12 FIS relatorio2

I n s t i t u t o d e P r o m o ç ã o S o c i a l d a B a i r r a d a

Relatório da Actividade Experimental 1.3:

Propriedades do Pêndulo Gravítico

José Conceição

Luís Carvalho

Luís Duarte

Rui Grangeia

Tiago Silva

Física. IPSB 2006/2007. 12ºB. 22-11-2006

Índice

Introdução – Objectivos e Fundamentos Teóricos 3

Questões pré-laboratoriais 6

Questões pós-laboratoriais 10

Material 13

Esquema de Montagem 14

Procedimento Experimental 15

Registo de medições / Cálculos 16

Críticas, Observação e Conclusão 18

Bibliografia 19

Anexo 1 20

Física. Relatório do Trabalho Experimental 1.3 – Propriedades do Pêndulo Gravítico 2

Introdução – Objectivos e Fundamentos Teóricos Essenciais

O objectivo deste trabalho experimental foi a determinação do período de oscilação de um

pêndulo gravítico em função da sua amplitude da oscilação, da sua massa e do seu

comprimento, para o caso de pequenas oscilações. Ao comparar os valores obtidos nas diversas

condições, deveríamos também comprovar algumas das propriedades do pêndulo (ex.: para

ângulos pequenos – menores que 30º - o período da oscilação é semelhante,

independentemente da amplitude do movimento).

O pêndulo gravítico, também chamado simples, é um sistema constituído por um corpo

sólido e móvel (o pêndulo) que está suspenso por um fio, corda, corrente ou equivalente num

ponto fixo. Se o pêndulo estiver imóvel, apenas sob a influência da força da gravidade e da

tenção que o fio exerce sobre ele, isto é, com o fio esticado e na vertical, dizemos que o pêndulo

está em equilíbrio, pelo contrário, se o pêndulo for afastado desta posição por uma força externa

ao sistema, este, por acção da força da gravidade tende a voltar à posição de equilíbrio. Se o

pêndulo for largado de uma posição na qual o ângulo que o fio faz com a vertical é menor que

30º e diferente de 0º, o pêndulo adquire um movimento harmónico simples, em torno da posição

de equilíbrio, isto é, quando o pêndulo é afastado da posição de equilíbrio, adquire energia

potencial, devido à diferença de alturas entre a posição inicial e a final, essa energia potencial é

transformada em energia cinética ao longo da descida, quando o pêndulo passa pela posição de

equilíbrio vai com velocidade máxima, é esta velocidade que faz com que ele continue o

movimento e transforme a energia cinética (agora máxima) em energia potencial, encontrando-

se agora num ponto à mesma altura (se não considerarmos os atritos) do ponto onde foi largado

verticalmente oposto (em relação à posição de equilíbrio) a este último, quando o pêndulo chega

a esta posição de altura máxima, pára e recomeça todo o movimento outra vez, como se tivesse

sido largado desta última posição - se não considerarmos nenhum atrito, este movimento

harmónico simples repete-se indefinidamente, sempre com o mesmo ângulo, até voltarem a

actuar forças externas ao sistema, pelo contrário, se considerarmos os atritos, vamos ter

oscilações amortecidas, e o ângulo vai a pouco e pouco diminuindo, até o pêndulo estar na

posição de equilíbrio.

O pêndulo quando está em movimento tem duas forças a actuar sobre ele: a força do peso

e a força da tensão exercida pelo fio. A força da tensão é sempre colinear com o fio se este

estiver esticado, e começa no centro de massa do corpo e aponta para o ponto no qual o fio que

suspende o pêndulo está fixo. A força do peso começa sempre no centro de massa do corpo e

aponta sempre para baixo, assim, quando o pêndulo adquire um movimento harmónico simples,


a força da gravidade pode-se considerar em duas componentes: a componente tangencial e a

componente centrifuga, a primeira aponta para a posição de equilíbrio do pêndulo, varia em

função do seno do ângulo formado com a vertical (é máxima quando o pêndulo está na

eminência de mudar de sentido do movimento), e é esta força que faz com que o pêndulo tenha

tendência a voltar à posição de equilíbrio; a segunda, aponta no sentido contrário da tensão, e é

igual ao módulo desta (nas condições normais), varia segundo a função co-seno (é máxima

quando o pêndulo passa pela posição de equilíbrio), e é a força responsável por o fio se manter

esticado.

