo (de modo a que a interacção dentro do grupo não constituísse um entrave à actividade
matemática a desenvolver com as tarefas propostas). Foram assim escolhidos na turma A os
grupos Maria-Vera e Diogo-Isabel e na turma B os grupos Filipa-Mafalda e Andreia-Sónia.
Os alunos foram informados acerca da realização da investigação durante o 2.º período,
visto que a implementação decorreu durante o 3.º período, e mostraram-se muito receptivos e
36
curiosos. Foi pedida a autorização para participação dos alunos aos respectivos encarregados
de educação (anexo 7), tendo sido garantido o anonimato dos alunos. Também o Director da
Escola já tinha sido informado dos objectivos do estudo (anexo 6), concedido a sua autoriza-
ção para a sua realização.
4.3. Organização do estudo
O estudo decorreu de Novembro de 2009 a Setembro de 2010, podendo definir-se três
etapas distintas. Durante a primeira etapa foi realizada a revisão de literatura recomendada
sobre o tema em estudo, incidindo principalmente sobre o estudo de sequências e padrões, as
estratégias de resolução utilizadas por alunos na realização de tarefas com sequências, e a
utilização das TIC neste contexto. Também foram realizadas as leituras necessárias de modo
a organizar adequadamente a metodologia de trabalho e a recolha de dados, assim como a
planificação da proposta pedagógica. Nos meses de Abril e Maio foi realizada a recolha de
dados, durante a concretização da proposta pedagógica apresentada. Os alunos foram obser-
vados no seu contexto natural, em situações de aprendizagem em sala de aula. Neste período
foram analisados alguns dos dados, transcritas as gravações áudio efectuadas e elaborado
progressivamente o diário de bordo. Na etapa final do estudo foram analisados em detalhe os
dados recolhidos e redigidos os resultados.
4.4. Métodos de recolha de dados
Tendo em consideração que o estudo realizado assentou numa metodologia qualitativa,
os métodos de recolha de dados consistiram na análise documental e na observação partici-
pante, sendo esta complementada com o diário de bordo e as gravações do áudio dos alunos
aquando da realização das actividades propostas. Também se tentou fazer o registo vídeo dos
passos seguidos pelos alunos durante a manipulação das applets, mas devido à existência de
alguns problemas técnicos esta gravação nem sempre foi possível. A utilização de vários ins-
trumentos de recolha de dados é importante, pois permite obter informações complementares
e realizar uma abordagem a partir de várias perspectivas (Bogdan & Bilken, 1994).
37
4.4.1. Diário de Bordo
As observações realizadas durante um trabalho de investigação devem ser cuidadosa-
mente controladas e sistematizadas, de modo a permitirem obter informações fidedignas e
isentas de parcialidade (Ludke & André, 1986). A observação favorece um contacto pessoal
com o objecto em estudo, assim como também permite obter a perspectiva dos sujeitos
observados. Na situação estudada, permitiu conhecer a percepção dos alunos relativamente às
tarefas apresentadas e o seu envolvimento durante a sua resolução.
Quando o observador também participa activamente no estudo ou nos eventos a estudar,
como é o caso, considera-se a forma específica ‘observação participante’ (Yin R. K., 2003).
Esta forma de observação tem as suas vantagens: neste caso, o facto de ser professora dos
alunos e de ser conhecida por eles, julgo que me permitiu observá-los numa posição mais
confortável do que seria se se sentissem observados por alguém desconhecido. Por outro
lado, ao assumir uma posição activa durante o decorrer da observação, o investigador pode
ter menos tempo para realizar as observações convenientemente, perdendo algumas dos
dados que poderiam ser importantes para o estudo.
The participant role may simply require too much attention relative to the ob-
server role. Thus, the participant observer may not have sufficient time to take
notes or to raise questions about events from different perspectives, as a good
observer might. (Yin, 2003, p. 96)
Para registar as observações realizadas, o investigador pode recorrer à utilização do diá-
rio de bordo. Este instrumento de recolha de dados permite registar as observações realizadas,
descrevendo o que aconteceu, mas também as preocupações, sugestões ou ideias que podem
surgir ao investigador durante a observação (Ponte, 2002). No fim de cada aula, registei os
acontecimentos que considerei mais importantes relativamente à actividade realizada, a forma
como os alunos exploraram as tarefas ou questões que colocaram. Também realizei o registo
da minha percepção sobre o ambiente de sala de aula, a prestação dos alunos, bem como da
minha prestação. Estes dados foram complementados com os registos dos diálogos mais sig-
nificativos obtidos a partir das gravações áudio, tendo sido dada maior relevância aos diálo-
gos onde os alunos debatessem as estratégias usadas para solucionar as tarefas, visto ser este
um dos pontos fulcrais do estudo realizado. A reflexão sobre as situações ocorridas em aula é
uma fonte importante de dados, contribuindo para melhor conhecer os fenómenos do funcio-
38
namento da sala de aula. Neste caso, os registos realizados no Diário permitem conhecer
melhor as estratégias utilizadas pelos alunos durante a realização das actividades propostas, e
discutidos por todos no momento da discussão geral.
Ainda para complementar os registos realizados sobre a utilização das applets, por parte
dos alunos, foi utilizado um programa informático que permite gravar os passos seguidos
pelos alunos, e tudo o que acontece no ecrã do computador, num ficheiro de vídeo. Este pro-
grama, chamado AutoScreenRecorder, foi obtido a partir de uma pesquisa na Internet e tra-
tando-se de um software livre, não necessita de licença para poder ser instalado. O programa
de gravação foi instalado nos computadores dos alunos sobre os quais foi realizado o estudo
de caso, e a partir da sua visualização foi possível obter mais alguma informação, nomeada-
mente, o tempo que os alunos demoraram a realizar as tarefas, o número de tentativas reali-
zadas aquando da exploração das applets ou a forma como interagiam com a applet. Estas
informações foram posteriormente acrescentadas ao Diário de Bordo, facilitando a compreen-
são sobre o trabalho realizado pelos alunos no computador.
4.4.2. Resolução escrita das actividades realizadas
Para obter informação relativa à resolução dos alunos das tarefas que constam na pro-
posta pedagógica, foram recolhidas, fotocopiadas e analisadas as fichas de trabalho de todos
os alunos das duas turmas envolvidas. Estes dados complementaram os dados obtidos pelos
outros meios (observação directa, gravação áudio e gravação vídeo dos passos realizados no
computador) e registados no diário de bordo. Em cada tarefa, realizada no computador ou
não, os alunos deveriam responder a questões e a justificar as opções tomadas, descrevendo
como pensaram e indicando dúvidas ou dificuldades que tivessem tido. Desta forma, foi pos-
sível analisar as diferentes estratégias utilizadas pelos alunos e a sua adequação para cada
tarefa.
4.4.3. Outros documentos
De forma a obter informações que permitisse uma caracterização das turmas envolvidas,
foram ainda consultados vários documentos informativos como os Projectos Curriculares das
Turmas, os Registos de Avaliação dos alunos e as actas das reuniões dos Conselhos de Tur-
ma. As informações constantes nestes documentos também auxiliaram a definir os grupos de
alunos que vieram a constituir os estudos de caso realizados, pois foi tido em consideração o
39
comportamento dos alunos e a sua assiduidade, de modo a que o estudo não ficasse compro-
metido pela falta de comparência dos alunos.
4.5. Análise dos dados
Pretendendo responder às questões da investigação, procedeu-se à análise dos dados
recolhidos (Quivy & Campenhoudt, 1998). A análise dos dados permite aumentar a com-
preensão sobre as informações recolhidas. Segundo Bogdan e Bilken (1994) é recomendável
que a análise comece a ser realizada durante a recolha dos dados, de forma a orientar a inves-
tigação ou aprofundar mais as questões estudadas, pois posteriormente poderá já não haver
forma de esclarecer determinados aspectos investigados. No caso desta investigação, a pro-
posta pedagógica estava desenhada deste o início da recolha de dados, mas a realização de
uma primeira análise de dados ainda que superficial, ao longo da sua recolha, permitiu uma
observação mais atenta a determinados pormenores nas aulas seguintes e uma reflexão sobre
a adequação das tarefas ao seu contexto e às capacidades dos alunos. A formalidade por mim
requerida aos alunos, especialmente, quanto à indicação da regra geral das sequências estuda-
das, foi aumentando ao longo da realização das várias actividades, de acordo com o que
tinham conseguido realizar nas aulas anteriores, o que permitiu ir obtendo informação cada
vez mais completa sobre o objecto de estudo .
A análise dos dados foi realizada seguindo uma perspectiva descritiva e interpretativa,
apresentando-os de forma factual e sistemática e, com base nesses dados, procurando com-
preender como pensaram os participantes. De acordo com o sugerido por Ludke e André
(1986) para possibilitar a análise, os dados recolhidos foram organizados para depois se pro-
curarem relações e estabelecerem inferências relacionadas com os propósitos do estudo.
40
41
CAPÍTULO 5
Experiência de ensino
O presente estudo foi realizado no contexto da aprendizagem de conteúdos integrados
no tema Álgebra do novo Programa de Matemática para o Ensino Básico (ME, 2007). Este
tema e os respectivos tópicos são novos no 2.º ciclo, sendo que os alunos envolvidos tiveram,
ao longo da sua experiência escolar, pouco contacto com actividades relacionadas com a
aprendizagem de ideias algébricas, de acordo com a informação recolhida junto dos alunos:
quando questionados acerca da realização anterior de tarefas com sequências e padrões, refe-
riram nunca terem realizado actividades daquele género. No entanto, dado que o novo Pro-
grama não estava ainda em vigor na escola onde o estudo foi realizado, as actividades foram
desenvolvidas nas aulas de Estudo Acompanhado.
Apresentam-se neste capítulo as orientações curriculares envolvidas na preparação das
actividades, assim como as características destas, a planificação das aulas e os objectivos
propostos. No final do Capítulo é ainda apresentada uma breve descrição da forma como
decorreram as aulas e do desempenho geral dos alunos aquando da realização das actividades
propostas para resolução com papel e lápis e em contexto ‘tecnológico’.
5.1. Enquadramento curricular das tarefas
O desenvolvimento da planificação apresentada para o presente estudo foi realizado
tendo por base o novo Programa da Matemática (Ministério da Educação, 2007) e orientações
emergentes da literatura já revista nos capítulos anteriores. Como o principal objectivo deste
estudo é verificar quais as diferenças nos processos de aprendizagem entre alunos que utili-
zam as TIC nas aulas relativamente àqueles que não o fazem, foi necessário conceber um
contexto para possibilitar a análise de aspectos visíveis durante a aprendizagem de determi-
42
nados conceitos. A introdução das sequências e padrões como conteúdo formal na aprendiza-
gem da Álgebra no 2.º ciclo surgiu como a oportunidade ideal para contextualizar este estudo.
Desta forma, os alunos envolvidos puderam ter contacto com tarefas deste âmbito, o que não
aconteceria doutro modo visto o novo Programa da Matemática não estar ainda em vigor na
escola onde foi realizado o estudo. Desta forma, procurou-se contribuir para melhorar a pre-
paração dos alunos para a aprendizagem de conceitos tradicionalmente associados ao Tema
da Álgebra, como equações e funções. No contexto do novo Programa esta preparação para o
estudo da Álgebra inicia-se de modo informal no 1.º Ciclo, passando no 2.º ciclo a pertencer a
um tema organizado, no qual os alunos trabalham conceitos ligados à exploração de padrões
e sequências. Tanto o trabalho realizado no 1.º ciclo como no 2.º pretendem auxiliar os alunos
no desenvolvimento de um pensamento algébrico, o qual, como foi já referido nos capítulos
anteriores, facilita a aprendizagem não só da Álgebra, mas de outros temas matemáticos do
currículo, tal é a sua transversalidade e utilidade para a resolução de problemas, sejam eles
aritméticos ou geométricos. O Programa realça, ainda, a importância do desenvolvimento da
capacidade de os alunos explorarem e investigarem regularidades, assim com de resolver
problemas, raciocinar e comunicar recorrendo a representações simbólicas, aspectos contem-
plados nas propostas apresentadas nesta experiência de ensino.
Visto que o novo Programa apenas começou a ser aplicado no presente ano lectivo
(2009/10) e somente em algumas escolas, os alunos que actualmente frequentam o 5.º ano em
poucas situações terão tido contacto com actividades de âmbito pré-algébrico. Assim, a plani-
ficação da proposta pedagógica teve em consideração o muito provável desconhecimento dos
alunos de 5.º ano de tarefas de exploração de padrões, pelo que foi necessário começar por
actividades com padrões simples e com questões de identificação de figuras ou posições.
Pois, tal como é sugerido por Vale e Pimentel (2005), estas tarefas de natureza simples facili-
tam posteriormente o trabalho com sequências mais complexas. Como foi pormenorizado na
revisão de literatura já apresentada, o desenvolvimento do pensamento algébrico através da
exploração de padrões é uma forma diferente de fazer matemática, podendo levar à constru-
ção de contextos de aprendizagem muito ricos e interessantes para os alunos (Becker &
Rivera, 2005; Hargreaves, Threlfall, Frobisher & Shorrocks-Taylor, 1999; Herbert & Brown,
1997; NCTM, 2007; Orton & Orton, 1999; Stacey, 1989).
Também de acordo com o Currículo Nacional do Ensino Básico (ME-DEB, 2001), a
matemática surge cada vez mais na sociedade de forma implícita, sendo necessário um olhar
atento para identificar os aspectos matemáticos do nosso dia-a-dia, e destaca a matemática
como a “ciência das regularidades e da linguagem dos números, das formas e das relações”
43
(p. 58). Segundo este documento, ao longo dos vários ciclos do Ensino Básico, os alunos
deverão desenvolver:
a predisposição para procurar padrões e regularidades e para formular genera-
lizações em situações diversas, nomeadamente em contextos numéricos e
geométricos;
a aptidão para analisar as relações numéricas de uma situação, explicitá-la em
linguagem corrente e representá-las através de diferentes processos, incluindo
o uso de símbolos;
a sensibilidade para entender e usar as noções de correspondência (…) (p. 66)
Por outro lado, a utilização de tecnologia na sala de aula pressupõe um leque alargado
de possibilidades que devem ser analisadas de modo a potenciar a aprendizagem que daí
poderá advir. Os materiais manipulativos virtuais como as applets surgiram como uma solu-
ção adequada para o tipo de tarefas que se pretendia realizar com os alunos, dadas as suas
características visuais. Além disso, a utilização das applets é normalmente simples, podendo
ser realizada mesmo por crianças, as quais facilmente se apropriam das suas propriedades
pela interactividade proporcionada (Moyer, Niezgoda & Stanley, 2005). A utilização de tec-
nologia na sala de aula é também um aspecto salientado no novo Programa da Matemática,
onde se considera ser “importante na resolução de problemas e na exploração de situações”
(p. 9), devendo ser utilizada especialmente em situações em que a “atenção se deve centrar
nas condições da situação, nas estratégias de resolução e na interpretação e avaliação dos
resultados” (p. 10), tal como é o caso da presente proposta pedagógica.
Como se trata de um estudo que pretende comparar estratégias de resolução desenvolvi-
das por alunos em dois contextos diferentes (na presença e na ausência de ferramentas TIC)
foi necessário aplicar as mesmas actividades em duas turmas, sendo que uma realizou todas
as actividades com papel e lápis (5.º B), enquanto a outra turma utilizou applets que permi-
tiam manipular as sequências de cada actividade (5.º A) e, de seguida, respondeu a questões
com papel e lápis. As applets foram desenvolvidas especificamente para este estudo, embora
tenham sido inspiradas em applets disponíveis online ou em tarefas encontradas em diversos
documentos consultados. No entanto, todos os alunos deveriam trabalhar sobre as mesmas
sequências, pelo que o desenvolvimento das applets teve de ter este aspecto em consideração.
A proposta pedagógica planificada pretendia proporcionar aos alunos situações que
promovessem o desenvolvimento do pensamento algébrico, através da realização de activida-
des com um carácter exploratório e investigativo. Segundo o novo Programa, o pensamento
matemático deverá ser estimulado através da realização de actividades de exploração e inves-
44
tigação, através das quais os alunos são frequentemente questionados sobre as suas observa-
ções, de modo a clarificar as suas ideias e organizar a forma como pensaram sobre a tarefa
matemática apresentada, justificando os passos tomados e as operações realizadas.
É ao professor que compete o papel de incentivar os alunos à explicitação dos seus
raciocínios, auxiliando os alunos na formulação e teste das suas conjecturas, pedindo-lhes
exemplos e contra-exemplos nas suas respostas. A apresentação de perguntas como “Porque
será que isso acontece?”, “O que acontecerá se…?”, “Como sabem que essa resposta é a cor-
recta?” permitem que os alunos entendam que além de darem a sua resposta deverão também
saber justificá-la. Este tipo de questões também potencia a discussão entre os alunos, levan-
do-os a confrontar as suas opiniões e defendê-las perante os colegas, o que permitirá a melho-
ria das suas capacidades de argumentação e de comunicação matemática. Estas questões aju-
dam também a explicitar os processos de raciocínio, aspecto vital para o desenvolvimento do
estudo em causa, possibilitando a procura de semelhanças e diferenças nas estratégias utiliza-
das pelos alunos aquando da resolução das tarefas propostas.
Como já referido, a proposta foi concretizada em duas turmas do 5.º ano de escolarida-
de, às quais leccionei durante o ano lectivo 2009/2010, tendo as actividades sido realizadas
nas aulas de Estudo Acompanhado, em virtude do novo Programa de Matemática não estar
ainda em vigor na escola em causa. Deste modo, pretendia não comprometer o trabalho plani-
ficado para as aulas de matemática, visto que ainda foi utilizado um número considerável de
aulas nesta experiência de ensino.
As actividades propostas são constituídas principalmente por padrões figurativos, pois
considerou-se que estes possibilitavam um maior leque de interpretações e análises por parte
dos alunos. Os padrões figurativos, quando associados a sequências numéricas, permitem não
só a análise do seu crescimento numérico, como também da forma como visualmente a
sequência evolui, constituindo um suporte importante para a generalização.
5.2. Planificação
A planificação da proposta pedagógica teve como objectivos o desenvolvimento do pen-
samento algébrico em alunos do 2.º ciclo do ensino básico e a exploração de tarefas que per-
mitissem alcançar o objectivo principal do estudo, ou seja, analisar as diferenças nas estraté-
gias de resolução entre alunos que utilizam as TIC aquando da realização das tarefas matemá-
45
ticas, face aos alunos que não as utilizam. Para cada actividade foram definidos os objectivos
a alcançar, de acordo com o novo Programa de Matemática (ME, 2007) e com o Currículo
Nacional do Ensino Básico (ME-DEB, 2001).
Foram criadas oito actividades principais, compostas por um total de 11 tarefas, as quais
foram realizadas ao longo de 10 aulas de 45 minutos, agrupadas em cinco blocos de 90 minu-
tos. Embora estivesse previsto que a sua implementação teria lugar no início do 2.º período,
apenas foi possível a concretização da planificação no 3.º período, ao longo dos meses de
Abril e Maio. Esta alteração deveu-se à mudança da escola onde seria implementada a plani-
ficação, visto que inicialmente estava previsto que as actividades seriam aplicadas por outra
professora noutra escola onde estava em vigor o novo Programa de Matemática. Como surgi-
ram alguns obstáculos relacionados com a gravação áudio das aulas e a utilização que seria
feita dessas gravações, foi necessário adiar a aplicação do estudo até encontrar as condições
necessárias para que este fosse realizado de forma adequada. Isto veio a acontecer na escola
onde me encontrava a leccionar, tendo para isso alterado a metodologia que estava definida
para a realização da investigação, de modo a ajustá-la às novas condições.
