UFRJ - Engenharia de Produo 2008/02. Probabilidade e Estatstica
- Professor Jos Miguel Bendrao Saldanha. 1 lista de exerccios -
Estatstica Descritiva. 1) Explique, usando suas prprias palavras, o
que so: a) universos, variveis, populaes e amostras; b) variveis
qualitativas e quantitativas, discretas e contnuas; c) escalas de
medida; d) freqncia, freqncia relativa e freqncia acumulada, e e)
classe, amplitude de classe, limites aparentes e limites reais de
classes. 2) Escolha uma pesquisa de opinio publicada recentemente
em algum jornal ou revista de circulao nacional. Analise
criticamente a matria publicada, principalmente a forma de
apresentao dos resultados. Verifique a validade das concluses
expostas na matria. Comente. 3) Faa uma estimativa, pelo mtodo que
quiser, do tempo de lazer que as pessoas de um determinado bairro
dedicam em mdia por ms a cada atividade (cinema; praia; televiso;
esportes; leitura; outros). Se quiser, escolha outras atividades.
Esboce o(s) grfico(s) que representa(m) adequadamente estas
estimativas. 4) Considere a quantidade de aulas que os alunos do
curso de engenharia de produo assistem numa determinada semana.
Estime a distribuio dessa quantidade, pelo mtodo que quiser, e
esboce um grfico que represente a distribuio. 5) Pesquisa eleitoral
realizada pelo Datafolha nos dias 23 e 24 de julho de 2008 indicou
as seguintes intenes de voto para prefeito do Rio de Janeiro,
conforme a escolaridade e a renda familiar mensal (resposta
estimulada e nica, em %).ESCOLARIDADE RENDA FAMILIAR MENSAL
Candidato Marcelo Crivella (PRB) Jandira Feghali (PCdoB) Eduardo
Paes (PMDB) Gabeira (PV) Solange (DEM) Chico Alencar (Psol) Molon
(PT) Paulo Ramos (PDT) Vinicius Cordeiro (PTdoB) Eduardo Serra
(PCB) Filipe Pereira (PSC) Antonio Carlos (PCO) Em
branco/nulo/nenhum No sabe Total em % Total em nmeros absolutos
Total 24 16 13 7 5 3 2 2 1 0 0 0 16 10 100 928
Fund 27 14 12 4 8 4 1 3 1 0 0 0 13 13 100 355
Md 24 16 16 5 5 3 1 1 1 1 1 0 19 7 100 391
Sup 16 21 8 17 2 3 5 1 0 0 0 0 15 12 100 182
At 2 2 a 5 5 a 10 Mais de SM SM SM 10 SM 29 24 17 15 12 20 16 15
11 15 14 9 5 5 11 20 6 7 2 2 3 3 4 6 1 1 6 5 3 1 2 1 0 1 0 1 0 0 2
0 0 1 0 0 0 0 0 0 16 13 21 18 14 8 5 8 100 100 100 100 274 407 126
87
Esboce os grficos que representam a inteno de voto dos eleitores
(a) com escolaridade superior, e (b) com renda familiar inferior a
dois salrios-mnimos.