Uma vez que o movimento do pêndulo obedece a uma grande regularidade é possível

estudá-lo de acordo com as leis do movimento harmónico simples: é possível determinar o seu

período, a sua frequência de oscilação, a expressão para o seu movimento, a amplitude, o

ângulo a que se afasta da posição de equilíbrio, a velocidade, a aceleração, etc.

A velocidade angular a que o pêndulo se desloca é dada pela seguinte expressão, na qual

“ω” representa a velocidade angular, “θ” representa o ângulo descrito e “Δ t” o intervalo de tempo

para o objecto descrever o ângulo considerado:

ω = θ / Δ t , se considerarmos como ângulo descrito uma volta completa, temos:

ω = 2 π / T , uma vez que o ângulo giro em radianos é igual a 2π, e o tempo para

uma volta completa é o período do movimento.

A aceleração normal do sistema, neste caso específico, igual, em módulo, à tensão

exercida pelo fio no corpo, é dada pela seguinte expressão, na qual “ω” representa a velocidade

angular, “R” representa o raio da curva descrita pelo objecto (a distância que vai do centro de

massa deste até ao centro da curva, neste caso o ponto onde o fio está fixo) e “a n” a aceleração

normal do sistema:

an = ω2. R , como a aceleração normal é igual em módulo à aceleração da

gravidade, se considerarmos positivo a direcção e sentido na qual os objectos caem sob a acção

da força da gravidade, e se substituirmos o raio da curva descrita pelo objecto pelo comprimento

do fio, temos:

g = (2 π / T )2. l , na qual “g” é a aceleração da gravidade, e “l” o comprimento do fio.

O período do movimento pode ser deduzido através da expressão anterior:

an = ω2. R

g = (2 π / T )2. l

g = 4 π2 l / T2

T2 = 4 π2 l / g


T = √(4 π2 l / g)

T = 2 π √(l / g)

A expressão que permite determinar o ângulo de um movimento harmónico simples é a

seguinte:

θ(t) = θ0 + ω0t + ½ α t2

Nesta expressão, θ0 é o ângulo inicial em que a partícula se encontra, ω0 é a velocidade

angular inicial, t é o intervalo de tempo entre o tempo inicial (onde a partícula se encontra no

ângulo θ0) e o tempo final (o último instante em que o tempo está a ser analisado) e α é a

aceleração angular.

A frequência é igual ao inverso do período, isto é: f = 1 / T

A expressão que permite determinar a posição da partícula é a seguinte:

x(t) = A sin (ω.t + φ)

Nesta expressão “A” é a amplitude do movimento, “ω” é a velocidade angular da partícula,

“t” é o intervalo de tempo, e “φ” a fase inicial do movimento.

O ângulo do qual a partícula se afasta da posição inicial pode ser deduzido através das

fórmulas apresentados anteriormente.


Questões pré-laboratoriais

1. Faça uma pesquisa histórica sobre a importância do pêndulo como medidor do

tempo.

Os primeiros relógios tinham um escapo de roda de encontro e uma alavanca com pesos

que oscilava horizontalmente e controlava a cadência do movimento, este tipo de relógios

funcionava graças a uma massa suspensa. Em finais do século XVI, Galileu descobriu que um

pêndulo tinha um movimento isócrono, cujo período dependia do seu comprimento, tendo isto, o

relógio de pêndulo foi desenvolvido e introduzido pelo holandês Huygens, em 1650. Era o

movimento do pêndulo que controlava a velocidade do relógio através da âncora.

O escapo de âncora foi aperfeiçoado no século XVIII e ainda hoje é utilizado. No século

XVI Peter Henlein fabricou o primeiro relógio de bolso, apesar de só ter sido possível construir

um de tamanho realmente prático no século seguinte, quando se inventou a mola espiral. Nestes

relógios, o pêndulo é substituído por uma mola fina que imprime um movimento de vaivém a um

volante.

2. Trace o diagrama das forças que actuam sobre o pêndulo quando o fio faz um

ângulo θ com a vertical. Escreva a Segunda Lei de Newton para essa posição. Qual é a

força que tende a restaurar a posição de equilíbrio do pêndulo? Indique as componentes

(tangencial e normal) da aceleração.

T representa a tensão exercida

pelo fio no corpo, M representa o

corpo, P representa o peso do corpo,

neste caso, com duas componentes:

Px – componente tangencial – e Py –

componente normal da aceleração.