A utilização do Estudo Acompanhado como espaço educativo para a realização destas
tarefas foi possível por se tratar de turmas abrangidas pelo Plano da Matemática II, e o pro-
jecto apresentado pela escola ter determinado que nestas turmas o Estudo Acompanhado seria
maioritariamente destinado à realização de tarefas relacionadas com a aprendizagem da
matemática. As actividades estavam inicialmente planeadas para ambas as turmas segundo o
calendário que se apresenta no Quadro 1, visto que ambas turmas têm duas aulas semanais de
Estudo Acompanhado.
Quadro 1 – Planificação das actividades propostas
N.º da Aula Sumário Actividades a realizar
1 e 2 Introdução ao estudo da Álgebra Padrões e sequências repetitivas
Actividade 1 – Introdução Actividade 2 – Contas num colar
3 e 4 Sequências Repetitivas – Contas num colar Actividade 2 – Contas num colar
5 e 6 Sequências Crescentes – Exploração de padrões visuais e numéricos
Actividade 3 – Números em caixa Actividade 4 – Sequências numéri-cas
46
7 e 8 Continuação do estudo de padrões e sequências crescentes
Actividade 5 – Quadrado 10x10 Actividade 6 – Números Quadrados
9 e 10 Conclusão do estudo de padrões e sequências crescentes
Actividade 7 – Mesas e cadeiras Actividade 8 – Formações em V
Neste plano não foram contemplados momentos de avaliação sumativa, visto o plano ser
aplicado nas aulas de Estudo Acompanhado, cujos critérios de avaliação estão relacionados
com o cumprimento das tarefas propostas, o interesse e empenho revelado na realização das
mesmas e o comportamento dos alunos nas aulas. Para os objectivos da presente investigação
também não era relevante a avaliação das aprendizagens realizadas pelos alunos, além da
análise do que foi feito actividade a actividade, de acordo com as questões do estudo.
A organização das aulas com estas actividades foi semelhante em ambas as turmas, e em
quase todas as aulas. A actividade era apresentada no início da aula e eram distribuídas as
fichas de trabalho correspondentes. Nas primeiras aulas as actividades eram lidas com os alu-
nos, de modo a esclarecer eventuais dúvidas relativamente à linguagem utilizada, após o que
estes eram deixados a trabalhar autonomamente. Era-lhes indicado que deveriam tentar reali-
zar a tarefa em pares e apenas recorrer à ajuda da professora quando nenhum dos dois alunos
soubesse por onde seguir na resolução da tarefa. A realização das actividades em grupos de
dois alunos tornou-se necessária de modo a possibilitar a inter-ajuda e o confronto de ideias e
opiniões durante a exploração das actividades. No entanto, como é difícil ter mais de dois
alunos a trabalhar em simultâneo, num computador, de forma produtiva, decidiu-se pelo tra-
balho a pares em ambas as turmas. À medida que os alunos iam terminando as tarefas, era
distribuída nova actividade, caso se verificasse que ainda havia tempo para a sua realização.
No final de cada aula era realizada a discussão em grande grupo sobre as actividades
realizadas, tendo os diferentes grupos a oportunidade de apresentar os seus resultados e as
estratégias que utilizaram para encontrar as suas respostas. Esta partilha de estratégias foi
importante pois permitiu aos alunos exercitar as suas capacidades de argumentação e justifi-
cação das opções tomadas durante a exploração das sequências. Nestes momentos de apre-
sentação de resultados foi possível confrontar as diferentes abordagens utilizadas pelos alu-
nos, reconhecendo frequentemente equivalência nas estratégias utilizadas por diferentes gru-
pos. Foi possível discutir as conjecturas apresentadas pelos alunos, e as várias formas de
generalização encontradas, procurando identificar nelas semelhanças nas diferentes lingua-
gens utilizadas, visto que alguns grupos conseguiram ser mais formais do que outros. A capa-
47
cidade de comunicação oral matemática, um dos aspectos transversais da aprendizagem da
matemática salientada no documento das Competências Essenciais da Matemática, foi deste
modo trabalhada com os alunos; embora sem imposição de formalismos, a linguagem utiliza-
da foi sendo corrigida de forma a possibilitar aos alunos a identificação das expressões mais
adequadas durante argumentação oral.
Durante a sua implementação, a planificação foi revista e ajustada, visto que algumas
actividades levaram mais tempo do que o previsto para serem realizadas. Esta necessidade de
ajuste surgiu dado o grande empenho e profundidade na exploração revelados pelos alunos na
realização de algumas actividades e, noutros casos, dada a dificuldade de concretização das
mesmas, como será adiante analisado.
5.3. Tarefas
Tendo em consideração o objectivo da planificação em fomentar o desenvolvimento do
pensamento algébrico dos alunos, através do trabalho com padrões e sequências, foram orga-
nizadas actividades que permitissem a compreensão do padrão a explorar, exercitando as suas
capacidades dos aluno de observar, analisar, procurar semelhanças e regularidades e, poste-
riormente, de generalizar. As actividades estão organizadas de forma crescente quanto ao seu
nível de complexidade, e possibilitam a revisão de alguns conceitos geométricos e aritméticos
já trabalhados nas aulas de matemática (ver Quadro 2).
As primeiras actividades envolvem o trabalho com sequências repetitivas, nas quais
existe um conjunto de figuras ou números que se repete continuamente; o propósito destas
actividades é que os alunos criem hábitos de análise e descrição das sequências, de modo a
posteriormente compreender a sua formação e chegar a uma generalização. Os alunos devem
identificar o conjunto de elementos que se repete e associar cada figura à ordem que ocupa na
sequência. Desta forma poderão chegar a uma regra geral de formação da sequência, a qual
pode ser descrita em linguagem natural, visto que se tratam de alunos jovens e com pouco
contacto com a linguagem algébrica.
As restantes actividades envolvem o trabalho com sequências crescentes, formando
assim a maior parte do trabalho realizado pelos alunos. Novamente pretende-se que os alunos
analisem a sequência apresentada, procurando regularidades na sua formação, relações entre
o número de elementos que constitui cada figura e a respectiva ordem. Ao longo destas acti-
48
vidades as questões colocadas tornam-se mais aprofundadas, assim como maior a necessidade
de apresentar de forma explícita as relações encontradas. Ao alcançar a generalização, os
alunos devem ser estimulados a usar progressivamente linguagem simbólica para representar
a sequência, aproximando-se o mais possível da linguagem algébrica formal.
Para os alunos que utilizaram o computador, cada actividade começava sempre pela
manipulação da applet correspondente.
Quadro 2 – Objectivos específicos das actividades propostas
N.º da Aula Actividades Objectivos das actividades a realizar
1 e 2
Actividade 1 – Introdução Actividade 2 – Contas num colar
Continuar a representação de uma sequência repetitiva; Identificar a unidade que se repete ciclicamente; Descrever uma relação entre os termos da sequência e a sua ordem (com base no comprimento da unidade que se repete);
Relacionar o elemento do padrão repetitivo com a sua ordem; Utilizar a relação entre o termo e a sua ordem na sequência para indi-car o termo de uma ordem (geralmente mais distante);
3 e 4
Actividade 2 – Contas num colar (conti-nuação)
Identificar a unidade que se repete ciclicamente; Descrever uma relação entre os termos da sequência e a sua ordem (com base no comprimento da unidade que se repete);
Relacionar o elemento do padrão repetitivo com a sua ordem; Representar, analisar e descrever padrões através de palavras e tabelas; Usar a relação entre o termo e a sua ordem na sequência para indicar o termo de uma ordem (geralmente mais distante) e para indicar a ordem de um termo dado;
Expressar essa relação em linguagem natural;
5 e 6
Actividade 3 – Números em caixa Actividade 4 – Sequências numéricas
Analisar e descrever padrões e regularidades e formular generalizações a partir de contextos numéricos;
Indicar a lei de formação de uma sequência numérica; Usar a relação entre o termo e a sua ordem na sequência para indicar o termo de uma ordem (geralmente mais distante) e para indicar a ordem de um termo dado;
Expressar essa relação em linguagem natural;
7 e 8
Actividade 5 – Quadrado 10x10 Actividade 6 – Números Qua-drados
Analisar e descrever padrões e regularidades e formular generalizações a partir de contextos geométricos e numéricos;
Explorar as relações entre a ordem de uma figura na sequência e o número de objectos que a constitui;
Representar, analisar e descrever padrões através de palavras, tabelas e expressões simbólicas;
Expressar essa relação em linguagem natural e simbólica (generalizar);
49
9 e 10
Actividade 7 – Mesas e cadei-ras Actividade 8 – Formações em V
Explorar as relações entre a ordem de uma figura na sequência e o número de objectos que a constitui;
Representar, analisar e descrever padrões através de palavras, tabelas e expressões simbólicas;
Usar a relação entre o termo e a sua ordem na sequência para indicar o termo de uma ordem (geralmente mais distante) e para indicar a ordem de um termo dado;
Expressar essa relação em linguagem natural e simbólica (generalizar).
A primeira actividade (como se poderá consultar no anexo 4) é composta por três tarefas
envolvendo padrões repetitivos: as duas primeiras tarefas com padrões figurativos e a terceira
tarefa com um padrão numérico. Como se pode consultar no Quadro 2 trata-se de uma activi-
dade introdutória, onde os alunos são levados a continuar as sequências, o que os auxiliará na
análise da sequência e compreensão da unidade repetitiva. Nestas três tarefas os alunos
devem igualmente relacionar as figuras com a posição que ocupada na sequência; ao fazê-lo
os alunos vislumbram a regra de formação da sequência e conseguem identificar as figuras,
ou números, pertencentes a ordens mais distantes na sequência. Nesta actividade começam a
ser abordados os conceitos de termo, ordem e lei de formação.
Em ambas as turmas, os alunos revelaram mais facilidade na resolução das tarefas com
os padrões figurativos do que com o padrão numérico, onde apresentaram dificuldades em
distinguir a posição ocupada por um número, do valor que esse número apresenta. Os alunos
realizaram a actividade com interesse e curiosidade, mas apresentaram justificações vagas ou
incompletas sobre a forma como procederam para encontrar as suas respostas. No entanto, é
clara a preferência por estratégias de contagem para obter as respostas, principalmente na
turma que realizou as tarefas com papel e lápis. A maioria dos alunos das duas turmas tam-
bém revelou dificuldades em determinar as regras de formação das sequências, e muitos
quando tentaram generalizar utilizaram estratégias desadequadas, com um carácter recursivo
mas aplicado de forma errada.
A actividade 2 segue os passos da actividade anterior, embora o atributo que varie nas
várias sequências apresentadas seja a cor. A actividade é composta por várias questões ao
longo das quais os alunos vão progressivamente associando a unidade de repetição ao concei-
to de múltiplo para encontrar e indicar a cor de determinada ordem. Esta actividade resultou
muito bem na turma que utilizou a applet e muito mal na outra turma. Isto porque as primei-
ras tentativas de resolução partiram, em ambas as turmas, da formação aleatória de um padrão
inicial e depois da repetição desse padrão. Na applet este processo de construção do padrão e
50
verificação da sua validade é muito rápido, mas ao fazê-lo no papel o tempo gasto até se con-
seguir pintar todas as contas até à pretendida é muito grande e muito desmotivador quando se
verifica que estava errado e que se irá levar novamente muito tempo para fazer nova tentati-
va.
Por este motivo, na turma que realizou as actividades com papel e lápis, esta actividade
foi limitada a uma aula, e os alunos não a chegaram a terminar. Optou-se por não continuar a
aplicação da actividade 2 nesta turma porque esta tinha várias perguntas e os alunos se reve-
laram frustrados e desmotivados com as várias tentativas que tinham que realizar para procu-
rar todas as respostas. No entanto, os alunos ainda conseguiram explorar as primeiras ques-
tões e apresentar algumas conjecturas, embora poucas vezes justificadas.
Na turma que utilizou a applet, a exploração da actividade foi muito mais gratificante,
tendo os alunos conseguido detectar relações entre a posição de algumas cores e a continua-
ção da sequência.
A actividade 3 é constituída pela primeira sequência crescente apresentada aos alunos.
Trata-se de um padrão figurativo associado à sequência dos múltiplos de 4. Esta actividade,
assim como as actividades 6, 7 e 8, tem uma natureza exploratória e pretende que os alunos
encontrem relações entre o número de pontos e a posição da figura na sequência. Para ajudar
os alunos na análise da sequência, são apresentadas tabelas que lhes permitem organizar os
dados e observá-los de uma forma mais sistemática e são colocadas várias questões acerca
dos elementos seguintes da sequência, assim como sobre elementos mais distantes. As ques-
tões apresentadas orientam os alunos na análise da sequência, mas também os força a procu-
rar e testar conjecturas relativamente à estrutura da sequência, tendo como propósito final que
estes consigam expressar a relação entre termo e ordem, em linguagem natural e, posterior-
mente, usando uma linguagem mais formal.
Para os alunos que utilizaram o computador, a applet continha algumas perguntas extra
sobre o número de elementos das figuras seguintes às inicialmente apresentadas (“Quantos
pontos tem a figura n=4?”), sobre alguma figura um pouco mais distante (“Quantos pontos
tem a figura n=10?”) e sobre a existência de figuras com determinado número de elementos
(“Existe alguma figura com 30 pontos?”). A última questão que surge na applet apela à cria-
ção de uma expressão geral para a sequência, mas os alunos foram informados de início que
não era necessário responder à questão e que na altura em que ela surgisse deveriam passar
para a realização da ficha de trabalho.
Após as observações iniciais, os alunos deveriam desenhar as duas figuras seguintes
da sequência. Porém, na turma que utilizou a applet, nenhum aluno apresentou a resposta
51
para esta questão; aquando da manipulação da applet, os alunos teriam já analisado esta ques-
tão, embora através da identificação do número de elementos das duas figuras seguintes, e
não através da construção das figuras (é a applet que desenha as figuras após a resposta dos
alunos). Na turma que apenas realizou a ficha de trabalho, apenas uma aluna não apresentou
o desenho das figuras seguintes; todos os restantes o fizeram de forma correcta, com poucas
excepções.
A maior diferença identificada entre as duas turmas consiste no facto de que, na resolu-
ção desta questão, alguns alunos da turma que utilizou a applet apresentam como justificação
que o 60 faz parte da sequência porque se o 20 e o 40 fazem parte, então o 60 também fará.
Esta justificação nunca é apresentada pelos alunos da turma que realizou a actividade apenas
com papel e lápis; em contrapartida, alguns alunos desta turma para verificarem se o 60 é
múltiplo realizam a operação inversa, isto é, fizeram a divisão de 60 por 4 para identificarem
que se trata da 15.ª figura da sequência (estratégia esta que aparentemente não é utilizada por
nenhum aluno da turma que usou a applet).
Ao longo das actividades 6, 7 e 8 ambas as turmas conseguiram realizar registos um
pouco mais pormenorizados relativamente aos processos utilizados para resolver as activida-
des, mas sempre um pouco incompletos. As generalizações realizadas foram-se tornando
mais formais, embora poucos alunos tenham conseguido utilizar expressões algébricas para
exprimir a generalização.
A Actividade 4 é composta por duas tarefas envolvendo padrões numéricos crescentes;
na primeira tarefa os alunos apenas têm de analisar os primeiros quatro elementos de várias
sequências, encontrar o padrão no crescimento das sequências e completá-las com os quatro
elementos seguintes. Trata-se de um exercício simples que não exige um nível aprofundado
de reflexão nem generalização sobre a regra de formação da sequência. A sua inclusão na
planificação deu-se por se considerar que poderia ser necessário um momento com uma tare-
fa mais simples, que não exigisse tanto dos alunos, de modo a que os alunos que tenham
apresentado maiores dificuldades nas outras actividades tivessem a oportunidade de realizar
esta com sucesso. Por se tratar de uma tarefa na qual os alunos não precisavam de apresentar
justificações para as respostas encontradas, foi resolvida de modo bastante rápido em ambas
as turmas, embora a turma que utilizou a applet a tenha realizado mais rapidamente visto que
iam obtendo a confirmação das suas respostas à medida que iam realizando a tarefa. Para
facilitar a análise da actividade, foi pedido a ambas as turmas que acrescentassem à frente de
cada sequência a regra que encontraram para a continuar; quase todos os alunos fizeram-no,
revelando a natureza aditiva da estratégia utilizada em todas as sequências.
52
A segunda tarefa desta actividade envolve também um padrão numérico, embora nesta
tarefa já surjam questões que suscitam uma maior análise da parte dos alunos, e eventualmen-
te a procura de generalização sobre a regra geral de formação. Como os números eram
conhecidos para os alunos, quase todos associaram a sequência aos múltiplos de 9. No entan-
to, muitos alunos demonstraram ter dificuldades em verificar se o 450 pertencia à sequência
apresentada, tendo alguns alunos recorrido à contagem como estratégia para identificar o 450.
Mais uma vez, a linguagem utilizada para descrever a generalização foi pouco formal, tendo
muitos alunos recorrido a exemplos para explicar como se poderia fazer para encontrar o
número corresponde a determinada posição.
A actividade 5, embora diferente das restantes actividades da planificação apresentada,
foi incluída por ter sido considerada uma actividade de procura de padrões interessante e que
poderia resultar numa grande variedade de padrões encontrados pelos alunos, visto que a sua
abertura possibilita a adopção de qualquer perspectiva por parte destes. O quadrado 10x10
proporciona aos alunos a oportunidade de exploração de sequências finitas de números e de
descrição das regularidades encontradas, nomeadamente através da sua lei de formação. No
entanto, os alunos não demonstraram interesse pela actividade. Colocaram muitas dúvidas e
pareciam sempre muito pouco à vontade na procura das regularidades e principalmente na
descrição da regularidade encontrada. Em ambas as turmas, os alunos utilizaram os quadra-
dos onde podiam procurar qualquer regularidade para continuarem a procurar múltiplos de
outros números, como aconteceu nas primeiras questões desta actividade.
5.4. Dinâmicas de sala de aula
O desempenho dos alunos durante as aulas em que foram aplicadas as actividades foi
muito satisfatório, sendo que estes se mostravam, claramente, motivados. Nas primeiras acti-
vidades ambas as turmas revelaram desconhecer este tipo de tarefas, mostrando-se os alunos
um pouco desorientados; no entanto, fui dando o máximo de apoio possível, assim como o
meu par pedagógico de Estudo Acompanhado que esteve presente nas aulas, cuja formação
académica também é em Matemática. Nestas aulas, a professora Luzia ajudou-me no acom-
panhamento do trabalho dos alunos, esclarecendo as dúvidas apresentadas por alguns grupos.
A discussão geral das Actividades realizada no final da aula era principalmente orientada por
mim, embora a professora Luzia também interviesse, procurando solicitar a participação dos
53
grupos que tinha acompanhado e que sabia terem contribuições interessantes para a discussão
geral. A maioria das questões colocadas pelos alunos era relativa ao significado das questões
enunciadas nas fichas de trabalho, visto que os alunos destas turmas apresentam frequente-
mente dificuldades na interpretação das questões, mesmo noutras disciplinas. Foi necessário
explicar várias vezes o significado de algumas expressões de modo a que todos os alunos
compreendessem o que se pretendia com as questões. No entanto, assim que se apropriaram
das expressões utilizadas e do seu significado, as actividades foram realizadas pela maioria
dos alunos de modo bastante interessado e com empenho.
Relativamente à maior parte das questões relacionadas com o funcionamento das aulas,
estas não foram muito diferentes daquilo a que os alunos estavam habituados nas aulas de
Estudo Acompanhado. As actividades a realizar foram entregues aos alunos no início de cada
aula em suporte papel, onde os alunos realizaram os seus registos e respostas. No caso da
turma que utilizou os computadores, a análise da sequência passava inicialmente pela utiliza-
ção das applets, mas todas as orientações sobre o que deviam fazer no computador estava
igualmente descrito na ficha de trabalho. Durante a sua resolução tentei sempre acompanhar
os alunos, esclarecendo eventuais dúvidas ou corrigindo o caminho tomado na resolução da
actividade, caso estivessem errados. Fui sempre relembrando-os de que deveriam justificar as
suas respostas, mesmo em situações em que a questão não o pedia. Em algumas situações
coloquei questões aos alunos para os ajudar a tornar mais explícito o raciocínio que fizeram
ou a estratégia que utilizaram para resolver determinada questão, pedindo-lhes depois que o
explicassem dessa forma na ficha de trabalho.
