EQUAÇÕES DE MAXWELL AULA 13 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 1

P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S

EQUAÇÕES DE M

AXWELL

AU

L A 1

3

1


INDUTÂNCIA

2

Consideremos dois circuitos em repouso. Pela lei de Biot-Savart o campo criado pela corrente que flui no circuito 1 é dado por:

B1

i1

C2

C1

dl2

dl1

r

i2

1

0 11 1 24

r

C

ir

dl e

B

O fluxo através de uma superfície fechada S, limitada pelo circuito 2 é dado por:

2 1 2.S

B da

P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S3

Como o campo produzido pela espira 1 é proporcional a i1 o fluxo na superfície limitada pela espira 2 também deve ser proporcional a i1:

2 21 1M i Indutância mútua entre os dois circuitos

Vamos expressar agora o campo criado pela espira 1 em termos do potencial vetor e usar esse resultado para escrever o fluxo através da espira 2:

2

2 1 2 1

2 1 2 2 1 2

0 01 12 2 1 21 2

. . .

. .4 4

S S C

C C C C

i Mr r

B da A da A dl

dl dldl dl

Fórmula de Neumann

INDUTÂNCIA II


INDUTÂNCIA III

4

Propriedades da indutância:

1. É uma quantidade puramente geométrica;

2. M21 = M12 = M : temos simetria.

O que acontece se a corrente no circuito 1 variar? O fluxo no circuito 2 também vai variar e consequentemente teremos uma força eletromotriz agindo no circuito 2:

2 12

d diM

dt dt

P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 5

A variação de corrente no circuito 1 também induz uma variação de fluxo no próprio circuito 1 => auto-indutância (L):

11 1 1 1 1 ; Henri (H)

diL i L L

dt

- Com a indutância mútua, a auto-indutância (ou simplesmente indutância) depende apenas de fatores geométricos e é uma constante.

- Do mesmo modo, o fato de variar a corrente no circuito 1 faz com que apareça uma força eletromotriz que tende a fazer com que a corrente no circuito volte a seu valor anterior: chamamos esta fem de contra fem;

- A indutância faz então o papel da massa em problemas da Mecânica.

INDUTÂNCIA IV


ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS

6

Qual o trabalho que deve ser realizado para estabelecer uma certa corrente em um circuito?

Esse trabalho é realizado contra a força eletromotriz contrária.

212

dW dii L i W Li

dt dt

Trabalho por unidade de carga (ao longo do

circuito)

Valor final da corrente


Lembrando que:

1. .. . . 2

C Cs S C

Li

Li W i

A dl A dlBda A da A dl

Escrevendo a corrente vetorialmente:

3

1 1. .

2 2

1.

2

C C

V

W i i

W d r

A dl A i i dl

A J

ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS II


ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS IIIO volume V é o volume onde estão as correntes. Usando agora a lei de Ampére para eliminar J desta equação:

3 3

0

1 1. .

2 2

Usando:V V

W d r d r

A J A B

A B B A A B

Podemos escrever que:

2 3 3

0

2 3

0

1W=

2

1W=

2

V V

V S

B d r d r

B d r

A B

A B da


ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS IV

Podemos estender, já que as correntes são nulas fora dos circuito, a integral para todo o espaço. No infinito, a integral se superfície se anula e então:

2 3 2 30m e

0

1W = W =

2 2V V

B d r E d r

A energia fica armazenada no

campo!

Caso eletrostático


EQUAÇÕES DE MAXWELL

10

Quando olhamos para as equações que temos agora, observamos uma inconsistência na lei de Ampére:

00 0 B J

Sempre! Em geral


Para resolver esse problema vamos olhar para a equação da continuidade:

0t t

J E

Se somarmos esse termo à lei de Ampére, recuperamos a igualdade sempre. Logo a forma correta da Lei de Ampére será dada por:

0 0 0 0t

E

B J B

Lei de Ampére com a correção devida a

Maxwell

Corrente de deslocamento

EQUAÇÕES DE MAXWELL II


EQUAÇÕES DE MAXWELL III

12

Um problema interessante

Se analisarmos esse problema com a velha formulação da lei de Ampére seremos levados a uma contradição. Se aplicarmos a lei de Ampére considerando a superfície arbitrária 1:

0. 0enc

C

i Bdl

i

+

Circuito amperiano

_

Superfície arbitrária 2

Superfície arbitrária 1


Por outro lado, se usarmos a superfície arbitrária 2:

0. 0enc

C

i BdlVamos agora analisar o mesmo problema, usando a formulação correta da lei de Ampére. O caso da superfície arbitrária 1 continua o mesmo, mas o que acontece agora coma superfície arbitrária 2?

Por simplicidade, vamos supor que as placas do capacitor estejam suficientemente próximas:

0 0 0 0

1 1 dqE iE q

A t A dt A

EQUAÇÕES DE MAXWELL IV


EQUAÇÕES DE MAXWELL V

Portanto, agora, se calcularmos usando a superfície 2 e a forma correta da lei de Ampére:

0 0 0 0 0 00

. 0encenc enc

C S

ii i

t

E

Bdl da


EQUAÇÕES DE MAXWELL VI

Podemos agora escrever as equações de Maxwell na sua forma final (no vácuo):

0

0 0 0

1)

2) 0

3)

4)

t

t

E

B

BE

EB J

Lei de Gauss

Lei de Gauss

Lei de Faraday

Lei de Ampére (com a correção devida a Maxwell)


Estas equações nos fornecem os campos criados por cargas e correntes. A ação dos campos sobre as cargas e correntes é dada pela força de Lorentz:

q F E v BObs.: a equação da continuidade da carga é uma conseqüência destas equações. Em meios materiais:

1)

2) 0

3)

4)

l

l

t

t

D

B

BE

DH J

0

0

1

D E P

H B MNecessitamos saber:

EQUAÇÕES DE MAXWELL VII


COMO FICA O POTENCIAL AGORA?

