EQUAÇÃO DE 1 8º ano

EQUAO DE 1 GRAUEQUAO DE 1 GRAU

SENTEASUma sentena matemtica pode ser verdadeira ou falsa

exemplo de uma sentena verdadeira

a) 15 + 10 = 25

b) 2 . 5 = 10

exemplo de uma sentena falsa

a) 10 + 3 = 18

b) 3 . 7 = 20

SENTEAS ABERTAS E SENTENAS FECHADAS

Sentenas abertas so aquelas que possuem elementos desconhecidos. Esses elementos desconhecidos so chamados variveis ou incgnitas.

exemplos

a) x + 4 = 9 (a varivel x)

b) x + y = 20 (as variveis so x e y)

Sentenas fechada ou so aquelas que no possuem variveis ou incgnitas.

a) 15 -5 = 10 (verdadeira)

b) 8 + 1 = 12 (falsa)

EQUAES

Equaes so sentenas matemticas abertas que apresentam o sinal de igualdade

exemplos

a) x - 3 = 13 ( a varivel ou incgnita x)

b) 3y + 7 = 15 ( A varivel ou incgnita y)

A expresso esquerdas do sinal = chama-se 1 membro

A expresso direita do sinal do igual = chama-se 2 membro

RESOLUO DE EQUAES DO 1 GRAU COM UMA VARIVEL

O processo de resoluo est baseado nas propriedades das igualdades

1 Propriedade

Podemos somar (ou subtrair) um mesmo nmero dos dois membros da igualdade, obtendo uma sentena equivalente.

exemplos:

a) Resolver x - 3 = 5soluox - 3 +3 = 5 + 3x + 0 = 8x = 8

b) resolver x + 2 = 7

soluox+2 -2 = 7 - 2x + 0 = 5x = 5

Baseado nessa propriedade,podemos concluir que: pode-se passar um termo de um membro para outro e troca-se o sinal desse termo.

exemplos

a) x - 3 = 5

x = x + 3

x = 8

b) x + 2 = 7

x = 7 - 2

x = 5

EXERCICIOS

1) Resolva as seguintes equaes

a) x + 5 = 8 ( R = 3)b) x - 4 = 3 (R = 7)c) x + 6 = 5 ( R = -1)d) x -3 = - 7 (R= -4)e) x + 9 = -1 (R=-10)f) x + 28 = 11 (R=-17)g) x - 109 = 5 (R= 114)h) x - 39 = -79 (R=-40)i) 10 = x + 9 (R=2)j) 15 = x + 20 (R= -5)l) 4 = x - 10 ( R= 14)m) 7 = x + 8 ( R= -1)n) 0 = x + 12 (R= -12)o) -3 = x + 10 (R= -13)

2 Propriedade

Podemos multiplicar (ou dividir) ambos os membros de uma igualdade por um nmero diferentes de zero, obtendo uma sentena equivalente.

exemplo de resoluo pelo modo prtico

a) 3x =12

x = 12 /3

x = 4

b) x / 5 = 2

x = 2 . 5

x = 10

Importante !

Veja a equao -x = 5

interessa-nos valor de x e no o valor de -x ento devemos multiplicar os dois membros da equao por -1

EXERCICIOS

1) Resolva as seguintes equaesa) 3x = 15 (R=5)b) 2x = 14 ( R=7)c) 4x = -12 (R=-3)d) 7x = -21 (R=-3)e) 13x = 13 (R= 1)f) 9x = -9 (R=-1) g) 25x = 0 (R=0)h) 35x = -105 (R=-3)i) 4x = 1 (R=1/4)j) 21 = 3x (R=7) l) 84 = 6x (R=14)m) x/3 =7 (R=21)n) x/4 = -3 (R=-12)o) 2x/5 = 4 (R=10) p) 2x/3 = -10 (R=-15)q) 3x/4 = 30 (R=40)r) 2x/5 = -18 (R= -45)

METODO PRTICO PARA RESOLVER EQUAES

Para resolver equao de 1 grau usaremos um mtodo pratico seguindo o roteiro:

