Equações de diferençasProfa: Ana Maria Luz2013.2

Tempo Discreto

A variação temporal envolvida em modelos econômicos, podem ser de duasformas:1) quando o tempo varia continuamente, a variação é uma grandeza infinitesimal, daí, a mudança na variável dependente é descrita por derivadas ou diferenciais;2) quando o tempo é considerado uma variável discreta, ou seja, t assuma apenas valores inteiros, o conceito de derivada perde sua aplicabilidade e o padrão de mudanças da variável dependente é descrito pelas chamadas diferenças.Neste sentido, o modelo dinâmico que procura determinar a trajetória no tempo, é descrito pelas equações de diferenças. Neste caso, a variável dependente só assume um valor diferente no tempo quando t muda de um valor inteiro para outro. Sob este ponto de vista, é mais conveniente interpretarmos valores de t relacionados a períodos de – ao invés de pontos no – tempo. Assim, quando denotamos t = 1, significa período 1, t =2, período 2, e sucessivamente. Entretanto, este “período” nem sempre é usado no sentido do calendário, mas no sentido analítico.

Equações de diferenças de1ª ordem

A mudança de tempo contínuo para discreto não produz nenhum efeito sobre a natureza básica da análise dinâmica, apesar de alterar a sua formulação.

O padrão de mudança, agora é representado pelo quociente diferencial Δy/Δt, que é o análogo discreto da diferencial dy/dt.

Como t só pode assumir valores inteiros, necessariamente Δt = 1, por isso o quociente diferencial se torna simplesmente Δy.

Naturalmente, a expressão Δy pode assumir vários valores, dependendo de 2 períodos consecutivos envolvidos na extração da diferença. Para indicar o período a que se refere a diferença indicamos por um índice subscrito na variável dependente e definiremos a diferença de primeira ordem na forma específica:

Δyk = yk+1 – yk (1)onde yt indica o valor de y no t-ésimo período e yt+1 o seu valor no período

seguinte.Com esta notação, podemos descrever o padrão de mudanças de y na

forma:Δyk = 2, ou Δyk = – 0,1yk (2)

Equações de diferenças de1ª ordemPodemos obter as equações de diferenças como aproximações

das equações diferenciais continuas. Considere o seguinte exemplo:

dy/dt=λy

Queremos uma análise discreta do problema, t só assume valores inteiros, como se y(t)=y(k∆t) (necessariamente Δt = 1)

)(y(t)-t)y(t

lim0

tytt

∆tt

y

Equações de diferenças de1ª ordem

Se usarmos a notação que yk=y(k∆t) então obtemos que

Logo uma aproximação para dy/dt=λy seria

t

yy

dt

dy kk

1

t

tkyttky

dt

dyt

tytty

dt

dy

)()(

)()(y(t)=y(k∆t)

kkk y

t

yy 1

kk yty )1(1

Equações de diferenças de1ª ordem

Obtemos uma equação de diferenças de 1ª ordem que aproxima uma equação diferencial de 1ª ordem

Uma solução de equação de diferenças acima é uma sequência de números y0,y1,y2,...

kkk ytytkfy

yytfdt

dy

)1),(

),(

1

ok

kk

o

o

o

yyy

yyy

yy

y

)1)1

)1)1

)1

1

212

1

Equações de diferenças de1ª ordem

Para o exemplo anterior temos que a solução é dada pela seqüência:

Este processo é conhecido como método iterativo.

Outra forma de se obter a expressão geral da seqüência que é solução da equação de diferenças de 1ª ordem é explicado a seguir.