1
Em cada um dos exerccios 6 a 9 que seguem: a) identifique o(s)
universo(s) e a(s) varivel(is) que descreve(m) a situao, indicando
o(s) tipo(s) desta(s) (qualitativa, quantitativa discreta ou
quantitativa contnua) e que escala de medida utiliza(m) (nominal,
ordinal, intervalar ou proporcional); b) quando for conveniente,
agrupe os dados em classes, indicando claramente os seus limites
reais e aparentes; c) esboce os grficos que julgar mais adequados
representao dos dados, e d) quando se tratar de variveis
quantitativas, calcule a mdia, a mediana, a varincia, o
desvio-padro, o coeficiente de assimetria e o coeficiente de
curtose de cada varivel, usando, quando for conveniente, a
codificao de dados e a correo de Sheppard. 6) Um obra de grande
porte durou 50 semanas. As quantidades de acidentes ocorridos em
cada semana foram registradas e tabuladas, encontrando-se o
seguinte resultado: Acidentes por semana Quantidade de semanas 0 12
1 17 2 12 3 6 4 2 5 1
7) 50 pes franceses foram escolhidos ao acaso numa padaria e
pesados. Os pesos, em gramas, encontrados foram os seguintes: 47,2
50,2 48,0 49,4 48,8 52,0 51,0 49,3 49,2 46,7 47,5 48,9 50,9 49,9
52,9 48,3 47,9 49,4 49,5 52,4 51,2 50,5 50,9 51,0 51,6 48,4 52,3
47,8 50,4 46,1 49,0 52,1 51,1 50,3 48,7 51,4 49,6 46,1 49,6 54,1
50,8 47,5 47,6 52,0 48,4 49,8 47,1 49,6 48,9 52,7
8) As fichas de atendimento de um posto mdico registravam as
seguintes idades das crianas atendidas em certa manh, em anos
completos: 0 1 3 3 4 0 0 1 1 0 2 3 4 6 2 1 0 1 2 2
9) Foram medidos os tempos gastos em viagens de nibus da
Candelria Praa da Bandeira e encontraram-se os seguintes valores,
em minutos: 13 14 14 12 10 13 13 12 10 12 14 14 12 13 13 12 12 14
15 11 13 12 13 13 11
10) Uma agncia bancria foi observada durante 50 minutos do seu
horrio normal de funcionamento. As quantidades de clientes que
chegaram em cada minuto foram as seguintes: 0 1 0 0 2 7 1 3 1 3 3 3
1 2 0 4 0 2 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 2 0 2 5 0 1 1 4 1 3 1 2 2 1 3 1 2 2
3 5 2 1
a) Compute as freqncias e as freqncias acumuladas das observaes
e esboce os grficos que as representam adequadamente. b) Calcule a
mdia, o desvio-padro amostral e o coeficiente de assimetria dos
valores.
2
11) Abaixo esto os pesos, em gramas, de 25 ovos de galinha,
tamanho grande, produzidos num avirio. 57,7 58,8 58,8 58,6 58,7
59,0 59,1 57,8 56,9 59,7 58,9 58,8 57,2 57,7 58,4 58,0 57,9 58,4
58,8 58,9 56,6 58,3 56,7 57,6 58,6 a) Agrupe os dados em classes de
amplitude igual a 1 grama, de tal forma que o limite real inferior
da primeira classe seja igual a 55,95g, computando as freqncias e
as freqncias acumuladas de cada classe. Registre os limites reais e
aparentes de cada classe. b) Esboce um grfico que represente
adequadamente as freqncias acumuladas. c) Com o auxlio da codificao
de dados, calcule a mdia, o desvio-padro e os coeficientes de
assimetria e curtose dos dados, utilizando a correo de Sheppard no
clculo do desvio-padro. 12) O combustvel consumido por um veculo,
em litros, em 48 viagens pelo mesmo trajeto foi o seguinte: 9,18
9,62 9,16 9,46 10,71 10,10 10,20 8,48 9,21 10,64 8,85 9,46 11,11
11,15 10,30 13,17 9,81 10,61 9,47 9,90 9,74 10,61 8,47 9,80 12,51
9,49 8,87 10,39 10,73 11,04 10,42 9,92 9,98 8,36 9,75 9,86 12,96
9,19 10,14 10,12 10,79 10,01 10,16 10,87 8,81 9,04 9,49 9,36
a) Agrupe os dados em classes de amplitude igual a 1 litro, de
tal forma que o limite real inferior da primeira classe seja igual
a 5,995 litros e compute as freqncias e as freqncias acumuladas das
classes. Despreze as classes iniciais com freqncia nula. Esboce o
grfico que representa as freqncias acumuladas dos consumos. b)
Calcule a mdia, a mediana, o desvio-padro e os coeficientes de
assimetria e curtose do conjunto de dados, utilizando a codificao
de dados e, para o clculo do desviopadro, a correo de Sheppard.
