Capítulo 6

6.1 - Propriedades das Seções Planas

6.1.1 Introdução

Para a determinação do comportamento de um determinado corpo sólido, é importante

que se conheçam características relacionadas à geometria e ao material do elemento

analisado. A partir destas propriedades fundamentais, é possível a avaliação da

resistência do mesmo, permitindo assim a previsão de seu comportamento sob

determinada situação de serviço.

As propriedades aqui tratadas serão o centro de gravidade, o momento estático, o

momento de inércia.

6.1.2. Centro de gravidade de uma seção plana

Define-se como centro de gravidade de um corpo o ponto localizado no corpo ou fora

dele, sobre o qual podemos aplicar a resultante da força peso no corpo sem alterarmos a

sua condição de equilíbrio.

Para uma seção plana, podemos imaginar que o centro de gravidade é o ponto do corpo

pelo qual o mesmo pode ser “pendurado” e permanecerá em equilíbrio. Assim, para um

retângulo, este ponto será o encontro entre as duas diagonais, por exemplo.

Seja o corpo apresentado na figura 6.1. Observa-se que o peso é distribuído por toda a

área deste corpo na figura 6.1 (a). Porém, na figura 6.1 (b) é observa-se que o peso total

do corpo ( ) é aplicado a um único ponto: o centro de gravidade. Esta alteração

não implica em mudança do equilíbrio do corpo.

Figura 6.1. Centro de gravidade.

a) Determinação do centro de gravidade

Seja o corpo e o referencial xOy apresentado na figura 6.2. Chamamos e as

coordenadas do centro de gravidade que desejamos encontrar.

Figura 6.2. Configuração do problema.

Vamos então calcular a coordenada . Vamos supor a área da figura 6.2 dividida em n

fatias de pequena espessura. Cada uma das fatias tem um peso pn. A soma de todos os pn

nos dará o peso resultante P, que, conforme vimos, pode ser aplicado ao centro de

gravidade, conforme apresenta a figura 6.3.

Figura 6.3. Divisão do corpo em faixas de pequena espessura.

Aplicando o Teorema de Varignon temos:

P

xPX

xPXP

xPxPxPxPXP

n

nn

n

inn

nn

1

332211 ...

Procedimento análogo nos permite concluir que .

Sabemos, porém que P = V. Então, . Sabemos também que

para um elemento plano V = A.e, sendo A a área e e a espessura do corpo. Substituindo

e cancelando as espessuras, conclui-se que, para um corpo plano, o centro de gravidade

pode ser determinado pelas equações abaixo:

Observa-se que se um corpo plano possuir um eixo de simetria, o centro de gravidade

estará sobre ele. Caso a figura possua mais de um eixo de simetria, o centro de

gravidade estará no ponto de encontro dos mesmos, conforme mostra a figura 6.4.

C G C G

Figura 6.4. Eixos de simetria.

b) Determinação do centro de gravidade de algumas figuras planas

1– Retângulo 3 – Círculo

2 – Triângulo retângulo 4 – Meio círculo

5 – Triângulo isósceles

6 – Quarto de círculo

c) Centro de gravidade de figuras compostas

Quando uma figura pode ser dividida em figuras cujos centros de gravidade são

conhecidos, a partir da aplicação do Teorema de Varignon, pode-se determinar o centro

de gravidade da figura com a sua decomposição e calcular o seu centro de gravidade

com as seguintes expressões:

Onde:

Ai = área da i-ésima figura;

xi e yi = coordenadas do centro de gravidade da i-ésima figura.

d) Exemplo

Determinar a posição do centro de gravidade da figura abaixo (dimensões em mm):

Vamos dividir a figura em três retângulos, conforme mostrado na figura abaixo:

A princípio iremos determinar as áreas dos três retângulos mostrados na figura:

23

22

21

200010020

320016020

200010020

mmA

mmA

mmA

Agora, vamos determinar as abscissas dos centros de gravidade das três partes. Como se

tratam de retângulos, sabemos que ele se encontra sempre na metade das dimensões dos

lados.

