APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I1

0 ANLISE VETORIAL Estecaptuloforneceumaintroduoeumarecapitulaodosconhecimentosdelgebravetorial, estando por isto numerado com o zero. No faz parte de fato dos nossos estudos de eletromagnetismo, mas sem ele o tratamento dos fenmenos de campos eltricos e magnticos torna-se mais complicado, uma vez que estes so resultados matemticos de operaes vetoriais. SISTEMA DE COORDENADAS Um exemplo prtico de um sistema de coordenadas encontra-se numa carta geogrfica ondeumpontolocalizadoemfunodalatitudeedalongitude,isto,medidasangulares quesotomadasemfunodeumreferencialnestesistemaplano.Noespao,umponto tambmpodeserperfeitamentedeterminadoquandoconhecemosasuaposioemvistade umsistemadecoordenadas.Particularmentenoespaotridimensional,umponto determinado em funo de 3 coordenadas. Os sistemas de coordenadas definem um ponto no espao como fruto da interseco de 3superfciesquepodemserplanasouno.Vamosnosateraquiatrstiposdesistemasde coordenadas: cartesianas, cilndricas e esfricas. Sistema de coordenadas cartesianas, tambm conhecido por coordenadas retangulares, define umpontopelaintersecode3 planos. Neste sistema um ponto P (x, y, z) definido pelaintersecodosplanosx,yezconstantesparalelosrespectivamenteaoplanoy0z,ao plano x0z e ao plano x0y, conforme a figura 0.1. o sistema (x, y, z). Figura 0.1: o sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares (x, y, z). IUNESP Naasson P. de Alcntara Jr. Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I2 Sistema de coordenadas cilndricas. Neste sistema de coordenadas o ponto P (r, , z) determinadopelaintersecodeumasuperfcielateralcilndricaderaiorconstanteealtura infinita,pelosemiplanoconstante(quecontemoeixoz)efinalmentepeloplanoz constante, como pode ser mostrado na figura 0.2. o sistema (r, , z). Figura 0.2: o sistema de coordenadas cilndricas (r, , z) Sistema de coordenadas esfricas que define um ponto P (r, , ) na superfcie de uma esfera de raio r constante centrada na origem, vinculando-o pela interseco desta superfcie comumaoutracnica (nguloformadocomoeixoy)constanteeumsemiplano (contendo o eixo z) constante, melhor esclarecido pela figura 0.3. o sistema (r, , ). Figura 0.3: o sistema de coordenadas esfricas (r, , ) IUNESP Naasson P. de Alcntara Jr. Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I3VETOR Muitasgrandezasnecessitamdeumadireoedeumsentidoalmdovaloreda unidade,ouseja,desuaintensidadeparaumadefinioperfeita.Assim,definiremosos vetorescomorepresentantesdeclassesouconjuntosdesegmentosorientadoscommesma intensidadeoumdulo,direoesentidonoespao.Afigura0.4mostraummesmovetor representadoporsegmentosderetasdemesmo tamanho, mesma orientao e paralelasno espao. vr Figura 0.4: a classe de vetoresvr no espao VERSOR OU VETOR UNITRIO Trata-se de um vetor de mdulo 1, com a direo de um dado vetor. Um vetor va vr definido como mltiplo o submltiplo de m vezes este versor e possui o mesmo sentido quandomforpositivoouosentidooposto,casomsejanegativo.Assim,umvetorpodeser expresso como o produto de um versor por um escalar de modo que: vavr va m v =r(0.1) Outra forma de se indicar um versor aquela que exprime a relao entre um vetor e o seu prprio mdulo, isto , vvvvavrrr= = (0.2) Seconhecermososistemadecoordenadas,umpontoPpodeserlocalizadonoespao pelascomponentesdeumvetorposioquevaidaorigemdestesistemadecoordenadasao referido ponto. Trata-se de uma soma vetorial das componentes orientadas por seus versores. Um vetor cuja origem coincide com a origem de um sistema de coordenadas cartesianas e com extremidade no ponto P pode ser dado por: Vr z z y y x xa V a V a V ) O P ( V + + = =r(0.3) DomesmomodoopontoPpodeserdeterminadonossistemascilndricoeesfrico sendo a soma vetorial das componentes dadas respectivamente por z z r ra V a V a V ) O P ( V + + = =r(0.4) IUNESP Naasson P. de Alcntara Jr. Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I4 r ra V a V a V ) O P ( V + + = =r(0.5) Afigura0.5mostraostrsversoresaplicadosemP.Osvetoresunitriosdosistema retangularapresentamdireesfixas,independentementedopontoP,oquenoocorrenosoutrosdoissistemas decoordenadas (exceto para o versor), onde cada versor normal suasuperfciecoordenada,coerentecomosentidodecrescimentodecadacoordenada associada ao ponto P.za Figura 0.5: versores das componentes coordenadas. PRODUTO ESCALAR umaoperaovetorialcujoresultadoumvalorescalar,ouseja,umagrandeza algbrica; um valor numrico precedido de um sinal. O produto escalar entre dois vetoresAr eBrcujasdireesformamumnguloentreelesdenotadoporB Ar r cujoresultado dado por: cos AB B A = r r(0.6) Pelarelao(0.6)observamosqueoprodutoescalarentredoisvetoresmultiplicao mdulo de um vetor pelo mdulo da projeo do outro sobre ele. De acordo com a figura 0.6, em uma linguagem matemtica podemos escrever: A proj . B B proj . A B AB A= = r r(0.7) O produto escalar resulta positivo quando o ngulo agudo, nulo quando ele for reto e negativo quando o ngulo entre os vetores for obtuso (90 < < 180). IUNESP Naasson P. de Alcntara Jr. Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I5 figura 0.6: o produto escalar entreAr eBr. Sendo o resultado de um produto escalar um valor algbrico, a propriedade comutativa pode ser assim verificada: A B cos BA cos AB B Ar r r r = = = (0.8) Sejamdoisvetoresemumsistemadecoordenadasonde z z y y x xa A a A a A A + + =re z z y y x xa B a B a B B + + =r.Considerandoqueoprodutoescalarentredoisversoresparalelos possuimduloiguala1equeentreversoresperpendicularesoresultadonulo,oproduto escalar ser dado por z z y y x xB A B A B A B A + + = r r(0.9) O quadrado do mdulo de um vetor pode ser obtido a partir do produto escalar de um vetor por ele prprio. Assim, 2z2y2x2A A A A A A + + = = r r r(0.10) PRODUTO VETORIAL OprodutovetorialentredoisvetoresAreBr,ondesuasdireesformamumngulo agudoentreeles,denotadoporB Ar r ,fornececomoresultadoumoutrovetorcomas caractersticas abaixo: 1.Intensidade: sen AB sen B . A B A = = r r r r; 2.Direo: perpendicular aos dois vetoresAr eBr; 3.Sentido: o do avano de um parafuso de rosca direita, fornecido pela regra da mo direita, na ordem em que se tomam os dois vetores. Em linhas gerais o produto vetorial de dois vetoresAr eBr pode ser expresso na direo esentidodeumversorperpendiculara na AreBr,cujosentidodadopelaregradamo direita e ilustrado na figura 0.7. Assim, na ) sen AB ( B A = r r(0.11) IUNESP Naasson P. de Alcntara Jr. Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I6 Figura 0.7: o produto vetorial entreAr eBr Podemos tambm verificar sem nenhuma dificuldade que este produto no comutativo e podemos escrever que se o versor estiver definido na na ) sen( AB B A A B = = r r r r(0.12) Podemosobservarnafigura0.5queosversoresdascoordenadassoperpendiculares entresiemqualquerumsistema.Assim,cadaversorpodeserestabelecidoemfunodos outrosdoiscomoresultadodeumprodutovetorial.Paraumsistemadecoordenadas cartesianas ou retangulares teremos: y x zx z yz y xa a aa a aa a a= = = (0.13)

Da mesma forma para um sistema de coordenadas cilndricas: r zr z z ra a aa a aa a a= = = (0.14) E para um sistema de coordenadas esfricas: r r ra a aa a aa a a= = = (0.15) IUNESP Naasson P. de Alcntara Jr. Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I7Estas expresses mostram que cada versor pode ser determinado em funo dos outros dois.Pelarelao(0.12)verificamosqueseinvertermosaordemdosversoresnoproduto vetorial, teremos um versor negativo queles obtidos pelas relaes (0.13), (0.14) e (0.15). Quaisquer dois vetores ou versores paralelos possuem o produto vetorial nulo, visto que sen 0 = sen = 0. ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE VOLUMES, LINHAS E SUPERFCIES Sistema cartesiano Tomemos um paraleleppedo elementar de arestas dx, dy e dz conforme a figura 0.8 (a), onde o seu volume dv dado por dz . dy . dx dv = (0.16) Oelementovetorialdelinha L d dadopelasomavetorialdesuasarestasdx,dyedz orientadaspelosversores,eresultandonadiagonaldoparaleleppedo,demaneira que xayaza z y xa dz a dy a dx L d + + =r(0.17) Figura 0.8: comprimentos, reas e volumes elementares. Sistema cilndrico Tomaremos agora um paraleleppedo curvilneo cujas arestas sero dadas por dr, r.d e dzmostradasnafigura0.8(b).Damesmaforma como procedemos no sistema retangular, o elemento de volume ser dz rdrd dz . rd . dr dv = = (0.18) IUNESP Naasson P. de Alcntara Jr. Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I8E o comprimento elementarL dser dado ento pela soma de suas componentes dr, rd e dz orientadas pelos versores,e onde raaza z ra dz a rd a dr L d + + =r(0.19) Sistema esfrico Considerandoaindaumparaleleppedocurvilneodearestasdr,r.der.sen.d mostradas na figura 0.8 (c), o elemento de volume ser dado por d drd sen r d sen r . rd . dr dv2= = (0.20) Logo, o comprimento elementarL dser dado por ra d sen r a rd a dr L d + + =r(0.21) Oselementosderea,emqualquerdostrssistemasdecoordenadas,podemser determinadossemmaioresdificuldadesemqualquersistemadecoordenadas,umavezque bastar multiplicar as arestas elementares que definem a superfcie da face em questo. IDENTIDADES VETORIAIS Asidentidadesvetoriaisrelacionadasabaixopodemserprovadas,emboraalgumas exijamdoestudanteumpoucodetrabalhobraal.Simplificando,anotaovetorial denotada apenas pelos vetores em letras maisculas, sem as setas, enquanto que os escalares sero representados por letras minsculas. ( ) ( ) ( ) B A C A C B C B A (a) ( ) ( ) ( )C B A B C A C B A (b) ( ) B A B A + + (c) ( ) v u v u + + (d) ( ) B A B A + + (e) ( ) ( A u u A uA ) + (f) ( ) ( ) ( ) u v v u uv + (g) ( ) ( ) ( A u A u uA + ) (h) IUNESP Naasson P. de Alcntara Jr. Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I9( ) ( ) ( B A A B B A ) (i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B B A A B B A B A + + + (j) ( ) ( ) ( )B A A B A B B A B A + (k) v v2 (l) 0 A (m) 0 v (n) ( ) A A A2 (o) EXERCCIOS DE APLICAO 1)Encontre o vetorAr que liga o ponto P (5, 7, -1) ao ponto Q (-3, 4, 1). Calcule tambm o vetor unitrio ou versor associado ao vetor determinado porAr. 2)Dadosospontos(5mm;;2mm)e( 3 mm;-/6;-2mm)emcoordenadas cilndricas, encontre o valor da distncia entre eles. 3)Dados z y xa 3 a 4 a 2 A + =re y xa a B + =r,calculeosprodutosescalarevetorialentre eles. 4)Dados y xa 4 a 2 A + =re z ya 4 a 6 B =r,calculeomenornguloentreelesusandoo produto vetorial e o produto escalar entre eles. 5)Use um sistema de coordenadas esfricas para calcular a rea sobre uma casca esfrica de raio r com . Qual o resultado quando = 0 e = ? 6)Dados z ya 10 a 4 A + =r e ya 3 B =r, calcule a projeo deAr sobre a direo deBr. 7)DetermineaexpressodoprodutovetorialentreAreBrnumsistemacartesianoe mostre que ele pode ser calculado a partir do determinante de uma matriz 3 x 3. 8)Defina a condio de paralelismo entre dois vetores a partir do produto vetorial entre eles. 9)Obtenha a condio de ortogonalidade entre dois vetores. 10)DadooplanoAx+By+Cz=K,ondeKumaconstante,obtenhaovetor nVrnormal a este plano. Pode existir mais de uma soluo? IUNESP Naasson P. de Alcntara Jr. Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I1

