Apostila 1 Séries Sequências

7/24/2019 Apostila 1 Sries Sequncias

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Objetivos Deste Captulo

1. Definir seqncias e sries

2. Derivar as frmulas para as sries de Maclaurin e Taylor

3. Construir aproximaes de sries a partir das definies das sries de Maclaurin e

Taylor

4. Usar os comandos do Maple para construir aproximaes de sries para funes

Comandos do Maple Usados Neste Captulo

sries(arctan(x), x, 10); Este comando e o seguinte so os dois comandos principais deste

captulo. O comando sriesexpande uma funo em torno de x = 0.

taylor(cos(x), x = -Pi/2, 10); O comando Taylorexpande uma funo em torno de x = a ao

invs de 0.

(D@@n)(p)(0) A ensima derivada da funo p, avaliada em 0.

[S]; Notao de lista. O objeto s uma list.

About(x); Encontrar informao a respeito da varivel x.

assume(x, real); additionally(x>1); O comando assumed ao Maple informaes sobre a

varivel, o comando additionallyadiciona informao extra.

assume(x, RealRange(0, open(1))); Outra maneira de dar informao ao Maple a respeito

de uma varivel. Especifica o domnio 10 x .

convert([S], list); Converte o objeto s para uma lista.

CAPTULO

8Seqncias e

Sries


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convert([S], set); Converte o objeto s para um conjunto.

eval(subs(x = 0, [seq(diff(sin(x),X$n), n = 1 .. 4)])); Um exemplo de comandos

previamente definidos usados todos de uma vez.

Int(1/x^2, x = 1 .. infinity) A forma inerte do comando integral, onde o intervalo da

integrao o infinito.

limit(n!/n^n, n = infinity); Um limite no infinito.

map(convert, L2, list); Aplica o processo convertem cada operando de L2, transformando

cada um em uma lista.

plot({pts}, style = point); O estilo do comandoplot que produz pontos ao em vez de uma

linha suave.S2[10]; Seleciona o 10oelemento de uma list.

seq(n^2, n =1 .. 20); Forma uma seqncia de 20 quadrados.

Sum(1/2^n, n = 1 .. infinity)= Sum(1/2^n, n = 1 .. infinity); A forma inerte do comando

sum, onde o nmero de termos infinito.unapply(t813a, x); Cria uma funo de uma

expresso.

value(SP); Avalia SP, onde SP uma Int, a Diff, ou alguma outra forma inerte de um

comando.

Seqncias e Sries

A idia de uma srie, uma soma de termos, importante pois possvel aproximar uma

funo usando um polinmio. Vamos aproximar a funo f(x) de um polinmio.

f(x) = a0+a1x+a2x2+a3x

3 (8-1)

Se adicionarmos mais termos ao polinmio, escolhendo os coeficientes que nos interessam,

a aproximao fica cada vez melhor. Isto nos leva idia de que a correspondncia entre a

funo f(x) e o polinmio pn(x) possa ser exata se adicionarmos um nmero infinito de

termos.


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Ns ainda no definimos o que significa a afirmao adicionarmos um nmero infinito de

termos, j que um processo de adio passo a passo claramente impossvel. Para que a

idia faa sentido, teremos de comear com um conceito mais simples, o da seqncia

infinita. Dando mais um passo para trs, vamos definir o que seqncia infinita, para da

chegarmos a somas infinitas. Uma seqncia melhor definida como uma funo cujo

domnio constitudo pelos inteiros positivos. Falando de forma menos informal, uma

seqncia qualquer listagem de nmeros ordenados, assim como os quadrados dos

nmeros naturais, ou seus cubos, tirados em ordem. Desde que haja uma frmula para a

seqncia, existe um comando do Maple, chamado seq, para gerar os termos. Por exemplo,

para gerar a seqncia de quadrados de 1 a 20, o comando

S := seq(n^2, n = 1 .. 20);

S := 1, 4, 6, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400

Existem dois conceitos relacionados no Maple em relao a seqncias. Objetos como o

acima so chamados de seqncias de expresso e a mesma coisa entre colchetes

chamada de lista. Logo,

>[S];

[ 1, 4, 6, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400]

uma lista. Seqncias e listas so quase a mesma coisa. As duas preservam a ordem de

seus elementos. Por outro lado, um conjunto uma coleo no ordenada de elementos. Seusarmos o comando convertpara transformar S em uma lista e um conjunto, assim

>convert([S], list);

[ 1, 4, 6, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400]


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>convert([S], set);

[ 1, 4, 6, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400]

parece que realizamos muito pouco. Agora, observe a diferena quando escolhemos a

seqncia cos((nPi)/2):

>S1 := seq(cos(n*Pi/2), n = 0 .. 20);

S1 := 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1,

A lista

>[S];

[1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, ]

Visto que o conjunto

convert([S1], set);

{0, -1, 1}

Converter S1 para uma lista preserva a ordem da seqncia e a lista retm todos os termos

da seqncia. O conjunto um objeto bem diferente. Ele contm apenas o elemento nico0, +1, e -1 . Logo, seqncias e listas so muito mais comunicveis no Maple, mas

nenhuma tem uma relao prxima com um conjunto. Todos os trs tm suas utilidades e o

comando convert permite que voc use a estrutura de informao que voc quiser.