Vamos fazer o mesmo para as ordenadas. Precisamos ter em mente o referencial xOy

adotado.

Já temos todos os dados para calcular as coordenadas do Centro de Gravidade:

6.1.3. Momento estático de uma área plana

a) Conceito

Define-se momento estático de uma seção plana em relação a um eixo contido neste

plano como a soma dos produtos da multiplicação de cada elemento de área pela

distância de seu centro de gravidade.

Figura 6.5. Exemplo de momento estático.

Seja a seção plana e o sistema cartesiano apresentados na figura 6.5. Observa-se na

figura uma área infinitesimal dA, de modo que a área total da figura é igual à soma de

todos os dA. Assim:

dAA

Definem-se os momentos estáticos da área em relação aos eixos x e y, denominados

respectivamente Qx e Qy, como:

O momento estático de uma área é também chamado momento de primeira ordem de

uma seção. Sua unidade será:

[Q] = [L] x [A] = [L]3, ou seja, m3, mm3, cm3, etc.

Observação:

Sabemos as expressões para os cálculos do centro de gravidade de uma seção:

Observa-se que e . Logo, podemos determinar o

centro de gravidade uma área se soubermos seu momento estático e sua área, conforme

segue:

b) Exemplo

Calcular o momento estático de um retângulo em relação ao eixo que passa pela sua

base. O retângulo possui lados de dimensão b e h.

x

h

b

h / 2

C G

Cálculo da área:

Coordenada do CG:

Momento estático: 2

.2

.2bhbhhAyydAQ

Pode-se verificar que o momento estático em relação a um eixo que passa pelo CG é

nulo.

6.1.3. Momento de Inércia de uma área plana

a) Conceito

O momento de inércia de uma área plana, simbolizado por I, em relação a um

determinado eixo, é definido como a soma dos produtos entre a área e o quadrado da

distância entre o centro de gravidade desta área e o eixo em questão. Seja a figura 6.5

acima. Para a mesma disposição dos eixos, temos:

O momento de inércia de uma área é também chamado momento de segunda ordem de

uma seção. Sua unidade será:

[Q] = [L2] x [A] = [L]4, ou seja, m4, mm4, cm4, etc.

O momento de inércia de uma área é uma grandeza puramente matemática, e como tal

não tem significado físico. A sua definição advém da resolução de uma série de

problemas em que aparecem somatórios como estes. Para algumas figuras geométricas

simples, os momentos de inércia são pré-determinados e tabelados, conforme mostrado

abaixo.

Figura Ix Iy

b) Exemplo

Calcular o momento de inércia de um retângulo de base 20 cm e altura 40 cm, em

relação aos seus eixos baricêntricos.

Primeiramente, devemos determinar o momento de inércia em relação ao eixo x. Neste

caso, temos:

Desta forma, o momento de inércia na direção x será:

Agora, vamos calcular em relação ao eixo y. Neste caso, temos:

Isto acontece porque a altura relativa ao eixo y é igual à base em relação ao eixo x.

Assim:

Observa-se que quando se aumenta a altura da seção o momento de inércia apresenta

grande variação. Isto se dá porque ele varia cubicamente com a altura. Por isto, é

comum a utilização de vigas com a altura maior que a base, pois o momento de inércia

está diretamente relacionado com a resistência à flexão da peça.

O eixo x é então chamado eixo de maior inércia da seção, enquanto o eixo y é chamado

eixo de menor inércia.

c) Figuras compostas

Assim como no caso do centro de gravidade, para a determinação do momento de

inércia de figuras compostas, basta dividi-la e determinar o momento de inércia de cada

parte da seção.

d) Exemplo

Determine o momento de inércia em relação aos eixos baricêntricos da seção abaixo.