3
1 lista - Resoluo de alguns exerccios 6) universo: semanas;
varivel: quantidade de acidentes - quantitativa discreta, escala
proporcional. Acidentes Quantidade por semana de semanas xi fi 0 12
1 17 2 12 3 6 4 2 5 1 totais 50 mdia: x = 72 / 50 = 1,44 .
varincia: 2 = 176 / 50 1,442 = 1,4464 . xdesvio-padro: x = 1,4464 =
1,20 . mediana: md = 1. coeficiente de assimetria a3 = (528 / 50 3
1,44 176 / 50 + 2 1,443 ) / 1,203 = 0,76 . coeficiente de curtose:
a4 = (1832 / 50 4 1,44 528 / 50 + 6 1,442 176 / 50 3 1,44 4 ) /
1,20 4 = 3,21 .7) universo: pes; varivel: peso; quantitativa
contnua, escala proporcional. limites aparentes 46,0 46,9 47,0 47,9
48,0 48,9 49,0 49,9 50,0 50,9 51,0 51,9 52,0 52,9 53,0 53,9 54,0
54,9 limites 45,95 46,95 47,95 48,95 49,95 50,95 51,95 52,95 53,95
reais 46,95 47,95 48,95 49,95 50,95 51,95 52,95 53,95 54,95 xi
46,45 47,45 48,45 49,45 50,45 51,45 52,45 53,45 54,45 fi 3 7 8 11 7
6 7 0 1 50 Fi 3 10 18 29 36 42 49 49 50 zi fi.zi fi.zi2 fi.zi3
fi.zi4 -3 -9 27 -81 243 -2 -14 28 -56 112 -1 -8 8 -8 8 0 0 0 0 0 1
7 7 7 7 2 12 24 48 96 3 21 63 189 567 4 0 0 0 0 5 5 25 125 625 14
182 224 1658
fi . xi fi . xi2 fi . xi3 fi . xi4 0 0 0 0 17 17 17 17 24 48 96
192 18 54 162 486 8 32 128 512 5 25 125 625 72 176 528 1832
Fi 12 29 41 47 49 50 0
zi = xi - 49,45 => xi = zi + 49,45. mdia (z) = 0,28; mdia (x)
= mdia (z) + 49,45 = 49,73. varincia (z) = 3,5616 = varincia (x).
varincia corrigida (z) = 3,5616 - 1/12 = 3,4783 = varincia
corrigida (x). desvio-padro (z) = 1,865 = desvio-padro (x).
coeficiente de assimetria (z ou x) = 0,24. coeficiente de curtose
(z ou x) = 2,5.
4
8) universo: crianas atendidas; varivel: idade; quantitativa
contnua, escala proporcional. idade limites reais 0 0 1 1 1 2 2 2 3
3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 Totais x(i) f(i) f.x f.x2 0,5 5 2,5 1,25
1,5 5 7,5 11,25 2,5 4 10 25 3,5 3 10,5 36,75 4,5 2 9 40,5 5,5 0 0 0
6,5 1 6,5 42,25 20 46 157 f.x3 0,625 16,875 62,5 128,63 182,25 0
274,63 665,5 f.x4 F(i) 0,3125 5 25,313 10 156,25 14 450,19 17
820,13 19 0 19 1785,1 20 3237,3
mdia = 2,3; varincia (corrigida) = 2,48; desvio-padro = 1,57;
mediana = 2. coeficiente de assimetria = 0,84; coeficiente de
curtose = 3,20. 9) universo: viagens; varivel: tempo de percurso;
quantitativa contnua, escala proporcional. tempo x (i) 10 11 12 13
14 15 limites reais 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 10,5 11,5 12,5
13,5 14,5 15,5 Totais f f.x (i) 2 20 2 22 7 84 8 104 5 70 1 15 25
315 f.x2 200 242 1008 1352 980 225 4007 f.x3 2000 2662 12096 17576
13720 3375 51429 f.x4 20000 29282 145152 228488 192080 50625 665627
F (i) 2 4 11 19 24 25
mdia = 12,6; varincia (corrigida) = 1,44; desvio-padro = 1,2;
mediana = 12,7. coeficiente de assimetria = -0,4; coeficiente de
curtose = 3,06. 10) a)
xi
f i Fi
f i xi
f i xi2
f i xi3
0 7 7 0 1 14 21 14 2 13 34 26 3 9 43 27 4 4 47 16 5 2 49 10 6 0
49 0 7 1 50 7 100 50
0 0 14 14 52 104 81 243 64 256 50 250 0 0 49 343 310 1210
16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7
5
b) x =
f i xi = 100 = 2. f i 50 2 f i xi2 ( f i xi ) n = 310 100 2 2 s
=x
50
n 1
49
= 2,245 s x = 2,245 = 1,498.