Tentei sempre que os alunos trabalhassem do modo mais autónomo possível, para que
me pudesse concentrar nas questões relativas à investigação, nomeadamente tentando com-
preender a forma como os alunos reagiam às tarefas e as dificuldades que iam sentindo
durante a sua realização. Quando as dificuldades encontradas pelos diferentes grupos de tra-
balho eram semelhantes, fizeram-se pequenas pausas no trabalho de forma a apresentar as
dificuldades para toda a turma e, através de uma reflexão partilhada e discussão dos vários
pontos de vista, encontrar uma solução ou resposta possível para a questão.
Como referido na planificação, o trabalho foi realizado pelos alunos em pequenos gru-
pos com dois elementos, pretendendo-se que desta forma houvesse troca de ideias e discussão
durante a análise das sequências apresentadas. Em ambas as turmas os alunos trabalharam
desta forma, excepto no 5.ºA onde foi necessário formar um grupo de 3 elementos, não só
para não deixar nenhum aluno a trabalhar sozinho mas também devido ao número de compu-
tadores disponíveis. No 5.ºB um dos grupos foi desfeito a meio da proposta pedagógica devi-
54
do a problemas de comportamento que surgiram durante estas aulas; estes alunos passaram a
trabalhar individualmente, o que já acontecia frequentemente nas restantes aulas, tanto de
Matemática como de Estudo Acompanhado. Também no 5.ºB houve um outro aluno que des-
de o início preferiu realizar as actividades sozinho, apesar de, por várias vezes, lhe ter solici-
tado que se juntasse a qualquer outro grupo de trabalho.
As maiores dificuldades no trabalho realizado com estas turmas estão relacionadas com
o nível de ruído que se cria na sala durante o trabalho autónomo dos grupos de trabalho. Este
ruído é já comum nas aulas com estas turmas, mas dando-lhes a oportunidade de trabalharem
sempre em grupo ainda se agudizou mais este aspecto.
No final de cada aula, foram analisadas e discutidas as actividades realizadas nessa aula,
tendo cada grupo de trabalho a oportunidade de indicar quais as maiores dificuldades encon-
tradas, e como procederam para resolver as várias tarefas. Houve também casos de alunos
que apresentaram algumas dúvidas que permaneceram apesar da discussão realizada e de
serem descritas as várias estratégias utilizadas para resolver determinada questão. Foi tam-
bém nestes momentos finais de discussão que foi sendo introduzida a linguagem simbólica
para representação das regras de formação das sequências analisadas. Alguns alunos conse-
guiram adoptar esta linguagem formal mais facilmente, enquanto outros sentiram necessidade
de continuam a explicar a regra geral através de linguagem natural.
5.4.1. O trabalho com suporte das applets
A utilização das novas tecnologias em sala de aula pressupõe alguns cuidados diferentes
daqueles que o professor está habituado, mas, ainda assim, análogos aos preparativos neces-
sários para uma qualquer aula prática, com utilização se materiais manipuláveis, por exem-
plo. Entre os cuidados que precisei de ter inicialmente, encontram-se a necessidade de reser-
var a sala de informática com a antecedência suficiente para permitir a disponibilidade duran-
te o período de tempo necessário; pedir as palavras-chave de acesso aos computadores para
instalar os programas necessários, assim como os ficheiros necessário à realização das activi-
dades; pedir a colaboração do professor responsável pela gestão da rede da sala para criar
uma conta de utilizador para a turma, de modo a permitir o acesso aos computadores e con-
trolar os programas utilizados pelos alunos; certificar que existem computadores suficientes
para todos os alunos e que todos os periféricos necessários se encontram a funcionar.
De modo a evitar possíveis complicações pela falta de Internet nos dias de aplicação das
actividades, os ficheiros contendo as applets foram copiados para todos os computadores e
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57
applet pertenciam à Actividade 1 e outras duas tarefas pertenciam à Actividade 4; alguns alu-
nos acabaram por resolver também a tarefa 4 por não lerem com atenção o que era indicado e
pedido na ficha de trabalho.
O facto de a applet permitir corrigir imediatamente algumas das questões levou a que os
alunos realizassem rapidamente as tarefas no computador, passando depois mais tempo na
ficha de trabalho, justificando as opções tomadas durante a análise das sequências.
Os alunos mostraram-se sempre muito interessados e motivados durante a realização da
actividade, colocando algumas dúvidas relativamente à natureza de algumas questões ou
pedindo ajuda quando ficavam sem ideias de que estratégia utilizar. As dificuldades que
alguns tiveram prendem-se com o facto de terem dado no computador as respostas aleatoria-
mente, apenas verificando se estavam correctas ou não; como não tinham analisado conve-
nientemente a sequência, tiveram depois dificuldades em justificar as suas respostas e descre-
ver o raciocínio utilizado e acabaram por pedir a minha ajuda, ou da minha colega, para se
conseguirem orientar.
Toda a organização do trabalho inicial e dificuldades técnicas que, entretanto, surgiram
levou a que o tempo disponível na aula não permitisse realizar mais do que a Actividade 1.
No final da aula foi realizada a discussão geral das tarefas, onde os grupos de trabalho pude-
ram confrontar as suas ideias relativamente a vários aspectos das sequências, e as estratégias
utilizadas para determinar a regra de formação da sequência.
A Actividade 2, que aquando da planificação pareceu uma actividade mais complicada e
que levaria muito tempo para os alunos resolverem, foi resolvida num só bloco de 90 minutos
e conseguiu motivar e envolver os alunos na sua resolução de uma forma que não foi visível
em mais nenhuma actividade.
Novamente, houve alguns problemas iniciais com o arranque dos computadores e intro-
dução das palavras-chave, assim como outras questões relacionadas com o software necessá-
rio para o funcionamento das applets. Estas dificuldades foram pontuais e não atrasaram mui-
to o trabalho dos grupos.
A applet utilizada foi construída a partir doutra disponível no sítio web do Instituto
Freudenthal3 e surge ainda no âmbito do trabalho com sequências repetitivas. São apresenta-
dos vários padrões que os alunos devem analisar, prevendo qual a cor da peça que ficará em
determinada posição. A rapidez com que os alunos conseguem fazer as experimentações e
testar as suas conjecturas utilizando a applet, tornou esta actividade muito interessante e
3 http://www.fi.uu.nl/toepassingen/03047/toepassing_rekenweb.en.html
58
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des com esta applet, quando chegavam à última questão, alguns grupos ainda tentaram escre-
ver a expressão geral em linguagem formal, mas quando o fizeram pediram a minha ajuda.
Na applet, a introdução da expressão não pode ter qualquer erro ou espaço entre as letras,
caso contrário tal será identificado como uma expressão errada, daí terem tido dificuldades,
pois na ficha de trabalho alguns grupos conseguiram representar correctamente as expressões.
Esta applet tem ainda a vantagem de poder funcionar como um jogo, visto que é possí-
vel receber uma pontuação por cada resposta dada. Alguns dos grupos ainda comentaram
entre eles as pontuações obtidas, mas não se tornou num factor motivador para a realização
da actividade, talvez pelas pontuações não chamarem muito a atenção dos alunos e maioria
dos grupos não se ter sequer apercebido delas. As maiores dificuldades sentidas pelos alunos
continuaram a ser no âmbito da interpretação das questões da ficha de trabalho e da expressão
escrita aquando das justificações para as suas respostas. Estas dificuldades podem estar rela-
cionadas com a ideia de que a matemática se faz apenas com números e operações, e não com
a escrita, ou que basta apresentar um cálculo para justificar uma resposta. Os alunos não estão
habituados a escrever os seus raciocínios e consideram que basta escrever a resposta final.
A Actividade 5 foi realizada numa applet criada propositadamente para a realização des-
te estudo. Tem por base uma tarefa já conhecida e que também surge na Brochura Álgebra no
Ensino Básico (Ponte, Branco, & Matos, 2009). Na ficha de trabalho desta actividade, esta-
vam explicados os procedimentos para utilizar a applet e o que os alunos deveriam tentar
fazer nesta actividade.
Os primeiros quatro quadrados tinham a indicação de que sequências deveriam assina-
lar, e as restantes quatro foram deixadas em aberto, para permitir aos alunos a exploração e
descoberta de outras regularidades presentes no quadrado. Foi indicado aos alunos que assim
que acabassem os quadrados na applet, deveriam copiar para a ficha e indicar junto de cada
um quais as regularidades encontradas e a sua lei de formação.
Por ter uma natureza muito aberta e diferente das outras actividades realizadas, os alu-
nos não revelaram muito interesse pela actividade, mostrando-se desorientados e sem perce-
ber o que deveriam fazer; na applet ainda mostraram interesse, enquanto pintaram os quadra-
dos que tinham a indicação das sequências a registar, mas ao passar para a ficha de trabalho e
ao registar por escrito as observações realizadas, mais uma vez os alunos revelaram dificul-
dades em perceber o que deveriam escrever. Nos quadrados em que tinham a liberdade para
procurar as regularidades que quisessem, os alunos não tiveram muita imaginação e restringi-
ram-se à procura de outros múltiplos. Por estes motivos, o meu acompanhamento aos alunos
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6
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61
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62
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o
s-
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do
63
nas situações em que o grupo a separar se tratava de um dos grupos analisados no Estudo de
Caso.
5.4.2. O trabalho com papel e lápis
As aulas da turma que realizou as actividades apenas com o suporte de papel e lápis
decorreram de forma semelhante às aulas da outra turma. A organização da aula foi parecida
em ambas as turmas, isto é, a actividade era apresentada aos alunos e distribuída a ficha de
trabalho. Após esclarecidas algumas dúvidas que os alunos tivessem relativamente às ques-
tões ou sobre a natureza da tarefa, os pares de alunos iniciavam o seu trabalho. No final da
aula, era realizada discussão geral das actividades, onde os vários grupos de trabalho expu-
nham as estratégias utilizadas para encontrar as suas respostas, e se esclareciam e corrigiam
possíveis erros ou dúvidas.
Comparativamente com a outra turma, esta levou mais tempo para realizar algumas das
actividades, nomeadamente a Actividade 2 ‘Contas num colar’ e a Actividade 5 ‘Quadrado
10x10’. A Actividade 2 tornou-se praticamente impossível de resolver, pois os alunos tinham
de pintar inúmeros quadrados para verificar se o seu padrão era o correcto ou não. Como eles
começavam logo pela experimentação sem pensarem na regra que determinaria a cor de
determinada peça, levavam imenso tempo a pintar quadrados para depois verificarem que o
seu padrão não estava correcto e terem de começar tudo de novo. Esta actividade revelou-se
uma perda tempo ao ser realizada somente em papel. Na Actividade 5 ocorreram as mesmas
dificuldades que na outra turma, ou seja, como a tarefa era muito aberta, os alunos sentiram-
se desorientados e sem saber o que fazer nos quadrados livres, onde deveriam ser eles a pro-
curar regularidades nos números. Além disso enganaram-se frequentemente ao pintar os múl-
tiplos pedidos, o que tornou difícil a resolução da actividade e obrigou a tirar várias cópias
desta ficha de trabalho para que os alunos pudessem corrigir as tarefas.
As aulas com esta turma também se revelaram mais exigentes ao nível da minha colabo-
ração, e da minha colega, visto que os alunos pediram muito mais a nossa ajuda, para os
orientarmos, e para verificarmos se as suas respostas estavam completas e correctas. Visto
que este tipo de tarefas se tratava de uma novidade para eles, estavam muito inseguros na
realização das actividades e, mesmo para as questões mais simples, pediam a nossa confirma-
ção. Em similaridade com a outra turma, estes alunos também revelaram dificuldades na
expressão escrita, relativamente às questões nas quais deveriam descrever o raciocínio que
seguiram para encontrar as respostas. Pediam-nos para lhes explicarmos as perguntas várias
64
vezes, na tentativa de perceberem o que tinham de escrever em pormenor; então revíamos
com eles o processo que tiveram até encontrar a resposta e pedíamos para tentarem escrever
exactamente o que nos tinham dito oralmente.
Exceptuando as actividades referidas, o trabalho realizado com papel e lápis decorreu
sem grandes problemas, tendo os alunos realizado as restantes actividades de forma empe-
nhada e interessada. Revelaram pouca autonomia, solicitando frequentemente a colaboração
das professoras, mas conseguiram alcançar os objectivos definidos para as actividades pro-
postas no que respeita ao trabalho com sequências e padrões e desenvolvimento do pensa-
mento algébrico. Nas últimas actividades, os alunos já conseguiam encontrar mais facilmente
as regularidades presentes nas sequências e muitos conseguiam generalizar, embora usando
quase sempre uma linguagem natural.
65
CAPÍTULO 6
Resultados
O processo de recolha de dados permitiu a obtenção de uma grande quantidade de
informação acerca do modo como alunos de 5.º ano resolvem tarefas de exploração e genera-
lização de padrões e sequências. Foram aplicadas oito actividades distintas em duas turmas, o
que perfaz um total de 50 alunos.
Para possibilitar uma análise mais pormenorizada das estratégias utilizadas pelos alunos
das duas turmas, e do trabalho desenvolvido pelos alunos ao nível do desenvolvimento do
pensamento algébrico e da generalização de padrões, foram realizados estudos de casos nas
duas turmas. Na turma A os estudos de caso foram realizados sobre dois grupos de alunos, o
par Diogo e Isabel e o par Maria e Vera, e na turma B sobre outros dois grupos, o par Filipa e
Mafalda e o par Andreia e Sónia.
Como foi já referido no Capítulo 4, apenas algumas das actividades realizadas serão
alvo de análise neste capítulo.
6.1. Actividade 1 – Introdução
Esta actividade foi desenhada para proporcionar o primeiro contacto com os padrões
repetitivos, estando organizada em três tarefas.
5.ºA - Desenvolvimento da Actividade
Na realização da primeira tarefa, ambos os grupos de trabalho começaram por resolver
na applet as questões iniciais (a qual pode ser consultada no Anexo 3), continuando a sequên-
cia apresentada e indicando um termo de uma ordem próxima e um termos de uma ordem
distante. Ambos os grupos identificaram o quadrado como sendo o 8.º elemento da sequência,
66
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6
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67
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68
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ro 8.
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o. Identificam
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exploração
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Andreia
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de
a actividade,
8.º elemento
dentificação
uei como est
car o elemen
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am por relac
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té 101…
sua posição,
m responder
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Na
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Porém, acab
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encontrar ou
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go familiar n
posições de
3 no caso da
s de 3 a par
posição 51.
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continuar a
nia começou
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e desistem, s
utra estratégi
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nos números
cada figura
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rtir do 30 e
Re
spostas do g
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ados seguira
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a das três fig
mesmo raci
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a. Indico-lhe
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ês, e acabam
acabam por
ficando o cí
a-Sónia
am estratégi
dentificação
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mais fácil. Co
s que devem
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írculo como
7
as diferente
do 51.º term
zada na taref
e em posiçõe
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m prestar ma
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e em todos o
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71
es.
mo
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72
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a posição de
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as posições
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º elemento d
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-Mafalda se
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Re
am os dois t
e vão verific
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o 8 aparece n
tiplicativa e
nte estará o
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oporcionalid
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consideram
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termos anter
cando que el
vidade 1,o g
ois, enquant
res entre o d
rico indicado
sposta do gr
em identifica
a, ambos os
nas posições
aditiva, e co
4.
stratégia que
dade directa
posições vin
que na posiç
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riores ao 51.
lementos apa
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to o grupo Fi
dois e o oito.
o.
rupo Filipa-M
ar na sequênc
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múltiplas de
oncluem que
e o induz a
de forma de
nte, trinta, q
ção que se s
Mafalda
º, ambos os
arecem.
eia-Sónia ape
ilipa-Mafald
. A expressã
Mafalda
cia o 9.º elem
ante a análise
e 4. A partir
e na posição
uma respos
esadequada,
quarenta e ci
se segue ao
grupos subt
enas refere q
da salienta qu
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mento. No q
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sta errada. A
considerand
inquenta tam
51.º termo d
traem sucess
que a sequên
ue os elemen
adiante” suge
que diz respe
cia se aperce
vação seguem
novamente o
As
do
m-
da
si-
n-
n-
e-
ei-
e-
m
8
73
Síntese
Apesar desta ter sido a primeira actividade realizada, os alunos de ambas as turmas con-
seguiram analisar as sequências e procurar as respostas para as questões apresentadas. Os
grupos começaram por utilizar estratégias de contagem para identificarem os elementos dis-
tantes, mas durante a análise das sequências foram-se apercebendo de relações existentes as
figuras e as respectivas posições, o que os auxiliou a encontrar processos mais rápidos e efi-
cazes de identificar os elementos pedidos.
Apesar das estratégias utilizadas em ambas as turmas na realização das três tarefas
serem semelhantes, salienta-se que na turma B um dos grupos aplicou a estratégia de propor-
cionalidade directa numa das tarefas, obtendo um resultado errado devido à inadequação des-
ta estratégia para a situação em causa.
Os grupos analisados revelaram muitas dificuldades na comunicação escrita dos proces-
sos de resolução utilizados e dos raciocínios que desenvolveram para a realização das tarefas
apresentadas, ficando as respostas escritas nas fichas de trabalho muitas vezes incompletas.
6.2. Actividade 2 – Colares de contas
Esta actividade foi realizada logo na aula seguinte à da Actividade 1. Nesta pretende-se
dar continuidade ao trabalho com sequências repetitivas, sendo a cor e o número de elemen-
tos da unidade de repetição os atributos que variam. Apresentam-se de seguida as resoluções
realizadas pelos grupos analisados das duas turmas, mas apenas até à alínea c) da questão 2,
visto que a turma 5.º B não realizou as restantes questões.
5.º A – Desenvolvimento da Actividade
Na primeira tarefa da Actividade 2, os grupos analisados começaram por criar padrões
sem quaisquer critérios quanto à ordem das cores utilizadas, até que conseguiram um padrão
que tornava azul a posição 102 da sequência. Este trabalho de tentativa e erro é muito simples
e rápido de executar na applet, pelo que rapidamente ambos os grupos se obtiveram uma ou
duas soluções para a tarefa. Ao obterem algumas das soluções, o grupo Diogo-Isabel confir-
maram que a peça azul devia ficar em 2.º lugar para que também ficasse em 102.º lugar. Ten-
74
taram ent
ram na ap
po Maria
que enco
nas enco
padrões q
apercebe
no meio d
Na
cando o c
nos come
cor-de-ro
posições
para justi
na respos
tão perceber
applet se esta
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ontraram um
ontraram três
que estavam
m da posiçã
das outras p
realização d
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eçam por int
osa. O grupo
4, 8, 12, 16
ificar a resp
sta da ficha d
r que outros
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m criando no
m padrão pos
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m correctos. M
ão constante
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R
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R
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ente correcto
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Mesmo na re
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Resposta do g
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Resposta do g
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nunca quest
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grupos segui
a solução da
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então que a
sições múltip
ho. O grupo
do apenas a j
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as várias alín
car que na po
as peças cor
plas de 4 e
Maria-Vera
ustificação p
-Isabel
a-Vera
ta característ
ficha de tra
vas na applet
rabalho. No
posição da p
Tarefa 1, as
apenas refer
gias multipli
neas. Na alín
osição 20 fic
res-de-rosa a
utilizam est
não indica
para o result
tica. Verifica
abalho. O gru
t. De cada ve
entanto, ape
peça azul no
alunas não s
rindo que est
icativas, apl
nea a), os alu
cou uma peç
aparecem na
ta observaçã
a cor da peç
ado obtido.
a-
u-
ez
e-
os
se
tá
li-
u-
ça
as
ão
ça
Na
desenvol
qual cons
que reco
quatro pe
se engana
O g
pedida a
amarela e
tégia de
zes de ap
de modo
resposta
5.ºB
Na
de repeti
grupos se
na folha d
Am
ção. O gr
peça azu
resposta,
2.ª posiç
fica na 2
resolução d
lveram na qu
sidera a repe
nhecem ser
eças. No enta
aram nos cál
grupo Maria-
cor da peça
e deram as s
contagem pa
plicar a mesm
a encontrar
correcta, ma
B – Desenvo
tarefa 1, am
ição, de acor
em a definiç
de respostas
mbos os grup
rupo Andreia
l se aparece
quantas com
ão. Assim, c
.ª posição, e
da alínea b),
uestão anteri
etição por 4
a peça cor-
anto, fazem
lculos.