17

Vamos usar a definição do campo magnético em função do potencial vetorial na Lei de Faraday:

0

t t

t

t t

BE A

AE

A AE E

Um novo potencial!


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL

18

Leis de ConservaçãoEnergia

Momento

Momento angular

Carga


1. Carga3( ) ( , )

V

q t t d r r

Por outro lado o fluxo de carga através da superfície que limita o volume S é dado por:

.S

dq

dt J da

3 3( , )

( , )0

V V

td r d r

t

t

t

r

J

rJ

Conservação da carga

LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA

19


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

P R O F PA U L O R O S A

D F I / C C E T / U F M S20

Teorema de Poynting

No caso da eletrostática e da magnetostática a energia total armazenada nos campos elétrico e magnético é dada pela soma:

22 3

00

12 2em

BU E d r

Como fica no caso dinâmico?

Qual a quantidade de trabalho (dW) executada pelos campos elétrico e magnético em um intervalo de tempo dt? Pela força de Lorentz:

i

i

E

B3

3

. ( ).

.V

q dt

q d r

dWd r

dt

Fdl E v B v

v J

E J


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA II

Vamos agora usar a lei de Ampére para eliminar a densidade de corrente da expressão anterior (e ficar com uma expressão que depende apenas dos campos):

00

1. . .

t

EE J E B E

Vamos usar agora a identidade vetorial:

( ) . . E B B E E B

Podemos reescrever:

00

00

1. . .

1. . .

t

t

EE J E B E

EE J B E E B E


Usando agora a lei de Faraday e a identidade:

21

.2

A

t t

A

A

2 20

0 0

2 2 30

0 0

1 1 1.

2

1 1 12

V

E Bt

dWE B d r

dt t

EJ E B

E B

LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA III

Podemos reescrever a expressão acima como:


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA IV

P R O F PA U L O R O S A

D F I / C C E T / U F M S

Após aplicar o teorema da divergência ao último termo obtemos:

2 2 30

0 0

1 1 1.

2V S

dW dE B d r

dt dt

E B da Teorema de Poynting.

Vetor de Poynting (S)

Uem


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA VUsando uma notação mais compacta:

3 .em

V S

dW dU d r

dt dt Sda

Por outro lado, esse trabalho aparece como variação na energia mecânica do sistema de partículas:

3mec

V

dW dU d r

dt dt Portanto:

3 3.

0

em mec

V S V

em mec

dU U d r d r

dt

U Ut

Sda S

S

Equação da continuidade

para a energia


q1

q2

y

x

z

B1Fe

Fm

B2Fe

Fm

v

v

As forças magnéticas não obedecem à terceira lei de Newton - > Temos que rediscutir a conservação do momento.

LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO

Os campos são portadores de momento!


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO IITensor Stress de Maxwell

Uma pequena questão: qual a força total exercida pelos campos sobre as cargas presentes em um dado volume?

3

3

( )

( )

V

V

d r

d r

F E v B

F E J B f E J B

Força por unidade de

volume.

Vamos usar agora as leis de Ampére e de Gauss para eliminar a densidade de carga e a densidade de corrente:

0 00

1t

Ef E J B E E B B


Podemos reescrever o último termo na forma:

t t t

t t

E BB E B E

EB E B E E

Logo:

0 00

1t

f E E E E B B E B

LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO III


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO IV

Como o divergente de B é nulo podemos soma-lo a esta última expressão. Além disso, podemos fazer uso da identidade vetorial:

2 2 E.E E E E E

Com isso, a força por unidade de volume será dada por:

00

2 20 0

0

1

1 12

E Bt

f E E E E B B B B

E B


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO V

Podemos simplificar esta expressão, introduzindo o tensor Stress de Maxwell:

\]

2 20

0

1 1 12 2

.

ij i j ij i j ij

i ij j

T E E E BB B

aTaT

A i-ésima componente do divergente deste tensor é dada por:

20

2

0

12

1 12

j j jj

j j j

E E E

B B B

T E E

B B

\]


Em termos do tensor Stress de Maxwell, a força por unidade de volume pode ser escrita como:

0 0 t

S

f T\]

E a força no volume V será dada por:3 3

0 0

30 0

V V

S V

d r d rt

dd r

dt

SF f T

F T da S

\]

\]

LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO VI


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO VII

Qual a interpretação dessas quantidades?

• Tij : força na direção i exercida sobre um elemento de área da superfície S, orientado na direção j

• Os elementos da diagonal representam pressões;

• Os elementos fora da diagonal representam shears (cisalhamento).

xj

xi

Tij (ij)

Tjj


LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO VIII

Podemos agora obter a expressão para a conservação do momento:

30 0

3 30 0

3 3 3

0

mec

V S

mecem

V S V S

mecem

V V V

mec em

d dd r

dt dt

d d dd r d r

dt dt dt

d r d r d rt t

t

PF S T da

PS T da p T da

pp T

p pT

\]

\]\]

\]

\]]]]]]]]]]]]] ]

Densidade de fluxo de momento para fora do elemento de volume


Da definição de momento angular, o momento angular por unidade de volume (l) será dado por:

0em em l r p r E B

Desde que tenhamos o produto vetorial de E por B não nulo, este termo deve ser levado em conta na conservação do momento angular.

E o momento angular total (L) em um volume V:

30em

V

d r L r E B

LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR


FIM D

A AULA

13

Fim

do

Curso

de El

etro

mag

netis

mo

I

34

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