Uma situao que requer a lista o comando plot. Para produzir o plot de uma seqncia de

quadrados, precisamos formar uma lista de pontos, ento usar a opo do plot style = point

para plotar os pontos em vez de linhas. Aqui esto os comandos. (veja tambm Figura 8.1).


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Figura 8.1 Plot gerado de uma lista de pontos.

>pts := seq([n, n^2], n = 0 .. 20);

pts := [0,0 ] , [1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 36], [7, 49], [8, 64], [9, 81], [10, 100],

[11, 121], [12, 144], [13, 169], [14, 196], [15, 225], [16, 256], [17, 289], [18, 324], [19,

361], [20, 400]

>plot({pts}, style = point);

Veja que temos vrios pontos a serem plotados, ento uma boa idia pr o nome ptsentrechaves para denotar o conjunto de pontos.

Seqncias Infinitas


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Uma funo cujo domnio N(o conjunto de nmeros naturais, que aqui pode incluir, s

vezes, o 0) tem um valor para cada nmero inteiro, logo uma seqncia infinita de

resultados. A seqncia infinita

f(0), f(1), f(2)...

geralmente escrita a0, a1, a2..., em ordem para simplificar a notao, A idia que existe

uma regra pela qual todo nmero da seqncia pode ser determinado.

fcil escolher o ensimo nmero da seqncia no Maple; vamos definir a seqncia S2:

>S2 := seq(n*(n^2-1)*-(3*n+2)/24, n = 0 .. 20);

S2 := 0, 0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500,

10812, 13566, 16815, 20615,

O 10o. nmero da seqncia S2

>S2[10];

870

Seqncias comeam em S2[1] em vez de S2[0]:

S2[0];

Error, invalid subscript selector

Para transformar uma seqncia em uma lista, simplesmente envolva-a em colchetes,

>L2 := [S2];


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L2 := [0, 0, 2, 11, 35, 85, 175, 322, 546, 870, 1320, 1925, 2717, 3731, 5005, 6580, 8500,

10812, 13566, 16815, 20615]

E para transformar em uma lista de listas, use o comando map:

>LL2 := map(convert, S2, list);

LL2 := [[0], [0], [2], [11], [35], [85], [175], [322], [546], [870], [1320], [1925], [2717],

[3731], [5005], [6580], [8500], [10812], [13566], [16815], [20615]]

Veja que voc tem de converter S2 para uma lista antes que possa transform-la em uma

lista de listas. O comando seguinte, que opera na seqncia S2, produz um erro:

>LL2 := map(convert, S2, list);

Error, wrong number (or type) of parameters in

function convert

Voc pode fazer uma tentativa de plotar uma seqncia infinita. Aps alguns ajustes

escala do eixo y, o seguinte comando

>plot(1/(10+n)+2, n = 0 .. infinity, y = 2 .. 2.1, style = point);

d imagem do comportamento da funo em seu domnio completo (Figura 8.2). Claro, no

h como medir os pontos neste grfico, mas ainda indica que a seqncia tem valoresprximos de 2 quando n cresce. (Perceba que a escala do eixo y 2 at 2.1; logo, a base do

eixo y est em 2.)

Seqncias podem ser definidas de expresses, funes e procedimentos. Um exemplo de

uma seqncia construda de um procedimento


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>f := n->n*(n+1)*(2*n+1)/6;

f := ( )( )12161

++ nnnn

>S3 := seq(f(n), n = 0 .. 15);

S3 := 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240

Os procedimentos do Maple podem ser to complexos quanto voc queira, porque voc

pode usar a linguagem de programao do Maple para construir procedimentos para tarefas

especificas que voc queira automatizar.No entraremos no tpico de construir

procedimentos personalizados neste livro, pois teramos de entrar numa extensa lista de

comandos e procedimentos. Como voc j viu, existem

Figura 8.2

comandos do Maple para todas as operaes elementares. No prximo captulo, voc ver

que existe um comando do Maple at para resolver equaes diferenciais.


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As ferramentas para estudar seqncias so basicamente as mesmas que voc usou

anteriormente para estudar funes contnuas:

(a)Plotagem: Usar a opo style = point pode ser mais instrutiva

(b)Limites: Uma seqncia infinita tende a um limite se todos os termos exceto os

primeiros permaneam prximos do ponto limite, o qual voc olhando o grfico que

voc plotou em (a). Chame este ponto limite de L. Voc pode escolher algum

nmero pequeno, como 10^-100 e todos os termos aps o ensimo (voc ter de

calcular o valor de n) estaro dentro de 10^-100 de L.

Exemplo 8-1

Examine a seqncia an=n!/n^npara encontrar o limite quando n se aproxima do infinito.

Figura 8.3Inferindo o limite denn

n!do grfico dos pontos na seqncia.

Resoluo:

(a) Plote a seqncia


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>plot([seq([n, n!/n^n], n = 1 .. 10)], style = point);

A seqncia decrescente e os termos so todos positivos. Estes dois fatos mais a forma do

grfico sugerem que a seqncia tem o limite zero (Figura 8.3). Para confirmar esta

suposio, use o comando limit:

>limit(n!/n^n, n = infinity);

0

Sua vez.Ache o limite de

a[n] = a^(1/n), a>0;

aaan n limit(a^(1/n), n = infinity);

1Sries

A soma de uma seqncia de nmeros chamada srie. Existem dois tipos comuns de

sries que trataremos primeiro.


