Elementos de Matemática - UEL Portal · 4.4 Funcão seno ... Se o ponto M está no segundo quadrante, tal que o ângulo a ... 5π/6 150o 1/2

Elementos de MatematicaTrigonometria Circular - 2a. parte

Roteiro no. 7 - Atividades didaticas de 2007Versao compilada no dia 28 de Maio de 2007.

Departamento de Matematica - UEL

Prof. Ulysses SodreE-mail: [email protected]

Matematica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas construıdas com materiais utilizados em nossasaulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam umroteiro para as aulas e nao espero que estas notas venham a substituirqualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livroscitados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Emportugues, ha pouco material de domınio publico, mas em ingles existemdiversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos queo leitor faca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.

Mensagem: ‘Ai daqueles que nas suas camas maquinam a iniquidade eplanejam o mal. Quando raia o dia, poem-no por obra, pois esta no poderda sua mao. E cobicam campos, e os arrebatam, e casas, e as tomam;assim fazem violencia a um homem e a sua casa, a uma pessoa e a suaheranca.’ A Bıblia Sagrada, Miqueias 2:1-2

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CONTEUDO

1 Cotangente, Secante e Cossecante 1

1.1 Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Angulos no segundo quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Angulos no terceiro quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Angulos no quarto quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Secante e cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6 Algumas propriedades da secante e da cossecante . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7 Relacoes trigonometricas com secante e cossecante . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8 Alguns angulos notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Resolucao de triangulos 7

2.1 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Area de um triangulo em funcao dos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Formulas de arco duplo, arco triplo e arco metade 13

3.1 Formulas de arco duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Formulas de arco triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Formulas de arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Elementos de Matematica - No. 7 - Ulysses Sodre - Matematica - UEL - 2007

CONTEUDO iii

4 Funcoes trigonometricas circulares 16

4.1 Funcoes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Funcoes crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Funcoes pares e ımpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4 Funcao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.5 Funcao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.6 Funcao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.7 Funcao cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.8 Funcao secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.9 Funcao cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Funcoes trigonometricas inversas 29

5.1 Funcao arco-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Funcao arco-cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3 Funcao arco-tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.4 Funcao arco-cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


CAPITULO 1

Cotangente, Secante e Cossecante

1.1 Cotangente

Seja a reta s tangente a circunferencia trigonometrica no ponto B = (0, 1).Esta reta s e perpendicular ao eixo OY . A reta passando pelo ponto M

e pelo centro da circunferencia intersecta a reta tangente s no ponto S =(s′, 1). A abscissa s′ deste ponto e definida como a cotangente do arco AM

correspondente ao angulo a.

Assim, a cotangente do angulo a e dada pelas suas varias determinacoes

cot(AM) = cot(a) = cot(a + 2kπ) = m(BS) = s′

Os triangulos OBS e ONM sao semelhantes, logo:

BS

OB=

ON

MN


1.2. ANGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE 2

Como a circunferencia e unitaria |OB| = 1, logo:

cot(a) =cos(a)

sen(a)

que e equivalente a

cot(a) =1

tan(a)

A cotangente de angulos do primeiro quadrante e positiva.

Quando a = 0, a cotangente nao existe, pois as retas s e OM sao paralelas.

1.2 Angulos no segundo quadrante

Se o ponto M esta no segundo quadrante, tal que o angulo a ∈ [π/2, π],entao a cotangente de a e negativa. Observacao: cot(π/2) = 0.

1.3 Angulos no terceiro quadrante

Se o ponto M esta no terceiro quadrante e o angulo a ∈ [π, 3π/2], entao acotangente e positiva. Quando a = π, a cotangente nao existe, as retas quepassam por OM e BS sao paralelas.


1.4. ANGULOS NO QUARTO QUADRANTE 3

1.4 Angulos no quarto quadrante

Se o ponto M esta no quarto quadrante e o angulo a ∈ [3π/2, 2π], entao acotangente de a e negativa. Observacao: cot(3π/2) = 0.

1.5 Secante e cossecante

Uma reta r tangente a circunferencia trigonometrica no ponto M = (x′, y′) eperpendicular a reta contendo o segmento OM . A reta r intersecta os eixoscoordenados nos pontos U = (0, u) e V = (v, 0). A abscissa v do ponto V , edefinida como a secante do arco AM correspondente ao angulo a e a ordenadau do ponto U , e definida como a cossecante do arco AM correspondente aoangulo a.

