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ESTUDO DE VIABILIDADE DE DETECÇÃO DE MELANOMA ATRAVÉS DA

VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PELE

Diego Totti Montes

Projeto de Graduação apresentado ao Curso

de Engenharia Mecânica da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro.

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Ph.D.

Rio de Janeiro

Março de 2018

MONTES, Diego Totti

Estudo de Viabilidade de Detecção de Melanoma

Através da Variação da Temperatura da Pele / Diego Totti

Montes. - Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2018.

XII, 106 p.: il.; 29,7 cm.


Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia Mecânica, 2018.

Referências Bibliográficas: p. 70-73.

1. Introdução. 2. Revisão Bibliográfica. 3. Problema

Físico e Formulação Matemática. 4. Resultados e

Discussões. 5. Conclusões. I. Rangel Barreto Orlande,

Hélcio. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III.

Estudo de Viabilidade de Detecção de Melanoma Através

da Variação da Temperatura da Pele.

iv

AGRADECIMENTOS

Aproveito o ensejo para agradecer ao professor Helcio Rangel Barreto Orlande pela

oportunidade de desenvolver este trabalho inspirador. Tanto a sugestão do tema quanto

a orientação fornecida ao longo dos últimos meses foram recebidas de braços abertos.

Agradeço à minha família, tanto do Brasil quanto do Chile, por ser meu alicerce e estar

sempre disposta a ajudar quando necessário. Em especial gostaria de agradecer aos

meus pais que nunca mediram esforços para prover tudo o que precisei para crescer e

me desenvolver como ser humano.

Agradeço também aos amigos e colegas que passaram pela minha história nesses longos

anos de UFRJ. Cada um que de alguma forma fez parte desse meu caminho contribuiu

para deixar a rotina um pouco mais divertida e instigante. Um agradecimento especial

para os amigos Lucas Rodrigues dos Santos e Michel Besso pelos longos anos de

companheirismo e amizade. Sem eles a trajetória teria sido completamente diferente.

v

Seja a mudança que você quer ver no mundo.

(Mahatma Gandhi)

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

ESTUDO DE VIABILIDADE DE DETECÇÃO DE MELANOMA ATRAVÉS DA

VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PELE

Diego Totti Montes

Fevereiro/2018


Curso: Engenharia Mecânica

O desenvolvimento da tecnologia de medição de temperatura tem permitido cada vez

mais aplicações de engenharia em diversas áreas, como a medicina, por exemplo. Em

particular, câmeras térmicas tem se mostrado cada vez mais precisas e com preços mais

acessíveis. Com isso em mente o presente trabalho utiliza conceitos de biotransferência

de calor com o intuito de avaliar uma técnica não invasiva, sem contato e de simples

aplicação, que permita a detecção de tumores malignos superficiais, como o melanoma.

Para isso utilizou-se o software COMSOL Multiphysics® para modelar a

biotransferência de calor em uma região da pele contendo um tumor, a qual sofre um

estímulo térmico. O resultado de tal estudo se mostrou bastante positivo, indicando que

este é um método bastante promissor para detecção de malignidade do tumor.

Palavras-chave: Câncer, Melanoma, Método dos Elementos Finitos, Modelo de Pennes,

Biotransferência de calor.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Mechanical Engineer.

VIABILITY STUDY OF MELANOMA DETECTION THROUGH THE VARIATION

OF THE SKIN TEMPERATURE

Diego Totti Montes

February/2018

Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande

Course: Mechanical Engineering

The development of temperature measurement technology is expanding the number of

engineering applications in several areas such as medicine, for example. In particular,

thermal cameras are becoming more accurate and less costly. With this is mind the

present work uses concepts of bioheat transfer in order to asses a non-invasive,

contactless and easy-to-use technique that allows the detection of surface malignant

cancers such as melanomas. To achieve this objective the software COMSOL

Multiphysics® was used to model the bioheat transfer in a region of the skin containing

a melanoma which receives a thermal stimulus. The result of this study was quite

positive indicating that this is a very promising method to detect the malignancy of the

tumor.

Keywords: Cancer, Melanoma, Finite Element Method, Pennes Model, Bioheat

Transfer.

viii

Lista de Figuras

Figura 1 – Anatomia da Pele (JAMES et al., 2011) ....................................................... 5

Figura 2 – Anatomia da Epiderme (SKINIPEDIA, 2017) .............................................. 6

Figura 3 – Dermatoscópio Sendo Utilizado Sobre a Pele de um Paciente (CARDIFF

UNIVERSITY, 2018) ................................................................................................... 7

Figura 4 – Anatomia da Pele (WEBMD, 2014) ........................................................... 12

Figura 5 – Modelo da Pele Proposto por ÇENTIGÜL (2011) ...................................... 13

Figura 6 – Desenho Bidimensional do Modelo Criado no COMSOL Multiphysics® ... 14

Figura 7 – Desenho Tridimensional do Modelo Criado no COMSOL Multiphysics® .. 15

Figura 8 – Desenho Tridimensional do Modelo Criado com o Tumor em Destaque ..... 15

Figura 9 – Janela de Construção do COMSOL Multiphysics® .................................... 22

Figura 10 – Configurações dos Parâmetros Globais ..................................................... 22

Figura 11 – Configurações das Propriedades do Material Gordura .............................. 23

Figura 12 – Variáveis Locais da Gordura .................................................................... 23

Figura 13 – Configurações de ‘Bioheat’ ...................................................................... 23

Figura 14 – Pontos Auxiliares no Modelo ................................................................... 25

Figura 15 – Malha 'Normal' do Modelo tridimensional ................................................ 26

Figura 16 – Malha 'Fine' do Modelo Bidimensional Axissimétrico .............................. 27

Figura 17 – Código Escrito em Python Usado para Calcular as Diferenças de

Temperatura ao Longo do Tempo ............................................................................... 30

Figura 18 – Caso 1: Regime Permanente ..................................................................... 31

Figura 19 – Temperatura Longitudinal ........................................................................ 32

Figura 20 – Caso 1: Resfriamento após 50 segundos ................................................... 33

Figura 21 – Caso 1: Reaquecimento após 100 segundos .............................................. 33

Figura 22 – Caso 1: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo ............... 34


Figura 24 – Caso 2: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente .... 35




Figura 28 – Caso 2: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do Tempo ........ 39












ix


Figura 41 – Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente Para os

Casos 2, 3 e 4 .............................................................................................................. 50




















Casos 5, 6 e 7 .............................................................................................................. 66


Casos 3 e 6 .................................................................................................................. 67

Figura 62 – Geometria do Problema de Verificação .................................................... 77

Figura 63 – Materiais do Problema de Verificação 1 ................................................... 77

Figura 64 – Física do Problema de Verificação 1......................................................... 78

Figura 65 – Linha de Corte do Problema de Verificação 1 ........................................... 79

Figura 66 – Gráfico do Problema de Verificação 1 ...................................................... 79

Figura 67 – Geometria do Problema de Verificação 2.................................................. 83

Figura 68 – Material do Problema de Verificação 2 ..................................................... 84


Figura 70 – Linha de Corte do Problema de Verificação 2 ........................................... 85

Figura 71 – Gráfico do Problema de Verificação 2 ...................................................... 86

Figura 72 – Código do Problema de Verificação 3 ...................................................... 92

Figura 73 – Geometria do Problema de Verificação 3.................................................. 93

Figura 74 – Material do Problema de Verificação 3 ..................................................... 94


Figura 76 – Malha do Problema de Verificação 3 ........................................................ 95

Figura 77 – Estudo do Problema de Verificação 3 ....................................................... 96

Figura 78 – Gráficos do Problema de Verificação 3 .................................................... 96

Figura 79 – Código do Problema de Verificação 4 .................................................... 102

x

Figura 80 – Física do Problema de Verificação 4....................................................... 103

Figura 81 – Malha do Problema de Verificação 4 ...................................................... 104

Figura 82 – Estudo do Problema de Verificação 4 ..................................................... 104

Figura 83 – Gráfico do Problema de Verificação 4 .................................................... 105

xi

Lista de Tabelas

Tabela 1 - Resumo das Propriedades Termofísicas ...................................................... 21

Tabela 2 - Coordenadas dos Pontos ............................................................................. 25

Tabela 3 - Resultado da Análise de Convergência ....................................................... 28

Tabela 4 - Produto Cartesiano dos Valores das Propriedades ....................................... 29

Tabela 5 - Explanação dos Casos Estudados ................................................................ 31

Tabela 6 - Resumo dos Casos ...................................................................................... 68

Tabela 7 – Comprimentos e Condutividades Térmicas do Problema de Verificação 1 . 75

Tabela 8 – Temperaturas Teóricas e Calculadas com o COMSOL Multiphysics® para o

Problema de Verificação 1 .......................................................................................... 80

Tabela 9 – Parâmetros Utilizados no Problema de Verificação 2 ................................. 82

Tabela 10 – Temperaturas Teóricas para Algumas Posições Particulares ..................... 83

