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ELETROTÉCNICA INDUSTRIAL

Paulo Sérgio Costa Lino

ELETROTÉCNICA INDUSTRIAL

Universidade do Estado de Mato Grosso - UNEMATCampus Renê Barboux

Paulo Sérgio Costa Lino

Com x exemplose y ilustrações

Barra do Bugres - MTSetembro de 2016

Prefácio

Sumário

1 Geração e Distribuição de Energia Elétrica 61.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Produção de Energia Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Energia Elétrica no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Linhas de Transmissão e Distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 O Sistema Interligado Nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Voltagem e Corrente Elétrica 152.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Voltagem e Corrente Elétrica Alternada Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Posições Relativas de Duas Grandezas Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Regras Para Obter o Ângulo de Fase de Dois Sinais Elétricos . . . . . 202.4 Valor Médio da Corrente e da Tensão

Alternada Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Valor Eficaz da Tensão e da Corrente Alternada . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.1 Conceitos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6.2 Divisão de Dois Fasores na Forma Retangular . . . . . . . . . . . . . 312.6.3 A Forma Polar de um Fasor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6.4 A Identidade de Euler e a Forma Exponencial de um Fasor . . . . . . 332.6.5 A Notação Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7 A Tensão e a Corrente Elétrica Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Circuitos Elétricos 423.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 A Impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Resposta do Resistor, Indutor e

Capacitor em Corrente Alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.1 Circuitos Elétricos Puramente Resistivos . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.2 Circuitos Elétricos Puramente Indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.3 Circuitos Elétricos Puramente Capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Circuitos RL e RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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3.5 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6 Circuitos Mistos com Fontes de

Tensão e Corrente Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.7 Aparelhos de Medidas Elétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.7.2 Amperímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.7.3 Voltímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.7.4 Ohmímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.8 Ponte de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.8.1 Multímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.9 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Potência e Correção do Fator de Potência 874.1 Valor Médio da Potência Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Triângulo das Impedâncias, das Potências

e das Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3 Correção do Fator de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.4 Considerações Sobre o Fator de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 Transformadores 1015.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 Considerações Gerais Sobre Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3 Relação Entre Tensão, Corrente e Número

de Espiras em um Transformador Monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4 Transformador Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.5 Autotransformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Motores e Geradores 1136.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2 Conceitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.3 Motor Síncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

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Capítulo 1

Geração e Distribuição de EnergiaElétrica

1.1 Introdução

A eletricidade é uma das mais importantes formas de energia usada no mundo de hoje.Sem ela, não existiria: iluminação adequada, comunicações de rádio ou televisão, nem osserviços telefônicos; e as pessoas teriam que se conformar em viver sem os eletrodomésti-cos tão comuns hoje em dia. Além disso, sem a eletricidade o setor de transportes não seriacomo é atualmente, uma vez que a eletricidade é utilizada em todos os tipos de veículos.Entre todas as formas secundárias de energia, a eletricidade é a que mais contribui para odesenvolvimento e o bem-estar da sociedade.

1.2 Produção de Energia Elétrica

Existem diferentes processos para produzir energia elétrica, e todos eles podem ser en-quadrados de seis categorias:

• Eletricidade Através do Atrito

Neste método descoberto pelos antigos gregos, uma carga elétrica pode ser pro-duzida pelo atrito entre dois materiais, tais como a seda e o bastão de vidro, oucomo ocorre quando penteamos o cabelo. Essas cargas dão origem a eletricidadeestática, que consiste na transferência de elétrons de um material para outro. Esta éa razão porque os isolantes como o vidro e a borracha, podem produzir as cargas daeletricidade estática.

• Eletricidade Através de Reações Químicas

As pilhas e as bateriais são dispositivos capazes de transformar energia química emenergia elétrica por meio de reações espontâneas de oxirredução (em que há trans-

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ferência de elétrons). A diferença entre uma pilha e uma bateria está no fato de que aspilhas possuem apenas um eletrólito (solução condutora de íons também denominadade ponte salina) e dois eletrodos. Já a bateria é composta de várias pilhas agrupadasem série ou em paralelo. Além disso, as pilhas não são recarregáveis, mas as bateriassão.

A pilha eletrolítica é formada por um eletrólito (solução iônica) tais como soluçõesácidas, básicas ou salgadas, dois eletrodos, tais como uma barra de zinco e umabarra de cobre imersas no eletrólito.

Figura 1.1: Esquema de uma pilha eletrolítica

Quando se mistura ácido sulfúrico (H2SO4) com água para formar o eletrólito em umrecipiente de vidro, o ácido sulfúrico se divide em íons positivos (H+) e em íons nega-tivos (SO−2

4 ). O número de cargas positivas é igual ao número de cargas negativas e,portanto, a solução é neutra. Quando introduzimos as barras de cobre (Cu) e de zinco(Zn), elas reagem com a solução, mas sendo o zinco mais reativo que o cobre, haverámais íons de zinco (Z+2

n ) na solução do que íons de cobre (Cu+2), de modo que a barrade zinco fica com excesso de elétrons, ou seja, fica negativa conforme a figura 1.1.Os íons de zinco se combinam com os íons de sulfato (SO−2

4 ) para formar o compostoneutro ZnSO4. Além disso, a solução fica com excesso de cargas positivas. Os íonspositivos de hidrogênio (H+) atraem os elétrons livres da barra de cobre, neutralizandonovamente a solução. Porém, agora há falta de elétrons na barra de cobre, isto é, elase torna positiva. Finalmente, se ligarmos um condutor metálico (fio) haverá um fluxode elétrons através desse condutor, ou seja, teremos uma corrente elétrica contínuasendo gerada através deste processo e essa corrente elétrica fluirá até que a barra dezinco seja completamente dissolvida no eletrólito.

• Eletricidade Através de Pressão

Em 1817, o abade e mineralogista francês René J. Hauy (1743−1822) descobriu que omineral espato calcário se eletrizava quando comprimido. Mais tarde descobriu que aforça da pressão se transmite através do material para seus átomos, retirando elétronsde suas órbitas e dirigindo-se no sentido da força. Os elétrons abandonam um ladodo material e se acumula no outro. Portanto, surgem cargas negativas e positivas emlados opostos. Quando a pressão desaparece, os elétrons retornam a suas órbitas.

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• Eletricidade Através do Calor

Devido alguns materiais terem facilidade de doar elétrons e outros materiais, facili-dade de receber elétrons, pode haver transferência de elétrons quando, por exemplo,juntamos dois metais diferentes. Em alguns metais particularmente ativos, a energiatérmica na temperatura ambiente é suficiente para liberar seus elétrons. Isso ocorre,por exemplo, no cobre e no zinco. Os elétrons abandonam os átomos de cobre esão recolhidos pelos átomos de zinco. O zinco, então, fica com excesso de elétronse se torna carregado negativamente. O cobre, tendo perdido elétrons, adquire cargapositiva.

• Eletricidade Através da Luz

Figura 1.2: Efeito fotoelétrico.

A luz constitui uma forma de energia e geralmente é encarada pelos cientistas comoum conjunto de pequenas partículas de energia chamadas fótons. O efeito fotoelétricoé a emissão de elétrons por um material, geralmente metálico, quando exposto a umaradiação eletromagnética (como a luz) de frequência suficientemente alta, que de-pende do material. Esse efeito pode ser observado quando a luz incide numa placade metal, literalmente arrancando elétrons da placa conforme a figura 1.2 e foi obser-vado pela primeira vez por A. E. Becquerel em 1839. O efeito fotovoltaico é um casoparticular do efeito fotoelétrico no qual a energia luminosa, incidindo sobre uma deduas placas justapostas, faz com que os elétrons dessa placa sejam libetados para aoutra placa. As placas formas cargas opostas, com uma bateria. Elementos químicoscomo potássio, sódio, césio, lítio, selênio, germânio, cádmio e o composto químicosulfeto de chumbo reagem desse modo à luz.

• Eletricidade Através do Magnetismo

Observamos que os imãs se atraem ou se repelem e a razão disso é que os imãsproduzem campos de forças que se interagem. A força de um campo magnéticotambém pode ser utilizada para movimentar elétrons e é a base para se entendercomo um gerador produz eletricidade. Quando um bom condutor, como o cobre, é

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movimentado através de um campo magnético, a força do campo fornece energiasuficiente para libertar os elétrons de valência dos átomos do cobre. Os elétrons sãodeslocados em certas direções, dependendo do modo como o condutor atravessa ocampo magnético. Este efeito é conhecido por princípio de indução eletromagnéticae foi descoberto por Michael Faraday no século XIX. Na verdade, não é necessáriomovimentar o condutor através do campo magnético; o mesmo efeito será obtido semovimentarmos o campo magnético através do condutor. É necessário apenas omovimento relativo entre eles.

1.2.1 Energia Elétrica no Brasil

O primeiro passo para produzir energia elétrica é obter a força necessária para girar asturbinas das usinas de eletricidade. Gigantescos sistemas de hélices, elas movem gera-dores que transformam a energia mecânica (movimento) em energia elétrica. Essa forçapode ser obtida de diversas fontes de energia primária. No Brasil, a energia elétrica vem,em primeiro lugar, de usinas hidrelétricas; depois, de termelétricas; e, por último, de usinasnucleares.

• Energia Hidrelétrica: O Brasil possui muitos rios com grandes desníveis, sendo umadas soluções mais econômicas para fazer girar turbinas é aproveitar a força das águas,construindo usinas hidrelétricas. Em uma usina desse tipo, uma barragem, tambémconhecida como represa, controla as águas do rio. No interior da barragem, são ins-talados grandes tubos inclinados, geralmente chamados de aquedutos, que abrigamas turbinas. A água desce pelos tubos e faz girar o sistema de hélices, movimentandoo eixo dos geradores que produzem a energia elétrica. Perto dos geradores são in-stalados os transformadores que enviam a energia elétrica para os cabos das linhasde transmissão. Depois de movimentar as turbinas, as águas voltam para o leito dorio sem sofrer nenhum tipo de degeneração. É por isso que a energia hidrelétricaé considerada uma fonte limpa, além de ser renovável. Construída e administradapor Brasil e Paraguai, Itaipu, no rio Paraná, é a segunda maior hidrelétrica do mundoem potência instalada, com 14.000 Mw (Mw = megawatts) de capacidade de geração,atrás apenas de Três Gargantas, na China. A Eletrobras detém metade de Itaipu emnome do governo brasileiro, além de ser dona, por meio de suas empresas, de algu-mas das principais hidrelétricas em operação no país, como Tucuruí, no rio Tocantins,e Xingó e as usinas do Complexo Paulo Afonso, no rio São Francisco.

• Energia Termelétrica: Em regiões com poucos recursos hidrográficos, mas comboas reservas de óleo, carvão ou gás, é possível girar as hélices das turbinas com aforça do vapor resultante da queima desses combustíveis. Para isso, são construídasusinas termelétricas. A maioria das usinas termelétricas usa fontes primárias consi-deradas não-renováveis, mas em alguns lugares do Brasil já é possível gerar energiaqueimando combustíveis alternativos, como a biomassa.

• Energia Nuclear: Na natureza, algumas substâncias, como o urânio, têm núcleosatômicos extremamente pesados e instáveis, que podem ser divididos em partículas

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menores se forem bombardeados por nêutrons. Os nêutrons, ao atingir um núcleode urânio, provocam sua quebra em dois núcleos menores e a liberação de maisnêutrons, que, por sua vez, irão atingir outros núcleos de urânio e provocar novasquebras. Essa é uma reação em cadeia. No momento em que se dividem, os nú-cleos emitem calor na forma de radiação e essa energia calorífica é usada para gerareletricidade. A velocidade de uma reação em cadeia pode ser de dois tipos: nãocontrolada e controlada. No primeiro caso, a reação ocorre muito rapidamente (emmenos de 1 segundo), liberando enorme quantidade de energia. É o que acontece,por exemplo, na explosão da bomba atômica. No segundo caso, a reação é contro-lada pelos chamados reatores de fissão nuclear, permitindo que a energia liberadaseja aproveitada e evitando explosões.

As usinas nucleares brasileiras em operação, Angra 1 e Angra 2 estão localizadasna Central Nuclear Almirante Álvaro Alberto, que fica em Angra dos Reis, no Rio deJaneiro, e pertence à Eletrobras Eletronuclear.

Figura 1.3: Esquema para geração de energia elétrica de um reator nuclear.

No Brasil, o consumo de eletricidade cresceu a uma taxa média de 5, 8 % ao ano, de1973 a 2011, enquanto a demanda total energética foi de 3, 2 %, e o PIB, de 3, 4 %, valoresbem superiores aos verificados no mundo. O consumo residencial, no Brasil, evoluiu, emmédia, 6, 3 %, enquanto o industrial, 4, 0 %, evidenciando um maior uso social da energiaelétrica.

1.3 Linhas de Transmissão e Distribuição

Segundo [1], transmissão significa o transporte de energia elétrica gerada até os centrosconsumidores. Para que seja viável, a tensão gerada nos geradores trifásicos de correntealternada normalmente de 13, 8 kV deve ser elevada a valores padronizados em função dapotência a ser transmitida e das distâncias aos centros consumidores.

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A energia elétrica é transportada através de linhas de transmissão de muito alta volt-agem (centenas de quilovolts, pudendo chegar até megavolts). A razão disto é óbvia: aperda nos cabos é proporcional ao quadrado da corrente e à resistência do cabo e, parauma dada potência de consumo, diminuir a corrente significa aumentar a voltagem. Estaslinhas terminam em alguma estação distribuidora, onde a voltagem é reduzida para algoem torno de algumas dezenas de quilovolts e alimenta redes locais, do tamanho de umacidade.

Subestações distribuidoras reduzem a voltagem ainda mais (3 a 11 kV ) e alimentamredes menores, do tamanho de bairros ou de um campus universitário. Transformadoresespalhados no bairro reduzem a alta voltagem para alimentar com a tensão de linha (entre110 e 220 V eficazes) prédios individuais ou um conjunto de poucas casas. Destes transfor-madores saem geralmente dois ou três fios "vivos" e um fio de retorno ou "neutro" que égeralmente aterrado perto do transformador.

A partir de 500 kV , somente um estudo econômico vai decidir se deve ser usada a ten-são alternada ou contínua, como é o caso da linha de transmissão de Itaipu, com 600 kV emcorrente contínua. Neste caso, a instalação necessita de uma subestação retificadora, ouseja, que transforma a tensão alternada em tensão contínua, transmitindo a energia elétricaem tensão contínua e próximo aos centros consumidores, e de uma estação inversora paratransformar a tensão contínua em tensão alternada outra vez, antes de distribuir aos con-sumidores. O objetivo principal da transmissão em tensão contínua será o da diminuiçãodas perdas por efeito corona, que é resultante da ionização do ar em torno dos condutores,com tensões alternadas muito elevadas.

Figura 1.4: Esquema de produção e distribuição de energia elétrica.

A distribuição é a parte do sistema elétrico já dentro dos centros de utilização (cidades,bairros, indústrias). A distribuição começa na subestação abaixadora, onde a tensão dalinha de transmissão é baixada para valores padronizados nas redes de distribuição primária

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(11 kV ; 13, 2 kV ; 15 kV ; 34, 5 kV etc.). Das subestações de distribuição primária partem asredes de distribuição secundária ou de baixa tensão. Além disso, as redes de distribuiçãodentro dos centros urbanos podem ser aéreas ou subterrâneas. Nas redes aéreas, ostransformadores podem ser montados em postes ou em subestações abrigadas; nas redessubterrâneas, os transformadores deverão ser montados em câmaras subterrâneas.

As empresas responsáveis pela distribuição também instalam em cada local de consumoum pequeno aparelho que consegue medir a quantidade de energia por eles utilizada. Amedição é feita por hora e chamamos de horário de pico o momento em que uma localidadeutiliza maior quantidade de energia elétrica. Nos centros urbanos, o horário de pico se dápor volta das 18 horas, quando escurece e, normalmente, as pessoas chegam do trabalhoacendendo as luzes, ligando os condicionadores de ar e a televisão e tomando banho coma água aquecida por chuveiros elétricos.

O motivo pelo qual se usa corrente alternada é puramente econômico. As usinas emgeral, são afastadas das cidades, de dezenas de quilômetros de maneira que a correnteelétrica tem que ser transportada por fios, desde as usinas até as cidades e esse trans-porte é mais barato por corrente alternada do que por corrente contínua. Dentro da cidade,a distribuição da corrente elétrica para as residências é mais barata e mais cômoda porcorrente alternada do que por corrente contínua. Além desse motivo econômico há um mo-tivo técnico importante: com corrente alternada é possível fazermos muito simplesmenteaumentando ou diminuindo a diferença de potencial (tensão) através de transformadores.

Figura 1.5: Esquema do sistema interligado nacional.

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1.3.1 O Sistema Interligado Nacional

O sistema de transmissão brasileiro, considerado o maior do mundo, é controlado peloOperador Nacional do Sistema Elétrico (ONS), que conta com a participação de empre-sas de todo o país, trabalhando de forma interligada. A Eletrobras possui mais da metadedas linhas de transmissão do Brasil e tem participado ativamente da expansão do SistemaInterligado Nacional (SIN). O SIN, formado basicamente por empresas de geração, trans-missão e distribuição do país, permite o intercâmbio de energia elétrica entre as diversasregiões brasileiras. Isso significa que a eletricidade que chega até a sua casa pode ter vi-ajado centenas ou milhares de quilômetros em linhas de transmissão. A Eletrobras possuimais da metade das linhas de transmissão do Brasil e tem participado ativamente da expan-são do Sistema Interligado Nacional (SIN). O SIN, formado basicamente por empresas degeração, transmissão e distribuição do país, permite o intercâmbio de energia elétrica entreas diversas regiões brasileiras. Apesar de o SIN abastecer a maior parte do país, algunssistemas menores e isolados também são utilizados, principalmente nas regiões Norte eNordeste. Os sistemas isolados geram a energia que vai ser consumida apenas em umadeterminada localidade ou até mesmo por uma só indústria.

1.4 Exercícios Propostos

1. Resolva as palavras cruzadas abaixo:

1 Elemento químico usado nas usinas nucleares.

2 Tipo de usina que aproveita os grandes desníveis dos rios para gerar eletricidade.

3 Tipo de isolante elétrico.

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4 Mineral que eletriza quando submetido à pressão.

5 Cientista inglês que descobriu fenômeno de indução eletromagnética permitindo a construçãodos modernos geradores de eletricidade.

6 Forma de energia secundária que mais contribui para o desenvolvimento e bem-estar da so-ciedade.

7 Solução iônica que compõe uma pilha eletrolítica.

8 Tipo de combustível usado nas usinas termelétricas.

9 Reduzem a voltagem para 3000 a 11000 V. (plural)

10 Dispositivo elétrico capaz de transformar a energia química em energia elétricacomposta de várias pilhas agrupadas.

11 Pequenas partículas que compõe a luz.

12 Emissão de elétrons por um material, geralmente metálico quando exposto a umaradiação eletromagnética.

2. Com relação a uma pilha eletrolítica responda:

(a) Explique o acontece com as barras de zinco e cobre quando inseridas em umeletrólito?

(b) O que ocorre com a solução eletrolítica após a formação do sal ZnSO4?

(c) Por que a pilha eletrolítica descarrega?

3. O que é o efeito fotovoltaico?

4. O que é indução eletromagnética?

5. Por que no Brasil a maioria das usinas de geração de eletricidade são hidrelétricas?

6. Quais as principais usinas hidrelétricas do Brasil?

7. Explique a geração de energia elétrica através da energia nuclear.

8. O que é transmissão de energia elétrica?

9. Por que a tensão elétrica é elevada antes de transportar a energia através da linhasde transmissão?

10. Quais são as 6 etapas no esquema de geração e consumo de energia elétrica?

11. Quais os motivos técnicos e econômicos para o uso da tensão alternada para trans-mitir a energia elétrica?

12. Como é transmitida a energia elétrica em tensão contínua?

13. O que é o SIN e como ele é formado?

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Capítulo 2

Voltagem e Corrente Elétrica

2.1 Introdução

A corrente elétrica é o fluxo ordenado de partículas portadoras de carga elétrica, ou tam-bém, é o deslocamento de cargas dentro de um condutor, quando existe uma diferença depotencial elétrico entre as extremidades. Tal deslocamento procura restabelecer o equilíbriodesfeito pela ação de um campo elétrico ou outros meios (reação química, atrito, luz, etc.)

Sabe-se que, microscopicamente, as cargas livres estão em movimento aleatório devidoà agitação térmica. Apesar desse movimento desordenado, ao estabelecermos um campoelétrico na região das cargas, verifica-se um movimento ordenado que se apresenta super-posto ao primeiro. Raios são exemplos de corrente elétrica, bem como o vento solar, poréma mais conhecida, provavelmente, é a do fluxo de elétrons através de um condutor elétrico,geralmente metálico.

A corrente alternada surgiu quando Nikola Tesla foi contratado por J. Westinghouse paraconstruir uma linha de transmissão entre Niágara e Buffalo, em NY. Na primeira metadedo século XX havia sistemas de corrente alternada de 25 Hz no Canadá (Ontário) e nonorte dos Estados Unidos. Em alguns casos, estes sistemas (por exemplo, nas Cataratasdo Niágara) perduram até hoje por conveniência das fábricas industriais que não tinhaminteresse em trocar o equipamento para que operasse a 60 Hz. As baixas frequênciasfacilitam a construção de motores de baixa rotação, já que esta é diretamente proporcionalà frequência.