1) Isolar no 1 membro os termos em x e no 2 membro os termos que no apresentam x ( devemos trocar o sinal dos termos que mudam de membro para outro)

2) Reduzir os termos semelhantes

3) Dividir ambos os membros pelo coeficiente de x

Exemplos

1) 3X 4 = 2X + 83X- 2X = 8 + 4X = 12

2) 7X 2 + 4 = 10 + 5X7X 5X = 10 + 2 47X 5X = 10 + 2 42X = 8X = 8/2X= 4

3) 4(X + 3) =14X + 12 = 14X = 1 12X = -11/4

4) 5(2x -4) = 7 ( x + 1) 310x 20 = 7x + 7 -310x 7x = 7 -3 + 203x = 24x = 24/ 3x = 8

5) x/3 + x/2 = 152x / 6 + 3x / 6 = 90 / 62x + 3x = 905x = 90x = 90 / 5x = 18

EXERCICIOS

1)Resolva as equaes

a) 6x = 2x + 16 (R:4)b) 2x 5 = x + 1 (R: 6)c) 2x + 3 = x + 4 (R: 1)d) 5x + 7 = 4x + 10 (R: 3)e) 4x 10 = 2x + 2 (R: 6)f) 4x 7 = 8x 2(R:-5/4)g) 2x + 1 = 4x 7 (R:4)h) 9x + 9 + 3x = 15 (R: )i) 16x 1 = 12x + 3 (R:1)j) 3x 2 = 4x + 9 (R:-11)l) 5x -3 + x = 2x + 9 (R:3)m) 17x 7x = x + 18 (R: 2)n) x + x 4 = 17 2x + 1 ( 11/2)o) x + 2x + 3 5x = 4x 9 ( R:2)p) 5x + 6x 16 = 3x + 2x - 4 (R:2)q) 5x + 4 = 3x 2x + 4 (R: 0 )


a) 4x 1 = 3 ( x 1) (R: -2)b) 3( x 2) = 2x 4 (R:2)c) 2( x 1) = 3x + 4 ( R: -6)d) 3(x 1) 7 = 15 (R: 25/3)e) 7 ( x 4) = 2x 3 (R: 5)f) 3 ( x 2) = 4(3 x) (R:18/7)g) 3 ( 3x 1) = 2 ( 3x + 2) ( R: 7/3)h) 7 ( x 2 ) = 5 ( x + 3 ) (R: 29/2)i) 3 (2x 1) = -2 ( x + 3) (R: -3/8)j) 5x 3( x +2) = 15 (R: 21/2)k) 2x + 3x + 9 = 8(6 x) (R:3)l) 4(x+ 10) -2(x 5) = 0 (R: -25)m) 3 (2x + 3 ) 4 (x -1) = 3 ( R: -5)n) 7 (x 1) 2 ( x- 5) = x 5 (R: -2)o) 2 (3 x ) = 3 ( x -4) + 15 (R: 3/5)p) 3 ( 5 x ) 3 ( 1 2x) = 42 (R:10)q) ( 4x + 6) 2x = (x 6) + 10 +14 (R:12)r) ( x 3) ( x + 2) + 2( x 1) 5 = 0 ( R:6)s) 3x -2 ( 4x 3 ) = 2 3( x 1) ( R )t) 3( x- 1) ( x 3) + 5 ( x 2) = 18 ( R: 4)u) 5( x 3 ) 4 ( x + 2 ) = 2 + 3( 1 2x) (R:4)


a) 2x + 5 - 5x = -1 (R=2)b) 5 + 6x = 5x + 2 (R=-3)c) x + 2x - 1 - 3 = x (R=2)d) -3x + 10 = 2x + 8 +1 (R= 1/5)e) 5x - 5 + x = 9 + x (R=14/5)f) 7x - 4 - x = -7x + 8 - 3x (R=12/16)g) -x -5 + 4x = -7x + 6x + 15 (R=5)h) 3x - 2x = 3x + 2 (R=-1)i) 2 - 4x = 32 - 18x + 12 (R=3)j) 2x - 1 = -3 + x + 4 (R= 2)l) 3x - 2 - 2x - 3 = 0 (R= 5)m) 10 - 9x + 2x = 2 - 3x (R=2)n) 4x - 4 - 5x = -6 + 90 (R= -88)o) 2 - 3x = -2x + 12 - 3x (R=5)


