ESTATÍSTICA

Professor: Dionísio Sá

Medidas de Tendências Centrais

&

Mediadas de Dispersão

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Média Aritmética Média Aritmética Ponderada Mediana Moda

MÉDIA ARITMÉTICA (Xm):.

É o quociente de dois ou mais valores pela quantidade de valores observados

Exemplo:

Os jogadores titulares de vôlei do Brasil tem as seguintes alturas: 1,92m, 1,96m, 1,99m, 2,01m 2,03m e 2,04m. Calcule a altura média da seleção.

6

04,202,201,299,196,192,1 mX

mXm 99,16

94,11

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (XM):

É o quociente da soma dos produtos obtidos entre cada fator de ponderação e o valor correspondente observado pelo total dos fatores de ponderação.

Exemplo:

Na minha turma há 14 alunos com 15 anos, 16 com 16, 5 com 17, 2 com 18 e 3 com 19. Determine a media de idade desta turma.

3251614

19318217516161514

MX

anosXM 161,1640

644

40

573685256210

MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS

AGRUPADOS:

Quando a variável estudada apresenta seus dados agrupados em uma distribuição de freqüência com intervalos, devemos encontrar, primeiro, o valor médio (ponto médio) para cada intervalo.

Exemplo: Numa

empresa os salários dos funcionários estão distribuídos conforme a tabela seguinte:

4002

450350

5002

550450

6002

650550

7002

750650

8002

850750

9002

950850

Tempo Valor médio

350 —|450 3

450 —| 550 2

550 —| 650 7

650 —| 750 6

750 —| 850 4

850 —| 950 2

246723

900280047006600750024003

MX

24

180032004200420010001200 MX

reaisX M 65024

15600

MEDIANA

MEDIANA de um grupo de valores ordenados de modo crescente ou decrescente é o valor que divide o grupo observado em duas partes com a mesma quantidade de termos (é o termo central ou a média aritmética dos dois termos centrais).

Exemplo 01:

Considere as estaturas, em centímetros, de cinco amigos: 177, 185, 174, 187 e 176.

177 185 174 187 176

Exemplo 02:

Vamos, agora analisar a idade de outros seis amigos: 18, 15, 25, 23, 19, 17 anos.

18 15 25 23 19 175,182

37

2

1918

mX

MEDIANA PARA DADOS

AGRUPADO SEM INTERVALOS: Exemplo 01: A tabela

abaixo representa a distribuição de freqüência acumulada das notas obtidas por 25 alunos, numa avaliação de Biologia.

Nota A

4,0 1 1

5,5 5 6

6,0 3 9

8,5 8 17

9,0 5 22

10,0 3 25

MEDIANA PARA DADOS AGRUPADO SEM INTERVALOS

Como temos 25 alunos, o termo central é o 13º

Nota A

4,0 1 1

5,5 5 6

6,0 3 9

8,5 8 17

9,0 5 22

10,0 3 25

Exemplo 02: Consideremos, agora, a tabela de distribuição de freqüência e a freqüência acumulada dos salários mensais de 20 funcionários.

Salário(em real) A

550 6 6850 4 10950 8 18

1500 2 20

2

n1

2n

Quando a quantidade de termos (n) for par, obtemos a posição dos termos centrais, fazendo: e

2

n

Assim temos:

e, após determinarmos quais

são esses termos, devemos fazer a média aritmética deles, o valor

encontrado será a mediana.

posiçãon

ª102

20

2

posiçãon

ª1112

20

2

Salário (em real) A

550 6 6

850 4 10

950 8 18

1500 2 20

850

950

4

8

10

18

Após determinarmos quais são esses termos, devemos fazer a média aritmética deles, o valor encontrado será a mediana.

reaisXm 9002

1800

2

950850

MODA:

É o termo ou termos que se destacam por apresentarem a maior freqüência no grupo pesquisado.

Obs: Caso cada elemento aparece o mesmo número de vezes, o conjunto de dados não possui moda

Exemplo 01:

A tabela abaixo representa a distribuição de freqüência das notas obtidas por 25 alunos, numa avaliação de Biologia.Como a maior freqüência (8) corresponde a nota 8,5, podemos afirmar que a moda desse grupo é 8,5

Nota 4,0 15,5 56,0 38,5 89,0 5

10,0 3

Exemplo 02:

Consideremos, agora, a tabela de distribuição de freqüência e a freqüência acumulada dos salários mensais de 25 funcionários.Como a maior freqüência (6) apareceu duas vezes, temos duas modas: 550 reais e 1500 reais

Salário (em real)

550 6850 4950 4

1500 61800 5

MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA OU

DESVIO: É a diferença entre cada valor e a média do grupo.

VARIÂNCIA (V): É a média aritmética dos quadrados dos desvios.

DESVIO PADRÃO (Dp): É a raiz quadrada da variância. Quanto menor for o desvio padrão, significa que o grupo de estudo é mais homogêneo, isto é, apresenta-se menos disperso.

Exemplo:

Para uma campanha de erradicação da dengue, aplicou-se uma avaliação com a finalidade de selecionar as pessoas que iriam auxiliar nos trabalhos. Para isso, apresentaram-se 10 testes de conhecimentos gerais para 2 grupos de 9 voluntários cada. O número de acertos em cada um dos grupos foi registrado na tabela a seguir.

A 4 5 5 5 7 7 7 7 7B 1 2 3 3 7 9 9 9 10

69

54

9

777775554

mAX

69

54

9

10109973321

mBX

Observe que a média aritmética de todos os grupos é a mesma:

A 4 5 5 5 7 7 7 7 7B 1 2 3 3 7 9 9 9 10

Observe também, que a mediana de todos os grupos é 7.

7777

se comparássemos apenas essas duas medidas (média aritmética e mediana) teríamos de concluir que o desempenho dos dois grupos seria exatamente o mesmo, contudo isto não é real. Por esse motivo será necessário trabalharmos com as medidas de dispersão para, com isso, termos uma melhor avaliação dos grupos.

Agora vamos calcular as variâncias dos dois grupos:

Grupo A

Valores Xi Média Xm Desvio Xi – Xm Quadrados dos desvios

4 6 – 2 4

5 6 – 1 1

5 6 – 1 1

5 6 – 1 1

7 6 1 1

7 6 1 1

7 6 1 1

7 6 1 1

7 6 1 1

Soma dos quadrados dos desvios = 12

Grupo AValores Xi Média Xm Desvio Xi – Xm

4 6 – 2

5 6 – 1

5 6 – 1

5 6 – 1

7 6 1

7 6 1

7 6 1

7 6 1

7 6 1

Soma dos desvios = 0

Grupo BValores Xi Média Xm Desvio Xi – Xm

1 6 – 5

2 6 – 4

3 6 – 3

3 6 – 3

7 6 1

7 6 1

9 6 3

9 6 3

10 6 4

Soma dos desvios = 0

Grupo B

Valores Xi Média Xm Desvio Xi – Xm Quadrados dos desvios

1 6 – 5 25

2 6 – 4 16

3 6 – 3 9

3 6 – 3 9

7 6 1 1

9 6 3 9

9 6 3 9

10 6 4 16

10 6 4 16

Soma dos quadrados dos desvios = 110

Variância:

Grupo A

Grupo B

.....33333,19

12

.....222222,129

110

Vamos calcular agora o desvio padrão de cada grupo

Grupo A

Grupo B

1547,1.....33333,1 Dp

4960,3.....22222,12 Dp

Como o menor desvio padrão é 1,1154; podemos concluir que o grupo que apresenta maior homogeneidade, ou seja o grupo menos disperso

é o grupo Agrupo A.