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Estabilidade não linear de

estruturas: estruturas “thin-

walled”, estruturas recticuladas,

análise 3D e aspectos

numéricos

Pedro D. Simão

( pedro@dec.uc.pt )

Coimbra, 25 de Junho de 2009

Jornadas INESC-Coimbra

2

Índice• Análise de estruturas “thin-walled” – a GBT

• Estratégias numéricas:

i) a aplicação do Método de Rayleigh-Ritz e a

discretização natural do funcional

ii) o problema bifurcacional, “path-switching”, estados

críticos secundários e fenómenos de instabilidade

localizada

• Análise de estruturas recticuladas: influência das “column

splices” na estabilidade do elemento e da estrutura:

iii) ligação entre corpos: o método dos multiplicadores

de Lagrange e o Método e Rayleigh-Ritz

• Desenvolvimentos futuros

3

Estruturas enformadas a frio de

paredes finas (thin-walled cold-formed structures)

Os elementos estruturais são obtidos por dobragem de uma chapa

metálica

O sub-sector da construção “cold formed” é ,na Europa, o que

apresenta a maior taxa de crescimento em volume de negócios no

sector da construção metálica

As dobragens na chapa é que geram a rigidez do elemento

estrutural, num princípio semelhante ao “Origami”.

44

Análise estrutural: devido à grande esbelteza (baixa espessura dos

elementos), são elementos muito sujeitos a vários

fenómenos de instabilidade: local, distorcional e

global

requerem métodos de análise avançados (GBT, FSM

ou FEM) capazes de modelar estes fenómenos

Estruturas enformadas a frio de

paredes finas

5

GBT - Generalized Beam Theory:

é uma teoria de modelação do comportamento de estruturas prismáticas de

paredes finas (thin-walled)

é uma alternativa “meshless” muito eficaz aos métodos clássicos: faixas

finitas (FSM) e elementos finitos (FEM)

baseia-se no conceito de modo de deformação da secção transversal:

Alongamento

axial

Flexão eixo

forteFlexão eixo

fraco

torçãoModo de corte

(“shear lag”)

Modos

distorcionais:

45 mm

170 mm

15 mm

1.6 mm

15 mm

6

GBT - Generalized Beam Theory:

Os deslocamentos num qualquer ponto do elemento são

descritos pela combinação linear, para todos os modos de

deformação, do produto do deslocamento que ocorre para

uma configuração unitária do modo de deformação (função

de y e z) por uma função de amplitude desse modo no

ponto (função de x)

Os modos de deformação estabelecidos inicialmente são

tornados ortogonais através de uma sequencia de

problemas de valores-vectores próprios generalizados

Adopta-se as relações da Teoria da Elasticidade para

grandes deslocamentos – formulação Lagrangeana.

7

• o potencial do carregamento exterior:

• a energia potencial total (TPE):

L

n

1k

n

1r

k

r

k

r,x

L

n

1k

n

1r

k

r

k

r,zr

k

r,y

MD NTMD NT

xdAuxqxdAwxqvxq

33

MD

21 xx

33

xx

22n

2kxx

k

zr

k

yr

k

xx

1 AMAMAFwFvAP

• a energia de deformação interna (expressão longa):

dxdA2

1

2

1

2

1

2

1

2

1U

L

0 A

B

sx

B

sx

B

s

B

s

B

x

B

x

M

sx

M

sx

M

x

M

xi

iUVEsta formulação i) é consistente com as relevantes

relações de elasticidade para grandes deslocamentos, ii)

contém termos de 3ª ordem, possibilitando análise de pós-

encurvadura, e iii) trata todos os fenómenos relevantes da

Teoria da Estabilidade usando um procedimento unificado

GBT – a formulação energética:

8

A aplicação do método de Rayleigh-Ritz:

Estratégias numéricas

Descrição: método para determinar as funções fi(xj) que

maximizam/minimizam um funcional, sujeito a um conjunto de

condições de fronteira.

Aplicação: os estados de equilíbrio de uma estrutura são os

estados que estacionarizam o funcional da TPE.

