Equações da Continuidade em Transferência de Massa

Equação da continuidade mássica

Taxa de massa que sai do V.C.

Taxa de massa que entra no V.C.

Taxa de produção ou consumo de massa no V.C.

Taxa de acúmulo de massa no V.C.

Volume de controle (V.C.) diferencial

𝝏𝝆 𝑨

𝝏 𝒕+𝛁𝒏𝑨=𝒓 𝑨

• A taxa de acúmulo é, xyz• O fluxo mássico que entra na direção x é, , e similar para y e z.• O fluxo mássico que sai é, , similar para y e z.• E a taxa de produção/consumo é xyz

Sabendo que:

Fazendo as devidas operações matemáticas chegamos a equação da continuidade mássica de um soluto A

Por analogia facilmente se encontra a equação para o soluto B e somando as equações e ajustando matematicamente obtemos a equação da continuidade para uma mistura binária. Sabendo que + = 0 e =.

𝝏𝝆𝝏 𝒕

+𝜵 [ �⃗� 𝝆 ]=𝟎

Equação que pode ser reescrita a partir de derivadas substantivas:

𝑫𝝆𝑫𝒕

+𝝆𝜵 [ �⃗� ]=𝟎

A equação da continuidade molar é encontrada dividindo as equações anteriores pela massa molar dos solutos. Onde + = 0 apenas quando na reação para cada mol produzido de A, desapareça a mesma quantidade de mols de B.

𝝏𝑪 𝑨

𝝏 𝒕+𝛁 �⃗� 𝑨=𝑹𝑨

+

Equação da continuidade do soluto a em termos da lei ordinária da difusão

Sabendo que:

Equação da continuidade Molar

+ �⃗� 𝑨 ,𝒄=𝝆 𝑨 �⃗� �⃗�𝑨=−𝑫𝑨𝑩𝛁𝝆 𝑨

Obtemos

𝝏𝝆 𝑨

𝝏 𝒕+𝜵 [𝝆 𝑨 �⃗� ]=𝛁 [𝑫𝑨𝑩𝛁𝝆 𝑨 ]+𝒓 𝑨

𝝏𝑪 𝑨

𝝏 𝒕+𝜵 [𝑪𝑨 �⃗� ]=𝛁 [𝑫𝑨𝑩𝛁𝑪 𝑨 ]+𝑹𝑨

Eq. da continuidade Mássica

Eq. da continuidade Molar

Simplificações da equação da continuidade do soluto A

1ºCaso

• Se e forem constantes

Como para cte. a equação fica:𝝏𝝆 𝑨

𝝏 𝒕+ �⃗� 𝜵 [𝝆 𝑨 ]=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐𝝆 𝑨+𝒓 𝑨

𝝏𝑪 𝑨

𝝏 𝒕+ �⃗� 𝜵 [𝑪 𝑨]=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐𝑪 𝑨+𝑹𝑨

• Caso o fenômeno ocorra em meio inerte , =0 ou =0𝝏𝝆 𝑨

𝝏 𝒕+ �⃗� 𝜵 [𝝆 𝑨 ]=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐𝝆 𝑨

𝝏𝑪 𝑨

𝝏 𝒕+ �⃗� 𝜵 [𝑪 𝑨]=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐𝑪 𝑨

2ºCaso

• Se e forem constantes• Velocidade no meio nula, =0𝝏𝝆 𝑨

𝝏 𝒕=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐 𝝆𝑨+𝒓 𝑨

𝝏𝑪 𝑨

𝝏 𝒕=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐𝑪 𝑨+𝑹𝑨

• Caso o fenômeno ocorra em meio inerte , =0 ou =0𝝏𝝆 𝑨

𝝏 𝒕=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐 𝝆𝑨

𝝏𝑪 𝑨

𝝏 𝒕=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐𝑪 𝑨

3ºCaso

• Se e forem constantes• Estado estacionário

𝝏𝝆 𝑨

𝝏 𝒕=𝟎

𝝏𝑪 𝑨

𝝏 𝒕=𝟎

• Caso o fenômeno ocorra em meio inerte , =0 ou =0

�⃗� 𝜵 [𝝆 𝑨 ]=𝑫𝑨𝑩𝛁𝟐𝝆 𝑨 �⃗� 𝜵 [𝑪 𝑨]=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐𝑪 𝑨

�⃗� 𝜵 [𝝆 𝑨 ]=𝑫𝑨𝑩𝛁𝟐𝝆 𝑨+𝒓 𝑨 �⃗� 𝜵 [𝑪 𝑨]=𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐𝑪 𝑨+𝑹𝑨

4ºCaso

• Se e forem constantes• Estado estacionário• Velocidade no meio nula, =0

• Caso o fenômeno ocorra em meio inerte , =0 ou =0

𝑫𝑨𝑩𝛁𝟐𝝆 𝑨¿−𝒓 𝑨 𝑫𝑨𝑩𝛁

𝟐𝑪𝑨 ¿−𝑹𝑨

𝛁𝟐𝝆 𝑨=𝟎 𝛁𝟐𝑪 𝑨=𝟎

Condições de ContornoCondições iniciais

𝝆 𝑨=𝝆 𝑨𝟎𝑒𝑚𝒕=𝒕𝟎𝑪𝑨=𝑪 𝑨𝟎𝑒𝑚 𝒕=𝒕𝟎𝑪𝑨= 𝒇 (𝑪 ¿¿ 𝑨𝟎)𝑒𝑚 𝒕=𝒕𝟎¿Condições de contorno

1.Especificação da concentração sobre uma superfície

Para fase gasosa𝑷 𝑨𝒔=𝒀 𝑨𝒔𝑷

Para fase liquida𝑷 𝑨𝒔=𝑿 𝑨𝒔 𝑷𝑨 ,𝑽𝒂𝒑

❑

E num equilíbrio entre as fases

𝑿 𝑨𝒔𝑷 𝑨,𝑽𝒂𝒑=𝒀 𝑨𝒔 𝑷

ou 𝑷 𝑨𝒔=𝑿 𝑨𝒔𝑯

2. Especificação do Fluxo sobre uma superfície

Fluxo de molar especificado

Superfície impermeável𝝏𝑪 𝑨

𝝏𝒛 |𝒛=𝒔

𝑵 𝑨𝒔=𝟎

3. Especificação da velocidade da reação química

𝑹𝑨=𝑵 𝑨 𝒔=𝑲 𝒔𝑪 𝑨𝒔