Assim, a secante do angulo a e a cossecante do angulo a sao dadas pelas suasvarias determinacoes:

sec(AM) = sec(a) = sec(a + 2kπ) = m(OV ) = v

csc(AM) = csc(a) = csc(a + 2kπ) = m(OU) = u


1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES DA SECANTE E DA COSSECANTE 4

Os triangulos OMV e Ox′M sao semelhantes, deste modo,

OV

OM=

OM

Ox′

que pode ser escrito como

sec(a) =1

cos(a)

se cos(a) e diferente de zero.

Os triangulos OMU e Ox′M sao semelhantes, logo:

OU

OM=

OM

x′M

que pode ser escrito como

csc(a) =1

sen(a)

desde que sen(a) seja diferente de zero.

1.6 Algumas propriedades da secante e da cossecante

Observando as representacoes geometricas da secante e da cossecante, con-statamos as seguintes propriedades:

1. Como os pontos U e V sempre estao fora do cırculo trigonometrico,as suas distancias ate o centro da circunferencia sao sempre maiores ouiguais que a medida do raio unitario. Daı segue que:

(a) sec(a) ≤ −1 ou sec(a) ≥ 1

(b) csc(a) ≤ −1 ou csc(a) ≥ 1

2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivono 1o. e no 4o. quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.


1.7. RELACOES TRIGONOMETRICAS COM SECANTE E COSSECANTE 5

3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivono 1o. e no 2o. quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.

4. Nao existe a secante de angulos da forma a =π

2+ kπ, onde k ∈ Z, pois

cos(π

2+ kπ) = 0.

5. Nao existe a cossecante de angulos da forma a = kπ, onde k ∈ Z, poissen(kπ) = 0.

1.7 Relacoes trigonometricas com secante e cossecante

Valem as seguintes identidades trigonometricas

sec2(a) ≡ 1 + tan2(a)

csc2(a) ≡ 1 + cot2(a)

que sao justificadas por

1 + tan2(a) = 1 +sen2(a)

cos2(a)=

1

cos2(a)= sec2(a)

1 + cot2(a) = 1 +cos2(a)

sen2(a)=

1

sen2(a)= csc2(a)


1.8. ALGUNS ANGULOS NOTAVEIS 6

1.8 Alguns angulos notaveis

arco xo sen(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x)

0 0o 0 1 0 Inexiste 1 Inexiste

π/6 30o 1/2√

3/2√

3/3√

3 2√

3/3 2

π/4 45o√

2/2√

2/2 1 1√

2√

2

π/3 60o√

3/2 1/2√

3√

3/3 2 2√

3/3

π/2 90o 1 0 Inexiste 0 Inexiste 1

2π/3 120o√

3/2 1/2 −√

3 −√

3/3 −2 2√

3/3

3π/4 135o√

2/2 −√

2/2 −1 −1 −√

2√

2

5π/6 150o 1/2√

3/2 −√

3/3 −√

3 −2√

3/3 2

π 180o 0 −1 0 Inexiste −1 Inexiste

7π/6 210o −1/2 −√

3/2√

3/3√

3 −2√

3/3 −2

5π/4 225o −√

2/2 −√

2/2 1 1 −√

2 −√

2

4π/3 240o −√

3/2 −1/2√

3√

3/3 −2 −2√

3/3

3π/2 270o −1 0 Inexiste 0 Inexiste −1

5π/3 300o −√

3/2 1/2 −√

3 −√

3/3 2 −2√

3/3

7π/4 315o −√

2/2√

2/2 −1 −1√

2 −√

2

11π/6 330o −1/2√

3/2 −√

3/3 −√

3 2√

3/3 −2

2π 360o 0 1 0 Inexiste 1 Inexiste


CAPITULO 2

Resolucao de triangulos

Os elementos fundamentais de um triangulo sao: os lados, os angulos e a area.Resolver um triangulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Tendotres dentre estes elementos podemos usar as relacoes metricas ou as relacoestrigonometricas dependendo do caso, para calcular os outros elementos. Estasrelacoes estao expostas na sequencia.

2.1 Lei dos Senos

Seja um triangulo qualquer, como o que aparece na figura

com lados a, b e c, respectivamente tendo angulos opostos A, B e C. Oquociente entre a medida de cada lado e o seno do angulo oposto a este ladoe uma constante igual a 2R, em que R e o raio da circunferencia circunscritaao triangulo, isto e:

a

sen(A)=

b

sen(B)=

c

sen(C)= 2R


2.1. LEI DOS SENOS 8

Demonstracao: Para simplificar as notacoes denotaremos o angulo que corre-sponde a cada vertice pelo nome do vertice, por exemplo para o triangulo devertices ABC os angulos serao A, B e C respectivamente, assim quando es-crevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do angulo correspondentecom vertice em A.