Como a figura possui dois eixos de simetria, sabemos que seu CG se encontra a 10 cm

da borda esquerda e a 20 cm da base do mesmo, assim, podemos dividi-la em três

retângulos, conforme mostrado abaixo:

Vamos primeiramente determinar as áreas. Temos:

Vamos determinar o momento de inércia em relação a x. Temos, para cada um dos

retângulos:

Observamos que o centro de gravidade do retângulo 2 coincide com o centro de

gravidade da seção toda. Porém, nos outros casos, teremos que aplicar o teorema dos

eixos paralelos. Assim:

Agora determinemos o momento de inércia em relação ao eixo y. Observamos que os

centros de gravidade dos três retângulos estão sobre o eixo y. Neste caso, portanto, não

é necessário usar o teorema dos eixos paralelos, bastando somar os momentos de

inércia.

O momento de inércia de cada retângulo em relação a y será:

O momento de inércia da seção será:

Exercícios

1 - Determine a posição do centro de gravidade das figuras abaixo em relação aos eixos

x e y. Determine também os momentos de inércia em relação aos eixos que passam pelo

centro de gravidade.

x

y

1 0 c m

4 0 c m

2 0 c m

t = 2 c m

Resp: xg = 10 cm, yg = 17,12 cm, Ix = 28362 cm4, Iy = 1524 cm4.

Resp: xg = 8,05 cm, yg = 8,05 cm, Ix = 13532 cm4, Iy = 13532 cm4.

2 - Determine o momento estático de uma circunferência de raio R em relação a um

eixo tangente a ela.

Resp: Q = R3.

3 – Para as figuras abaixo, determine:- A posição do centro de gravidade (xG e yG);- A Área (A)- Os momentos de inércia em relação aos eixos que passam pelo centro de

gravidade (IxG e IyG);

- Os momentos de inércia em relação aos eixos x e y (Ix e Iy);

- Os momentos estáticos em relação aos eixos x e y (Qx e Qy).

a) xG = 10 cm, yG = 25 cm, A = 1000 cm2, IxG = 208333,33 cm4; IyG = 33333,33 cm4; Ix = 833333,33 cm4; Iy = 13333,33 cm4; Qx = 25000 cm3; Qy = 10000 cm3

b) xG = 20 cm, yG = 8 cm, A = 720 cm2, IxG = 23040 cm4; IyG = 144000 cm4; Ix = 69120 cm4; Iy = 432000 cm4; Qx = 5760 cm3; Qy = 14400 cm3

c) xG = 15 cm, yG = 6,37 cm, A = 353,43 cm2, IxG = 5558,63 cm4; IyG = 19880,39 cm4; Ix = 19899,72 cm4; Iy = 99402,14 cm4; Qx = 2251,35 cm3; Qy = 5301,45 cm3

d) a) xG = yG = 20 cm, A = 1256,64 cm2, IxG = IyG = 125663,7 cm4; Ix = Iy = 628319,7 cm4; Qx

= Qy = 25132,8 cm3

6.2. Diagramas de momento fletor e força cortante em vigas isostáticas

O conhecimento da variação dos esforços solicitantes ao longo do comprimento de uma

viga é importante para sabermos quais as suas seções são mais solicitadas e para

determinarmos qual é o valor máximo do esforço.

Nos casos mais simples, isto pode ser feito de forma intuitiva. Imagine uma viga bi-

apoiada, com uma carga concentrada no meio do vão. O maior momento fletor

observado neste caso é exatamente na seção sob a carga, no meio do vão. Porém,

quando temos várias cargas atuando simultaneamente, esta análise torna-se mais difícil.

Por isso, as equações dos esforços vão nos dar condições de analisar a variação dos

esforços solicitantes ao longo de todo o comprimento da viga, permitindo-nos construir

diagramas que permitirão a visualização clara do que ocorre no interior da estrutura.

6.2.1. Viga biapoiada com carga concentrada

Seja uma viga biapoiada de vão L, submetida à ação de uma carga concentrada,

conforme mostrado na Figura 6.6.

P

a bL

Figura 6.6. Viga biapoiada com carga concentrada

Para a análise desta viga, devemos considerar duas seções: uma seção ‘S1’ à esquerda da

carga concentrada P e outra seção ‘S2’ à direita da carga, conforme mostra a Figura 6.7.