Os primeiros fenmenos de origem eletrosttica foram observados pelos gregos, 5 sculos antes de Cristo. Eles observaram que pedaos de mbar (elektra), quando atritados com tecidos adquiriam a capacidadedeatrarempequenaspartculasdeoutrosmateriais.Comoacinciaexperimentale dedutivaaindaestavalongedeserdesenvolvida,ointeresse nesse fenmeno sempre permaneceu nocampodalgicaedafilosofia.Ainteraoentreobjetoseletricamentecarregados(fora eletrosttica)sfoiquantificadaeequacionadanosculo18(1746),porumcientistafrancs chamado C. Coulomb. FORA ENTRE CARGAS ELTRICAS E O CAMPO ELETROSTTICO 1 1.1 - FORA ENTRE CARGAS ELTRICAS - LEI DE COULOMB O trabalho de Coulomb consistiu em, usando uma balana de toro muito sensvel, medir a fora de atrao (ou repulso) entre dois corpos carregados, em funo da distncia que os separava. Conceito Aintensidadedaforaentredoisobjetospequenos,separadospelovcuooupelo espao livre, sendo a distncia entre eles muito maior que os seus raios, diretamente proporcionalaoprodutoentreascargas,einversamenteproporcionalaoquadradoda distncia entre eles. F = kQ .QR(N)1 22 (1.1) F(N)Fora de origem eletrosttica, de repulso (cargas de mesmo sinal) ou atrao (cargas de sinais opostos) Q1, Q2(C)Cargas eltricas, positivas ou negativas R(m)Distncia entre os centros das cargas kConstante de proporcionalidade A constante k vale: ==2290CNm10 . 941k Aconstante0apermissividadeeltricadoespaolivre.NoS.I.(SistemaInternacional)seu valor : ) m / F (361010 x 854 , 89120= = Aforaeletrostticaumagrandezavetorial:possuiintensidade,direoesentido.Elaageao longo da linha que une as duas cargas. Tambm uma fora mtua. Cada uma das cargas sofre a ao de uma fora de mesma magnitude, porm, de sentido contrrio. A fora ser repulsiva, se as duascargasforemdemesmanatureza(mesmosinal),ouatrativa,sedesinaiscontrrios.Reescrevendo-a vetorialmente: UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I2 r rF =-Q .QR(N)21 212F ar 1021214=$(1.2) $ aRRr121212=r (1.3)1Fv (N)Fora exercida sobre a carga Q1 pela carga Q2. 2Fv (N)Fora exercida sobre a carga Q2 pela carga Q1. rR12 (m) Vetor que vai da carga Q1 carga Q2r12Vetor unitrio, ou versor, indicando a direo do vetor rR12 Fig. 1.1- Fora entre duas cargas: (a) -de mesmo sinal - (b) - de sinais contrrios Exemplo 1.1 Uma carga Q1 = 3x10-4 C est colocada no ponto P1(1,2,3) m. Uma outra carga Q2= -10-4 C estcolocada no ponto P2(2,0,5) m. Encontrar a fora rF sobre cada carga. Soluo Vetor que vai da carga 1 carga 2 1 2 12P P Rr r r =rR a ax y 122 1 0 2 3 = + + ( ). $ ( ). $ (5 ). $ az rR a a ax y z 122 2 = + $ . $ . $R122 2 21 2 2 = + + = ( ) 3 Vetor unitrio com a direo de rR12 $ ( $ . $ . $ ) a a a ar x y z 12132 2 = + Fora sobre a carga 2: rFQ QRar 201 21221214=.. $rFxa a ax y z 204 4143 10 109132 2 = . ( )( $ . $ . $ ) ( ) NrF a a a Nx y z 210 2 2 = + ( $ . $ . $ ) ( ) Fora sobre a carga 1: rF a a ax y z 110 2 2 = + ( $ . $ . $ ) (N) Exemplo 1.2 Uma carga positiva Q1 de 2 C encontra-se na posio P1(1,2,1) m, uma carga negativa Q2de 4 C encontra-senaposioP2(-1,0,2)meumacarganegativaQ3de3Cencontra-senaposio P3(2,1,3) m. Encontre a fora sobre a carga Q3. Soluo: ar12Q1rF1Q2rF2rR12x y (b)ar12y rF1Q1Q2rF2rR12 (a) x UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I3 Pede-se 2 , 3 1 , 3 3F F Fr r r+ = O vetor que vai do ponto 1 ao ponto 3: 1 3 13P P Rr r r =ou rR a ax y 132 1 1 2 3 1 = + + ( )$ ( )$ ( )$ az rR a a ax y 132 = + $ $ $z Vetor unitrio de rR13: 6 2 131313z y xra a aRRa+ ==rr Fora sobre a carga 3, devido carga 1: rFa a ax y z3 106 6142 10 3 10626,( )( )$ $ $= + rF a a ax y z 3 133 67 2 10,, ( $ $ $ ) ( = + N) Vetor que vai do ponto 2 ao ponto 3: rR P P23 3= 2 ou rR a ax y 232 1 1 0 3 2 = + + ( ( )) $ ( )$ ( ) $ az rR a ax y 233 = + + $ $ $ az Vetor unitrio de rR23: 11 3232323z y xra a aRRa+ +==rr Fora sobre a carga 3, devido carga 2: rFa a ax y z3 206 6144 10 3 1011311,( )( )$ $ $= + + rF a a ax y z 3 232 96 3 10,, ( $ $ $ ) ( = + + N) Fora total sobre a carga 3: ) N ( 10 ) a 4 , 4 a 63 , 6 a 2 , 5 ( F F F3z y x 2 , 3 1 , 3 3 + = + =rr r r Nesteexemplopodeser observado que, em um sistema discreto de cargas pontuais, a fora sobre umacargadestesistemaasoma(vetorial)dasforasentreestacargaeasdemaiscargasdo sistema, isoladamente. Attulodeexerccio,calculeaforasobreasoutrasduascargas.Asrespostasdeveroser: ( ) ) N ( 10 a 10 a 99 , 8 a 65 , 1 F3z y x 1 + =)r e ( )rF a a ax y z 233 56 2 36 5 62 10 = + , $ , $ , $ ( ) N 1.2 - O CAMPO ELTRICO Considere duas cargas, uma carga Q em uma posio fixa, e uma carga de teste Qt.Movendo-se a cargadetesteQtlentamenteemtornodacargafixaQ,ela sofrer a ao de uma fora rF. Como essaforasempreseraolongodalinhaqueuneasduascargas,elasersempreradial, considerandoaposiodacargaQcomoorigem.Almdomais,essaforaaumentarde intensidade se aproximarmos a carga de teste da carga Q, e diminuir se a afastarmos Apartirdessasconsideraespode-seperceberaexistnciadeumcampodeforaemtornoda carga Q, que pode ser visualizado pela figura 1.2: Qt Q rFFig.1.2- Campodefora produzidoporumacarga pontual Q positiva. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I4Expressando a fora sobreQtpela lei de Coulomb: ) N ( a .RQ . Q 41Fr2tt0=r (1.4) Dividindo a equao (1.4) por Qt : ) C / N ( a .RQ 41QFr2t 0 t =r(1.5) Percebe-se facilmente que a quantidade direita na equao acima funo apenas de Q, e est dirigidaaolongodosegmentoderetaquevaideQatposiodacargadeteste.Definindoa relao rF Qtcomosendo rE ,vetorintensidadedecampoeltrico,edispensandoousode ndices, pode-se escrever: rEQRa N Cr=1402. $ ( / )(1.6) Amenorcargaeltricaconhecidaoeltron,com1,6.10-19C.Portanto,fcilconcluirqueum campo eltrico no pode ser medido com preciso absoluta, pois a carga de teste sempre afetaria o campodacargaemestudo.Emescalaatmicaissopoderiarepresentaralgumproblema,masna totalidade dos casos que sero aqui estudados isso no representar nenhum problema. Exemplo 1.3 UmacargaQ=-10-8Cestsituadanaorigemdeumsistemadecoordenadasretangulares. Escreva uma expresso para o campo eltrico em funo das coordenadas x, y e z, considerando-se que a carga Q estaria na origem desse sistema de coordenadas.Qual o valor do campo eltrico no ponto P(1,1,2) m ? Soluo rEQRa N Cr=1402. $ ( / ) rR x a y a z ax y= + + . $ . $ . $z rR x y z = + +2 2 2 $ aRRr=r rEQx y zx a y a z ax y zN Cx y z=+ ++ ++ +1402 2 22 2 2. $ . $ . $( / ) ( )rEx a y a z ax y zN Cx y z=+ ++ +104802 2 232. $ . $ . $( / ) Para o ponto (1,1,2): rE a a ax y z= + +104 8 85 6 624 ,( $ $ . $ ) ( / ) N C ) / ( ) . 2 ( 12 , 6 C N a a a Ez y x+ + =r Ocampoeltricoproduzidoporumacarga puntiformesempreorientadoradialmente cargaqueogera.Portanto,asoluodeste exemplopodesergrandementesimplificada se,aoinvsdeseutilizarumsistemade coordenadascartesianas,utilizar-seum UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I5sistemadecoordenadasesfricas.A expresso vetorial para o campo eltrico ser: rEQRa N Cr=1402. $ ( / ) O vetor unitrio r ser simplesmente o vetor unitrionadireodoraioR.Paraoponto (1,1,2), o mdulo de R : R= + + = 1 1 2 62 2 2 portanto: rE ar= 104 8 85 64 ,$ ( / ) N C O exemplo que acabamos de resolver mostra que muitas vezes, ao tentarmos resolver um problema de uma maneira que julgamos ser a "mais fcil" (no caso, o uso de um sistema de coordenadas mais "conhecido"), estamos fazendo-o da maneira mais complicada. A explorao de simetrias, e o uso de sistemasdecoordenadasadequadoscadacasosofortementeincentivadosem eletromagnetismo. Exemplo 1.4 UmacargaQ1=4x10-9CestlocalizadanopontoP1(1,1,3)m.UmaoutracargaQ2=2x10-9C localizada no ponto P2(1,1,5) m. Calcule o valor da intensidade de campo eltrico no ponto P(4,-1,2) m. Soluo Vetor que vai de P1 a P: z y xa a a 2 . 3 Vetor unitrio ar1: 14 2 . 31z y xra a aa = Vetor que vai de P2 a P: z y xa a a . 3 2 . 3 Vetor unitrio ar2: 22 . 3 2 . 32z y xra a aa = Campo eltrico em P: rExa a axa a aN Cx y zx y z= + 4 1041143 2142 1041223 2 3229090. $ $ $. $ $ . $( / ) ) / ( ) . 134 , 0 191 , 0 . 171 , 0 ( 9 C N a a a Ez y x =r Aexemplodoquefoifeitoparasecalcularforasemumsistemadiscretodecargas,ocampo eltricodevidoaumadistribuiodecargaspuntiformescalculadosomando-seacontribuiode cadacargaindividualmente,nopontoondesedesejaconhecerovalordocampoeltrico.Em sistemasdecargaspontuaisosistemadecoordenadasmaisindicadosempreosistemade coordenadas cartesianas. 1.3 - Distribuio Especial de Cargas Almdecargaspontuais,podemexistiroutrasconfiguraes(distribuies)decarga,asaber: distribuio linear de cargas, distribuio superficial de cargas e distribuio volumtrica de cargas. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I6 1.3.1 -Distribuiolineardecargas-Umadistribuiolineardecargaspossuiumadensidade linear l C/m (fig. 1.3). l C/m Fig 1 .3 - Distribuio linear de cargas Vamosagoraanalisarocomportamentodocampoeltricoproduzidoporumadistribuiolinear infinitadecargas(semaindaequacion-lo).Vamostomarduascargasincrementais(ldl),emuma distribuio linear de cargas, como mostrado na figura 1.4. dEz Fig. 1.4 - Arranjo para analisarocomportamentodocampoeltricoproduzidoporumadistribuiolinearinfinitadecargas dEr PdEr dE dEz OcampoeltricoemumpontoPsituadoaumadistnciar,perpendicularlinhainfinitadecargas provocado por cada carga incremental dE, orientado na direo da linha que une o incremento de cargaaopontoP.Cadaumdessescampospodeserdecompostoemduascomponentes:uma paralela linha, dEz, e outra perpendicular a ela, dEr. Como as cargas incrementaisso simtricas em relao linha, as componentes dEz vo se anular, e o campo eltrico resultante ser a soma das componentesdEr.Comosetratadeumalinhainfinitadecargas,paraqualquerpontoz (considerando um sistema de coordenadas cilndricas),ser sempre possvel escolher conjuntos de incrementosdecargassimtricosaele,eocampoeltricosersempreperpendicularlinhade cargas. Adicionalmente movendo-se o ponto P em um crculo em torno da linha de cargas, o campo eltrico se manter com intensidade inalterada, e perpendicular linha. Movendo-se o ponto P para cimaeparabaixo,mantendo-seadistnciarinalterada,aintensidadedocampoeltricono apresentaralteraes.Finalmente,seadistnciarvariar,ocampoeltricodevervariartambm. Resumindo, o campo eltrico produzido por uma distribuio linear infinita de cargas: Possuisimetriacilndrica,edeveserequacionadoutilizando-seumsistemadecoordenadas cilndricas. S varia com a componente radial. Comoexemplodedistribuiodeumalinhadecargas,podemoscitaroseltronsemumcondutor eltrico,queparaefeitosdecampoeltricopodemserconsideradoscomoestticos.Aexpresso paraaintensidadedecampoeltricoproduzidoporumalinhadecargasserobtidanoprximo captulo, que trata da lei de Gauss. 