a) 7(x - 5) = 3 (x + 1) (R=19/2 ou 38/4)b) 3 ( x - 2 ) = 4 (-x + 3) (R=18/7)c) 2 (x +1) - (x -1) = 0 (R= -3)d) 5(x + 1) -3 (x +2) = 0 (R= 1/2)e) 13 + 4(2x -1) = 5 (x +2) (R=1/3)f) 4(x + 5) + 3 (x +5)= 21 (R=-2)g) 2 (x +5 ) - 3 (5 - x) =10 (R=3)h) 8 ( x -1) = 8 -4(2x - 3) ( R= 7/4)

EQUAES QUE APRESENTAM DENOMINADORES

Vamos resolver as equaes abaixo, eliminando inicialmente os denominadores

exemplos:

1) Resolver a equao:

x/3 + x/2 = 15

2x/6 + 3x/6 = 90/6

2x + 3x = 90

5x = 90

x = 90/5

x = 18

2) Resolver a equao

(x-1)/4 - (x - 3)/6 = 3

3(x - 1) / 12 - 2 (x - 3) / 12 = 36 / 12

3(x - 1) -2 (x - 3) =36

3x - 3 -2x + 6 =36

3x - 2x = 36 + 3 - 6

x = 33

EXERCCIOS

1) resolva as seguintes equaes, sendo

a) x /2 - x/4 = 1 /2 (R:2)b) x/2 - x/4 = 5 (R:20)c) x/5 + x/2 = 7/10 (R:1)d) x/5 + 1 = 2x/3 (R: 15/7)e) x/2 + x/3 = 1 (R: 6/5)f) x/3 + 4 = 2x (R: 12/5)g) x/2 + 4 = 1/3 (R: -22/3)h) 5x/3 - 2/5 = 0 (R: 6/25)i) x - 1 = 5 - x/4 (R: 24/5)j) X + X/2 = 15 (R:10)l) 8x/3 = 2x - 9 (R: -27/2)m) x/2 + 3/4 = 1/6 (R: -7/6)


a)x/2 - 7 = x/4 + 5 (R:48)b) 2x - 1/2 = 5x + 1/3 (R: -5/18)c) x - 1 = 5 - x/4 (R: 24/5)d) x/6 + x/3 = 18 - x/4 (R: 24)e) x/4 + x/6 + x/6 = 28 (R:48)f) x/8 + x/5 = 17 - x/10 (R: 40)g) x/4 - x/3 = 2x - 50 (R: 24)h) 5x /2 + 7 = 2x + 4 ( R: -6)i) x/4 - x/6 = 3 (R: 36)j) 3x/4 - x/6 = 5 (R: 12)l) x/5 + x/2 = 7/10 (R:1)m) 2x - 7)/5 = (x + 2)/3 (R:31)n) 5x/2 = 2x + (x - 2) / 3 (R: -4)o) (x - 3)/4 - (2x - 1) / 5 = 5 (R:-37)


a) x/2 + x/3 = (x + 7)/3 (R: 14/3)b) (x + 2) / 6 + (x +1)/4 = 6 (R: 13)c) (x -2) /3 - (x + 1)/ 4 =4 (R:59)d) (x - 1) /2 + (x - 2) /3 = (x -3)/4 (R: 5/7)e) (2x- 3) / 4 - (2 - x)/3 = (x -1) / 3 (R: 13/6)f) (3x -2) / 4 = (3x + 3) / 8g) 3x + 5) / 4 - (2x - 3) / 3 = 3 (R: 9)h) x/5 - 1 = 9 (R: 50)i) x/3 - 5 = 0 (R: 15)j) x/2 + 3x/5=6 (R:60/11)l) 5x - 10 = (x+1)/2 (R:7/3)m) (8x - 1) / 2 - 2x = 3 (R: 7/4)o) (x - 1) /2 + (x - 3)/3 = 6 (R: 9)p) (5x - 7)/2 = 1/2 + x ( R: 8/3)q) (2x - 1) / 3 = x - (x - 1)/5 (R:-4)