Figura 6.7. Seções S1 e S2

Vamos, primeiramente, determinar as reações:

Agora podemos escrever as equações dos esforços solicitantes para a seção ‘S1’:

1 – Esforço normal (pela esquerda da seção ‘S1’): N = 0

2 – Esforço cortante (pela esquerda da seção ‘S1’):

: valor constante

3 – Momento fletor (pela esquerda da seção ‘S1’):

: equação de uma reta

Observamos que as equações obtidas são válidas somente no trecho à esquerda da carga

concentrada. Desta forma, para obter as equações para o trecho à direita da carga, é

necessária a utilização da seção ‘S2’. Vamos então determinar os esforços internos na

seção ‘S2’.

1 – Esforço normal (pela esquerda da seção ‘S2’): N = 0

2 – Esforço cortante (pela esquerda da seção ‘S2’):

: valor constante

3 – Momento fletor (pela esquerda da seção ‘S2’):

: equação de uma reta

Observamos que em ambos os trechos o esforço cortante é constante e o momento fletor

obedece a uma equação do 1º grau, ou seja, uma reta. Isto acontece sempre que a viga é

submetida apenas a cargas concentradas.

6.2.2. Exemplo

Determine as equações e os diagramas de esforços solicitantes para a viga abaixo.

1 – Cálculo das reações de apoio

2 – Determinação dos esforços internos na seção ‘S1’

2.1 – Esforço normal (à esquerda de ‘S1’): N = 0

2.2 – Esforço cortante (à esquerda de ‘S1’):

mxkNVRV A 202,1 : valor constante no trecho

2.3 – Momento fletor (à esquerda de ‘S1’):

mxxMxRM A 202,1 : equação de uma reta

3 – Determinação dos esforços internos na seção ‘S2’

3.1 – Esforço normal (à esquerda de ‘S2’): N = 0

3.2 – Esforço cortante (à esquerda de ‘S2’)

: valor constante no trecho

3.3 – Momento fletor (à esquerda de ‘S2’)

: equação de

uma reta

4 – Traçado dos diagramas

4.1 – Diagrama dos esforços normais

Como observamos pela análise dos dois trechos, o diagrama de esforços normais será

constante e igual a zero. Portanto, sua representação será:

4.2 – Diagrama dos esforços cortantes

Para a construção deste diagrama, é importante a construção da tabela apresentada

abaixo. Ressalta-se que temos dois trechos. No primeiro, ou seja, com x menor ou igual

a 2m, vale a primeira equação, enquanto para x maior ou igual a 2m vale a segunda.

Seção – x (m) Esforço cortante – V (kN) Equação

0 1,2V = 1,21 1,2

2 1,22 -0,8

V = -0,83 -0,84 -0,85 -0,8

Observa-se que para a seção imediatamente sob a carga concentrada o esforço cortante

terá dois valores. Isto acontece porque a carga concentrada gera uma descontinuidade

no diagrama, que terá o valor da própria carga concentrada. Assim, imediatamente à

esquerda da seção o esforço cortante é de 1,2 kN, e imediatamente à direita este valor é

de -0,8 kN. Então, o diagrama terá o seguinte aspecto:

Os valores positivos do esforço cortante são marcados acima do eixo de referência, e

vice-versa.

4.3 – Diagrama dos momentos fletores:

Para a construção deste diagrama é importante a construção da tabela abaixo. E, como

no caso dos esforços cortantes temos dois trechos, cada um regido por uma equação.

Seção – x (m) Momento fletor – M (kNm)

Equação

0 1,2 x 0 = 0M = 1,2x1 1,2 x 1 = 1,2

2 1,2 x 2 = 2,42 -0,8 x 2 + 4 = 2,4

M = -0,8x + 43 -0,8 x 3 + 4 = 1,64 -0,8 x 4 + 4 = 0,85 -0,8 x 5 + 4 = 0

Observa-se que no ponto de aplicação da carga concentrada as duas equações dão o

mesmo resultado. Assim não há descontinuidade do gráfico como havia no caso do

esforço cortante. O aspecto do gráfico, então, será:

Os valores de momento fletor positivos são marcados na parte inferior do eixo de

referência, e vice-versa. Esta inversão é feita visando facilitar a visualização da

deformada da viga que será imposta pelo momento fletor, e também o posicionamento

das armaduras para combatê-lo.