Seja ABC um triangulo qualquer, inscrito numa circunferencia de raio R.Tomando como base do triangulo o lado BC, construimos um novo trianguloBCA′, de tal modo que o segmento BA′ seja um diametro da circunferencia.Este novo triangulo e retangulo em C.

Temos tres casos a considerar, dependendo se o triangulo ABC e acutangulo,obtusangulo ou retangulo.

1. Triangulo acutangulo: Os angulos correspondentes aos vertices A e A′

sao congruentes, pois sao angulos inscritos a circunferencia correspon-dendo a um mesmo arco BC. Entao:

sen(A′) = sen(A) =a

2R

isto e,a

sen(A)= 2R


2.1. LEI DOS SENOS 9

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obtemos os outrosquocientes

b

sen(B)=

c

sen(C)= 2R

2. Triangulo obtusangulo: Se A e A′ sao os angulos que correspondemaos vertices A e A′, a relacao entre eles e dada por A′ = π−A, pois saoangulos inscritos a circunferencia correspondentes a arcos replementaresBAC e BA′C. Entao

sen(π − A) =a

2R= sen(A)

isto e,a

sen(A)= 2R

Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, obteremos osoutros quocientes

b

sen(B)=

c

sen(C)= 2R

3. Triangulo retangulo: Como o triangulo ABC e um triangulo retangulo,e imediato que

sen(B) =b

a, sen(C) =

c

a, sen(A) = sen(

π

2) = 1


2.2. LEI DOS COSSENOS 10

Como, neste caso a = 2R, temos,

a

sen(A)=

b

sen(B)=

c

sen(C)

2.2 Lei dos Cossenos

Em um triangulo qualquer, o quadrado da medida de um lado e igual adiferenca entre a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados eo dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do angulo formadopor estes lados.

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)

b2 = a2 + c2 − 2 a c cos(B)

c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(C)

Demonstracao: Temos tres casos a considerar, dependendo se o trianguloABC e acutangulo, obtusangulo ou retangulo.

1. Triangulo retangulo: Se o triangulo ABC e retangulo, com angulo retono vertice A, a relacao

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)

Como cos(A) = cos(π/2) = 0, esta relacao recai na relacao de Pitagoras:

a2 = b2 + c2

2. Triangulo acutangulo: Seja o triangulo ABC um triangulo acutangulocom angulo agudo correspondente ao vertice A, como mostra a figura.Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do


2.2. LEI DOS COSSENOS 11

triangulo relativa ao lado AB), passando pelo vertice C. Aplicando oTorema de Pitagoras no triangulo CHB, temos:

a2 = h2 + (c− x)2 = (h2 + x2) + c2 − 2cx (2.1)

No triangulo AHC, temos que b2 = h2 + x2 e tambem cos(A) =x

b,

ou seja, x = b cos(A). Substituindo estes resultados na equacao 2.1,obtemos:

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)

3. Triangulo obtusangulo: Seja o triangulo obtusangulo ABC com oangulo obtuso correspondente ao vertice A, como mostra a figura. Seja

o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triangulorelativa ao lado AB), passando pelo vertice C. Aplicando o Torema dePitagoras no triangulo CHB, temos que:

a2 = h2 + (c + x)2 = (h2 + x2) + c2 + 2cx (2.2)

No triangulo AHC, obtemos a relacao de Pitagoras b2 = h2 + x2 e

tambem cos(D) =x

b= cos(π − A) = − cos(A), logo, x = −b cos(A).

Substituindo estes resultados na equacao 2.2, obtemos:

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(A)


2.3. AREA DE UM TRIANGULO EM FUNCAO DOS LADOS 12

As expressoes da lei dos cossenos podem ser escritas na forma

cos(A) =b2 + c2 − a2

2 b c

cos(B) =a2 + c2 − b2

2 a c

cos(C) =a2 + b2 − c2

2 a b

2.3 Area de um triangulo em funcao dos lados

Existe uma formula para calcular a area de um triangulo conhecendo-se asmedidas de seus lados. Se a, b e c sao as medidas dos lados do triangulo, p ametade do perımetro do triangulo, isto e: 2p = a + b + c, entao,

S =√

p(p− a)(p− b)(p− c)

A demonstracao da formula acima esta em nosso link Formula de Heron:http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/heron/heron.htm


http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/heron/heron.htm

http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/heron/heron.htm

CAPITULO 3

Formulas de arco duplo, arco triplo e arco metade

Conhecendo-se as relacoes trigonometricas de um arco de medida a, podemosobter estas relacoes trigonometricas para arcos de medidas 2a, 3a e a/2, quesao consequencias imediatas das formulas de soma de arcos.