Tabela 11 – Temperaturas Teóricas e Calculadas com o COMSOL Multiphysics® para

O Problema de Verificacao 2 ...................................................................................... 87

Tabela 12 – Propriedades Utilizadas no Problema de Verificação 3 ............................. 89

Tabela 13 – Comparação Entre os Valores Teóricos e Calculados pelo COMSOL

Multiphysics® para o Problema de Verificação 3 ........................................................ 98

Tabela 14 – Comparação Entre os Valores Teóricos e Calculados pelo COMSOL

Multiphysics® para o Problema de Verificação 4 ...................................................... 106

xii

Sumário

1 Introdução .................................................................................................................. 1

2 Revisão Bibliográfica ................................................................................................. 3

2.1 Biotransferência de Calor .................................................................................... 3

2.2 Câncer de Pele ..................................................................................................... 5

2.3 Termografia por Infravermelho ............................................................................ 8

3 Problema Físico e Formulação Matemática .............................................................. 10

3.1 Problema Físico ................................................................................................. 10

3.2 Geometria .......................................................................................................... 11

3.3 Formulação Matemática..................................................................................... 16

3.4 Método de Solução ............................................................................................ 18

4 Resultados e Discussões ........................................................................................... 20

4.1 Parâmetros do Modelo ....................................................................................... 20

4.2 Verificação do Modelo ...................................................................................... 24

4.3 Estudo de Convergência de Malha ..................................................................... 24

4.4 Simulações ........................................................................................................ 28

5 Considerações Finais ................................................................................................ 69

6 Referências Bibliográficas........................................................................................ 70

Apêndice A – Problemas de Verificação ..................................................................... 74

1

1 Introdução

O câncer tem se tornado uma grande preocupação e tem ganhado cada vez mais a

atenção de médicos e da população em geral. Hoje ele já causa mais mortes do que

todas as doenças arteriais coronarianas e derrames somados (FERLAY et al.,2015). Nas

próximas décadas, se espera um aumento deste problema que vem atormentando a

humanidade, o que é sugerido pelas mudanças demográficas e epidemiológicas vividas

atualmente, principalmente em países de baixa renda. São esperados pelo menos 20

milhões de novos casos de câncer anualmente a partir de 2025 (FERLAY et al.,2015).

Dentre todos os tipos existentes, o câncer de pele é o tipo mais comum nos Estados

Unidos. De acordo com dados da AMERICAN CANCER SOCIETY (2017), a cada ano

surgem mais casos de câncer de pele do que cânceres de mama, próstata, pulmão e

cólon combinados. No Brasil o cenário não é muito diferente, dos cerca de 600 mil

novos casos de câncer que eram esperados para 2016, segundo a estimativa do INCA

feita em 2015, aproximadamente 180 mil seriam de câncer de pele, tornando-se o tipo

de câncer mais frequente. Logo atrás do câncer de pele os tipos mais comuns são o de

próstata para os homens, com 61 mil casos e o de mama para as mulheres, com 58 mil

(INCA, 2015).

Os tipos de câncer de pele encontrados são basicamente três: o melanoma, o carcinoma

basocelular e o carcinoma de células escamosas (STEWART, 2014). O tipo mais

comum é o carcinoma basocelular, que raramente é fatal, mas tem o poder de desfigurar

a região atingida. O segundo mais comum é o carcinoma de células escamosas. Os

melanomas respondem por apenas 3% dos casos de câncer de pele; entretanto, eles são

de longe o tipo mais agressivo (SKIN CANCER FOUNDATION, 2010). Devido a isso,

muitos autores dividem os cânceres de pele em melanoma e não-melanoma (os outros

tipos supracitados se enquadrariam dentro desta categoria) (STEWART, 2014). Neste

trabalho focaremos no melanoma, pelo fato dele ser o tipo mais perigoso de câncer de

pele e, por isso, ser o mais importante de ser detectado numa fase inicial.

Nos últimos anos houve um grande avanço na tecnologia de medições na engenharia

térmica, em particular, as câmeras de termografia por infravermelho se desenvolveram

de forma considerável e agora, além de mais acessíveis, produzem resultados de maior

qualidade e maior precisão. Isso contribui de forma significativa para o

2

desenvolvimento de técnicas de detecção de câncer, em particular, o diagnóstico por

imagem infravermelha. Essa técnica tem como vantagens o fato de ser não invasiva e

não necessitar de contato (ÇETINGÜL, 2011).

O objetivo deste trabalho é avaliar numericamente se a atividade metabólica de tumores

malignos pode acarretar numa variação de temperatura significativa o suficiente,

quando comparada a tecidos saudáveis e tumores benignos na superfície da pele, de

forma a possibilitar a detecção de tais tumores. Ao invés de se analisar as temperaturas

na superfície da pele para uma situação de regime permanente, admitiu-se um

resfriamento da região estudada, seguido de um reaquecimento natural da região,

momento no qual as temperaturas são medidas. Tal processo é empregado porque já foi

demonstrado que um estímulo térmico por resfriamento aumentou o contraste térmico

entre os tecidos saudáveis e cancerígenos numa termografia mamária (CHENG e

HERMAN, 2014). Isso, por sua vez, é muito interessante já que aumenta a sensibilidade

dos resultados obtidos.

Com tal intuito, um modelo foi implementado no software COMSOL Multiphysics®,

de forma a simular uma região da pele infectada por um melanoma e que passa por esse

estresse térmico descrito anteriormente. Além disso, assume-se que a transferência de

calor entre os tecidos do modelo é regida pelo modelo de Pennes. Os resultados de tal

simulação são interpretados de forma a concluir se essa abordagem é favorável ou não

para se detectar melanomas malignos.

3

2 Revisão Bibliográfica

2.1 Biotransferência de Calor

Biotransferência de calor é a área que estuda a transferência de calor em sistemas

biológicos. Sua origem remonta ao final do século XIX, quando o cientista francês

Claude Bernard publicou estudos experimentais sobre os efeitos da circulação sanguínea

na transferência de calor em tecidos vivos. Contudo, o estabelecimento de um modelo

físico que retrate a relação entre a variação de temperatura em tecidos biológicos e a

vascularização destes é uma árdua tarefa e só começou a ser discutido muitos anos

depois (CHATO, 1981).

Pennes foi um dos primeiros a estudar e formular um modelo simples que descrevesse

satisfatoriamente a troca de calor em tecidos biológicos e que levasse em conta a

complexidade desse problema com seu trabalho histórico em 1948. Não é à toa que tal

trabalho é citado em praticamente todo artigo que envolva biotransferência de calor.

Além da condução térmica e acúmulo de energia presente nos tecidos, o modelo

também abrange a perfusão sanguínea e a geração de calor metabólica (PENNES,

1948).

Em seu trabalho, Pennes comparou as temperaturas calculadas através de seu modelo

teórico com temperaturas obtidas experimentalmente em que as medidas foram feitas ao

longo dos antebraços de pessoas. O termo de perfusão sanguínea foi ajustado até que as

comparações entre as temperaturas teóricas e experimentais concordassem. A hipótese

de Pennes era de que a troca de calor entre os vasos sanguíneos e os tecidos em seu

entorno aconteciam principalmente através da parede de vasos capilares, onde a

velocidade do sangue é baixa. Em outras palavras era como se o sangue entrasse à

temperatura arterial 𝑇𝑏 numa piscina imaginária, que seriam os capilares, e

imediatamente se equilibrasse termicamente com os tecidos do entorno com temperatura

𝑇. Desta forma faria sentido que a troca de calor fosse proporcional ao fluxo

volumétrico de sangue e à diferença entre as temperaturas 𝑇 e 𝑇𝑏 (ARKIN et al., 1994).

A principal hipótese de Pennes era de que o sangue adentrava os tecidos locais com

temperatura arterial 𝑇𝑏 e saia com a temperatura dos tecidos 𝑇. Com isso o fluxo de

calor convectivo poderia ser modelado pela diferença de temperatura 𝑇 − 𝑇𝑏 e pelo

coeficiente de transferência de calor empírico 𝑐𝑏 𝜔𝑏 (BODO et al., 1998).

4

O modelo de Pennes é assim expresso:

𝜌 𝑐 𝜕𝑇

𝜕𝑡 = ∇ ∙ (𝑘 ∇𝑇) + 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) + 𝑞𝑚

onde 𝑇 é a temperatura e 𝑡 o tempo. 𝜌, 𝑐 e 𝑘 são respectivamente a massa específica, o

calor específico e a condutividade térmica do tecido. O índice 𝑏 serve para indicar que o

parâmetro corresponde a uma propriedade sanguínea. Assim, 𝜌𝑏 , 𝑐𝑏 e 𝑇𝑏 são, massa

específica, calor específico e temperatura do sangue, respectivamente. 𝜔𝑏 é o

coeficiente de perfusão sanguínea e finalmente 𝑞𝑚 é o termo de geração de calor devido

à atividade metabólica.