Na maioria dos países da América, inclusive Brasil e EUA, a frequência da rede elétricaé de 60 Hz. Na Europa, inclusive em Portugal, é usada a frequência de 50 Hz que tambémé adotada em alguns países da América do Sul, como por exemplo a Argentina, a Bolívia,o Chile e o Paraguai.

A corrente alternada foi adotada para transmissão de energia elétrica a longas distân-cias devido à facilidade relativa que esta apresenta para ter o valor de sua tensão alteradapor intermédio de transformadores. Além disso as perdas em corrente alternada são bemmenores que em corrente contínua. No entanto, as primeiras experiências e transmissõesforam feitas com Corrente contínua (CC).

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2.2 Voltagem e Corrente Elétrica Alternada Reais

O elétron e o próton são as cargas elementares do átomo. Por convenção, estabeleceuque a carga do elétron seria negativa e a do próton positiva, ou seja, cargas de polaridadesopostas. Aproximando-se cargas de polaridades opostas, verifica-se uma força atrativaentre elas; aproximando-se cargas de mesmas polaridades, verfica-se uma repulsão en-tre elas. Assim, experimentalmente, estabeleceu-se uma unidade para se medir a cargaelétrica; esta unidade chama-se "coloumb" (C). A carga de 1 elétron é

e = 1, 6× 10−19 C

ou seja: para formar 1 coloumb são necessários 6 × 1018 elétrons; 1 cm3 de cobre possuicerca de 8× 1022 elétrons livres. Vejamos agora o conceito de corrente elétrica.

Definição 2.1 Corrente elétrica ou corrente elétrica real é o deslocamento de cargas dentrode um condutor quando existe uma diferença de potencial elétrico entre suas extremidades.

Tal deslocamento procura restabelecer o equilíbrio desfeito pela ação de um campoelétrico ou outros meios (reação química, atrito, luz, etc.). Dessa forma, corrente elétricaé o fluxo de cargas que atravessa a seção reta de um condutor, na unidade de tempo. Seesse fluxo for constante, denominou-se de ampére a relação:

1 ampére =1 coloumb1 segundo

Matematicamente, temos:

i =dq

dt

Um gerador elétrico é uma máquina que funciona com se fosse uma bomba, criando energiapotencial. Esta energia potencial acumula cargas em um pólo, ou seja, um pólo fica comexcesso de cargas de certa polaridade e no outro pólo há deficiência de cargas. Em outraspalavras, o gerador provoca uma diferença de potencial (d.d.p) entre os seus terminais. Seesses terminais constituírem um circuito fechado, teremos uma corrente elétrica.

Definição 2.2 Corrente alternada é a corrente elétrica que muda periodicamente de inten-sidade e sentido.

Definição 2.3 A frequência da corrente elétrica f é o número de ciclos efetuados em umsegundo onde f e é dada em Hertz (Hz). O período T é o tempo em que ocorrem duasalternâncias consecutivas, ou seja, é o tempo gasto em um ciclo e é expresso em segundos.

Observe que

f =1

T

Definição 2.4 A frequência angular ou velocidade angular de um sinal elétrico é a frequên-cia dada em radianos por segundo.

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Sendo 1 Hz = 1 ciclo/s = 2π rad/s, segue que

1 Hz 2π rad/s

f Hz ω rad/s

de modo que

ω = 2πf =2π

T(2.1)

Definição 2.5 A amplitude ou valor máximo é o valor instantâneo mais elevado atingidopela grandeza (corrente, tensão ou potência elétrica). Há amplitude positiva e amplitudenegativa. Nestas notas, iremos abordar apenas os sinais elétricos alternados senoidais oucossenoidais.

Figura 2.1: Bobina girando na presença de um campo magnético B.

Quando uma espira de área A gira com velocidade angular ω constante, no interior deum campo magnético B, entre os terminais da espira é induzida uma tensão v e que variasenoidalmente com o tempo, sendo dada por:

v(t) = BAω cos(ωt+ ϕ) (2.2)

sendo ϕ o ângulo de defasagem em relação ao referencial adotado. Se, em vez de umaúnica espira, tivermos uma bobina com N espiras, então

v(t) = NBAω cos(ωt+ ϕ) = vmax cos(ωt+ ϕ) (2.3)

sendo vmax a tensão elétrica máxima. Ligando um resistor de resistência R aos terminaisda espira, a intensidade de corrente alternada i(t) é obtida por:

i(t) =v(t)

R=

vmax

Rcos(ωt+ ϕ) = imax cos(ωt+ ϕ) (2.4)

17


Figura 2.2: Gráfico de um ciclo da corrente alternada i(t) com ϕ = 0.

Observação 2.1 Note que

v(t) = vmax cos

(2πt

T+ ϕ

)(2.5)

e que

i(t) = imax cos

(2πt

T+ ϕ

)(2.6)

Exemplo 2.1 Escreva a tensão alternada senoidal v(t) sabendo que T = 0, 01 s, v(T/4) =40 V e v(T/2) = 0.

Resolução: A forma geral de v(t) é v(t) = vmax cos(ωt + ϕ). Devemos determinar osparâmetros vmax, f e ϕ. Da expressão (2.5), temos:

40 = v(T/4) = vmax cos

(2πT/4

T+ ϕ

)0 = v(T/2) = vmax cos

(2πT/2

T+ ϕ

)Da segunda equação,

0 = cos(π + ϕ) ⇒ π + ϕ = cos−1 0 = π/2

de modo que ϕ = −π/2 rad. Da primeira equação,

40 = vmax cos

(π

2− π

2

)= vmax cos 0 = vmax

de modo que vmax = 40 V . Logo, v(t) = 40 cos(200πt− π/2).

Observação 2.2 Se o coeficiente do sinal elétrico senoidal ou cossenoidal é negativo, de-vemos fazer algumas manipulações trigonométricas para achar o verdadeiro ângulo de fase.

18


Exemplo 2.2 Determine o ângulo de fase da corrente elétrica alternada i(t) = −20 cos(50t+π/6).

Resolução: A forma geral deste sinal é i(t) = imax cos(50t + ϕ), sendo imax > 0, portanto,devemos de algum modo, transformar o coeficiente negativo da corrente alternada dada empositivo. Da Trigonometria, − cos θ = cos(θ − π), de modo que

i(t) = −20 cos(50t+ π/6) = 20 cos(50t+ π/6− π) = 20 cos(50t− 5π/6)

Logo, ϕ = −5π/6.

2.3 Posições Relativas de Duas Grandezas Senoidais

Na tensão e corrente elétrica alternada senoidal temos a frequência, o período, um ângulode defasagem e o valor máximo da grandeza considerada. Observe que para cada instantedistinto de t, temos um valor distinto da tensão ou corrente elétrica alternada.

Definição 2.6 Dados dois sinais elétricos x1(t) e x2(t) senoidais ou cossenoidais, (duastensões, duas correntes ou uma tensão e uma corrente) com ângulo de fase ϕ1 e ϕ2, oângulo de fase ou defasagem entre os sinais é definido por:

ϕ = |ϕ1 − ϕ2| (2.7)

Sendo −π/2 ≤ ϕ1, ϕ2 ≤ π/2, segue que o ângulo de fase varia de 0 a π rad ou 0 a 180.

Definição 2.7 Dizemos que duas grandezas elétricas (correntes ou tensões) estão fase(figura 2.3) se ϕ = 0, ou seja, ϕ1 = ϕ2.

Figura 2.3: Gráfico da corrente e da voltagem em fase.

Definição 2.8 Dizemos que duas grandezas elétricas (correntes ou tensões) estão emquadratura se ϕ = π/2.

19


Figura 2.4: Tensão avançada de 90 em relação à corrente.

Figura 2.5: Tensão atrasada de 90 em relação à corrente.

No gráfico da figura 2.4, a tensão elétrica está avançada 90 em relação à correnteelétrica e no gráfico da figura 2.5, a tensão está atrasada 90 em relação à corrente elétrica.

Definição 2.9 Dizemos que duas grandezas elétricas (correntes ou tensões) estão emoposição (figura 2.6) se ϕ = π rad.

2.3.1 Regras Para Obter o Ângulo de Fase de Dois Sinais Elétricos

Para comparar as fases de duas ondas senoidais ou cossenoidais, as seguintes condiçõesdevem ser válidas:

i) Ambos os sinais devem ser escritos em seno ou cosseno;

ii) Ambos os sinais devem ser escritos com amplitudes positivas;

iii) Ambos os sinais devem ter a mesma frequência.

Portanto, não define-se o ângulo de fase de dois sinais elétricos com velocidades an-gulares distintas. Além disso, precisamos das seguintes relações trigonométricas dadas naproposição seguinte para comparação de fases.

Proposição 2.1 Se θ ∈ R, então:

20


Figura 2.6: Gráfico de duas grandezas em oposição.

i) cos θ = sin(θ +

π

2

)ii) sin θ = cos

(θ − π

2

)iii) − cos θ = cos

(θ ± π

)iv) − sin θ = sin

(θ ± π

)Demonstração:

i) Para este item usamos a fórmula sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a com a = θ e b = ϕ,para obter

sin(θ +

π

2

)= sin θ cos(π/2) + sin(π/2) cos θ = cos θ

ii) Usando a expressão cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b, temos:

cos(θ − π

2

)= cos θ cos(π/2) + sin θ sin(π/2) = sin θ

iii) De fato,cos(θ ± π) = cos θ cos π ∓ sin θ sinπ = − cos θ

iv) Segue de maneira análoga ao item anterior.

Exemplo 2.3 Determine o ângulo de fase entre os sinais elétricos:

x1(t) = −5 cos(200t+ 10) e x2(t) = 4 sin(200t+ 210)

21


Resolução: Usando a proposição 3.7, temos:

x1(t) = −5 cos(200t+ 10)iii)= 5 cos(200t+ 10 + 180)

= 5 cos(200t+ 190)i)= 5 sin(200t+ 190 + 90)

= 5 sin(200t+ 280)

Logo, ϕ = |280 − 210| = |70| = 70.

Exemplo 2.4 Determine quantos segundos equivale o ângulo de fase ϕ = 70 no exemploanterior.

Resolução: De fato,

200 = ω =2π

T⇒ T = 0, 0314 s

Desta forma, o sinal elétrico leva 0, 0314 s para completar um ciclo (360). Assim,

360 0, 0314 s

70 x s

de modo que x = 0, 00611 s.

Exemplo 2.5 Determine o ângulo de fase entre os sinais elétricos:

x1(t) = 3 cos(4t− π/3) e x2(t) = − sin(4t+ 5π/6)

Resolução: Devemos escrever os sinais elétricos usando a mesma função trigonométrica.Assim,

x1(t) = 3 cos(4t− π/3)i)= 3 sin(4t+ π/2− π/3) = 3 sin(4t+ π/6)

Por outro lado,

x2(t) = − sin(4t+ 5π/6)i)= sin(4t+ 5π/6− π) = sin(4t− π/6)

Logo, o ângulo de fase desses dois sinais é

ϕ =

∣∣∣∣−π

6− π

6

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2π

6

∣∣∣∣ = π

3rad

Nesse caso, dizemos que o sinal x2(t) está atrasado do sinal x1(t) em π/3 rad ou 60.

Exemplo 2.6 Sejam x1 e x2 dois sinais elétricos senoidais com a mesma frequência angularω e amplitudes iguais a A. Mostre que se x1 e x2 estão em oposição, então x1(t) = −x2(t).

Resolução: De fato, sejam x1(t) = A sin(ωt+ ϕ1) e x2(t) = A sin(ωt+ ϕ2). Como os sinaisestão em oposição, então |ϕ1 − ϕ2| = 180, de modo que ϕ− ϕ2 = ±180. Temos dois casospara considerar:

22


• Se ϕ− ϕ2 = 180, então ϕ1 = ϕ2 + 180, de modo que:

x1(t) = A sin(ωt+ ϕ1) = A sin(ωt+ ϕ2 + 180)

= −A cos(ωt+ ϕ2) = −x2(t)

• Se ϕ− ϕ2 = −180, então ϕ1 = ϕ2 − 180, de modo que:

x1(t) = A sin(ωt+ ϕ1) = A sin(ωt+ ϕ2 − 180)

= −A cos(ωt+ ϕ2) = −x2(t)

Exemplo 2.7 Determine os possíveis valores de ϕ1 de modo que os sinais elétricos x1(t) =−4 cos(6t+ ϕ1) e x2(t) = − cos(6t+ 60) estejam em quadratura.

Resolução:

Proposição 2.2 Dado o sinal elétrico x(t) = a cos(ωt)+b sin(ωt). Se x(t) = xmax cos(ωt−ϕ),mostre que

ϕ = tan−1 b

ae xmax =

√a2 + b2 (2.8)

Demonstração: Usando a fórmula do cosseno da soma de dois arcos, temos:

x(t) = xmax cos(ωt− ϕ) = xmax[cos(ωt) cosϕ+ sin(ωt) sinϕ]

= xmax cos(ωt) cosϕ+ xmax sin(ωt) sinϕ(2.9)

Por outro lado,x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) (2.10)

Comparando as expressões (2.9) e (2.10), segue quexmax cosϕ = a

xmax sinϕ = b(2.11)

Dividindo a segunda expressão pela primeira, temos:

xmax sinϕ

xmax cosϕ=

b

a⇒ tanϕ =

b

a⇒ ϕ = tan−1 b

a

e

x2max cos

2 ϕ+ x2max cos

2 ϕ = a2 + b2 ⇒x2max[cos

2 ϕ+ sin2 ϕ] = a2 + b2

Como cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1, então x2max = a2 + b2. Logo,

xmax =√a2 + b2

23


Exemplo 2.8 Determine o ângulo de fase entre as correntes elétricas:

i1(t) = 4 cos(100πt− 45) e i2(t) = 7 cos(100πt)− 24 sin(100πt)

Resolução: Na corrente elétrica i2(t), a = 7 e b = −24, de modo que

i2max =√

72 + (−24)2 = 25 e ϕ2 = tan−1 b

a= tan−1(−24

7) = −73, 74

Assim,i2(t) = 25 cos(100πt− (−73, 74)) = 25 cos(100πt+ 73, 74)

e sendo i1(t) = 4 cos(100πt− 45), segue que

ϕ = |ϕ1 − ϕ2| = | − 45 − 73, 74| = 118, 74

2.4 Valor Médio da Corrente e da TensãoAlternada Senoidal

Definição 2.10 O valor médio denotado por imed representa o valor que uma corrente con-tínua deveria ter para transportar a mesma quantidade de eletricidade em um mesmo inter-valo de tempo.

Proposição 2.3 O valor médio da corrente elétrica alternada senoidal ou cossenoidal édada por:

imed =2

πimax (2.12)

Demonstração: Seja i(t) = imax sin(ωt + ϕ). Observe que devemos considerar apenasmetade do ciclo de uma corrente alternada senoidal, pois o valor médio de um ciclo é zero,já que a integral na parte positiva e a integral da parte negativa tem sinais contrários. Istopode ser visto na figura 2.2. Para determinar o intervalo de meio ciclo basta acharmos doiszeros consecutivos de i(t), isto é,

0 = i(t) = imax sin(ωt+ ϕ) ⇒ ωt1 + ϕ = 0 ⇒ t1 = −ϕ

ω

Analogamente,

0 = i(t) = imax sin(ωt+ ϕ) ⇒ ωt2 + ϕ = π ⇒ t2 =π − ϕ

ω

Observe que t2 − t1 =π

ω. O valor médio da corrente alternada é dada por:

imed =1

t2 − t1

∫ t2

t1

imax sin(ωt+ ϕ)dt =ωimax

π

[− 1

ωcos

(ωt+ ϕ

)]π−ϕω

− ϕω

= −ωimax

ωπ[cos(π − ϕ+ ϕ)− cos(−ϕ+ ϕ)]

= −imax

π× (−2) =

2

πimax

24


Observação 2.3 Analogamente, a tensão média é dada por

vmed =2

πvmax

Exemplo 2.9 Determine o valor médio da corrente elétrica:

i(t) =√3 cos(20t) + sin(20t) (2.13)

Resolução: Neste caso, a =√3 e b = 1, de modo que o valor máximo da corrente i(t) é:

imax =√a2 + b2 =

√√32+ 12 = 2 A

Logo,

imed =2

πimax =

2

π× 2 ≃ 1, 27 A

2.5 Valor Eficaz da Tensão e da Corrente Alternada

O calor desenvolvido em um resistência elétrica é independente do sentido de circulaçãoda corrente. Deste modo, temos a seguinte definição para o valor eficaz da corrente elétricaalternada:

Definição 2.11 O valor eficaz da corrente elétrica alternada é o valor da intensidade quedeveria ter uma corrente elétrica contínua para, numa resistência, provocar o mesmo efeitocalorífico no mesmo intervalo de tempo.

Equivalentemente, existirá uma corrente contínua que no mesmo intervalo de tempo T , ouseja, em um período, produzirá a mesma quantidade de calor que a produzida pela correntealternada.

Proposição 2.4 O valor eficaz ief de i(t) = imax sin(ωt+ ϕ) é dado por:

ief =imax√

2(2.14)

Demonstração: De fato, a potência elétrica em um intervalo de tempo [t1, t2] dada por

P =1

t2 − t1

∫ t2t1

Ri(t)2dt, sendo t1, t2 dois zeros consecutivos da equação sin(ωt + ϕ) = 0.

25


Assim, ωt1 + ϕ = 0, de modo que t1 = −ϕ

ωe ωt2 + ϕ = π, de modo que t1 = −ϕ+ π

ω. Note

que t2 − t1 = π/ω, de modo que∫ t2

t1

Ri2efdt =

∫ t2

t1

Ri(t)2dt ⇒∫ t2

t1

Ri2efdt = R

∫ t2

t1

i2max sin2(ωt+ ϕ)dt ⇒

(t2 − t1)i2ef =

i2max

2

∫ t2

t1

[1− cos(2ωt+ 2ϕ)]dt ⇒

π

ωi2ef =

i2max

2

[t− 1

2ωsin(2ωt+ 2ϕ)

]t2t1

⇒

π

ωi2ef =

i2max

2

[π

ω− 1

2ωsin(2ωt2 + 2ϕ) +

1

2ωsin(2ωt1 + 2ϕ)

]Mas, sin(2ωt2 + 2ϕ) = sin 2π = 0 e sin(2ωt1 + 2ϕ) = sin 0 = 0. Logo,

i2ef =i2max

2⇒ ief =

imax√2

Observação 2.4 A tensão eficaz é definida da mesma forma e consequentemente, se elaé dada por v(t) = vmax sin(ωt+ ϕ), então

vef =vmax√

2(2.15)

Exemplo 2.10 A tensão eficaz de uma tomada lida por um multímetro é 127 V . Determinea tensão máxima.

Resolução: Sendo vef = 127 V , então

vmax =√2 · vef =

√2 · 127 ≃ 179, 6 V

Exemplo 2.11 Uma corrente alternada senoidal tem a seguinte expressão analítica.

i(t) = 10 sin(157t+ ϕ)

Calcule o valor máximo, o valor eficaz da corrente, o valor da velocidade angular e a fre-quência do sinal senoidal.

Resolução: Sendo i(t) = 10 sin(157t + ϕ), segue que imax = 10 A e ω = 157 rad/s. Alémdisso,

ief =1√2imax =

10√2= 7, 07 A e f =

ω

2π=

157

2π= 25 Hz

26


Exemplo 2.12 Considere a tensão senoidal representada na figura 2.7. Determine:

a) o período;

b) a frequência f e a frequência angular ω;

c) o valor médio da tensão;

d) o valor eficaz da tensão;

e) o tempo que leva para atingir o primeiro pico.

Figura 2.7: Gráfico de 2, 5 ciclos de uma tensão alternada v(t) com t em segundos.

Resolução:

a) Analisando o gráfico, 2, 5 períodos realizam-se em 6 µs, de modo que T =6× 10−6

2, 5=

2, 4× 10−6 s = 2, 4 µs.

b) Para calcular a frequência, usamos a expressão f = 1/T , ou seja,

f =1

T=

1

2, 4× 10−6= 417.000 Hz = 417 kHz

Por outro lado,ω = 2πf = 2π417.000 = 2.620.088 rad/s

27


c) Do gráfico acima, o valor máximo é vmax = 5 V , de modo que vmed =2

πvmax =

2

π× 5 =

3, 185 V .

d) Sendo vef =vmax√

2, segue que vef =

5√2

= 3, 535 V . Observe que esse valor efi-

caz produzirá a mesma quantidade de calor que a produzida pela corrente alternadarepresentada no mesmo intervalo de tempo T .

e) O primeiro pico ocorre para t = T/4, ou seja, t = 24/4 µs = 0, 6 µs.

Exemplo 2.13 Dispomos de uma resistência de 330 kΩ e potência P = 0, 125 w. Determine:

a) o valor eficaz da intensidade máxima de corrente que pode percorrê-la;

b) a amplitude máxima da tensão a que pode ser submetida.

Resolução:

a) Sendo P = Ri2ef , então 0, 125 = 330.000i2ef , isto é,

ief = 6, 15× 10−4 A = 6, 15× 10−4 × 103 mA = 0, 615 mA

b) Sendo vef = Rief , então vef = 330.000× 6, 15× 10−4 = 203, 1 V . Logo,

vmax =√2vef = 287, 23 V

2.6 Fasores

2.6.1 Conceitos e Propriedades

Figura 2.8: Circuito elétrico de duas malhas.

