Sequências Numéricas_Parte I

7/17/2019 Sequências Numéricas_Parte I

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SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS R EAIS

CONCEITO

Uma sequência de números reais corresponde , formalmente, a uma função f , com domínio

no conjunto dos números naturais ℕ e contradomínio em ℝ, que a cada ∈ ℕ associa o

número rea l = f , chamado de te rmo gera l da sequência .

f : ℕ → ℝ ⟼ = f

NOTAÇÃO

Vamos denotar uma sequência de números reais, como definida acima, por

= , , , … .

Dessa forma, a sequência que corresponde à função f : ℕ → ℝ definida por f = 1/ é

representada por (1 /n) = (1 , 1/ 2 , 1/3 , 1/4 , . . . ) , a que corresponde à função

f =1 1 é representada por 1 1 = (0 , 2 , 0 , 2 , . . . ) , a que corresponde à

função f = (1 + 1/ n )n por (1 + 1/ n)n = (2 , 9/4 , 64/27, 625/256, . . . ) , e assim por

diant e .

CONVERGÊNCIA

DEFINIÇÃO FORMAL

Dizemos que uma sequência converge para um número real ℓ, se

∀ > 0, ∃ ta l que ≥ ⟹ | ℓ | < .

O fato de uma sequência convergir para um número real ℓ é denotado por ⟶ ℓ.

A definição acima, expressa em linguagem de intenso simbolis mo, pode receber tradução

que atenua sua complexidade, desde que escri ta da maneira seguinte:

“ Dizemos que uma sequência

converge para um número real

ℓ, se por menor que

seja o número real > 0 que se considere , pudermos encontrar um índice ( dependente ,

ou em função , de ) , de modo que, desse índice em diante, todos os termos da sequência

estão tão próximos de ℓ, que a distância entre eles e ℓ chega a ser menor do que ” .

Exemplo 01

Mostremos, formalmente , que

2 1

⟶ 2 .



De acordo com a definição de convergência que acabamos de conhecer, nossa tarefa estará

cumprida quando determinarmos , normalmente em função de , que garanta a validade

da implicação

≥ ⟹

2 1

2 < .

Como

2 1 2 = 2 1 2

= 1 = 1

,

segue que − 2 < só ocorre, se

< , ou seja , se > 1 / .

Portanto, dado qualquer número real > 0, por menor que seja ele , considerando-se

o inteiro posit ivo imediatamente maior que 1/, tem-se

≥ ⟹ 2 1 2 = 1 ≤ 1 < . ( Note que “ imediatamente maior que 1/” sign if ica , obviamente , > 1/, o que nos

leva a concluir que 1/ < ) .

Considere, agora, a seguinte questão, relacionada à demonstração acima: se = 0.002, a

par t ir de qua l termo da sequência tem-se | 2 | < 0.002 ?

Se = 0.002, sendo > 1/, segue que > . = 500. Dessa forma, = 5 0 1 e , en tão ,

podemo s afirmar que a par t ir do , todos os termos da sequência, com relação ao

número 2, estão a uma distância menor do que 0.002. E ta l a f i rmação pode ser comprovada.

De fato, sendo = × − 2 , temos:

| 2 | = 2 × 501 1501 2 = 1

501 = 0.0019 < 0.0002 . Note que o é , realmente, o primeiro elemento da sequência, a part ir do qual a

desigualdade | 2 | < 0.002 se ver i f ica , pois

| 2 | = 2 × 500 1

500 2 =1

500 = 0.0002 .

DEFINIÇÃO INFORMAL

Dizemos que uma sequência converge para um número real ℓ, se → = ℓ.

Claro, então, que

a) 1/⟶0, pois → 1/ =0.

b )

−

⟶2 , já que

→

−

= → 2

= 2.

c) + + + diverge, porque

+ + + = + / + /

+ / = . + / + / + / e



→ . + / + / + / = ∞ .

→ ∞.

d ) 1 1 diverge, pois não existe o → 1 1 .

e) 1 1/ ⟶ e ( e o número irracional e transcendente de Napier, ou de Euler, cujo

valor, aproximado, é 2,718281828459045235360287.. . ) , pois , como sabemo s (veja o

teorema a seguir ) ,

→ 1/ = .

DOIS R ESULTADOS FUNDAMENTAIS SOBRE LIMITES

TEOREMA (TMV – MUDANÇA DE VARIÁVEL CONTÍNUA POR DISCRETA EM LIMITES)

Se f : [ , ∞ ⟶ ℝ é uma função tal que → = ℓ, ou → = ∞, ou

→ = ∞, então, sendo um número inteiro, → = ℓ, ou → = ∞, ou

→ = ∞, respectivamente.

R EGRA DE L’HÔPITAL ( para l imit es em que ⟶ ∞)

Sejam e funções deriváveis em um intervalo , ∞ , com ′≠ 0, ∀ ∈ , ∞ .