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Sries Aritmticas

A srie

Sn= a+(a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ... +(a+nd) = ( )=

+

n

k

kda0

(8-2)

chamada srie aritmtica. A soma desta srie facilmente achada aps observarmos a

soma dos nmeros naturais 1+2+3+4+5+ ... +n =( )

2

1+nnReorganizando os termos na

equao 8-2 temos

Snna+d( ) ( )( )

=

++=

++=

n

k

ndannndnak

0 2

21

2

1 (8-3)

Para o Maple este resultado fcil de derivar., apenas emita os comandos

>a1 := (sum(a+k*d, k = 0 .. n));

a1 := ( ) ( ) ( )dnndna 12

11

2

11 2 ++++

a2 := simplify(a1);

a2 := dndnaan21

21 2 +++

Talvez voc queira expandir o lado direito da equao 8-3 para mostrar que se reduz a a2.


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Sries Geomtricas

Numa srie geomtrica, cada termo uma constante mltipla do termo que o precede. A

forma geral de uma srie geomtrica

gn=a+ar+ar2+ar

3+ ...+ar

n=

=

n

k

kar0

(8-4)

A soma gn pode ser expressada em uma forma compacta, a qual derivada multiplicando

cada termo da srie por r e subtraindo estes termos de gn.

gn=a+ar+ar2+ar3+ ...+arn-1+arn

rgn=a+ar+ar2+ar3+ ...+arn-1+arn+arn+1

gn-rgn=a-+arn+1

gn= ( )

( )r

ra n

+

1

1 1 (8-5)

As frmulas dos somatrios das sries aritmticas e sries geomtricas deveriam j ser

familiares do curso de pr-clculo.

Sries Infinitas

A importncia de seqncias infinitas est no fato de que elas nos permitem dar sentido

idia de uma soma infinita. Estes objetos so chamados de sries infinitas. Se pedirem para

voc somar a srie infinita


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16

1

8

1

4

1

2

1+++ ..?

voc pode ficar tentado a responder, como Zeno o fez h 2500 anos atrs, que no h

resposta, pois leva um tempo finito para cada soma e o nmero de somas pedido infinito.

Ignorando a objeo de Zeno por um momento, vamos plotar as somas infinitas.

>plot([seq([n, sum(2^(-r), r = 1 .. n)], n = 1 .. 10)], style = point);

Vemos que o limite parece ser 1 (Figura 8.4).

Agora, vamos objeo de Zeno: Descartemos a noo de tempo do problema definindo a

soma de uma srie infinita como o limite da seqncia de somas parciais quando n se

aproxima do infinito. No precisamos de nada alm disto para expressar o que queremos

dizer com soma de termos infinitos. A necessidade para seqncias infinitas est

estabelecida: elas nos permitem definir o que significa uma soma infinita.

Figura 8.4 Aproximao grfica do limite de uma soma.


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Exemplo 8-2

Ache a soma da srie infinita

=1 21

nn

Resoluo: Ns j vimos que os pontos que representam a soma parcial parecem convergir

para 1. Vamos deixar o Maple trabalhar a soma:

>Sum(1/2^n, n = 1 .. infinity) = sum(1/2^n, n = 1 .. infinity);

=1 2

1

nn

=1

Perceba o uso da forma inerte e o da letra minscula do comando sum. que permite a

notao somatria e o resultado. Na verdade, voc poderia fazer o Maple calcular a soma

parcial para voc. Copie o comando e substitua a palavra infinity por r.

>Sum(1/2^n, n = 1 .. r) = sum(1/2^n, n = 1 .. r);

=1 2

1

nn

=( )

12

12

1

+

+r

O somatrio 1, menos um termo contendor

2

1. No limite, este ltimo termo o, logo, a

soma at o infinito realmente 1.

Sua vez. Ache o somatrio de 1+x+x2+x3+? E demonstre que ele se torna infinitamente

grande se x >= 1.

Dica:Comece com os seguintes comandos do Maple;


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>assume(x, RealRange(0, Open(1))); (Esta uma maneira de dizer 0S := value(SP); (avalia a soma)

>Limit(S, k = infinity) = limit(S, k = infinity); (Acha o limite da soma quando o nmero

de termos vai para o infinito)

Resposta:_________________________________________________________________

Exemplo 8-3: Convergncia

Ache o somatrio da srie ?4

1

3

1

2

11 ++++

Resoluo: Os termos desta srie tm o limite 0; ento, voc pode ser levado concluso de

que os termos aps um determinado nmero contribuem muito pouco. Mas este no o

caso. No importa o quo longe na srie voc v; voc sempre pode ter termos o bastante

de forma que a soma acumulada seja aumentada em 1.

>SP := Sum(1./n, n = r .. k);

SP := =

k

rn n

.1

Digamos que r seja 100 e experimente achar o nmero de termos que so necessrios para

somar at um nmero maior que 1.


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>value(subs(r = 100, k = 270, SP));

1.000110815

Sua vez.De quantos termos voc precisa para chegar a um nmero maior que 1, comeando

com a1.000= 1/1000? Use o Maple.