Soluções de Equações de diferenças de 1ª ordemO método geral para obter a solução de uma equação de

diferenças de primeira ordem na forma linear:yk+1 + ayk = b (3)

onde a e b são constantes arbitrárias, consiste em construir uma solução de duas componentes: uma função yp que é solução particular da equação não-homogênea completa (3) e uma função complementar yc que é solução geral da equação reduzida:

yk+1 + ayk = 0 (4)A função complementar é da forma da solução obtida no

exemplo, ou seja,é da forma yc = Ark, que em (4) – já que deve satisfazer a equação homogênea – se torna:

A (r)k+1 + a A (r)k = 0 r = – a y⇒ ⇒ c = A(– a)k

Soluções de Equações de diferenças de 1ª ordem

A função particular, que está relacionada com a equação completa, pode ser escolhida por qualquer tentativa que satisfaça (3), a mais simples é yp = C, que em (4):

C + aC = b C(1+a) =b ⇒ ⇒ C=b/(1+a) se (a ≠ -1)Se a = -1, devemos tentar yp = kC. Daí, em (3) temos:

C(k+1) + akC = b ⇒ C(k+1) + (-1)kC = b C=b⇒ .

Portanto, yp = kb . Assim, somando yc e yp obtemos a solução geral dada por:

yk = A(-a)k + b/(1 + a) (5)

yk = A(-a)k + kb = A[-(-1)]k + kb (6)

solução geral, no caso em que a ≠ -1

solução geral, no caso em que a = -1

Soluções de Equações de diferenças de 1ª ordem

Se tivermos uma condição incial yk=yo quando k=0 substituindo em (5) e (6) obtemos que:

No caso que a≠-1

y0 = A + b/(1 + a) A= ⇒ y0-b/(1+a)

⇒yk=( y0 -b/(1+a) )(-a)k+ b/(1+a) No caso em que a=-1

y0 = A y⇒ k= yo[-(-1)]k + kb

Equações de diferenças de2ª ordem

Motivação: Considere a EDO de 2ª ordem:

y’’+p y’+q y=g

y´´=f(t,y,y´)

)',,((t)y'-t)(ty'

lim0

yytftt

t

tytty

dt

yd

)(')('

2

2

Exemplo: y’’=-y

)()(')('

tyt

tytty

Equações de diferenças de2ª ordem

t=k∆ty(t)=y(k ∆t)yk=y(k ∆t)

)()()()())((

22ty

t

tytty

t

ttyttty

)()()(2)2(

2ty

t

tyttytty

022

2

12

12

kkk

kkkk

yyy

yyyy

Equações de diferenças de2ª ordem

yk+2=f(k∆t, yk ,yk+1)

Se f for linear de um modo geral temos

(7)

Aqui assim como no caso da equação de diferenças de primeira ordem a solução é da forma:

yk= solução do caso homogêneo (yc) + solução particular (yp)

gqypyy kkk 12

Soluções de Equações de diferenças de 2ª ordem

O caso homogêneo:

(8)

tem como candidato a solução yc = Ark substituindo em (8) obtemos a equação

Ark(r2+pr+q)=0 r⇒ 2+pr+q=0

Caso 1: (p2-4q>0) Duas raízes reais distintas r1 e r2

yc = A1r1k+A2r2

k

012 kkk qypyy

Soluções de Equações de diferenças de 2ª ordemCaso 2: (p2-4q=0) Duas raízes reais repetidas r1=r2

yc = A3r1k+A4 k r2

k Caso 2: (p2-4q<0) Duas raízes complexas

conjugadas

r1=a+bi r2=a-biUsando a Fórmula de De Moivre(a+bi)k=Rk(cos(θk)+i sen(θk) ) temos que

yc=Rk(A5cos(θk)+A6 sen(θk) ) cos(θ)=a/R sen(θ)=b/R

22 baR

Soluções de Equações de diferenças de 2ª ordemCandidato a solução particular: yp = C.

Substituindo em (7) obtemos

C+pC+Cq=g ⇒

Caso p+q=-1 a solução experimental yp = C não funcionará e tentaremos yp = kC. Substituindo obtemos

(k+2)C+p(k+1)C+qkC=g

C[(p+q+1)k+2+p]=g. Como p+q=-1 temos

)1(1

qpqp

gC

)2(2

pp

gC

Caso p+q=-1 e p=-2 a solução experimental yp = kC não funcionará então podemos tentar para solução particular yp = k2C...

Soluções de Equações de diferenças de 2ª ordem

Referências

Matemática para Economistas: A. Chiang. Editora Mc Graw Hill

Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Boyce e Di Prima