Re
-Vera não se
a da 21.ª po
suas resposta
ara identific
ma estratégi
a resposta c
as recorrendo
olvimento da
mbos os grup
rdo com o d
ção anterior
s e verificara
os conseguir
a-Mafalda a
er na 102.ª p
mbinações d
chegaram à
assim tamb
, o grupo D
ior para esta
vezes do co
-de-rosa por
a contagem
espostas do g
e apercebeu
sição. As al
as nesse sent
arem as cor
ia da alínea
correcta. O g
o novamente
a Actividad
pos analisado
determinado
de critérios
am se o 102.º
ram na prim
ssociou a po
osição. Proc
diferentes pod
possibilidad
bém na 102.ª
Diogo-Isabel
questão, usa
onjunto de qu
r se tratar do
de todas as
grupo Diogo
da alteração
lunas achara
tido. Já na a
es das peças
a) e recorrem
grupo Diogo
e aos múltipl
de
os começaram
o tarefa. Este
s. Os alunos
º elemento d
meira tentativ
osição da peç
curaram dep
diam fazer d
de de 4 pad
ª posição. O
conseguiu
ando uma es
uatro peças e
o inicio da r
peças de mo
o-Isabel
o da ordem d
am então qu
línea c), as a
s pedidas. A
m à contage
o-Isabel cons
los de 4.
m por criar u
e padrão ini
pintaram o
da sequência
va encontrar
ça azul no pa
ois, sem ten
das várias co
drões distinto
grupo Filipa
adaptar o ra
stratégia mu
e adicionand
repetição do
odo a confirm
das cores, ap
e se tratava
alunas recorr
As alunas não
em de todos
segue também
um padrão p
cial foi cria
esquema co
tinha a cor a
uma solução
adrão inicial
ntarem prova
ores, estando
os, nos quai
a-Mafalda ta
7
aciocínio qu
ltiplicativa n
do depois um
o conjunto d
marem se nã
penas que er
de uma peç
reram à estra
o foram capa
os elemento
m encontrar
para a unidad
do pelos do
orresponden
azul.
o para a situa
l ao facto de
ar na folha d
o a cor azul n
is a peça azu
ambém verif
75
ue
na
m,
de
ão
ra
ça
a-
a-
os
a
de
ois
te
a-
a
de
na
ul
fi-
76
cam que
azul na 2
Na
que o gru
plicativa
de repeti
posição t
O g
posta.
Nas
têm as su
tagem pa
pretendid
trarem a
se as sua
existem outr
2.ª posição, m
tarefa 2, o g
upo Filipa-M
para encont
ição tem 4 e
também apar
grupo Filipa-
s restantes a
uas estratégi
ara encontrar
dos, enquant
cor das posi
s ideias estav
ras soluções
mas não inve
grupo Andre
Mafalda. O g
trar a cor qu
elementos e
recerá a peça
-Mafalda seg
Re
Re
alíneas desta
as, isto é, o
r as resposta
to o grupo A
ições pretend
vam correcta
s se mudarem
estigam quan
eia-Sónia co
grupo Andre
e aparece na
que a peça
a cor-de-rosa
guiu a estrat
esposta do gr
sposta do gr
tarefa que
grupo Filipa
as, utilizando
Andreia-Sóni
didas, recorr
as.
m as peças de
ntas soluções
nseguiu apro
eia-Sónia co
a 20.ª posiçã
a cor-de-rosa
a.
tégia de con
rupo Andreia
rupo Filipa-M
os grupos co
a-Mafalda c
o a folha de r
ia utilizam e
rendo depois
e outras core
s existem.
ofundar mai
onsegue apli
ão. As alunas
a surge em
ntagem, tal c
a-Sónia
Mafalda
onseguiram
ontinua a ut
respostas par
stratégias m
s à folha de r
es de sítio e
is a análise d
car uma estr
s verificam q
4.º lugar. A
como indicam
resolver, os
tilizar a estra
ra encontrar
multiplicativa
respostas par
mantiverem
da situação d
ratégia mult
que a unidad
Assim, na 20
m na sua re
s alunos man
atégia de con
r os resultado
as para encon
ra verificarem
m a
do
ti-
de
0.ª
s-
n-
n-
os
n-
m
Sínt
Com
e lápis. M
pedido pa
e branco
No
padrão p
nos que r
As que n
Os aluno
realizar e
riamente
Tor
muito ma
alunos da
tarefas d
quadrado
tas; este
ficar as v
na resolu
dade de u
frequente
tese
mo foi já ref
Mais uma ve
ara fazer nas
dificultou a
entanto, co
resente na fi
realizaram a
não realizaram
os utilizaram
e muitas vez
que se revel
rna-se clara n
ais rápida e
as duas turm
de certo mod
os da folha d
facto desmo
várias respos
ução das tare
uma forma m
emente.
Re
ferido, esta a
ez, os alunos
s várias ques
percepção d
m a explica
ficha de trab
s actividades
m foi por fal
m principalm
zes iniciavam
lavam errado
nesta Activi
apelativa a
mas também
do contrariad
de resposta p
otivou-os mu
stas rapidam
efas. É també
mais autónom
esposta do gr
actividade to
s revelaram
stões. Tamb
da cor do pad
ação da tare
alho e de co
s com papel
lta de tempo
mente estraté
m as suas te
os para as qu
dade a impo
realização d
foi diferent
dos, pois pe
para verifica
uito. Por outr
mente, pelo q
ém de salien
ma que os al
rupo Andreia
rnou-se mui
algumas dif
ém o facto d
drão.
efa para toda
omo deveria
e lápis cons
o visto cada q
gias de cont
entativas par
uestões abor
ortância da u
das tarefas p
e, sendo que
erceberam o
arem se as su
ro lado, na t
que estiveram
ntar que os a
lunos da turm
a-Sónia
ito morosa d
ficuldades em
de as fichas
a a turma, e
ser utilizad
seguiram rea
questão leva
tagem, as qu
rtindo de pa
rdadas.
utilização do
propostas. O
e na turma B
tempo que
uas resposta
turma A, os
m sempre in
alunos da tur
ma B, os qua
de ser realiza
m compreen
de trabalho
e indicação
da a folha au
alizar alguma
ar muito tem
uais levam m
adrões constr
o computado
O interesse re
B os alunos
iriam gasta
as estavam o
alunos cons
nteressados e
rma A realiza
ais solicitara
7
ada com pap
nder o que er
serem a pret
das cores d
uxiliar, os alu
as das tarefa
mpo a resolve
mais tempo
ruídos aleato
or, pois torno
evelado pelo
realizaram a
ar a colorir o
ou não correc
seguiram ver
e empenhado
aram a activ
am ajuda ma
77
el
ra
to
do
u-
as.
er.
a
o-
ou
os
as
os
c-
ri-
os
vi-
ais
78
A a
crescente
modo a a
generaliz
5.ºA
Os
pode ser
leva a en
sequência
acertam a
figura se
sequência
esta obse
figura, ac
Maria-Ve
applet.
Em
dem com
sequência
actividade ‘N
e. A activida
auxiliá-los n
zação sobre a
A - Desenvo
alunos come
consultada
ncontrar o n
a. O grupo
as respostas
guinte para
a tem sempr
ervação. Qua
cabam por a
era também
seguida pas
m relativa fa
a.
6.3. A
Números em
ade orienta o
as suas obse
a organizaçã
lvimento da
eçaram a ac
no Anexo 3
número de p
Diogo-Isabe
e, especialm
não perder p
re mais 4 po
ando são qu
adicionar 4
segue uma
ssam para re
acilidade, in
Actividade 3
m caixa’ foi
os alunos ao
ervações, con
ão da sequên
a Actividade
ctividade pel
), responden
pontos das
el repara ime
mente, o Dio
pontos. Nes
ontos que a
uestionados p
sucessivame
estratégia ad
esolução da
ndicando as
Respostas d
– Números
a primeira
o longo do p
njecturas e,
ncia.
e
la manipulaç
ndo às quest
figuras segu
ediatamente
go tenta calc
ta análise ap
anterior e re
pela aplicaçã
ente até à 10
ditiva para e
ficha de trab
semelhança
do Grupo Dio
s em Caixa
a ser realiz
processo de
no final da a
ção da apple
tões que apa
uintes e de
que é atribu
cular sem er
percebem-se
espondem às
ão sobre o n
0.ª e encont
encontrar os
balho. Às pr
as e diferenç
ogo-Isabel
zada com um
análise da
actividade, n
et correspon
arecem na ap
outras mais
uída pontuaç
rro o número
e que a figur
s questões d
número de p
tram o valor
vários termo
rimeiras que
ças dos vári
ma sequênc
sequência, d
numa possív
ndente (a qu
pplet e que o
s distantes d
ção consoan
o de pontos d
ra seguinte d
e acordo com
pontos da 10
r 40. O grup
os pedidos n
estões respon
ios termos d
ia
de
el
al
os
da
te
da
da
m
0.ª
po
na
n-
da
A a
zada por
situação
além daq
todos sem
Na
tos, os al
foi o grup
tes. Com
posta sat
cando-lhe
aos múlti
O o
sendo qu
se tratar
O Diogo
ponde ut
perceber
torna a in
alínea c), que
nenhum do
na applet e
queles presen
m dificuldad
resolução da
lunos aprese
po Maria-Ve
mo se engana
isfatória e a
es que se tra
iplos de 4.
outro grupo e
ue a Isabel co
de um núme
, como se tin
tilizando ess
que não tinh
ndicar que o
e pedia para
os alunos do
ainda tinha
ntes na ficha
de.
a alínea e), q
entaram vári
era, as quais
aram ao dese
cabaram por
atava dos nú
estudado, o
omeçou por
ero par, visto
nha apercebi
sa justificaçã
ha a resposta
61 não pode
Respostas d
os alunos d
os grupos an
am no ecrã d
a de trabalh
que pergunta
ias estratégia
s começaram
enhar as fig
r pedir ajuda
úmeros múlt
par Diogo-I
identificar o
o que todos
ido que todo
ão. Ao confr
a mais adequ
e fazer parte
do Grupo M
desenharem a
nalisados, tal
do computad
ho. Por outro
ava sobre a
as. O grupo
m por tentar d
guras, contin
a a outro gru
tiplos de 4 e
Isabel, come
o 60 como fa
os números
os os número
frontarem as
uada, e corri
e da sequênci
aria-Vera
as duas figur
lvez porque
dor outros te
o lado, a alín
existência d
que apresen
desenhar alg
nuaram sem
upo de coleg
e que o núm
eçou por seg
azendo parte
s da sequênc
os presentes
suas conjec
ige-a; no ent
ia por se trat
ras seguinte
já tinham e
ermos da se
nea d) foi pr
de um termo
ntou maiores
gumas das fi
conseguir o
gas que as o
mero 60 tam
guir estratégi
e da sequênc
cia têm esta
eram múltip
cturas, a Isab
tanto, na que
tar de um nú
7
s, não é real
explorado es
equência, par
reenchida po
com 60 pon
s dificuldade
iguras seguin
bter uma re
rientou expl
mbém pertenc
ias diferente
cia apenas po
característic
plos de 4, re
bel acaba po
estão seguin
úmero impar
79
li-
ta
ra
or
n-
es
n-
s-
li-
ce
es,
or
a.
s-
or
te
.
80
Em
associar r
rá ter 25
rísticas d
embora o
ras ficass
Para
pondente
múltiplo
4” ou que
regra ger
Isabel co
po aprese
caram qu
cia algum
seguida os
rapidamente
pontos. No
das figuras d
o fizessem c
sem com alg
a encontrare
e, na alínea i
de 4 ao cres
e “a relação
ral da sequê
onseguiram i
entou uma re
ue é preciso
ma confusão
alunos deve
e que o quad
entanto, par
da sequência
om pouca pr
guns erros.
em uma rela
i), os grupos
scimento da
é que são m
ência, onde
identificar qu
esposta pouc
“multiplicar
entre a estra
Respost
Respost
eriam tentar
drado deverá
a desenhar a
e não o fize
reocupação p
ação entre a
s analisados
sequência, i
múltiplos de 4
os alunos u
ue tinham de
co coerente c
r o número 4
atégia aditiva
tas da Isabel
tas do Diogo
desenhar a
ter 100 pon
a figura deve
eram. Todos
pelo rigor no
posição da
conseguiram
indicando qu
4”. Estas ob
utilizaram um
e “multiplica
com o restan
4 pelos pont
a e a express
l
o
25.ª figura d
ntos no total,
eriam ter ana
s os grupos d
o desenho, o
figura e o n
m mais uma
ue “temos se
servações aj
ma linguage
ar a figura c
nte trabalho
tos das outra
são geral da
da sequência
pelo que ca
alisado melh
desenharam
o que levou
número de p
a vez associa
empre que m
judam na for
em natural. O
om o 4” ma
que realizara
as figuras”, o
sequência.
a. Conseguem
ada lado deve
hor as caracte
a 25.ª figur
a que as figu
pontos corre
ar a noção d
multiplicar po
rmalização d
O par Diogo
s o outro gru
am, pois ind
o que eviden
m
e-
e-
ra,
u-
s-
de
or
da
o-
u-
di-
n-
5.ºB
As
de imedi
do este a
de área c
O o
mas não
aumentam
As
subseque
chamar a
engana-s
figura 4:
B - Desenvol
alunas come
ato que o nú
argumento na
om a de perí
outro grupo
o faz quaisq
m de quatro
alunas reali
entes da seq
a atenção do
e nos registo
lvimento da
eçam por an
úmero de po
a atribuição
ímetro.
Resp
analisado ap
quer observa
em quatro u
Resp
izaram sem
quência e, em
os alunos pa
os e conside
a Actividade
nalisar a sequ
ontos de cada
de similarid
postas do gru
percebeu-se
ações basea
unidades.
postas do gru
dificuldade
m seguida,
ara o total de
era como 1.ª
e
uência apres
a figura corr
dade entre as
upo Andreia
da razão do
adas nessa i
upo Filipa e
es as questõ
completaram
e pontos de
ª figura a pr
sentada e um
responde aos
s figuras, em
a-Mafalda
o cresciment
informação,
Mafalda
ões seguintes
m a questão
cada figura
imeira por e
m dos grupo
s múltiplos d
mbora confun
to entre as v
apenas sal
s, desenhan
com a qua
a. O grupo A
elas desenha
8
os apercebe-s
de 4, utilizan
ndam a noçã
várias figura
lientando qu
do as figura
al se pretend
Andreia-Són
ada, ou seja,
81
se
n-
ão
as,
ue
as
de
nia
a
82
O g
Na
procedem
ram, o qu
do 40 por
nhecem q
As r
ralização
figura ter
damente
número d
figura co
exemplo.
mente po
AndreiaSónia: 1,AndreiaSónia: SiAndreiaSónia: SãAndreiaSónia: SeAndreiaSónia: 4,AndreiaSónia: E
grupo Filipa
alínea e), pa
m da mesma
ue acontece
r este ser o m
que não é po
restantes qu
o sobre a seq
ria no total 1
no par Filip
de pontos de
orrespondent
. O outro gru
orque não se
: Para desen, 2, 3, 4, 5, 6: 16, não é? im. : E na seguinão 20 pontos: Para desene reparares, : Pois é! , 8, 12, 16, 2: Então fica na 4.ª figura
e Mafalda re
ara verificare
forma: cont
no 4x15. A
maior múltip
ossível que h
Re
Re
estões da fic
quência apre
100 pontos,
a e Mafalda
e cada lado d
te, ou seja, n
upo analisad
e apercebeu
hares a 1.ª fi6… (contam
nte? 1, 2, 3, s! hares a 3.ª fiolha, isto é s
20, 24. 24. a ficam 28.
esolve estas
em se existe
tinuam os m
Ambos os gru
plo de que se
haja uma figu
esposta do gr
sposta do gr
cha de trabal
sentada. Tod
mas o desen
, que se aper
da figura era
na figura 2
do não revel
dos cuidado
igura precisatodos os pon
4, … (conta
igura precisasempre a tab
questões sem
e alguma fig
múltiplos de 4
upos começa
e recordam.
ura com 61 p
rupo Andreia
rupo Filipa-M
lho pretendia
dos os grupo
nho em si fe
rcebeu pelas
a sempre ma
existem três
ou dúvidas n
os que dever
as de… quanntos) …16!
m novament
as de…? Qubuada do 4!
m dificuldad
gura com 60
4 até encont
aram a proc
Utilizando o
pontos.
a-Sónia
Mafalda
am orientar
os conseguir
z salientar a
s primeiras fi
aior em um v
s pontos em
na realização
ria ter para d
ntos pontos?
te) … 20!
uantos pontos
des.
pontos, amb
trarem o val
curar os múl
o mesmo rac
os alunos pa
ram reconhe
alguns proble
figuras da seq
valor do que
m cada lado d
o desta ques
desenhar cor
s?
bos os grupo
or que procu
tiplos a part
ciocínio, reco
ara uma gene
cer que a 25
emas, nomea
quência que
e o número d
da figura, po
stão, possive
rrectamente
os
u-
tir
o-
e-
5.ª
a-
o
da
or
el-
a
figura. O
24 e 25.