1.3.2 -Distribuiosuperficialinfinitadecargas-Umadistribuiosuperficialdecargaspossui uma densidade superficial s C/m2 (fig. 1.5).UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I7 s Fig 1.5 - Distribuio superficial de cargas Paraanalisarocomportamentodocampoeltricoproduzidoporumadistribuiosuperficialinfinita de cargas, vamos utilizar o arranjo mostrado na figura 1.6. Vamos considerar duas tiras infinitas de, de espessura dx, simetricamente escolhidas em relao a uma linha de referncia (linha pontilhada). dEz dE r dEx zx Fig. 1.6 - Campo eltrico produzido por um elemento de cargas em uma distribuio superficial Uma fita de carga pode ser considerada com sendo uma distribuio linear de cargas. Portanto, o campo eltrico produzido por ela ter o mesmo comportamento do campo eltrico produzido por uma distribuio linear de cargas. Assim, o campo eltrico dE, em um ponto qualquer z m acima da linha pontilhada,produzidoporumadasfitasserorientadoradialmenteemrelaofita.Essecampo podeserdecompostoemduascomponentes:dEx,paralelosuperfciedecargas,edEz, perpendicular mesma. Como as duas fitas esto simetricamente colocadas em relao ao ponto P, ascomponentesdExdeveroseanular,eocamporesultanteserasomadascomponentesdEz. Assim,podemosporenquantoconcluirqueocampoeltricoproduzidoporumadistribuioinfinita decargasserorientadoperpendicularmenteaestecampo.Emboradistribuiessuperficiais infinitas de cargas no existam de fato, podemos considerar como um exemplo prtico o caso de um capacitor de placas paralelas. Emboraasexpressesparaocampoeltricoproduzidopordistribuieslinearesuperficialde cargas possam ser obtidas por integrao direta, partindo de raciocnios como os mostrados acima, no o faremos aqui, por existir um modo mais simples e fcil, atravs da lei de Gauss, que ser vista no prximo captulo. Distribuies volumtricas de cargas so bastante complicadas de serem analisadas, e praticamente inexistem. Portanto, no sero aqui analisadas. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I8EXERCCIOS 1)-Trscargaspontuais,Q1=300C,e,Q2=400CeQ3=500Cacham-selocalizadasem (6,0,0) m , (0,0,6) m e (0,6,0) m respectivamernte. Encontre a fora que age sobre Q2,. 2)-AleidagravidadedeNewtonpodeserescrita,ondem1em2somassas, pontuais, separadas por uma distncia R e G a constante gravitacional; 6,66410-11 m3/kg.s2. Duaspartculas,cadaumatendoumamassade15mgestoseparadasde1,5cm.Quantos eltrons so necessrios adicionar a cada partcula de modo a equilibrar a fora gravitacional ?F Gm m R =1 22/ 3) - H quatro cargas pontuais iguais, de 20 C, localizadas sobre os eixos x e y, em 3 m.Calcule a fora que age sobre uma carga de 120 C, localizada em (0,0,4) m. 4)- Duas pequenas esferas plsticas esto arranjadas ao longo de uma fibra isolante que forma um ngulode45,comahorizontal.Secadaesferacontiverumacargade210-8C,etiveruma massade0,2g,determineacondiodeequilbrioparaasduasesferassobrearampa,bem como a posio relativa entre elas. 5)-Provequeaforaderepulsoentreduascargaspontuaisepositivasseparadasporuma distncia fixa mxima quando as suas cargas possuem mesmo valor. 6) - Duas cargas pontuais idnticas de Q C esto separadas por uma distncia d m. Calcule o campo eltrico rEpara pontos pertencentes ao segmento que une as duas cargas. 7)-Imaginequeaterraealuapossamrecebercargaseltricas,demodoaequilibraraforade atraogravitacionalentreelas.(a)Encontreacargarequeridaparaaterra,seascargasesto numa razo direta entre as superfcies da terra e da lua. (b) Qual o valor de E na superfcie da lua,devidossuascargas?Noteque,umavezqueasforasdeorigemgravitacionale eletrostticaestorelacionadascomoinversodoquadradodadistncia,nonecessrio conhecer a distncia terra-lua para resolver este problema. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I9 2.1 -A LEI DE GAUSS FLUXO ELTRICO E LEI DE GAUSS 2 Naverdade,estalei regida por princpios muito simples e de fcil entendimento. O conceito geral de fluxo como sendo o escoamento de um campo vetorial que atravessa uma seco qualquer, pode ser estendido para explicar o campo eltrico. ConceitoOfluxoeltricoqueatravessaqualquersuperfciefechadaigualcargatotal envolvida por essa superfcie (Lei de Gauss) Na verdade o trabalho de Gauss consistiu na formulao matemtica do enunciado acima, que j era conhecido ento. Imagine uma distribuio de cargas, envolvida por uma superfcie fechada S (figura 2.1). y SDQ Fig. 2.1 - Distribuio de cargas e Superfcie Gaussiana. x VamosagoratomarumincrementodesuperfcierS .Comoesseelementoincrementalderea muitopequeno,elepodeserconsideradocomosendoplano.Contudo,eleterumaorientaono espao, que serdada pelo vetor perpendicular ao plano que tangencia a superfcie S neste ponto (centro derS ). Portanto,rS uma grandeza vetorial. A densidade de fluxo que atravessarrS rDs e, genericamente, far um ngulo comrS . O fluxo que atravessarSser,ento: = =r rD S D S Cs s. cos ( )(2.1) uma grandeza (escalar), resultante do produto escalar entre os vetores rDs erS . O fluxo total que atravessa a superfcie fechada S ser, ento. = = d DdS Cssr r. ( )(2.2) Aintegralresultanteumaintegraldesuperfciefechada(daosmbolo S)e,portanto,uma integral dupla. Esta superfcie freqentemente chamada de Superfcie Gaussiana. A Lei de Gauss ento matematicamente formulada como: r rDdS Q Css. (= )(2.3) UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I10A carga envolvida pode ser de qualquer tipo: cargas pontuais discretas, linhas de cargas, distribuio superficial de cargas ou uma distribuio volumtrica de cargas. Como essa ltima engloba todos os outrostipos,aLeideGausspodesergeneralizadaemtermosdeumadistribuiovolumtricade cargas: r rDdS dv Cssvv. ( = )(2.4) Exemplo 2.1 Calcular o fluxo que atravessa a superfcie de uma esfera de raio a metros, produzido por uma carga eltrica Q Coulombs, colocada no centro dessa esfera. Soluo Sabemosquena superfcie de uma esfera de raio a, a densidade de fluxo eltrico : rDQaa C ms r=422. $ ( / ) O elemento diferencial derea, conforme Fig. 2.2., em coordenadas esfricas : dS r dd a dd = =2 2sen sen Fig. 2.2 - Elemento diferencial de rea O produto r rD Ss.: ( )Qaa a dd aQddr r4 422 . . sen . sen= Os limites de integrao foram escolhidos de modo que a integrao fosse realizada sobre a superfcie uma nica vez. A integral de superfcie ser: 020d d sen4Q Integrandoprimeiroemrelaoaeem seguida em relao a ) C ( Q ) cos (2Qd sen2Q0 0= = Ficando, pois comprovado: r rDdS Q Css. (= ) Exemplo 2.2 Calcularofluxoeltricototalqueatravessaasuperfcieesfrica,centradanaorigem,comraior= 10m,sendoqueadistribuiodecargacompostaporumalinhadecargasaolongodoeixoz, definida por l = 2e2|z|C/m na regio -2 z 2 m e l = 0 no restante. Soluo Existemduasmaneirasdeseresolvereste problema: Aquelesqueadoramresolverintegrais complicadas podem encontrar uma expresso paraocampoeltricoemumpontoqualquer dasuperfciederaior,eintegr-laemtodaa superfcie. Aquelesumpoucomaisespertospodem simplesmente integrar a funo de distribuio de cargas ao longo de z, de -2 a 2 m. A lei de Gaussgarantequeosresultadosseroos mesmos, para qualquer dos dois casos. Ento: Q e dzz=2222( ) C Como a funo mdulo no contnua, vamos dividir a integral acima em duas integrais: UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I10 Q e dz e dzz z= + 2 2220202( ) C Q e ez z= +2 22002 Q e e C = + + = = 1 1 107 194 4, ( ) Exemplo 2.3 Considereumalinhainfinitadecargas.UtilizandoaLeideGaussencontreaexpressoparao campo eltrico. Soluo: Dediscussesanterioressobreocampo eltrico de uma linha de cargas, sabemos que o campo eltrico radial e s varia com o raio r. Portanto : rD D a C mr r= . $ ( / )2 Asuperfciegaussianaumcilindroderaior e comprimento L. Aplicando a Lei de Gauss: Q D dS D dS dS dlado topo base= = + + Sr r. 0 0 Q D rddz D LL= = 02 DQrL rC ml= =2 22( / ) rrEDara N Crlr= =0 02. $ . $ ( / ) Exemplo 2.4 Encontraraexpressoparaocampoeltricoproduzidoporumadistribuiosuperficialinfinitade cargas. Soluo: Dadiscussodocaptuloanterior,ocampo eltricoproduzidoporumadistribuio superficial de cargas ter a direo da normal superfcie, no ponto onde se deseja calcular o campo eltrico.Asuperfciegaussianautilizadaserum pequenocilindro,dealturahereadebase S. A metade dela estar acima da superfcie, e a outra metade abaixo. S Aplicando a Lei de Gauss: Q D dS dS D dS D dSlado topo base= = + + r r. 0 sS DS DS = + Ds= 2 nS a2D =r ; n0Sa 2E =r D DDS r L S Fig.2.3 - Superfcie gaussiana em torno de uma linha de cargas rDrSrSrDFig. 2.4 - Superfcie gaussiana para uma distribuio superficial de cargas. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I11 Por este exemplo chegamos concluso (em princpio absurda) de que o campo eltrico provocado por uma distribuio superficial de cargas no depende da distncia do ponto superfcie. No se esqueadequeesteraciocniofoifeitoparaumadistribuioinfinitadecargas,quenoexistena prtica. Uma distribuio superficial finita de cargas pode ser considerada como infinita se a distncia dopontodeinteressedistribuiosuperficialdecargasformuitopequena,comparadacomas dimenses da mesma. Para pontos mais distantes, a distribuio no pode ser considerada infinita, e a expresso acima no mais vlida. Exemplo 2.5 Dois condutores cilndricos coaxiais, para efeitos prticos so considerados como sendo infinitos. O internomacio,deraioam.Oexternopossuiraiointernobmeraioexternocm.Umacargade densidade s C/m2 colocada na superfcie do condutor interno. Avaliar o campo eltrico a partir do centro dos cilindros at o exterior onde r > c. Soluo Quatrosuperfciesgaussianascilndricasde comprimento L so traadas.Aprimeiradelaspossuiumraior b e r < c. A carga interna sinduzumacargadeigualmagnitudena superfcieinternadocondutorexterno,ea cargaenvolvidapelasuperfciegaussiana nula. Portanto: r rD dS . =0 ou seja, o campo eltrico nulo no interior do cilindro externo. A quarta superfcie gaussiana um cilindro de raior>c.Acarganegativainduzidana superfcie interna do condutor externo por sua vezinduzumacargapositivademesma magnitudenasuperfcieexternadocondutor externo. Portanto: r rD dS Q . = r rD dS dSs. = 3 UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I12D rL cLs2 23 = DcrC ms= 32( / ) Como as cargas induzidas so iguais: s saL bL1 22 2 = s scL bL3 22 2 = s s sc b3 2= = a1 Dar rC mext sl= = 122( / )rrEDra N Cextext lr= =0 02. $ ( / ) Estaamesmaexpressoparaocampo produzidopelocondutorinterno.Emoutras palavras,ocondutorexternonoafetao campoeltricoproduzidopeladistribuiode cargas docondutor interno. Graficamente: Pelosexemplosqueacabamosderesolver,podemosconcluirquesomenteoconhecimentoda simetria do problema nos permite escolher superfcies gaussianas adequadas. O no conhecimento dessa simetria torna a soluo do problema pela Lei de Gauss extremamente complicada. Problemasquenopossuemsimetriaconhecidasoresolvidosdeumaformaumpoucodiferente, como ser visto no prximo captulo. EXERCCIOS 1)- O eixo z de um sistema coordenado contm uma distribuio uniforme de cargas, com densidade l=50nC/m.CalculeocampoEltrico rE em(10,10,25)m,expressando-oemcoordenadas cartesianas e cilndricas. 2)- Existem duas configuraes lineares de carga, com densidades iguais, l = 6 nC/m, paralelas ao eixo z, localizadas em x = 0 m , y = 6 m. Determine o campo eltrico rEem (-4,0,z) m. 3) - O plano 3x + y - 6z = 6m contm uma distribuio uniforme de cargas com densidade s = 0,6 C/m2. Calcule o campo eltrico rErelativo ao semi-espao que contm a origem. 4) - Uma pelcula infinita com densidade uniformes = (10-9/6) C/m2 est localizada em z = -5 m. Outrapelculacomdensidades=(-10-9/6)C/m2estlocalizadaemz=5m.Calculea densidadelinearuniforme,l,necessriaparaproduziromesmovalorde rEem(5,3,3)m, supondo que esta ltima se localize em z = 0, y = 3. 5)- Uma certa configurao engloba as seguintes duas distribuies uniformes. Uma pelcula com s =-60 nC/m2, uniforme, em y = 3 m, e uma reta uniformemente carregada com l = 0,5 C/m, situada em z = -3 m, y = 2 m. Aonde o campo rE ser nulo ? r (m) E (N/C) a b cFig. 2.6 - Comportamento do campo eltrico em funo de r. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I136)-Umanelcirculareletricamentecarregado,comraio4m,estnoplanoz=0,comcentro localizadonaorigem.Seasuadensidadeuniformeforl=16nC/m,calcularovalordeuma carga pontual Q , localizada na origem, capaz de produzir o mesmo campo eltrico em (0,0,5) m. 7)-Calculeacargacontidanovolumedefinidopor2r3m,0/3,0z4m,dadaa densidade de cargas = 3zsen2 C/m3. 8) - Uma superfcie fechada S envolve uma distribuio linear finita de cargas definida por 0 L m, com densidade de cargas l = -0sen(L/2) C/m. Qual o fluxo total que atravessa a superfcie S ? 9) - Na origem de um sistema de coordenadas esfricas existe uma carga pontual Q C. Sobre uma cascaesfricaderaioaumacarga(Q'-Q)Cestuniformementedistribuda.Qualofluxo eltrico que atravessa a superfcie esfrica de raio km, para k < a e k > a ? 10) - Uma rea de 40,2 m2 sobre a superfcie de uma carga esfrica de raio 4 m atravessada por umfluxode15Cdedentroparafora.Quantovaleacargapontuallocalizadanaorigemdo sistema relacionado a tal configurao esfrica ? 11)-UmacargapontualQ=6nCestlocalizadanaorigemdeumsistemadecoordenadas cartesianas. Quanto vale o fluxo que atravessa a poro do plano z = 6 mlimitada por -6 y 6 m; -6 x 6 m ? 12) - Dado que rD e azb a C mrbr z= 30 22( / )em coordenadas cilndricas, calcule o fluxo total que sai da superfcie de um cilindro circular reto descrito por r = 2b m, z = 0, z = 5b m. 13)-SobreaorigemdeumsistemadecoordenadasesfricasexisteumacargapontualQ=1500 pC. Uma distribuio esfrica concentrica de cargas de raio r = 2 m tem uma densidade s = 50 pC/m2.Quantodevevaleradensidadedecargasdeumaoutrasuperfcieesfrica,r=3m, concntrica como sistema, para resultar D = 0 em r > 3 m . UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino 14 3.1 - A LEI DE GAUSS APLICADA A UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUME VimosqueaLeideGausspermiteestudarocomportamentodocampoeltricodevidoacertas distribuiesespeciaisdecarga.Entretanto,paraserutilizada,aLeideGaussexigequea simetriadoproblemasejaconhecida,deformaaresultarqueacomponentenormaldovetor densidade de fluxo eltrico em qualquerpontoda superfcie gaussiana seja ou constante ou nula. NestecaptulopretendemosconsideraraaplicaodaLeideGaussaproblemasquenopossuem nenhumtipodesimetria.Suponhamosumvolumeincrementalvextremamente pequeno, porm finito. Seassumirmosumadensidadedecargauniformenesteincrementodevolume,acargaQser o produto da densidade de carga pelo volume v. Pela Lei de Gauss, podemos escrever: = = V Q S d . Dr r (3.1) Fig. 3.1- Volume incremental em torno do ponto P. Vamosagoradesenvolveraintegraldesuperfciedaequaoacima,sobreumasuperfciegaussiana elementarqueenglobaovolumev.Estevolumeest representadonafigura3.1,eformadopelas superfcies incrementais x.y, y.z, e z.x. Considere um ponto P(x,y,z) envolvido pela superfcie gaussiana formada pelas superfcies incrementais . A expresso pararDno ponto P em coordenadas cartesianas : rD D a D a D ax x y y z z= + +0 0 0.$ .$ . $(3.2) A integral sobre a superfcie fechada dividida em seis integrais, uma sobre cada lado do volumev. + + + + + =base topo . dir . esq atrs frenteS d . Dr r (3.3) DIVERGNCIA DO FLUXO ELTRICO E TEOREMA DA DIVERGNCIA 3 Dx + (Dx/x)x y x z Dx Dz Dy Dy + (Dy/y)y Dz + (Dz/z)z P x y z APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino 15Para a primeira delas: z . y . D a . z . y . D S . D) frente ( x x frente frente frentefrente = = )r r r (3.4) (Dx a componente de rD normal ao plano yz). Aproximando o resultado Dx(frente).y.z pelos dois primeiros termos da expanso em srie de Taylor: ( ) x z y Dx.21z y D z y Dx 0 x ) frente ( x + = (4.5) Portanto: frentexxDx Dxy z= +02 . . . (3.6) Consideremos agora a integral atrs: ( ) x z y Dx.21z y D ) x a ( z y D S . Dx 0 x ) atrs ( x ) atrs ( xatrs + = = =)v r r z yxD.2xD S . Dx0 x ) atrs ( xatrs + =r r (3.8) (porque o vetor unitrio x em s tem agora direo negativa). Combinando as duas integrais: frente atrsxDxx y z + . . . (3.9) Utilizando o mesmo raciocnio para as outras integrais: dir esqyDyx y z. .. . . + (3.10) topo basezDzx y z + . . . (3.11) Assim: r rD dSDxDyDzvxyz. . + +(3.12) A expresso acima diz que o fluxo eltrico que atravessa uma superfcie fechada muito pequena igualaoprodutoentreovolumecompreendidoporessasuperfcieeasomadasderivadasparciaisdas componentes do vetor rD em relao s suas prpriasdirees. Igualando-se as equaes 3.1 e 3.12, e em seguida dividindo todos os termos porv, tem-se: ==++=VQzDyDxDVS d . Dzyxr r (3.13) APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino 16Passando ao limite, com v tendendo a zero: lim. vD dSvDxDyDzxyz= + + =0r r(3.14) 3.2 - DIVERGNCIA Aoperaoindicadapeloprimeiromembrodaequao3.14nopertinenteapenas ao fenmeno ora emestudo.Surgetantasvezesnoestudodeoutrasgrandezasfsicasdescritasporcamposvetoriais, quecientistasematemticosdosculopassadoresolverambatiz-lacomumnomeespecial: Divergncia. Matematicamente: divAvA dSvrr r=lim. 0 (3.15) Conceito Adivergnciadovetordensidadedefluxo rA(querepresentaumfenmenofsico qualquer) a variao dofluxoatravs da superfcie fechada de um pequeno volume que tende a zero Adivergnciaumaoperaomatemticasobreumvetor,definidacomosendoasomadasderivadas parciaisdascomponentesdovetor,cadaumaemrelaosuaprpriadireo.Apesardeseruma operao sobre um vetor, o resultado um escalar. A partir da definio da divergncia e da equao 3.14, podemos definir a 1 equao de Maxwell: div D . r= (3.16) A equao 3.16 estabelece que o fluxo eltrico por unidade de volume deixando um volume infinitesimal igualdensidadevolumtricadecarganesteponto.Estaequaotambmconhecidacomoa forma diferencial da Lei de Gauss, por que expressacomo sendo a soma de derivadas parciais. 3.3 - O OPERADOR (nabla) E O TEOREMA DA DIVERGNCIA O operador definido como sendo o operador vetorial diferencial: = + + xayazax y z. $ . $ . $(3.17) Realizando o produto escalarDr. , tem-se: ( ) = + + + + . .$.$.$. .$.$.$rDxayaza D a D a D ax y z x x y y z z (3.18) Lembrando que o produto escalar entre vetores unitrios ortogonais nulo, o resultado ser: = + + . rDDxDyDzxyz (3.19) ou ainda por (3.14): = . rD (3.20) APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino 17 O operador no utilizado somente em operaes de divergncia, mas tambm em outras operaes vetoriais. Ele definido somente em coordenadas cartesianas. Aprincpio,aexpresso. rD serviria apenasparasecalcularasderivadasparciaisdodivergentedovetor rDemcoordenadas cartesianas.Entretanto,aexpresso. rDcomosendoadivergnciadovetordensidadedefluxo eltricoconsagrada,epodeserutilizadamesmoquandoovetordefinidoemoutrossistemasde referncia. Por exemplo, em coordenadas cilndricas: ( )zDDr1rrDr1D .z r++= r (3.21) e em coordenadas esfricas: ( ) ( )+ += Dsen r1sen Dsen r1D rr r1D .r22r (3.22) Entretanto,deve-selembrar,porm,quenopossuiumaformaespecificaparaestestiposde sistemas de coordenadas. Finalmente,vamosassociaradivergnciaLeideGauss,paraobteroteoremadadivergncia. Lembrando que: r rD dS dvvol. . = e = . rD podendo escrever: ( )r r rD dS D dvvol. . = (3.23) A equao 3.23 oTeoremadaDivergncia(outeoremadeGauss,paradiferenciardaLeide Gauss)eestabelecequeaintegraldacomponentenormaldequalquercampovetorialsobreuma superfciefechadaigualintegraldadivergnciadestecampoatravsdovolumeenvolvidoporessa superfcie fechada. Uma maneira simples de se entender fisicamente oteoremada divergncia atravs da figura 3.2. Um volume v, limitadopor umasuperfciefechadaSsubdivididoempequenosvolumes incrementais, ouclulas.Ofluxoquedivergedecadaclulaconvergeparaasclulasvizinhas,anoserquea clulapossuaumdeseusladossobreasuperfcieS.Entoasomadadivergnciadadensidadede fluxo de todas as clulas ser igualsomado fluxo liquido sobre a superfcie fechada. Fig.3.2-Volumevsubdivididoem volumes incrementais APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino 18Exemplo 3.1 Calcularosdoisladosdoteoremadadivergncia,paraumadensidadedefluxoeltrico rD xy a yx ax y= +2 2. $ . $ , em um cubo de arestas igual a 2 unidades. Soluo Vamoscolocaraorigemdosistemade coordenadas cartesianas em um dos vrtices. O vetor rD possui componentes nas direes x ey.Portanto,aprincpio,aintegralde superfciedevesercalculadasobre4lados do cubo: r rD dSfrente atrs esq dir..