Resposta:_________________________________________________________________

O exemplo 8-3 mostra no ser suficiente que os termos na soma tenham limite em umasrie infinita para ter uma soma finita. No apenas isto, mas, lembre-se tambm de que

estas sries forma definida em termos de uma seqncia infinita e seqncias so objetos

ordenados. Veremos em breve que a ordem dos termos pode ser importante em algumas

sries.

Re-arranjando os Termos

Considere a srie ?6

1

5

1

4

1

3

1

2

11 +++ Definida por

>Sk := Sum ((-1)^(n+1)/n, n = 1 .. k);

Sk :=( )( )

=

+

k

n

n

n1

11

Formando a soma 1+ (-1/2+1/3) + (-1/4+1/5) ..., voc v que todos os termos aps o

primeiro so negativos, logo, a soma tem de ser menor que 1. Mas escrevendo a soma da

forma: (1-1/2) + (1/3-1/4) ..., todos os termos nos parnteses so positivos, logo a soma tem

de ser maior que 0. Porm re-agrupando os termos em partes positivas e negativas, ns

temos 1+1/3 + 1/5 + 1/7 +...-(1/2 + + 1/6 + ...). As duas sries so divergentes, resultam

no infinito-infinito, um resultado sem sentido. Logo, a ordem na qual os termos esto


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posicionados neste caso bem importante. Talvez por causa disto o Maple relute em

designar um valor para a soma:

>Limit(Sk, k = infinity);

lim( )( )

=

+

k

n

n

n1

11

k

>value(>Limit(Sk, k = infinity));

undefined

Todavia o Maple pode computar a resposta que estamos procurando se fizermos do

problema uma soma infinita:

>Sk := Sum((-1)^(n+1)/n, n = 1 .. infinity);

SK :=( )( )

=

+

1

11

n

n

n

>value(Sk);

Se os termos forem somados na ordem especificada por n, sem serem re-arranjados, a srie

converge para ln(2). Estas sries so chamadas condicionalmente de convergentes. Sries

condicionalmente convergentes devem ser tratadas com extrema ateno. Poderamos

provar isto num curso avanado de clculo, re-arranjando os termos em uma srie

condicionalmente convergente: a srie re-arranjada pode ser conduzida a convergir para

qualquer nmero que voc queira!

Em contraste, a srie

=1nna absolutamente convergente se a srie

=1nna for convergente.


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Qualquer srie convergente que consista apenas de termos positivos absolutamente

convergente. J que para que a srie convirja no o bastante que os termos individuais se

aproximem de zero; testes de convergncia devem ser realizados. Listaremos alguns destes

testes aqui.

Testes de Convergncia

Um teste de comparao:Digamos que para as seqncias ane bn, 0=0, e se lim cb

a

n

n= e 0c , ento

n na converge se, somente se, nb convergir.

Teste de Razo: Se a seqncia anconsiste em todos os termos positivos, ento forme o

limite da razo lim ra

a

n

n=

+1. Se r1.

n

Se r = 1, o teste inconclusivo: a srie pode convergir ou divergir.

O teste integral: A Se a seqncia an foi definida como os valores de f(x), onde n um

nmero inteiro. Se for possvel transformar f(n) em uma funo da varivel x realmente

avaliada, de forma que f(x) = f(n)quando x = n, ento na converge se, somente se,

1)( dxxf existir.

Exemplo 8-4

Demonstre que

=12

1

n n convergente pelo teste integral.


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399

Resoluo: A funo contnua correspondente a2

1

nse ( )

2

1

xxf = . A integral desta funo

>Int(1/x^2, x = 1 .. infinity) = int(1/x^2, x = 1 .. infinity);

11

1 2 =

dxx

A integral existe ( infinita), ento a srie correspondente deve ser convergente. O valor da

srie infinita tambm 1? fcil de descobrir avaliando a soma diretamente.

>S := sum(1/x^2, x = 1 .. infinity); evalf(S);

S :=6

12

1.644934068

A soma da srie um pouco mais do que 1 e, surpreendentemente, envolve o nmero . A

prova do resultado do Maple est alm do alcance deste teste.

Sua vez.

(a) Demonstre que

= +12 1

1

n n convergente usando o teste integral, e ento ache a sua

soma.

Resposta:_________________________________________________________________

(b) Compare os valores da integral e da soma. Dica: No caso da soma, voc pode ter de

converter para a forma decimal para interpret-la.

Resposta:_________________________________________________________________


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400

(c) A soma maior do que a integral. Mostre por que graficamente, usando o comando

leftbox.

Resposta:_________________________________________________________________

Exemplo 8-5

Diga quando

=

1

1

n

p

n

convergente.

Resoluo: Pelo teste integral,

>Int(1/x^p, x = 1 .. infinity) =int(1/x^p, x = 1 .. infinity);

( )

1

1

1lim

1 1

1 +

=

+

ppx

dxx

p

p

x

O termo( )

1

1

+

p

x p d a dica de que precisamos. Quando x cresce,ptem de ser maior que 1,

de forma que todo o termo tender a zero.