O termo 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) é responsável por incluir no modelo a influência do sangue

na troca de calor, enquanto o termo 𝑞𝑚 representa o calor gerado pelo metabolismo ao

modelo. Já as propriedades de condução térmica e acúmulo de energia são entendidos

como sendo do tecido (LAMIEN, 2015).

Como aludido por KHALED e VAFAI (2003), o modelo de Pennes apresenta algumas

limitações como, por exemplo, assumir que a temperatura arterial é constante e a

temperatura do sangue venoso está em equilíbrio térmico com o tecido local. Além

disso, outra hipótese é a de que um fluxo de calor aparece de forma instantânea quando

se supõe que um gradiente de temperatura dado num certo tempo. Ou seja, a velocidade

na qual o calor se propaga seria infinita (BITTENCOURT, 2017).

Além dessas dificuldades ressaltadas, a transferência de calor em tecidos biológicos

ainda conta com outros fatores que podem entrar em cena como, por exemplo, os

mecanismos de controle termo regulatórios do corpo. Tremores, transpiração

regulatória, vasodilatação e vasoconstrição não são contemplados no modelo de Pennes

e podem causar grande influência nas condições térmicas do organismo. Com o intuito

de superar esse impasse, ZOLFAGHARI e MAEREFAT (2010) desenvolveram um

novo modelo de biotransferência de termoregulação simplificado. Tentando superar as

limitações do modelo de Pennes diversos outros modelos acabaram sendo propostos na

literatura. Alguns deles são o modelo de Wulff, o modelo de Klinger e o modelo de

Chen e Holmes, mas existem muitos outros além desses (ZOLFAGHARI e

MAEREFAT, 2011).

5

2.2 Câncer de Pele

O câncer nada mais é que o crescimento desordenado e descontrolado de células, que

por algum motivo não conseguem ser paradas pelos mecanismos de defesa do corpo.

Esse crescimento vem a gerar o que é conhecido por neoplasia, que é a massa de células

proveniente do crescimento anormal e que possui comportamento diferente das células

saudáveis. Os motivos que podem causar o câncer são vários, eles vão desde

alimentação inadequada e uso do cigarro até fatores hereditários (HOSPITAL

ISRAELITA ALBERT EINSTEIN, 2016).

O tumor, forma como a neoplasia é popularmente conhecida, pode ser classificado em

benigno ou maligno. Os tumores benignos tendem a ter um crescimento lento,

geralmente são cercados por um invólucro que os separa de estruturas adjacentes e não

geram metástases. Já os tumores malignos são aqueles que tipicamente têm um

crescimento mais rápido, são constituídos por células que diferem das normais e não

estão envolvidos em uma cápsula. Além disso, eles podem resultar em metástases

(OLIVÉ, 2012).

Vale a pena analisar brevemente a anatomia da pele para entender como ela se estrutura,

que tipo de células possui e onde exatamente o câncer pode ser originar. A figura 1 é um

corte transversal e uma ilustração bastante detalhada do que podemos encontrar nesse

órgão do corpo humano.

Figura 1 – Anatomia da Pele (JAMES et al., 2011)

6

A camada mais superior e mais fina da pele é chamada epiderme e é onde a maioria dos

cânceres de pele aparece devido a sua grande exposição à radiação proveniente do sol.

A camada logo abaixo é denominada derme e pode ser dividida em derme papilar e

derme reticular. Ela contém vasos capilares, nervos, cabelo, glândulas sudoríparas,

glândulas sebáceas, etc. A camada mais profunda é a subcutânea e é a que contém a

gordura. Na figura 2 pode ser visto uma imagem mais detalhada da epiderme e como se

pode observar ela é constituída de diferentes tipos de célula (KOLARSICK et al.,

2011).

Figura 2 – Anatomia da Epiderme (SKINIPEDIA, 2017)

As células da camada mais abaixo são as células basais e são nelas que se desenvolve o

carcinoma de células basais. Elas são responsáveis por criar todas as outras células da

pele; para tal elas se dividem e se desenvolvem em outros tipos de célula. Os

queratinócitos são as principais células da epiderme e tem a função de produzir

queratina. São delas que vai surgir o carcinoma de células escamosas. E por último, a

célula central é o melanócito e é ela a responsável por produzir os pigmentos da pele, a

melanina (KOLARSICK et al., 2011).

O termo médico usado para se referir a uma lesão na pele popularmente conhecida

como sinal de pele é “nevo melanocítico”. Uma das formas de se avaliar os nevos para

decidir se eles são de fato um câncer de pele é através do critério ABCDE onde cada

letra corresponde a um critério: assimetria, fronteira, cor, diâmetro e evolução. Esse

método corresponde em avaliar cada um desses itens e de acordo com certas condições

para cada um deles decidir se a mancha se trata de um potencial câncer ou não.

Evidentemente não é um critério muito preciso, mas é utilizado devido a sua

simplicidade e facilidade de se memorizá-lo e aplicá-lo. Outro método também usado é

7

o do “patinho feio” em que se tenta identificar um nevo que seja diferente de todos os

outros presentes, isto é, que não haja nenhum outro nevo similar a este. Esse método se

justifica, pois tipicamente nevos que são muito diferentes dos outros tem uma tendência

a possuírem um risco maior de ser um tumor maligno (JAMES et al., 2011).

Além desses exames clínicos que podem ser realizados por dermatologistas, também há

um tipo de exame chamado dermatoscopia que é realizado com a ajuda de um aparelho

chamado dermatoscópio. A figura 3 exibe este aparelho sendo utilizado.

Figura 3 – Dermatoscópio Sendo Utilizado Sobre a Pele de um Paciente

(CARDIFF UNIVERSITY, 2018)

O dermatoscópio serve para ampliar a imagem e minimizar o reflexo proveniente de

outras superfícies. Ele permite que o médico veja estruturas de pigmentos, a estrutura de

vasos sanguíneos e a estrutura da queratina e de glândulas. Para uma análise mais

detalhada, contudo pode ser feita uma biópsia da pele, em que uma porção da lesão é

coletada e enviada para um patologista para uma análise cuidadosa.

Como mencionado previamente, os três tipos mais comuns de câncer de pele são o

carcinoma basocelular, o carcinoma de células escamosas e o melanoma. O carcinoma

basocelular é o mais comum deles e o carcinoma de células escamosas vem logo em

seguida. Apesar de o melanoma não possuir uma frequência tão alta quanto os outros

dois, ele é o mais perigoso e por isso é o foco deste trabalho (STEWART, 2014).

O melanoma é um tumor que surge no melanócito. Metade deles se desenvolve a partir

da pele normal e metade de sinais de pele pré-existentes. Fatores de risco para o

melanoma em geral são: histórico de exposição intermitente ao sol, pele clara, mais de

50 sinais de pele pelo corpo e histórico familiar de melanoma. Na verdade, existem

diferentes tipos de melanoma com diferentes graus de agressividade, caracterizados por

uma tendência a crescer para dentro da pele.

8

O melanoma superficial é o tipo mais comum de melanoma e tem a tendência de se

espalhar horizontalmente, mas eventualmente ele acaba adentrando a pele. O melanoma

Lentigo maligna costuma aparecer em peles expostas ao sol todo dia e costuma aparecer

em pacientes mais velhos, sendo comum na cabeça e pescoço. Já o melanoma Nodular

apresenta características distintas, porque praticamente não tem crescimento horizontal

e mais agilmente parte para um crescimento para dentro da pele. O melanoma acral

lentiginoso aparece em extremidades, em geral palma da mão e sola do pé. É mais

comum em pessoa com cor de pele mais escura.

O fator independente mais robusto para o prognóstico de um melanoma é sua espessura,

isto é, o quanto o tumor adentra a pele. Ele é medido na vertical desde a camada

granular da epiderme até a camada mais profunda em que se detecta o melanoma

(STEWART, 2014).

2.3 Termografia por Infravermelho

Existem diferentes técnicas que são empregadas atualmente com o objetivo de detectar

o câncer e muitas outras estão sendo estudadas e desenvolvidas com o mesmo intuito.

Há um interesse em particular em técnicas que sejam não invasivas in vivo, ou seja, em

tecidos vivos de organismos vivos.

Algumas das ferramentas desenvolvidas dentro da dermatologia para analisar

melanomas são a fotografia digital, a dermatoscopia, os sistemas de imagem

multiespectro, o ultrassom e a imagem por ressonância magnética. Contudo muitas

dessas técnicas são subjetivas e não possuem padrões para se aplicar em larga escala

(ÇENTIGÜL, 2011).

O desenvolvimento de instrumentos que produzam diagnósticos objetivos e

quantitativos significaria um grande avanço na área, uma vez que poderia ser utilizado

em larga escala e tornaria o diagnóstico mais eficiente e mais barato.