Na
posição q
com base
ponde qu
Filipa e
número d
o número
Este
tada. Os
descobrir
Esta
obtenção
tar, atrav
que rege
Sónia:
O g
sequência
as questõ
4x25=10
O desenho es
alínea i) é p
que esta ocu
e nas observ
ue “o númer
Mafalda, in
da figura com
o total de pon
e foi o grupo
restantes gru
ram inicialm
as alunas for
o de qualquer
vés de uma li
a sequência
grupo Filipa
a é o facto d
ões de forma
0, nesta que
stá feito com
pedido aos a
upa. O grup
vações feitas
ro de pontos
nfluenciado
m o número
ntos da figur
Re
o que demon
upos seguira
mente.
ram também
r elemento d
inguagem na
a apresentad
Re
a-Mafalda c
de aumentar
a correcta, e
estão não pro
m alguns erro
alunos que r
po Andreia-S
desde o iníc
s é o quadru
pelas preocu
de pontos e
ra e a sua po
sposta do gr
nstrou seguir
am uma abor
m as únicas q
da sequência
atural abrevi
da (4n), com
esposta do gr
considerou q
rem de 4 em
e mesmo per
ocuraram um
os, como un
relacionem o
Sónia conseg
cio e na anál
uplo do núm
upações do
m cada lado
osição.
rupo Filipa-M
r uma abord
rdagem num
que não cons
a. Todos os r
ada e com re
mo é o caso
rupo Andreia
que a regra
m 4. Embora
rcebido que
ma regra ger
ns lados com
o número de
gue estabele
lise da tabel
mero da figur
desenho da
o, mas não ex
Mafalda
agem pictór
mérica, basead
seguiram def
restantes gru
ecurso a algu
do grupo co
a-Sónia
a para desco
as alunas te
a 25.ª figura
ral que perm
m 26 pontos
e pontos da
ecer a relaçã
a da alínea a
ra”. Por sua
a 25.ª figura
xplicita uma
rica da sequê
da nos múlti
finir uma reg
upos consegu
uns símbolo
onstituído pe
obrir qualqu
enham respo
a teria 100 p
mitisse encon
8
e outros com
figura com
ão facilment
anterior e re
vez, o grup
a, relaciona
a relação entr
ência apresen
iplos de 4 qu
gra geral par
uiram explic
s, a expressã
ela Andreia
uer figura d
ondido a toda
pontos porqu
ntrar qualque
83
m
a
te,
s-
po
o
re
n-
ue
ra
ci-
ão
e
da
as
ue
er
84
figura al
possível
Sínt
Na
pelos alu
apenas é
applet du
zadas aq
semelhan
to de 4 v
ras apres
Para
ao conce
A g
tendo os
necessári
No entan
turma qu
utilização
ma de ge
Imp
menos au
tões da fi
eatoriamente
encontrar o
tese
realização d
unos das dua
feita na pa
urante a real
quando da ju
nte em amba
alores entre
entadas e da
a identificar
ito de múltip
generalização
alunos reco
io multiplica
nto, é de real
ue realizou a
o da applet a
eneralização
porta ainda
utónomo que
icha de traba
e, mas volta
número de p
Re
desta activid
as turmas. N
rte inicial d
lização da ac
ustificação d
as as turmas,
figuras cons
as por eles de
rem a existên
plo de 4, per
o conseguid
orrido a uma
ar por 4 o nú
lçar que hou
a actividade
apenas os al
da sequênci
salientar qu
e os alunos d
alho sem req
aram a apoi
pontos de ca
sposta do gr
dade não sã
Na turma qu
da tarefa e ap
ctividade ne
das suas res
, sendo que,
secutivas atr
esenhadas.
ncia de um t
rcorrendo tod
a pelos grup
a linguagem
úmero da fig
uve um maio
com recurso
lunos dos gr
ia.
ue os alunos
da turma A,
querer ajuda.
iar-se na abo
da figura som
rupo Filipa-M
o evidentes
ue utilizou o
parentement
m a salienta
spostas. A f
em ambas, o
ravés da con
termo mais
dos os múlti
pos analisado
m essencialm
gura para ob
r número de
o apenas a p
rupos analisa
s da turma
sendo que e
ordagem rec
mando quatr
Mafalda
diferenças
o computado
te os alunos
am como par
forma como
os alunos se
ntagem do nú
distante a m
plos até enco
os de ambas
mente simból
bter o númer
e alunos a alc
papel e lápis;
ados conseg
B continuam
estes realiza
cursiva atrav
ro à anterior
nas estratég
or, a utilizaç
s não tornam
rte das obse
o abordam a
e apercebem
úmero de po
maioria dos a
ontrar o valo
s as turmas
lica para ind
o de elemen
cançar a gen
; na turma q
uiram encon
m a revelar
am grande pa
vés da qual
.
gias utilizada
ção da appl
m a recorrer
rvações real
a sequência
do incremen
ntos das figu
alunos recorr
or pretendido
é semelhant
dicarem que
ntos da figur
neralização n
que recorreu
ntrar uma fo
r um trabalh
arte das que
é
as
let
à
li-
é
n-
u-
re
o.
te,
é
ra.
na
à
or-
ho
s-
85
6.4. Actividade 4 – Sequências crescentes
Como foi já referido, esta actividade era constituída por duas tarefas, sendo a primeira
formada por várias sequências numéricas nas quais os alunos apenas tinham de descobrir a lei
de formação para indicar os quatro termos seguintes. Como esta tarefa foi desenhada apenas
para servir de prática dos alunos na identificação da lei de formação de sequências numéricas
não será abordada nesta análise de dados. A tarefa 2 desta Actividade era constituída por
uma exploração simples da sequência numérica dos múltiplos de 9, cuja análise de dados é a
seguir apresentada.
5.ºA - Desenvolvimento da Tarefa
Os alunos começaram por analisar a sequência na applet e indicar os elementos seguin-
tes. O grupo Diogo-Isabel apercebeu-se logo nesta fase inicial de que a sequência era forma-
da pelos números múltiplos de nove. No entanto, ao realizar a alínea b) não conseguiu encon-
trar uma forma de verificar se o número 450 pertenceria à sequência. Na applet, os alunos
indicaram que o número 450 não pertencia à sequência mas há que ter em conta que a applet
retornava a informação de que a resposta estava errada. Os alunos ficaram assim a saber que
este era um termo da sequência mas sem conseguir explicar porquê. Acabaram por pedir-me
ajuda e eu procurei salientar as características dos múltiplos e de que a multiplicação é a ope-
ração inversa da divisão.
Professora: Então qual é a relação entre os números da sequência? Isabel: São os múltiplos de 9. Professora: Então para um número pertencer à sequência tem de ser múltiplo de 9, certo? Isabel: Sim Professora: Então como é que vêem que o 450 é múltiplo de 9? Diogo: Não sei… Professora: Como é que nós fazemos os múltiplos? Que operações fazemos? Diogo: Andamos de 9 em 9. Professora: Ou então multiplicamos, 9x1, 9x2, 9x3… não é? Professora: Então como é que eu encontro o 450? Diogo: É ver se há um número que vezes 9 dê 450. Professora: Exacto. Então se já tenho o 450 como é que eu faço o contrário para obter o número que falta? Professora: O contrário da multiplicação é a … Diogo: Divisão. Professora: Então tenho de pegar no 450 e dividir por…
86
Apó
Continua
O g
não recon
mento da
recta, em
vários nú
baseada n
po do lad
múltiplo
tões sobr
Na
usando u
forma ma
Diogo: 9ProfessoDiogo: S
ós este diálo
aram depois
grupo Maria-
nheceram os
a sequência,
mbora não e
úmeros vai d
nesta observ
do, que as aj
de nove, da
re as quais ap
alínea refer
uma linguage
ais completa
. ra: e depoisim.
ogo os aluno
a resolução
-Vera aperce
s números. A
as alunas re
entendam po
diminuindo
vação, mas n
juda dizendo
aí pertencer
presentava a
rente à regra
em natural,
a, evidencian
Re
s? Se for inte
s ficaram a f
da ficha.
ebeu-se que o
Assim, na al
espondem ‘si
orquê. Aperc
ao longo da
não consegue
o-lhes que a
à sequência
algumas dúvi
a geral da s
embora seja
ndo a relação
espostas do g
eiro é porque
fazer a opera
os números
línea b) em
im’ na apple
cebem-se de
a sequência
em e desiste
sequência é
a. Este grupo
idas.
equência, am
a o par Mari
o entre cada
grupo Diogo
e o 450 é mú
ação 450 : 9
aumentavam
que deveria
et e verificam
e que o alga
e tentam en
em. Acabam
é dos múltipl
o consegue
mbos os gru
ia-Vera que
figura e a su
o-Isabel
últiplo. Certo
9 e verificara
m de 9 em 9
am indicar se
m que a resp
arismo das
ncontrar um
m por pedir au
los de nove
assim respo
upos conseg
formula a r
ua ordem.
o?
am que dá 5
unidades ma
e o 450 é ele
posta está co
unidades do
ma justificaçã
uxílio ao gru
e que o 450
nder às que
guem explica
regra geral d
0.
as
e-
or-
os
ão
u-
é
s-
ar
de
5.º B
Na
elemento
da sequên
plos de 9
O g
sequência
B - Desenvo
turma B os
os seguintes.
ncia aument
9, evidencian
grupo Filipa
a são os múl
R
olvimento d
alunos com
Nesta análi
tam de 9 em
ndo ainda um
Re
a-Mafalda c
ltiplos de 9 e
Res
Respostas do
a Tarefa
meçaram tam
ise inicial, o
9 unidades
m raciocínio
esposta do gr
onsegue ap
e indica-o na
spostas do gr
grupo Maria
mbém por an
grupo Andr
mas não a a
aditivo.
rupo Andreia
erceber-se,
a resposta.
rupo Filipa-M
a-Vera
nalisar a seq
reia-Sónia ap
associam ain
a-Sónia
logo no iní
Mafalda
quência e ind
percebe-se q
nda à sequênc
ício, que os
8
dicar quais o
que os termo
cia dos múlt
s números d
87
os
os
ti-
da
88
No
estratégia
como é v
Para
sequência
tinuar a s
tiplo de
este é mú
valor mu
pelo algo
Na
uma form
Mafalda
invés de
sentam a
entanto, par
a de contag
visível na res
a identificar
a e apercebe
sequência pa
9, vai fazer
últiplo de 9:
uito grande e
oritmo da div
identificaçã
ma de calcu
apresente um
apresentar u
inda uma lin
ra verificar s
em, identifi
sposta aprese
r o número
e-se que os n
ara verificar
parte da se
começam p
e que não faz
visão e encon
Re
o da expres
ular o valor
m exemplo d
uma forma g
nguagem sim
Re
Re
se o número
icando o 50
entada na alí
o 450, o gru
números são
se aparece o
quência. Te
por pensar em
z sentido. De
ntram o valo
esposta do gr
são geral, am
de qualquer
de como calc
geral de enc
mbólica infor
esposta do gr
sposta do gr
o 450 faz par
como núm
ínea c).
upo Andreia
múltiplos d
o 450, mas a
entam então
m fazer o 45
ecidem fazer
or 50.
rupo Andreia
mbos os gru
r posição da
cula o valor
contrar qualq
rmal na defin
rupo Andreia
rupo Filipa-M
rte da sequên
mero que mu
a-Sónia ana
de 9. As alun
a Sónia obse
encontrar u
50 x 9, mas p
r a operação
a-Sónia
upos analisad
a sequência,
(para um ter
quer número
nição da exp
a-Sónia
Mafalda
ncia, este gr
ultiplicado p
alisa mais a
nas ainda pen
rva que se o
uma forma d
percebem qu
o inversa, ou
dos consegu
, embora o
rmo bastante
o. Ambos os
pressão geral
rupo recorre
por 9 dá 45
atentamente
nsam em con
o 450 for mú
de verificar s
ue vai dar um
u seja, 450 :
uem encontra
grupo Filipa
e distante), a
s grupos apre
l.
à
0,
a
n-
úl-
se
m
9,
ar
a-
ao
e-
89
Síntese
Apesar de se tratar de uma sequência simples e constituída por elementos conhecidos
pelos alunos de ambas as turmas, os alunos dos grupos analisados revelaram dificuldades ao
nível dos conhecimentos aritméticos que já deveriam estar consolidados e que lhes facilitaria
a resolução das tarefas, nomeadamente na identificação do 450 como elemento da sequência.
Todos os grupos continuaram a recorrer inicialmente a estratégias de contagem para
identificarem os próximos elementos da sequência, utilizando uma análise mais aprofundada
apenas para a identificação de elementos distantes ou aquando da procura de uma regra geral
de formação da sequência. Apesar de todos os grupos analisados reconhecerem no final da
actividade que se tratava da sequência dos múltiplos de 9, a explicitação da regra geral conti-
nuou a ser feita numa linguagem pouco formal e no, caso de um dos grupos, com recurso a
um exemplo. Não são visíveis diferenças de maior entre os grupos analisados nas duas tur-
mas.
6.5. Actividade 8 – Formações em V
A Actividade 8 foi a última a ser aplicada nestas turmas. É uma actividade com carácter
exploratório que inclui uma sequência pictórica associada a uma função afim.
5.ºA – Desenvolvimento da Actividade
Os alunos começam por realizar a actividade na applet correspondente, mas para todos
os termos pedidos (dois termos próximos e um distante), em ambos os grupos analisados,
recorrem à estratégia de contagem para saber o número de elementos da figura. Apenas o
grupo Diogo-Isabel se apercebe de que o número de elementos de cada figura é sempre ímpar
e usa esta informação para responder às questões da applet referentes à existência de figuras
com 20 ou 31 elementos. O grupo Maria-Vera apercebe-se durante a manipulação da applet
que o número de pontos de cada figura é perto do dobro do número da figura, mas não explo-
ram muito esta ideia durante a manipulação da applet. Acabam por responder correctamente
às questões pedidas e passam para a realização da ficha de trabalho.
90
Na
sequência
Vera real
Isabel nã
já tem no
Na
grupo M
cada figu
número d
número d
estratégia
melhor a
que é nec
pontos d
geral par
ficha de tra
a. Ao referi
lça que cada
ão responde à
oção de qual
alínea c), pa
Maria-Vera se
ura tem mai
de pontos de
de pontos em
a de contage
as figuras an
cessário mul
da figura. De
a responder
abalho os a
irem os cuid
a figura tem
à questão ne
a regra gera
ara identific
egue uma e
is dois pont
e cada figura
m causa. No
em para iden
nteriores e ap
ltiplicar por
epois de dis
a esta e às q
R
Re
lunos come
dados que tiv
m mais dois e
esta altura, vo
al de formaç
ar a posição
estratégia rec
tos que a an
a a partir da
o grupo Diog
ntificar a po
percebe-se d
2 o número
cutirem as e
questões das
Resposta do g
esposta do g
çam por de
veram para
elementos q
oltando a ela
ão da sequên
o da figura r
cursiva. Um
nterior, parti
a figura ante
go-Isabel, a
osição da fig
da regra gera
da figura e
estratégias s
alíneas d) e
grupo Maria
grupo Diogo-
esenhar as d
desenhar as
ue a figura
a no final da
ncia.
representada
ma vez que j
indo da figu
erior, até enc
Isabel come
gura, mas o
al de formaç
somar 1 par
seguidas, aca
e).
a-Vera
-Isabel
duas figuras
s figuras, o
anterior. O
a ficha de tra
, a qual tem
já tinham o
ura seis vão
contrar uma
eça também
Diogo cons
ção da sequê
ra obter o nú
abam por ut
seguintes d
grupo Maria
grupo Diogo
abalho quand
m 17 pontos,
bservado qu
registando
figura com
por utilizar
segue analisa
ência, ou sej
úmero total d
tilizar a regr
da
a-
o-
do
o
ue
o
o
a
ar
a,
de
ra
Na
recido na
alunas to
anteriorm
‘braços’
nas conse
na na res
A a
nos recor
ímpar de
Na
guagem
numérico
Vera não
parte da
alínea d), o
a applet e po
ornam a anal
mente sobre
da figura, te
eguem assim
olução da ta
alínea f) não
rreram a um
pontos.
alínea g) os
ainda pouco
os e das oper
o indica toda
figura. O gr
grupo Mari
or isso sabia
lisar melhor
o número d
endo cada ‘b
m chegar à e
arefa.
R
apresentou
ma propriedad
Re
R
s alunos apre
o formal. No
rações envol
a a expressã
rau de elabor
a-Vera aperc
am que se tr
as figuras d
de pontos ser
braço’ o núm
expressão ge
Resposta do g
dificuldades
de comum a
esposta do g
Resposta do g
esentam a e
o caso de D
lvidas e escr
ão correctam
ração desta r
cebe-se que
ratava da fig
da sequência
r o dobro do
mero de ponto
eral, embora
grupo Maria
s para qualqu
a todas as fig
grupo Diogo-
grupo Maria
xpressão ge
Diogo-Isabel
revem a expr
mente, engan
resposta é ta
a figura com
gura 10. Na
a e percebem
o número da
os igual ao n
não a indiq
a-Vera
uer um dos g
guras da sequ
-Isabel
a-Vera
ral da sequê
utilizam ab
ressão correc
nando-se no
ambém meno
m 21 pontos
resolução d
m que a ideia
a figura pro
número da f
quem ainda,
grupos, send
uência: terem
ência, utiliza
breviaturas e
ctamente. O
registo, ape
or do que o
9
s tinha já apa
da alínea e) a
a que tiveram
vem dos do
figura. As alu
mas aplicam
do que os alu
m um númer
ando uma lin
e os símbolo
grupo Maria
enas referind
do outro gru
91
a-
as
m
ois
u-
m-
u-
ro
n-
os
a-
do
u-
92
po, denot
ce e não
5.º B
Os
ção das d
cada figu
cada figu
é maior e
No
aumentar
tando ainda
à unidade qu
B – Desenvo
alunos come
duas figuras
ura ter mais
ura, decompo
em uma unid
entanto, ao
r dois eleme
uma forte d
ue é adiciona
Re
R
olvimento d
eçaram a rea
seguintes. N
dois eleme
ondo-a, e ob
dade que o n
Exploração
responderem
entos por ca
dependência
ada.
esposta do g
Resposta do g
da Actividad
alização da a
Nesta primei
ntos que a f
bservando qu
número da fig
o das figuras
m à primeira
ada figura q
da figura, na
grupo Diogo-
grupo Maria
de
actividade pe
ira fase, o gr
figura anteri
ue o número
gura a que co
s pelo grupo
a alínea apen
que desenhar
a medida em
-Isabel
a-Vera
ela análise d
rupo Andreia
ior, mas fez
de elemento
orresponde.
Andreia-Só
nas referem q
ram. Na res
m que se refe
da sequência
a-Sónia aper
z também um
os de um dos
ónia
que tiveram
solução da a
erem ao vért
a e representa
rcebeu-se qu
ma análise d
s lados do ‘V
o cuidado d
alínea c), es
ti-
a-
ue
de
V’
de
te
grupo já
geral de f
O g
tentou qu
contém t
dois lado
critério, o
Com
resposta,
anterior.
A a
fizessem
Sónia não
anteriore
para a qu
evidencia a
formação da
grupo Filipa-
ue a figura n
antos pontos
os do ‘V’. A
o que eviden
mo a alínea
tendo as alu
alínea e) ped
o raciocíni
o se aperceb
s, ou seja, c
uestão. O gru
a observação
a sequência.
Re
-Mafalda não
não ficasse
s quanto o n
ssim, na alín
ncia que já ti
Re
seguinte é
unas possive
dia o número
o contrário
beu do que e
onsiderou 8
upo Filipa-M
o que fez in
esposta do gr
o refere com
torta. No en
número da fi
nea c) conse
inham identi
sposta do gr
parecida, am
elmente apli
o de pontos
ao aplicado
stava a ser p
5 como o te
Mafalda realiz
nicialmente,
rupo Andreia
mo construiu
ntanto, tamb
igura se não
eguem identi
ificado uma
rupo Filipa-M
mbos os gru
cado a mesm
da figura 85
o nas duas a
pedido e apli
rmo e não a
zou a tarefa
evidenciand
a-Sónia
as figuras p
bém observa
o contarem c
ificar a posiç
regra de form
Mafalda
upos analisa
ma estratégia
5, ou seja, pr
alíneas anter
icou o mesm
a ordem, obte
pedida sem
do que enco
pedidas, apen
am que cada
com o ponto
ção da figur
mação para
ados consegu
a que aplica
retendia-se q
riores. O gr
mo raciocínio
endo uma re
dificuldades
9
ontrou a regr
nas indica qu
a lado do ‘V
de união do
a usando ess
a sequência.
uem chegar
aram na alíne
que os aluno
rupo Andreia
o das questõe
esposta errad
s.
93
ra
ue
V’
os
se
.
à
ea
os
a-
es
da
94
Respostas do grupo Andreia-Sónia
Respostas do grupo Filipa-Mafalda
Na alínea f) o grupo Andreia-Sónia verifica que o número de pontos indicado é par
enquanto todos as figuras até ao momento analisadas têm um número ímpar de pontos, e uti-
liza esta justificação na sua resposta.
Resposta do grupo Andreia-Sónia
O grupo Filipa-Mafalda resolve dividir o número de pontos apresentado por 2 e verifica
que não sobra nada enquanto nas outras situações que analisou sobrava sempre um ponto que
ficava no vértice do ‘V’. Assim, as alunas consideram que não é possível construir tal figura.