>assume(p>1);

>limit(-1/(p-1)*x^(-p+1)+1/(p-1), x = infinity);

lim( )

1~

1

1~

1~

+

+

pp

x p

x


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401

Por que no estamos conseguindo a resposta que esperamos? Vamos tentar pr mais

restries a x:

>assume(x, real); additionally(x>1);

>limit(-1/(p-1)*x^(-p+1)+1/(p-1), x = infinity);

lim( )

1~

1

1~

1~

+

+

pp

x p

x

>limit(-1/(p-1)*x^(-p+1), x = infinity);

lim( )

1~

~ 1~

+

p

x p

~x

>10000000^(-.03);

.6165950019

>about(x); about(p);

Originally x, renamed x~:

Is assumed to be: RealRange (Open(1), infinity)

Originally p, renamed p~:

Is assumed to be: RealRange (Open(1), infinity)

Nenhuma de nossas abordagens, alm da primeira parece funcionar. Aqui tivemos de

trabalhar sem a ajuda do Maple, observando que p deve ser maior que 1.


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402

O teste da Raiz: Se la nn =

1

lim e l1,

n a srie diverge, e se l= 1, a srie pode tanto convergir como divergir.

Exemplo 8-6

Teste a convergncia da srie

=1n

nx aplicando o teste da raiz.

Resoluo: Se x = 1, ento ( ) 11

=

nnx para qualquer n, ento lim ( ) xx nn =

1

. Logo, a srie

diverge. n

Usando o Maple para verificar que ( ) 11

=

nn

x

>limit((1^n)^(1/n), n = infinity);

1

Se 1x

>limit((x^n)^(1/n), n = infinity);

x

Logo, a srie converge se x1.

Resposta:_________________________________________________________________


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403

Expanso de Funes em Forma de Srie

H vrias situaes onde vantajoso definir uma funo que definida por uma frmula

complicada como uma aproximao polinomial. Desde que a funo no tenha muitas

complicaes em torno do intervalo de interesse, ela pode ser aproximada por um

polinmio de baixa ordem. Voc pode entender a possibilidade de isto acontecer

observando que, se a funo parece com uma linha reta, ela pode ser aproximada por um

polinmio linear; se parece com uma parbola, pode ser aproximada por uma quadrtico; e

assim por diante. medida em que o grau de aproximao polinomial cresce, tambm

cresce o nmero de mudanas na curvatura que pode ser aproximado. Comearemos a

discusso aproximando uma funo prxima a x = 0.

Srie de Maclaurin.Que a srie de potncia seja dada pelo polinmio cujos primeiros nove

termos sejam dados por

>p := x->a[0] +a[1]*x + a[2]*x^2 + a[3]*x^3 + a[4]*x^4 + a[5]*x^5 + a[6]*x^6 +

a[7]*x^7 + a[8]*x^8;

p := xa0+ a1x + a2x2+ a3x

3+ a4x4+ a5x

5+ a6x6+ a7x

7+ a8x8

O valor do polinmio pem x = 0 p(0) = a0. Ou seja, o valor da funo em x = 0 dado

por um coeficiente constante, a0. a funo e sua aproximao da srie de potncia

coincidem a x = 0. Agora, tire a derivada da srie e avalie em x = 0.

>D(p)(0);

a1

Similarmente, as derivadas seguintes da srie so:


24/40

404

>(D@@2)(p)(0);

2a2

>(D@@3)(p)(0);

6a3

>(D@@4)(p)(0);

24a4

>(D@@5)(p)(0);

120a5

Enquanto o Maple no d a ensima derivada geral, fcil ver, trabalhando os primeiros

termos mo, deve ser

>(D@@n)(p)(0) = n!*a[n];

(D(n)) (p) (0) = n! an

Resolvendo para o coeficiente an, achamos

>a[n] = (D@@n)(p)(0)/n!;

( ) ( ) ( )( )

!

0

n

pDa

n

n =

Podemos argumentar que, j que a srie bate com a funo em x = 0 pela nossa escolha de

a0, a melhor escolha para a1, e na verdade para todos os outros termos, deve ser dada pela

ltima equao. Logo, a regra: para achar os coeficientes da srie de potncia, ache as

ensimas derivadas da funo que voc est tentando aproximar, avalie os resultados em x

= 0, e divida por n!. Esta srie se encaixa melhor com a funo perto de x = 0, pois a no


25/40

405

apenas a funo e a srie tm o mesmo valor mas a primeira derivada a mesma e assim

por diante. Logo, se conseguirmos computar as vrias derivadas da funo dada, podemos

determinar as suas correspondentes na srie. Quantos coeficientes precisamos computar?

Obviamente, quanto mais coeficientes mais possvel ter uma boa correspondncia entre a

funo e a srie para valores de x cada vez mais alm de x = 0.

Exemplo 8-7

Compute os coeficientes na srie de potncia para ex

Resoluo: J que

>Diff(exp(x), x$n) = exp(x);

Diff(exp(x), x$n) = ex

E e

0

= 1, temos an= !

1

n . Logo,

>exp(x) = Sum(x^n/n!, n = 0 .. infinity);

ex=

=0 !n

n

n

x

Sua vez. Compare e2com a aproximao da srie de potncia ....

!4

2

!3

2

2

21

432

++++

(a) De quantos termos voc precisa para uma aproximao de quatro casas?

Resposta:_________________________________________________________________

(b) De quantos termos voc precisa se x = 0.003?


