ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (9)pauli.fis.puc.cl/~rramirez/E_M/EM_b_clase9.pdfELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (9) Fuente B r V x El espectrografo de masa

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (9)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOFIZ 1300 FIS 1532 (9)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

1er. Semestre 2006

Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile


Ejemplo 1El espectrografo de masa fue inventado por Francis Aston en 1919 con el findeterminar las masas de los isotopos. Los isotopos de un elemento tienen elmismo numero de protones en el nucleo pero distinta masa. Por ejemplo elmagnesio tiene 78.7 % de 24Mg, 10.1 % de 25Mg y 11.2 % de 26Mg, i.e. conA = 24, 25 y 26 respectivamente.



Fuente

B

r

V x

El espectrografo de masa funciona de la siguiente manera. Suponga que union de masa m y carga q se acelera a traves de un potencial V antes deentrar a la camara donde hay un campo magnetico B. Entonces la velocidadcon que el ion entra a la camara esta determinada por: 1

2 mv2 = qV .



Entonces, al entrar a la camara los iones describen un semicırculo de radior = mv/qB de donde obtenemos v = rqB/m y por lo tanto:

mq

=(Br)2

2V

EjemploUn ion de 58Ni de carga +e y masa 9.62×10−26 Kg es acelerado a traves deun potencial de 3 KV y entra a un espectrografo de masa donde hay uncampo de 0.12 T. Encuentre la diferencia de las radios de curvatura para losiones 58Ni y 60Ni.

r58 = 0.501 m r60 = 1.017r58 r60 − r58 = 9 mm



Ejemplo 2Un anillo de radio R y masa m que lleva una corriente I, se encuentra sobreuna superficie rugosa en presencia de una campo magnetico horizontal.Calcule el maximo valor de la corriente que puede circular antes de el anillose levante.

ΙR

B



Ejemplo 3Un anillo de radio r con corriente I se encuentra en una campo magnetico B,simetrico y radialmente divergente que hace un angulo θ con la direccion deleje del anillo. Calcule la fuerza sobre el anillo.

B

I

a

θ



Ejemplo 4Un cilindro de madera con masa m, radio R y longitud L lleva N vueltas dealambre enrollado longitudinalmente. ¿ Cual es la menor corriente I en elalambre que le impide rodar hacia abajo en un plano inclinado en un anguloθ, en presencia de un campo magnetico vertical B?

Β

θ

ΝΙI



CAMPO MAGNETICO PRODUCIDO POR CORRIENTESLEY DE BIOT-SAVART

d~B =µo

4π

Id~l × rr 2

rB

dl

I

Jean Baptiste Biot 1774 - 1862

La constante µo se llama la permeabilidad del vacıo y tiene el valor4π × 10−7 [MKS]. No tiene relacion con el momento magnetico.



Campo magnetico en el centro de un anilloEl campo en el centro delanillo se calcula a partir de la expresion anterior:

d~B =µo

4π

Idl sin θ

R2

con sin θ = 1 ya que d~l y r son perpendiculares. Esto nos da:

~B =µo

4π

I2πRR2 =

µoI2R

R

I

C



Campo magnetico en el eje de un anillo

dB

dB

z r

aα

dB

dlI

~B =µo

2Ia2

(z2 + a2)3/2 k



Aquı tambien ~dl y ~r son perpendiculares y por lo tanto:

dB =µoI4π

dlr 2

Ahora obtenemos las componentes de dB paralela y perpendicular al eje delanillo:

dB‖ =µoI4π

cos α

r 2 dl dB⊥ =µoI4π

sin α

r 2 dl

Considerando que α y r son constantes y que r =√

z2 + a2 ycos α = a/r = a/

√z2 + a2 obtenemos

~B = B‖k =µoI4π

cos α

r 2

Idlk =

µo

2Ia2

(z2 + a2)3/2 k



Campo magnetico de un conductor rectilıneo infinito

d~B =µo

4π

Id~l × rr 2

R

x

z

y

θαθ

x

r

dl

dB

I

~B =µo

2π

IR

k

dB =µoI4π

dx sin θ

r 2



pero:

sin θ =Rr

=R√

x2 + R2y r 2 = x2 + R2

por lo tanto:

B =µoI4π

Z ∞

−∞

R(x2 + R2)3/2 dx =

µoI4πR

»x√

x2 + R2

–x=+∞

x=−∞=

µo

2π

IR

R

x

z

y

θαθ

x

r

dl

dB

I



LEY CIRCUITAL DE AMPERELa ley de Biot-Savart se puede escribir como:

d~B(~r) =µo

4π

Id~l × (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

y por lo tanto

~B(~r) =µo

4π

IId~l × (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

lo que se puede escribir como:

~B(~r) =µo

4π

Z ~J(~r ′)× (~r −~r ′)|~r −~r ′|3

d3r ′

Esta ultima expresion se puede escribir como:

~B(~r) =µo

4π∇×

Z ~J(~r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

lo que implica:∇ · ~B = 0 2da. Ley de Maxwell



Tambien se puede demostrar que, debido a que ∇ · ~J = 0,

∇× ~B(~r) = µoJ(~r)

Podemos integrar esta expresion sobre una superficie S limitada porun circuito C ∫

S∇× ~B(~r) · ndS = µo

∫S

J(~r) · ndS

Aplicando el teorema de Stokes:∮C

B(~r) · d~l = µo

∫S

J(~r) · ndS = µoI

Esta es la

LEY CIRCUITAL DE AMPERE



∮C

B(~r) · d~l = µo

∫S

J(~r) · ndS = µoI o 0

La corriente circula por un circuito C′ que enlaza el circuito C. Si loscircuitos no estan enlazados el lado derecho de esta relacion es cero.