m3 fi xi3 3 x f i xi2 + 2 x 3 = 3 a3 = 3 , onde m3 = M 3 3 M 1 M
2 + M 1 = n n sx 1210 310 1210 1860 + 16 50 150 3 = 32 + 2 23 = = =
3 a3 = = 0,892. 50 50 50 50 1,498 311) a) limites reais 55,95 56,95
57,95 58,95 totais b) c) codificao de dados: zi = (xi 57,45) x i =
57,45 + zi fi zi = 16 = 0,64 e z = 25 fi 56,95 57,95 58,95 59,95
limites aparentes 56,0 57,0 58,0 59,0 56,9 57,9 58,9 59,9
xi56,45 57,45 58,45 59,45
fi3 6 13 3 25
Fi3 9 22 25
zi-1 0 1 2
fi zi-3 0 13 6 16
fi z2 i 3 0 13 12 28
fi z3 i -3 0 13 24 34
fi zi4 3 0 13 48 64
2 = z
fi z2 i fi
z2
h2 28 = 0,642 0,0833 = 0,6271 12 25
. mdia: x = 57,45 + 1 0,64 = 58,09. m3 (z ) 3
desvio-padro: x = z = 0,6271 = 0,792., onde3
Coeficiente de assimetria: a3 =
34 16 28 16 m3 (z) = +2z = 3 +2 = 0,266 n n 25 25 25 25 m (z )
0,266 = -0,535. Coeficiente de curtose: a4 = 44 , onde Logo, a3 = 3
0,7923
fi zi3
fi zi2 3z
m4 (z) =
fi zi4n
fi zi3 4zn
+6z2
2
fi z2 in
3 z4 =4
64 16 34 28 16 16 m4 (z) = 4 +6 3 = 1,328 25 25 25 25 25 25
1,328 E, portanto, a4 = = 3,375. 0,792 4 12) a) limites 7,995 8,995
9,995 10,995 11,995 12,995 reais limites aparentes fi Fi 8,995 8,00
8,99 6 6 9,995 9,00 9,99 20 26 10,995 10,00 10,99 16 42 11,995
11,00 11,99 3 45 12,995 12,00 12,99 2 47 13,995 13,00 13,99 1
486
b) classes 5,995 6,995 6,995 7,995 7,995 8,995 8,995 9,995 9,995
10,995 10,995 11,995 11,995 12,995 12,995 13,995
f i z i = 26 = 0,5417 . f i 48 2 f i z i2 f i z i h 2 = 68 26 2
1 = 1,4167 0,2934 0,0833 = 1,04 . 2 z = fi fi 12 48 48 12 z=2 z = +
z = 1,04 = 1,0198 .
xi 6,495 7,495 8,495 9,495 10,495 11,495 12,495 13,495
fi0 0 6 20 16 3 2 1 48
Fi 0 0 6 26 42 45 47 48
zi fi.zi fi.zi2 fi.zi3 fi.zi4 -3 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 -1 -6 6 -6 6
0 0 0 0 0 1 16 16 16 16 2 6 12 24 48 3 6 18 54 162 4 4 16 64 256 26
68 152 488
f i z i3 m3 ( z ) = fi
f i z i f i z i2 3 fi fi
fi zi + 2 fi
3 = 152 3 26 68 + 2 26 48 48 48 48
3
= 3,1667 2,3021 + 0,3179 = 1,1825 . m ( z ) 1,1825 a3 (z ) = 3 3
= = 1,1150 . z 1,04 3
f i z i4 m4 ( z ) = fi=
f i z i f i z i3 4 fi fi2
fi zi +6 fi4
f i z i2 f i zi 3 fi fi2
4
488 26 152 26 68 26 4 +6 3 = 10,1667 6 ,8611 + 2,4939 0,2583 =
5,5412 . 48 48 48 48 48 48 m ( z ) 5,5412 a4 (z ) = 3 4 = = 5,1232
. z 1,04 2 A codificao de dados usada foi z i = x i 9,495 .
Portanto, x i = z i + 9,495 e x = z + 9,495 = 10,0367.
x = z = 1,0198. a 3 ( x ) = a 3 ( z ) = 1,1150. a 4 ( x ) = a 4
( z ) = 5,1232.
7