Com o significativo avanço na tecnologia de câmeras térmicas nos últimos anos, há um

interesse crescente na aplicação de técnicas de imagem infravermelha na identificação

de estruturas que ficam abaixo da superfície, tanto em sistemas de engenharia como em

sistemas biológicos. A termografia por infravermelho é um método de detecção não

9

invasivo e sem contato que quantifica a radiação emitida na região infravermelha do

espectro eletromagnético (0,75 − 10 𝜇𝑚). Ela permite a medição das variações

espaciais e temporais de temperatura associadas à radiação emitida por uma superfície

(GULYAEV, 1995).

Câmeras térmicas detectam essa radiação e a distribuição da temperatura da superfície

pode ser recuperada depois de processar a informação do sensor e da devida calibração.

Como a distribuição da temperatura da superfície depende das propriedades de

estruturas e regiões abaixo da superfície, a termografia por infravermelho pode ser

usada para detectar a presença e identificar a natureza dessas estruturas através da

análise de diferentes respostas térmicas, devido a um resfriamento ou aquecimento na

região estudada (JONES e PLASSMANN, 2002).

A termografia por infravermelho pode ser tanto passiva (método estático) quanto ativa

(método dinâmico). O método passivo envolve a visualização da radiação emitida na

região do infravermelho do espectro eletromagnético. Já o ativo envolve a adição de um

fator adicional, como um aquecimento ou um resfriamento para induzir ou aumentar os

contrastes térmicos relevantes observados na superfície. Essa técnica se baseia no

princípio de que quando uma superfície é aquecida ou resfriada, a variação nas

propriedades térmicas da estrutura logo abaixo da superfície resulta em um perfil de

temperaturas identificável na própria superfície, diferente do que ocorria no método

passivo. Esses perfis são característicos das propriedades térmicas da estrutura base e

das perturbações abaixo da superfície e podem, quando combinadas com o modelo

térmico adequado, prover informações a respeito da geração de calor metabólica,

formato, profundidade e outras propriedades da perturbação (ÇENTIGÜL, 2011).

10

3 Problema Físico e Formulação Matemática

3.1 Problema Físico

Como já enunciado, o foco do nosso estudo é a modelagem matemática da pele e de um

potencial câncer (melanoma) que esteja se desenvolvendo nela. Para que a detecção de

tal tumor seja possível vamos nos aproveitar do fato de tumores malignos apresentarem

características biológicas que acarretam numa geração de calor maior que de tecidos

considerados saudáveis.

O ponto de início do nosso estudo será o estágio em que a região estudada atinge o

regime estacionário, o que pode ser interpretado como a região ter sido deixada em

repouso num ambiente controlado com temperatura do ar ambiente igual a 23℃ e

condições que simulem uma convecção natural que pode ser representada por uma

condição de contorno na superfície exposta com coeficiente de transferência de calor de

10 𝑊/𝑚2 𝐾, que é um valor típico para convecção natural e radiação linearizada

(CHENG e HERMAN, 2014).

Para aumentar mais ainda o contraste térmico entre os tecidos saudáveis e os

cancerígenos, será simulado um resfriamento em uma região da pele, que pode ser

interpretado como a aplicação de gelo na região por um intervalo de tempo

predeterminado. Tal medida é fundamentada pelos resultados obtidos em trabalhos

passados, como os de GULYAEV et al. (1995), JONES e PLASSMANN (2002) e

OTSUKA et al. (2002). A temperatura escolhida para simular que a superfície da pele

está em contato com o gelo é de 0℃ e o tempo de contato é definido como sendo de 50

segundos, pois é curto o suficiente para não apresentar grandes desconfortos a um

paciente, mas extenso o suficiente para provocar o transiente térmico desejado.

Esta etapa é seguida de um reaquecimento natural da região, na qual o contato com o

gelo é interrompido e a superfície da pele volta a ficar exposta ao ar do ambiente

controlado. Assim, a região estudada tende a retornar à situação original e a distribuição

de temperaturas tende para a distribuição do regime permanente.

Resumindo então o que foi argumentado, fisicamente nosso problema pode ser dividido

em três etapas: (i) a primeira, na qual o modelo atinge o regime permanente; (ii) a

segunda, na qual o modelo tem uma de suas superfícies colocadas em contato com o

11

gelo, o que equivalerá para o nosso modelo a uma condição de contorno na qual essa

mesma superfície se encontra a uma temperatura constante e igual a 0℃; (iii) e

finalmente a terceira etapa, que consistirá da retirada do gelo e da exposição da

respectiva superfície ao ar ambiente, que equivalerá a uma condição de contorno

convectiva nessa superfície com coeficiente de transferência de calor igual a 10 𝑊/

𝑚2 𝐾.

Esse problema será simulado diversas vezes e em cada uma delas será variado um

parâmetro. O primeiro estudo a ser feito é o caso em que não há tumor. Esse estudo é

feito por um lado para confirmar o que se espera encontrar nessa situação, ou seja, que

não há porque haver muita discrepância entre a temperatura encontrada em pontos

diferentes da superfície da pele, e por outro lado, para servir como base de comparação

para os casos em que há a presença de tumores malignos.

Os próximos estudos todos incluem um tumor, mas esse varia de acordo com dois

parâmetros: seu raio 𝑤 e sua profundidade 𝑝. Como os melanomas tipicamente

começam a se desenvolver a partir da epiderme, nós assumimos que eles poderiam se

alastrar basicamente na horizontal e na vertical e daí os dois parâmetros escolhidos para

serem variados.

3.2 Geometria

Como mencionado anteriormente, a pele pode ser dividida em três grandes camadas, a

saber: epiderme, derme e uma camada subcutânea (gordura). Logo abaixo da camada de

gordura vem uma camada de músculo, onde a temperatura já é suficientemente próxima

da temperatura corporal. Uma imagem exibindo todas as camadas da pele, mais a

camada muscular é ilustrada na figura 4.

12

Figura 4 – Anatomia da Pele (WEBMD, 2014)

Apesar de haver diversos elementos no interior da pele, termicamente cada camada se

comporta de maneira quase homogênea. É por isso que vamos assumir nosso modelo

como sendo composto de quatro camadas sobrepostas, sendo as propriedades

termofísicas uniformes em cada uma das camadas.

Além disso, a camada muscular é bastante vascularizada e como a parte mais inferior

dela em nosso modelo é profunda o suficiente, vamos assumir que essa superfície

possui temperatura corporal, isto é, temperatura constante e igual a 37℃.

O modelo simplificado dessas estruturas proposto por ÇENTIGÜL (2011) pode ser

visto na figura 5 abaixo.

13

Figura 5 – Modelo da Pele Proposto por ÇENTIGÜL (2011)

Apesar de tais simplificações não há muita perda de informação para o nosso estudo,

pois estamos interessados apenas nas variações térmicas da superfície e por isso

adotaremos, assim como fez LAMIEN (2015), modelo muito semelhante a este visto

acima. Por simplicidade vamos considerar a derme reticular e derme papilar como

sendo uma única camada, já que suas propriedades termofísicas são muito próximas e

quase não causam distorções nos resultados encontrados.

O tumor é assumido como estando contido na derme. Este inicia na epiderme e cresce

para os lados e em direção ao músculo (crescimento mais perigoso). Apesar de o tumor

assumir os formatos mais irregulares, nós vamos considerá-lo como sendo um pequeno

cilindro. Isso é justificado, pois em trabalhos passados, como os de ÇETINGÜL e

HERMAN (2008a e 2008b), se foi demonstrado que independente do formato

assumido, o que mais influencia o modelo são o volume total, o diâmetro equivalente

médio e a penetração do neoplasma. Pequenas saliências e irregularidades tem impacto

mínimo nos resultados.

Supõe-se que o modelo possui simetria axial, já que não há motivos para supor que uma

posição angular tenha características diferentes de outra. Dessa maneira, simplificamos

o modelo e reduzimos em muito o tempo computacional exigido.

Nosso modelo terá, portanto, a forma de um cilindro com simetria axial, e será

constituído de quatro camadas homogêneas paralelas, cada uma com uma espessura

14

específica. Além disso, o tumor será um pequeno cilindro contido na camada da derme

que inicia na epiderme.

Como veremos mais adiante, a axissimetria permite que o modelo seja inicialmente

desenhado em duas dimensões no COMSOL Multiphysics® e entendido como sendo

um modelo tridimensional. O COMSOL Multiphysics® faz essa interpretação de forma

automática quando se seleciona o modelo bidimensional axissimétrico. Uma ilustração

de como o modelo foi desenhado em duas dimensões é vista na figura 6.

Figura 6 – Desenho Bidimensional do Modelo Criado no COMSOL

Multiphysics®

Repare que a região da epiderme é de difícil visualização, pois sua espessura é

consideravelmente menor que das outras regiões. Com o intuito de auxiliar na

visualização do modelo, um desenho em três dimensões foi construído e foi feito um

corte de forma a permitir a visualização do interior do modelo e consequentemente do

tumor (ver figura 7).