Se t ivermos → = → = 0, ou → = ± ∞ e → = ± ∞, e ex is t i r o

→ /, en tão

→ = →

.

Exemplo 02

Como → 2 3 1 = → 4 5 = → 4 3 = → 8 = ∞, podemos

usar o TMV e a Regra de L’Hôpital , esta duas vezes consecutivas, para concluir que

2 3 1

4 5 ⟶12 ,

pois

→ 2 3 14 5 = → 2 3 1

4 5 = → 4 38 = → 4

8 = 48 = 1

2 .

Claro que a mesma conclusão pode ser alcançada através de procedimento análogo ao

aplicado para a sequência + + + , cuja divergência foi apresentada acima.

Exemplo 03

Vamos verificar que a sequência ( √ ) = ( √ 2 , √ 3 , √ 4 , √ 5 , … ) converge para 1.



Tendo em vista o fato de as funções e se rem inversas uma da outra , escrevemos

√ = / = / = . Agora, por L’Hôpital , temos que

→ = → 1 = 0 , e , assim, pelo TMV, que

→

= 0 . Por tanto ,

→ √ = → = = 1

Exemplo 04

O l imi te fundamenta l

→ = 1

nos faz ver que a sequência / converge para , po is

→ / = → /

1/ = → /

/ = → ℎ

ℎ = ,

já que a substi tuição ℎ = / acarreta ⟶ ∞ ⟹ ℎ ⟶ 0.

(Com a Regra de L’Hôpital podemos verif icar , rapidamente, a validade do l imite

fundamental ao qual nos re ferimos )

SEQUÊNCIAS MONÓTONAS

DEFINIÇÃO

Seja

uma sequência.

a) Se, ∀, < +, então é crescente .

b ) Se, ∀, ≤ +, então é não -decrescente .

c) Se, ∀, + < , então é decrescente .

d) Se, ∀, + ≤ , então é não -crescente .

Verificando-se qualquer uma das si tuações acima, é dita monótona .

Exemplo 05

é monótona decrescente, pois, obviamente, + = 1 1 < 1 = , ∀ ∈ ℕ.



Exemplo 06

Qual o comportamento da sequência + + com relação à monotonicidade?

Para respondermos à essa questão, precisamos, inicialmente, verificar o comportamento

dos pr imeiros te rmos da sequência . Se para esses te rmos já não consta tamos umcomportamento monótono, ou seja , se não acontece < < < < ⋯ ou > > > > ⋯, então vamos poder concluir que a sequência não é monótona. Por outro lado,

se esses termos apresentarem um comportamento monótono, seja de crescimento ou de

decrescimento, então vamos precisar comprovar que tal comporta mento se mantém válido

em toda a sequência e não somente nesses te rmos.

Como

= 35 < = 5

8 < = 711 < = 9

14 < ⋯, observamos que a sequência deve ser monótona crescente. Que ela realmente é , nós

precisamos provar. Um procedimento mui to u ti l izado para ob tenção dessa prova consis teem considerar o quociente +/ e demonst ra r que se tem

+ > 1

para, ass im, obter que + > e concluir que a sequência é crescente. Se nossa

observação fosse a de que a sequência deveria ser decrescente, então deveríamos tomar

o mesmo quociente e demonstrar que

+

< 1 .

No nosso caso, temos = ++ , + = +

+ e , por tanto ,

+ = 2 33 5 ∙ 3 2

2 1 = 6 1 3 66 1 3 5 = 6 1 3 5 1

6 1 3 5 = 6 1 3 56 1 3 5 1

6 1 3 5

= 1 16 1 3 5 > 1 ,

pois 16 1 3 5 > 0 .

Dessa forma, ∀ ∈ ℕ, + > e a sequência é , comprovadamente, monótona crescente.

Obser vação

Já que 5 < 6 e uma desigualdade não se al tera se somarmos a mesma quantidade aos seus

membros, poderíamos ter concluído que a sequência acima era monótona crescente por

força do seguinte procedimento:

5 < 6 ⟹ 6 3 5 < 6 3 6 ⟹ 3 52 1 < 2332

⟹ 2 13 2 < 2 33 5 ⟹ < + .



Exemplo 07

1 1 não é uma sequência monótona, pois = 0 < = 2, mas = 2 > = 0.

Exemplo 08

√ 5 , 5 √ 5 , 5 5 √ 5 ,… } é uma sequência crescente e a melhor maneira de provar

isto é uti l izando o método de indução.

Temos,

1 se verifica, pois = √ 5 < 5 √ 5 = .

Agora, suponhamos que seja verdadeira para = . Isto acarreta < + e , então,

< + ⟹ 5 < + 5 ⟹ 5 < + 5 ⟹ + < +,

uma vez que + = 5 , ∀ ∈ ℕ. Portanto, é verdadeira para = 1 e a

demonst ração está conc lu ída.

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