3.1 Formulas de arco duplo

Como

sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b)

cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sen(a)sen(b)

dividindo membro a membro a primeira expressao pela segunda, obtemos:

tan(a + b) =sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b)

cos(a) cos(b)− sen(a)sen(b)

Dividindo todos os 4 termos da fracao por cos(a) cos(b), segue a formula:

tan(a + b) =tan(a) + tan(b)

1− tan(a) tan(b)

Tomando b = a, obtemos algumas formulas do arco duplo:

sen(2a) = sen(a) cos(a) + cos(a)sen(a) = 2sen(a) cos(a)

cos(2a) = cos(a) cos(a)− sen(a)sen(a) = cos2(a)− sen2(a)


3.2. FORMULAS DE ARCO TRIPLO 14

de onde segue que

tan(2a) =tan(a) + tan(a)

1− tan(a) tan(a)=

2 tan(a)

1− tan2(a)

Substituindo sen2(a) = 1− cos2(a) nas relacoes acima, obtemos uma relacaoentre o cosseno do arco duplo com o cosseno do arco:

cos(2a) = cos2(a)− sen2(a) = cos2(a)− (1− cos2(a) = 2 cos2(a)− 1

Substituindo cos2(a) = 1− sen2(a) nas relacoes acima, obtemos uma relacaoentre o seno do arco duplo com o seno do arco:

cos(2a) = cos2(a)− sen2(a) = 1− sen2(a)− sen2(a)) = 1− 2sen2(a)

3.2 Formulas de arco triplo

Se b = 2a em sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b), entao

sen(3a) = sen(a + 2a) = sen(a) cos(2a) + cos(a)sen(2a)

= sen(a)[1− 2sen2(a)] + [2sen(a) cos(a)] cos(a)

= sen(a)[1− 2sen2(a)] + 2sen(a) cos2(a))

= sen(a)[1− 2sen2(a)] + 2sen(a)[1− sen2(a)]

= sen(a)− 2sen3(a)) + 2sen(a)− 2sen2(a))

= 3sen(a)− 4sen3(a)

Se b = 2a em cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sen(a)sen(b), entao

cos(3a) = cos(a + 2a) = cos(a) cos(2a)− sen(a)sen(2a)

= cos(a)[2 cos2(a)− 1]− sen(a)[2sen(a) cos(a)]

= cos(a)[2 cos2(a)− 1]− 2sen2(a) cos(a)

= cos(a)[2 cos2(a)− 1− 2(1− cos2(a))]

= cos(a)[2 cos2(a)− 3 + 2 cos2(a)]

= cos(a)[4 cos2(a)− 3]

= 4 cos3(a)− 3 cos(a)

As formulas do arco triplo sao

sen(3a) = 3sen(a)− 4sen3(a)

cos(3a) = 4 cos3(3a)− 3 cos(a)


3.3. FORMULAS DE ARCO METADE 15

3.3 Formulas de arco metade

Partindo das formulas do arco duplo

cos(2a) = 2 cos2(a)− 1 = 1− 2sen2(a)

e substituindo 2a = c, obtemos:

cos(c) = 2 cos2(c

2)− 1 = 1− 2sen2(

c

2)

Assim

sen2(c

2) = 1− 1

2cos(c)

cos2(c

2) = 1 +

1

2cos(c)

Dividindo a expressao de cima pela de baixo, obtemos a tangente da metadedo arco:

tan2(c

2) =

1− cos(c)

1 + cos(c)

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, obtemos uma formula queexpressa a tangente da metade do arco em funcao do cosseno do arco.

tan(c

2) =

√1− cos(c)

1 + cos(c)


CAPITULO 4

Funcoes trigonometricas circulares

Funcoes circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circulare sao importantes pela sua periodicidade pois elas representam fenomenosnaturais periodicos, como variacoes da temperatura terrestre, comportamentosondulatorios do som, pressao sanguınea no coracao, nıveis de agua em oceanos,etc.