No próximo capítulo, iremos analisar um circuito elétrico com várias malhas e constituídode geradores, resistores, capacitores e indutores, tal como a figura 2.8. Em alguma região

28


do circuito é aplicada uma tensão alternada v(t) = vmax sin(ωt + ϕ). Para descrever ocircuito, aplicamos a lei das malhas e dos nós de Khirchoff e encontramos um sistema deequações diferenciais não-homogêneas que, em sua maioria não são fáceis de resolvê-las.Para contornamos esta dificuldade e encontrarmos soluções mais elegantes e concisas,utilizamos o método fasorial baseado nos números complexos.

Definição 2.12 Um fasor é um número complexo da forma z = x+ yj, sendo x, y ∈ R e j aunidade imaginária.

Definição 2.13 Quando z = x+ yj ou z = x+ jy, temos:

x = Re(z) = parte real de z,

y = Im(z) = parte imaginária de z,

θ = arg(z) = argumento de z,

r = |z| = valor absoluto de z (módulo de z),

x− yj = z = conjugado de z.

Figura 2.9: Representação geométrica de um número complexo.

Tudo isto está representado na Fig. (2.9). O ângulo θ é medido em radianos, e determi-nado a menos de múltiplos de 2π; não é definido para x = y = 0.

Observação 2.5 É comum dizer que z = x+ yj é um fasor escrito na forma retangular.

Definição 2.14 Sejam z1 = x1 + y1j e z2 = x2 + y2j dois números complexos. Então, aadição z1 + z2 e o produto z1z2 são definidos por:

z1 + z2 = (x1 + y1j) + (x2 + y2j) = x1 + x2 + (y1 + y2)j (2.16)

ez1z2 = (x1 + y1j) · (x2 + y2j) = x1x2 − y1y2 + j(x1y2 + x2y1) (2.17)

29


Os números da forma x + j0 são números reais e escrevemos x + j0 = x. Em particular,0 + j0 = 0, 1 + j0 = 1. O número complexo 0 + j1 = j tem a propriedade:

j2 = −1 (2.18)

De fato, usando a definição de produto de dois números complexos, temos:

j2 = j · j = (0 + j1)(0 + j1) = 0 · 0− 1 · 1 + j(0 · 1 + 0 · 1) = −1

A soma e o produto de fasores definidos acima obedecem as leis associativas, comutati-vas e distributiva do produto em relação à soma. Além disso, existem os elementos neutrosda soma e do produto, o elemento oposto da soma e o elemento inverso da multiplicação.Apresentamos na proposição abaixo algumas destas propriedades:

Proposição 2.5 Sejam z1 = x1 + y1j, z2 = x2 + y2j e z3 = x3 + y3j três fasore e k ∈ R,então:

i) z1 + z2 = z2 + z1 (Lei comutativa da adição)

ii) O fasor 0 + 0j é o elemento neutro da soma e o fasor 1 + 0j é o elemento neutro damultiplicação de fasores.

iii) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (Lei associativa da adição)

iv) Dado o fasor z, o fasor −z é o elemento oposto da soma e se z = 0, o fasor w =z

|z|2é o elemento inverso de z, isto é, zw = 1

v) z1z2 = z2z1 (Lei comutativa do produto)

vi) (z1z2)z3 = z1(z2z3) (Lei associativa do produto)

vii) kz = k(x+ yj) = kx+ kyj (Lei distributiva do produto em relação à soma)

Demonstração: A prova desta proposição são cálculos diretos e será deixada à cargo doleitor.

Exemplo 2.14 Dados os números complexo z1 = 1− j e z2 = 2 + 3j, calcule:

a) z1 + 3z2

b) (2z1)2

c) j(z1 − z2)2

Resolução:

30


a) Usando a definição de soma de dois números complexos, temos:

z1 + 3z2 = 1− j + 3(2 + 3j) = 1− j + 6 + 9j = 7 + 8j

b) De fato,

(2z1)2 = 4z21 = 4(1− j)2 = 4(1− j)(1− j) = 4(1− j − j + j2) = 4(1− 2j − 1) = −8j

c) De fato,

j(z1 − z2)2 = j[(1− j)− (2 + 3j)]2 = j(−1− 4j)2 = j(1 + 4j)2 = j[1 + 2 · 4j + (4j)2]

= j[1 + 8j + 16j2] = j[1 + 8j − 16] = j[−15 + 8j] = 8j2 − 15j = −8− 15j

2.6.2 Divisão de Dois Fasores na Forma Retangular

Proposição 2.6 O produto de um fasor não-nulo z = x + yj pelo seu conjugado é igual aoquadrado do seu módulo, isto é,

z · z = |z|2 (2.19)

Demonstração: De fato,

z · z = (x+ yj) · (x− yj) = x2 − xyj + xyj − y2j2 = x2 + y2 = |z|2

A divisão do fasor z1 pelo fasor z2 não-nulos, isto é, z1/z2, baseia-se na proposição

acima, multiplicando e dividindo pelo conjugado do denominador, isto é,

z1z2

=z1z2z2z2

=z1z2|z2|2

Exemplo 2.15 Dados os fasores z1 = −1 +√3j e z2 =

√3− j, calcule z1/z2.

Resolução: Multiplicando e dividindo pelo conjugado do fasor z2, temos:

z1z2

=−1 +

√3j√

3− j=

(−1 +√3j)(

√3 + j)

(√3− j)(

√3 + j)

=−√3− j + 3j +

√3j2

(√3)2 + 12

=−2

√3 + 2j

4= −

√3

2+

j

2

2.6.3 A Forma Polar de um Fasor

A forma polar os números complexos ou fasores é muito útil para calcular o produto ouquociente de dois ou mais números complexos. Para escrever um fasor nesta forma, pre-cisamos conhecer o seu argumento, isto é, o ângulo do fasor em relação ao eixo x, sendoadotado como positivo o sentido anti-horário e o seu módulo. Da figura 2.9, temos:

tan θ =y

x⇒ θ = arctan

y

x

31


Observação 2.6 Para fins práticos, não levaremos em conta a posição real do fasor nosquatro quadrantes. Além disso, se x = 0 e y > 0, o argumento é igual 90 e se se x = 0 ey < 0, o argumento é igual a −90.

Vimos anterior (ver figura 2.9) que o módulo de um fasor é dado por |z| = r =√

x2 + y2.Desta forma, temos as formas de denotar um fasor:

i) Forma polar: Nesta forma são dados r e θ ∈ R e r ≥ 0, sendo r o módulo e θ oargumento do número complexo z.

ii) Forma retangular: Nesta forma são dados x, y ∈ R, sendo x a parte real e y a parteimaginária do número complexo z.

A relação entre as duas formas é apresentada na seguinte expressão:

z = x+ yj = r cos θ + jr sin θ = r(cos θ + j sin θ) (2.20)

Exemplo 2.16 Escreva o fasor z = 1 +√3j na forma polar.

Resolução: Note que, |z| = r =√

12 + (√3)2 = 2. Sendo x = 1 e y =

√3, então

θ = tan−1(√3/1) = 60

Logo, z = 2(cos 60 + j sin 60).

Proposição 2.7 Dados os fasores z1 = r1(cos θ1+j sin θ1) e z2 = r2(cos θ2+j sin θ2) na formapolar, então:

i) z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + j sin(θ1 + θ2)]

ii)z1z2

=r1r2[cos(θ1 − θ2) + j sin(θ1 − θ2)]

Demonstração:

i) De fato,

z1z2 = r1(cos θ1 + j sin θ1) · r2(cos θ2 + j sin θ2)

= r1r2(cos θ1 cos θ2 + j2 sin θ1 sin θ2 + j cos θ1 sin θ2 + j cos θ2 sin θ1)

= r1r2[cos(θ1 + θ2) + j sin(θ1 + θ2)]

ii) Este item segue de forma análoga.

Exemplo 2.17 Dados os fasores z1 = 1− j e z2 = cos π4+ j sin π

4, calcule

z1z2

.

32


Resolução: Podemos reescrever o fasor z2 na forma retangular e calcular o quocientez1z2

conforme visto acima. Um outro modo é usar a proposição 2.7. Para isso, precisamos

escrever z1 na forma polar. Note que θ1 = arctan(−1) = −π/4 e |z1| =√

12 + (−12) =√2,

de modo quez1 = 1− j =

√2[cos(−π

4) + j sin(−π

4)]

Logo,

z1z2

=

√2

1

[cos(−π

4− π

4) + j sin(−π

4− π

4)]=

√2[cos(−π

2) + j sin(−π

2)]= −j

√2

2.6.4 A Identidade de Euler e a Forma Exponencial de um Fasor

Uma outra maneira de expressar um fasor z é a forma exponencial dada por rejθ, sendoo fator ejθ a exponencial de Euler o qual está intimamente relacionada com a forma polaratravés da proposição abaixo:

Proposição 2.8 Se θ ∈ R, então

ejθ = cos θ + j sin θ (2.21)

Demonstração: Essa identidade pode ser provada usando as séries de Mclaurin dasfunções ex, cos x e sin x, isto é,

ex = 1 + x+x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ . . .

cosx = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ . . .

sinx = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ . . .

Se x for substituído por jθ na primeira equação e usando o fato que jn ∈ −1, 1,−j, jconforme o valor de n, obtemos:

ejθ = 1 + jθ +(jθ)2

2!+

(jθ)3

3!+

(jθ)4

4!+

(jθ)5

5!+ . . .

=

(1− θ2

2!+

θ4

4!− . . .

)+ j

(θ − θ3

3!+

θ5

5!+ . . .

)= cos θ + j sin θ

Substituindo a expressão (2.21) em (2.20), obtemos

z = rejθ = r(cos θ + j sin θ) (2.22)

33


Proposição 2.9 Sejam α e β números reais. Então:

i) ejα · ejβ = ej(α+β)

ii)ejα

ejβ= ej(α−β)

Demonstração: Segue imediatamente da identidade (2.22) e da proposição 2.7.

Observação 2.7 Na demonstração acima, usamos o fato que j2 = −1 e por indução finitasegue que (ejα)n = ejnα, sendo n ∈ Z.

2.6.5 A Notação Fasorial

Desta proposição, observamos que a notação exponencial obedecem as regras para pro-duto e quociente de potências de bases iguais. Sendo assim, é comum na engenhariaelétrica usar também a seguinte notação para fasores: r θ , isto é,

z = rejθ = r θ (2.23)

Proposição 2.10 Se z1 = r1 α e z2 = r2 β são dois fasores, então:

i) z1 · z2 = r1r2 α+ β

ii)z1z2

=r1r2

α− β

Demonstração:

i) De fato, z1 = r1 α = r1ejα e z2 = r2 β = r2e

jβ. Assim, da proposição 2.9,

z1 · z2 = r1ejα · r2ejβ = r1r2e

jαejβ = r1r2ej(α+β) = r1r2 α+ β

ii) Analogamente, usando o item ii) da proposição 2.9, temos:

z1z2

=r1e

jα

r2ejβ=

r1r2ej(α−β) =

r1r2

α− β

Exemplo 2.18 Mostre que:

a) 1 0 = 1

b) 1 90 = j

c) 1 180 = j2 = −1

34


d) 1 −90 =1

j= −j

e) 2 45 =√2(1 + j)


a) 1 0 = 1 · ej0 = 1 · e0 = 1

b) 1 90 = 1 · ej90 = cos 90 + j sin 90 = j

c) 1 180 = 1 · ej180 = cos 180 + j sin 180 = −1 + 0 = j2

d)

1 −90 = 1 · ej(−90) = cos(−90) + j sin(−90) = 0− j = −j = −j · jj

=1

j

Outro modo:1

j=

1 0

1 90=

1

10 − 90 = 1 −90

e)

2 45 = 2 · ej45 = 2(cos 45 + j sin 45) = 2

(√2

2+ j

√2

2

)=

√2(1 + j)

Exemplo 2.19 Calcule as expressões abaixo usando a notação fasorial.

a) ( 10 60 + 4 30 )2

b)(1 + j)2

2 135

Resolução:

a)

( 10 60 + 4 30 )2 = [10(cos 60 + j sin 60) + 4(cos 30 + j sin 30)]2

= [5 + 3, 46 + 8, 66j + 2j]2 = (8, 46 + 10, 66j)2 = ( 13, 61 51, 56 )2

= 13, 612 2× 51, 56 = 185, 23 103, 12

b) Sendo 1 + j =√2 45 , então

(1 + j)2

2 135=

(√2 45 )2

2 135=

√22

2× 45

2 135

=2 90

2 135= 1 90 − 135 = 1 −45

35


2.7 A Tensão e a Corrente Elétrica Complexa

Se realizarmos a experiência de verificação da lei de Ohm, mas aplicando agora grandezasalternadas, chegaremos à conclusão que se mantém constante o quociente entre a tensãoe a corrente elétrica. Assim, iremos definir a tensão e a corrente elétrica complexa daseguinte forma:

Definição 2.15 A tensão complexa denotada por V (t) é o fasor

V (t) = vmaxej(ωt+α) (2.24)

e a corrente complexa denotada por I(t) é o fasor

I(t) = imaxej(ωt+β) (2.25)

Podemos recuperar a tensão e a corrente real, tomando a parte real de V (t) e I(t), isto é,

v(t) = Re[V(t)] = Re[vmaxej(ωt+α)]

= vmaxRe[cos(ωt + α) + j sin(ωt + α)] = vmax cos(ωt + α)

Analogamente, i(t) = imax cos(ωt+ β).

Definição 2.16 A tensão fasorial denotada por V é definido por:

V =V (t)

ejωt(2.26)

Note que:

V =V (t)

ejωt=

vmaxejωt · ejα

ejωt= vmaxe

αj

ou seja,V = vmax α

Analogamente, definimos a corrente fasorial por:

I =I(t)

ejωt=

imaxejωt · ejβ

ejωt= iefe

βj = imax β

Definição 2.17 A representação da tensão e da corrente fasorial em um plano xy chama-sediagrama fasorial conforme a figura 2.10. Nesta representação usa-se os valores eficazesou invés dos valores máximos da tensão e da corrente elétrica.

Exemplo 2.20 Escreva a expressão senoidal para a corrente fasorial I = 25 50 , con-siderando que a frequência é 60 Hz.

36


Figura 2.10: Representação da tensão e da corrente em um diagrama fasorial.

Resolução: Sendo a frequência f = 60 Hz, então ω = 2π · 60 ≃ 377 rad/s. Além disso,vmax = 25 A, ângulo de fase é 50 e sendo o sinal senoidal, então

i(t) = imax sin(ωt+ ϕ) = 25 sin(377t+ 50)

Podemos usar fasores para somar a tensão em circuito elétrico de uma forma simples.Para isso, usaremos a proposição a seguir:

Proposição 2.11 Sejam as tensões elétricas v1(t) = a sin(ωt + ϕ1) e v2(t) = b sin(ωt + ϕ2).A "tensão soma" v(t) = v1(t) + v2(t) é dada por v(t) = |z| sin(ωt+ ϕ), sendo

|z| =√

a2 + b2 + 2ab cos(ϕ1 − ϕ2) (2.27)

e

ϕ = arctan

(a sinϕ1 + b sinϕ2

a cosϕ1 + a cosϕ2

)(2.28)


v(t) = a sin(ωt+ ϕ1) + b sin(ωt+ ϕ2) = aIm[ej(ωt+ϕ1)] + bIm[ej(ωt+ϕ2)]

= Im[aej(ωt+ϕ1) + bej(ωt+ϕ2)] = Im[ejωt(aejϕ1 + bejϕ2)]

Seja z = aejϕ1 + bejϕ2 = a ϕ1 + b ϕ2 . Para achar |z| observe que:

z = aejϕ1 + bejϕ2 = a(cosϕ1 + j sinϕ1) + b(cosϕ2 + j sinϕ2)

z = a cosϕ1 + b cosϕ2 + j(a sinϕ1 + b sinϕ2)

de modo que

|z|2 = (a cosϕ1 + b cosϕ2)2 + (a sinϕ1 + b sinϕ1)

2 = a2 + b2 + 2ab(cosϕ1 cosϕ2 + sinϕ1 sinϕ2)

= a2 + b2 + 2ab cos(ϕ1 − ϕ2) ⇒

37


|z| =√

a2 + b2 + 2ab cos(ϕ1 − ϕ2)

O argumento de z que denotaremos por ϕ segue do fato que

tanϕ =a sinϕ1 + b sinϕ2

a cosϕ1 + b cosϕ2

Ao invés de usar diretamente as expressões da proposição 2.9, é preferível refazer os

passos da prova numericamente. O próximo exemplo ilustra esta situação.

Exemplo 2.21 Sabendo que a tensão va(t) = 40 sin(377t− 30) e vb(t) = 30 sin(377t+ 60),calcule a tensão de entrada no circuito da figura 2.11.

Figura 2.11: Circuito elétrico simples com duas tensões de mesma frequência.

Resolução: Seja v a tensão de entrada no circuito. Note que

v(t) = va(t) + vb(t) = 40 sin(377t− 30) + 30 sin(377t+ 60)

Sendo vamax = 40 V e ϕa = −30, escrevemos o fasor va = 40 −30 . Analogamente,vb = 30 60 . Assim, v = 40 −30 + 30 60 . Passando para a forma retangular,segue que:

v = 40[cos(−30) + j sin(−30)] + 30[cos(60) + j sin(60)]

= 40(0, 866− 0, 5j) + 30(0, 5 + 0, 866j) = 49, 64 + 5, 98j

=√

49, 642 + 5, 982ej arctan(5,98/49,64) = 50ej6,87

ou seja, v = 50 6, 87 , de modo que v(t) = 50 sin(377t+ 6, 87).

Exemplo 2.22 Mostre que:

a) a amplitude da soma de duas tensões em quadratura é dada por vmax =√v21max + v22max;

b) o ângulo de fase é dado por ϕ = tan−1

(v2max

v1max

).

38


Resolução: Sejam v1(t) = v1max sin(ωt) e v2(t) = v2max sin(ωt + 90) as duas tensões emquadratura.

a) Note que ϕ1 = 0 e ϕ2 = 90. Da expressão 2.27, segue que

vmax =√

v21max + v22max + 2v1maxv2max cos(0 − 90) =√v21max + v22max

b) Sendo ϕ1 = 0 e ϕ2 = 90, então

ϕ = arctanv1max sin 0

+ v2max sin 90

v1max cos 0 + v2max cos 90= arctan

(v2max

v1max

)


1. Determine a quantidade de elétrons necessários para formar uma carga de 1, 5 C.

2. O que é corrente elétrica e qual a unidade usual de medida?

3. Explique o que é um gerador elétrico?

4. Com relação ao sinal elétrico i(t) = 10 sin(100πt+ π/4), calcule:

a) a frequência f ; R: f = 50 Hz

b) a corrente elétrica para t = 0; R: i(0) = 7, 07 A

c) o menor valor positivo de t para o qual i(t) = 0.R: t = 0, 0075 s

5. Escreva a expressão matemática de uma corrente de 5 A com uma frequência de50 Hz considerando, que se inicia no valor zero. R: i(t) = −5 sin(100πt)

6. Uma tensão tem uma amplitude máxima de 20 V sendo a sua frequência de 50 Hz.Suponha que onda se inicia no seu máximo positivo, determine o valor da tensão0, 03 s após o seu início. Sugestão: Use a expressão v(t) = vmax cos(ωt+ ϕ)R: v(0, 03) = −20 V

7. Escreva a tensão alternada senoidal v(t), sabendo que T = 0, 001 s, v(T/4) = 20 V ev(3T/2) = −20 V .R: v(t) = 28, 28 sin(2000πt+ π/4)

8. Mostre que v(t) = vmax sin(ωt− 3π/2) pode ser reescrita na forma v(t) = vmax cos(ωt).Sugestão: Pesquise e use a expressão para o seno da diferença de dois arcos.

9. Mostre que se dois sinais elétricos x1(t) e x2(t) estão em quadratura, então um delesé uma senoide e outro é uma cossenoide.

10. Sejam x1 e x2 dois sinais elétricos com frequências e amplitudes iguais. Prove que sex1 e x2 estiverem em oposição, então x2(t) = −x1(t).

39


11. Determine o ângulo de fase entre os sinais:

(a) x1(t) = − cos(5t− π/9) e x2(t) = −2 sin(5t+ 5π/9)

(b) x1(t) = 10 cos(4t− 60) e x2(t) = 4 sin(4t)− 3 cos(4t)

12. Determine o ângulo de fase entre os sinais elétricos abaixo:

x1(t) = 12 cos(2t)− 5 sin(2t) e x2(t) = 15 cos(2t− π/4)

13. Use a figura 2.12 e deduza as expressões da proposição (2.2).

Figura 2.12: Triângulo mnemônico para deduzir as expressões da proposição 3.7.