26/40

406

Exemplo 8-8

Ache a expanso da srie de potncia para sen(x).

Resoluo: As quatro derivadas distintas de sen(x) so

>eval(subs(x = 0, [seq(diff(sin(x), x$n), n = 1 .. 4)]));

[1, 0, -1, 0]

Depois da qual o ciclo comea novamente:

>eval(subs(x = 0, [seq(diff(sin(x), x$n), n = 5 .. 8)]));

[1, 0, -1, 0]

Logo, a expanso da srie de potncia para sen(x)

>sin(x) = Sum((-1)^(n+1)*x^(2*n+1)/(2*n+1)!, n = 0 .. infinity);

( )( ) ( )

( )

=

++

+

=

0

121

!12

)1(

n

nn

n

xxsin

Os primeiros termos so


27/40

407

>expand(sum((-1)^(n+1)*x^(2*n+1)/(2*n+1)!, n = 0 .. 10);

211917

1513119753

17094400005109094217

1

088320001216451004

1

960003556874280

10001307674368

16227020800

139916800

1362880

15040

1120

161

xxx

xxxxxxxx

+

++++

Sua vez.Estime o seno de 30 graus usando termos da srie de potncia at x9. Compare a

sua resposta com a resposta exata de 1.2. Qual a porcentagem de erro? (Lembre-se de

converter 30o

. para radianos!)

Resposta:_________________________________________________________________

Exemplo 8-9

Ache a expanso da srie de potncia para ln(1+x).

Resoluo: A forma (1+x) usada em vez de x j que podemos escolher x = 0 e ainda ter

ln(1+x) definido. Lembre-se: ln(0) indefinido, mas, ln(1) = 0, que um nmero

perfeitamente respeitvel.

As primeiras 10 derivadas de ln(x+1) em x = 0 are

>subs(x = 0, [seq(diff(log(1+x), x$n,)/n!, n = 1 .. 10)]);

10

1,

9

1,

8

1,

7

1,

6

1,

5

1,

4

1,

3

1,

2

1,1

Logo, ln(1+x) ?..65432

65432 xxxxxx ++


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408

Sua vez. Compute ln(e) usando a expanso da srie de potncia para ex. Compare sua

resposta com ln(e) = 1. D o nmero de termos usados na expanso e a porcentagem de

erro da aproximao.

Resposta: Nmero de termos:____________________; porcentagem de erro:___________

Pelo fato de a srie de potncia ser to til para aproximar funes, o Maple tem um

comando para a sua construo. O comando sriescalcula os primeiros termos polinomiais

de qualquer combinao de funes padro.

Exemplo 8-10

Calcule os primeiros termos de arctan(x)usando o comando sries.

Resoluo: J que arctan uma das funes conhecidas pelo Maple, tudo que tem a fazer

formular o comando sries, dando a funo arctan e especificando o nmero de termos.

>sries(arctan(x), x, 10);

( )1097539

1

7

1

5

1

3

1xOxxxxx +++

O terceiro parmetro, 10, especifica o nmero de termos que voc quer, enquanto o

segundo parmetro especifica a varivel para a expanso. No caso de haver outros

parmetros.

Sua vez.Fornea o comando que acha os primeiros sete termos de cos(x).

Resposta:________________________________________________________________


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409

Srie de Taylor

A expanso de uma funo no precisa comear em x = 0. Algum outro valor pode ser

tomado como ponto de partida para a expanso. Desta vez, vamos aceitar que a funo

pode ser aproximada por um polinmio de forma

>p(x) = a[0] +a[1]*(x-a) +a[2]*(x-a)^2 + a[3]*(x-a)^3 + a[4]*(x-a);

p(x) = a0+ a1(x-a) + a2(x-a)2+ a3(x-a)

3+ a4(x-a)

No muito difcil demonstrar que o kasimo coeficiente, ak, dado por

ak=( ) ( ) ( )( )

!k

apD k (8-6)

onde D(k)(p)(a) representa a kasima derivada de p, avaliada em a . Para ilustrar esta

frmula, a usaremos para a expanso da srie da funo de logaritmo natural do exemplo 8-8.

Exemplo 8-11

Ache a expanso de ln(x) em x = 1 por clculo direto. Veja que isto equivalente a achar a

expanso de ln(1+x) em x = 0.

Resoluo: Primeiro identifique o parmetro a na expanso anterior de p(x). J que a

expanso deve ser em torno de x = 1, ento o parmetro a = 1. Depois, compute as

derivadas, como fixemos no exemplo 8-8, usando a frmula 8-2.


30/40

410

>subs(x = 1, [seq(diff(log(x), x$n)/n!, n = 1 .. 10)]);

101,

91,

81,

71,

61,

51,

41,

31,

21,1

]

A lista de coeficientes a mesma, pois estamos usando basicamente o mesmo comando.

Desta vez, porm, ns multiplicamos os coeficientes pela potncia apropriada de (x-1).

( ) ( ) ( ) ...41

31

211)ln(

432

+= xxxxx (8-7)

Sua vez.Calcule ln(1) usando a frmula 8-7. A resposta exata?

Resposta:_________________________________________________________________

Quando a srie de potncia obtida expandindo em torno de algum valor diferente de 0,

chamada de srie de Taylor. O comando do Maple Taylor(f(x), x = a, n), onde f(x) a

funo ( escrita em forma de expresso) a qual necessita da srie de Taylor, a o valor em

torno do qual a expanso acontece, e n o nmero de termos desejados.