Como o fio é, teoricamente, inextensível, a tensão tem que ser igual ao peso para o fio não

se partir, assim, temos:

Py = mg cos (θ) = T

F = ma

F = Px

F = mg sin (θ)

A força que faz com que o pêndulo tenha tendência a voltar à posição de equilíbrio é a

componente tangencial do peso, Px (Px = mg sin [θ]), uma vez que esta é proporcionalmente

dependente ao seno do ângulo formado com a vertical, assim se o ângulo for menor que 90º e

maior que 0º, essa força é positiva (coerentemente com os referenciais adoptados), se o ângulo

for menor que 0º e superior a 90º, a força é negativa.

A componente normal da aceleração é a aceleração que puxa o corpo para o centro da

curva e é a responsável pela mudança de direcção do corpo, a componente tangencial da

aceleração é a responsável pela mudança de velocidade

angular (e também em módulo). As expressões que permitem calcular cada uma destas

componentes da aceleração são as seguintes:

an = -P cos (θ)

at = -P sin (θ)

2. Identifique o tipo de movimento do pêndulo gravítico para pequenas

oscilações e escreva a expressão do seu período: dependerá da amplitude do

movimento? E da massa do pêndulo? E do comprimento do fio?

O tipo de movimento esperado para pequenas oscilações é o movimento harmónico

simples, uma vez que é bastante regular.

Cálculo da expressão do período para o MHS:

an = ω2. R

g = (2 π / T )2. l

g = 4 π2 l / T2


T2 = 4 π2 l / g

T = √(4 π2 l / g)

T = 2 π √(l / g) - ver “introdução” para mais informação.

Como podemos concluir por observação directa da fórmula deduzida, o período não

depende da amplitude do movimento, não depende da massa do pêndulo, mas é directamente

proporcional ao comprimento do fio.

4. Como varia o período do pêndulo? E como varia o quadrado do período com o

comprimento do pêndulo? Se quiséssemos relacionar estas grandezas através de um

gráfico linear, como deveríamos fazê-lo? Poderíamos, deste modo, calcular

experimentalmente a aceleração da gravidade? Como?

O período do pêndulo varia em proporcionalidade directa com o comprimento do fio que

segura o pêndulo (T = 2 π √(l / g) , no qual l é o comprimento do fio – ver dedução). O quadrado

do período do pêndulo varia numa proporcionalidade directa com o comprimento do pêndulo (T2

= 4 π2 l / g, no qual l é o comprimento do fio – ver dedução). Para representarmos estes valores

sob a forma de um gráfico linear deveríamos representar vários valores (preferencialmente muito

afastados) do comprimento do fio no eixo horizontal, e no eixo vertical, deveríamos colocar os

valores de T 2, para tal resolveríamos a expressão deduzida para o período, T, com cada valor

do comprimento do fio já considerado (por exemplo, através da construção de uma tabela), e nos

valores do eixo vertical representaríamos os valores de T encontrados multiplicados por si

próprio (T2), a vantagem deste tipo de gráficos, é que se considerarmos valores do comprimento

do fio menores que 1m, iremos encontrar valores de T muito baixos e muito próximos, assim, se

representarmos T 2 a escala no eixo vertical é suficientemente grande para ser fácil considerar e

interpretar os seus valores; com este método encontraríamos vários pontos para o eixo vertical

em função do comprimento do fio, depois de achados estes pontos, bastaria uni-los uns aos

outros e desta forma construir um gráfico linear. Era possível através deste método calcular a

aceleração da gravidade, para tal teríamos que desenvolver a expressão do período:

T = 2 π √(l / g)

T / 2 π = √(l / g)

l / g = T2 / (4 π2)

g = l / (T2 / [4 π2])

g = l 4 π2 / T2

Com esta expressão podemos facilmente deduzir que para acharmos o valor da

aceleração da gravidade, através do gráfico traçado, devemos multiplicar os valores do


comprimento do fio (eixo horizontal) por 4 π e seguidamente dividir essa quantia pelo valor

respectivo do período ao quadrado (encontrados no eixo vertical).

5. Tendo apenas um cronómetro, como medir o período do pêndulo minimizando a

incerteza experimental?

Não podendo recorrer a equipamentos mais precisos, teremos que efectuar a medição

com poucas certezas (ex. não há a certeza de quando o objecto inverte o sentido do movimento,

o tempo de reacção para parar o cronómetro é demasiado curto para o tempo a medir, etc.).