4.1 Funcoes reais

Para estudar trigonometria, devemos ter um bom conhecimento das definicoese propriedades que caracterizam a teoria de funcoes reais.

Funcao: Uma funcao de um conjunto nao vazio A em um conjunto nao vazioB, denotada por f : A → B, e uma correspondencia que associa a cadaelemento de A um unico elemento de B.

O conjunto A e denominado o domınio de f, o conjunto B e denominadocontradomınio de f . O elemento y ∈ B que corresponde ao elemento x ∈ A

de acordo com a lei f , e a imagem de x por f , indicado por y = f(x).

O conjunto de todos elementos de B que sao imagem de algum elemento deA e denominado conjunto Imagem de f.

Uma funcao f e denominada funcao real de variavel real, se o domınio e


4.2. FUNCOES CRESCENTES E DECRESCENTES 17

contradomınio de f sao subconjuntos do conjunto dos numeros reais.

Funcao periodica: Uma funcao real f , com domınio em A subconjunto dareta real, e dita periodica se, existe um numero real positivo T , tal que paratodo x ∈ A, vale

f(x + T ) = f(x)

Podem existir muitos numeros reais T com esta propriedade, mas o menornumero T > 0, que satisfaz a esta condicao e o perıodo fundamental.

Exemplo 1. A funcao real definida por f(x) = x − [x], onde [x] e a parteinteira do numero real x que e menor ou igual a x. Esta funcao e periodicade perıodo fundamental T = 1.

Funcao limitada: Uma funcao f de domınio A ⊂ R e limitada, se existe umnumero real L > 0, tal que para todo x ∈ A, valem as desigualdades:

−L ≤ f(x) ≤ L

e esta ultima expressao e equivalente a |f(x)| ≤ L.

Exemplo 2. A funcao real f(x) =2x

1 + x2 e limitada pois

−1 ≤ x

1 + x2 ≤ 1

4.2 Funcoes crescentes e decrescentes

Seja f uma funcao definida em um intervalo I, sendo x, y ∈ I, com x < y.Afirmamos que f e crescente, se f(x) < f(y) e que f e decrescente, sef(x) > f(y).

Exemplo 3. A funcao real f(x) = 2x + 1 e crescente enquanto que a funcaoreal f(x) = e−x e decrescente.

4.3 Funcoes pares e ımpares

Funcao par: Uma funcao f e uma funcao par, se para todo x do domınio def tem-se que

f(−x) = f(x)


4.4. FUNCAO SENO 18

Funcoes pares sao simetricas em relacao ao eixo vertical OY .

Exemplo 4. A funcao real definida por f(x) = x2 e par.

Funcao ımpar: Uma funcao f e uma funcao ımpar, se para todo x do domıniode f tem-se que

f(−x) = −f(x)

Funcoes ımpares sao simetricas em relacao a origem (0, 0) do sistema de eixoscartesiano.

Exemplo 5. A funcao real definida por f(x) = x3 e ımpar.

4.4 Funcao seno

Dado um angulo de medida x, a funcao seno associa a cada x ∈ R o senodo angulo x, denotado pelo numero real sen(x). A funcao e denotada porf(x) = sen(x).

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0, 2π].

x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y 0√

2/2 1√

2/2 0 −√

2/2 −1 −√

2/2 0

Grafico: Na figura, o segmento Oy′ que mede sen(x), e a projecao do seg-mento OM sobre o eixo OY .

Propriedades da funcao seno

1. Domınio: A funcao seno esta definida para todos os valores reais, sendoassim Dom(sen) = R.


4.4. FUNCAO SENO 19

2. Imagem: O conjunto imagem da funcao seno e

I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}

3. Periodicidade: A funcao e periodica de perıodo 2π. Para todo x ∈ R epara todo k ∈ Z:

sen(x) = sen(x + 2π) = sen(x + 4π) = ... = sen(x + 2kπ)

Justificativa: Pela formula do seno da soma de dois arcos, temos

sen(x + 2kπ) = sen(x) cos(2kπ) + cos(x)sen(2kπ)

Como para todo k ∈ Z, tem-se que cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, entao

sen(x + 2kπ) = sen(x)(1) + cos(x)(0) = sen(x)

A funcao seno e periodica de perıodo fundamental T = 2π. Completamoso grafico da funcao seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalode medida 2π.