14. Determine o ângulo de fase entre as tensões elétricas alternadas v1(t) = 4 cos(ωt+30)e v2(t) = −2 sin(ωt+ 18).R: ϕ = 78

15. Sejam os sinais elétricos x1(t) = 4 cos(100πt + 30) e x2(t) = −7 cos(100πt − ϕ2).Sabendo que o ângulo de fase é igual a 60, calcule os possíveis valores de ϕ2.R: ϕ2 = 5π/6 rad ou ϕ2 = π/2 rad

16. Explique o significado de valor médio e valor eficaz.

17. Calcule o valor eficaz de uma onda senoidal de freqüência 1 kHz e amplitude 100 V .R: vef = 70, 7 V

18. Calcule o valor eficaz de uma onda senoidal de freqüência 2 kHz e amplitude 100 V .R: vef = 70, 7 V

19. Determine os possíveis valores de a na tensão elétrica v(t) = a cos(50t) + 60 sin(50t),sabendo que vmed = 63, 7 V .

20. Determine o valor médio da tensão elétrica:

v(t) = 6 sin(10πt)− 8 cos(10πt)

R: vmed = 6, 37 V

21. Calcule as expressões abaixo, apresentando o resultado na forma retangular.

40


(a) (3− 2j)(−4− 5j) R: −22− 7j

(b) (5 + 12j)(−1 + 4j)(1 + j) R: −61− 45j

(c)1 + j

1− jR: j

(d)(−3 + 4j)2

−4− 3jR: 4 + 3j

22. Escreva os fasores abaixo na forma polar:

(a) z = 4 + 3j R: 5 36, 87

(b) z = −5 + 12j R: 13 −67, 38

23. Calcule as expressões abaixo e expresse o resultado na forma fasorial.

(a)15 45

3− 4jR: 3 98, 13

(b)8 −20

2 + j+

10

−5 + 12j

(c) (10 + 8 50 ) · (2− 2j) R: 46, 2 −22, 97

(d) 4 −20 +3 + 4j

1− 2jR: 2, 833 13, 055

24. Determine a corrente i2, para o circuito mostrado na figura 2.13. Sugestão: Veja oexemplo 2.21.

Figura 2.13: Circuito com duas fontes de corrente.

25. Mostre que:

(a) Re[jejωt] = − sin(ωt) = −Im[ejωt]

(b) Im[jejωt] = cos(ωt) = Re[ejωt]

26. Escreva a expressão cossenoidal para os sinais elétricos a seguir, considerando quea frequência é 60 Hz.

a) V = 12 120

b) I = 220 −60

41

Capítulo 3

Circuitos Elétricos

3.1 Introdução

Definição 3.1 Um circuito elétrico é um arranjo formado por fios (condutores), elementosdissipadores (resistores), elementos armazenadores de energia (bobinas e capacitores),interruptores, fontes de tensão e fontes de corrente elétrica.

Definição 3.2 Em um circuito elétrico definimos os seguintes elementos:

• Nó é um ponto do circuito ao qual estão ligados dois ou mais elementos.

• Nó essencial é um ponto do circuito ao qual estão ligados três ou mais elementos.

• Caminho é uma sequência de elementos ligados entre si na qual nenhum elemento éincluído mais de uma vez.

• Ramo é um caminho que liga dois nós.

• Malha é um caminho cujo último nó coincide com o primeiro.

Definição 3.3 Um dipolo é a representação de qualquer aparelho elétrico com dois termi-nais, tais como, resistência, bobina, capacitor ou condensador, gerador, motor, etc.

Nestas notas apenas se consideram os dipolos que são atravessados por uma correnteelétrica senoidal quando lhes é aplicada uma tensão senoidal ou cossenoidal. Trata-seentão dos dipolos lineares.

Exemplo 3.1 Analise o circuito da figura 3.12 e identique os seus elementos.

Resolução: Os pontos A,B,C,D,E e F são os nós do circuito, não havendo nós essen-ciais. Temos vários caminhos neste circuito, tais como ABC,BCDEB,ABED, etc. Osramos deste circuito são: AB,BC,CD,DE,EF,AF e BE. Temos duas malhas: ABEFA eBCDEB.

42


Figura 3.1: Circuito elétrico com duas malhas.

Figura 3.2: Exemplo de circuitos em série e em paralelo.

Definição 3.4 Um circuito em série é aquele onde todos os elementos se encontram interli-gados em série com a fonte de energia.

Definição 3.5 Um circuito em paralelo é aquele em que todos os elementos se encontramem paralelo com a fonte de energia.

No circuito em série a corrente elétrica é a mesma em todos os pontos do circuito e atensão é dividida proporcionalmente. O circuito paralelo apresenta vários caminhos paraa corrente, a tensão é a mesma em todos os pontos do circuito, porém a corrente variade acordo com a resistência. Na figura 3.2, temos um exemplo de um circuito puramenteresistivo em série e um circuito em paralelo.

Definição 3.6 Um circuito misto é aquele que dispõe de dispositivos conectados tanto emparalelo quanto em série, associados a uma só fonte de tensão.

O circuito misto possui alguns pontos de consumo ligados em série e outros em paralelo.Como o circuito misto é uma composição de circuitos em série com circuitos em paralelo,este apresenta em um único circuito as características dos dois circuitos anteriores.

Experimentalmente, o físico Gustav R. Kirchhoff formulou as leis dos nós e das malhasna análise de circuitos elétricos em 1845, quando ainda era um estudante na Universidadede Konigsberg. Enunciamos abaixo as duas leis de Kirchhoff.

43


• Lei das Correntes ou Lei dos Nós de Kirchhoff: A soma algébrica de todas ascorrentes elétricas em um nó do circuito é zero.

• Lei das malhas de Kirchhoff: A soma algébrica das quedas de tensão em qualquercaminho fechado (malha) em um circuito elétrico é nula.

3.2 A Impedância

Nos circuitos de corrente contínua, a resistência elétrica é a única grandeza que expressao impedimento a passagem da corrente elétrica. Em corrente alternada, existem outrosefeitos além do resistivo que influenciam a passagem de corrente no circuito; por exemplo,a indutância quando o circuito contém bobinas, ou a capacitância quando o circuito contémcapacitores. Deste modo, a razão tensão/corrente em um circuito de corrente alternada nãodepende apenas das resistências elétricas do mesmo.

Definição 3.7 Chama-se impedância e denota-se por Z, o quociente entre o fasor tensãoV pelo fasor corrente alternada I, isto é,

Z =V

I(3.1)

Figura 3.3: Representação fasorial da tensão e da corrente complexa I(t) = imaxej(ωt+ϕ) e

da tensão V (t) = vmaxejωt.

A sua unidade é igualmente o Ω (ohm). A diferença entre Z e R deve-se ao fato de Zdepender da velocidade angular ω ou frequência f . Em outras palavras, a impedância Zé um número complexo no qual relaciona as tensões e as correntes de um circuito. Alémdisso, em corrente alternada, a relação entre a tensão e a corrente depende para uma dadafrequência, da impedância Z e o ângulo de defasagem ϕ.

44


A figura 3.3 mostra a representação da voltagem e corrente no plano complexo. A cor-rente e a voltagem são vetores que rodam com velocidade angular ω mantendo o angulo ϕfixo.

A grande facilidade do método fasorial é unir resistências, capacitâncias e indutânciasem um único elemento genérico que é a impedância Z do circuito. A impedância é um valorem número complexo, na qual também relaciona as tensões e as correntes de um circuito.A resistência não altera a fase de tensões e correntes. Logo, possuirá somente a parte real,o que indica que um resistor consome energia.

Definição 3.8 A parte real do fasor impedância Z é a resistência R, isto é, Re(Z) = R e aparte imaginária é uma grandeza denotada por X chamada de reatância, isto é, X = Im(Z).

Desta forma,Z = R +Xj (3.2)

Proposição 3.1 Valem as relações entre Z, R e X:

i) |Z| = vmax

imax

ii) |Z| cosϕ = R

iii) |Z| sinϕ = X

iv) |Z|2 = R2 +X2

v) Z = |Z|ejϕ

Demonstração: Sejam V (t) = vmaxej(ωt+ϕ) e I(t) = imaxe

jωt, então

i) De fato,

|Z| =∣∣∣∣VI

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣vmaxej(ωt+ϕ)

imaxejωt

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣vmax

imax

∣∣∣∣|ejϕ| = vmax

imax

uma vez que |ejϕ| = | cosϕ+ j sinϕ| =√cos2 ϕ+ sin2 ϕ = 1.

ii)

R = Re(Z) = Re

(V

I

)= Re

(vmaxe

j(ωt+ϕ)

imaxejωt

)=

vmax

imax

Re(ejϕ) =vmax

imax

cosϕ = |Z| cosϕ

iii)

X = Im(Z) = Im

(V

I

)= Im

(vmaxe

j(ωt+ϕ)

imaxejωt

)=

vmax

imax

Im(ejϕ) =vmax

imax

sinϕ = |Z| sinϕ

iv) |Z| = |Re(Z) + jIm(Z)| = |R+ jX| =√R2 +X2

45


v) De fato,

Z = Re(Z) + jIm(Z) = |Z| cosϕ+ j|Z| sinϕ = |Z|(cosϕ+ j sinϕ) = |Z|ejϕ

Exemplo 3.2 Dada a corrente I(t) = 40ej(40t−π/3) e a tensão V (t) = 2000ej40t, determine:

a) o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente complexa;

b) o módulo da impedância, isto é, |Z|;

c) o valor da resitência R;

d) o valor da reatância X;

e) o valor de Z.

Resolução:

a) O ângulo de defasagem é ϕ = −π

3.

b) Neste caso, |Z| = vmax

imax

=200

40= 50 Ω

c) Pelo item ii) da proposição 3.1, temos:

R = |Z| cosϕ = 50 cos(−π

3) = 25 Ω

d) Pelo item iii) da proposição 3.1, temos:

X = |Z| sinϕ = 50 sin(−π

3) = −50 sin

π

3= −50 · 0, 866 = −43, 3 Ω

e) Pelo item v) da proposição 3.1, temos Z = |Z|ejϕ = 50e−jπ/3.

3.3 Resposta do Resistor, Indutor eCapacitor em Corrente Alternada

Na maioria dos circuitos elétricos, utilizam corrente elétrica senoidal ou cossenoidal. Nestescircuitos elétricos, é possível isolar porções de circuitos compreendidas entre dois terminaisou nós - são os dipolos.

46


Figura 3.4: Circuito puramente resistivo.

3.3.1 Circuitos Elétricos Puramente Resistivos

Definição 3.9 Um resistor é um dipolo formado por um condutor elétrico que oferece umacerta oposição à passagem da corrente elétrica.

O resistor é responsável por consumir energia elétrica, e convertê-la em calor, ou seja,energia térmica, esse fenômeno é chamado efeito Joule. O chuveiro elétrico, as lâmpadascomuns, os fios condutores e o ferro elétrico são exemplos de resistores.

Proposição 3.2 Considere um circuito elétrico puramente resistivo com uma fonte com-plexa V (t) = vmaxe

j(ωt+α) e um resistor conforme a figura 3.4, então:

i) A corrente elétrica está em fase com a tensão elétrica, isto é, ϕ = 0;

ii) A impedância resistiva é dada por:

ZR = R = R 0

Demonstração:

i) Na figura 3.4, a resistência R está simbolizando a associação de todas as resistênciasdo circuito. Usando a lei das malhas, obtemos

V = RI ⇒ vmaxej(ωt+α) = RI(t) ⇒ I(t) =

vmax

Rej(ωt+α)

donde segue que ϕ = α − α = 0, ou seja, a corrente elétrica está em fase com atensão.

ii) De fato,ZR = |Z|ejϕ =

vmax

imax

ej0 =vmax

vmax/R· 1 = R = R 0

47


Observação 3.1 Observe que a corrente física será

i(t) = Re[i(t)] = Re

[vmax

Rej(ωt+ϕ)

]=

vmax

Rcos(ωt + ϕ)

Sendo v(t) = Re[V(t)] = vmax cos(ωt+ϕ), vemos que os máximos, mínimos e zeros tanto datensão quanto da corrente ocorrem no mesmo instante. Dizemos que a corrente está emfase com a tensão.

Proposição 3.3 Considere dois resistores de resistência R1 e R2 conforme a figura 3.5.

i) Se os resistores são associados em série, então a resistência equivalente Req é dadapor:

Req = R1 +R2 (3.3)

ii) Se os resistores são associados em paralelo, então a resistência equivalente Req édada por:

Req =R1R2

R1 +R2

(3.4)

Figura 3.5: a) Resistores associados em série. b) Resistores associados em paralelo.

Demonstração: Seja VAB a tensão alternada entre os pontos A e B.

i) Se os resistores estiverem associados em série, então a corrente elétrica I que passapor eles é a mesma. Sejam V1 e V2 as quedas de tensões nos resistores R1 e R2

respectivamente. Pela lei de Ohm, V1 = ZR1I = R1I e V2 = ZR2I = R2I. Assim,

VAB = V1 + V2 ⇒ ReqI = R1I +R2I ⇒ Req = R1 +R2

ii) Nesse caso, a tensão VAB entre os resistores é a mesma. Sejam I1 e I2 as correnteselétricas que passam pelos resistores de resistências R1 e R2 respectivamente. As-sim,

I = I1 + I2 ⇒ VAB

Req

=VAB

R1

+VAB

R2

donde segue o resultado.

48


Observação 3.2 No caso em que três resistores R1, R2 e R3 associados em série, a re-sistência equivalente é Req = R1 + R2 + R3 e se eles estiverem associados em paralelo, aresistência equivalente satisfaz a expressão:

1

Req

=1

R1

+1

R2

+1

R3

Exemplo 3.3 Considere o circuito elétrico puramente resisitivo na figura 3.6. Determine:

a) a resistência equivalente;

b) a corrente complexa I(t) e a corrente real no trecho AF ;

c) a corrente I1 e I2;

d) as quedas de tensões nos ramos AB, BC e CD.

Figura 3.6: Circuito do Exemplo 4.5.

Resolução:

a) Observe que os resistores R1 e R2 estão associadas em série, de modo que a re-sistência equivalente Req1 = R1 + R2 = 3. O resistor Req1 e R4 estão associados emparalelo. Assim, a resistência equivalente é dada por:

Req2 =Req1R4

Req1 +R4

=3 · 63 + 6

= 2 Ω

A resistor equivalente Req2 e o resistor R3 estão associados em série, de modo que aresistência equivalente do circuito é Req = Req2 +R3 = 2 + 4 = 6 Ω.

49


b) A corrente complexa no trecho AF é a corrente I(t), isto é,

I(t) =V (t)

Req

=24ej(10t+45)

6= 4ej(10t+45)

e a corrente real é

i(t) = Re[I(t)] = Re[4ej(10t+45)] = 4 cos(10t + 45)

c) Observe que VCDE = VCFE, isto é,

(2 + 1)I1 = 6I2 ⇒ I1 = 2I2

Mas,I1 + I2 = 4 45 ⇒ 3I2 = 4 45 ⇒ I2 = 1, 33 45

e consequentemente, I1 = 2, 66 45 .

d) Note que , VAB = 4 · I = 16 45 , VBC = 2I1 = 4I2 = 31, 92 45 e VCD =I1 = 2, 66 45

Em alguns circuitos puramente resistivos, podemos usar a lei das malhas de Kirchhoffpara achar correntes elétricas. Vejamos este caso no exemplo a seguir.

Exemplo 3.4 Determine as correntes i1, i2 e i3 no circuito elétrico na figura 3.7.

Figura 3.7: Circuito puramente resistivo de duas malhas do exemplo 3.4.

Resolução: No nó A, temos:i1 = i2 + i3 (3.5)

50


A soma das quedas de tensões na malha superior é dada por:

5i1 + 2i1 + i2 = 8 ⇒ 7i1 + i2 = 8 (3.6)

A soma das quedas de tensões na malha inferior é dada por:

2i3 − i2 = 16 (3.7)

Das equações (3.5), (3.6) e (3.7), obtemos o sistema linear:i1 = i2 + i3

7i1 + i2 = 8

−i2 + 2i3 = 16

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:7(i2 + i3) + i2 = 8

−i2 + 2i3 = 16⇒

8i2 + 7i3 = 8

−8i2 + 16i3 = 128

Assim, 23i3 = 136 ⇒ i3 = 5, 91 A. Sendo i2 = 2i3 − 16, então i2 = −4, 18 A e consequente-mente, i1 = 1, 73 A.

Observação 3.3 O sinal negativo da corrente i2, significa que o sentido adotado não é osentido real da corrente elétrica.

3.3.2 Circuitos Elétricos Puramente Indutivos

Figura 3.8: Geração de uma f.e.m por um campo magnético.

Em 1831, Michael Faraday realizou experimentos para a Royal Society e a partir desuas observações concluiu que uma variação de fluxo magnético no interior de uma espirapode gerar uma f.e.m em seus terminais conforme a figura 3.8. A equação que relaciona avariação de fluxo magnético com a diferença de potencial gerada em uma espira é:

f.e.m = v = −dϕ

dt(3.8)

51


Esta lei será importante para explicar a relação entre corrente e tensão no indutor. O sinalnegativo dessa equação, postulado por Lenz, indica que há uma conservação de energia,ou seja, se uma variação de campo magnético ocorre em um sentido, a tensão induzida econsequente corrente elétrica, geram um campo de sentido oposto.

Definição 3.10 O indutor é um dipolo composto por um fio condutor enrolado em espiral.

Como o indutor é composto pelo equivalente de várias espiras, a tensão em seus termi-nais, pela lei de Faraday, é:

v = −Ndϕ

dt= −d(Nϕ)

dt(3.9)

onde N é o número de espiras do indutor. Experimentalmente verifica-se que:

Li = Nϕ (3.10)

onde L, é a indutância do indutor medida em "henry" cujo símbolo é H. Substituindo (3.10)em (3.9), temos:

v = −Ldi

dt= −L

di

dt(3.11)

O sinal negativo da equação (3.11) depende do sentido de enrolamento da bobina e, para aanálise de circuitos elétricos, este sinal será desconsiderado de modo que a equação ficaráda seguinte forma:

v = Ldi

dt(3.12)

Exemplo 3.5 A tensão em um indutor de 2H é v(t) = 6 cos(4t). Ache i(t), se i(−π/2) = 1 A.

Resolução: Da expressão (3.11), temos:

6 cos(4t) = 2di

dt⇒

∫ i(t)

1

di =

∫ t

−π/2

3 cos(4τ)dτ ⇒

i(t)− 1 = 3 sin(4τ)

]t−π/2

= 3[sin(4t)− sin(−2π)]

Logo, i(t) = 1 + 3 sin(4t).

Proposição 3.4 Considere um circuito elétrico puramente indutivo com uma fonte com-plexa V (t) = vmaxe

j(ωt+α) e uma bobina conforme a figura 3.9, então:

i) A corrente elétrica é um múltiplo da tensão elétrica e o ângulo de defasagem entre atensão e corrente elétrica é

ϕ =π

2rad = 90

ii) A impedância indutiva é dada por:

ZL = ωLj = 2πfLj = 2πfL 90

52


Figura 3.9: Circuito puramente indutivo.

Demonstração:

i) Da expressão (3.12), temos:

V (t) = vmaxej(ωt+α) = L

dI

dt⇒ dI =

vmax

Lej(ωt+α)dt ⇒∫

dI =vmax

L

∫ej(ωt+α)dt ⇒ I(t) =

vmax

jωLej(ωt+α) + C

I(t) =vmax

ωL

ej(ωt+α)

ejπ/2+ C =

vmax

ωLej(ωt+α−π/2) + C

Assim, a corrente elétrica é um múltiplo da tensão e o ângulo de defasagem entre atensão e a corrente elétrica é ϕ = α− (α− π/2) =

π

2rad = 90.

ii) A impedância do circuito é ZL = |ZL|ejϕ. Sendo |Z| = vmax

imax

e ϕ =π

2o ângulo de

defasagem entre V (t) e I(t), então

ZL =vmax

vmax/ωLejπ/2 = ωLj = 2πfL 90

Observação 3.4 Do item ii) da proposição anterior, notamos que a impedância de um cir-cuito puramente indutivo cresce com a freqüência, e vai a zero em circuitos de correntecontínua, pois nesses circuitos a corrente não varia, a tensão sobre o indutor é nula.

Observação 3.5 O termo ωL = 2πfL chama-se reatância indutiva e é denotado por XL,isto é, XL = 2πfL.

Definição 3.11 Uma bobina é um indutor que possui além da indutância, uma resistência.

Observação 3.6 A indutância de uma bobina depende do número de espiras do númerode espiras, do núcleo e do formato geométrico da bobina. Na prática, a indutância L de umindutor pode ser calculada a partir da seguinte expressão:

L =µ0N

2A

l − 0, 45ϕ(3.13)

onde:

53


• µ0 = 4π10−7 H/m (permeabilidade do vácuo);

• N é o número de espiras;

• l é a extensão da bobina;

• ϕ o diâmetro do núcleo;

• A é a área da secção transversal do núcleo.

A expressão (3.13) é válida somente para l >> ϕ e considera-se que não há núcleo (vácuo).

Exemplo 3.6 Determine a corrente elétrica real i(t) no circuito elétrico na figura 3.10, sabendoque L = 4 H e V (t) = 60ej(150t+40).

Figura 3.10: Figura do exemplo 3.6.

Resolução: Note que V (t) = 60ej(157t+40) e sendo XL = ωL = 150× 4 = 600 Ω, então

I(t) =V (t)

ZL

=V (t)

XLej90

=60ej(150t+40)

600ej90= 0, 1ej(150t−50)

Logo, i(t) = Re[I(t)] = 0, 1 cos(150t− 50).

O indutor é capaz de armazenar energia em um campo magnético. Isto ocorre porque,quando o indutor é percorrido por uma corrente elétrica, a lei de Faraday providencia umacúmulo de cargas positivas na entrada do indutor e negativas na saída. É este acúmulode cargas que representa um armazenamento de energia em um campo magnético. Aproposição a seguir estabelece uma expressão para a energia armazenada em um indutor.

Proposição 3.5 Seja i(t) a corrente elétrica que passa em um indutor de indutância L. Seas condições iniciais são nulas, então a energia armazenada nele é dada pela expressão:

E(t) =1

2Li(t)2 (3.14)

54


Demonstração: A energia armazenada E(t) é o trabalho realizado w(t). Sabemos que

p(t) =dw

dt= v(t) · i(t). Mas, v(t) = L

di

dt, de modo que

dw

dt= Li(t)

di

dt⇒

∫dw = L

∫idi ⇒ w(t) =

1

2Li(t)2 + C

Sendo as condições iniciais nulas, então C = 0, donde segue o resultado.