Sabendo que os períodos vão ser bastante curtos (aproximadamente 1,2 s) apercebemo-nos

que a observação normal é insuficientemente rápida para efectuar este tipo de medições, assim,

se deixarmos que o pêndulo faça algumas oscilações para estabilizar o movimento, temos mais

tempo para prever quando o pêndulo vai passar na posição que iremos considerar como posição

inicial, e consequentemente resultados mais precisos. Apesar de tudo, continuamos a ter pouco

tempo para iniciar e parar o cronómetro, assim, para diminuir incertezas experimentais, optámos

por medir o tempo total que o pêndulo leva a fazer 6 oscilações, e o período será o valor obtido a

dividir por 6 unidades. Será boa prática, também, efectuar várias medições por várias pessoas

diferentes, e fazer a média, para que o erro de observação seja mais atenuado.

6. Planeie um procedimento experimental que permita:

a) Medir o período do movimento em função da amplitude, qualquer que esta seja;

b) Medir o período do movimento em função da massa do pêndulo e do seu

comprimento, no caso de pequenas oscilações;

Ver procedimento experimental.


Questões pós-laboratoriais

1. O período do movimento depende sempre da amplitude da oscilação? Justifique.

O período do movimento não depende da amplitude da oscilação, se as oscilações não

tiverem ângulos superiores a 30º, uma vez que a partir deste valor, já há grandes

amortecimentos. Esta conclusão pode não ser totalmente verdadeira se estivermos a considerar

atritos, uma vez que eles retiram energia ao sistema.

2. Trace gráficos que permitam relacionar o período com a massa do corpo e com

o comprimento do fio para o caso de pequenas oscilações.

Considerando uma oscilação de 10º, temos:


Relação Período - Massa (comprimento 1 = 0,525 m)

1,42

1,42

1,43

1,43

1,44

1,44

1,45

1,45

1,46

1,46

1,47

1 2 3

Medições

Per

íod

os

massa 1

massa 2

Através da análise dos dois gráficos podemo-nos aperceber que a diferença do valor dos

períodos para as duas massas, nos dois casos, é bastante pequena, os erros obtidos devem-se

provavelmente a atritos, amortecimentos e erros de medição, uma vez que as diferenças de

tempos não excedem os 0,07 segundos.

3. Trace o gráfico que lhe permita, através de uma regressão linear, calcular a

aceleração da gravidade. Compare o valor obtido com o valor tabelado e indique o

respectivo erro percentual. O resultado é muito ou pouco exacto?

Utilizando os mesmos 6 valores da questão anterior, e aplicando a fórmula da gravidade

deduzida (g = l 4 π2 / T2), obtemos um valor de aceleração da gravidade para cada ponto, a

média de todos esses pontos dá 9.928 ms-2, o que é ligeiramente superior à aceleração da

gravidade tabelada (9,8 ms-2). O erro percentual do valor obtido é |1 - 9,987/9,8| ≈ |-

0.019|, isto é, um erro inferior a 1,9 %. É um resultado muito exacto, contudo, o valor mais

comum seria abaixo do valor teórico, o facto de termos obtido um valor acima do tabelado deve-

se provavelmente a alguns arredondamentos ou erros de leitura na execução da experiência.

4. Se um relógio de pêndulo tiver um fio metálico, terá o mesmo período num dia de

Verão e num dia de Inverno? Porquê?

Se o pêndulo for construído com base num fio metálico, o período no Verão irá aumentar,

uma vez que o fio metálico com o calor dilata (o relógio vai atrasar), e consequentemente, o


comprimento do fio também aumenta, levando mais tempo para fazer uma oscilação. Num dia de

Inverno o fio contrai-se e acontece exactamente o oposto: o relógio adianta.

5. Indique as condições para que um pêndulo gravítico possa funcionar como um

bom relógio.

Para um pêndulo gravítico funcionar como um bom relógio, o fio não deve ser de metal,

devemos ter em conta o tipo de materiais escolhidos na construção, para que possíveis folgas

não venham comprometer o funcionamento do mesmo, o clima deve ser estável e não devem

existir correntes de ar na zona do pêndulo (é por essas razões que muitas vezes os pêndulos

dentro dos relógios mais antigos se encontram dentro de uma caixa com porta de vidro), e

finalmente, talvez a característica mais essencial, é que, uma vez que não estamos num sistema

perfeito, existem vários atritos, e, para que o relógio não atrase, deve ter um sistema de

compensação da energia perdida com o atrito (geralmente uma mola).