PROBLEMAS DO 1 GRAU COM UMA VARIVEL

Chamamos problemas do 1 grau aqueles que so resolvidos por meio de uma equao do 1 grau.

Na resoluo de problemas, voc deve:

a) Representar a incgnita do problema por uma letra.

b) Armar a equao do problema.

c) Resolver a equao

d) verificar se a soluo satisfaz as condies do problema.Exemplo 1

O triplo de um nmero, diminudo de 12 igual a 33. Qual esse nmero

soluo:

Triplo de um nmero === 3xDiminuido de 12 ======3x -12 igual a 33 =========3x - 12 = 33

Resoluo

3x - 12 = 33

3x = 33 + 12

3x = 45

x = 45 / 3

x = 15

Resposta: O nmero procurado 15Exemplo 2

Um nmero somado com o seu dobro igual a 21. Qual esse nmero

Soluo:

Um nmero -----------------------xSomado com seu dobro--------- x + 2x

igual a 21 -----------------------x + 2x = 21

Resoluo:x + 2x = 21

3x = 21

x = 21 / 3

x = 7

Resposta: O nmero procurado 7.

EXERCICIOS1) O dobro de um nmero aumentado de 15, igual a 49. Qual esse nmero? (R:17)

2) A soma de um nmero com o seu triplo igual a 48. Qual esse nmero? (R:12)

3) A idade de um pai igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos tm 60 anos. (R:45 e 15)

4) Somando 5 anos ao dobro da idade de Snia, obtemos 35 anos. Qual a idade de Snia? (R:15)

5) O dobro de um nmero, diminudo de 4, igual a esse nmero aumentado de 1. Qual esse nmero? (R:5)

6) O triplo de um nmero, mais dois, igual ao prprio nmero menos quatro. Qual esse nmero? (R:-3)

7) O qudruplo de um nmero, diminudo de 10, igual ao dobro desse nmero, aumentado de 2. Qual esse nmero? (R:6)8) O triplo de um nmero, menos 25, igual ao prprio nmero mais 55. Qual esse nmero? (R:40)9) Num estacionamento h carros e motos, totalizando 78. O nmero de carros igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos h no estacionamento? (R:13)10) Um nmero somado com sua quarta parte igual a 80. Qual esse nmero? (R:64)

11) Um nmero mais sua metade igual a 15. Qual esse nmero? (R:10)

12) A diferena entre um nmero e sua quinta parte igual a 32. Qual esse nmero? (R:40)

13) O triplo de um nmero igual a sua metade mais 10. Qual esse nmero? (R:4)

14) O dobro de um nmero menos 10, igual sua metade, mais 50. Qual esse nmero? (R:40)

15) Subtraindo 5 da tera parte de um nmero, obtm-se o resultado 15. Qual esse nmero? (R:60)

16) A diferena entre o triplo de um nmero e a metade desse nmero 35 . Qual esse nmero? (R:14)

17) A metade dos objetos de uma caixa mais a tera parte desses objetos igual a 25. Quantos objetos h na caixa? (R:30)

18) Em uma fbrica, um tero dos empregados so estrangeiros e 72 empregados so brasileiros. Quantos so so empregados da fbrica? (R:108)

19) Flvia e Silvia tm juntas 21 anos. A idade de Slvia da idade de Flavia. Qual a idade de cada uma? (R:12 e 9)

20) A soma das idades de Carlos e Mrio 40 anos. A idade de Carlos 3/5 da idade de Mrio. Qual a idade de Mrio? (R:25)

21) A diferena entre um nmero e os seus 2/5 igual a 36. Qual esse nmero? (R:60)