= + + + frentex xy ady dz a = = 232320202. . $ . . $ atrsx xy a dy dz a = = 0 020202. . $ . . . ( $ ) esqy yx a dx dz a.. . $ . . . ( $ ) = = 0 020202 diry yx a dx dz a.. . $ . . . $ = = 232320202 r rD dS .=643 Para o outro lado: = + + .rDDxDyDzxyz = + . rD x y2 2 ( ) ( ) = + . . .rDdv x y dx dy dzvol2 2020202 ( ) ( ) = + . .rD dv x y dy dxvol22 20202 v xdx ydy = + 42 20202 ( ) =. rD dvvol643 APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino 19EXERCCIOS 1) - Dado rA x y a x y ax y= + + ( ). $ ( ). $ 32 2 calcule . rA . 2)-Obtenha a divergncia em coordenadas esfricas. Use um volume infinitesimal com arestas r, r e rsen. 3)-DipoloEltrico,ousimplesmentedipolo,onomedadoaoconjuntodeduascargaspontuaisde igualmagnitudeesinaisopostos,separadasporumdistnciapequenasecomparadacoma distnciaaopontoPondesedesejaconhecerocampoeltrico.OpontoPdescritoem coordenadasesfricas(figura1),porr, e=90graus,emvistadasimetriaazimutal.Ascargas positivas e negativas esto separadas por d m, e localizadas em (0,0,d/2) m e (0,0,-d/2) m. O campo no ponto P rEQdra ar= +4203 ( cos . $ sen . $ ) . Mostre que a divergncia deste campo nula. 4)-Paraaregio0< r2m(coordenadascilndricas), rD r e r e ar rr= + + ( ) $, ,4 2 41 0 5 1 0 5, e para r> 2m, rD r ar=( , ). $ 2 0571. Pede-se obter a densidade de cargas para ambas as regies. 5)-Dado rDrar=( ). $1043emcoordenadascilndricas,calculecadaumdosladosdoteoremada divergncia, para o volume limitado por r = 3 m, z = 2 m e z = 12 m. 6)- Dado ? ra . ? cos 2 a . ? sen 10 D + =r, pede-se calcular ambos os lados do teorema da divergncia, para o volume limitado pela casca r = 3 m. 7)-Umalinhauniformedecargasdedensidadelpertenceaoeixoz.(a)Mostreque = .rD 0 em qualquerlugar,excetonalinhadecargas.(b)substituaalinhadecargasporumadensidade volumtricadecargas0 em0 rr0 m. Relacionelcom0 modoque a carga por unidade de comprimento seja a mesma. Determine ento. rD em toda parte. figura 1 - figura do problema 3 Q - Q R2 R1 r P x y d APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I20 TRABALHO E POTENCIAL ELETROSTTICO 4 Noscaptulosanterioresinvestigamosocampoeltricodevidoadiversasconfiguraesdecargas (pontuais,distribuiolinear,superfciedecargasedistribuiovolumtricadecargas),apartirda LeideCoulombedaLeideGauss.Noprimeirocaso,asexpressesparaovetorintensidade campo eltrico eram obtidas custa de integraes que, conforme a complexidade do problema, se tornavam bastante complicadas. A Lei de Gauss mais simples de ser utilizada, porm requer que a simetria do problema seja bastante conhecida. Nos casos em que isso no acontecia, a soluo pela Lei de Coulomb ainda seria a mais recomendvel. Vamos agora procurar uma terceira maneira de se resolver problemas de eletrosttica, dessa vez a partir de uma funo escalar, conhecida como potencial eletrosttico, ou campo potencial. 4.1-TRABALHOENVOLVIDONOMOVIMENTODEUMACARGAPONTUALEMUMCAMPO ELTRICO Imagine um campo eltrico, provocado por uma configuraode cargas qualquer (pontual, linha de cargasetc).SuponhaagoraqueumacargapontualQsejacolocadanessecampoeltrico.Sobre essa carga pontual estaragindo uma fora de origem eletrosttica, dada por: r rF QE Ne = ( )(4.1) Sequisermosmoveressacargacontraaaodocampoeltrico,temosdeexercerumaforade intensidade igual e direo oposta quelaexercidapelocampo eltrico, na direo domovimento. Isso exige o dispndio de energia, ou seja, a realizao de um trabalho. Se o movimento no sentido docampoeltrico,odispndiodeenergianegativo,ouseja,afonteexternanorealizatrabalho. Este realizado pelo campo eltrico. Suponhamos que queiramos mover a carga Q de uma distnciadLr no campo eltrico rE , conforme a figura 4.1. Ogasto deenergiaser oprodutoescalar dafora pela distncia: = = cos QEdL L d . E Q dWr r (4.2) FFeQ E Fig. 4.1 - Carga Q em um campo eltrico E Pelaequaoacimapodemosperceberfacilmentequesedesejarmosmoveracarga perpendicularmente ao campo eltrico, o trabalho realizado sernulo. O trabalho realizado para mover uma carga de uma distncia finita dado pela integral: UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I21 W Q E dLinicfinal= r r. (.J)(4.3) Exemplo 4.1 Dado o campo eltrico rE x a z a y ax y= + + 3 2 22. $ . $ . $ z N/C, determine o trabalho realizado para se mover umacargade20Caolongodeumpercursoincremental10-4 mdecomprimento,nadireode localizado no ponto (2,-2, -5) m. + 0 6 0 48 0 64 , . $ , . $ , . $ a ax yaz Soluo ) C / N ( a . 4 a . 10 a . 12 Ea ). 2 .( 2 a ). 5 .( 2 a ). 2 .( 3 Ez y xz y x2 = + + =rr ParadW L d . E q =vem: ) a . 64 , 0 a . 48 . 0 a . 6 , 0 ( 10 ). a . 4a . 10 a . 12 .( 10 . 20 dWz y x4zy x6 + = nJ 88 , 18 ) 56 , 2 8 , 4 2 , 7 .( 10 x 2 dW9= + =r v 4.2 - INTEGRAL DE LINHA Na anlise vetorial uma integral delinha definida como sendo a integral ao longo de um caminho determinado,doprodutoescalardeumcampovetorialporumvetordeslocamentodiferencialdLr. Este o caso da equao 4.3 da seo anterior acima. Para entender melhor esse conceito, imaginequequeiramos calcular o trabalho paramoverumacarga Q em um campo eltrico do ponto B ao ponto A, conforme representado na figura 4.2. EA Fig. 4.2 - Carga movendo-se de B at A. O caminho dividido em um grande numero de segmentos. A componente do campo ao longo decadasegmentomultiplicadapelotamanhodosegmento,eosresultadosparatodosossegmentossosomados.Obviamenteissoumsomatrio.Aintegralobtidaquandoo comprimento de cada segmento tender a zero. rL s ' Matematicamente: W QE L E L E LL L Ln= n+ + + ( . . .. . .. . )1 1 2 2 (4.4) ou, em notao vetorial: W QE L E L E Ln n= + + + ( . . . .. . )r r r r r r1 1 2 2 (4.5)EEEEL4L4L3EL3L2EL2L2EL1BUNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I22Se o campo for uniforme: r r rE E En 1 2= = = ...(4.6) W Q E L L Ln= + + + + . ( . . . )r r r r 1 2 (4.7) AsomadossegmentosvetoriaisentreparntesiscorrespondeaovetordirigidodopontoBao ponto A, rL . Portanto: BA W QE LBA= r r.(4.8) Devemosnotarquenestecasoondeocampoeltricouniforme,otrabalhorealizadopara movimentaracargaQdopontoBaopontoAindependedocaminhotomado,dependendode Q, r rE e LBA , o vetor que vai de B at A. Veremos mais tarde que isso verdade para qualquer campo eltrico esttico, invariante no tempo. Exemplo 4.2 CalcularotrabalhorealizadoparamoverumacargaQ=-10-5C,imersaemumcampoeltrico rE y a z ay= + . 2z. , ao longo do caminho definido pela retay z + = 2 , e ao longo do caminho definido pelas retas z = 0 me y = 0 m . Soluo z Fig.4.3- Carga movendo-sepordois caminhos (0,0,2) trajeto 1 trajeto 2 y (0,2,0) Para o primeiro caminho temos: dW QE dL = r r. dW Q y a z a dy a dz ay z y= + + ( . $ . $ ).( . $ . $ ) 2z dW Q ydy zdz = + ( ) 2 y z y z + = = 2 2 ; d y dz = dW Q z dz zdz Q z dz = + = + ( ( )( ) ) ( ) 2 2 2 W z dz zzx J = + = + = 10 2 10 2261050252502( ) ( ) () Para o segundo caminho: ydy 10 Qydy ) a dy . a y ( Q dW5y y 1 = = = ) J ( 10 x 22y10 ydy 10 W525 025120 = = = dW Q z a dz a Qzdz zdzz z 252 2 1 = = =( . $ . . $ ) 0 2 W zdz xzx25 5250210 2 210241002= = = W W W x J = + =1 25610 ( )UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino 23Exemplo 4.3 Calcular o trabalho realizado para mover uma carga pontual positiva Q C, imersa no campo eltrico de uma linha de carga de densidade l C/m do ponto r1 m ao ponto r2 m, conforme a figura abaixo. Soluo l Fig. 4.4 - Carga imersa no campo de uma linha de cargas. O campo eltrico devido linha de cargas terapenasacomponentenadireoradial.Em coordenadas cilndricas: ) C / N ( a .r 2a . E Er0lr r= =r Odiferencialdocaminhoemcoordenadas cilndricas : dL dr a rd a dz ar zr= + + . $ . $ . $ O trabalho diferencial ser: dr .r 2. Q L d . E . Q dW0l = =r r Logo: W Qdrrlrr= 2012 W QrrJl= 2021ln ( ) Como r2 maior que r1, ln(r2/r1) o trabalho realizadonegativo,ouseja,afonteexterna que move a carga recebe energia. 4.3 - DIFERENA DE POTENCIAL E POTENCIAL ELETROSTTICO SetomarmosaequaoparaotrabalhorealizadoparasemoverumacargaQemumcampo eltrico, e a dividirmos pelo valor da carga Q, Teremos uma nova grandeza que denominaremos dediferena de potencial. Matematicamente: Diferena dePotencialWQE dLinicinal= = r r.. (4.9) Em outras palavras, a diferena de potencial (ddp) pode ser definida como sendo o trabalho realizado para se mover uma carga unitria de um ponto a outro em um campo eltrico. A sua unidade Joule por Coulomb, ou Volt (V). Se A o ponto final e B o ponto inicial, a diferena de potencial VAB : V E dLABBA= r r. ( V)(4.10) No exemplo da linha de carga da ltima seo, o trabalho para se deslocar a carga de r2 para r1 : W QrrJl= 2021ln ( )(4.11) A diferena de potencial entre r1 e r2 : VWQrrVl120212= =ln ( )(4.12) dL =drarr2r1UNESP Apostila de Eletromagnetismo Prof. Dr. Naasson |Pereira de Alcantara Junior APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I24Exemplo 4.4 Calcularadiferenadepotencialentreospontosr1er2,r2>r1,devidoaumacargapontualdeQ Coulombs positivos. Mostrar que ela independe das posies e . Soluo ) V ( L d . E V12rr12 =r r r rEQra dL dr r= =1402. . $ ; . $ r a r rE dLQ drr. . =402 =12rr2012rdr4QV VQ drrQr rrrr120204 412121= = VQr rV120 1 241 1= ( ) Opotencialabsolutopodeserdefinidotomandoumpotencialderefernciaespecificadoque considerado como tendo potencial zero. Usualmente o esse potencial tomado na superfcie da terra ounoinfinito.Noexemploanterior,seumdospontos(pontor2,porexemplo)estivernoinfinito,o potencial absoluto no ponto r1 ser: VQrV10 114=( )(4.13) Se o potencial absoluto de A VA, e o potencial absoluto de B VB, a diferena de potencial VAB : V V VAB A BV = ( ) (4.14) 4.4 - O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS Para duas cargas pontuais o potencial absoluto ser: VQRQRV = +1401122( )(4.15) e para n cargas: VQRViiin==1401( ) (4.16) Substituindo cada carga por :v ) V (Rv41Vn1 ii 0= =(4.17) Fazendo n : VdvRVvol=140( )(4.18) UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I25Para uma distribuio superficial de cargas: VdSRVss=140( )(4.19) Para uma distribuio linear de cargas: ) V (RdL41VLl0 =(4.20) Exemplo 4.5 Calcularopotencialemumpontonoeixodeumanelderaioam,comumadistribuiolinearde carga l C/m. Soluo VdLRVl=140( ) + =+= dLz a 4 z adL .41V2 20l2 2l0 ) V (z a 2a .z aa 2.4V2 20l2 20l+ =+= P l Fig. 4.4 - anel de cargas UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I26Exemplo 4.6 Resolver o exemplo anterior, considerando um anel de raio interno a m, raio externo b m e densidade superficial s C/m2. Soluo ) V (RdS .41VSs0 = dS r d dr R r z = = . . ; 2 2+ Vrd drr zs=+1402 2 . . V drdrr zsab=+ 402 202 Vrdrr zsab=+ 202 2 V r zsab= + 202 2 V b z a zs= + +V 202 2 2 2( ) P s Fig. 4.6 - Anel com distribuio superficial de cargas. EXERCCIOS 1)-CalculeotrabalhonecessrioparamovimentarumacargapontualQ=-20mCnocampo rE x y a x a V mx y= + + 2 4 8 ( ). $ . $ ( / )da origem ao ponto (6,4,1) m, ao longo do percurso.y 9 x2= 2) - Calcule o trabalho necessrio para movimentar uma carga pontual Q = 5 mC de (5 m, p, 0) a (3 m, p/2. 