6.2.3. Viga biapoiada com carga distribuída

Seja uma viga biapoiada de vão L submetida a uma carga distribuída q, conforme

apresentado na Figura 6.8. Calculemos os esforços solicitantes em uma seção ‘S’,

situada a uma distância ‘x’ do ponto A.

Figura 6.8. Viga biapoiada com carga distribuída

Primeiramente, devemos determinar as reações de apoio:

Conhecidas as forças externas, podemos então determinar seus efeitos internos nas

vigas, ou seja, podemos determinar os esforços solicitantes:

1 – Determinação do Esforço Normal (considerando as forças à esquerda da seção):

0N

2 – Determinação do esforço cortante (considerando as forças à esquerda da seção):

: equação de uma reta.

3 – Determinação do momento fletor (considerando as forças à esquerda da seção):

: equação de uma parábola.

Assim, é possível determinar a variação dos esforços solicitantes ao longo de toda a

viga. E, tendo a equação, pode-se também determinar os diagramas (gráficos) de

esforços solicitantes.

6.2.4. Exemplo

Determine as equações e os diagramas de esforços solicitantes para a viga abaixo.

1 – Cálculo das reações de apoio

2 – Determinação do Esforço Normal (considerando as forças à esquerda da seção):

0N

3 – Determinação do esforço cortante (considerando as forças à esquerda da seção):

: equação de uma reta.

4 – Determinação do momento fletor (considerando as forças à esquerda da seção):

: equação de uma

parábola.

Vamos agora construir os diagramas de esforços solicitantes. Primeiro, o diagrama de

esforço normal. Determinamos em 3 que o esforço normal é constante e igual a zero

para qualquer valor de x entre 0 e 5 m. Portanto, temos:

Vamos agora determinar o diagrama de esforços cortantes. Sabendo a equação, basta

determinarmos os valores de V para posições x, conforme mostrado na tabela abaixo:

Seção – x (m) Esforço cortante – V (kN)

0 -2 x 0 +5 = 5

2,5 -2 x 2,5 +5 = 0

5 -2 x 5 + 5 = -5

Basta agora a marcação dos valores calculados sobre um eixo de referência, que

representa o próprio eixo da viga. Valores positivos devem ser marcados acima do eixo

de referência e vice-versa. Os pontos devem ser ligados com uma reta. Temos, portanto:

Para a determinação do diagrama de momentos fletores, adotamos procedimento

análogo. A tabela abaixo mostra os valores calculados:

Seção – x (m) Momento fletor – M (kN)

0 -02+5x0 = 0

2,5 -2,52+5x2,5 = 6,25

5 -52+5x5=0

Basta agora marcarmos os valores, utilizando um eixo de referência, como no caso

anterior. Para os momentos fletores, valores positivos devem ser marcados abaixo do

eixo de referência e vice-versa. Conforme mostra a equação, os pontos devem ser

unidos por uma parábola. Assim:

6.2.5. Considerações sobre os diagramas

1 - a partir dos exemplos podemos ver que o momento fletor máximo acontece na seção

onde o esforço cortante é zero, ou seja, onde o diagrama de esforços cortantes intercepta

o eixo de referência.

2 – no caso da existência unicamente de cargas concentradas, o diagrama de esforços

cortantes será sempre constante nos trechos entre elas. E o diagrama de momentos

fletores será composto por segmentos de reta, pois obedece a equações do primeiro

grau.

3 – no caso da existência unicamente de cargas distribuídas, o diagrama dos esforços

cortantes será composto por segmentos de reta, uma vez que obedecem a equações do

primeiro grau. E os diagramas dos momentos fletores serão parábolas, uma vez que suas

equações são do segundo grau.

4 – no caso de uma carga concentrada, o momento fletor máximo estará situado sob a

carga e seu valor será:

5 – no caso de uma carga distribuída, o momento fletor máximo estará situado no meio

do vão e seu valor será:

P

a bL

L

8

2qLM MAX

LPabM MAX