C

C’

C

C’



PROBLEMA 1Un disco no-conductor tiene una carga σ uniforme y rota convelocidad angular ω. Calcular el campo magnetico en el eje del disco.

r



PROBLEMA 2Dos cables rectilıneos paralelos separados por una distancia L llevancorrientes I y I′. Calcular la fuerza por unidad de largo entre ellos.

I

I’

dF ′ = I′Bdl = I′µoI2πL

dl → dF ′

dl=

µo

2π

II′

L



DEFINICION DE AMPERE

Un ampere es la magnitud de una corriente constante que si semantiene en dos conductores paralelos de longitud infinita y deseccion transversal depreciable, colocados en el vacıo y separadosun metro, produce una fuerza de 2× 10−7 newtons por metro delongitud de conductor.

Recuerde que:µo = 4π × 10−7 [MKS]



Campo dentro de un cable rectilıneo ∮~B · d~l = 2πrB = µoIenl

Ienl = Iπr2

πR2

B =µoIr

2πR2

R

r

Fuera del cable Ienl = I y por lo tanto B = µoI/2πr .



Campo dentro de un solenoide rectilıneo

✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕

● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ●●● ●

Ba b

cdh

I~B · d~l =

Z b

a

~B · d~l +

Z c

b

~B · d~l +

Z d

c

~B · d~l +

Z a

d

~B · d~l = µoIenl

Solo la primera integral es 6= 0 y vale Bh. Si el solenoide tiene n vueltas porunidad de largo, Ienl = inh, y por lo tanto:

B = µo in



Atomo de BohrEn el modelo de Bohr del atomo de hidrogeno el electron circula alrededordel nucleo en una trayectoria circular de radio R = 5.3× 10−11 m y unafrecuencia ν = 6.5× 1015 Hertz (i.e. revs/seg)a)¿Cual es el valor de B en el centro de la orbita?Corriente:

i = eν = 1.6× 10−19 × 6.5× 1015 = 10−3 A

luego,

B =µo i2R

=µoeν

2R=

4π × 10−7 × 10−3

2× 5.3× 10−11 = 12 T

b) ¿Cual es el dipolo magnetico equivalente?

µ = Ni(AREA) = 1× 10−3 × π(5.3× 10−11)2 = 8.8× 10−24Am2



Principio de superposicion. EjemploConsidere un conductor infinito hueco que lleva una corriente I y cuyaseccion transversal se muestra en la figura. Calcule el campo B fuera deconductor a una distancia R del centro del cırculo mayor.

ab



Potencial Magnetico VectorialEl rotor de campo magnetico es en general distinto de cero, y por lo tanto noes posible introducir un potencial escalar, como se hizo en electrostatica,excepto en la regiones donde la densidad de corriente es nula. Sin embargola divergencia de ~B es cero, lo que permite definir un potencial magneticovectorial ~A:

~B = ∇× ~A

Note que si agregamos a ~A el gradiente de cualquier escalar la relacionanterior queda invariante, por lo cual es posible colocar condionesadicionales a ~A, que se llaman calibres. Uno de los calibres mas utilizados es∇ · ~A = 0, el que es llamado calibre de Coulomb, por razones que veremosmas adelante.



Ya que en magnetostatica rige la ley de Ampere:

∇× ~B = µo~J = ∇×∇× ~A

Utilizando la identidad:

∇×∇× ~A = ∇(∇ · ~A)−∇2~A

y el calibre de Coulomb, obtenemos:

∇2~A = −µo~J

Se puede observar que cada componente cartesiana de esta ecuacion essimilar a la ecuacion de Poisson de la electrostatica. Esta es la razon delnombre calibre de Coulomb.



Usando los resultados de la electrostatica para cada componente de laecuacion anterior, podemos escribir:

~A(~r) =µo

4π

ZV

~J(r ′)|~r −~r ′|

d3r ′

Potencial de un dipolo magneticoAhora consideremos un circuito con corriente I, entonces haciendo lasubstitucion ~Jd3r → Id~r ′:

~A =µoI4π

Id~r ′

|~r −~r ′|

Si nos colocamos en un punto ~r muy alejado del circuito, podemosdesarrollar el denominador en serie de Taylor de |~r ′/~r |:

|~r −~r ′|−1 = (r 2 + r ′2 − 2~r ·~r ′)−1/2 ' 1r

»1 +

~r ·~r ′

r 2 + · · ·–



El primer termino es proporcional aH

d~r ′ = 0. A traves de algunasidentidades vectoriales se puede demostrar que la contribucion del segundotermino es (los terminos de orden superior se desprecian):

~A(~r) =µoI

4πr 3

»12

I~r ′ × d~r ′

–×~r

El parentesis cuadrado representa un vector cuya magnitud es el area delcircuito y su direccion es perpendicular a la superficie del mismo.Multiplicado por I es el momento dipolar magnetico ~µ del circuito, ypor lo tanto:

~A =µo

4π

~µ×~rr3

Este es el potencial magnetico vectorial de un momento dipolarmagnetico ~µ.



Problema 1Demuestre que para un solenoide muy largo pero finito de n vueltaspor unidad de largo y corriente i , campo magnetico en un punto P deleje es:

B =12

µoni(cos θ1 + cos θ2)

donde θ1 y θ2 son los angulos subtentidos por las bases delsolenoide en el punto P.



Problema 2Un iman muy pequeno de momento magnetico ~µ se coloca en elcentro de un anillo de N vueltas de radio R mucho mayor que lasdimensiones del anillo y que lleva una corriente I. El momentomagnetico ~µ forma un angulo α con el eje del anillo. ¿Cual es ladireccion y la magnitud del torque sobre el iman?



Problema 3Encuentre el campo magnetico en el punto P debido al cicuito de lafigura.

I

a b

P


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