6. Se um relógio de pêndulo for levado da Terra para a Lua, atrasa-se ou adianta-se?

Porquê?

Tendo em conta a expressão já deduzida do período e tendo em conta que a gravidade na

lua é 1,62 ms-2, temos:

T = 2 π √(l / g) , se o comprimento do fio for, por exemplo 1m, temos:

Período de um relógio de pêndulo na Terra (pêndulo = 1m)

T = 2 π √( 1/ 9.8)

T ≈ 2.00 s

Período de um relógio de pêndulo na Lua (pêndulo = 1m)

T = 2 π √( 1/ 1,62)

T ≈ 4,93 s

Na Lua o relógio iria claramente atrasar, uma vez que a força do campo gravítico lunar é

menos intenso que na Terra, logo, as forças que puxam o pêndulo para a posição de equilíbrio

são menos intensas, o que faz com que o pêndulo ande muito mais devagar.


Material:

2 Massas diferentes (com gancho);

2 Fios (1 m e 0,8 m);

1 Suporte Universal ou equivalente;

2 Folhas brancas A3;

Caneta;

Transferidor;

Régua (maior que 50 cm);

Cronómetro;

Fita-Cola

Os dois fios podem ser substituídos por apenas um, mas quando o utilizarmos para a

segunda série de medições, devemos encurtá-lo com um nó – esta medida não é muito

aconselhável, uma vez que gera ainda mais atritos, mas é uma opção quando há pouco material

disponível.


Esquema de Montagem

1 – Fita-cola

2 – Eixo de fixação dos fios

3 – Papel com a marcação dos ângulos

4 – Massa (pêndulo)

5 – Fios

6 – Superfície de apoio


1

2

3

4

5

6

Procedimento Experimental

Unir as duas folhas de papel com fita-cola de forma a formar uma figura com o

lado aproximadamente igual ao comprimento (ver anexo);

Com a ajuda do transferidor, marcar ângulos com diferença de 10º a partir do

centro, até chegar aos 30º, marcar também a linha dos 45º e destacar os pontos intermédios

entre cada ângulo para usar como referência (ver anexo);

Definir um eixo com a ajuda do suporte universal onde fixar o sistema;

Fixar a folha na parede ou noutro suporte, com o ponto de origem dos ângulos

virado para cima, exactamente por baixo do eixo;

Fixar com um nó, uma das pontas do fio numa das extremidades do eixo, a outra

ponta do fio também deve ser fixa através de um processo semelhante na outra extremidade do

eixo – esta distância entre os dois nós confere estabilidade ao sistema;

Fixar uma das massas no meio do fio, para o esticar;

Com a régua, medir a distância que vai desde o centro de massa do corpo até

ao ponto intermédio entre os dois nós no eixo;

Escolher quatro ângulos, preferencialmente menores que 30º;

Esticar o fio até este se sobrepor a um dos ângulos escolhidos e largar;

Esperar que o pêndulo faça duas oscilações e iniciar a cronometragem;

Esperar mais 6 oscilações e parar o cronómetro;

Apontar o valor obtido;

Repetir os últimos quatro passos para cada ângulo, sendo que cada um dos três

elementos escolhidos efectua uma medição para cada ângulo (4 ângulos x 3 pessoas = 12

medições);

Repetir os últimos cinco passos, mas agora substituindo a massa em suspensão

no fio por outra massa diferente (12 medições x 2 massas = 24 medições);

Repetir os últimos 6 passos, mas agora alterando o comprimento do fio (24

medições x 2 comprimentos = 48 medições);


Registo de medições / Cálculos

A expressão do período de um movimento harmónico simples pode ser deduzida através

da forma da aceleração normal:

an = ω2. R

g = (2 π / T )2. l

g = 4 π2 l / T2

T2 = 4 π2 l / g

T = √(4 π2 l / g)

T = 2 π √(l / g)

Com isto poderemos calcular um valor teórico, e assim, comparar os resultados obtidos:

O primeiro comprimento do fio considerado foi 0,525 m, por tal, o período é:

T = 2 π √(l / g)

T1 = 2 π √(0,525/ 9.8)