Figura 3.11: a) Indutores associados em série. b) Indutores associados em paralelo.

Observação 3.7 A expressão (3.17) é semelhante a equação de energia cinética (mv2/2)o que leva a inferir que, no indutor, i(t) é conservativo.

Proposição 3.6 Considere dois indutores de indutância L1 e L2 conforme a figura 3.11.

i) Se os indutores são associados em série, então a indutância equivalente Leq é dadapor:

Leq = L1 + L2 (3.15)

ii) Se os indutores são associados em paralelo, então a indutância equivalente Leq édada por:

Leq =L1L2

L1 + L2

(3.16)

Demonstração:

i) Neste caso, i1(t) = i2(t) = i(t) e v = v1 + v2. Mas, v1 = L1di1dt

e v2 =di2dt

. Assim,

v = v1 + v2 = L1di1dt

+ L2di2dt

= L1di

dt+ L2

di

dt⇒

v

di

dt

= L1 + L2 ⇒ Leq = L1 + L2

55


ii) Neste caso, i(t) = i1(t) + i2(t). Derivando em relação a t, temos:

di

dt=

di1dt

+di2dt

=v1L1

+v2L2

pois v1 = L1di1dt

e v2 =di2dt

. Mas, v1 = v2 = v, de modo que

di

dt= v

(1

L1

+1

L2

)⇒ 1

v

di

dt=

1

L1

+1

L2


Exemplo 3.7 Dois indutores L1 = 4 H e L2 = 6 H são conectados em série. Determinea energia armazenada no instante t = 0, 1 s sabendo que passa uma corrente elétricaalternada i(t) = 10 sin(60πt+ π/2).

Resolução: Como os indutores estão associados em série, a indutância equivalente éLeq = L1 + L2 = 4 + 6 = 10 H. Assim, a energia armazenada nos indutores no instantet = 0, 1 s é:

E(0, 1) =1

2Leqi(0, 1)

2 =1

2· 102 · sin2(60π · 0, 1 + π/2) = 50 J

3.3.3 Circuitos Elétricos Puramente Capacitivos

Definição 3.12 O capacitor é um dipolo constituído de duas placas condutoras paralelasA e B, denominadas armaduras separadas por um material isolante denominado dielétricocom capacidade de armazenar cargas elétricas.

Aplicando uma diferença de potencial (d.d.p) entre as placas, com potencial positivo naplaca A e potencial negativo na placa B, a placa A começa a ceder elétrons para o pólopositivo da fonte, carregando-se positivamente, e a placa B, simultaneamente, começa aatrair elétrons do pólo negativo da fonte, carregando-se negativamente, formando um fluxode elétrons. Porém, como entre as placas existe um material isolante, esse fluxo de elétronsnão o atravessa, fazendo com que as cargas fiquem armazenadas nas placas.

Conforme aumenta a carga Q armazenada nas placas, aumenta a diferença de potencialv entre elas, fazendo com que o fluxo de elétrons diminua. Após um determinada tempo,a carga armazenada atinge o seu valor máximo Qmax. Isso ocorre quando a diferença depotencial entre as placas se iguala à tensão da fonte (V = E), cessando o fluxo de elétrons(corrente elétrica nula).

Definição 3.13 A capacidade de armazenamento de cargas elétricas por unidade de ten-são é chamada de capacitância, simbolizada pela letra C.

56


Matematicamente, temos:

Q(t) = Cv(t) (3.17)

A capacitância é calculada a partir da expressão:

C = ϵA

d

Portanto, a capacitância de um capacitor de placas paralelas depende da área A(m2) dasplacas, da distância d(m) entre elas e do material dielétrico, que é caracterizado por suapermissividade absoluta, representada pela letra grega ϵ (epsilon), cuja unidade de medidaé farad/metro [F/m].

No vácuo, ϵ0 = 8, 9× 10−12 F/m. Para os demais materiais, essa característica pode serdada em relação à permissividade do vácuo. Comercialmente, existem diversos tipos decapacitores fixos e variáveis, que abrangem uma ampla faixa de capacitâncias, desde dealguns picofarads (pF ) até alguns milifarads (mF ).

Proposição 3.7 Da equação (3.17), podemos concluir que:

i) Ela pode ser reescrita em função da corrente elétrica i(t), isto é,

i(t) = Cdv

dt

ii) Se v0 é a tensão inicial (t = 0) no capacitor, então a tensão em qualquer tempo t > 0 é

v(t) =1

C

∫ t

0

i(τ)dτ + v0

Demonstração:

i) De fato, basta derivar ambos os lados da equação (3.17).

ii) Do item anterior,

dv =i(t)dt

C⇒

∫ v(t)

v0

dv =1

C

∫ t

0

i(τ)dτ


Exemplo 3.8 A tensão complexa no circuito elétrico da figura 3.12 contendo um capacitorde 5 mF é V (t) = 10ej(377t+30). Determine a corrente elétrica real que flui neste circuito.

57


Figura 3.12: Exemplo 3.8

Figura 3.13: a) Capacitores associados em série. b) Capacitores associados em paralelo.

Resolução: O resultado obtido na proposição 3.7 também é válido para tensão e corrente

elétrica complexa, isto é, I = CdV

dt, segue que

I(t) = 5× 10−3 d

dt[10ej(377t+30)] = 5× 10−2 × 377jej(377t+30) = 18, 85jej(377t+30)

Logo, a corrente elétrica real é dada por:

i(t) = Re[I(t)] = 18, 85Re[jej(377t+30)] = −18, 85Im[ej(377t+30)] = −18, 85 sin(377t + 30)

Proposição 3.8 Considere dois capacitores de capacitância C1 e C2 conforme a figura 3.13.

i) Se os capacitores são associados em série, então a capacitância equivalente Ceq édada por:

Ceq =C1C2

C1 + C2

(3.18)

ii) Se os capacitores são associados em paralelo, então a capacitância equivalente Ceq

é dada por:Ceq = C1 + C2 (3.19)

Demonstração:

58


i) Na associação em série, a armadura negativa do capacitor está ligada a armadurapositiva do capacitor seguinte. Quando eles são ligados a carga da associação é igualpara todos os capacitores, de modo que

Q = C1V1 = C2V2 = CeqVAB. Como VAB = V1 + V2

Logo,Q

Ceq

=Q

C1

+Q

C2

⇒ Ceq =C1C2

C1 + C2

ii) Na associação em paralelo, as armadura negativas do capacitor são ligadas entre siassim como as armaduras positivas do capacitor. Quando eles são ligados tensão daassociação é a mesma para todos os capacitores, de modo que

VAB =Q1

C1

=Q2

C2

=Q

Ceq

Como Q = Q1 +Q2, segue que

VABCeq = VABC1 = VABC2 ⇒ Ceq = C1 + C2

Proposição 3.9 Considere um circuito elétrico puramente capacitivo com uma fonte de ten-são complexa V (t) = vmaxe

j(ωt+α) e um capacitor conforme a figura 3.14, então:

i) A corrente elétrica é um múltiplo da tensão e o ângulo de defasagem entre elas éϕ =

π

2rad = −90.

ii) A impedância capacitiva é dada por:

ZC = − j

ωC=

1

2πfC−90

Demonstração:

i) Da proposição 3.7, I(t) = CdV

dt, de modo que

I(t) = Cd

dt[vmaxe

j(ωt+α)] = Cvmaxjωej(ωt+α) = Cvmaxωe

jπ/2ej(ωt+α) = Cvmaxωej(ωt+α+π/2)

Assim,ϕ = α− (α+

π

2) = −π

2rad = −90

59


Figura 3.14: Circuito puramente capacitivo.

ii) A impedância do circuito é ZC = |ZC |ejϕ. Sendo |Z| = vmax

imax

e ϕ = −π

2o ângulo de

defasagem entre V (t) e I(t), então

ZC =vmax

Cvmaxωe−jπ/2 = − j

Cω=

1

2πfC−90

Observação 3.8 Observamos que em um circuito puramente capacitivo a tensão e correnteelétrica variam no tempo, mas a corrente é adiantada em relação à tensão em 90 (ou seja,o pico de corrente ocorre antes do pico de tensão). Note que esse comportamento é defato esperado, pois assim que o capacitor descarregado é ligado no circuito a corrente émáxima e a tensão é mínima (pois o capacitor está descarregado) e à medida que o tempopassa a corrente diminui e a tensão aumenta (a carga vai se acumulando nas placas docapacitor) e depois de um certo tempo a corrente é zero e a tensão é máxima. (capacitorcarregado).

3.4 Circuitos RL e RC

Nestes tipos de circuitos utilizaremos o formalismo da impedância complexa. Vamos as-sumir que os circuitos são alimentados por uma fonte de tensão complexa da forma V (t) =vmaxe

j(ωt+ϕ) ou real dada por v(t) = vmax cos(ωt+ϕ) ou v(t) = vmax sin(ωt+ϕ). Nosso objetivoé calcular o ângulo de fase e o valor máximo da corrente elétrica que flui em tais circuitosno regime permanente, ou seja, após um longo período de tempo. No caso do circuito emsérie RC, podemos também achar a carga elétrica Q(t) no capacitor.

Os circuitos resistivos-indutivos RL e resistivos-capacitivos RC podem ser em série ouparalelo. Para apresentar o método fasorial, veremos inicialmente o circuito RL em sérieconforme a figura 3.15.

Neste circuito, temos uma tensão complexa V (t) = vmaxej(ωt+ϕ), um resistor de resistên-

cia R e um indutor de indutância L conectados em série. A queda de tensão no indutor é

60


Figura 3.15: Circuito RL em série.

VL = LdI

dte no resistor é VR = RI. Usando a lei das malhas de Kirchhoff, temos:

LdI

dt+RI = V (t) = vmaxe

j(ωt+ϕ) (3.20)

Esta equação diferencial linear de primeira ordem tem uma solução particular da formaI(t) = imaxe

(jωt+θ) e nosso objetivo é achar imax e o ângulo θ. Substituindo I na equação(3.20) temos:

Ld

dt[imaxe

j(ωt+θ)] +Rimaxej(ωt+θ) = vmaxe

j(ωt+ϕ) ⇒

Limaxjωej(ωt+θ) +Rimaxe

j(ωt+θ) = vmaxej(ωt+ϕ)

Dividindo ambos os membros da última igualdade por eωtj, segue que

Limaxjωeθj +Rimaxe

θj = vmaxeϕj ⇒ (R + Lωj)eθj =

vmax

imax

eϕj

Mas, R + Lωj = ZL = |ZL|eαj, onde |ZL| =√R2 + L2ω2 e α = tan−1

(Lω

R

). Assim,

|ZL|eαjeθj =vmax

imax

eϕj ⇒ |ZL|eαjimaxeθj = vmaxe

ϕj ⇒

|ZL| α · imax θ = vmax ϕ ⇒ imax θ =vmax

|ZL|ϕ− α

donde segue que

imax =vmax

|ZL|=

vmax√R2 + ω2L2

e θ = ϕ− α = ϕ− tan−1

(Lω

R

)Observando a resolução acima, temos o seguinte método para resolver circuitos elétri-

cos RL,RC e os demais circuitos elétricos.

61


1) Dado um circuito elétrico, transformamos os dipolos (resistores, capacitores e indu-tores) em impedâncias e escrevemos as fontes de tensão e corrente na forma fasorial.

2) Em seguida, associamos as impedâncias para achar a impedância equivalente;

3) Usando a lei de Ohm, podemos achar os valores da tensão e das correntes nas mal-has e nos trechos do circuito elétrico.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 3.9 Determine a corrente elétrica real no circuito RL da figura 3.16.

Figura 3.16: Circuito RL em série do Exemplo 3.9.

Resolução: A reatância indutiva é XL = ωL = 157 · 0, 02 = 3, 14 Ω, de modo que ZL =XLj = 3, 14j. Sendo ZR = R = 8 Ω, segue que

Z = R +XLj = 8 + 3, 14j =√82 + 3, 142 tan−1(3, 14/8) = 8, 59 21, 43

Pela lei de Ohm, segue que:

V = Z · I ⇒ 10 30 = 8, 59 21, 43 · I ⇒

I =10

8, 5930 − 21, 43 = 1, 16 8, 53

ou seja, I(t) = 1, 16ej(157t+8,57). Consequentemente, a corrente elétrica real é:

i(t) = Re[I(t)] = 1, 16 cos(157t + 8, 57)

Exemplo 3.10 Considere o circuito na figura 3.17, sendo f = 60 Hz.

a) determine a impedância Z;

b) determine a tensão V (t);

62


Figura 3.17: Circuito RC em série do Exemplo 3.10.

c) determine as quedas de tensões VR(t) e VC(t).

Resolução:

a) Sendo Z = R +XCj, então

Z = 200 + 200j = 282, 84 45

b) Pela lei de Ohm, temos:

V = ZI ⇒ V = 282, 84 45 · 500× 10−3 30 = 141, 42 75

de modo queV (t) = vmaxe

j(ωt+ϕ) = 141, 42ej(120πt+75)

pois ω = 2πf = 2π · 60 = 120π rad/s.

c) Novamente pela lei de Ohm, VR = RI, de modo que:

VR = RI = 200 0 × 500× 10−3 30 = 100 30

de modo que VR(t) = 100ej(120πt+30). Para calcular VC(t), sabemos que ZC = −XCj =−200j, de modo que

VC = ZCI = −200j × 500× 10−3 30 = 100 −90 × 1 30

Logo, VC = 100 −60 ⇒ VC(t) = 100ej(120πt−60).

Exemplo 3.11 Considere o circuito na figura 3.18.

a) determine a impedância Z e a corrente I(t);

b) determine as correntes reais iR(t) e iC(t).

63


Figura 3.18: Circuito RC em paralelo do Exemplo 3.11.

Resolução:

a) De fato, sendo ZC = −XCj = −ωCj, então ZC = −8 × 0, 05j = −0, 4j. Sendo umcircuito RC em paralelo, então

Z =ZRZC

ZR + ZC

=RZC

R + ZC

=5× (−0, 4j)

5− 0, 4j=

2 −90√52 + (−0, 4)2 tan−1(−0, 4/5)

= 0, 399 −85, 43

Pela lei de Ohm,

V = ZI ⇒ 10 60 = 0, 399 −85, 43 · I

de modo que I = 25, 03 145, 43 .

b) Pela lei de Ohm, V = ZRIR = RIR = 5IR. Assim,

10 60 = 5 0 · IR ⇒ IR = 2 60

Deste modo, IR(t) = 2ej(8t+60) e consequentemente,

iR(t) = Re[I(t)] = 2 cos(8t + 60)

Por outro lado, usando o fato que V = ZCIC , então

10 60 = 0, 4 −90 · IC ⇒ IC = 25 150

e consequentemente, iC(t) = 25 cos(8t+ 150).

3.5 Circuitos RLC

Os circuitos elétricos RLC é composto de um resistor de resistência R, de um capacitor decapacitância C e um indutor de indutância L, conectados em série ou paralelo com umafonte de tensão. A resolução de tais circuitos elétricos é feita através de fasores como foifeita nos circutos anteriores.

64


Figura 3.19: Circuito RLC em série do Exemplo 3.12.

Exemplo 3.12 Determine a corrente real no circuito elétrico da figura 3.19.

Resolução: Note que ZR = 4 Ω, ZL = jωL = j · 4 · 1 = 4j e ZC = − j

ωC= − j

4 · 2× 10−3=

−125j, de modo que

Z = ZR + ZL + ZC = 4 = 4j − 125j = 4− 121j = 121, 07 −88, 11

Pela lei de Ohm,

V = ZI ⇒ 8 −30 = 121, 07 −88, 11 · I

ou seja, I = 0, 07 58, 11 e consequentemente, I(t) = 0, 07ej(4t+58,11).

Exemplo 3.13 Sabendo que a corrente elétrica total no circuito RLC em paralelo na figura3.20 é I(t) = 5, 16ej(120πt+θ), determine o valor da resistência R e o ângulo θ.

Resolução: Note que ZR = R,

ZC = − j

ωC= − j

120π × 10−3= −2, 653j

e ZL = jωL = 120π · 0, 1j = 37, 699j. Como os dispositivos estão associados em paralelo,então

1

Z=

1

ZR

+1

ZC

+1

ZL

=1

R− 1

2, 653j+

1

37, 699j=

1

R+ 0, 35j

=

√1

R2+ 0, 1225 tan−1(0, 35R)

Por outro lado, pela lei de Ohm,

V = ZI ⇒ 1

Z=

I

V=

5, 16 θ

12 10= 0, 43 θ − 10

65


Figura 3.20: Circuito RLC em paralelo do Exemplo 4.5.

Desta forma, √1

R2+ 0, 1225 = 0, 43 ⇒ R = 4, 00 Ω

Sendotan−1(0, 35R) = θ − 10 ⇒ θ = 10 + tan−1(1, 4) = 64, 46

3.6 Circuitos Mistos com Fontes deTensão e Corrente Alternadas

Figura 3.21: Circuito misto do Exemplo 3.14.

O circuito elétrico misto possui alguns pontos de consumo ligados em série e outrosem paralelo. Como o circuito misto é uma composição de circuitos em série com circuitosem paralelo, logo este apresenta em um único circuito as características dos dois circuitosanteriores. Usaremos a análise nodal e a análise de malhas para resolver tais circuitos.

66


Exemplo 3.14 Determine as correntes fasoriais I, I1 e I2 no circuito misto da figura 3.21.

Resolução: Note que ZL1 = jωL1 = j · 2 · 10 = 20j, de modo que Z1 = 10 + 20j. Analoga-mente, ZL2 = jωL2 = j · 2 · 1 = 2j, de modo que

Z2 =4 · 2j4 + 2j

=8j(4− 2j)

(4 + 2j)(4− 2j)=

16 + 32j

20= 0, 8 + 1, 6j

Assim,

Zeq = Z1 + Z2 = 10 + 20j + 0, 8 + 1, 6j = 10, 8 + 21, 6j = 24, 15 63, 43

Pela lei de Ohm, V = ZeqI, de modo que:

100 −15 = 24, 15 63, 43 · I ⇒ I = 4, 15 −78, 43

Por outro lado,

VBCD = VBED ⇒ ZL1I2 = 4I1 ⇒ I1 =j

2I2

Sendo I1 + I2 = 4, 15 −78, 43 , então

(1 + j/2)I2 = 4, 15 −78, 43 ⇒ I2 =4, 15 −78, 43

3, 32 26, 56= 0, 75 −104, 99

Consequentemente,

I1 =j

2I2 = 0, 5 90 × 3, 32 −104, 99 = 1, 66 −14, 99

No exemplo a seguir, usamos a análise nodal.

Exemplo 3.15 Calcule V1 e V2 no circuito elétrico misto na figura 3.22.


67


Figura 3.23: Circuito misto do Exemplo 4.8 na forma fasorial.

Resolução: Uma forma prática de calcular as tensões V1 e V2 é desenhar o circuito acimacom os dispositivos dados na forma fasorial conforme a figura 3.23.

O próximo passo é simplificar o circuito elétrico associando adequadamente as impedân-cias. Note que o capacitor de 1 F que possui impedância −0, 5j e o indutor de 1/2 H quepossui impedância j estão associados em paralelo, de modo que

Zeq1 =j · (−0, 5j)

j − 0, 5j= −0, 5j2

0, 5j= −j1

De forma análoga, o indutor de 1/4 H e o resistor de 1 Ω também estão associados emparalelo, de modo que

Zeq2 =1 · 0, 5j1 + 0, 5j

=0, 5j(1− 0, 5j)

(1 + 0, 5j)(1− 0, 5j)=

1 + 2j

5

Desta forma, obtemos o circuito simplificado dado na figura 3.24. O próximo passo é usar

Figura 3.24: Circuito misto do Exemplo 4.8 simplificado.

a lei dos nós e para isso, devemos ter em mente que a corrente elétrica é a razão entre a

68


tensão pela impedância, isto é,5 0 − V1

1/2=

V1 − V2

−j+

V1

−jV1 − V2

−j+ 5 0 =

V2

(1 + 2j)/5

⇒

V1 − 5 0

1/2+

V1

−j+

V1 − V2

−j= 0

V2 − V1

−j+

V2

(1 + 2j)/5= 5 0

Simplificando, temos: (2 + 2j)V1 − jV2 = 10

−V1j + (1− j)V2 = 5

Este sistema de duas equações é linear e uma forma prática de resolvê-lo é usar métodode Cramer, isto é,

V1 =D1

D=

∣∣∣∣10 −j5 1− j

∣∣∣∣∣∣∣∣2 + 2j −j−j 1− j

∣∣∣∣ =10− 5j

5= 2− j =

√5 −26, 6

e

V2 =D2

D=

∣∣∣∣2 + 2j 10−j 5

∣∣∣∣∣∣∣∣2 + 2j −j−j 1− j

∣∣∣∣ =10− 20j

5= 2 + 4j = 2

√5 63, 4


O próximo exemplo envolvendo um circuitos de várias malhas, será resolvido com atécnica de análise de malha.

Exemplo 3.16 Calcule as correntes fasoriais I1 e I2 e as tensões V1 e V2 no circuito elétricoda figura 3.25.