4. Sinal

Intervalo [0, π/2] [π/2, π] [π, 3π/2] [3π/2, 2π]

Seno positiva positiva negativa negativa

5. Monotonicidade


Seno crescente decrescente decrescente crescente

6. Limitacao: O grafico de y = sen(x) esta contido na faixa do planolimitada pelas retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R,temos:

−1 ≤ sen(x) ≤ 1

7. Simetria: A funcao seno e ımpar, pois para todo x ∈ R, tem-se que:

sen(−x) = −sen(x)


4.5. FUNCAO COSSENO 20

4.5 Funcao cosseno

Dado um angulo de medida x, a funcao cosseno denotada por f(x) =cos(x), e a relacao que associa a cada x ∈ R o numero real cos(x).


x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y 1√

2/2 0√

2/2 −1 −√

2/2 0√

2/2 1

Grafico: O segmento Ox, que mede cos(x), e a projecao do segmentoOM sobre o eixo horizontal OX.

Propriedades da funcao cosseno

8. Domınio: A funcao cosseno esta definida para todos os valores reais,assim Dom(cos) = R.

9. Imagem: O conjunto imagem da funcao cosseno e o intervalo

I = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1}

10. Periodicidade: A funcao e periodica de perıodo 2π. Para todo x ∈ R epara todo k ∈ Z:

cos(x) = cos(x + 2π) = cos(x + 4π) = ... = cos(x + 2kπ)

Justificativa: Pela formula do cosseno da soma de dois arcos, temos

cos(x + 2kπ) = cos(x) cos(2kπ)− sen(x)sen(2kπ)

Para todo k ∈ Z: cos(2kπ) = 1 e sen(2kπ) = 0, logo

cos(x + 2kπ) = cos(x)(1)− sen(x)(0) = cos(x)

A funcao cosseno e periodica de perıodo fundamental T = 2π.


4.6. FUNCAO TANGENTE 21

11. Sinal


Cosseno positiva negativa negativa positiva

12. Monotonicidade:


Cosseno decrescente decrescente crescente crescente

13. Limitacao: O grafico de y = cos(x) esta contido na faixa localizadaentre as retas horizontais y = −1 e y = 1. Para todo x ∈ R, temos:

−1 ≤ cos(x) ≤ 1

14. Simetria: A funcao cosseno e par, pois para todo x ∈ R, tem-se que:

cos(−x) = cos(x)

4.6 Funcao tangente

Como a tangente nao tem sentido para arcos da forma (k + 1)π

2para cada

k ∈ Z, vamos considerar o conjunto dos numeros reais diferentes destesvalores. Definimos a funcao tangente como a relacao que associa a estex ∈ R, a tangente de x, denotada por tan(x).

f(x) = tan(x) =sen(x)

cos(x)


x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y 0 1 Inexiste −1 0 1 Inexiste −1 0


4.6. FUNCAO TANGENTE 22

Grafico: O segmento AT , mede tan(x). Pelo grafico, observamos que quandoa medida do arco AM se aproxima de π/2 ou de −π/2, a funcao tangenteesta crescendo muito rapido, pois a reta que passa por OM tem coeficienteangular cada vez maior e vai se tornando cada vez mais vertical e a intersecaocom a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.

Propriedades

1. Domınio: Como cos(π

2+ kπ) = 0 para cada k ∈ Z, temos que

Dom(tan) = {x ∈ R : x 6= π

2+ kπ}

2. Imagem: O conjunto imagem da funcao tangente e o conjunto dosnumeros reais, assim I = R.

3. Periodicidade A funcao tangente e periodica de perıodo π

Para todo x ∈ R, com x 6= π

2+ kπ, sendo k ∈ Z:

tan(x) = tan(x + π) = tan(x + 2π) = ... = tan(x + kπ)

Justificativa: Pela formula da tangente da soma de dois arcos, temos

tan(x + kπ) =tan(x) + tan(kπ)

1− tan(x) · tan(kπ)=

tan(x) + 0

1− tan(x).0= tan(x)

A funcao tangente e periodica de perıodo fundamental T = π.

Podemos completar o grafico da funcao tangente, repetindo os valoresda tabela na mesma ordem em que se apresentam.

4. Sinal:


Tangente positiva negativa positiva negativa


4.7. FUNCAO COTANGENTE 23

5. Monotonicidade: A tangente e uma funcao crescente, exceto nos pon-

tos x =kπ

2, sendo k ∈ Z, onde a funcao nao esta definida.

6. Limitacao: A funcao tangente nao e limitada, pois quando o angulo se

aproxima de (2k + 1)π

2, a funcao cresce (ou decresce) sem controle.