22) A diferena entre os 2/3 de um nmero e sua metade igual a 6. Qual esse nmero? (R:36)

23) Os 3/5 de um nmero aumentado de 12 so iguais aos 5/7 desse nmero. Qual esse nmero? (R:105)

24) Dois quintos do meu salrio so reservados para o aluguel e a metade gasta com a alimentao, restando ainda R$ 45,00 para gastos diversos. Qual o meu salrio? (R:450)

25) Lcio comprou uma camisa que foi paga em 3 prestaes. Na 1 prestao, ele pagou a metade do valor da camisa, na 2prestao , a tera parte e na ultima R$ 20,00. Quanto ele pagou pela camisa? (R:120)

26) Achar um nmero, sabendo-se que a soma de seus quocientes por 2, por 3 e por 5 124. (R:120)

27) Um nmero tem 6 unidades a mais que o outro. A soma deles 76. Quais so esses nmeros ? (R:35 e 41)

28) Um nmero tem 4 unidades a mais que o outro. A soma deles 150. Quais so esses nmeros ? (R:73 e 77)

29) Fbia tem 5 anos a mais que marcela. A soma da idade de ambas igual a 39 anos. Qual a idade de cada uma? (R:22 e 17)

30) Marcos e Plnio tm juntos R$ 35.000,00. Marcos tem a mais que Plnio R$ 6.000,00. Quanto tem cada um? (R: 20500 e 14500)

31) Tenho 9 anos a mais que meu irmo, juntos temos 79 anos. Quantos anos eu tenho? (R:44)32) O permetro de um retngulo mede 74 cm. Quais so suas medidas, sabendo-se que o comprimento tem 5 cm a mais que a largura? (R:16 e 21)

33) Eu tenho R$ 20,00 a mais que Paulo e Mrio R$ 14,00 a menos que Paulo. Ns temos juntos R$ 156,00. Quantos reais tem cada um? (R:70,50 e 36)

34) A soma de dois nmeros consecutivos 51. Quais so esses nmeros? (R:25 e 26)

35) A soma de dois nmeros consecutivos igual a 145. Quais so esse nmeros? (R:72 e 73)

36) A soma de um nmero com seu sucessor 71. Qual esse nmero? (R: 35 e 36)

37) A soma de trs nmeros consecutivos igual a 54. Quais so esses nmeros ? (R:17,18,19)

38) A soma de dois nmeros inteiros e consecutivos -31. Quais so esses nmeros? (R:-16 e -13)39) A soma de dois nmeros impares consecutivos 264. Quais so esses nmeros? (R:131 e 13340) O triplo de um nmero, mais 10, igual a 136. Qual esse nmero? (R:42)41) O qudruplo de um nmero, diminudo de trs, igual a 33. Qual esse numero? (R:9)

42) As idades de dois irmos somam 27 anos e a idade do primeiro o dobro da idade do segundo. Qual esse nmero? (R:18 e 9)

43) Um nmero somado com sua quarta parte igual a 20. Qual esse nmero? (R:16)

44) A tera parte de um nmero diminuda de sua quinta parte igual a 6. Qual o nmero? (R:45)

45) As idades de trs irmos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem um tero da idade do mais velho e o segundo irmo tem a metade da idade do mais velho, qual da idade do mais velho? (R:54)

46) A diferena entre um nmero e os seus 3/5 igual a 16. Qual esse nmero? (R:40)

47) Em uma escola, um tero dos alunos so meninos e 120 alunos so meninas. Quantos alunos h na escola? (R:180)

48) Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo. Quanto quilograma pesa o tijolo? (R: 2 kg)

49) Multiplicando-se um nmero por 5 e adicionando-se 9 ao produto obtm-se 64. Qual esse nmero? (R:11)

50) A soma de dois nmeros consecutivos 273. Quais so esses nmeros? (R:136 e 137)

51) A soma de trs nmeros consecutivos 156. Quais so esses nmeros? (R:51,52,53)