Exemplo 8-12

Ache a expanso de Taylor de cos(x) em torno de x = -/2 e compare srie de potncia

para sen(x) em torno de x = 0.Resoluo: O comando do Maple para a srie de Taylor para cos(x) em torno de x = -/2


31/40

411

>ex812 := taylor(cos(x), x = -Pi/2, 10);

ex812 :=

++

++

+

++

++

1097

53

2

1

2

1

362880

1

2

1

5040

1

2

1

120

1

2

1

6

1

2

1

xOxx

xxx

Voc sabe que o cosseno uma funo par, mas os termos em ex812 todos tm potncias

mpares. Se elevarmos o eixo y para -/2 pela seguinte substituio:

>ex812 := subs(x = -Pi/2, ex812);

ex812 := ( )109753362880

1

5040

1

120

1

6

1xOxxxxx +++

e compararmos com a expanso da srie de sen(x),

>sries(sin(x), x, 10);

( )109753362880

1

5040

1

120

1

6

1xOxxxxx +++

vemos que as expresses so idnticas. J que existe uma conhecida afirmao

trigonomtrica que diz que cos(x-/2) = sin(x), no deveramos ficar surpresos com que as

duas expresses acabam por ser idnticas. Outra maneira de ver este resultado pensar emempurrar a curva cosseno uma distncia de /2 para a direita, onde se torna a curva seno.

Sua vez.At polinmios podem ser aproximados por polinmios. Voc pode aproximar um

polinmio do 11o. grau com um polinmio de uma graduao menor.

(a) Use o Maple para encontrar a srie de Taylor do 5o. grau de


32/40

412

>ex812yt := x+x^3 + x^5 + x^7 + x^9 + x^11;

em torno de x = 1.

Resposta:_________________________________________________________________

(b) Qual a preciso da aproximao quando x = 1.05000?

Resposta:_________________________________________________________________

Quando os comando sries ou taylor so usados, o Maple responde com um polinmio eum termo adicional que d algumas indicaes da ordem dos termos restantes. Geralmente,

um polinmio puro pedido, sem a ordem do termo para complicar. Uma das opes no

comando convert do Maple permite que voc extraia o termo da ordem da srie. O

Exemplo 8-13 mostra como.

Exemplo 8-13

Ache a expanso de Taylor, com os termos at o 6o. grau, de

>ex813 := (x+2)/(x^2-1);

ex813 :=1

22

+

x

x

em torno de x = -2 e expresse como um polinmio puro.

Resoluo:


33/40

413

>t813 := taylor( ex813, x = -2, 7);

t813 :=( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )765

432

22729

3642

243

121

281

402

27

132

9

42

3

1

+++++

++++++++

xOxx

xxxx

Ns usamos o nmero 7 no comando Taylor porque queremos que o termo de ordem

(termo O) seja pelo menos um a mais que o grau que maior termo pedido no polinmio.

Agora, converta t813 para um polinmio puro:

>t813a := convert(t813, polynom);

t813a := ( ) ( ) ( ) ( ) ( )65432 2729

3642

243

1212

81

402

27

132

9

4

3

2

3

1+++++++++++ xxxxxx

A nica diferena nas duas ltimas respostas do Maple a ausncia do termo de ordem na

ltima expresso, t813a. Por questo de interesse, voc pode converter t813a em uma

funo se quiser. Este um caso de verbo irregular no Maple, por que o comando no ,

convert(t813a, function), ao invs,

>t813b := unapply(t813a, x);

t813b :=( ) ( )

( ) ( ) ( )654

32

2729

3642

243

1212

81

40

227

132

9

4

3

2

3

1

+++++

++++++

xxx

xxxx

O comando unapply usado para converter uma expresso (como t813a) em uma funo

(como t813b).

Sua vez.Como voc transforma umafuno em uma expresso ? Se


34/40

414

>f813yt := x->1/(1-x);

d o comando que produz a expresso 1/(1-x) da funo cujo nome f813yt.

Resposta:_________________________________________________________________

Exerccios de Papel e Lpis

PP8-1

Compute os limites das seguintes seqncias se eles existirem. Caso contrrio, descreva seu

comportamento quando oscilam, ou divergem, para .+ ou

(a)lim72

43

+

n

n Resposta:___________________________

x

(b) lim nn +1 Resposta:___________________________

x

(c) lim n n Resposta:___________________________

x

(d) lim1

1+

=

x

n

r

x

n

r

Resposta:___________________________

x

(e) lim 11 +

+

nn

nn Resposta:___________________________

x

(f) lim( )

( ) ( )1/1

/111

++

+

+ na

nann

nn

Resposta:___________________________

x

(g) limn

xsin )( Resposta:___________________________


35/40

415

x

(h) lim xnsin Resposta:___________________________

x

(i) lim( )

n

nxsin / Resposta:___________________________

x

(j) lim 1, S := k->Sum (((n*(n+1))^(-1), n = 1 .. k)); Resposta:________________________

(b): >Sk := value(S(k)); Resposta:________________________

(c) >limit(Sk, k = infinity); Resposta:_________________________

ML8-2

Ache o valor da srie infinita

( )( )

= ++1 21

1

n nnn

Resposta:_________________________________________________________________


36/40

416

ML8-3

Mesmo a srie harmnica

=1

1

n n sendo divergente, voc pode avaliar as somas parciais.