Início: o funcional da TPE, na forma

vai transformar-se numa função gradiente de potencial:

através da aproximação de cada função de amplitude modal kA

pela combinação linear de um conjunto de funções coordenadas

pré-estabelecidas kφi que respeitam as condições de fronteira

relevantes:

L

0

kkk xdP,xA,xA,xAFV

P,aVV i

xaxaxaxAkk n

k

n

k

2

k

2

k

1

k

1

kk

9

Forma das condições de fronteira:

sem grande utilidade matemática, pois formam um sistema

homogéneo

0Axx

ik

No entanto, adicionando ao sistema das condições de fronteira

condições de normalidade e de ortogonalidade, da forma

pode obter-se um método que gera sequencialmente um conjunto

infinito de funções coordenadas polinomiais, ortogonais entre si,

permitindo i) aproximar uma função de forma tão rigorosa quanto

desejado, e ii) escolher as condições de fronteira a adoptar no problema

L

j

k

i

k

ji0

ji0cdx

if

if

A aplicação do método de Rayleigh-Ritz: o

método de discretização natural

Estratégias numéricas

10

Os 3 primeiros polinómios considerando as seguintes condições de

fronteira:

A aplicação do método de Rayleigh-Ritz:

0

0

0

0

Lx

i

0x

i

Lx

i

0x

i

11

Objectivo: para o sistema de equilibrio do problemadiscretizado

Ci

n1

i n,,1i,0a

VP,a,,aV C

pretende-se:

i) Calcular os conjuntos de valores ia e P que satisfazem osistema de equilíbrio, partindo de uma soluçãoconhecida – pesquisa das trajectórias de equilíbrio

ii) Em cada ponto do espaço ia-P que é solução do sistemade equilíbrio, analisar a estabilidade desse estado deequilíbrio

O formalismo bifurcacional (Thompson & Hunt 1973)

Estratégias numéricas

12

Os estados de pós-encurvadura são determinados

resolvendo o sistema de equilíbrio transformado na

vizinhança do estado crítico:

A’

B’

jq=c

jq=-c

P

ja

ia

jq>0

jq<0 B

A jq=c’>c

C’

C

FP

PBP

critical state

O

controljn,,1j

,n,,1i,0P,qWq,PPaV

c

c

j

i

i

FP

i

As coordenadas deslizantesiq são obtidas da

transformação W:

qPaa iFP

ii

O formalismo bifurcacional (Thompson & Hunt 1973)

Estratégias numéricas

13

Exemplo ilustrativo: secção HFB submetida amomento uniforme, para L=1600mm

14

Análise de estruturas recticuladas:

Influência das “column splices” na estabilidade de

um elemento comprimido

(Ana M. Girão Coelho, Pedro D. Simão, Franz Bijlaard)

NEd

Kb

Kb

x, u

NEd

Ka

Ka

z, w

Kc C

I

II

Trabalho encomendado pela indústria

holandesa e feito em colaboração com a TU Delft

caracterizou-se o comportamento de uma

coluna com uma ligação intermédia viga-viga

(splice) e estabeleceu-se um critério para o valor

mínimo da rigidez dessa ligação por forma a

poder considerar-se a coluna como contínua

Influência das “column splices” na estabilidade de

um elemento comprimido

NEd

Kb

Kb

x, u

NEd

Ka

Ka

z, w

Kc C

I

II

Neste caso desenvolveu-se também uma formulação energética,

criando a energia potencial total (TPE) do sistema:

Para obrigar que os deslocamentos segundo xx e zz no ponto C,

para os elementos I e II, foram impostas duas condições

adicionais, que foram introduzidas no problema global através do

Método dos Multiplicadores de Lagrange

Desta forma o MRR pode lidar com a análise de sistemas

formados por vários corpos, tornando-se num método “meshless”

alternativo ao MEF, exibindo várias vantagens

C,,iB,,iB,,iA,,iA,,iII,iI,i UUUUUUUV

iii) ligação entre corpos: o método dos multiplicadores de Lagrange e o

Método de Rayleigh-Ritz

Desenvolvimentos futurosAlguns tópicos de desenvolvimentos

futuros:

análise de fenómenos de bifurcação

secundária e localização

generalização da GBT para secções de

forma qualquerGraves-Smith & Sridharan

estudo da interacção entre os fenómenos de instabilidade do elemento

e de instabilidade da estrutura em estruturas “thin-walled”

análise do comportamento de elementos prismáticos submetidos a

esforços de flexão composta desviada e torção

análise de estabilidade de estruturas tri-dimensionais, envolvendo

todos os fenómenos relevantes, como sendo o comportamento dos

elementos, das ligações, etc. Fim