Na
mação da
de cálcul
zada não
procedim
consegue
de toda a
apenas q
construçã
Sínt
Tod
de cada f
de início
ela ocupa
última ques
a sequência
lo do númer
é ainda form
mento. O gru
e expressar a
a ficha para
que cada figu
ão de cada fi
tese
dos os grupo
figura e nas
a uma relaç
ada. Apenas
Re
tão, na qual
analisada, a
o de pontos
mal, e pouco
upo Filipa-M
aqui a regra
responder,
ura aumenta
igura, olhand
Re
Re
os realizaram
característic
ção entre o n
os grupos d
sposta do gr
l se pretendi
apenas o gru
a partir do
o sintética, e
Mafalda, por
geral de for
com sucess
a 2 pontos re
do de forma
esposta do gr
sposta do gr
m uma explor
cas pictórica
número de p
da turma A c
rupo Filipa-M
ia que os alu
upo Andreia
número da f
estando ainda
sua vez, não
rmação da se
o, às questõ
elativamente
recursiva pa
rupo Andreia
rupo Filipa-M
ração da seq
as da dispos
pontos de um
começaram p
Mafalda
unos indicas
a-Sónia cons
figura. No en
a muito próx
o entende o
equência que
ões colocada
e à anterior,
ara a sequên
a-Sónia
Mafalda
quência base
sição dos po
m dos lados
por utilizar in
ssem a regra
seguiu indica
ntanto, a lin
xima de uma
sentido da q
e tinha utiliz
as. Ao invés
voltando a
ncia.
eada no núm
ntos, tendo
da figura e
nicialmente
9
a geral de fo
ar uma form
nguagem util
a descrição d
questão e nã
zado ao long
s disso, realç
centrar-se n
mero de ponto
chegado log
a posição po
estratégias d
95
or-
ma
li-
do
ão
go
ça
na
os
go
or
de
96
contagem, passando somente à definição de relações entre as posições e as figuras quando se
tratam de elementos mais distantes na sequência.
A generalização da sequência continuou a ser realizada com recurso a uma linguagem
natural, apresentando-se algumas respostas incompletas ou indicadoras de um raciocínio
recursivo, apesar de os grupos analisados terem todos conseguido definir oralmente durante a
realização da actividade a relação entre o número de pontos e a posição ocupada pela figura.
No entanto, os alunos da turma A apresentam uma linguagem mais sintética na expressão da
regra geral do que os alunos da turma B.
97
CAPÍTULO 7
Conclusão
Neste capítulo pretende-se apresentar uma sistematização do estudo realizado, come-
çando por relembrar as questões orientadoras do estudo, assim como a proposta pedagógica e
a metodologia de investigação adoptada.
Em seguida são abordados os resultados obtidos, procurando responder às questões ini-
ciais e realizada uma reflexão sobre esta experiência de investigação e as suas implicações
para a prática profissional.
7.1. Síntese do Estudo
Este estudo foi realizado procurando compreender de que modo a utilização de tecnolo-
gias em sala de aula influencia o ambiente de trabalho e os processos utilizados pelos alunos
para resolver problemas propostos em contexto de aprendizagem da Matemática. A partir
deste objectivo foi delineado o problema de investigação, o qual se centra em compreender os
processos de resolução de tarefas com sequências de alunos que fazem uso das TIC em com-
paração com alunos que utilizam exclusivamente papel e lápis.
Para isso, considerou-se as seguintes questões:
Como se caracterizam as estratégias dos alunos na exploração de sequências,
com e sem a utilização das TIC?
Que dificuldades apresentam os alunos durante a realização das tarefas com
sequências, com e sem recurso às TIC?
Que características apresenta o trabalho em sala de aula com recurso às TIC?
A proposta pedagógica foi elaborada tendo por base as orientações do novo Programa
de Matemática do Ensino Básico (ME, 2007) e do Currículo Nacional do Ensino Básico
(ME-DEB, 2001). Foram também consideradas as orientações do documento Princípios e
98
Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007), assim como as concepções sobre Álge-
bra Escolar referidas por autores como Kaput (1999) e Kieran e Yerushalmy (2004). Esta
proposta visava promover o desenvolvimento do pensamento algébrico, através da realização
de tarefas de carácter essencialmente exploratório e investigativo. Deste modo, pretendia-se
proporcionar o estudo de padrões e sequências de uma forma desafiante, solicitando a elabo-
ração de estratégias de resolução próprias e o estabelecimento de generalizações.
A investigação foi delineada seguindo uma metodologia qualitativa, utilizando o para-
digma interpretativo. Foram realizados dois estudos de caso em cada uma das duas turmas
participantes no estudo, uma que realizou as actividades propostas recorrendo à utilização de
applets e outra que realizou as actividades apenas com recurso a papel e lápis.
Esta metodologia foi escolhida por permitir estudar os fenómenos no seu contexto natu-
ral e conhecer a perspectiva dos participantes sobre o objecto em estudo. É possível afirmar
que além de procurar conhecer a natureza do trabalho com e sem recurso às TIC, este estudo
ocorre no âmbito da minha actividade profissional, aumentando o meu conhecimento sobre a
minha própria prática.
A concretização da proposta pedagógica foi realizada com duas turmas de 5.º ano, às
quais leccionei durante o ano lectivo 2009-2010, tendo assim desempenhado os papéis de
investigadora e de professora da turma.
Os dados foram recolhidos durante as aulas, tendo sido realizadas gravações áudio do
trabalho efectuado pelos grupos escolhidos para os estudos de caso. Foi também elaborado
um diário de bordo e recolhidas as fichas de trabalho de todos os alunos de ambas as turmas
participantes.
7.2. Conclusões do Estudo
Para melhor organizar as conclusões sobre o estudo realizado, são abordados separada-
mente os seguintes aspectos: estratégias de resolução utilizadas, dificuldades apresentadas no
trabalho em Álgebra, características do trabalho com recurso às TIC e diferenças no papel do
professor.
99
7.2.1. Estratégias de resolução utilizadas
No estudo realizado foram abordadas sequências repetitivas (Threlfall, 1999; Zazkis &
Liljedahl, 2002) e sequências crescentes associadas a funções lineares (Stacey, 1989; Warren
& Cooper, 2008).
Na exploração de sequências com padrões repetitivos, os alunos de ambas as turmas
começam por recorrer a estratégias de contagem, neste caso, repetindo a unidade até à
posição desejada, especialmente nas situações de identificação de um termo próximo. Na
primeira Actividade apenas o grupo Diogo-Isabel não recorreu à estratégia de contagem para
identificar termos próximos numa das tarefas. Os alunos conseguiram aplicar um processo
multiplicativo ainda durante a utilização da applet visto terem identificado que os elementos
da sequência eram múltiplos de 9.
Na identificação de termos distantes, alguns grupos tornam a aplicar a estratégia de
contagem enquanto outros tentam encontrar outras relações entre as figuras e as suas
posições. A primeira tarefa realizada com padrões repetitivos tem uma unidade de repetição
com dois elementos, por isso os alunos acabam por utilizar a estratégia do “par e impar”.
Apenas o grupo Maria-Vera, que utilizou o computador, não o faz, continuando a aplicar a
estratégia de contagem apesar de se aperceber da relação entre as figuras e a sua posição.
Aliás, este grupo, inicialmente, recorre sempre à estratégia de contagem para identificar
termos distantes durante a exploração das sequências repetitivas, apercebendo-se depois de
outras possibilidades, como a utilização dos multiplos de um número.
Os processos multiplicativos, ou do objecto inteiro, são os mais utilizados pelos grupos
de ambas as turmas para identificar os termos distantes. Segundo Threlfall (1999) esta
estratégia é a mais utilizada por alunos que realizam os primeiros contactos com tarefas deste
âmbito. Os alunos identificam relações entre o número de elementos que constituem a
unidade de repetição e a ordem desses elementos, conseguindo assim identificar o elemento
de qualquer ordem pretendida. Na turma que realizou as tarefas com recurso a papel e lápis
nenhum dos grupos analisados aplicou a estratégia de contagem aquando da identificação de
termos distantes, o que não aconteceu com os grupos da turma A. Por outro lado, a única
situação de aplicação de estratégias desadequadas que ocorreu nos grupos analisados passou-
se na turma B; o grupo Filipa-Mafalda aplicou de forma errada uma estratégia de
proporcionalidade directa, considerando que, se o triângulo ocupava a posição dez, também
estaria na posição cinquenta.
100
Na exploração de sequências crescentes, a identificação de um termo próximo na
sequência obriga à análise de regularidades entre as figuras já apresentadas. Ao analisar os
primeiros elementos da sequência os alunos apercebem-se da regularidade existente no
incremento do número de unidades de figura para figura. Esta informação permite-lhes iden-
tificar os termos próximos, utilizando uma estratégia recursiva através da adição consecutiva
do mesmo número de unidades. Esta estratégia aditiva é utilizada pelos grupos analisados
quase sempre que precisam de identificar termos próximos na sequência. A tendência para a
utilização de estratégias aditivas é indicada noutros estudos já referidos, como acontece com
Orton & Orton (1999) e Stacey (1989). Nas situações em que os alunos reconhecem a
sequência numérica associada ao padrão apresentado, é frequente recorrerem à regra geral
para identificar os termos seguintes, assim como os termos distantes.
Na identificação de termos distantes em sequências crescentes, os alunos dos grupos
analisados que trabalharam com o computador (turma A) revelam uma maior tendência para
recorrer como primeira opção à estratégia aditiva que utilizaram para identificar o termo pró-
ximo. Só depois, quando verificam que se trata de uma estratégia pouco prática ou demorada,
procuram outras estratégias que os levam a analisar melhor a sequência e a aproximarem-se
mais da procura pela regra geral, normalmente recorrendo a estratégias multiplicativas ou
funcionais.
Os alunos dos grupos analisados que realizaram as tarefas com papel e lápis (turma B)
revelaram mais facilidade na análise da sequência, reconhecendo mais cedo a regra geral de
formação da sequência, através da análise da composição de cada figura ou por reconheci-
mento da sequência numérica subjacente. Quando se trata de sequências com um padrão pic-
tórico, os alunos partem inicialmente para a decomposição da figura, procurando identificar
aspectos comuns em todas as figuras ou formas de relacionar o número de unidades da figura
com a ordem que ocupa na sequência. Na turma A não é tão frequente o recurso à análise da
figura, numa fase inicial de exploração da sequência.
Como foi já referido, a construção das figuras é importante para a compreensão da
forma como a sequência evolui e de como identificar o número da figura (ordem) a partir da
disposição de sub-conjuntos dos elementos da figura. Também pode auxiliar os alunos no
caminho para alguma forma de generalização sobre o modo de crescimento da sequência, daí
esta questão estar presente em todas as actividades com sequências crescentes apresentadas
aos alunos.
101
Para responder a questões referentes à existência de determinados elementos na sequên-
cia, os alunos também recorrem à procura de regularidades nas figuras que já conhecem,
como o facto do número de unidades que as compõe ser par ou ímpar.
A linguagem utilizada pelos alunos para expressar a regra geral de formação das várias
sequências crescentes não evolui muito ao longo da proposta pedagógica, sendo que a maio-
ria dos alunos utiliza uma linguagem natural, com recurso a abreviaturas e alguns símbolos
numéricos e de operações, para expressar a relação entre o termo e a ordem. Apesar de nas
discussões gerais se chamar a atenção para a possibilidade de utilização da letra n para repre-
sentar a posição que se pretende descobrir, poucos alunos fazem uso deste simbolismo, e os
que o fazem pertencem exclusivamente à turma A. Na turma B, um dos grupos revelou em
várias situações dificuldade em explicitar a regra geral de formação da sequência, apesar de
na procura de termos distantes frequentemente utilizar estratégias multiplicativas ou funcio-
nais relacionadas com a expressão geral. Nas questões relativas à regra geral, este grupo apre-
sentava expressões incompletas, dava exemplos de como calcular determinado termo da
sequência ou refere a constante de crescimento da sequência, tal como utilizada inicialmente
para calcular termos próximos através de estratégias aditivas. No entanto, importa salientar
que, apesar das dificuldades em utilizar uma linguagem formal ou mesmo em explicitar a
regra geral de formação das sequências, a maioria dos alunos de ambas as turmas consegue
generalizar e aplicar este conhecimento na identificação de termos distantes.
Resumindo, é possível verificar uma evolução na escolha das estratégias ao longo da
proposta pedagógica, especialmente aquando da procura dos termos distantes das sequências.
No entanto, as estratégias utilizadas são semelhantes nos grupos analisados das duas turmas,
sendo apenas de realçar que, os alunos que realizaram o trabalho com papel e lápis, consegui-
ram realizar uma análise mais eficiente das figuras das sequências, recorrendo menos fre-
quentemente à utilização de estratégias aditivas na procura dos termos distantes.
Por outro lado, os alunos da turma que utilizou as applets conseguiram utilizar uma lin-
guagem mais formal na designação da expressão geral das sequências. Não sendo possível
generalizar este resultado uma vez que este tem origem no trabalho de apenas dois grupos de
alunos, salienta-se que também os estudos realizados por Geraniou, Mavikis, Hoyles e Noss
(2009) demonstraram que os alunos que utilizam o computador em actividades relacionadas
com a exploração de sequências têm maior facilidade em fazer a transição de números para
variáveis de uma forma significativa. No entanto, relativamente à capacidade de generalizar
apresentada pelos alunos, os resultados obtidos são satisfatórios.
102
7.2.2. Dificuldades apresentadas pelos alunos
Inicialmente, os alunos apresentaram algumas dificuldades em compreender como
poderiam analisar as sequências propostas ou que características procurar. Os alunos pediam
frequentemente ajuda e não percebiam sequer o que se pretendia com “generalizar”. Apresen-
tavam dúvidas relativamente ao que era pedido nas várias questões, pois não reconheciam as
expressões ou palavras utilizadas. Estas dificuldades foram sendo ultrapassadas ao longo da
proposta pedagógica, com a realização das várias tarefas, nas quais a linguagem utilizada era
semelhante. Porém, os alunos revelaram sempre algumas dificuldades em expressar o seu
raciocínio, quer oralmente ou por escrito. Alguns autores (Orton, 1999; Stacey, 1989; Warren
& Cooper, 2008) referem as dificuldades apresentadas pelos alunos ao nível da expressão
oral. Contudo, as maiores dificuldades foram sentidas ao nível da expressão escrita, tendo os
alunos revelado falta de hábitos de comunicação matemática, visto que normalmente apresen-
tam apenas os cálculos realizados para encontrar a resposta pretendida. Estas dificuldades
foram reveladas pelos alunos de ambas as turmas participantes no estudo.
Em algumas situações o trabalho dos alunos também foi prejudicado pelas dificuldades
na aplicação de conhecimentos aritméticos básicos, como aconteceu no trabalho com os múl-
tiplos de um número ou com o conceito de par e ímpar. Nomeadamente, o grupo Diogo-
Isabel teve dificuldade em compreender como verificar se o número 450 pertencia à sequên-
cia, apesar de ter rapidamente reconhecido a sequência com a dos múltiplos de 9. No entanto,
só com ajuda, estes alunos conseguiram perceber que tinham de utilizar a operação inversa da
multiplicação para verificar a existência daquele número na sequência. Também na última
Actividade realizada, cujos termos eram todos constituídos por um número ímpar de pontos,
alguns alunos em ambas as turmas realizaram a operação de divisão por 2 para verificar se
haveria alguma figura com 35778 pontos. Também estes constrangimentos foram identifica-
dos por Orton & Orton (1999) em estudos realizados com alunos entre os 10 e 13 anos.
A escolha de estratégias de resolução inadequadas trouxe também alguns problemas
para os alunos. A tendência para a utilização de estratégias aditivas na procura de termos dis-
tantes em sequências crescentes tornou-se moroso e, em alguns casos, levou a erros de cálcu-
lo. Houve, ainda, uma situação com o grupo Filipa-Mafalda de aplicação de uma estratégia
relacionada com o conceito de proporcionalidade directa numa sequência repetitiva, que tam-
bém induziu o grupo a uma resposta errada. Segundo Driscoll (1999), este é um erro frequen-
te no trabalho com padrões, o qual ocorre principalmente quando os alunos procuram uma
forma rápida de encontrar a resposta e depois não reflectem sobre os resultados obtidos.
103
Como foi já referido na análise das estratégias utilizadas, os alunos da turma que utili-
zou as applets recorreram mais frequentemente a estratégias aditivas na procura de termos
distantes e levaram mais tempo até realizarem uma análise aprofundada das figuras, decom-
pondo-as e procurando relações entre o número de unidades que as compõem. O facto de
terem inicialmente a sequência no computador, e de esta apresentar mais termos do que na
ficha de trabalho, pode ter levado os alunos a debruçarem-se menos sobre as figuras em si
durante a análise da sequência e de, por isso, se distanciarem da possibilidade, frequentemen-
te associada à análise deste tipo de padrões, de riscar a figura e separar os elementos que as
constituem aquando da sua análise.
7.2.3. Características do trabalho com recurso às TIC
A interacção dos alunos com as applets revelou alguns aspectos que merecem ser foca-
dos e analisados. Os alunos começaram sempre a realização das actividades propostas pela
manipulação da applet correspondente, passando depois para a resolução da ficha de trabalho.
Em quase todas as actividades, a ficha de trabalho continha as mesmas questões que a applet,
além de outras adicionais associadas à exploração necessária para a generalização do termo
geral da sequência. Durante a resolução da ficha de trabalho, os alunos permaneciam junto do
computador, pelo que tinham sempre à sua disposição a applet. No entanto, os alunos rara-
mente tornaram a recorrer à applet depois de resolverem todas as questões que esta apresen-
tava. Apenas na Actividade 2 a resolução da ficha de trabalho foi feita a par com a manipula-
ção da applet, mas apenas porque envolvia diferentes tarefas cujas questões tinham que ser
respondidas na ficha de trabalho. É possível que os alunos tenham assumido que o trabalho
na applet tinha um carácter introdutório, visto que as fichas de trabalho apresentavam quase
sempre mais questões, ou então não encontraram utilidade na manipulação da applet para
responder às restantes questões das fichas.
A análise dos padrões realizada pelos alunos da turma A revelou-se frequentemente
superficial, revelando os alunos mais dificuldades na justificação das suas respostas e em
descrever o raciocínio utilizado para encontrar a solução. Ao invés do que foi referido ante-
riormente sobre as dificuldades na expressão oral e escrita, estas dificuldades estavam rela-
cionadas principalmente com o facto de os alunos terem verificado as suas respostas nas
applets, ficando a saber se estavam correctas ou não. Apesar de saberem a resposta, não con-
seguiam justificá-la por não terem reflectido sobre a sequência em questão e encontrado a
resposta pelos seus próprios meios. Tal como salientado por Ponte (1995), a utilização das
104
tecnologias pode tornar a Matemática numa actividade mais experimental, mas ao realizar
mais rapidamente várias experiências, o aluno pode não conseguir desenvolver o pensamento
mais adequado à situação, neste caso, pode não ter realizado uma análise aprofundada da
sequência. De facto, para a maioria das sequências apresentadas o que seria determinante
para identificar a expressão geral da sequência era uma boa capacidade de observação de
alguns termos da sequência e a capacidade de identificar características específicas da figura
que se relacionavam com a sua respectiva ordem.
Apesar deste revés da correcção automática possível nas applets, a realização das acti-
vidades na turma A decorreu sempre mais rapidamente do que na turma B, o que permitiu
realizar discussões gerais dos resultados mais aprofundadas e nas quais foi possível confron-
tar as estratégias seguidas pelos alunos que analisaram a sequência mais aprofundadamente e
discutir os resultados alcançados por todos.