Plote o comportamento da srie da seguinte forma:

>Sn := Sum(1/r, r = 1 .. n);

>plot([seq([n, sum(1/r, r = 1 .. n)], n = 1 .. 20)], style = point);

O plot mostra uma funo divergente? Se voc tiver dificuldade em decidir, tente maispontos. Qual a sua concluso? Escreva uma explicao detalhada de como chegou sua

deciso.

Resposta:_________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

ML8-4

Considere o problema de encontrar a aproximao para n! Quando n se torna muito grande.

bem bvio que se x tem X dgitos antes da casa decimal, a funo x n tem cerca de nX

dgitos. Similarmente, o nmero extem aproximadamente o mesmo nmero de dgitos que

10x, ento mais uma vez, o nmero de dgitos at fcil de contar. O nmero e 1.000.000tem

cerca de 4.000.000 de casas decimais j que e1.000.000 10434.294. Quantos dgitos tem onmero (106)!? Para estimar o nmero de dgitos, faa o seguinte:

(a) Tente reduzir n! a um nmero trabalhvel tirando o seu logaritmo, e ento expresse

ln(n!) como uma srie.

Resposta:_________________________________________________________________


37/40

417

(b) Aproxime esta srie como uma integral. Quais so os limites de integrao?

Resposta:_________________________________________________________________

(c) Realize a integrao. Neste momento, voc j deveria ter uma estimativa para ln(n!). Do

que ns j falamos a respeito do nmero de dgitos em ex, ln(n!) uma estimativa do

nmero de dgitos em n!. Quantos dgitos tm 100! De acordo com a estimativa?

Resposta:_________________________________________________________________

ML8-5

Algumas sries tm um padro em seus coeficientes que fcil de descrever. Por exemplo,

o padro dos coeficientes nas expanses da srie de ex apenas 1/n! Use o Maple para

achar o padro dos coeficientes na expanso

+

x

x

1

1ln

2

1.

Resposta:_________________________________________________________________

ML8-6

Use o Maple para achar o limite, quando ndas seqncias an, cujos termos gerais so

dados abaixo:

(a)nn

nn

ee

ee

+ Resposta:____________________________

(b) nn + 2 Resposta:____________________________

(c)

nnsin

1 Resposta:____________________________

(d)nn enn

n

2

! Resposta:____________________________


38/40

418

(e)

2cos

nn Resposta:____________________________

ML8-7: Valor Presente

O valor presente de uma nota promissria para $100 que vence um ano a partir de agora

est valendo ,1

100

i+com i sendo a taxa de juros no dinheiro investido. A razo de a nota

valer menos de $100 hoje que voc poderia investir ,1

100

i+numa caderneta de poupana e

valeria $400 em um ano, quando o banco adiciona os juros acumulados ao seu depsito.

Logo, o dinheiro que seu com a data do pagamento no futuro vale menos do que o valor

aparente da nota hoje.

(a) Digamos que tenha uma nota de cada amigo de confiana, que prometem pagar-lhe

$100 em dez anos. A taxa de juros 7%, computados anualmente. Qual o valor presente da

sua nota?

Resposta:_________________________________________________________________

(b) Os pagamentos que voc deve a algum funcionam da mesma forma. Se voc cobrado

$1000 por ms do aluguel de seu apartamento, quanto voc deve oferecer para pagar vista

de forma que voc no tenha que pagar o aluguel durante um ano? Admita os juros sendo

computado mensalmente e a taxa de 1%.

Dica:O seu primeiro pagamento vence daqui a um ms, logo seu valor presente 01.01

1000

+.

O seu prximo pagamento vence daqui a dois meses, ento o seu valor presente

( )201.01

1000

+

, e assim por diante. Escreva uma frmula para a soma usando o Maple.

Resposta:_________________________________________________________________


39/40

419

(c) Digamos que voc ganhe na loteria e voc queira pagar o seu aluguel infinitamente,

assim voc pode morar neste apartamento sem se preocupar com aluguel. Qual deveria ser

o valor do cheque para, digamos, juros constantes de 1% ao ms, computados

mensalmente?

Resposta:_________________________________________________________________

(d) O senhorio oferece para vender o lugar por $ 80.000. um preo justo?

Resposta:_________________________________________________________________

ML8-8: Diferenciando uma Srie de potncia

Lembre-se de .11...,11

1 32

0


40/40

420

(d) Qual hiptese voc pode formular sobre integrar termo por termo? Teste a sua hiptese

integrando lm(1+x).

Resposta:_________________________________________________________________

(e) Sem usar o Maple, qual a soma x+2x2+3x3+...

Resposta:_________________________________________________________________

ML8-9

No exemplo 8-11, sua vez voc descobriu que a aproximao da srie dada para ln(x)

quando x = 1, o ponto em cerca do qual a expanso acontecer. Demonstre que a expanso

da srie de qualquer funo avaliada no ponto em cerca do qual a expanso acontece d

uma resposta exata.

Resposta:_________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Documents

Apostila 1 Séries Sequências