7/28/2019 Equao eqidimensional de Euler

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Equao eqidimensional de Euler (ou de Cauchy) umaequao diferencial ordinria linear (EDOL) da forma

an xn y(n) + an-1 xn-1 y(n-1) + ... + a1 x y' + ao y = g(x)

onde n um nmero natural que fornece a ordem da equao sean no nulo e os ak so nmeros reais (k=0,1,2,...,n)

Na sequncia trataremos apenas das EDOL de Euler que sohomogneas. Para resolver as EDOL de Euler no homogneas,deve-se usar o mtodo da variao dos parmetros.

Soluo da equao homognea de Euler: Para resolver estaequao, procuraremos obter nmeros reais ou complexos r detal forma que y(x)=xr, seja soluo da EDOL dada, para cada rpossvel.

Desta forma obteremos n solues LI que resolvem a EDOLhomognea associada equao dada. Sob esta hiptese,temos que:

y' = r xr-1, e y'' = r(r-1) xr-2

e em geral

y(k) = A(r,k) xr-k

sendo que A(r,k)=r(r-1)(r-2)...(r-k+1) a expresso do arranjo de relementos com a taxa k.

Para facilitar inicialmente os nossos trabalhos, vamos consideraro caso geral de uma EDOL no homognea de Euler de ordemn=2, isto :

a x y'' + b x y' + ... + c y = g(x)

A equao homognea associada aqui a.xy''+b.xy'+cy=0 esubstituindo tanto a funo y=y(x) como as suas derivadasobtemos:

xr (a r(r-1) + b r + c) = 0

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Como procuramos solues que sejam LI, devemos ter que

a r(r-1) + b r + c = 0

que simplificada, nos fornece a equao indicial da EDOL deEuler:

a r + (b-a) r + c = 0

Como esta equao indicial do segundo grau, temos trspossibilidades: duas razes reais e distintas, duas razes reais eiguais e duas razes complexas conjugadas. Realizaremos agorauma anlise desse casos:

(1) Duas razes reais e distintas r e s: Neste caso: y1(x)=xr ey2(x)=xs, logo a soluo da homognea ser:

y(x) = C1 xr + C2 xs

Exemplo: Seja a EDOL de Euler L(y)=xy''-2xy'+2y=0. A equao

indicial associada r-3r+2=0 cujas razes so r=1 e r=2, logo asoluo geral :

y(x) = C1 x + C2 x

(2) Duas razes reais e iguais a r: Aqui y1(x)=xr e a segundafuno dada pela multiplicao de xr por ln(x), isto :

y2(x) = xr ln(x)

logo a soluo da homognea ser:

y(x) = C1 xr + C2 xr ln(x)

Exemplo: Seja a EDOL de Euler L(y)=xy''-3xy'+4y=0. Quandotomamos y(x)=xr, ento:

L(xr) = (r - 4r + 4) xr

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Assim a equao indicial associada r-4r+4=(r-2)=0, que temuma raz dupla r=2, logo uma soluo :

y1(x) = x

Para obter uma segunda soluo da forma:

y2(x) = ln(x) y1(x) = x ln(x)

vamos retomar a expresso j obtida anteriormente e realizar umdetalhamento para justificar esta multiplicao por ln(x).

Como:

L(xr) = (r-2) xr

ento, aplicando o operador diferencial em relao a varivel r,aqui denotado por r, teremos:

r L(xr) = r[(r-2) xr]

Como os operadores diferenciais r e L comutam, entopodemos reescrever esta ltima expresso como:

L(r (xr)) = r[(r-2) xr]

Como estamos fazendo a derivada em relao varivel r, nossotrabalho ser um pouco maior e neste caso:

r (xr) = r [er ln(x)] = ln(x) Dr[er ln(x)] = ln(x) xr

o que garante que

L[ ln(x) xr] = 2(r-2)xr + (r-2) ln(x) xr

Neste caso sabemos que o autovalor r=2 e faremos r=2 naltima expresso para obter:

L[ ln(x) x] = 0

Como o operador L aplicado a esta funo fornece um resultado

nulo, segue que esta uma outra soluo da EDOL de Euler, ouseja:

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y2(x) = x ln(x)

Como o conjunto formado pelas funes y1 e y2 linearmenteindependente, podemos escrever a soluo geral como:

y(x) = C1 x + C2 x ln(x)

ou seja

y(x) = x [ C1 + C2 ln(x) ]

Exemplo: Seja agora uma EDOL de Euler de terceira ordem

xy(3)

+6xy''+7xy'+y=0. Tomando y(x)=xr

seguir que:

xr ( r +3 r + 3 r + 1) = 0

Observamos que a equao indicial (caracterstica) :

r +3 r + 3 r + 1 = 0

e tem a raiz tripla r=-1, o que nos garante uma primeira soluo:

y1(x) = x1

Com um processo similar ao do exemplo anterior, multiplicamosy1 por ln(x) para obter:

y2(x) = x1 ln(x)

e multiplicamos y2 por ln(x) para obter:

y3(x) = x1 (ln(x))

e a soluo geral desta EDOL de Euler :

y(x) = x1 [ C1 + C2 ln(x) + C3 ln(x) ]

(3) Duas razes complexas conjugadas: Se as razes so dadaspor r1=a+bi e r2=a-bi, poderamos tentar usar as funes

complexas, como:

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y1(x) = xa+bi; y2(x) = xa-bi

mas isto nem sempre adequado, pois estamos procurandofunes reais vlidas para x>0. Trabalharemos ento com as

partes real e imaginria do nmero complexo r=a+bi para obter asoluo da EDOL homognea de Euler.

y(x) = xa+bi = xa xbi= xa exp[b ln(x)i]

e pela relao de Euler:

y(x) = xa [ cos(ln(xb)) + i sen (ln(xb))]

ou seja

y(x) = [ xa cos(ln(xb))] + i [ xa sen(ln(xb))]

Desse modo, tomamos as partes real e imaginria desta ltimafuno como as solues LI procuradas, que so as funesreais:

y1(x) = xa cos(ln(xb)); y2(x) = xa sen(ln(xb))

e a soluo geral da EDOL homognea associada :

y(x) = C1 xa cos(ln(xb))+ C2 xa sen(ln(xb))

ou seja

y(x) = xa [ C1 cos(ln(xb)) + C2 sen(ln(xb))]

Exemplo: Seja a EDOL de Euler L(y)=xy''+xy'+4y=0. A equaoindicial associada r+4=0, cujas razes so r=2i=0+2i e r=-2i=0-2i, logo:

y1(x) = xo cos(ln(x)) = cos(ln(x))y2(x) = xo sen(ln(x)) = sen(ln(x))

e a soluo geral da EDOL homognea associada :

y(x) = C1 cos(ln(x)) + C2 sen(ln(x))