Resolução: Note queV1 − 5

1/2= −I1, donde segue que V1 = 5− I1

2. Na malha à esquerda,

temos:I12− jI1 − j(−I2) = 5 ⇒

(1

2− j

)I1 + jI2 = 5 (3.21)

69


Na malha central, temos:

−jI2 +(1 + 2j)I2

5− j(I2 − I1) +

1 + 2j

5· 5 = 0 ⇒

jI1 − 2jI2 +2jI25

+I25+ 1 + 2j = 0 (3.22)

Das expressões (3.21) e (3.21), temos o sistema linear de duas equações e duas variáveis,isto é,

jI1 +(15− 8j

5

)I2 = −1− 2j(1

2− j

)I1 + jI2 = 5

(3.23)

Usaremos o método de Cramer para resolver o sistema linear (3.23). De fato,

D =

∣∣∣∣∣∣∣j

1

5− 8j

51

2− j j

∣∣∣∣∣∣∣ = j2 −(1

2− j

)(1− 8j)

5=

1

2+ j

D1 =

∣∣∣∣∣−1− 2j1− 8j

55 j

∣∣∣∣∣ = −j − 2j2 − 1 + 8j = 1 + 7j

e

D2 =

∣∣∣∣∣ j −1− 2j1

2− j 5

∣∣∣∣∣ = 5j − 1

2(1− 2j)(−1− 2j) =

5

2+ 5j

de modo que

I1 =D1

D=

1 + 7j

1/2 + j=

(2 + 14j)(1− 2j)

(1 + 2j)(1− 2j)= 6 + 2j

Consequentemente,

V1 = 5− I12

= 5− 1

2(6 + 2j) = 5− 3− j = 2− j =

√5 −26, 56

eI2 =

D1

D=

5/2 + 5j

1/2 + j=

(5 + 10j)/2

(1 + 2j)/2= 5 A

Mas, (V2 − V1)/(−j) = I2, de modo que

V2 = V1 − jI2 = 2− j − 5j = 2− 6j = 6, 32 −71, 57

3.7 Aparelhos de Medidas Elétricas

3.7.1 Introdução

Os aparelhos de medidas elétricas são instrumentos que fornecem uma avaliação da grandezaelétrica, baseando-se em efeitos físicos causados por essa grandeza. Vários são os efeitos

70


aplicáveis, tais como: forças eletromagnéticas, forças eletrostáticas, efeito Joule, efeitotemoelétrico, efeito da temperatura na resistência, etc.

Um galvanômetro é um dispositivo eletromecânico no qual se produz um torque comoresultado da interação entre uma corrente elétrica, que passa pela bobina do instrumentoe o campo magnético existente no entorno da bobina. O tipo mais comum é o conhecidocomo de bobina móvel: uma bobina de fio muito fino é montada em um eixo móvel, einstalada entre os pólos de um imã fixo, interage com o campo do imã, e a bobina gira,movendo um ponteiro, ou agulha, sobre uma escala graduada. Como o movimento doponteiro é proporcional à corrente elétrica que percorre a bobina, o valor da corrente éindicado na escala graduada. Através de circuitos apropriados, o galvanômetro pode leroutras grandezas elétricas como tensão, resistência, potência, etc.

O múltímetro, o principal aparelho de teste e reparo de circuitos eletrônicos, consistebasicamente de um galvanômetro, ligado a uma chave seletora, uma bateria e vários resis-tores internos para optarmos pelo seu funcionamento como amperímetro, ohmímetro ouvoltímetro. Os multímetros com galvanômetros são chamados de multímetros analógicos,em oposição aos multímetros digitais, que possui um mostrador de cristal líquido.

3.7.2 Amperímetro

Definição 3.14 O amperímetro é um instrumento utilizado para fazer a medida da intensi-dade da corrente elétrica.

Dependendo da qualidade do aparelho, pode possuir várias escalas que permitem seuajuste para medidas com a máxima precisão possível. Na medição de corrente contínua,deve-se ligar o instrumento com o pólo positivo no ponto de entrada da corrente conven-cional, para que a deflexão do ponteiro seja para a direita.

Figura 3.26: Amperímetro analógico

As características de um amperímetro são:

• Deve ser associado em série ao trecho em que se quer medir a corrente.

71


Figura 3.27: Amperímetro conectado em série

• Deve possuir uma resistência interna muito pequena comparada às do circuito.

• No amperímetro ideal a resistência interna deve ser nula.

• Amperímetros podem medir correntes contínuas ou alternadas.

A construção de um amperímetro é feita através de um resistor de baixa resistênciadenominado shunt (Rs) que é colocado em paralelo no galvanômetro conforme a figuraabaixo.

Figura 3.28: Esquema de construção de um amperímetro

A resistência interna do amperímetro, denotada por Rint é a resistência equivalente daassociação em paralelo dos resistores Rg e Rs, ou seja,

1

Rint

=1

Rg

+1

Rs

⇒ Rint =RgRs

Rg +Rs

Vejamos como podemos calcular a corrente de fundo de escala i do amperímetro, à cargoda corrente de fundo de escala ig do galvanômetro. Note que

Vg = Vs ⇒ Rgig = Rsis ⇒ is =Rg

Rs

ig (3.24)

Mas, pela lei dos nós,i = ig + is (3.25)

Substituindo (3.24) em (3.25), segue que

i = ig +Rg

Rs

ig =

(1 +

Rg

Rs

)ig

72


Figura 3.29: Circuito elétrico com um amperímetro, chave S1 fechada e S2 aberta.

Exemplo 3.17 Com a chave S1 fechada e S2 aberta, a leitura do amperímetro no circuitoelétrico na figura 3.29 é 6 A. Com as chaves S1 e S2 fechadas, determine:

a) a leitura do amperímetro

b) a queda de tensão VAB

c) a corrente elétrica que passa pelo resistor 2 Ω

Resolução: Com a chave S1 fechada e a chave S2 aberta a resistência equivalente é:

Req =4 · 24 + 2

+ 3 =4

3+ 3 =

13

3Ω

Pela lei de Ohm, a tensão de E é

E = iA ·Req = 6× 13

3= 26 V

Consideremos agora o circuito elétrico com as duas chaves fechadas conforme a figura3.30.

A resistência equivalente nesse caso é:

Req =3 · 63 + 6

+2 · 42 + 4

= 2 +4

3=

10

3Ω

de modo que a leitura do amperímetro é dada por:

iA =E

Req

=26

10/3= 7, 8 A

Pela lei dos nós, i1 + i2 = 7, 8 e pela lei de Ohm, VAB = 4i1 = 2i2, de modo que

i22+ i2 = 7, 8 ⇒ i2 = 5, 2 A

e consequentemente, VAB = 2 · 5, 2 = 10, 4 V .

73


Figura 3.30: Circuito elétrico com as chaves S1 e S2 fechadas.

Figura 3.31: Circuito elétrico com um amperímetro em um ramo.

Exemplo 3.18 No circuito elétrico na figura 3.36, a leitura do amperímetro é 6 A. Determineo valor da resistência R.

Resolução: Note que i1 = 6 A e sendo VBC = 6R = 4i2 segue que i2 =3R

2. Por outro lado,

i = i1 + i2 = 6 +3R

2(3.26)

A resistência equivalente é

Req =4R

4 +R+ 2 (3.27)

Pela lei de Ohm,40 = Reqi (3.28)

Substituindo (3.26) e (3.27) em (3.28), segue que(4R

4 +R+ 2

)(12 + 3R

2

)= 40 ⇒

(6R + 8

4 +R

)3(4 +R) = 80 ⇒

3(6R + 8)(4 +R) = 80(4 +R) ⇒ 6R + 8 =80

3

de modo que R = 28/9 ≃ 3, 11 Ω.

74


3.7.3 Voltímetro

Definição 3.15 O voltímetro é um aparelho que realiza medições de tensão elétrica emum circuito e exibe essas medições geralmente, por meio de um ponteiro móvel ou ummostrador digital, de cristal líquido.

Figura 3.32: Voltímetro analógico

A unidade apresentada no voltímetro geralmente é o volt. As características de umvoltímetro são:

• Ele associado em paralelo com o trecho do circuito em que se quer medir a tensão.

• Para as medições serem precisas, é esperado que o voltímetro tenha uma resistênciamuito grande comparada às do circuito.

• No voltímetro ideal, a resistência interna é infinita.

Exemplo 3.19 Observe atentamente o circuito elétrico na figura 3.33. Cada círculo repre-senta um aparelho ideal de medida elétrica, ligado corretamente.

Figura 3.33: Circuito resistivo contendo um voltímetro e um amperímetro

75


a) Diga qual aparelho é um amperímetro e qual é um voltímetro. Justifique.

b) Determine a leitura do amperímetro.

Resolução:

a) Como o aparelho C está conectado em série no trecho superior do circuito, trata-se deum amperímetro. O aparelho B está conectado em paralelo, portanto é um voltímetro.

b) A resistência equivalente é:

Req =20 · 3020 + 30

+ 8 = 20 Ω

Desta forma, a leitura no amperímetro C é a corrente total i que é dada por

i =V

Req

=100

20= 5 A

Exemplo 3.20 No circuito representado na figura 3.34, os resistores R1, R2 e R3 tem valoresiguais a 12 Ω. Determine a leitura no voltímetro V e no amperímetro A.

Figura 3.34: Circuito resistivo contendo um voltímetro e um amperímetro.

Resolução: Os resistores R1 e R2 estão associados em paralelo e o resistor R3 estáconectado em série. Desta forma, o resistência equivalente é:

Req =R1R2

R1 +R2

+R3 =12 · 1212 + 12

+ 12 = 18 Ω

Pela lei de Ohm, a corrente elétrica que passa pelo amperímetro é

iA = 36/Req = 36/18 = 2 A

Sejam i1 e i2 as correntes elétricas que passam pelos resistores R1 e R2. Note que i1 = i2e i1 + i2 = iA = 2, de modo que i1 = i2 = 1 A. Logo, a leitura no voltímetro é V = R1i1 =12 · 1 = 12 V .

76


3.7.4 Ohmímetro

Definição 3.16 Ohmímetro é um aparelho que permite medir a resistência elétrica de umelemento ou de um circuito, indicando o valor da referida resistência elétrica numa escalacalibrada em ohms (Ω).

É também usado no teste de continuidade, no valor de resistências ou de correntesde fugas de circuitos ou de componentes defeituosos. Para operar o ohmímetro, unem-seos bornes A-B (pontas de prova do ohmímetro) fechando o circuito, e gira-se o botão deajustes de ohms até que o ponteiro indique o fim da escala (zero ohms), visto que nestascondições a resistência entre as pontas de prova A-B aos terminais é nula. Encostandoagora as pontas de prova A-B aos terminais de uma resistência a medir, o instrumentoindicará a passagem de uma corrente determinada, que corresponde ao valor ôhmico dessaresistência e é indicado na escala de ohms.

3.8 Ponte de Wheatstone

Definição 3.17 A "ponte" de Wheatstone é um arranjo de resistores que não pode sertransformado em um resistor equivalente, como é o caso das associações comuns série,paralelo ou mista.

Figura 3.35: Ponte de Wheatstone.

É um aparelho econômico, inventado por Samuel Hunter Christie em 1833, porém foiCharles Wheatstone quem ficou famoso com o invento, tendo-o descrito dez anos maistarde. A ponte é uma montagem que serve para descobrirmos o valor, com boa precisãode uma resistência elétrica desconhecida.

77


A ponte de Wheatstone consiste em dois ramos de circuito contendo dois resistorescada um e interligados por um galvanômetro. Todo conjunto deve ser ligado a uma fonte detensão elétrica conforme a figura 3.35.

Proposição 3.10 Sejam R1, R2, R3 e R4 arranjos de resistores formando a ponte de Wheat-stone, sendo que o resistor R4 é um reostato e R2 é um resistor de resistência desconhecida.Se existe um ponto de equilíbrio no reostato tal que a indicação no galvanômetro fica nula,então vale a relação:

R2 =R1R4

R3

(3.29)

Demonstração: Note que o resistor R4 é um reostato e, variando-se sua resistência, pode-se obter um ponto em que a indicação no galvanômetro fica nula, aí a ponte está equilibrada,isto é, iCD = iDC = 0. Desta forma, VCD = 0 e consequentemente, VAC = VAD e VBC = VBD

e sendo VAC = R1i1, VAD = R3i2, VCB = R2i1 e VDB = R4i2. Desta forma,R1i1 = R3i2

R2i1 = R4i2

Logo,i2i1

=R1

R3

=R2

R4

⇒ R2 =R1R4

R3


Exemplo 3.21 A ponte de Wheatstone mostrada na figura 3.36 estará em equilíbrio quandoo galvanômetro G indicar zero volt. Para que isso ocorra, o valor de R deve ser igual a:

Resolução: Note que há dois resistores associados em paralelo. Assim, a resistência

equivalente é Req =2R ·R2R +R

=2R

3. Pela proposição anterior, temos:

(R + 60) · 150 = 300 ·Req ⇒ R + 60 = 2 · 2R3

Logo, R = 180 Ω.

78



Figura 3.38: Circuito modificado do exemplo 3.22.

Exemplo 3.22 Abrindo-se ou fechando-se a chave Ch do circuito na figura 3.37, não ocorrealteração na leitura do amperímetro ideal. Determine o valor da resistência x.

Resolução: O fato de a posição da chave Ch não interferir na leitura do amperímetroindica que no resistor R não passa corrente, e o circuito constitui uma ponte de Wheatstoneequilibrada conforme a figura 3.38. Desta forma, 8(x+ 1) = 16 · 3, isto é, x = 5 Ω.

3.8.1 Multímetro

Definição 3.18 Um multímetro ou multiteste é um aparelho destinado a medir e avaliargrandezas elétricas.

Existem modelos com mostrador analógico (de ponteiro) e modelos com mostrador digi-tal conforme a figura 3.39. O modelo com mostrador digital funciona convertendo a correnteelétrica em sinais digitais através de circuitos denominados conversores analogo-digitais.Esses circuitos comparam a corrente a medir com uma corrente interna gerada em incre-mentos fixos que vão sendo contados digitalmente até que se igualem, quando o resultadoentão é mostrado em números ou transferidos para um computador pessoal. Várias escalasdivisoras de tensão, corrente, resistência e outras são possíveis.

79


Figura 3.39: Multímetro digital.

O mostrador análógico funciona com base no galvanômetro, instrumento composto basi-camente por uma bobina elétrica montada em um anel em volta de um imã. O anel munidode eixo e ponteiro pode rotacionar sobre o imã. Uma pequena mola espiral - como asdos relógios - mantém o ponteiro no zero da escala. Uma corrente elétrica passando pelabobina, cria um campo magnético oposto ao do imã promovendo o giro do conjunto. Oponteiro desloca-se sobre uma escala calibrada em tensão, corrente, resistência etc. Umapequena faixa espelhada ao longo da escala curva do mostrador, ajuda a evitar o erro deparalaxe. Nos dois modelos, um sistema de chave mecânica ou eletrônica divide o sinal deentrada de maneira a adequar a escala e o tipo de medição.


1. O que é um circuito elétrico?

2. O que é um nó?

3. O que é um nó essencial?

4. O que é um ramo?

5. O que é um caminho?

6. O que é uma malha?

7. O que é um circuito misto?

8. O que é um dipolo?

9. Responda:

80


(a) o que é um circuito em série?

(b) o que é um circuito em paralelo?

(c) o que é um circuito misto?

10. Enuncie a lei das correntes de Kirchhoff.

11. Enuncie a lei das malhas de Kirchhoff.

12. O que é um resistor?

13. No circuito elétrico na figura 3.40, responda:

Figura 3.40: Circuito elétrico

(a) em que trecho estão presentes um indutor de 2 H e um resistor de 10 Ω?

(b) quais são os nós essenciais?

(c) quais são as malhas do circuito?

(d) indique dois caminhos abertos.

14. Qual a função dos resistores?

15. Dados dois resistores de resistência R1 e R2, mostre que:

(a) Req = R1 +R2 se eles estão associados em série;

(b) Req =R1R2

R1 +R2

se eles estão associados em paralelo.

16. Mostre que se os resistores R1, R2 e R3 estão conectados em paralelo, então

Req =R1R2R3

R1R2 +R1R3 +R2R3

17. O que é impedância? e qual a sua unidade de medida?

18. Qual nome é dado a parte real da impedância? e a parte imaginária?

81


19. Mostre que tanϕ =X

R.

20. Dado |Z| = 10 Ω e ϕ = 30, calcule:

(a) a resistência R;

(b) a reatância X;

(c) Sabendo que vmax = 6 V , calcule imax.

21. Dada a corrente I(t) = 100ej(50t+π/4) e a tensão V (t) = 300ej50t, determine:

a) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente;

b) O módulo da impedância, isto é, |Z|;c) O valor da resistência R;

d) O valor da reatância X;

e) O valor de Z.

22. Dê o significado dos seguintes parâmetros: L,ZL, XL, C, ZC e ZC .

23. A tensão no indutor de 4 mH é v(t) = 60 sin(500t− 65). Determine a corrente instan-tânea através dele.

24. A tensão complexa em um circuito elétrico contendo um capacitor de 2 mF é V (t) =20ej(200t+60). Determine a corrente real que flui neste circuito. Sugestão: Veja oexemplo 33.

25. Determine as correntes i1, i2 e i3 no circuito elétrico da figura 3.41.

Figura 3.41: Exercício 25 Figura 3.42: Exercício 26

26. Determine a corrente elétrica real que passa pelo trecho AB no circuito da figura 3.42.R: iAB = 4ej(10t45

)

27. Determine as correntes elétricas reais i1 (malha à esquerda) e i2 (malha à direita) nocircuito elétrico da figura 3.43.

82



28. Determine as correntes i1, i2 e i3 no circuito elétrico da figura 3.44.

29. No circuito elétrico puramente resistivo da figura 3.45 calcule as tensões Va e Vb. Emseguida, determine as correntes i1, i2, i3, i4 e i5. R: Va = 55/12 V e Vb = 145/7 V

Figura 3.45: Exercício 29

30. A tensão em um indutor de 4 H é v(t) = 6 sin(2t). Ache i(t) se i(π) = 0.

31. Um capacitor de 20 µF tem uma tensão máxima aplicada sobre ele de 200 V com umafrequência de 60 Hz. Se v(0) = 100 V , determine a corrente elétrica complexa quecircula sobre ele. R: I(t) = 0, 00151ej(377t+150)

32. Um circuito RL em série possui um resistor de 4 Ω e um indutor de 8 H. Sabendo quea tensão é v(t) = 10 sin(5t+ 60), determine a corrente i(t) que flui no circuito.R: i(t) = 0, 2487 sin(5t− 24, 29)

33. A tensão no circuito elétrico da figura 3.46 contendo um capacitor de 5 mF é V (t) =50ej(157t−30). Determine a corrente elétrica real que flui neste circuito.

83



34. Determine a corrente elétrica fasorial em um circuito contendo dois capacitores conec-tados em série de 0, 1 F e 0, 3 F sabendo que a tensão complexa é V (t) = 50ej(100t−100).

35. Determine a corrente elétrica complexa I(t) que flui em um circuito RC em série quepossui resistor de 40 Ω, um capacitor de 0, 01F e uma fonte V (t) = 6ej(10t−120).R: I(t) = 0, 1455ej(10t−108,69)

36. Determine a corrente real i(t) no circuito RC em série, sabendo que v(t) = 20ej(10t−40),

o resistor é de 2 Ω e o capacitor é de 40 mF . R: i(t) = − 8

199cos(10t− 40)

37. Determine a tensão real v(t) no circuito da figura 3.47. R: v(t) = 2 cos(8t− 53, 1)


38. Um indutor de 2 H, um resistor de 16 Ω e um capacitor de 0, 02 F são ligados em sériecom uma tensão v(t) = 100 V . Determine a carga Q(t) no regime permanente.R: Q(t) = 2 C

39. Em um circuito RLC em série, temos um resistor de 40 Ω, um indutor de 2 H e umcapacitor de 0, 025 F . Determine a corrente real i(t) se v(t) = 10 cos(2t− 10)R: i(t) = −0, 39 sin(2t− 78, 198)

40. Determine as correntes elétricas reais i1(t) e i2(t) no circuito elétrico da figura 3.48.

84


41. Ache a corrente elétrica real i2(t) no circuito elétrico da figura 3.49.


42. (Ufpe 2006) Uma bateria de força eletromotriz desconhecida e resistência interna de-sprezível, é ligada ao resistor R e a corrente medida no amperímetro é 3 A. Se umoutro resistor de 10 Ω for colocado em série com R, a corrente passa a ser 2 A. Qualo valor de ddp, em volts?

43. (Ufpe 2007) No circuito elétrico da figura 3.50, determine a leitura do amperímetroA, em ampéres, considerando que a bateria fornece 120 V e tem resistência internadesprezível.


44. No circuito elétrico da figura 3.51, a leitura do amperímetro A1 é 5 A. Sabendo queo voltímetro V é ideal calcule o valor da resistência R, leitura do amperímetro A e aleitura do voltímetro V .

85


45. Determine o valor da resistência R no circuito elétrico na figura 3.52 de modo que aleitura do amperímetro seja 1, 5 A.


46. Sabendo que E = 270 V , R1 = 20 Ω, R2 = R3 = 10 Ω e R = 50 Ω, determine as leiturasdos amperímetros A1 e A2 no circuito elétrico na figura 3.53.


86

Capítulo 4

Potência e Correção do Fator dePotência

Em diversos equipamentos elétricos, o maior interesse reside na potência na potência. Porexemplo, temos interesse na potência gerada por um alternador, na potência à entrada deum motor elétrico ou na potência de saída de um transmissor de rádio ou de televisão.