15

Figura 7 – Desenho Tridimensional do Modelo Criado no COMSOL

Multiphysics®

Além dessa imagem, uma outra em que o tumor é destacado é exibida a seguir na figura

8 para tornar ainda mais visual a posição do tumor e sua proporção em relação ao

modelo.

Figura 8 – Desenho Tridimensional do Modelo Criado com o Tumor em

Destaque

No exemplo das figuras 7 e 8, o tumor possui raio de 6 𝑚𝑚 e profundidade de

0,75 𝑚𝑚. A título de comparação o modelo todo possui raio de 25 𝑚𝑚 e espessura de

16

11,6 𝑚𝑚. Serão testadas diversas configurações diferentes de tumor, conforme será

mostrado a seguir.

3.3 Formulação Matemática

Para cada uma das três etapas definidas no problema físico é feita uma formulação

matemática baseada no modelo de PENNES (1948). O sistema de coordenadas adotado

é naturalmente o sistema cilíndrico e devido à simetria axial os termos que aparecem

nas equações dependem de apenas duas coordenadas, a radial e a longitudinal (𝑟 e 𝑧).

Para que fosse possível fazer a hipótese de meio semi-infinito, o modelo foi definido

como tendo diâmetro igual a 50 𝑚𝑚. Dessa forma sua dimensão radial é muito maior

que a do tumor, que atinge no máximo 12 𝑚𝑚 de diâmetro e, portanto os extremos do

cilindro (no sentido radial) estão suficientemente afastados das perturbações térmicas

decorrentes do tumor. A consequência dessa hipótese é o surgimento de uma condição

de contorno nessa superfície do cilindro de isolamento térmico.

A superfície superior do cilindro corresponde ao ponto mais extremo do músculo no

nosso modelo e como explicado antes vamos supor que toda essa superfície possui

temperatura constante e igual a 37℃. Essa hipótese acarreta numa condição de contorno

que será comum às três etapas do problema.

A outra superfície do cilindro, a inferior, vai assumir mais de uma condição de contorno

dependendo da etapa considerada. Na segunda etapa, do resfriamento, essa superfície é

assumida como possuindo temperatura constante e igual a 0℃. Nas outras duas a

condição de contorno adotada é de convecção com o ambiente externo com coeficiente

de transferência de calor ℎ = 10 𝑊/𝑚2 𝐾.

Na primeira etapa considera-se regime permanente e, portanto não há dependência

temporal da temperatura.

As equações que regem nosso problema para cada uma das etapas, portanto, ficam

assim:

1) Regime Permanente:

17

0 = ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) + 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) + 𝑞𝑚 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿 (1)

𝑇 = 𝑇𝑎 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 𝐿 (2)

𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 + ℎ𝑇 = ℎ𝑇∞ 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 0 (3)

𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 = 0 𝑟 = 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿 (4)

2) Resfriamento:

𝜌 𝑐 𝜕𝑇

𝜕𝑡 = ∇ ∙ (𝑘 ∇𝑇) + 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) + 𝑞𝑚

0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿,

0 < 𝑡 < 50 𝑠

(5)

𝑇 = 𝑇𝑎 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 𝐿, 0 < 𝑡 < 50 𝑠 (6)

𝑇 = 273.15𝐾 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 0,0 < 𝑡 < 50 𝑠 (7)

𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 = 0 𝑟 = 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿, 0 < 𝑡 < 50 𝑠 (8)

𝑇 = 𝑓(𝑟, 𝑧) 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿, 𝑡 = 0 𝑠 (9)

3) Reaquecimento Natural:

𝜌 𝑐 𝜕𝑇

𝜕𝑡 = ∇ ∙ (𝑘 ∇𝑇) + 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) + 𝑞𝑚 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿, 𝑡 > 50 𝑠 (10)

𝑇 = 𝑇𝑎 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 𝐿, 𝑡 > 50 𝑠 (11)

𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 + ℎ𝑇 = ℎ𝑇∞ 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 0, 𝑡 > 50 𝑠 (12)

18

𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 = 0 𝑟 = 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿, 𝑡 > 50 𝑠 (13)

𝑇 = 𝑔(𝑟, 𝑧) 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿, 𝑡 = 50 𝑠 (14)

Uma observação importante que merece ser feita é a de que as equações (9) e (14) são,

respectivamente, as condições iniciais dos problemas transientes 2) e 3). A função

𝑓(𝑟, 𝑧) em (9) é a solução do problema dado pela equações (1 − 4) de regime

estacionário. A função 𝑔(𝑟, 𝑧) em (14) é a solução do problema dado pela equações

(5 − 9) para 𝑡 = 50 𝑠. Vale ainda ressaltar que tanto o termo de geração de calor

devido à atividade metabólica quanto o coeficiente de perfusão sanguínea foram

assumidos constantes.

3.4 Método de Solução

O COMSOL Multiphysics® é um software de simulação que abrange uma vasta gama

de aplicações com foco no mundo real e que pretende, ao mesmo tempo, ser de fácil uso

e de implementação intuitiva. Ele pretende trazer os resultados mais acurados possíveis,

minimizando a quantidade de hipóteses feita pelo usuário, sem restringir o poder de

controle sobre seu modelo. É possível programar nele de forma a se obter sob medida o

problema que se deseja estudar e como já sinalizado a linguagem oferecida para isso é

de bastante alto nível.

A lógica por trás do COMSOL Multiphysics® está baseada em realizar simulações

através de sete passos. Isto é, não importa qual o problema físico que o usuário pretenda

simular, por mais simples ou complexo que ele seja, a estrutura da simulação deve

seguir sete passos fundamentais que são listados a seguir.

O primeiro passo é definir o ambiente do modelo, o COMSOL Multiphysics® permite

criar modelos de zero dimensões até três dimensões. Além disso, ele proporciona um

tipo especial de modelo, que é o axissimétrico. No caso do usuário escolher o ambiente

bidimensional axissimétrico, por exemplo, apesar do modelo possuir três dimensões, a

simetria em torno do seu eixo faz com que o problema seja mais simples e diminui o

19

tempo de execução dos estudos já que existem apenas dois graus de liberdade para esse

problema.

O segundo passo é a definição da geometria do problema. É nesse momento que os

objetos são desenhados ou então importados de outro arquivo caso já tenham sido

criados previamente. O terceiro passo consiste em especificar os materiais utilizados e

suas propriedades. Já existe um número de materiais predefinidos no próprio programa,

mas, caso seja necessário a escolha de um material que não exista no programa, é

perfeitamente possível definir um novo material. Além disso, mesmo materiais

existentes podem ser modificados de modo que suas propriedades sejam as que o

usuário deseja.

O quarto passo é aquele na qual a física e as condições de contorno são estabelecidas. É

aqui que as equações que regem a física do problema são declaradas. Um dos pontos

fortes do COMSOL Multiphysics® é a grande variedade de físicas que ele possui e a

possibilidade de utilizar mais de uma, ao mesmo tempo, para modelar um problema. O

quinto passo consiste da criação da malha preparando o problema para ser resolvido

através do método dos elementos finitos. Em outras palavras, nesta etapa o problema é

discretizado e o objeto estudado é divido em pequenos elementos de forma a possibilitar

a resolução do problema através de métodos numéricos. Quanto mais fina a malha, mais

acurada será a simulação. Contudo, refinar a malha também aumenta o tempo que se

leva para rodar a simulação.

O sexto passo é basicamente rodar a simulação e o sétimo e último passo é analisar os

resultados. Dentro desse passo existem inúmeras ferramentas e métodos a serem

utilizados. O COMSOL Multiphysics® permite que diversos tipos de gráfico sejam

criados, além de também possibilitar a comparação de estudos diferentes num mesmo

gráfico.

20

4 Resultados e Discussões

4.1 Parâmetros do Modelo

As propriedades termofísicas da pele variam não só ao longo do corpo, como também

de indivíduo para indivíduo (fora outros fatores), o que torna a escolha de apenas um

valor para elas tarefa nada trivial. Por outro lado, restringindo algumas condições elas

passam a assumir variações relativamente pequenas e a escolha de um valor médio

passa a ser uma boa aproximação.

Para determinar os valores escolhidos das propriedades que contribuem para nossa

simulação foi feita uma análise do que se encontra na literatura (BITTENCOURT,

2017, ÇENTIGÜL, 2010, LAMIEN, 2015, DOMBROVSKY, 2011, GHANBARI,

2013). Foi decidido basear-se nos estudos de ÇENTIGÜL (2010), pois muitos dos

outros artigos já se baseiam nele e não o fazem por acaso. Nele foi feito um estudo

detalhado da variação dessas propriedades baseado em estudos anteriores e foi

construído um valor nominal para cada uma delas.

Devido a maior atividade metabólica e ao maior fluxo de sangue no tumor, assumimos

que a taxa de perfusão sanguínea 𝜔𝑏 é cinco vezes maior e a geração metabólica de

calor 𝑞𝑚 dez vezes maior que de um tecido saudável (ÇENTIGÜL, 2011).