3 m), coordenadas cilndricas, no campo rE r a z a V mr z= + ( ). $ . $ ( / ) 10 105 5. 3) - Uma carga pontual de 0,6 nC est localizada no ponto (3,6,6) m. Calcule a diferena VAB, entre os pontos A(3,3,6) m e B(-3,3,6) m. 4)-Searefernciadepotencialnuloestemr=12m,eumacargapontualQ=0.6nCocupaa origem, encontre os potenciais em r = 8 m e r = 24 m. 5)-Suponhaqueemumdiasujeitoainstabilidadesatmosfricas,adiferenadepotencialentrea superfcie da terra e a eletrosfera (digamos 25 km acima da superfcie terrestre) seja de 600000 V. Um avio com 12 m de envergadura em suas asas est voando a 2600 m de altitude, com uma UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I27inclinao de 45de suas asas. Calcule a diferena de potencial entre as extremidades das suas asas. 6)-Trscargaspontuaisde2nCocupamosvrticesdeumtringuloequilterode2mdelado. Calculeopotencialemumponto2macimadoplanodotringuloenoeixodeseucentro geomtrico. 7) - Uma distribuio linear de cargas com densidade l = 1 nC ocupa o permetro de um quadrado de5mdelado.Calculeopotencialnopontosituado6macimadoquadrado,noeixodeseu centro. 8) - Desenvolva uma expresso para o potencial num ponto distante radialmente d m do ponto mdio de uma distribuio linear de cargas finita, de comprimento L m e de densidade uniforme rl (C/m). Comprove a deduo da expresso, pelo desenvolvimento empregado no exerccio anterior. 9)-Umdisco0ram,z=0,02,possuiumadensidadesuperficialdecargas sr a C m =02 2 2( / ) . EncontreV(0,0,z m) no espao livre. 10) - Uma pelcula plana uniformemente carregada com s = (1/5) nC/m2 est localizada em x = 0, e umasegundapelculaplana,coms=(-1/5)nC/m2estlocalizadaemx=10m.CalculeVAB, VBC, VACpara A(12, 0, 0) m, B(4, 0, 0) m e C(-2, 0, 0) m. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I28 O GRADIENTE DO POTENCIAL E ENERGIA NO CAMPO ELETROSTTICO5 5.1 - O GRADIENTE DO POTENCIAL A expresso obtida no captulo 4 para o clculo da diferena de potencial como uma integral de linha : V E dL = Vr r. ( )(5.1) Se o caminho escolhido for umrL, tal que se possa considerar rEconstante nesse caminho : V E L V = r r. ( )(5.2) r rE L EL V . cos = ( )(5.3) V EL V = cos ( ) (5.4) VLE V = cos ( / ) m(5.5) Passando ao limite: dVdLE V = cos ( / ) m(5.6) A expresso acima ser mxima quando cos= -1: dVdLE V mmax = ( / )(5.7) Pela equao 5.7 podemos concluir que: Amagnitudedocampoeltricodadapelamximataxadevariaodopotencialcoma distncia. Este valor mximo obtido quando a direodoincrementode distncia for oposta a rE . Pela figura 5.1, partindo do ponto P, a maior taxa de variao de V com a distncia se d na direo crescentedospotenciais,aolongodeumalinhadaesquerdaparaadireitaeparacima.Pela equao 5.6 o sentido de rE para a esquerda e para baixo, oposto maior variao de V. Definindo o vetorunitriocomo sendo ovetornormal superfcie equipotencial, e dirigidonosentidodospotenciais crescentes, podemos escrever para o vetor campo eltrico: $an rEdVdLa V mmaxn= . $ ( / )(5.8)UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I29 Fazendo: dVdLdVdN max =(5.9) z y x dr V V(x,y,z) = c2>c1 V(x,y,z) = c1 Fig. 5.1 - gradiente de V fica, ento: rEdVdNa V mn= . $ ( / )(5.10) Aoperao( ) dV dN an. $conhecidacomoogradientedo potencial V. Novamente umtipodeoperaoquenoapareceapenasnocasodepotenciaiseltricos,mastambmnahidrulica, termodinmica, magnetismo etc. Usando este novo conceito podemos escrever: rE grad = V(5.11) O gradiente uma operao sobre um escalar que resultanum vetor. (Voctambmjdeveternotadoqueovetorintensidadedecampoeltricoestsendoagora expresso em Volts/metro (V/m). ) A expresso 5.11, da forma como estcolocada ainda nos parece sem muita utilidade. Vamos agora encontrar umamaneirade escrever o vetor intensidade de campo eltrico em termos de derivadas parciaisdopotencialeltrico.Emcoordenadascartesianaspodemosescreverodiferencialde potencial dV como sendo : dVVxdxVydyVzdz = + +. . .(5.12) Por outro lado, por (5.2) passada ao limite: UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I30 dV E dL E dx E dy E dzx y z= = r r. . . .(5.13) Igualando 5.12 com 5.13 podemos concluir que: EVxx = (5.14) EVyy = (5.15) EVzz = (5.16) ou vetorialmente: rEVxaVyaVza Vx y z= + + ( . $ . $ . $ ) ( ) (5.17) Relembrando a definio do operador : = + + xayazax y. $ . $ . $ z (5.18) e aplicando-o sobre o potencial V, teremos: = + + VVxaVyaVzax y. $ . $ . $z (5.19) Portanto: rE V V = ( / ) m(5.20) Em um sistema de coordenadas esfricas temos: ra . V sen r1a . V r1a .r V V + + = (5.21) Em coordenadas cilndricas, = + + VVrarVaVzar z. .1.(5.22) UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I31Exemplo 5.1 Encontrar o campo eltrico devido a umacargapontual, utilizando o potencial eletrosttico. Soluo O campo eltrico de uma carga pontual possui apenas a componente radial, em coordenadas esfricas: rE VVra V mr= = . $ ( / ) O potencial eletrosttico em um ponto distante r m da carga pontual : VQrV =140. ( ) VrQrV m = 1402. ( / ) rEQra V mr=1402... ( / )V Exemplo 5.2 Dado:encontre :( ) ( ) ( ) V x y z = + 2 2 12 2 3. .a) - rEna origem. b) - dVdN na origem c) -$ an Soluo a)- rE V V = ( / ) m ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )z2 2 2y3 2x3 2a 1 z . 2 y . 2 x . 3a 1 z . 2 y . 2 x . 2a . 1 z . 2 y . 2 x . 2 E)))r + + + = rE a a ax y z ( , , ). $ . $ . $ ( / )0 0 016 16 48 = + V m rE a a ax y z ( , , )( $ $ $ ) ( / )0 0 016 3 = + V m b) - dVdN a magnitude do campo eltrico. Portanto : dVdNV m = + + = 16 1 1 9 531 , ( / ) c) -rEdVdNa V mn= . $ ( / ) ( ) + = 16 3 531 $ $ $ , . $ a a a ax y z n ) a 3 a a( 301 , 0 az y x n+ =( ) 5.2 - DENSIDADE DE ENERGIA NO CAMPO ELETROSTTICO Suponhamosncargas, ,positivas,localizadasnoinfinito(figura5.2).Imaginemos agora uma regio qualquer com campo eltrico total nulo (Q Q Qn 1 2, , ...... ,rE= 0). Inicialmente se desejarmos trazer a carga Q1 para um ponto 1 pertencente a essa regio, o trabalho ser nulo, pois rE= 0. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino 32Q1Q2 1Q1 2Q2 Q3 3 Q3 Q44 Q4 Qn n Qn Regio com E = 0 infinito Fig. 5.2 - Sistema de cargas Suponhamos agora que queiramos trazer a carga Q2 para um ponto 2, prximo carga Q1. A fonte externa dever realizar um trabalho, devido agora presena da carga Q1. Esse trabalho ser: W Q V J2 2 2 1= . (,) (5.23) V2 1 , significa: potencial na posio 2, devido carga Q1. Seacargaformantidanessaposioaenergiadispendida,peloprincpiodaconservaode energia, se transforma em energia potencial. Uma vez retirada a fora que a mantem nessa posio, a carga ser acelerada para longe de sua posio, adquirindo energia cintica, e, realizando trabalho. Voltando nossa tarefa de mover cargas do infinito regio em questo, ao trazer a carga Q3 para a posio 3, o trabalho realizado ser: W Q V Q V J3 3 3 1 3 3 2= + . ., ,( ) (5.24) onde: = potencial em 3 devido a Q V3 1 ,1. = potencial em 3 devido a Q V3 2 ,2. O trabalho para mover n cargas ser: ) J ( V . Q ... V . Q ... V . Q V . Q V . Q W1 n , n n 1 , n n 2 , 3 3 1 , 3 3 1 , 2 2 E + + + + + + = (5.25) EW aenergiapotencialarmazenadanocampo.Tomemosagoraumtermoqualquerdaequao acima. Por exemplo: Q V QQRQQRQ V3 3 1 310 13130 311 1 34 4. ....., ,= = = (5.26) 3 , 1V o potencial no ponto 1 devido carga Q3. Assim, a equao 5.25 pode ser reescrita reciprocamente como: W QV QV QV Q V Q V Q V Q VE n= + + + + + + + + 1 1 2 1 1 3 1 1 2 2 1 2 2 3 2 2 1 1. . .. . . . .. . ., , , , , ,n n n n ,n(5.27) Adicionando 5.25 e 5.27: 21 1 2 1 3 1 2 2 1 2 3 21 2 1W Q V V V Q V V VQ V V VE nn n n n n= + + + + + + + ++ + + +( ... ) ( ... )... ( ... ), , , , , ,, , ,(5.28) Cada soma entre parntesis, representa o potencial em cada ponto, devido a todas as cargas exceto cargaqueestnopontoondeestsendocalculadoopotencial.Emumanotaomais simplificada, temos: APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I33V V V Vn 1 2 1 3 1 1 , , ,. .. + + + = (5.29) Assim: ( ) W Q V Q V Q VE n= + + +121 1 2 2. . .. . . Jn( )(5.30) W QVE i iin==121. (J)(5.31) Substituindo cada carga por um volume infinitesimal v, multiplicado por uma densidade de carga , e fazendo o nmero de cargas tender ao infinito (v dv): W Vdv JEvol= 12 ( )(5.32) Substituindo por. rD: ( )W DVdvEvol= 12. ( J )r (5.33) Entretanto, a seguinte identidade (vetorial) vlida para qualquer funo vetorial rD: ( ) ( )( ) = + . . . VD V D D Vr r r (5.34) Portanto: ( ) ( ) ) J ( ] dv V . D dv D V . [21Wv vE =r r (5.35) A primeira integral de volume da equao acima pode ser substituda por uma integral de superfcie, utilizando-se o teorema da divergncia: ( )( ) W VD dS D V dvEs vol= 1212Jr r. ( )(5.36) Aequao5.35umaintegraldevolume.Anicarestrioqueestevolumecontenhatodaa carga, ou seja, no pode haver cargas fora deste volume, conforme nossa hiptese inicial. Nada nos impededeconsiderarestevolumecomosendotodoouniverso.Portanto,Vnasuperfcieque envolve este volume pode ser considerado nulo ( rD tambm). Portanto, a primeira integral em 5.35 nula. Por outro lado, sabemos que= V Er. Portanto: ( )W D E dv EdvEvol vol= = 121202Jr r. ( )(5.37) Derivando a equao acima em relao ao volume teremos: dWdvE J mE =1202 3 ( / )(5.38) que a densidade de energia armazenada no campo eltrico. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I34Exemplo 5. 