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Equações de Maxwell
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Equaes deMaxwell na
forma diferencial
Robenil dosSantos Almeida
Sumrio
Equaes deMaxwell naforma integral
Teorema dadivergncia
Teorema deStokes
Equaes deMaxwell naforma diferencialLei de Gauss naforma diferencialForma diferencialda Lei de Gauspara omagnetismoLei de Faraday naforma diferencialLei dempere-Maxwellna formadiferencial
Referncias
Equaes de Maxwell na forma diferencial
Robenil dos Santos Almeida
Universidade Federal do Recncavo da Bahia
9 de Maro de 2015
Equaes deMaxwell na
forma diferencial
Robenil dosSantos Almeida
Sumrio
Equaes deMaxwell naforma integral
Teorema dadivergncia
Teorema deStokes
Equaes deMaxwell naforma diferencialLei de Gauss naforma diferencialForma diferencialda Lei de Gauspara omagnetismoLei de Faraday naforma diferencialLei dempere-Maxwellna formadiferencial
Referncias
Equaes de Maxwell na forma integral
Lei de Gauss: S
~E d ~A = qint0
Lei de Gauss para o magnetismo:
S
~B d ~A = 0
Lei de Faraday:C
~E d~l = t
S
~B d ~A
Lei de mpere-Maxwell:C
~B d~l = 0Ic + 00 t
S
~E d ~A
Equaes deMaxwell na
forma diferencial
Robenil dosSantos Almeida
Sumrio
Equaes deMaxwell naforma integral
Teorema dadivergncia
Teorema deStokes
Equaes deMaxwell naforma diferencialLei de Gauss naforma diferencialForma diferencialda Lei de Gauspara omagnetismoLei de Faraday naforma diferencialLei dempere-Maxwellna formadiferencial
Referncias
Teorema da divergncia
O fluxo de um campo vetorial ~F atravs de uma superfciefechada S igual integral do divergente de ~F sobre o volumev limitado por S , ou seja:
S
~F d ~A =
v( ~F )dV
Equaes deMaxwell na
forma diferencial
Robenil dosSantos Almeida
Sumrio
Equaes deMaxwell naforma integral
Teorema dadivergncia
Teorema deStokes
Equaes deMaxwell naforma diferencialLei de Gauss naforma diferencialForma diferencialda Lei de Gauspara omagnetismoLei de Faraday naforma diferencialLei dempere-Maxwellna formadiferencial
Referncias
Teorema de Stokes
O teorema de Stokes estabelece que a circulao de um campovetorial ~F em torno de um caminho (fechado) C igual integral de superfcie do rotacional de ~F sobre a superfcieaberta S , limitada por C , desde que ~F e ~F sejam contnuossobre S . De acordo com o teorema:
C
~F d~l =
S( ~F ) d ~A
Equaes deMaxwell na
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Robenil dosSantos Almeida
Sumrio
Equaes deMaxwell naforma integral
Teorema dadivergncia
Teorema deStokes
Equaes deMaxwell naforma diferencialLei de Gauss naforma diferencialForma diferencialda Lei de Gauspara omagnetismoLei de Faraday naforma diferencialLei dempere-Maxwellna formadiferencial
Referncias
Lei de Gauss na forma diferencial
A lei de Gauss na forma integral
S
~E d ~A = qint0
(1)
Usando o teorema da divergncia, temos que
S
~E d ~A =
v( ~E )dV
Sabemos que a densidade de carga a carga sobre o elementode volume, ento podemos escrever a carga como
qint =
vd ~V
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Equaes deMaxwell naforma integral
Teorema dadivergncia
Teorema deStokes
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Referncias
Fazendo essas substituies, a Eq.(1) fica
v( ~E )d ~V = 1
0
vd ~V
Para que as duas integrais sejam iguais sobre qualquer volumearbitrrio, necessrio que os integrandos sejam idnticos emcada ponto. Portanto, em qualquer ponto do espao:
~E = 0
(Lei de Gauss na forma diferencial)
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Teorema dadivergncia
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Referncias
Forma diferencial da Lei de Gaus para omagnetismo
Temos que S
~B d ~A = 0 (2)
Usando o teorema da divergncia, encontramos que
S
~B d ~A =
v( ~B)d ~V
Com isso, substituindo na Eq.(2) e resolvendo-a, obtemos fi-nalmente
~B = 0
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Referncias
Lei de Faraday na forma diferencial
Na forma integral, a lei de Faraday expressa comoC
~E d~l = t
S
~B d ~A (3)
Pelo teorema de Stokes, podemos escreverC
~E d~l =
S( ~E ) d ~A
Substituindo na Eq.(3), temos
S( ~E ) d ~A =
S
~B
t d ~A
~E = ~B
t
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Teorema deStokes
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Referncias
Lei de mpere-Maxwell na forma diferencialna forma integral, temos que
C
~B d~l = 0Ic + 00 t
S
~E d ~A (4)
Podemos escrever a corrente em termos da densidade de cor-rente:
Ic =
S
~J d ~A
e usando no primeiro termo o teorema de Stokes, ou sejaC
~B d~l =
S ~B d ~A
Podemos reescrever a Eq.(4) como
S ~B d ~A =
S
(0 ~J + 00
~E
t
) d ~A
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Referncias
Chegamos a
~B = 0 ~J + 00~E
t
(Lei de mpere-Maxwell na forma diferencial)
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Referncias
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EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo.Primeira edio. Editora: McGraw-Hill. So Paulo, 1980.
SumrioEquaes de Maxwell na forma integralTeorema da divergnciaTeorema de StokesEquaes de Maxwell na forma diferencialLei de Gauss na forma diferencialForma diferencial da Lei de Gaus para o magnetismoLei de Faraday na forma diferencialLei de mpere-Maxwell na forma diferencial
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