Os valores adotados neste trabalho estão resumidos na tabela 1 abaixo.

21

Tabela 1 - Resumo das Propriedades Termofísicas

Propriedades Músculo Gordura Derme Epiderme Tumor

Massa específica 𝜌 (𝑘𝑔/𝑚3)

1085 1000 1200 1200 1030

Calor específico 𝑐𝑝 (𝐽/𝑘𝑔 𝐾)

3800 2674 3300 3589 3852

Condutividade térmica

𝑘 (𝑊/𝑚 𝐾) 0,51 0,185 0,445 0,235 0,558

Taxa de perfusão sanguínea 𝜔 (𝑠−1)

0,0027 0,0001 0,0009 0 0,0063

Fonte metabólica de geração de calor

𝑞𝑚 (𝑊/𝑚3)

684,2 368,3 368,1 0 3680

Espessura ℎ (𝑚𝑚)

8 2 1,5 0,1 P

Os valores da espessura do tumor estudados neste trabalho foram de 1,5 𝑚𝑚 e

0,75 𝑚𝑚. Além disso, as propriedades do sangue adotadas são: massa específica, 𝜌𝑏 =

1060 𝑘𝑔/𝑚3 e calor específico, 𝑐𝑝 = 3770 𝐽/(𝑘𝑔 𝐾) (ÇENTIGÜL, 2010).

A janela de construção é a principal janela do COMSOL Multiphysics® e é onde fica a

árvore contendo todos os nós que são editados na simulação. Na figura 9 é possível ver

uma imagem dessa janela e os nós que ela possui. Tomando as propriedades da camada

de gordura como exemplo, os nós editados para se adicionar os valores dessas

propriedades estão ressaltados por retângulos vermelhos.

22

Figura 9 – Janela de Construção do COMSOL Multiphysics®

Dentro de ‘Parameters’ é onde se encontram todos os parâmetros globais e onde estão

definidos, por exemplo, as espessuras de cada camada e as propriedades do sangue.

Uma imagem das configurações dessa aba pode ser visualizada na figura 10.

Figura 10 – Configurações dos Parâmetros Globais

As propriedades termofísicas da tabela 1 são inseridas em dois nós diferentes no

COMSOL Multiphysics®, um deles é dentro de ‘Materials’ e outro está dentro de

23

‘Definitions’ e funcionam como parâmetros locais. Novamente tomando a gordura

como exemplo, temos abaixo ilustrações de onde são definidas essas propriedades.

Massa específica, calor específico e condutividade térmica são definidos dentro de cada

material (ver figura 11).

Figura 11 – Configurações das Propriedades do Material Gordura

Por outro lado, taxa de perfusão sanguínea e fonte metabólica de geração de calor estão

em nós dentro de ‘Definitions’ (ver figura 12) e são usados nas físicas dentro de

‘Bioheat’ para cada tecido biológico, como pode ser visto na figura 13.

Figura 12 – Variáveis Locais da Gordura

Figura 13 – Configurações de ‘Bioheat’

24

Na aba da figura 12 é onde se definem o coeficiente de perfusão sanguínea e a geração

de calor metabólico, que são parâmetros locais, ou seja, dependem de que camada estão.

A figura 13, por sua vez, é a aba de ‘Bioheat’, que está dentro de uma aba de tecido

biológico denominada ‘Gordura’, que por sua vez pertence à física de biotransferência

de calor. Nessa aba foi escrito o nome das variáveis 𝜔𝑏 e 𝑞𝑚, que dessa forma

chamaram os valores dessas variáveis que haviam sido definidas na aba da esquerda.

4.2 Verificação do Modelo

Antes de se realizarem as simulações pretendidas, foram estudados problemas mais

simples com o intuito de verificar se de fato os resultados gerados pelo COMSOL

Multiphysics® estavam de acordo com os resultados obtidos através dos conceitos de

transferência de calor. Esses problemas de verificação são apresentados ao final do texto

no Apêndice A.

Em todos quatro problemas estudados foi considerado o modelo geométrico

apresentado anteriormente sem a presença do tumor. Além disso, assumiu-se como

condição inicial, temperatura constante e uniforme, igual a 𝑇𝑎 e condições de contorno

iguais as da formulação matemática da etapa 1. No primeiro problema, o modelo está

em regime permanente, não possui geração de energia no meio e todas as camadas são

distintas. No segundo problema, as camadas são supostas do mesmo material e assim

vão seguir sendo para os problemas seguintes. Além disso, neste problema é suposto

que há geração de energia. No terceiro problema o regime passa a ser transiente e mais

uma vez é suposto que não há geração de energia no meio. A única diferença do quarto

e último problema é que se adota a hipótese de haver geração de energia.

A conclusão obtida no apêndice é a de que para os quatro casos estudados, os resultados

obtidos pelo programa concordam muito bem com os resultados analíticos.

4.3 Estudo de Convergência de Malha

Foi feito um estudo de convergência de malha para determinar qual tipo deveria ser

utilizado ao longo das simulações a seguir. Esse estudo se mostra vital, pois é desejado

que se adote uma malha refinada o suficiente para trazer resultados acurados, mas que

25

por outro lado não comprometa o trabalho com tempos computacionais

demasiadamente grandes. As malhas adotadas foram definidas automaticamente pelo

COMSOL Multiphysics® de acordo com a física escolhida para o problema. Dentre

elas, as opções disponíveis variavam desde ‘Extremely coarse’ até ‘Extremely fine’

abrangendo um total de nove opções.

Para realização do teste pretendido foi escolhida a situação em que o modelo contém um

tumor de raio 𝑤 = 3 𝑚𝑚 e profundidade 𝑝 = 1,5 𝑚𝑚 (corresponde ao caso 3, que será

explicado com mais detalhes adiante) e presencia o reaquecimento natural da região.

Três pontos foram definidos no nosso modelo para auxiliar no estudo. O primeiro ponto

está dentro do tumor, o segundo está na superfície da pele e o terceiro dentro da derme,

conforme ilustrado na figura 14.

Figura 14 – Pontos Auxiliares no Modelo

As coordenadas dos pontos são expostas na tabela 2.

Tabela 2 - Coordenadas dos Pontos

Ponto 𝒓 [𝒎𝒎] 𝒛 [𝒎𝒎]

1 2 0,85

2 5 0

3 10 0,85

Antes de realizar o estudo foi feita uma comparação com um modelo construído usando

um ambiente tridimensional e um modelo desenhado em duas dimensões, mas que

26

possui simetria axial. Ambos geram eventualmente o mesmo modelo, a única diferença

é que no último a simetria é explicitamente definida antes mesmo de se começar a

desenhar o modelo. A malha do modelo tridimensional foi definida como sendo

‘Normal’.

Como pode ser visto na figura 15, esta malha possui 36953 elementos de domínio,

13962 elementos de fronteira e 896 elementos de aresta.

Figura 15 – Malha 'Normal' do Modelo tridimensional

A malha do modelo bidimensional axissimétrico foi escolhida como sendo ‘Fine’, que é

mais refinada que a ‘Normal’ (ver figura 16).

Esta malha possui 1301 elementos de domínio e 333 elementos de fronteira.

27

Figura 16 – Malha 'Fine' do Modelo Bidimensional Axissimétrico

Isso comprova que a escolha do modelo bidimensional axissimétrico é muito vantajosa,

pois diminui em muito o número de elementos necessários para a criação da malha e

possibilita resultados mais precisos e mais rápidos.

O próximo passo foi testar três malhas para essa escolha. Elas são a ‘Fine’, ‘Finer’ e

‘Extra fine’, que foram testadas para três tempos arbitrariamente escolhidos do

reaquecimento, a saber, 10𝑠, 50𝑠 e 100𝑠.

Os valores das temperaturas para os tempos selecionados são listados na tabela 3 e

como se pode observar, estes mostram-se muito próximos uns dos outros. De fato,

quase todas as temperaturas equiparam-se até a quarta casa decimal, em cada uma das

linhas. A discrepância relativa foi calculada entre as temperaturas com malha ‘Fine’ e as

com malha ‘Extra Fine’ e encontrou-se que o pior caso é o do ponto 3, para um tempo

de 10 segundos, em que a discrepância é de 0,007%. Tais valores são bastante

satisfatórios e demonstram um bom comportamento das malhas.

28

Tabela 3 - Resultado da Análise de Convergência

Ponto Tempo [𝒔] Temperatura [℃]

Malha 'Fine' Malha 'Finer' Malha 'Extra Fine'

1

10 9,60001 9,60005 9,59980

50 18,02078 18,02077 18,02073

100 23,07520 23,07519 23,07517

2

10 7,66109 7,66109 7,66109

50 16,24916 16,24916 16,24916

100 21,59630 21,59630 21,59630

3

10 8,53899 8,53904 8,53836

50 16,25417 16,25417 16,25413

100 21,39637 21,39637 21,39636

Diante disso decidiu-se adotar a malha ‘Fine’ para todas as simulações realizadas neste

projeto, haja vista que ela apresenta um refinamento bom o suficiente e ao mesmo

tempo demanda menores tempos computacionais que as outras malhas mais refinadas.