3 Calcular a energia armazenada em uma seo de um capacitor co-axial de L m de comprimento, raio interno a m e externo b m. Soluo Aexpressoparaocampoeltriconointerior do capacitor : rEara V msr=... $ ( / )0 Warr d dr dz JEsab L= 1202 202 2020... . . . ( ) Ward dr dzEsab L= 2 20020... . . W La drrL a baJEsabs= =1222 202 20. . .. . . .. ln ( ) UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I35EXERCCIOS 1)-A direo da linha formada pela intercesso de uma superfcie equipotencial e o plano z = 1 m no ponto (2, -6,1) m a do vetor 6x + 2y. Se a mxima taxa de variao de V 500 V/m, com Ez = 0 e com Ex > 0, encontreEr. 2) Determine a distribuio volumtrica de cargas que geram um campo potencial V = 5r2 volts. 3) - a poro de um potencial bidimensional (Ez = 0) mostrada na figura 1. O espaamento entre as linhas (horizontais e verticais) de 1 mm. DetermineEr em coordenadas cartesianas em a e b. 4)-QuatrocargasidnticasQ=3nCsocolocadasnovrticedeum quadrado de 0.6 m de lado, uma de cada vez. Calcule a energia do sistema, logo aps cada carga ser colocada. 5) - Dado o campo eltrico rE erar= 5 . $ aem coordenadas cilndricas, calcule a energia armazenada no volume descrito por r 2a m, 0 z 5a m . 6)-Dadoumpotencialdefinidopor,calculeaenergiaarmazenadanovolume definido por um cubo de 1 m de aresta, com um dos vrtices na origem. V x y V = + 3 42 2( ) yx 140 Vb 130 V a 120 V 110 V 100 V Fig. 1 - figura do problema 3 UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino UNESP Apostila de Eletromagnetismo Prof. Dr. Naasson Pereira de Alcantara Junior 36 Noscaptulosanterioresestudamososcamposeletrostticos,geradosapartirdedistribuiesde cargasestticas.Nestecaptulofaremosoestudodacorrenteeltrica,quenadamaisdoqueo movimento,dentrodeumacertaordem,decargaseltricas.Estudaremososfenmenosdevido correnteeltricaestacionria,ouseja,aquelaquenovariacomotempo.Camposeltricosgerados por correntes estacionrias tambm so estticos. 6.1 - CORRENTE ELTRICA E DENSIDADE DE CORRENTE Referindo-sefigura6.1,suponhaqueumacargadetesteqsejaintroduzidaemumcampoeltrico rE. A carga deve sofrera ao de uma forarF que dada por: r rF qE N = ( )(6.1) Seacargalivreparasemover,elasofrer umaaceleraoque,deacordocomasegundaleide Newton, dada por : rraFmm s = ( / )2 (6.2) onde m a massa da partcula de carga em quilogramas. Fig. 6.1 - Fora sobre uma partcula em um campo eltrico. Naausnciaderestries,avelocidadedapartculaaumentar indefinidamentecomotempo,uma vezqueocampoeltrico rEconstante.Entretanto,emmeiosgasosos,lquidosouslidos,a partculacolidir repetidamentecomoutraspartculas,perdendopartedesuaenergia,ecausando mudanasaleatriasnadireodeseumovimento.Seocampo rEconstante,eomeiofor homogneo,oresultadodessascolisesseroderestringiromovimento da carga a uma velocidade mdiaconstante,chamadadevelocidadededeslocamento rvd.Essa velocidadededeslocamentotemamesma direo do campo eltrico, e se relaciona com ele atravsdeuma constante chamada de constante de mobilidade . Assim: rrv E m sd= ( / )(6.3) SuponhaagoraummeiocomseouniformeA,conformeafigura6.2Essemeiopossuiinmeras cargaslivres,comumadensidadevolumtrica.Fixando-seumarefernciaemumpontoqualquer domeioemquesto,onmerodecargasqueatravessaraseouniformeS em umsegundoconstituirumacorrenteeltricaI coulombs/segundo, que serdada pela expresso: E q F 6 CORRENTE ELTRICA UNESP Apostila de Eletromagnetismo Prof. Dr. Naasson Pereira de Alcantara Junior 37 ) A ( S v Id = (6.4) onde: I(A)Corrente eltrica rvd (m/s)Velocidade de deslocamento (C/m3)Densidade volumtrica de cargas S(m2)rea atravessada Fig. 6.2 - Cargas cruzando uma seo reta em um condutor Dividindo-sea equao 6.4 pela rea da seo reta S, tem-se adensidade de corrente J, em ampres por metro quadrado: ) m / A (SIJ2= (6.5) Seacorrentenoforuniforme,devemosconsiderarovetor rJem um ponto. Isto definidocomosendooquocienteda correnteIpelarea incrementalS . FazendoStenderazero, teremos: ) m / A ( v aSI0 SlimJ2d n = =r )r (6.6) A superfcieS normaldireodacorrente.Adensidadedecorrente rJ umvetorquetem magnitudeigualdensidadedecorrentenopontoemquesedesejaconhec-la,eadireoda correnteneste ponto. 6.2 - CORRENTE DE CONVECO E CORRENTE DE CONDUO Aexpressoparaadensidadedecorrenteobtidanaequao6.6representaumacorrentede conveco,queatranslaode eltrons ou ons (como porexemplo, o que ocorrenointeriordeumtuboderaioscatdicos,ouemumalmpadafluorescente).Acorrentedeconveco linearmente proporcional densidadede cargas e velocidade dessas cargas. Se substituirmos a velocidade dedeslocamento rvd por rE , por (6.3) e (6.4) teremos: r rJ E A m = ( / )2 (6.7) O produto definido como sendo a condutividade do material, e a expresso acima torna-se: r rJ E A m = ( / )2 (6.8) A equao 6.8 representa uma corrente de conduo,que pode ser definida como sendo o movimento decargasquesealinhamcomaatuaodeumcampoeltricoexterno.Assimadensidadede correntedeconduonummeiotemperaturaconstantelinearmenteproporcionala rE.A S UNESP Apostila de Eletromagnetismo Prof. Dr. Naasson Pereira de Alcantara Junior 38 relaoacimavalidaparaosmeioseletricamentelineares,ouhmicos.Someioseletricamente lineares, por exemplo, todos os metais. UNESP Apostila de Eletromagnetismo Prof. Dr. Naasson Pereira de Alcantara Junior 39 Exemplo 6.1 Calcular a intensidade da velocidade mdia dos eltrons em um condutor circular de cobre com seco de 1,5 mm2, percorrido por umacorrente contnua de 15 A, numa temperatura ambiente de 20 C.Dados: cobre = 5,8x107 S/m,p,cobre = 0.0032 m2/Vs. soluo JIS xA mc= = =1515 101067 2,/ r rJ E ExV mc= = = 105 8 100172477,. / s / m 00055 . 0 1724 . 0 x 0032 . 0 v E vd d= = =rr Exemplo 6.2 Determineacorrentetotalqueatravessaumaseode1cmnalateraldeumasuperfciecilndricade raio r = 2 mm, se as expresses vlidas para pontos prximos desse raio forem: a) - < < = , m / A2cosr1J2r b) -s / m r 10 x 3 v , m / Cr102 10) r ( d37= = soluo a) - I J dSS=r r. ) A ( dz rd2cosr1I01 , 00 = I d x d A == 0 0120 01 2212, cos , cos ( ) I x x x x A == =0 01 220 01 2 1 1 0 040 , sen , ( ( )) . ( ) b) - rrJ vrx r A md= =103 10710 2 2( / ) rJ x x x A m = =10 3 10 0 002 67 10 2, ( / ) ) A ( dz rd 6 S d . J I01 , 00 s = =r r I x x x d x x A = =6 2 10 0 01 1 2 10 23 4, , ( ) I mA = 0 754 , ( ) 6.3 - EQUAO DA CONTINUIDADE Oprincpiodaconservaodecargasestabelecequecargaseltricasnopodemsercriadasou destrudas,emboraquantidadesiguaisdecargaspositivasenegativaspossamsercriadaspor separao,oudestrudasporrecombinao.Aequaodacontinuidadedecorredesteprincpio, quandoconsideramosuma regio confinada por uma superfcie fechada. ImagineumasuperfciefechadaS,atravessadaporumadensidadedecorrente rJ . A corrente eltrica total queatravessaressa superfcie ser: UNESP Apostila de Eletromagnetismo Prof. Dr. Naasson Pereira de Alcantara Junior 40 ) A ( S d . J IS=r r (6.9) Esteofluxoparaforadecargaspositivas(issoumameraarbitrariedade,naverdadeascargas quesemovimentamso eltrons, que possuemcarga negativa),quedeveser balanceadoporum decrscimo de cargas positivas (ou acrscimo de cargasnegativas) no interior da superfcie. Dentrodasuperfciefechada,acargaQdecrescerento,numarazodQ/dteoprincpioda conservaodecargasestabelece ento: I J dSdQdt S= = r r. (6.10) Aplicandooteoremadadivergnciaintegralacima,erepresentandoacargaenvolvidapela integraldevolumeda densidade de carga: ( ) = .rJddtdvvol vol (6.11) Concordando-seemmanterasuperfcieconstante,aderivadatransforma-se em uma derivada parcial,epode ser colocadadentroda integral: ( ) = . . .rJ dvtdvvol vol (6.12) Umavezqueaexpressoacimavlidaparaqualquervolume,elaverdadeiraparaumvolume incremental v. Portanto: ( ) = .rJ vtv (613) de onde sai a forma pontual da equao da continuidade : tJ . = r (6.14) Exemplo 6.3 Adensidadevolumtricadecargasnumacertaregiodoespaoestdecrescendoaumataxade 2x108 C/m3.s. a) - Qual a corrente total que atravessa uma superfcie esfrica incremental de raio 10-5 m? b)-Qualovalormdiodacomponentedadensidadedecorrentedirigidaparafora,atravessandoa superfcie esfrica? soluo a) - = = . .r rJtJ x2 108 ( ) ) A ( dv 10 x 2 dv J . S d . J Ivol8vol S = = =r r r ) A ( r34x 10 x 2 dv 10 x 2 I3 8vol8 = = ) A ( 838 , 0 I ) 10 ( x 10 x38I3 5 8 = = b) - ) A ( S d . J IS=r r UNESP Apostila de Eletromagnetismo Prof. Dr. Naasson Pereira de Alcantara Junior 41 =S6S d . J 10 x 838 , 0r r 0 838 10 40 838 104 106 265 22,,( )( / ) x Jx r JxA m= = ) m / kA (32J 10 x 9 , 666 J2 3= =6.4 - TEMPO DE RELAXAO Suponhamos que uma regio condutora e isolada esteja em equilbrio. Se injetarmos uma carga inicial de densidade0ela dever"escoar",ouseja,aregiodevervoltaraoequilbrio.Podemoschegara essa concluso a partir da ltima equao da seo anterior. = .rJt (6.15) Por (6.8) vimos que: r rJ E A m = ( / )2 (6.16) e rrEDV m =( / ) (6.17) Portanto: r rJ D A m =( / )2(6.18) Assim: + = . rDt0 (6.19) A equao acima uma equao diferencial cuja soluo : =0et(6.20) A razo / chamada de constante de tempo de relaxao . Exemplo 6.4 Umacargacomdensidadeinicial0 C/m3colocadaemummaterialcondutor(cobre)isoladoeem equilbrio. Determine o tempo necessrio para que a densidade de carga caia a 1/3 de seu valor inicial, sabendo que Cu = 5,8x107 S/m. Soluo =130 130 00 =et ln ln( )130=t e = = 0712115 8 108 85 1011 txxt s ,,,, ( )t x s =157 1019, ( ) UNESP Apostila de Eletromagnetismo Prof. Dr. Naasson Pereira de Alcantara Junior 42 Peloexemploqueacabamosderesolver,podemosperceberque,excetoporumperodotransitrio extremamente curto, = 0 no interior de regies condutoras. Portanto: = .rJ 0 (6.21) A equao 6.21 prova matematicamente que no h acmulo de cargas eltricas no interior de materiais condutores. EXERCCIOS 1)-Umcondutordecobretemseoretacircularde5,00mmdedimetro,esuportaumacorrentede 30 A. Qual a porcentagem de eltrons de conduo que deixa o condutor em cada segundo (sendo substitudos por outros), em 200 mm de cabo? DadosN(NmerodeAvogadro)=6,02x1026tomos/kmol,densidadedocobre=8,96g/cm3 e peso atmico 63,54. Suponha um eltron de conduo por tomo. 2)-Quecorrenteirresultarsetodososeltronsemumcentmetrocbicodealumniopassampor ponto especificado em 3 s ? Suponha um eltron de conduo por tomo. 3)-Qualadensidadedeeltronslivresemummetalparaumamobilidadede0,0046m2/V.s e uma condutividade de 30 MS/m ? 4)- Calcule a mobilidade dos eltrons de conduo no alumnio, dada uma condutividade de 38,2 MS/m e densidade de eltrons de conduo de 1,70 x 1029 m-3 ? 5)-Umabarradecobredeseoretaretangularde0,03mm0,12mme3,0mdecomprimentotem umquedadetensode100mV.Calculearesistncia,corrente,densidadede corrente, mdulo do campo eltrico e velocidade de deslocamento dos eltrons de conduo. 6)- Encontre a corrente que atravessa um condutor esfrico de raio 3 mm, se a densidade de corrente varia com o raio, de acordo com J = 103/r (A/m2). 