4.1 Valor Médio da Potência Elétrica

Um mesmo trabalho - por exemplo, extrair água de um poço - pode ser realizado por doismotores em condições muito distintas. Se um deles efetuar o trabalho em 5 minutos en-quanto o outro demora 1 hora, diremos naturalmente, que os dois motores são diferentes.No entanto, o trabalho realizado pelos dois motores é exatamente o mesmo. O que vai dis-tinguir um motor do outro é a sua capacidade para realizar o mesmo trabalho, conforme otempo que necessita. Diremos assim, que o primeiro motor é mais potente que o segundo.Para grandezas elétricas, a ideia é a mesma, e temos a seguinte definição:

Definição 4.1 Em sistemas elétricos, a potência instantânea desenvolvida por um disposi-tivo de dois terminais é o produto da diferença de potencial v(t) pela corrente i(t) que passaatravés do dispositivo.

P (t) = v(t) · i(t) (4.1)

onde v(t) é valor instantâneo da tensão real e i(t) é o valor instântaneo da corrente real.

Se i é dada em ampéres (A) e v em volts (V ), a potência instantânea P será dada em watts(w). A potência P pode tomar valores positivos e negativos, dependendo do instante quese considere. Um valor positivo de P indica uma transferência de energia da fonte para aestrutura, ao passo que o valor negativo de P corresponde a uma transferência de energiada estrutura para a fonte.

Um outro conceito importante é apresentado na definição a seguir:

87


Definição 4.2 Sejam i(t) = imax sin(ωt) e v(t) = vmax sin(ωt+ϕ). O valor médio da potênciaelétrica Pmed ou potência média é definida pela expressão

Pmed =1

T

∫ T

0

v(t)i(t)dt (4.2)

sendo T =2ω

π. O watt (W ) e o quilowatt (kW = 1000 W ) são unidades usadas para a

potência média.

A proposição a seguir é muito útil para calcular a potência média.

Proposição 4.1 Se i(t) = imax sin(ωt) e v(t) = vmax sin(ωt+ ϕ), então Pmed é igual ao semi-produto da amplitude da tensão, amplitude da corrente e pelo cosseno do ângulo de de-fasagem, isto é,

Pmed =vmaximax

2cosϕ (4.3)


Pmed =1

T

∫ T

0

imax sin(ωt) cos(ωt+ ϕ)dt =imaxvmax

2T

∫ T

0

sin(ωt) sin(ωt+ ϕ)dt (4.4)

Mas, cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b

de modo que2 sin a sin b = cos(a− b)− cos(a+ b) (4.5)

Substituindo (4.5) em (4.4), temos:

Pmed =imaxvmax

2T

∫ T

0

[cos(ωt− ωt− ϕ)− cos(ωt+ ωt+ ϕ)]dt

=imaxvmax

2T

∫ T

0

cosϕdt+imaxvmax

2Tcos(2ωt+ ϕ)dt

=imaxvmax

2cosϕ+

imaxvmax

4ωTsin(2ωt+ ϕ)

∣∣∣∣T0

=imaxvmax

2cosϕ+

imaxvmax

4ωT[sin(2ωT + ϕ)− sinϕ]

=imaxvmax

2cosϕ+

imaxvmax

4ωT[sin(4π + ϕ)− sinϕ] =

imaxvmax

2cosϕ

O termo cosϕ que aparece na expressão (4.3) chama-se fator de potência.

88


Exemplo 4.1 Sejam os sinais elétricos v(t) = vmax cos(50πt + 120) e i(t) = −30 cos(50πt−120) em um circuito elétrico. Sabendo que a potência média é 1200 w, determine a ampli-tude máxima da tensão elétrica.

Resolução: O primeiro passo é determinar o ângulo de fase entre os sinais elétricos epara isso, basta transformar o coeficiente negativo de i(t) em um coeficiente positivo.

i(t) = −30 cos(50πt− 120) = 30 cos(50πt+ 180 − 120) = 30 cos(50πt+ 60)

Desta forma, ϕ = |ϕ2 − ϕ1| = |120 − 60| = 60. Usando a expressão (4.3), temos:

1200 =vmax · 30

2cos 60 ⇒ vmax = 160 V

Exemplo 4.2 O valor médio da potência e o fator de potência de um motor elétrico são380 w e 0, 86 respectivamente. Sabendo que a corrente elétrica máxima é 20 A, calcule atensão eficaz.

Resolução: Sendo Pmed = 380 w e cosϕ = 0, 86, então da expressão da potência média,temos:

Pmed =vmaximax

2cosϕ ⇒ 380 =

vmax · 202

· 0, 86

de modo que vmax = 44, 19 V e consequentemente, vef = 0, 707 · 44, 19 = 31, 24 V .

Proposição 4.2 A potência instantânea dissipada em um circuito puramente resistivo édada por:

P (t) =v2max

Req

cos2(ωt+ ϕ)


P (t) = v(t) · i(t) = vmax cos(ωt+ ϕ) · vmax cos(ωt+ ϕ)/Req


Proposição 4.3 Se V (t) = vmaxej(ωt+ϕ) é a tensão complexa fornecida em um circuito pu-

ramente resistivo, então o valor médio da potência dissipada é dada por:

Pmed =v2max

2Req

=v2efReq

(4.6)

Demonstração: De fato, sejam t1 e t2 dois zeros da equação v(t) = cos(ωt + ϕ) = 0, demodo que t2 − t1 = T , onde T é o período da tensão v(t). Assim,

ωt1 + ϕ = −π

2e ωt2 + ϕ =

π

2(4.7)

89


Das expressões em (4.7), segue que t2 − t1 = πω. Assim,

Pmed =1

t2 − t1

∫ t2

t1

P (t)dt =1

π/ω

∫ t2

t1

v2max

Req

cos2(ωt+ ϕ)dt

=ωv2max

Reqπ

∫ t2

t1

1 + cos(2ωt+ 2ϕ)

2dt =

ωv2max

2Reqπ

[t+

1

2ωsin(2ωt+ 2ϕ)

]t2t1

=v2max

2Req

+v2max

4Reqπ[sin(2ωt1 + 2ϕ)− sin(2ωt1 + 2ϕ)] =

v2max

2Req

+v2max

4Reqπ[sin(−π)− sin(π)]

=v2max

2Req

Exemplo 4.3 Considere um circuito elétrico puramente resistivo composto pelos resistoresR1 = 12/5 Ω, R2 = 4 Ω e R3 = 3/2 Ω associados em paralelo com a tensão complexaV (t) = 12ej(157πt+45). Determine o valor médio da potência dissipada neste circuito.

Resolução: Neste circuito, a resistência equivalente satisfaz:1

Req

=1

R1

+1

R2

+1

R3

=5

12+

1

4+

2

3=

16

12

de modo que Req =12

16Ω e sendo vmax = 12 V segue que

Pmed =v2max

2Req

=122

2×1216

= 96 w

Proposição 4.4 A potência média dissipada em um circuito puramente capacitivo é nula.

Demonstração: Note que a potência instantânea dissipada é

P (t) = v(t)i(t) = Re[V(t)] · Im[I(t)] = vmax cos(ωt + α) · Cvmaxω cos(ωt + α− π

2)

= Cωv2max cos(ωt+ α) sin(ωt+ α) =1

2Cωv2max sin(2ωt+ 2α)

Sejam t1 e t2 dois zeros da equação v(t) = sin(2ωt+2α) = 0, de modo que t2− t1 = T , ondeT é o período da tensão v(t). Assim,

2ωt1 + 2α = 0 e 2ωt2 + 2α = 2π (4.8)

Das expressões em (4.8), segue que t2 − t1 =π

ω. Assim,

Pmed =1

t2 − t1

∫ t2

t1

P (t)dt =ω

π

∫ t2

t1

Cωv2max

2sin(2ωt+ 2α)dt

= −Cω2v2max

4ωπcos(2ωt+ 2α)

]t2t1

= −Cωv2max

4π[cos(2ωt2 + 2α)− cos(2ωt1 + 2α)]

= −Cωv2max

4π[cos(2π)− cos 0] = 0

90


Observação 4.1 Um procedimento análoga, prova que a potência dissipada em um indutortambém é zero.

4.2 Triângulo das Impedâncias, das Potênciase das Tensões

Definição 4.3 O produto vef ief chama-se potência aparente e representa-se pelo símboloN , isto é,

N = vef ief

A unidade de N é volt-ampére (V A) e o seu múltiplo mais usado é quilovolt-ampére (kV A) =1000 V A.

Definição 4.4 O produto vef ief sinϕ chama-se potência reativa e representa-se pelo sím-bolo Q, isto é,

Q = vef ief sinϕ

A unidade de Q é volt-ampére-reativo (V AR) e o seu múltiplo mais empregado é quilovolt-ampére-reativo (kV AR) = 1000 V AR.

Figura 4.1: Triângulo das impedâncias

Vimos no capítulo anterior que:

|Z| = vmax

imax

=vefief

, |Z|2 = R2 +X2, R = |Z| cosϕ, e X = |Z| sinϕ

de modo que podemos representar estas expressões em um triângulo retângulo conhecidopor triângulo das impedâncias conforme a figura 4.1.

Proposição 4.5 O quadrado da potência aparente é igual a soma dos quadrados da potên-cia média e da potência reativa, isto é,

N2 = P 2med +Q2

91


Demonstração: De fato, sendo

Pmed =vmaximax

2cosϕ =

vmax · imax√2 ·

√2

= vef ief cosϕ

Desta forma,

P 2med +Q2 = (vef ief cosϕ)

2 + (vef ief sinϕ)2 = v2ef i

2ef (cos

2 ϕ+ sin2 ϕ) = v2ef i2ef = N2

Figura 4.2: Triângulo das potências

Exemplo 4.4 Em um circuito elétrico, o fator de potência fp = 0, 92, a tensão máxima é20 V e a corrente elétrica é 15 A. Determine:

a) a potência aparente

b) a potência reativa

c) a potência média

Resolução: Sendo fp = cosϕ = 0, 92, então

sinϕ =√

1− cos2 ϕ =√1− 0, 922 = 0, 392

a) De fato,

N = vef ief =vmaximax

2=

20 · 152

= 150 V A

b) Q = N sinϕ = 150 · 0, 392 = 58, 8 V AR

c) Temos dois modos de calcular a potência média:

Pmed = N cosϕ = 150 · 0, 92 = 138 w

ouPmed =

√N2 −Q2 =

√1502 − 58, 82 = 138 w

92


Proposição 4.6 O triângulo das potências é semelhante ao triângulo das impedâncias e arazão de semelhança é igual ao quadrado da corrente eficaz, isto é,

N

|Z|=

Pmed

R=

Q

X= i2ef

Demonstração: De fato, Pmed = vef ief cosϕ e sendo vef = |Z|ief e cosϕ =R

|Z|, segue que

Pmed = (|Z|ief )iefR

|Z|= Ri2ef

Sendo cosϕ =Pmed

N, segue que

N =Pmed

cosϕ=

Ri2efR

|Z|

= |Z|i2ef

Sendo Q2 = N2 − P 2med, de i) e ii), segue que

Q2 = N2 − P 2med = |Z|2i4ef −R2i4ef = X2i4ef ⇒ Q = Xi2ef


Figura 4.3: Triângulo das tensões

Proposição 4.7 Se vR = Rief e vX = Xief , então:

i) v2ef = v2R + v2X

ii) tanϕ =vXvR


i) v2R + v2X = (Ri2ef )2 + (Xi2ef ) = (R2 +X2)i2ef = |Z|2i2ef = v2ef

93


ii) tanϕ =RiefXief

=vRvX

Na figura 4.3, temos o triângulo das tensões.

Exemplo 4.5 Dado um circuito de impedância Z = 3 + 4j e uma tensão aplicada V =100

√2 30 , determine o triângulo das potências.

Resolução: Note que Z = 5 53, 1 . O fasor corrente é

I =V

Z=

100√2 30

5 53, 1= 20

√2 −23, 1

Note que vef =vmax√

2=

100√2√

2= 100 V e ief =

imax√2

=20√2√2

= 20 A. Assim,

Pmed = Ri2ef = 3 · 202 = 1200 w

Q = Xi2ef = 4 · 202 = 1600 V AR atrasada

N = vef ief = 100 · 20 = 2000 V A

Figura 4.4: Triângulo das potências do exemplo 4.5.

Exemplo 4.6 Dado um circuito em que, aplicada a tensão v(t) = 150 sin(ωt+10), a correnteresultante é i(t) = 5 sin(ωt− 50), determine o triângulo das potências.

Resolução: Note que vmax = 150 V e imax = 5 A, de modo que vef =vmax√

2=

150√2

V e

ief =imax√

2=

5√2A. Assim,

N = vef ief =150√2· 5√

2= 375 V A

94



Sendo V = 150 10 e I = 5 −50 , então

Z =V

I=

150 10

5 −50= 30 60

de modo que |Z| = 30 e ϕ = 60, de modo que Pmed = N cosϕ = 375 cos 60 = 187, 5 w eQ = N sinϕ = 375 sin 60 = 324, 8 V AR. O triângulo das potências é apresentado na figura4.5.

Exemplo 4.7 Em um circuito elétrico, temos um resistor de 60 Ω associado em série comum indutor de 2 H. Sabendo que a tensão real é v(t) = 110 cos(10t+ 80), determine:

a) a impedância Z na forma fasorial;

b) a corrente elétrica eficaz ief ;

c) o fator de potência fp;

d) a potência aparente N ;

e) a potência reativa Q;

f) a potência média Pmed.


a) Sendo ZL = 10 · 2j = 20j, então

Z = ZR + ZL = 60 + 20j = 63, 24 18, 43

b) Pela lei de Ohm, V = ZI, então

110 80 = 63, 24 18, 43 I ⇒ I = 1, 74 61, 57

de modo que

ief =imax√

2=

1, 74√2

= 1, 23 A

95


c) Sendo fp = cosϕ, então

fp =R

|Z|=

60

63, 24= 0, 95

d) Sendo vef =vmax√

2=

110√2= 77, 78 V , de modo que

N = vef ief = 77, 78 · 1, 23 = 95, 67 V A

e Sendo ϕ = cos−1 0, 95 = 18, 19, então

Q = N sinϕ = 95, 67 · sin 18, 19 = 29, 86 V AR

f) A potência média é

Pmed = N cosϕ = 95, 67 · 0, 95 = 90, 89 w

4.3 Correção do Fator de Potência

Nas aplicações residenciais e industriais comuns, as cargas se apresentam indutivas e acorrente é atrasada em relação à tensão aplicada. A potência média Pmed, fornecida àcarga, é uma medida do trabalho útil por unidade de tempo que a carga pode executar.Essa potência, usualmente, é transmitida por intermédio de linhas de distribuição e trans-formadores.

Como um transformador, especificado em kV A, é, muitas vezes, utilizado à tensão fixa,os kV A são, simplesmente, uma indicação da corrente máxima permitida. Teoricamente,se uma carga indutiva ou capacitiva pura fosse a ele ligada, o transformador poderia serplenamente carregado e a potência média seria nula.

Com relação ao triângulo das potências, a hipotenusa N dá uma indicação da cargano sistema de distribuição, ao passo que o cateto Pmed mede a potência útil fornecida. É,portanto, desejável que N se aproxime o mais possível de Pmed, isto é, que o ângulo ϕ seaproxime de zero, ou seja, que o fator de potência cosϕ se aproxime da unidade.

No caso mais comum de uma carga indutiva é, quase sempre, possível aumentar ofator de potência colocando capacitores em paralelo com a carga. Observe-se que, como atensão nos terminais da carga permanece a mesma, a potência útil, Pmed, não varia. Comoo fator de potência é aumentado, a corrente e a potência aparente diminuem e obtém-seuma utilização mais eficiente do sistema de distribuição.

Exemplo 4.8 Corrigir para 0, 9 atrasado o fator de potência do circuito do Exemplo 4.5,acrescentando capacitores em paralelo. Achar N ′, após a correção, e os vários capacitoresnecessários.

Resolução: Partimos do triângulo das potências do exemplo 4.5. Como cosϕ = 0, 9, vemϕ = 26, de modo que

N ′ =Pmed

cosϕ=

1200

cos 26= 1335, 12 V A

96



eQ′ = N ′ sinϕ = 1335, 12 sin 26 = 585, 28 V AR

A potência reativa dos capacitores será Q − Q′ = 1600 − 585, 28 = 1014, 72 V AR. Como Ppermanece invariável, não muda também o trabalho, após a correção do fator de potência.O valor de N foi reduzido de 2000 para 1335, 12 V A conforme a figura 4.6.


Exemplo 4.9 Dado o circuito RLC em série da figura 4.7, determinar o triângulo das potên-cias.

Resolução: Note que Z = 3 + 6j − 2j = 3 + 4j = 5 53, 1 . Assim,

I =V

Z=

50√2 −90

5 53, 1= 10

√2 −143, 1

97


de modo que

imax = 10√2 ⇒ ief =

imax√2

=10√2√2

= 10 A

Por outro lado, R = 3 Ω e X = 4 Ω e sendo vef =50√2√2

= 50 V segue que N = vef ief =

50 · 10 = 500 V A e sendo Pmed = Ri2ef = 3 · 102 = 300 w, de modo que

Q =√N2 − P 2

med =√5002 − 3002 = 400 V AR atrasado

Na figura 4.8, temos o triângulo das potências.


4.4 Considerações Sobre o Fator de Potência

Os principais problemas que o baixo fator de potência é a sobrecarga no sistema, um menorrendimento das máquinas, desgaste das máquinas e sobretaxas no importe tarifário. Asprincipais causas do baixo fator de potência são:

• Motores de indução operando a vazio ou sobrecarregado;

• Transformadores de indução operando a vazio ou com pequenas cargas

• Lâmpadas de descargas;

• Grande quantidade de motores de pequena potência;

• Outros equipamentos: Fornos de arcos em operação, transformadores para solda;equipamentos eletrônicos, condicionadores de ar tipo janela.

Podemos corrigir o fator de potência através do aumento do consumo de energia ativa,do uso de máquinas síncronas ou usando bancos de capacitores.

98



1. Determine o valor médio da potência elétrica dos sinais elétricos abaixo:

(a) i(t) = − cos(5t− 20) e v(t) = −2 sin(5t+ 100)

(b) i(t) = 10 cos(4t− 60) e v(t) = 4 sin(4t+ 50)

(c) i(t) = 12 cos(2t) + 5 sin(2t) e v(t) = 15 cos(2t− 45)

2. A corrente elétrica através de um resistor de 100 Ω a ser usado num circuito é de 0, 2 A.Calcule a potência dissipada pelo resistor. R: 4 w

3. Que tensão deve ser aplicada a um aquecedor de 600 w, para que solicite uma cor-rente de 12 A. R: 50 V

4. Quantos quilowatts de potência são liberados em um circuito por um gerador de 240 V ,que fornece 20 A ao circuito. R: 4800 w

Figura 4.9: Circuito elétrico puramente resisitivo

5. Considere o circuito puramente resistivo na figura 4.9. Se a potência instantâneadissipada é P (t) = 100 cos2(20t+ 60), calcule a tensão máxima. R: vmax = 40V

6. Defina e dê as unidades de medida das grandezas elétricas abaixo.

(a) potência aparente

(b) potência reativa

7. Mostre que:

(a) Pmed = vef ief cosϕ

(b) tanϕ =Q

Pmed

8. Mostre que a potência elétrica média dissipada em um circuito puramente resistivo é

dada por Pmed =v2efReq

.

99


9. Em um circuito elétrico, temos um resistor de 12 Ω associado em série com um capac-itor de 2 mF . Sabendo que a tensão real é v(t) = 65 cos(100t+ 40), determine:

(a) a impedância Z;

(b) a corrente elétrica eficaz ief ;

(c) o fator de potência fp;

(d) a potência aparente N ;

(e) a potência reativa Q;

(f) a potência média Pmed.

10. Sejam os sinais elétricos v(t) = −40 cos(30πt − 65) e i(t) = −imax cos(30πt − 135)em um circuito elétrico. Sabendo que o valor médio da potência elétrica é 900 w,determine a amplitude da corrente elétrica. R: imax = 131 A

Figura 4.10: Triângulo das potências do exercício 13.

11. Mostre que o quadrado da potência média é igual a diferença entre os quadrados dapotência aparente e a potência reativa, isto é, P 2

med = N2 −X2.

12. Dado um circuito elétrico de impedâncias Z = 5 + 12j e uma tensão aplicada V =65√2 60 , determine o triângulo das potências.

13. Dado o circuito RLC em série da figura 4.10, determinar o triângulo das potências.

14. Dado um circuito em que, aplicada a tensão v(t) = 60 sin(40t + 20), a corrente resul-tante é i(t) = 12 sin(40t− 80), determinar o triângulo das potências.

15. Dado um circuito elétrico de impedâncias Z = 3 + 4j e uma tensão aplicada V =65√2 60 , corrigir para 0, 9 o fator de potência, acrescentando capacitores em par-

alelo. Achar N ′, após a correção, e os vários capacitores necessários.

100

Capítulo 5

Transformadores

Figura 5.1: Transformador elevador de tensão.

5.1 Introdução

Os primeiros sistemas comerciais de fornecimento de energia elétrica foram construídosbasicamente para alimentar circuitos de iluminação, e funcionavam com corrente contínua.Como as tensões de fornecimento eram baixas (da ordem de 120 V ), altas correntes eramnecessárias para suprir grandes quantidades de potência e, assim, as perdas de potênciaativa na transmissão (proporcionais ao quadrado da corrente), bem como as quedas detensão, eram muito grandes.

A posterior utilização de corrente alternada na geração, transmissão e distribuição deenergia elétrica resultou em grande avanço na operação eficiente dos sistemas elétricos. Osgeradores elétricos, que fornecem tensões relativamente baixas (da ordem de 15 a 25 kV ),são ligados a transformadores, equipamentos eletromagnéticos que transformam um nívelde tensão em outro.