Além da diminuição do tempo necessário para a realização das propostas e uma maior
autonomia por parte dos alunos em algumas das tarefas, o recurso às applets revelou-se
essencial na realização da Actividade 2. Esta actividade só pode ser apresentada aos alunos
recorrendo à utilização da applet visto que a realização com papel e lápis se revela muito
demorada e as várias tentativas que os alunos precisam de realizar acabam por desmotivá-los
e levá-los a desinteressarem-se pela actividade. Na turma A, esta foi a actividade onde os
alunos demonstraram um maior envolvimento, realizando todas as tarefas de forma muito
empenhada, o que confirma as indicações de estudos que mostram que a utilização das
applets pode tornar uma tarefa mais motivadora e interessante para os alunos (Figueiredo &
Palha, 2005). Ao nível das estratégias utilizadas para resolver esta actividade, os alunos da
turma A recorreram menos vezes a estratégias de contagem que os alunos da turma B, procu-
rando estratégias mais eficientes, como o método do objecto inteiro, associado ao conceito de
múltiplo.
Um dos problemas identificados na utilização das applets relaciona-se com a limitação
no número e tipo de resposta que estas permitem, o que limita também a interactividade da
aplicação. Como exemplo, a applet Problemas com Pontos utilizada nas actividades 3 e 8,
apesar de apresentar um conjunto de cinco questões verificáveis na própria applet, as respos-
tas requeridas ao utilizador são maioritariamente numéricas. A última das questões apresen-
tadas é sempre o pedido da expressão geral da sequência apresentada, cuja resposta obriga à
utilização da linguagem algébrica formal. Por este motivo, os alunos raramente puderam res-
ponder à questão na applet ou apenas o fizeram no final da discussão geral dos resultados,
105
visto que a utilização de espaços ou do sinal de multiplicar tornavam a expressão errada, exi-
gindo-lhes um rigor na escrita algébrica simbólica que, obviamente, ainda não podiam ter.
7.3. Reflexão final
Uma reflexão sobre este trabalho obriga a um balanço dos seus efeitos a nível pessoal e
profissional, mas também a uma observação crítica sobre a forma como se desenrolou todo
processo que levou à investigação, e sobre o estudo em si. A escolha pela realização de um
estudo comparativo surgiu devido à curiosidade pessoal sobre o verdadeiro impacto da utili-
zação das tecnologias em sala de aula. Questões relacionadas com a motivação e interesse
dos alunos estão bem documentadas em estudos realizados nas últimas décadas mas, no
decurso da minha vida profissional, e nas leituras que realizei no âmbito deste mestrado em
educação, são poucas as informações que se encontram sobre o impacto na aprendizagem da
utilização de ferramentas computacionais ou da Internet. Considero que é necessária a refle-
xão sobre a utilização destes novos instrumentos nas escolas, de forma a compreendermos o
impacto que têm na aprendizagem nas várias áreas disciplinares e no desenvolvimento do
raciocínio dos nossos alunos.
Para contextualizar o estudo, como foi já referido, foi escolhido o tema da Álgebra visto
as orientações do novo Programa de Matemática do Ensino Básico darem importância ao
desenvolvimento do pensamento algébrico logo deste o 1.º Ciclo. No 2.º Ciclo surgem agora
tópicos relacionados com o estudo de sequências e regularidades, sendo que no anterior Pro-
grama não havia quaisquer referências no 2.º Ciclo à preparação para o trabalho algébrico do
3.º ciclo. Como professora do 2.º Ciclo, este trabalho introdutório ao estudo da Álgebra e
todas as dificuldades dos alunos inerentes ao trabalho com expressões algébricas eram-me
desconhecidas, pelo que as aprendizagens que realizei ao longo desta investigação me permi-
tiram um conhecimento aprofundado sobre o assunto, e uma melhor preparação profissional
para trabalhar estes aspectos centrais com os meus alunos.
Considerando que, no ano em que o estudo foi realizado, o novo Programa de Matemá-
tica não se encontrava ainda em vigor na escola onde lecciono, a realização desta proposta
pedagógica constituiu também uma oportunidade para estes realizarem um conjunto de tare-
fas significativas, que os auxiliou na preparação para o trabalho algébrico que irão iniciar
formalmente no 7.º ano. A revisão das orientações curriculares e a consulta de literatura sobre
106
o ensino e aprendizagem da Álgebra nos primeiros anos, levaram à realização de um trabalho
que penso reflectir vários aspectos deste tema matemático.
A proposta pedagógica foi constituída por tarefas principalmente exploratórias, dando
aos alunos a oportunidade de desenvolver gradualmente as capacidades relacionadas com o
pensamento algébrico, e nas quais estes desempenharam um papel activo e central. Estas
actividades proporcionaram um ambiente de partilha de ideias que envolveu verdadeiramente
os alunos na actividade matemática. Os alunos demonstraram-se sempre muito empenhados,
mesmo aqueles que, em outras aulas, pouco participavam nas actividades.
A utilização destas applets pode facilitar o trabalho do professor no decorrer da aula,
visto permitir aos alunos um trabalho mais rápido e mais autónomo. Porém, é necessário que
as fichas de trabalho que acompanham a utilização do computador tenham questões muito
específicas e que obriguem os alunos a aprofundar a análise da sequência, para que não se
trate apenas de uma manipulação virtual sem a existência de aprendizagem, ou do desenvol-
vimento das competências para o qual a Actividade foi desenhada inicialmente. Questões
sobre o raciocínio que os alunos realizaram para conseguirem encontrar um termo da sequên-
cia, além de constituírem uma forma do professor se certificar que estes realmente se debru-
çaram sobre a questão, auxiliam-nos a comunicar as suas ideias, desenvolvendo as suas capa-
cidades de comunicação matemática. A ficha de trabalho que acompanha o trabalho no com-
putador constitui também uma fonte de estudo para o aluno, o qual pode assim verificar o
trabalho realizado no computador, mesmo quando não tem a applet disponível. No entanto,
observa-se que para a maioria dos alunos, o enunciado escrito e a exigência da escrita acabou
por fazê-los descentrar-se da exploração da sequência que fizeram na applet.
Relativamente ao estudo das sequências e regularidades, penso tratar-se de um trabalho
importante para o desenvolvimento do pensamento algébrico e que os alunos devem ser
incentivados desde cedo à realização de actividades de exploração de padrões, de modo a
desenvolverem a sua capacidade de generalização. As dificuldades encontradas pelos alunos
na realização destas tarefas, tornou-me mais alerta para os cuidados a ter na elaboração de
propostas de trabalho para os meus alunos.
Em termos gerais, considero que a proposta apresentada tenha sido adequada. No entan-
to, para uma aplicação futura, existem algumas actividades cuja aplicação deveria ser repen-
sada. Nomeadamente, a Actividade 2 não poderá ser proposta aos alunos sem o apoio da
applet, visto que a sua realização se tornará morosa e desinteressante para os alunos, e não
será possível fazer uma discussão adequada dos resultados obtidos. A Actividade 5 também
não poderá ser apresentada aos alunos numa vertente tão aberta, sem que os alunos estejam
107
habituados a realizar este tipo de trabalho exploratório. Independentemente das ferramentas
utilizadas para a sua resolução, esta actividade necessita que o professor realize inicialmente
um acompanhamento mais próximo do trabalho dos alunos, dando-lhes exemplos das
sequências que podem encontrar e analisando essas sequências com eles, podendo depois
permitir alguma abertura na procura de outras sequências e sua análise.
A escolha pela metodologia de investigação adoptada deveu-se ao facto de se pretender
compreender a forma como os alunos pensavam e actuavam, através de uma descrição por-
menorizada dos seus raciocínios e respostas. Parece-me que esta metodologia foi adequada ao
estudo realizado, pois permitiu caracterizar o trabalho realizado por cada um dos grupos ana-
lisados, e obter dados relativos às estratégias utilizadas pelos alunos durante a resolução das
actividades apresentadas. No entanto, o envolvimento como professora nas tarefas de sala de
aula e o controlo dos comportamentos dos alunos mais agitados, levou a que o registo siste-
mático do trabalho dos alunos durante a aula se tornasse difícil de realizar. Procurei registar
os aspectos que considerei mais importantes no final de cada aula, salientando sempre os
aspectos positivos e negativos do desenvolvimento da actividade, as dificuldades apresenta-
das pelos alunos durante a sua realização e os aspectos mais importantes na discussão geral
da actividade. Estes dados foram depois cruzados com as gravações áudio dos alunos durante
a realização das tarefas e com os registos realizados nas fichas de trabalho.
Embora inicialmente se tivesse considerado a gravação vídeo do trabalho realizado
pelos alunos no computador através do programa AutoScreenRecorder, ocorreram alguns
problemas relacionados com a utilização desta aplicação que inviabilizou a análise dos dados
recolhidos. Em alguns dos dias a aplicação não funcionou correctamente, e nos dias em que
foi possível fazer a gravação, o funcionamento da aplicação tornava o computador muito len-
to, o que perturbava a sua utilização normal por parte dos alunos. Atendendo à irregularidade
dos dados recolhidos por este meio, ao grande volume de dados já obtidos através dos restan-
tes instrumentos de recolha de dados e ao curto espaço de tempo disponível para realizar a
análise, foi necessário decidir pela não utilização dos dados provenientes gravações vídeo,
embora sabendo que este meio poderia ajudar na caracterização de alguns aspectos específi-
cos do trabalho com as applets.
Considero que o trabalho realizado foi bastante positivo, pelos resultados alcançados ao
nível dos objectivos do estudo, mas principalmente pelo contributo que esta investigação deu
para a minha contínua formação como professora e pelo desenvolvimento pessoal alcançado
através das aprendizagens que realizei. Como professora, considero muito importante a análi-
se que fiz ao longo destes meses sobre a minha actuação e sobre a natureza das actividades a
108
propor aos alunos. A reflexão sobre os vários aspectos relacionados com ensino e aprendiza-
gem da Matemática levou-me a criticar mais a escolha das actividades a desenvolver em sala
de aula. A escolha das tarefas a realizar e das ferramentas a utilizar, devem ser alvo de uma
aprofundada análise por parte do professor, e levá-lo a considerar as competências que pre-
tende auxiliar os seus alunos a desenvolver com aquela proposta. A utilização do computador
pode trazer vantagens, mas é a análise e a discussão dos resultados obtidos que auxilia os
alunos no desenvolvimento das suas aprendizagens. É importante que os professores realizem
investigações sobre as suas experiências de ensino, de modo a desenvolverem uma maior
consciência sobre o impacto das suas práticas na aprendizagem dos seus alunos.
Embora o estudo realizado tenha permitido conhecer algumas das diferenças para a
aprendizagem dos alunos resultantes da utilização do computador em sala de aula, existem
alguns aspectos que precisam de ver estudados e analisados. Por exemplo, seria interessante
compreender quais as características das tarefas realizadas com o apoio do computador, que
tornam esta ferramenta uma mais-valia para a aprendizagem realizada pelos alunos.
No âmbito do desenvolvimento do pensamento algébrico e da capacidade de generaliza-
ção, o projecto MiGen6 levou à criação de um ambiente de aprendizagem que, de acordo com
os investigadores envolvidos, consegue envolver os alunos e ajudá-los a fazer a transição de
números para variáveis de uma forma mais significativa do que aquela conseguida com o
trabalho de papel e lápis. No entanto, a investigação sobre estes temas poderá contribuir para
perceber quais as características que tornam este ambiente mais eficiente, em termos da
aprendizagem realizada pelos alunos, de modo a que pudessem ser aplicadas em ambientes de
aprendizagem em outras áreas da Matemática.
Espero que este estudo possa servir de ponto de partida para outras investigações no
âmbito da utilização das TIC em contexto educativo e suscite a curiosidade de outros profes-
sores para reflectirem sobre a forma como as suas práticas e escolhas pedagógicas influen-
ciam a aprendizagem dos seus alunos, numa altura em que se considera tão importante a utili-
zação das tecnologias em sala de aula.
6 http://migenproject.wordpress.com/
109
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=AFQjCNFTfbASlsSwPW75SKXquA8nSdondQ.
116
117
ANEXOS
118
119
N.º da Aula Data Sumário Objectivos Tarefas a realizar
1 e 2 13/16 de
Abril
Introdução ao estudo
da Álgebra
Padrões e sequências
repetitivas
Continuar a representação de uma sequência repetitiva;
Identificar a unidade que se repete ciclicamente;
Descrever uma relação entre os termos da sequência e a sua ordem (com base no
comprimento da unidade que se repete);
Relacionar o elemento do padrão repetitivo com a sua ordem;
Utilizar a relação entre o termo e a sua ordem na sequência para indicar o termo de
uma ordem (geralmente mais distante);
Actividade 1 – Introdução
Actividade 2 – Contas num colar
3 e 4 20/23
Abril
Sequências Repetiti-
vas – contas num
colar
Identificar a unidade que se repete ciclicamente;
Descrever uma relação entre os termos da sequência e a sua ordem (com base no
comprimento da unidade que se repete);
Relacionar o elemento do padrão repetitivo com a sua ordem;
Representar, analisar e descrever padrões através de palavras e tabelas;
Usar a relação entre o termo e a sua ordem na sequência para indicar o termo de
uma ordem (geralmente mais distante) e para indicar a ordem de um termo dado;
Expressar essa relação em linguagem natural;
Actividade 2 – Contas num colar
5 e 6 27/30 de
Abril
Sequências Crescen-
tes - Exploração de
padrões visuais e
numéricos
Analisar e descrever padrões e regularidades e formular generalizações a partir de
contextos numéricos;
Indicar a lei de formação de uma sequência numérica;
Usar a relação entre o termo e a sua ordem na sequência para indicar o termo de
uma ordem (geralmente mais distante) e para indicar a ordem de um termo dado;
Expressar essa relação em linguagem natural;
Actividade 3 – Números em caixa
Actividade 4 – Sequências numé-
ricas
Anexo 1 – Planificação
119
120
7 e 8 11/14 de
Maio
Continuação do estu-
do de padrões e
sequências crescentes
Analisar e descrever padrões e regularidades e formular generalizações a partir de
contextos geométricos e numéricos;
Explorar as relações entre a ordem de uma figura na sequência e o número de
objectos que a constitui;
Representar, analisar e descrever padrões através de palavras, tabelas e expressões
simbólicas;
Expressar essa relação em linguagem natural e simbólica (generalizar);
Actividade 5 – Quadrado 10x10
Actividade 6 – Números Quadra-
dos
9 e 10 25/28 de
Maio
Conclusão do estudo
de padrões e sequên-
cias crescentes
Explorar as relações entre a ordem de uma figura na sequência e o número de
objectos que a constitui;
Representar, analisar e descrever padrões através de palavras, tabelas e expressões
simbólicas;
Usar a relação entre o termo e a sua ordem na sequência para indicar o termo de
uma ordem (geralmente mais distante) e para indicar a ordem de um termo dado;
Expressar essa relação em linguagem natural e simbólica (generalizar);
Actividade 7 – Mesas e cadeiras
Actividade 8 – Formações em V
120
121
Anexo 2 – Screenshots das applets utilizadas
Sequências Simples – Applet utilizada na Actividade 1
122
Contas num colar – Applet utilizada na Actividade 2
123
124
125
Problemas com pontos – Applet utilizada na Actividade 3
126
Applet utilizada na Actividade 4
127
Applet utilizada na Actividade 5
Applet utilizada na Actividade 6
128
Applet utilizada na Actividade 7
Applet utilizada na Actividade 8
Activida
Nesta
outras para
que se trat
trata de um
Vamo
No am
Será s
Quan
1. O
2.
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Anexo 3 –
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130
Realiza no computador as questões colocadas.
Depois de cada exercício clica no botão “validar” para verificares a tua resposta.
a. Responde também aqui a essas questões.
Que figura geométrica ocupará a 51ª posição? Explica como pensaste.
Qual será a figura que se encontra na 50ª posição? E pela 49ª? Explica como pensaste.
3. Clica agora sobre “Tarefa 3” do lado esquerdo do ecrã.
Observa com atenção a sequência que aparece no ecrã, semelhante à abaixo representada:
2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 …
a. Qual a regra de formação desta sequência?
Explica como pensaste.
b. Realiza no computador as questões colocadas.
Depois de cada exercício clica no botão “validar” para verificares a tua resposta
c. Responde também aqui a essas questões.
Qual o 9º elemento da sequência? _____________________________________________
Sem continuar a escrever a sequência, diz, justificando, qual é o 22º elemento da sequência?
131
Tarefa 2 – Contas num colar
No ambiente de trabalho, faz um duplo clique sobre o ícone que diz “Actividades de Álgebra”.
Quando abrir a janela com a lista das actividades a realizar, clica em “Actividade 2 – Contas num colar”.
Lê o texto com atenção e depois clica em “fazer” para continuares. Resolve as tarefas apresentadas uma a uma.
Para preencheres o cordel, clica sobre as peças pela ordem que achares correcta e depois clica no botão “Preencher”. Caso te enganes ou erres, clica no botão “Limpar” e tenta de novo.
Tarefa 1 ‐ Responde às questões apresentadas nos espaços abaixo.
a. Quantos padrões encontraste que, se repetidos, tornam a peça 102 numa peça azul? Dese‐
nha‐os.
b. O que têm de comum as várias soluções que encontraste?
Tarefa 2 – Onde diz “Tarefa a realizar”, escolhe “Tarefa 2”. Realiza a actividade apresentada.
Responde aqui às questões colocadas.
a. Com o padrão: amarelo, amarelo, amarelo, rosa; consegues prever qual será a cor da peça
n.º 20? Explica como pensaste.
b. E se for rosa, amarelo, amarelo, amarelo, qual será a cor da peça número 21? Porquê?
c. Experimenta agora o padrão amarelo, rosa, amarelo, amarelo; prevê as cores das peças
número 41, 42, 43 e 44.
d. Voltemos ao padrão inicial. Prevê quais as cores das peças número 99, 100, 101 e 102. Expli‐
ca como pensaste.
Tarefa 3 – Onde diz “Tarefa a realizar”, escolhe “Tarefa 3”. Realiza a actividade apresentada.
Responde aqui às questões colocadas.
a. Quantos padrões diferentes consegues criar com as peças disponíveis, de
modo a que as peças números 20, 28, 36, 44, 52, 84 e 124 sejam vermelhas?
Desenha‐os.
132
Tarefa 4 – Onde diz “Tarefa a realizar”, escolhe “Tarefa 4”. Realiza a actividade apresentada.
Responde aqui às questões colocadas.
a. Existe mais que uma solução em que as peças 50, 100 e 150 sejam azuis?
Desenha as soluções.
Tarefa 5 – Onde diz “Tarefa a realizar”, escolhe “Tarefa 5”. Realiza a actividade apresentada.
Responde aqui às questões colocadas.
a. Como ficou o padrão de modo a que a peça número 15 seja vermelha, a número 28 verde, a
número 62 amarela, a número 72 castanha, a número 121 azul e a número 131 cor‐de‐rosa?
b. Porque será que a cor da peça 121 é igual àquela que ficou em número 1?
133
Actividade 3 – Números em caixa
No ambiente de trabalho, faz um duplo clique sobre o ícone que diz “Actividades de Álgebra”.
Quando abrir a janela com a lista das actividades a realizar, clica em “Actividade 3 – Números em caixa”.
Para começares precisas de ver a sequência correcta. Clica na caixa por baixo de “escolhe uma sequência”, e escolhe a que diz “números caixa”. Aparece uma sequência semelhante à abaixo apresentada.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Responde às questões apresentadas por baixo da sequência. Para dares as tuas respostas, escreve o resultado no rectângulo branco e depois prime a tecla Enter para verificares se está correcto. À medida que fores acertando nas questões, vai clicando no botão “Pergunta seguinte” para pode‐res continuar a responder.
Responde agora às seguintes questões:
a. Em que são parecidas estas figuras?
b. Em que são diferentes?
c. Desenha, na sequência, as próximas duas figuras.
d. Para desenhar a primeira figura precisas de ____ pontos.