7. Simetria: A funcao tangente e ımpar, pois para todo x ∈ R onde atangente esta definida, tem-se que:

tan(−x) = − tan(x)

4.7 Funcao cotangente

Como a cotangente nao existe para arcos da forma kπ onde k ∈ Z, vamosconsiderar o conjunto dos numeros reais diferentes destes valores. Definimosa funcao cotangente como a relacao que associa a cada x ∈ R, a cotangentede x, denotada por:

f(x) = cot(x) =cos(x)

sen(x)


x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y Inexiste 1 0 −1 Inexiste 1 0 −1 Inexiste

Grafico: O segmento Os′ mede cot(x).

O grafico mostra que quando a medida do arco AM esta proxima de π ou de−π, podemos verificar que o grafico da funcao cotangente cresce muito rapi-damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontale a sua intersecao com a reta s vai se tornando muito distante.


4.7. FUNCAO COTANGENTE 24

Propriedades:

1. Domınio: Como a funcao seno se anula para arcos da forma kπ, ondek ∈ Z, temos Dom(cot) = {x ∈ R : x 6= kπ}.

2. Imagem: O conjunto imagem da funcao cotangente e o conjunto dosnumeros reais, assim I = R.

3. Periodicidade A funcao e periodica e seu perıodo e π. Para todo x ∈ R,sendo x 6= kπ, onde k ∈ Z:

cot(x) = cot(x + π) = cot(x + 2π) = ... = cot(x + kπ)

A funcao cotangente e periodica de perıodo fundamental 2π.

4. Sinal


Tangente positiva negativa positiva negativa

5. Monotonicidade: A cotangente e uma funcao sempre decrescente, ex-ceto nos pontos x = kπ, sendo k ∈ Z, onde a funcao nao esta definida.

6. Limitacao: A funcao cotangente nao e limitada, pois quando o angulose aproxima de kπ/2, a funcao cresce (ou decresce) sem controle.


4.8. FUNCAO SECANTE 25

7. Simetria: A funcao tangente e ımpar, pois para todo x ∈ R, tem-seque:

cot(−x) = − cot(x)

4.8 Funcao secante

Como a secante nao existe para arcos da forma (2k+1)π

2onde k ∈ Z, vamos

considerar o conjunto dos numeros reais diferentes destes valores. Definimosa funcao secante como a relacao que associa a este x ∈ R, a secante de x,denotada por sec(x).

f(x) = sec(x) =1

cos(x)


x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y 1√

2 Inexiste −√

2 −1 −√

2 Inexiste√

2 1

Grafico: O segmento OV mede sec(x).

Quando x assume valores proximos deπ

2ou de

3π

2, cos(x) se aproxima de

zero e a fracao1

cos(x)em valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades

1. Domınio: Como a funcao cosseno se anula para arcos da formaπ

2+kπ,

onde k ∈ Z, temos Dom(sec) = {x ∈ R : x 6= (2k + 1)π

2}.


4.8. FUNCAO SECANTE 26

2. Imagem: Para todo x no domınio da secante, temos que sec(x) ≤ −1 ousec(x) ≥ 1, assim o conjunto imagem da secante e dado pelos conjuntos:

Im(sec) = {y ∈ R : y ≤ −1 ou y 6= 1}

3. Periodicidade: A funcao secante e periodica e de perıodo e 2π.

Para todo x ∈ R, sendo x 6= (k + 1)π, onde k ∈ Z, tem-se que

sec(x) = sec(x + 2π) = sec(x + 4π) = ... = sec(x + 2kπ)

Por isto, a funcao secante e periodica de perıodo e 2π. Podemos entaocompletar o grafico da secante, repetindo os valores da tabela na mesmaordem em que se apresentam.

4. Sinal


Secante positiva negativa negativa positiva

5. Monotonicidade


Secante crescente crescente decrescente decrescente

6. Limitacao: A funcao secante nao e limitada, pois quando o angulo se

aproxima de (2k + 1)π

2, a funcao cresce (ou decresce) sem controle.

7. Simetria: A funcao secante e par, pois para todo x ∈ R onde a secanteesta definida, tem-se que:

sec(−x) = sec(x)


4.9. FUNCAO COSSECANTE 27

4.9 Funcao cossecante

Como a cossecante nao existe para arcos da forma kπ onde k ∈ Z, vamosconsiderar o conjunto dos numeros reais diferentes destes valores. Definimosa funcao cossecante como a relacao que associa a cada x ∈ R, a cossecantede x, denotada por csc(x)

f(x) = csc(x) =1

sen(x)


x 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π

y Inexiste√

2 1√

2 Inexiste −√

2 −1 −√

2 Inexiste

Grafico: A medida do segmento OU mede csc(x).