52) Pensei em um nmero que multiplicado por 3 e adicionado a 4 d 19. Esse nmero : (R:5)

53) Um nmero somado com o seu triplo igual a 120. Esse numero : ( R:30)

54) A soma de dois nmeros consecutivos 153. O maior deles : (R:76 e 77)

55) O triplo de um nmero, mais dois, igual ao prprio nmero, mais 8. Esse nmero (R:3)

56) Pensei em um nmero que somado com seu dobro e diminudo de 5 igual a 37. Esse nmero : (R:14)

57) O permetro de um triangulo 12 cm e as medidas dos lados so nmeros consecutivos. Ento, o menor lado mede: (R:3)

58) Trs nmeros pares e consecutivos tm por soma 60. O maior deles vale: (R:22)

59) Tenho 5 anos a mais que meu amigo e juntos temos 71 anos. Quantos anos eu tenho? (R:38)

60) Numa partida de basquete as duas equipes fizeram um total de 145 pontos. A equipe A fez o dobro de pontos, menos 5, que a equipe B , Ento, a equipe A marcou: (R:95)

61) Ari e Rui tm juntos R$ 840,00 A quantia de Ari igual a da quantia de Rui. Logo, Rui tem: (R:480)

62) Se eu tivesse mais 5 anos estaria com o triplo da idade do meu irmo que tem 15 anos. Qual a minha idade? (R:40)

63) Numa caixa h bolas brancas e pretas num total de 360. Se o nmero de brancas o qudruplo do de preta, ento o nmero de bolas brancas (R:288)

64) Deseja-se cortar uma tira de couro de 120 cm de comprimento, em duas partes tais que o comprimento de uma seja igual ao triplo da outra . A parte maior mede: (R:90)

65) O numero que somado aos seus 2/3 resulta 30 : (R:18)

66) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha obtm-se 3/5 de sua idade. A idade de minha filha em anos : (R:15)

67) Qual o nmero que adicionado com sua metade d 4,5? (R: 3)

68) Um nmero adicionado com sua dcima parte d 55. Qual esse numero?

69) Os 2/3 de um nmero adicionado com o prprio nmero d -10 . Qual esse nmero?

70) Se adicionarmos um nmero sua metade e sua tera parte, obteremos 16,5 . Qual esse numero? (R: 9)71) Qual o nmero que acrescido a 10% de seu valor resulta em 1650?

72) Num certo ano, a produo de uma industria alcanou 720.000 unidades. Essa produo representou um aumento de 20% em relao ao ano anterior. Qual a produo do ano anterior?

73) Neste bimestre, a metade dos alunos da escola de Adriana obteve mdia acima de cinco, a tera parte da turma obteve media cinco e os outros 70 alunos alcanaram media inferior a cinco . Quantos alunos tem a escola de Adriana?

74) Qual o nmero que somado com a sua tera parte d 16 ? (R: 16)

75) Um nmero somado com sua metade d 16,5 . Que nmero esse? (R: 11)

76) Adicionado um nmero com os seus 2/5 encontramos 28. Que nmero esse?

77) Adicionando um nmero com sua metade e com a sua quarta parte obtemos 31,5. Qual esse nmero?

78) Na Grcia antiga, Policrate, senhor absoluto do poder na ilha de Samos, perguntando a Pitgoras quantos alunos ele tinha, obteve a seguinte resposta : "A metade estuda Matemtica, a quarta parte estuda os mistrios da natureza, a stima parte medita em silencio e h ainda trs mulheres " Quantos eram os alunos de Pitgoras? (R: 28 alunos)

79)Pedro dois anos mais velhos que seu irmo. Como a soma das idades deles 42, pode-se afirmar que, agora, Pedro tem?a) 15 anosb) 18 anosc) 22 anos (X)d) 25 anose) 28 anos

80) Um nmero inteiro positivo multiplicado pelo seu sucessor (consecutivo) igual a 12. O numero

a) 2b) 3 X c) 5d) 6e) 8

Documents

EQUAÇÃO DE 1 8º ano