Para desenhar a segunda figura precisas de ____ pontos.
Para desenhar a terceira figura precisa de ____ pontos.
Para desenhar a quarta figura precisas de ____ pontos.
Para desenhar a quinta figura precisas de ____ pontos.
Para desenhar a sexta figura precisas de ____ pontos.
e. Com 60 pontos é possível obter um número em caixa? Justifica o teu raciocínio.
f. E com 61 pontos, posso obter um número em caixa? Justifica o teu raciocínio.
g. Desenha a figura que surgirá na 25ª posição.
134
h. Preenche a tabela relacionando o número de pontos com cada figura.
Figura n.º N.º de Pontos
1
2
3
4
10
25
i. Existe alguma relação entre o número de pontos utilizado com a posição ocupada pela figura?
(entre os dados da primeira coluna e os da segunda coluna?)
j. Consegues encontrar uma regra geral para descobrir o número de pontos para qualquer figura
(posição)?
135
Actividade 4 – Sequências numéricas
No ambiente de trabalho, faz um duplo clique sobre o ícone que diz “Actividades de Álgebra”.
Quando abrir a janela com a lista das actividades a realizar, clica em “Actividade 4 – Sequências Numéri‐
cas”.
Já usaste esta actividade antes, mas agora vamos realizar as restantes tarefas.
1. Do lado esquerdo da janela, selecciona a “Tarefa 4”.
Para cada sequência apresentada, descobre os 4 termos seguintes e valida as tuas respostas.
Só é possível validar de forma correcta cada uma das tuas respostas, se tiveres os 4 números correc‐
tos.
Depois de validares as tuas respostas, regista‐as aqui:
a. 1, 2, 4, 7, 11,
b. 3,6,11,18,27,
c. 3, 4, 5, 6,
d. 3, 6, 9, 12,
e. 3, 7, 11, 15,
f. 5, 10, 20, 40,
g. 2, 4, 8, 16,
h. 10, 14, 18, 22,
2. Agora selecciona a “Tarefa 5” do lado esquerdo da janela e responde às questões colocadas.
a. Regista também aqui os 5 termos seguintes da sequência:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, …
b. Qual a relação existente entre os números da sequência?
c. Diz se o número 450 fará parte desta sequência. Explica como pensaste.
d. Como podes representar qualquer elemento desta sequência?
136
137
Actividade 5 – Regularidades no quadrado de 10 por 10
No ambiente de trabalho, faz um duplo clique sobre o ícone que diz “Actividades de Álgebra”.
Quando abrir a janela com a lista das actividades a realizar, clica em “Actividade 5 – Quadrado 10 x 10”.
Na tabela apresentada pinta, com duas cores diferentes, os números pares e os números impares. Para
escolheres a cor para pintar, clica sobre o quadrado da cor correspondente. Depois clica sobre os núme‐
ros que queres pintar com essa cor.
Nota: Se te enganares, clica sobre o ícone da borracha e depois sobre o número onde te enganaste. Podes também clicar no botão “Limpar” se quiseres recomeçar do início.
Podes registar na tabela seguinte como ficou a tua tabela no computador.
De seguida vais pintar os múltiplos de 2, 3, 4 e 5.
Pinta cada um numa tabela diferente. Para tal, selecciona do lado esquerdo a opção para cada um
dos múltiplos, e pinta com uma cor à escolha os múltiplos correspondentes.
a. O que observas de especial nas tabelas depois de pintares os vários múltiplos?
b. Compara com a tabela dos pares e impares. Verificas alguma coincidência?
c. Regista nas tabelas seguintes os múltiplos que pintaste no computador.
138
d. Procura agora outras regularidades nos números da tabela.
Para tal, selecciona as opções do lado esquerdo que indicam “Livre...” e procura os teus padrões,
pintando‐os.
Podes também registar as regularidades que encontraste nas tabelas seguintes. Não te esqueças
de registar ao lado de cada tabela o que significam os teus padrões.
139
Actividade 6 – Números quadrados
No ambiente de trabalho, faz um duplo clique sobre o ícone que diz “Actividades de Álgebra”.
Quando abrir a janela com a lista das actividades a realizar, clica em “Actividade 6 – Números quadra‐
dos”.
Para começares precisas de ver a sequência correcta. Clica na caixa por baixo de “escolhe uma sequência”, e escolhe a que diz “números quadrados”.
Aparece uma sequência semelhante à abaixo apresentada.
Responde às questões apresentadas por baixo da sequência. Para dares as tuas respostas, escreve o resul‐
tado no rectângulo branco e depois prime a tecla Enter para verificares se está correcto.
À medida que fores acertando nas questões, vai clicando no botão “Pergunta seguinte” para poderes con‐
tinuar a responder.
Responde agora às seguintes questões:
a. O que têm as figuras em comum?
b. Regista junto à sequência a figura seguinte.
c. Com 49 pintas é possível construir um quadrado semelhante aos anteriores? Justifica o teu
raciocínio.
d. O quadrado com 49 pintas iria ocupar a posição ____. Porquê?
e. Quantas pintas tem a figura da 50ª posição? Como chegaste a essa conclusão?
f. Imagina que terias de explicar a um amigo teu como tinha de fazer para descobrir quantas pintas
existem para qualquer figura da sequência acima apresentada. Como o farias?
g. Consegues encontrar uma regra que te permita descobrir quantas pintas existem em qualquer
figura?
Nº de pintas = _____________
140
141
Actividade 7 – Mesas e cadeiras
No ambiente de trabalho, faz um duplo clique sobre o ícone que diz “Actividades de Álgebra”.
Quando abrir a janela com a lista das actividades a realizar, clica em “Actividade 8 – Mesas e Cadeiras”.
Imagina que tens uma amiga que vai realizar uma festa de aniversário. Para tal precisa de calcular quan‐
tas mesas irá precisar. Imagina as seguintes situações:
a. Desenha as próximas duas figuras da sequência.
Confirma no computador se as tuas figuras estão correctas. Para tal, clica no botão “Aumen‐
tar” de modo a que a figura apresentada fique com o aspecto da Figura 2 representada aci‐
ma. Clica depois mais 2 vezes para verificares como serão as 2 figuras seguintes da sequên‐
cia.
b. A tua amiga apenas possui em casa um total de oito mesas.
Para quantas pessoas terá lugar? Explica como pensaste.
Confirma no computador se acertaste. Para tal, clica no botão “Aumentar” até teres uma
figura com o comprimento de 8 mesas.
c. Completa a afirmação:
Por cada mesa que a Maria acrescentar irá obter ____ lugares sentados.
d. Sabendo que estarão 48 convidados para a festa, de quantas mesas irá precisar?
Esse número de mesas, iria ocupar a figura n.º ________
e. Constrói uma tabela, onde relaciones o número de mesas com o número de cadeiras (luga‐
res)?
f. Será que consegues encontrar uma regra que te permita saber para qualquer número de
mesas, quantas cadeiras serão precisas?
142
143
Actividade 8 – Formações em V
No ambiente de trabalho, faz um duplo clique sobre o ícone que diz “Actividades de Álgebra”.
Quando abrir a janela com a lista das actividades a realizar, clica em “Actividade 8 – Formações em V”.
Aparece uma sequência semelhante à abaixo apresentada.
Responde às questões apresentadas por baixo da sequência. Para dares as tuas respostas, escreve o resul‐
tado no rectângulo branco e depois prime a tecla Enter para verificares se está correcto.
À medida que fores acertando nas questões, vai clicando no botão “Pergunta seguinte” para poderes con‐
tinuar a responder.
Responde agora às seguintes questões:
a. Desenha as duas figuras seguintes da sequência.
b. Indica os cuidados que tiveste para poderes continuar o padrão.
c. Qual será a posição desta figura? Justifica a tua resposta.
d. Qual será a posição da figura que utiliza 21 pontos? Explica como pensaste.
e. Quantos pontos terá a figura n.º 85? Explica como pensaste.
f. É possível fazer uma figura com 35 778 pontos? Justifica a tua resposta.
g. Será que consegues encontrar o número total de pássaros para qualquer formação em “V”? Justi‐
fica a tua resposta.
144
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Anexo 4 – Fichas de trabalho propostas ao 5.ºB
Actividade 1 ‐ Introdução
1. Observa a sequência que se segue:
a. Desenha os próximos quatro elementos da sequência.
b. Qual o elemento que ocupa a posição 8 da sequência?
c. Sem desenhar, diz qual o elemento que ocupa a posição 21 da sequência?
Explica como chegaste a essa conclusão.
d. Como se poderá explicar a regra de formação desta sequência?
2. Observa a sequência abaixo apresentada:
a. Desenha a sequência até à 15ª figura.
b. Que figura geométrica ocupará a 51ª posição? Explica como pensaste.
c. Qual será a figura que se encontra na 50ª posição? E pela 49ª? Explica como pensaste.
3. Observa a sequência seguinte:
2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 …
a. Qual a regra de formação desta sequência?
Explica como pensaste.
b. Qual o 9º elemento da sequência?
_______________________________________________________
c. Sem continuar a escrever a sequência, diz, justificando, qual é o 22º elemento da sequência?
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Actividade 2 – Contas num colar
Fica sempre mais bonito um colar colorido do que um com apenas uma cor. Repara no padrão apresentado no
seguinte cordel:
Como podes verificar, trata‐se da repetição de 5 peças ao longo do fio: primeiro vermelho, depois verde,
depois azul, depois verde outra vez e novamente verde.
Vamos fazer colares coloridos como este!
2. Constrói um colar teu com as cores disponíveis, escolhendo primeiro que padrão irás repetir ao longo
de todo o colar. Mas atenção: tenta criar um padrão de tal modo que a peça 102 seja azul.
a. Quantas soluções haverá?
b. O que têm de comum as várias soluções que encontraste?
3. Cria agora o padrão: amarelo, amarelo, amarelo, rosa; consegues prever qual será a cor da peça núme‐
ro 20?
Explica como pensaste.
a. E se for rosa, amarelo, amarelo, amarelo, qual será a cor da peça número 21? Porquê?
b. Experimenta agora o padrão amarelo, rosa, amarelo, amarelo; prevê as cores das peças número
41, 42, 43 e 44.
c. Voltemos ao padrão inicial. Prevê quais as cores das peças número 99, 100, 101 e 102. Explica
como pensaste.
4. Agora és tu quem escolhe quantas peças terá o padrão inicial, a partir das peças abaixo
disponíveis. Apenas terás de criar o padrão de modo a que as peças números 20, 28, 36,
44, 52, 84 e 124 sejam vermelhas.
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a. Existem vários padrões possíveis; quantos padrões diferentes consegues criar?
5. Cria agora um padrão de 9 peças com as abaixo disponíveis. Cria‐o de forma a que as
peças 50, 100 e 150 sejam azuis.
a. Existe mais que uma solução?
6. Agora cria um padrão com as cores disponíveis abaixo de modo a que a peça número 15 seja
vermelha, a número 28 verde, a número 62 amarela, a número 72 castanha, a número 121
azul e a número 131 cor‐de‐rosa.
a. Porque será que a cor da peça 121 é igual àquela que ficou em número 1?
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Questão 1
Questão 2
Questão 3
Questão 4
Questão 5
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Actividade 3 – Números em caixa
Observa a sequência de figuras abaixo apresentada:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
a. Em que são parecidas estas figuras?
b. Em que são diferentes?
c. Desenha, na sequência, as próximas duas figuras.
d. Para desenhar a primeira figura precisas de ____ pontos.
Para desenhar a segunda figura precisas de ____ pontos.
Para desenhar a terceira figura precisa de ____ pontos.
Para desenhar a quarta figura precisas de ____ pontos.
Para desenhar a quinta figura precisas de ____ pontos.
Para desenhar a sexta figura precisas de ____ pontos.
e. Com 60 pontos é possível obter um número em caixa? Justifica o teu raciocínio.
f. E com 61 pontos, posso obter um número em caixa? Justifica o teu raciocínio.
g. Desenha a figura que surgirá na 25ª posição.
h. Preenche a tabela relacionando o número de pontos com cada figura.
Figura n.º N.º de Pontos
1
2
3
4
10
25
i. Existe alguma relação entre o número de pontos utilizado com a posição ocupada pela figura?
(entre os dados da primeira coluna e os da segunda coluna?)
j. Consegues encontrar uma regra geral para descobrir o número de pontos para qualquer figura
(posição)?
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Actividade 4 – Sequências numéricas
1. Descobre os quatro termos seguintes em cada uma das sequências:
i. 1, 2, 4, 7, 11, …., …., …., ….
j. 3,6,11,18,27, …., …., ….., …..
k. 3, 4, 5, 6, …., …., …., ….
l. 3, 6, 9, 12, …., …., …., ….
m. 3, 7, 11, 15, …., …., …., ….
n. 5, 10, 20, 40, …., …., …., ….
o. 2, 4, 8, 16, …., …., …., ….
p. 10, 14, 18, 22, …., …., …., ….
2. Observa a seguinte sequência:
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, …
a. Escreve os cinco seguintes números da sequência.
b. Qual a relação existente entre os números da sequência?
c. Diz se o número 450 fará parte desta sequência. Explica como pensaste.
d. Como podes representar qualquer elemento desta sequência?
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Actividade 5 – Regularidades no quadrado de 10 por 10
a. Na tabela acima, pinta a uma cor os números pares e a outra cor os números ímpares.
b. Pinta nas tabelas seguintes os múltiplos de 2, 3, 4, e 5. O que observas?
Compara com a tabela que pintaste acima. Verificas alguma coincidência?
156
c. Procura agora outras regularidades nos números da tabela. Utiliza as tabelas abaixo.
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Actividade 6 – Números quadrados
Observa a sequência:
a. O que têm as figuras em comum?
b. Desenha a figura seguinte da sequência.
c. Com 49 pintas é possível construir um quadrado semelhante aos anteriores? Justifica o teu
raciocínio.
d. O quadrado com 49 pintas iria ocupar a posição ____. Porquê?
e. Quantas pintas tem a figura da 50ª posição? Como chegaste a essa conclusão?
f. Imagina que terias de explicar a um amigo teu como tinha de fazer para descobrir quantas
pintas existem para qualquer figura da sequência acima apresentada. Como o farias?
g. Consegues encontrar uma regra que te permita descobrir quantas pintas existem em qual‐
quer figura?
Nº de pintas = _____________
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Actividade 7 – Mesas e cadeiras
A Maria decidiu realizar uma festa de aniversário.
Começou a pensar no número de mesas que iria necessitar.
a. Desenha as próximas duas figuras da sequência.
b. A Maria apenas possui em casa um total de oito mesas.
Para quantas pessoas terá lugar? Explica como pensaste.
c. Completa a afirmação: “Por cada mesa que a Maria acrescentar irá obter ____ lugares sentados“.
d. Sabendo que estarão 48 convidados para a festa, de quantas mesas irá precisar?
Esse número de mesas, iria ocupar a figura n.º ________.
e. Completa a seguinte tabela, onde relaciones o número de mesas com o número de cadeiras
(lugares).
f. Será que consegues encontrar uma regra que te permita saber para qualquer número de mesas,
quantas cadeiras serão precisas?
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Actividade 8 – Formações em V
Já alguma vez viste pássaros voar em forma de “V”?
Podes fazer uma sequência de padrões em “V” utilizando pontos.
Os primeiros três elementos encontram‐se abaixo indicados.
a. Desenha as duas figuras seguintes da sequência.
b. Indica os cuidados que tiveste para poderes continuar o padrão.
c. Qual será a posição desta figura? Justifica a tua resposta.
d. Qual será a posição da figura que utiliza 21 pontos? Explica como pensaste.
e. Quantos pontos terá a figura n.º 85? Explica como pensaste.
f. Será possível fazer uma figura com 35 778 pontos? Justifica a tua resposta.
g. Será que consegues encontrar o número total de pássaros para qualquer formação em “V”? Justi‐
fica a tua resposta.
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Anexo 5 – Pedido de autorização ao Director da Escola
Exm. Senhor
Director da Escola Básica 2,3 D. Pedro II, na Moita
Eu, Cláudia Isabel Ribeiro Cunha, Professora do Quadro de Agrupamento venho por
este meio solicitar autorização para desenvolver, em 2 turmas de 5.º ano desta escola, o pro-
jecto de investigação “A utilização de ferramentas tecnológicas e os processos de aprendiza-
gem: um estudo na introdução à Álgebra no 2.º ciclo”. Este projecto está a ser desenvolvido
no âmbito do curso de Mestrado em Educação, que estou a realizar no Instituto de Educação
da Universidade de Lisboa, sob a orientação da Professora Doutora Hélia Oliveira, e tem
como objectivo compreender as diferenças nos processos de resolução dos alunos que utili-
zam as TIC nas suas aulas relativamente àqueles cuja aprendizagem se dá num ambiente mais
‘tradicional’.
A recolha de dados para a concretização do projecto decorrerá durante os 2.º e 3.º perío-
dos, em especial durante os meses Março e Abril, irá incidir sobre duas turmas de 5.º ano, e
terá como instrumentos: (i) observação directa; (ii) gravação áudio/vídeo da conversação que
ocorrer entre os alunos; (iii) trabalhos produzidos pelos alunos; (iv) entrevistas a alguns dos
alunos; (v) gravação dos passos utilizados para a resolução das tarefas no computador.
Será solicitada autorização aos Encarregados de Educação dos alunos das turmas selec-
cionadas para a participação neste projecto de investigação e será salvaguardado o anonimato
dos alunos envolvidos.
Pedindo deferimento a esta minha solicitação e agradecendo desde já a atenção que se
digne dispensar a este assunto, subscrevo-me,
Atenciosamente
____________________________ (Cláudia Cunha)
23 de Fevereiro de 2010
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Anexo 6 – Pedido de autorização aos Encarregados de Educação
Exmo.(a) Senhor(a)
Encarregado(a) de Educação
Eu, Cláudia Cunha, pretendo desenvolver, nas aulas de Estudo Acompanhado da turma do
seu educando o projecto de investigação “A utilização de ferramentas tecnológicas e os processos
de aprendizagem: um estudo na introdução à Álgebra no 2.º ciclo”. Este projecto está a ser desen-
volvido no âmbito do curso de Mestrado em Educação, que estou a realizar no Instituto de Edu-
cação da Universidade de Lisboa, e tem como objectivo compreender as diferenças nos processos
de resolução dos alunos que utilizam as TIC nas suas aulas relativamente áqueles cuja aprendiza-
gem se dá num ambiente mais ‘tradicional’.
A recolha de dados, para a concretização do projecto, decorrerá entre os meses de Março e
Abril e irá incidir sobre as actividades realizadas por toda a turma e, em particular, sobre 4 alunos
que serão previamente seleccionados. Nestas aulas será realizada a gravação áudio e vídeo das
actividades realizadas por aqueles alunos. Poderá ainda ser necessário realizar pequenas entrevis-
tas com os alunos seleccionados.
A realização deste estudo não irá interferir com a leccionação da área curricular de Estudo
Acompanhado, visto que as actividades a desenvolver estão relacionadas com a disciplina de
Matemática.
Assim, solicito a sua autorização para que o seu educando possa participar neste projecto
caso ele seja um dos seleccionados e manifeste interesse em participar. Saliento que será mantido
o total anonimato em relação à origem dos dados recolhidos e as gravações efectuadas servirão
apenas para facilitar os registos das actividades realizadas, sendo posteriormente eliminadas.
Agradeço desde já a atenção dispensada.
Atenciosamente,
(Cláudia Cunha)
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Eu, ____________________________________, encarregado(a) de educação do(a)
aluno(a) ____________________________________, n.º ____, da turma ____ do 5.º ano de
escolaridade, tomei conhecimento da realização do projecto de investigação e autorizo / não
autorizo (riscar o que não interessa) a participação do meu educando no projecto de investigação
referido.
Moita, _____ de ____________ de 2010
O(A) Encarregado(a) de Educação