4.4 Simulações

Uma vez definidas as propriedades termofísicas adotadas, a geometria utilizada no

modelo, a física que rege o problema (modelo de Pennes) e a malha usada para o

cálculo dos perfis de temperatura, já é possível a realização de estudos que simulem a

situação desejada. No total foram feito sete estudos. O primeiro deles assume que não

haja tumor ou então que o tumor presente seja benigno e que suas propriedades sejam

compatíveis com a de um tecido saudável em que ele se encontra. Essa abordagem é

pertinente, pois estamos olhando para os tecidos biológicos pela ótica das propriedades

térmicas e, portanto a grande preocupação e o que buscamos é a detecção de tumores

malignos que tem potencial de causar danos muitas vezes irreparáveis.

Cada estudo é divido em três etapas. A primeira delas consiste no regime permanente e

o COMSOL Multiphysics® resolve a equação do modelo de Pennes para o caso que a

temperatura não depende mais do tempo. Uma distribuição de temperatura é, portanto

encontrada e esta, por sua vez, depende apenas do parâmetro espacial. A segunda etapa

utiliza a distribuição encontrada na primeira etapa como condição inicial do problema e

29

ao invés de convecção na sua superfície livre, agora a condição de contorno é

temperatura constante e igual a 0℃ nessa superfície. Esse estudo é rodado para um

intervalo de tempo de 50 segundos, com passos de 1 segundo. Isso significa que o

COMSOL Multiphysics® calcula os valores de temperatura para cada região criada pela

malha para cada intervalo de 1 segundo do instante 0 segundos até o instante 50

segundos. A terceira e última etapa também consiste de um regime transiente. Ela

utiliza a distribuição de temperaturas final da segunda etapa como condição inicial deste

estudo e como condição de contorno para a superfície livre utiliza a condição de

convecção com coeficiente de transferência de calor de 10 𝑊/𝑚2𝐾 como ocorria na

primeira etapa. Nesta etapa o intervalo de tempo estudado é de 300 segundos e o passo

escolhido é de 2 segundos.

Para os casos com tumor foi feito um estudo paramétrico em que se considerou três

tamanhos diferentes de largura e dois tamanhos diferentes de profundidade para o

tumor, gerando um total de seis estudos diferentes, que buscaram abranger tamanhos

típicos de tumores que seriam desejáveis de serem detectados precocemente. Os seis

casos são resumidos na tabela 4, onde 𝑤 se refere ao raio do tumor e 𝑝 à profundidade

do tumor:

Para cada um dos casos estudados vamos analisar visualmente cada uma das três etapas

através de gráficos tridimensionais e estudar também gráficos da temperatura

transversal para a primeira e terceira etapas; regime permanente e reaquecimento

natural, respectivamente. Elas vão nos mostrar as diferenças de temperatura que podem

ser capturadas através das termografias passiva e ativa. Além disso, como a diferença de

Tabela 4 - Produto Cartesiano dos Valores das

Propriedades

w [mm]

. p [mm]1 3 6

0,75 p = 0,75, w = 1 p = 0,75, w = 3 p = 0,75, w = 6

1,5 p = 1,50, w = 1 p = 1,50, w = 3 p = 1,50, w = 6

30

temperatura entre a maior e menor temperatura num comprimento de arco varia com o

tempo, uma outra análise se viu necessária. Foi escrito um código em Python que

calculava o valor absoluto da diferença entre as temperaturas nas posições 0 𝑚𝑚 e

15 𝑚𝑚 para cada instante de tempo e que criava um gráfico exibindo tal resultado.

Dessa forma foi possível identificar o momento da recuperação térmica da pele com o

maior contraste térmico. O código criado pode ser visto na figura 17.

Figura 17 – Código Escrito em Python Usado para Calcular as Diferenças de

Temperatura ao Longo do Tempo

Para facilitar a apresentação das simulações e dos resultados obtidos através delas, os

sete casos mencionados aparecerão numerados em ordem crescente de acordo com a

tabela 5.

31

Tabela 5 - Explanação dos Casos Estudados

Caso p (mm) w (mm)

1 - -

2 1,5 6

3 1,5 3

4 1,5 1

5 0,75 6

6 0,75 3

7 0,75 1

Caso 1:

Nosso primeiro estudo foi o do caso sem tumor. A ausência do tumor acarreta num

modelo unidimensional.

O resultado da simulação do caso sem tumor para o regime permanente pode ser visto

no gráfico tridimensional apresentado na figura 18.

Figura 18 – Caso 1: Regime Permanente

Como esperado vemos que a temperatura varia longitudinalmente, mas não

transversalmente. Como o gráfico de cores é um pouco impreciso e serve apenas de

32

auxílio visual, um gráfico da temperatura ao longo do eixo longitudinal foi construído

de modo a se observar com mais detalhes a variação da temperatura, conforme

apresentado pela figura 19.

O eixo 𝑥 está em milímetros e vai desde a parte mais profunda do músculo (do nosso

modelo) até a parte mais superficial da pele. Podemos ver claramente que a temperatura

sofre grande influência dependendo da região que ela se encontra e que a diferença de

temperatura entre a posição mais quente e mais fria não é muito grande, estando em

torno de 2,6℃. Note na figura 19 os perfis lineares de temperatura, característica do

regime permanente, unidimensional em coordenadas cartesianas (neste caso, a

coordenada longitudinal).

Figura 19 – Temperatura Longitudinal

Em seguida, a etapa de resfriamento é computada e seu gráfico tridimensional é

apresentado na figura 20, para o instante em que o tempo decorrido é de 50 segundos.

33

Figura 20 – Caso 1: Resfriamento após 50 segundos

Finalmente, simulamos o reaquecimento cujos resultados são apresentados na figura 21

para o tempo de 100 𝑠 após o início do reaquecimento.

Figura 21 – Caso 1: Reaquecimento após 100 segundos

Essa etapa de reaquecimento é a de maior interesse, pois são onde os dados seriam de

fato colhidos por câmeras térmicas e a evolução da temperatura estudada. Como forma

de organizar os estudos, alguns tempos específicos foram selecionados de forma que

34

pudéssemos estudar os gráficos de temperatura ao longo da pele no sentido transversal

nesses tempos. Os primeiros momentos de reaquecimento são os mais interessantes,

pois são onde veremos de forma mais clara a atuação do diferente metabolismo na

região do tumor. Com isso em mente, vamos seguir o padrão de analisar os gráficos

correspondentes aos tempos 𝑡 = {0𝑠, 2𝑠, 6𝑠, 10𝑠, 20𝑠, 50𝑠, 100𝑠}. A figura 22 mostra

tais perfis para o caso 1, mais uma vez demonstrando o comportamento unidimensional

deste caso. Como esperado as temperaturas praticamente não variam ao longo da

posição, mas crescem em relação ao tempo tendendo a voltar à distribuição que se

encontrava no regime permanente.

Figura 22 – Caso 1: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo

Caso 2:

O primeiro caso com tumor analisado vai ser o de maior tamanho, tanto radial quanto de

profundidade. Espera-se que não haja dificuldade em detectar uma significativa

diferença de temperatura, entre a região do tumor e longe dela, até mesmo para o regime

permanente.

O gráfico da distribuição de temperatura em nosso modelo é exibido na figura 23 para o

regime permanente. Nota-se que a distribuição é muito similar a do caso sem tumor,

mas ao invés de analisar a temperatura através de uma reta de corte longitudinal, agora

35

vamos analisar a temperatura através de uma reta de corte transversal que está na

superfície da pele. O resultado é mostrado na figura 24.


Figura 24 – Caso 2: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime

Permanente

36

A influência da presença do tumor é evidente. Entre o centro do tumor e uma distância

de 15 𝑚𝑚 desse ponto há uma diferença de mais de 0,5℃, o que já seria mais do que

suficiente para que câmeras térmicas revelassem a presença de uma anomalia.

Continuando o estudo, temos na figura 25 a imagem da distribuição de temperaturas

para o fim do período de resfriamento.


A última etapa é a do reaquecimento e a distribuição de temperatura para um tempo de

300 segundos é exibida na figura 26.

37


Como mencionado anteriormente, para cada instante da fase de reaquecimento da região

teremos um gráfico de temperaturas na superfície e, portanto a figura 27 reúne sete

gráficos para os seguintes tempos particulares: 0𝑠, 2𝑠, 6𝑠, 10𝑠, 20𝑠, 50𝑠 𝑒 100𝑠.