T1 ≈ 1,45 s

O segundo comprimento do fio considerado foi 0,418 m, por tal, o período é:

T = 2 π √(l / g)

T1 = 2 π √(0,418/ 9.8)

T1 ≈ 1,30 s


Organizando os dados numa tabela:

Valor de 6 períodos: Valor de 1 período:

Comprimento Massa Ângulo V1* V2* V3* V1* V2* V3*

Comp. 1

0.525 m

M1

49.76 g

30 º 8,66 8,83 8,73 1,45 1,47 1,46

20 º 8,89 8,64 8,73 1,47 1,44 1,46

10 º 8,67 8,59 8,61 1,46 1,43 1,44

5 º 8,64 8,6 8,64 1,44 1,43 1,44

M2

99.98 g

30 º 8,7 8,77 8,85 1,48 1,46 1,48

20 º 8,66 8,63 8,75 1,45 1,44 1,46

10 º 8,89 8,74 8,69 1,44 1,46 1,45

5 º 8,67 8,57 8,65 1,45 1,43 1,44

Comp. 2

0.418 m

M1

49.76 g

30 º 7,8 7,85 7,7 1,3 1,31 1,28

20 º 7,84 7,8 7,74 1,31 1,3 1,29

10 º 7,79 7,83 7,75 1,3 1,31 1,29

5 º 7,78 7,73 7,69 1,3 1,29 1,28

M2

99.98 g

30 º 7,78 7,94 7,84 1,3 1,32 1,31

20 º 7,72 7,82 7,67 1,29 1,3 1,28

10 º 7,64 7,7 7,82 1,27 1,28 1,3

5 º 7,73 7,59 7,65 1,29 1,27 1,28

* Os valores encontram-se arredondados às duas casas decimais, e em segundos, segundo o

sistema internacional de medidas

Como podemos confirmar através dos valores obtidos a partir da tabela, conservando o

comprimento do fio, independentemente do ângulo escolhido ou da massa utilizada, os valores

do período são bastante semelhantes (a amplitude de valores é aproximadamente 0,6 s) e estão

próximos do valor teórico calculado anteriormente.


Críticas, Observações e Conclusão

Observámos claramente que colocando o pêndulo num grau superior a 30º, o

amortecimento era tal, que os valores obtidos para o período não eram minimamente

coincidentes com o valor teórico, outro factor que nos levou a desprezar os valores lidos foi o

facto de depois do pêndulo entrar em movimento, dificilmente estabilizava num ângulo mais ou

menos certo (com ângulos mais pequenos - 30º e 20º - o pêndulo estabilizava aproximadamente

3º abaixo do ângulo a que foi largado, o que não aconteceu neste caso), o que nos impedia de

tirar conclusões realísticas acerca do movimento, assim, desprezámos ângulos maiores a 30º.

Uma dificuldade sentida na realização do trabalho experimental deveu-se ao curto

comprimento do eixo no qual fixámos as extremidades do fio, por tal, se o pêndulo fosse largado

ainda que com um curto ângulo de desvio do plano imaginário paralelo à parede que passa pelo

pêndulo, este acabaria por bater na parede, obrigando-nos a repetir a medição.

Com o decorrer do trabalho experimental, e observando os valores obtidos, concluímos

que quanto maior o comprimento do pêndulo, maior é o período do mesmo e vice-versa, sendo

este o único factor capaz de alterar o período do pêndulo (além do atrito). Esta variação é dada

pela expressão T = 2 π √(l / g) – ver introdução. Logo concluímos que o período do pêndulo não

é dependente da massa do pêndulo nem do ângulo máximo que o ângulo atinge.

Os resultados contêm grandes erros de leitura uma vez que o cronómetro utilizado tinha

pouca precisão e, por vezes o botão de ligar / desligar o cronómetro não respondia, ou quando

respondia era mais lento, assim, obtínhamos valores para o período demasiadamente elevados,

contudo, os valores obtidos mantiveram-se dentro de um limite aceitável.


Bibliografia

Ventura, Graça; Fiolhais, Manuel; Fiolhais, Carlos; Paixão, José António;

“12 F”, Texto Editores, Lisboa, 2005, 1ª edição.

Correia, Mário Dias; “Nova Enciclopédia Portuguesa”, volume 22,

Ediclube, 1992 - Lisboa


Anexo 1


Documents

12 FIS relatorio2