7)-Emcoordenadas cilndricas, para a regio 0.02 r 0.03 mm, 0 z 1 m, rJ e ar=10100$ (A/m2), Encontre a corrente total que atravessa a interseo desta regio com o plano= constante. 8)- Calcule a corrente total que sai de um cubode 1 m3 com um vrtice na origem, e lados paralelos ao eixos coordenados, se rJ x a xy a xya A mx y z= + + 2 2 22 3 2$ $ $ ( / ) . APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I42 MATERIAIS DIELTRICOS E RELAES DE FRONTEIRA NO CAMPO ELTRICO 7 Deacordocomateoriaatmicaclssica,ostomossoconstitudosdeumncleoformadopor prtonsenutrons,orbitadosporeltronscarregadosnegativamente.medidaquesefornece energia a um eltron, este passa para uma rbita mais afastada. Em alguns materiais, o eltron (ou eltrons)queestnarbitaexternaestfrouxamenteligadoaotomo,emigrafacilmentedeum tomoparaoutro,quandosofreaaodeumcampoeltrico.Esteseltronsrecebemonomede cargasverdadeiras.Materiaisquepossuemestetipodecomportamentorecebemonomede condutores. Emoutrostiposdemateriais,porm,oseltronsestodetalmaneirapresosaotomo,queno podemserlibertadospelaaplicaodecamposeltricosdepequenaintensidade.Estesmateriais recebemonomededieltricosouisolantes.Entretanto,quandoumdieltricosubmetidoaum campoeltrico,ocorreumapolarizao,ouseja,umdeslocamentodoeltronemrelaosua posiodeequilbrio.Ascargasinduzidasemumisolanterecebemonomedecargasde polarizao. Outrogrupodemateriaisapresentaumcomportamentointermedirioentrecondutoreseisolantes. Sooschamadossemicondutores.Sobcertascondiespodemagircomoisolantes,mascoma aplicao de calor ou de campo eltrico suficientemente fortes, se comportam como condutores. Na figura 7.1a existe um pequeno espao vazio (barreira de energia) entre as bandas de conduo e de valncia. Esse o caso dos materiais condutores, onde o eltron passa facilmente de uma banda para outra. Na figura 7.1b o espao vazio grande, e dificilmente o eltron passar de uma banda para outra. Na figura 7.1c, o espao vazio intermedirio entre os dois casos, e o material pode se comportaroucomoumcondutor,oucomoumisolante,dependendodascircunstancias,sendo classificado com um semicondutor. Banda de Valncia Preenchida Banda Condutora Vazia Espao de Energia Proibida Banda de Valncia Preenchida Banda Condutora Vazia Banda de Valncia Preenchida Banda Condutora Vazia ab c Fig. 7.1 - Comportamento de condutor, isolante e semicondutor. Amobilidadedaspartculas,umafunodatemperaturaeoseuaumentoapresenta conseqncias diferentes, no comportamento dos materiais condutores, isolantes e semicondutores. Emumcondutormetlico,porexemplo,omovimentovibratrioaumentacomoaumentoda temperatura.Conseqentemente,humadiminuionavelocidadedearraste,devidoscolises desordenadas que ocorrem no interior do material. p Poroutrolado,nosmateriaisisolantesesemicondutores,oaumentodatemperaturafavoreceo aumentodomovimentovibratrio,quecontribuicomoaumentodamobilidadedaspartculas,em funo do campo eltrico aplicado. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I437.1- A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELTRICOS Emboraosmateriaiscondutoresnopossamarmazenarenergiaemseuinterior,osmateriais dieltricos, podem. Isso possvel porque ao se aplicar um campo eltrico externo em um dieltrico noocorreamovimentaodecargaslivres,masumdeslocamentonasposiesrelativasdas cargasnegativas (eltrons) e positivas, dando origem s cargas polarizadas. Esse armazenamento de energia potencial ocorre contra as foras moleculares e atmicas normais do tomo. Omecanismorealdedeslocamentovariaconformeotipodedieltrico.Algunstiposdedieltricos soconstitudospormolculasditaspolarizadas(porexemplo,agua),quepossuemum deslocamento permanente entre os centros geomtricos das cargas positiva e negativa. Cada par de cargasagecomoumdipolo;umconjuntoformadoporumacargapositivaeumacarganegativa, separadasporumadistnciad.Normalmenteessesdipolosestoorientadosedispostos aleatoriamentenointeriordomaterial.Quandoumcampoeltricoexternoaplicado,elesse alinham em sua direo (fig. 7.2). Emoutrostiposdemateriaisestearranjoemdipolosnoexisteantesdocampoeltricoser aplicado.Ascargaspositivasenegativasdeslocam-secomaaplicaodocampoeltrico,e alinham-se em sua direo (fig. 7.3) +- -+ -+ - + E = 0 -+-+-+- + E Fig. 7.2- Molculas polarizadas (dipolos) +-+-++- - - + - +E =0 - + - +E Fig. 7.3- Molculas no polarizadas Qualquer tipo de dipolo descrito pelo seu momento de dipolopr, dado por: ) m . C ( d Q prr=(7.1) onde Q a carga positiva, edr a distncia vetorial orientada da carga negativa para a carga positiva. Seexistemndipolosidnticosporunidadedevolume,ento,emumvolumeincrementalvo momento de dipolo total a soma vetorial: ) m . C ( p pv n1 ii total ==r r(7.2) Definindo agora o vetor polarizao rPcomo sendo o momento de dipolo total dividido por um volume que tende a zero: UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I44 ) m / C ( pv10 vlimP2v nii =rr(7.3) Pr deve ser tratado como um vetor contnuo, com unidades em coulombs por metro quadrado. Suponhamosagoraumdieltricocontendomolculasnopolarizadas.Portanto,Pr=0emtodoo volume do material. Selecionemos agora um elemento desuperfcie S no interior do dieltrico. Aplicandoumcampoeltricosobreodieltricoasmolculassepolarizaro.Haverummovimento de cargas de polarizao atravs de S. O campo eltrico produzir um momento em cada molcula: ) m . C ( d Q prr=(7.4) de modo quepredr faro um ngulo com o vetor normal Sr(figura 7.4). d cos +- +- +- S+- + - - +d +- - + Fig. 7.4- Movimento de cargas atravs de S Cadamolculacujocentroestnointeriordovolume( ) S d . cos . 2 1 abaixodasuperfcie incremental contribui para o movimento de uma carga Q atravs de S para cima. De modo anlogo, cadamolculacujocentroestnointeriordovolume( ) S d . cos . 2 1 acimadestasuperfcie incremental contribui para o movimento de uma carga Q atravs de S para baixo. Comohnmolculas/m3,acargalquidatotalqueatravessaasuperfcieSS d Q n . cos . . . , onde: ) ( . C S d nQ Qpr r = (7.5) ou ) ( . C S P Qpr r = (7.6) SerSfor um elemento de superfcie em uma superfcie fechada, com o seu sentido positivo sempre dirigidoparaforadasuperfcie,oacrscimolquidonascargasdepolarizaodentrodasuperfcie fechada : ) C ( S d . P Qvolp =r r (7.7) (o sinal menos explicado pelo fato de que o sinal das cargas que entram ou permanecem no interior da superfcie fechada de sinal contrrio ao das cargas que saem). Considerando esta cargatotal como sendo uma distribuio volumtrica de cargas com densidade p: UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I45 ) (C dv Qvolp p = (7.8) Assim: =s volpS d P dvr r. (7.9) Aplicando o teorema da divergncia no lado direito da equao acima, ela ficar: =vol volpdv P dv ) . (r(7.10) Ou ainda: ) / ( .3m C Pp = r (7.11) Essa equao tambm vlida para dieltricos polares Vamosagoraencontrarumarelaoentreovetordensidadedefluxoeltricoeovetor polarizao DrPr. Primeiramente vamos escrever a Lei de Gauss na forma pontual, mesmo na presena de dieltricos, como: ) / ( .30m C Et = r (7.12) onde t a densidade volumtrica total de cargas. O vetorDr foi substitudo porE0rporque uma vez consideradas as cargas de polarizao, tudo se passa como se o dieltrico no existisse. Como: ) / (3m Cp t + =(7.13) ento por (7.12) e (7.13): ) / ( .30m C Ep + = r (7.14) que por (7.11) fornece: P Er r. .0 = (7.15) ou: ) / ( ) .(30m C P E = + r r (7.16) onde a densidade volumtrica das cargas livres. Podemos agora redefinir o vetor rD como sendo : ) / (20m C P E Dr r r+ =(7.17) UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I46A presena de dieltricos , portanto, levada em conta atravs do vetor polarizao.Pr Ovetorpolarizao rP resultoudaaplicaodeumcampoeltrico rE .Arelaoentre rP e rEdependerdotipodematerial.Vamosnoslimitaramateriaisisotrpicos,comumarelaolinear entre rPe rE . Nesse caso, rPe rEso paralelos, embora no necessariamente no mesmo sentido. Admitindo a linearidade entre rPe rE , podemos escrever: ) m / C ( 20 eE Pr r=(7.18) onde e a susceptibilidade eltrica do material. Substituindo o valor dePrna relao fundamental de (7.17) temos: E ) 1 ( De 0r r+ =(7.19) Assim, para qualquer meio, podemos estabelecer que: ) m / C ( E E D2r 0r r r= =(7.20) ondeapermissividadedomaterial.Logorserapermissividaderelativa,ouaconstante dieltrica do material, sendo expressa por e r 1 + =(7.21) O valor deem (7.21) substitudo em (7.18) estabelece a seguinte relao entre erPe rEempregada em aplicaes de engenharia: r rP E Cr= ( ) ( / 102m )) (7.22) Finalmente, a Lei de Gauss continua vlida, seja na forma pontual, seja na forma integral, mesmo na presena de dieltricos: = . ( /rD C m 2 (7.23) r rD dS Q C . ( =)(7.24) e as cargas so cargas livres. 7.2 - CONDIES DE CONTORNO PARA OS MATERIAIS DIELTRICOS Considere a fronteira entre dois meios dieltricos, e um caminho abcd, conforme mostrado na figura 7.5 a seguir. Meio 1Meio 2ch w Etan2Etan1dFig. 7.5 - fronteira entre dois meios dieltricos b aUNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I47 Integrandoovetorintensidadedecampoeltricoaolongodessecaminhofechado,considerandoh tendendo a zero, teremos: = = 0 w . E w . E L d . E2 t 1 tr r (7.25) ou: 2 t 1 tE E =(7.26) ou seja, a componente tangencial do vetor rE contnua. Podemosconcluirqueadiferenadepotencialentredoispontosnafronteira,separadosporuma distncia w a mesma, tanto acima como abaixo da fronteira. Logo para as componentes tangenciais do vetor rD, teremos: 22 t11 tDD=(7.27) ou : 212 t1 tDD=(7.28) Portanto, as componentes tangenciais do vetorDrso descontnuas. Vamos agora determinar as relaes entre as componentes normais de rEe rD. Considereasuperfciegaussianaelementar,constitudadeumcilindrodebaseSealturah, colocado na fronteira entre os dois meios 1 e 2, conforme a figura 7.6. Sh Meio 1Meio 2Dn1 Dn2 Fig. 7.6 - Fronteira entre dois dieltricos Aplicando a Lei de Gauss, com h tendendo a zero, teremos: =Q S d . Dr r (7.29) de onde: s 2 n 1 n D D = (7.30) UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I48Conforme j foi visto anteriormente, a densidade de cargass representa cargas livres, mesmo na presenadedieltricos.Comonosmateriaisdieltricoscargaslivresspoderoexistirseforem propositadamente ali colocadas, podemos considerars = 0.Assim: 2 n 1 nD D=(7.31) ou seja, a componente normal do vetor rD contnua. Para a componente normal do vetor rEteremos: 2 n 2 1 n 1E E =(7.32) ou: 122 n1 nEE=(7.33) Portanto, descontnuas. Exemplo 7.1 Sejaumaplacadeteflonnaregio0