101


5.2 Considerações Gerais Sobre Transformadores

Definição 5.1 Um transformador ou trafo é uma máquina estática, sem peça em movi-mento, cuja finalidade é a de transmitir por meio de um campo magnético alternado, en-ergia elétrica de um circuito para outro sem ligação ligação direta, com o nível de tensãodesejado, sem alterar a frequência.

Os transformadores é um equipamento utilizado em diversas aplicações e está presenteem praticamente todos os ramos de atividade dos diferentes setores da economia moderna.Dentre as principais aplicações, pode-se citar a transferência de energia de um circuitoelétrico a outro com o ajuste do nível de tensão, o acoplamento entre sistemas elétricos,objetivando o casamento de impedância e isolação e a eliminação de corrente CC entredois ou mais circuitos.

Quando o transformador recebe energia e a transfere num valor superior, dizemos que otransformador é elevador. Quando o transformador recebe energia e a transfere num valorinferior dizemos que o transformador é abaixador.

Figura 5.2: Transformador monofásico.

Definição 5.2 Um transformador monofásico é constituído por dois enrolamentos em fio decobre isolado, colocados no mesmo circuito magnético isolado. Primário é o enrolamentoem que aplicamos a tensão que desejamos transformar, enquanto que o secundário é oenrolamento onde obtemos a tensão desejada.

O transformador que você usa em casa, é um transformador monofásico, ele transformatanto 127 V em 220 V como 220 V em 127 V .

Teoricamente, um transformador tem de transferir toda a potência do primário para osecundário. Na prática, observa-se certa perda de potência nessa transferência ocasionadapor diversos motivos, como a resistência do fio e correntes pelo núcleo chamadas correntesde Foucault, etc. Desta forma, os núcleos dos transformadores devem ser feitos de chapas

102


Figura 5.3: Símbolos de transformadores.

de ferro silício, não servindo para o mesmo fim, ferro doce ou outro ferro comum, assimcomo também não é possível um núcleo de ferro maciço.

Na figura 5.3 apresentamos os símbolos de transformadores e suas respectivas apli-cações:

i) Transformador com núcleo de ferro. Utilizado em fontes convencionais para a isolaçãode circuitos e para se ter a tensão desejada.

ii) Transformador com núcleo de ferro com dois enrolamentos primários. Utilizado quandohá a necessidade da aplicação de diferentes tensões em seu primário, como 127 ou220 V .

iii) Transformador com núcleo de ferro com dois enrolamentos secundários. Empregadoquando são necessárias duas tensões de saída.

5.3 Relação Entre Tensão, Corrente e Númerode Espiras em um Transformador Monofásico

Figura 5.4: Esquema de um transformador monofásico.

Para determinada tensão variável aplicada no primário do transformador teremos umatensão induzida no secundário. Na figura 5.4, temos um esquema de um transformadorideal monofásico em que:

103


• V1 é a tensão no primário

• V2 é a tensão no secundário

• I1 é a corrente no primário

• I2 é a corrente no secundário

• N1 é o número de espiras do primário

• N2 é o número de espiras do secundário

Definição 5.3 Chama-se relação de espiras denotada por RE a razão a tensão de entradaV1 e a tensão de saída V2, isto é,

RE =V1

V2

(5.1)

Proposição 5.1 A relação de espiras em um transformador ideal que passa uma correnteelétrica de intensidade I1 no primário de N1 espiras e que passa uma corrente elétrica I2 nosecundário de N2 espiras é

RE =N1

N2

=I2I1

Demonstração: Em um transformador ideal não há perda de potência, de modo que

P = V1I1 = V2I2 ⇒ V1

V2

=I2I1, isto é, RE =

I2I1

Do fato que V1 = N1dϕ

dte V2 = N2

dϕ

dt, segue que RE =

N1

N2

.

Exemplo 5.1 Determine o número de espiras do primário de um transformador ideal com180 espiras no secundário e uma relação de tensão 120/12 V .

Resolução: Sendo V1 = 120 V e V2 = 12 V , então

RE =V1

V2

=120

12=

1

10

e do fato que N2 = 180 espiras segue que

RE =N1

N2

⇒ 10 =N1

180⇒ N1 = 1800 espiras

Exemplo 5.2 Para uma carga de 720 w, determine as correntes nos enrolamentos de umtransformador ideal cuja tensão de entrada é V1 = 240 V e a relação de espiras é RE = 0, 2.

104


Resolução: Sendo P1 = P2 = 720 w e P1 = V1I1 segue que

720 = 240I1 ⇒ I1 = 3 A

Mas, RE =I2I1

, de modo que

0, 2 =I23

⇒ I2 = 0, 6 A

Exemplo 5.3 Obtenha o valor da corrente proveniente da fonte no circuito elétrico na figura5.5.

Figura 5.5: Circuito elétrico com um transformador.

Resolução: A relação de espiras é RE =V1

V2

=220

110= 2. Sendo

V2 = Z2I2 ⇒ 110 = 300I2 ⇒ I2 = 0, 367 A

e consequentemente, I1 =I2RE

=0, 367

2= 0, 1835 A.

Proposição 5.2 Sejam Z1, Z2, N1 e N2 as impedâncias e o número de espiras do primárioe secundário de um transformador ideal. Então:

Z1

Z2

= RE2 (5.2)

Demonstração: De fato, sendo V1 = RE · V2 e I1 =I2RE

, segue que

Z1 =V1

I1=

RE · V2

I2/RE= RE2 · V2

I2= RE2Z2


Exemplo 5.4 Determine a impedância do primário do transformador do Exemplo 5.3.

Resolução: De fato, sendo RE = 2 e Z2 = 300 Ω, então

Z1 = 22 · 300 = 1200 Ω = 1, 2 kΩ

105


5.4 Transformador Real

Para um transformador real, temos algumas características que não são previstas no mod-elo do transformador ideal apresentado anteriormente. Algumas exemplos das diferençasentre o transformador real e o ideal são apresentadas abaixo:

• Quando é aplicada uma tensão no primário do transformador ideal, induz-se umatensão no secundário, e este não está conectado a uma carga, ou seja, está em vazio(secundário aberto), obviamente não há corrente circulando no secundário.

Como a relação entre as correntes do primário e do secundário é dada simplesmentepela relação de espiras, conclui-se que a corrente no primário também deveria sernula. No entanto, para as mesmas condições, observa-se o aparecimento de umacorrente no primário do transformador real. De fato, o enrolamento primário de umtransformador real é uma bobina que, portanto, apresenta uma impedância. Logo,deve haver uma corrente no primário, devido à aplicação da tensão, mesmo com osecundário em vazio.

• A tensão no secundário do transformador real diminui com o aumento da carga (au-mento da corrente no secundário), mesmo que a tensão no primário seja mantidaconstante, indicando que a relação entre as tensões no primário e no secundário nãoé constante, mas varia de acordo com a carga e, portanto, difere da relação de espiras.

• Tanto os enrolamentos como o núcleo do transformador real apresentam aquecimentoquando em operação contínua. Isso demonstra que parte da potência de entradado transformador é disssipada no próprio equipamento, o que não é previsto pelomodelo do transformador ideal. Em outras palavras, o transformador real apresentauma eficiência menor que 100%, e a potência de saída (entregue à carga) é menor quea potência de entrada (fornecida pela fonte). Desta forma, é necessária a obtençãode um modelo apropriado para a análise de um transformador real, que leve em contatodos os fenômenos físicos envolvidos na sua operação.

As principais características que diferenciam o transformador real do transformador idealsão:

a) a permeabilidade magnética do núcleo não é infinita e, portanto, a corrente necessáriapara estabelecer um fluxo magnético no núcleo não é desprezível;

b) o fluxo magnético não fica totalmente confinado no núcleo, existindo um fluxo disperso,que não contribui para a indução de tensão no secundário;

c) as bobinas têm resistência, o que implica perdas ôhmicas (perdas de potência ativa)nos enrolamentos;

d) o fluxo magnético variável no núcleo provoca perdas por histerese e por correntesparasitas.

106


5.5 Autotransformador

Definição 5.4 O autotransformador é um transformador monofásico ideal em que há umaconexão elétrica entre os lados de alta e baixa tensão.

Portanto, um autotransformador pode ser utilizado somente quando não é necessário oisolamento elétrico entre os dois enrolamentos. No entanto, ele apresenta algumas vanta-gens com relação à potência transmitida e à eficiência.

Um transformador monofásico com relação de espiras N1/N2 é apresentado na figura5.6 juntamente com um autotransformador monofásico.

Figura 5.6: Transformador monofásico e autotransformador.

Deve-se notar que as tensões e correntes em cada enrolamento não mudam nos doiscasos. Para o transformador (1), temos:

P1 = V1I1 e P2 = V2I2

e sendo ideal o transformador, então P1 = P2 = PT . A grandeza PT corresponde à potênciacomplexa nominal do transformador.

Proposição 5.3 A ligação de um transformador monofásico ideal em autotransformadoramplia a capacidade de transferência da potência da fonte para a carga, de um fator de1 +RE, isto é,

Ps = (1 +RE)P2 (5.3)

Demonstração: De fato, a potência de entrada no autotransformador é:

Pe = V1(I1 + I2) = V1I1 + V1I2 ⇒ V1I2 = Pe − V1I1 (5.4)

A potência de saída é dada por:

Ps = (V1 + V2)I2 = V1I2 + V2I2 (5.5)

Substituindo (5.4) em (5.5), temos

Ps = Pe − V1I1 + V2I2 = Pe − P1 + P2 = Pe

107


Percebe-se que a transferência de potência entre os dois lados do autotransformador semantém como no caso do transformador ideal. Sendo V1 = V2RE, então

Ps = (V1 + V2)I2 = (V2RE + V2)I2 = (1 +RE)V2I2 = (1 +RE)P2

Observe que a potência de saída pode ser decomposta em duas componentes:

• P2 que é a potência transmitida pelos campos magnéticos (efeito transformador).

• REP2 que é a potência transmitida eletricamente, devido à conexão elétrica dos enro-lamentos, pois RE = N1/N2.

Exemplo 5.5 Em um autotransformador, a potência P2 = 400 w e a potência de saída é450 w. Se o enrolamento primário possui 90 espiras, determine o número de espiras doenrolamento secundário.

Resolução: Sendo RE =N1

N2

, então

Ps =

(N1

N2

+ 1

)P2 ⇒ 450 =

(90

N2

+ 1

)400 ⇒ N2 = 720

Definição 5.5 A eficiência de um autotransformador denotada por η é a razão entre entrea potência de saída e a potência de entrada, isto é,

ηA =Ps

Pe

=Pe − Pperdas

Pe

= 1− Pperdas

Pe

e a a eficiência de um transformador real é definida por:

ηT =P2

P1

= 1− Pperdas

P1

Note que a eficiência de um autotransformador ou transformador real nunca é igual a 1devido ao fato que Pperdas > 0.

Exemplo 5.6 A eficiência de um transformador real é 80%. Sabendo que a potência deentrada é 200 w, determine a potência relativa as perdas.

Resolução: Sendo 1− ηT = Pperdas/P1, então

1− 0, 8 =Pperdas

200⇒ Pperdas = 40 w

Proposição 5.4 O autotransformador é mais eficiente que um transformador monofásicoreal.

108


Demonstração: De fato, se os enrolamentos são os mesmos e o núcleo é o mesmo,então as perdas são as mesmas nos dois casos. Como, para um autotransformador Pe =P1 + V1I2 > P1, então

1

Pe

<1

P1

⇒ −Pperdas

Pe

> −Pperdas

P1

⇒ 1− Pperdas

Pe

> 1− Pperdas

P1

isto é, ηA > ηT.

Definição 5.6 A relação de transferência em um autotransformador, denotada por RT é arazão entre a tensão na fonte e a tensão na carga, isto é,

RT =V1

V2

(5.6)


1. O que é um transformador?

2. O que é um transformador monofásico?

3. Cite dois motivos para a perda de potência de um transformador.

4. Explique os símbolos de trafos na figura abaixo:

5. Por que um transformador real em que o secundário não está conectado a uma carga(secundário aberto), circula uma corrente elétrica no primário?

6. Qual o motivo da relação entre as tensões no primário e no secundário de um trans-formador real ser variável?

7. Por que é necessária a obtenção de um modelo apropriado para a análise de umtransformador real, que leve em conta todos os fenômenos físicos envolvidos na suaoperação?

109


8. Quais as vantagens que um autotransformador apresenta em relação ao transfor-mador monofásico?

9. Determine o número de espiras do primário de um transformador ideal com 360 espirasno secundário e uma relação de tensão 120/6 V .

10. Para uma carga de 600 w, determine as correntes nos enrolamentos do exercícioanterior.

11. Obtenha o valor da corrente proveniente da fonte no circuito elétrico abaixo.

12. Se Z1 e Z2 são as impedâncias no primário e seucundário de um transformador,

mostre queZ2

Z1

=

(N2

N1

)2

=1

RE2, onde N1 e N2 são os números de espiras dos

enrolamentos primários e secundários respectivamente.

13. Considere um transformador ideal com impedância no enrolamento primário igual aZ1 = 10 Ω e impedância no enrolamento secundário igual a 120 Ω.

(a) Determine o número de espiras no enrolamento secundário sabendo que N1 = 60espiras.

(b) Sabendo a tensão no enrolamento secundário é 100 V , determine a tensão noenrolamento primário.

(c) Determine a relação de espiras.

(d) Sabendo que a corrente elétrica no enrolamento primário é 12 A, determine acorrente elétrica no enrolamento secundário.

(e) Calcule a potência do transformador.

14. Um gerador fornece 100 V à bobina primária de um transformador de 50 voltas. Se abobina secundária tiver 500 voltas, qual será a tensão no secundário?

15. O que caracteriza um autotransformador?

16. Por que a transferência de potência entre os dois lados de um autransformador semantém como no caso de um transformador ideal?

110


17. Considere um autotransformador com as seguintes características:

• A tensão no enrolamento primário é 380 V

• O número de espiras no enrolamento primário é 120

• O número de espiras no enrolamento secundário é 480

• A corrente elétrica no enrolamento secundário é 6 A

Calcule:

(a) A corrente elétrica no enrolamento primário

(b) A potência elétrica de entrada

(c) A potência elétrica de saída

(d) A tensão no enrolamento secundário

18. Os enrolamentos de um transformador ideal de potência P = 40 w foram conectadosde modo a transformá-lo em um autotransformador 110/12 V . Determine:

(a) A potência elétrica de saída do autotransformador;

(b) A corrente elétrica no enrolamento secundário;

(c) A corrente elétrica no enrolamento primário;

(d) A eficiência do autotransformador.

19. Mostre que1− ηT1− ηA

=Pe

P1

Figura 5.7: Transformador com três terminais.

20. Em um autotransformador, a potência P2 = 900 w e a potência de saída é 1500 w. Seo enrolamento primário possui 50 espiras, determine o número de espiras do enrola-mento secundário.

111


21. A figura 5.7 mostra um autotransformador. Ele é formado por uma única bobina (comnúcleo de ferro). São fornecidas três derivações Ti. Entre as derivações T1 e T2

existem 200 voltas, entre as derivações T2 e T3 existem 800 voltas. Quaisquer duasderivações podem ser consideradas os "terminais do primário" e quaisquer outrasduas derivações podem ser consideradas os "terminais do secundário". Relacionetodas as razões nas quais a tensão no primário pode ser modificada para uma tensãono secundário.

112

Capítulo 6

Motores e Geradores

6.1 Introdução

Na natureza a energia se encontra distribuída sob diversas formas, tanto energia mecânica,térmica, luminosa e outras formas; no entanto a energia mecânica é a mais conhecida formade energia e na qual o homem tem mais domínio. A energia mecânica, tal como ela estádisponível na natureza é de difícil utilização prática, além de ser uma energia variável notempo. Então, converte-se a energia mecânica em energia elétrica através das máquinaselétricas conhecidas como geradores . A energia elétrica pode ser reconvertida em energiatérmica, luminosa, eletromagnética, e também em energia mecânica e quem efetua estaúltima transformação são as máquinas elétricas conhecidas como motores. Desse modo,o motor é um elemento de trabalho que converte energia elétrica em energia mecânicade rotação. Já o gerador é uma máquina que converte energia mecânica de rotação emenergia elétrica.

6.2 Conceitos Preliminares

O campo magnético em torno de um elétron forma linhas fechadas, a combinação doscampos dos elétrons resulta numa série de linhas em torno do fio. O sentido do campomagnético depende do sentido da corrente; uma bússola se movendo nas proximidades dofio terá sua agulha orientada no sentido das linhas de fluxo. A regra da mão direita podeser usada para determinar o sentido do campo magnético. Conforme a figura 6.1, se vocêenvolver o fio com a mão direita, com o polegar apontando no sentido do fluxo de correntedos elétrons, os outros dedos apontarão no sentido do campo magnético.

Quanto maior a corrente através de um fio condutor, mais intenso será o campo mag-nético criado por ela. Da mesma forma que o campo magnético de um imã, as linhas seconcentram próximas ao fio condutor e a distância entre elas aumenta à medida que nosafastarmos do fio. Portanto, o campo é maior nas proximidades do condutor e diminui como aumento da distância. Se um fio condutor é enrolado de modo a formar uma espira, oscampos magnéticos em torno do fio serão dispostos de tal forma que as linhas de fluxo en-

113


Figura 6.1: Regra mão direita para determinar o sentido do campo magnético.

tram na espira por um lado e saem pelo outro. As linhas de fluxo se concentram no centroda espira, criando um intenso campo, produzindo pólos magnéticos com o norte no lado emque as linhas saem da espira e sul no lado em que elas entram.

Quando várias espirais são enroladas no mesmo sentido para formar uma bobina, háum número maior de campos contribuindo para aumentar a densidade de linhas atravésdesta. O campo magnético, então, se torna mais intenso. Quanto maior o número deespiras, maior a intensidade de campo. Se as espiras forem comprimidas entre si, a somados campos aumenta ainda mais, produzindo um forte eletroímã. Conforme a figura 6.2,uma bobina enrolada em forma helicoidal, produz um campo magnético mais intenso, talbobina é chamada solenóide. As linhas de fluxo num solenóide se comportam como numimã; elas partem do pólo N , e entram no S. Uma barra de ferro colocada nas proximidadesde um extremo do solenóide será atraída para o interior deste.

Figura 6.2: Bobina enrolada em forma helicoidal (solenóide).

114


6.3 Motor Síncrono


115

Índice Remissivo

ângulo de fase entre dois sinais, 19

ampére, 16amperímetro, 71amplitude, 17análise de malha, 69análise nodal, 67autotransformador, 107

caminho, 42capacitância, 56capacitor, 56carga elétrica, 16Charles Wheatstone, 77circuito

misto, 43circuitoa

puramente indutivos, 51circuitos

puramente capacitivos, 56circuitos mistos, 66coloumb, 16corrente alternada, 12, 15, 16

senoidal, 24corrente elétrica, 16corrente elétrica real, 16corrente real, 16

dielétrico, 56diferença de potencial, 16dipolo, 42dipolos elétricos, 46distribuição da energia elétrica, 11

efeito corona, 11efeito fotovoltaico, 8efeito Joule, 47

eletriciadeatravés de reações químicas, 6

eletricidadeatravés de pressão, 7através do atrito, 6através do calor, 8através do luz, 8através do magnetismo, 8estática, 6

energiahidrelétrica, 9nuclear, 9termelétrica, 9

energia elétricano Brasil, 9

fasorargumento, 31forma polar, 31módulo, 31divisão na forma retangular, 31

fasores, 28fator de potência, 87, 88, 98

correção, 96frequência, 15, 16

galvanômetro, 71gerador elétrico, 16, 113grandeza senoidal

posições relativas, 19grandezas elétricas em fase, 19grandezas elétricas em oposição, 20grandezas elétricas em quadraturas, 19

horário de pico, 12

identidade de Euler, 33

116


impedância, 44indutor, 52

J. Westinghouse, 15

lei das malhas, 44lei de Faraday, 54lei de Ohm, 36lei dos nós, 44linhas de transmissão, 10

malha, 42motor

síncrono, 115multímetro, 79

nó, 42essencial, 42

número complexoargumento, 29conjugado, 29módulo, 29parte imaginária, 29parte real, 29

Nikola Tesla, 15notação fasorial, 34

ohmímetro, 77

período, 16ponte de wheatstone, 77potência aparente, 91potência média, 88potência reativa, 91primário, 102produção de energia elétrica, 6

ramo, 42reatância, 45resistência, 45

secundário, 102shunt, 72sistema

interligado nacional, 13solenóide, 114subestão retificadora, 11

transformador, 102abaixador de tensão, 102elevador de tensão, 102monofásico, 102

transformador real, 106transformadores, 12, 101triângulo das impedâncias, 91triângulo das potências, 93triângulo das tensões, 94

unidade imaginária, 29

valor eficazda corrente alternada, 25da tensão alternada, 25

valor médioda corrente alternada, 24da potência elétrica, 87da tensão alternada, 25

voltímetro, 75voltagem elétrica, 15voltagem real, 16

117

Referências Bibliográficas

[1] H. Creder. Instalações Elétricas. Livros Técnicos e Científicos, 2007.

[2] H. L. Fragnito. Circuitos de Corrente Alternada - Notas de Física Experimental. Uni-camp, 2000.

[3] M. V. Guedes. Corrente Alternada: Sistemas Polifásicos. Núcleo de Estudos deMáquinas Eléctricas. Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Portugal,1993.

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