Quando x assume valores proximos de 0 ou π ou 2π, sen(x) se aproxima de

zero e a fracao1

sen(x)em valor absoluto, tende ao infinito.

Propriedades

1. Domınio: Como a funcao seno se anula para arcos da forma kπ, ondek ∈ Z, temos

Dom(csc) = {x ∈ R : x 6= kπ}

2. Imagem: Para todo x pertencente ao domınio da cossecante, temos quecsc(x) ≤ −1 ou csc(x) ≥ 1, assim o conjunto imagem da cossecante edado pelos conjuntos:

Im(csc) = {y ∈ R : y ≤ −1 ou y ≥ 1}


4.9. FUNCAO COSSECANTE 28

3. Periodicidade: A funcao e periodica e seu perıodo e 2π

Para todo x ∈ R, sendo x 6= kπ, onde k ∈ Z:

csc(x) = csc(x + π) = csc(x + 2π) = ... = csc(x + kπ)

por este motivo, a funcao cossecante e periodica de perıodo 2π. Podemosentao completar o grafico da secante, repetindo os valores da tabela namesma ordem em que se apresentam.

4. Sinal


Cossecante positiva positiva negativa negativa

5. Monotonicidade:


Cossecante decrescente crescente crescente decrescente

6. Limitacao: A funcao cossecante nao e limitada, pois quando o angulose aproxima de kπ, a funcao cresce (ou decresce) sem controle.

7. Simetria: A funcao secante e ımpar, pois para todo x ∈ R onde acossecante esta definida, tem-se que:

csc(−x) = − csc(x)


CAPITULO 5

Funcoes trigonometricas inversas

Uma funcao f , de domınio D possui inversa somente se f for bijetora, logonem todas as funcoes trigonometricas possuem inversas em seus domınios dedefinicao, mas podemos tomar subconjuntos desses domınios para gerar novasfuncoes que restritas a conjuntos menores possuem inversas.

Exemplo 6. A funcao f(x) = cos(x) nao e bijetora em seu domınio dedefinicao que e o conjunto dos numeros reais, pois para um valor de y corres-pondem infinitos valores de x. Por exemplo, se cos(x) = 1, podemos tomarx = 2kπ, onde k e um numero inteiro, isto quer dizer que nao podemosdefinir a inversa de f(x) = cos(x) em seu domınio. Devemos entao restringiro domınio a um subconjunto dos numeros reais onde a funcao e bijetora.

Como as funcoes trigonometricas sao periodicas, existem muitos intervalosonde elas sao bijetoras. E usual escolher como domınio, intervalos onde o zeroe o ponto medio ou o extremo esquerdo e no qual a funcao percorra todo seuconjunto imagem.

5.1 Funcao arco-seno

Consideremos a funcao f(x) = sen(x), com domınio no intervalo [−π/2, π/2]e imagem no intervalo [−1, 1]. A funcao inversa de f = sen, denominada arco


5.2. FUNCAO ARCO-COSSENO 30

cujo seno, definida por sen−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2] e denotada por

sen−1(x) = arcsen(x)

Grafico da funcao arco-seno

5.2 Funcao arco-cosseno

A funcao f(x) = cos(x), com domınio [0, π] e imagem [−1, 1], possui inversa,denominada arco cujo cosseno e e definida por cos−1 : [−1, 1] → [0, π] edenotada por

cos−1(x) = arccos(x)

Grafico da funcao arco-cosseno:

5.3 Funcao arco-tangente

A funcao f(x) = tan(x), com domınio (−π/2, π/2) e imagem em R, possuiuma inversa, denominada arco-tangente definida por tan−1 : R → (−π/2, π/2)e denotada por

tan−1(x) = arctan(x)


5.4. FUNCAO ARCO-COTANGENTE 31

Grafico da funcao arco-tangente:

5.4 Funcao arco-cotangente

A funcao f(x) = cot(x), com domınio (0, π) e imagem em R, possui umainversa, denominada arco-cotangente definida por cot−1 : R → (0, π) e deno-tada por

cot−1(x) = arccot(x)

Grafico da funcao arco-cotangente:


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Elementos de Matemática - UEL Portal · 4.4 Funcão seno ... Se o ponto M está no segundo quadrante, tal que o ângulo a ... 5π/6 150o 1/2