38


Dois pontos saltam aos olhos ao analisar a figura. O primeiro é que, à medida que o

tempo decorre, a distribuição de temperatura como um todo é transladada para cima e

tende a recuperar a distribuição encontrada no regime permanente. O segundo é que fica

evidente que a temperatura perto da região do tumor (neste caso de 0 𝑚𝑚 a 6 𝑚𝑚) e

redondezas está acima do resto da pele. Além disso, esta diferença de temperatura

evolui com o tempo. Por isso, se criou um pequeno programa em Python que importava

os dados desses gráficos e estudava essa evolução ao longo do tempo (ver figura 17). O

resultado desse programa pode ser visto na figura 28.

39

Figura 28 – Caso 2: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do

Tempo

Desse programa obtemos que a maior diferença de temperatura surge aos 74 segundos

de recuperação térmica e tal diferença é de 3,39℃, valor muito superior aos 0,5℃ que

havíamos encontrado a princípio analisando apenas o regime permanente.

Caso 3:

Diminuímos agora o raio do tumor à metade de seu valor e vamos analisar as

consequências dessa mudança. Primeiro olhemos como fica a distribuição de

temperatura para o regime permanente, na figura 29.

40


Mais uma vez vemos que longe do tumor a distribuição de temperaturas se comporta da

mesma forma que o caso sem tumor e a extensão das temperaturas encontradas também

é muito similar.

Plotando o gráfico da temperatura ao longo da superfície obtemos a figura 30.

41


Permanente

A diferença de temperatura é de aproximadamente 0,4℃ para esse caso e percebe-se

que a queda de temperatura é mais acentuada, isto é, para um mesmo comprimento há

uma queda mais brusca da temperatura em relação ao caso anterior.

A próxima etapa é a do resfriamento. Simulamos esse evento e encontramos a

distribuição de temperaturas para 50 segundos de simulação, que pode ser vista na

figura 31.

42


Finalmente o gráfico da distribuição de temperaturas para o reaquecimento da região

após 300 segundos é exibido na figura 32.


Novamente, traçamos os gráficos da temperatura ao longo da superfície da pele para os

tempos 𝑡 = {0𝑠, 2𝑠, 6𝑠, 10𝑠, 20𝑠, 50𝑠, 100𝑠}. O resultado é ilustrado na figura 33.

43


O resultado do programa feito em Python pode ser visto na figura 34.

44


Tempo

A maior diferença de temperaturas é encontrada aos 50 segundos e corresponde a

2,25℃.

Caso 4:

O último estudo para o caso que a profundidade é de 1,5 𝑚𝑚, é o caso em que o raio

tem 1 𝑚𝑚, ou seja, é três vezes menor que o caso anterior e seis vezes menor que o

primeiro caso estudado. Tal caso é de profundo interesse, pois tumores de pequeno raio

como esse tendem a ser perigosos pela alta probabilidade de passarem despercebidos.

A distribuição de temperaturas para o regime permanente é vista na figura 35.

45


Repare que o tamanho do tumor é bem pequeno em relação ao modelo. Quanto menor o

tumor mais se espera que a distribuição se assemelhe ao caso sem tumor, afinal o caso

limite fazendo o raio 𝑤 ir para zero é exatamente esse.

A figura 36 apresenta o gráfico da temperatura sobre a superfície da pele para este caso.

46


Permanente

O gráfico da figura 36, como pode ser visto acima, mostra que a variação de

temperatura é de aproximadamente apenas 0,12℃.

A distribuição de temperaturas para 50 segundos de resfriamento é exibida na figura 37.


47

E o gráfico tridimensional para 300 segundos de reaquecimento é disposto na figura 38.


Logo em seguida, o conjunto de gráficos bidimensionais para a temperatura na

superfície da pele para os tempos estabelecidos a priori é plotado na figura 39.

48


Para este caso já se começa a perceber as dificuldades que podem ser encontradas.

Ainda é possível identificar variações de temperatura nas regiões de tumor, mas elas

estão cada vez menores em relação aos casos anteriores. O gráfico que estuda a

diferença de temperatura entre os pontos 0 𝑚𝑚 e 15 𝑚𝑚 ao longo do tempo é

construído conforme ilustra a figura 40.

49


Tempo

Para este caso é possível ver que a maior diferença de temperaturas é detectada aos 22

segundos e corresponde a 0,77℃.

Com intuito de comparar esses três primeiros casos e analisar como suas distribuições

de temperatura se comportam para o regime permanente, agrupou-se os três primeiros

gráficos de cada caso numa só ilustração (ver figura 41).

As variações máximas de temperatura diminuem e ocorrem para tempos menores,

quando se diminui o tamanho do tumor (ver figuras 28, 34 e 40).

50

Figura 41 – Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente

Para os Casos 2, 3 e 4

Confirmando o que já havia sido observado anteriormente, não só a variação de

temperatura diminui, mas também a região de influência do tumor diminui.

Caso 5:

Nos próximos três casos, adotou-se uma profundidade de 0,75 𝑚𝑚 para o tumor. Isso é

metade da profundidade que vinha sendo utilizada. No presente caso, o raio do tumor é

de 6 𝑚𝑚.

O gráfico da temperatura para o regime estacionário pode ser visto na figura 42.

51


Mais uma vez vemos que a distribuição de temperaturas para o caso do regime

permanente não se distancia muito do caso sem tumor, que por sua vez traz consigo o

risco da não identificação do mesmo. O gráfico da temperatura ao longo da superfície

da pele é apresentado na figura 43.

52


Permanente

A faixa de temperatura para esse caso é menor que 0,4℃ e, portanto ligeiramente menor

comparado ao caso em que o tumor tem profundidade de 1,5 𝑚𝑚 (ver figura 24). Na

figura 44 é possível visualizar o final da simulação do resfriamento, em que a superfície

da pele se encontra com temperatura constante de 0℃.

53


Na figura 45 a seguir, expõe-se a distribuição de temperatura após 300 segundos de

reaquecimento natural da região.


O gráfico contendo a variação da temperatura ao longo da pele para os sete tempos

previamente definidos é revelado na figura 46.

54


Nota-se na figura 46 que a diferença máxima de temperatura para cada tempo não é tão

grande, apesar de a faixa de comprimentos influenciando esse aumento de temperatura

perto do centro ser diretamente relacionada ao tamanho do tumor. Dessa forma, o

gráfico produzido pelo programa escrito em Python (ver figura 17) permite uma analise

mais detalhada, como pode ser visto na figura 47.

55


Tempo

A diferença máxima de temperatura é de 1,89℃ graus e ocorre aos 104 segundos. Até o

momento foi o experimento que mais demorou a alcançar a diferença máxima. Isso

explica a impressão de que as diferenças pareciam pequenas. Para este caso os primeiros

segundos não eram os mais interessantes de se observar, forçando uma espera

ligeiramente maior para se obter resultados melhores.

Caso 6:

O caso seguinte é o de largura do tumor igual à metade do anterior. A distribuição de

temperaturas para o regime permanente pode ser vista na figura 48.

56


Com a diminuição do tamanho do tumor espera-se uma influencia cada vez menor por

parte deste na distribuição de temperatura da região. Isso fica evidenciado no gráfico da

figura 49.


Permanente

57

A faixa de temperatura agora é menor que 0,25℃ e região de temperatura mais elevada

se estreitou. Na figura 50 a distribuição de temperaturas para o final do estágio de

resfriamento é exibida.


A faixa de temperatura está dentro do esperado e a temperatura na superfície da pele é

igual a 0℃ como desejado. A última etapa é a do reaquecimento natural e a distribuição

de temperaturas para um tempo de 300 segundos pode ser vista na figura 51.

58


Uma analise mais minuciosa da situação é possibilitada através do gráfico da

temperatura ao longo da superfície da pele para os tempos já predeterminados de 𝑡 =

{0𝑠, 2𝑠, 6𝑠, 10𝑠, 20𝑠, 50𝑠, 100𝑠} (ver figura 52).

59


O grupo de curvas da figura 52 indica que a variação de temperatura das curvas parece

aumentar com o tempo e diminuir ligeiramente para o tempo de 100 segundos. Além

disso, para posições acima dos 5 𝑚𝑚 já fica difícil se notar diferenças de temperatura

significativas.

O gráfico desenvolvido com a ajuda do Python aparece de forma muito conveniente

para esclarecer esses pontos. Ele indica que a maior diferença de temperatura que se

atinge é de 1,27℃, que por sua vez ocorre aos 50 segundos de reaquecimento, como

pode ser visto na figura 53.

60


Tempo

Caso 7:

O último caso é aquele do qual se espera mais dificuldade, pois é o caso em que o tumor

possui o menor tamanho tanto em largura quanto em profundidade. A distribuição de

temperatura para o regime permanente é vista na figura 54 abaixo.

61


A semelhança com o caso sem tumor é nítida, o que não surpreende, pois o tamanho do

tumor é relativamente bastante menor que o do modelo em si.

O gráfico da figura 55 é o da temperatura ao longo da superfície da pele para este

mesmo caso.

62


Permanente

Nota-se que aqui que a variação da temperatura cai para menos de 0,1℃ e que a região

de influencia do tumor é bem estreita.

O gráfico das temperaturas para a fase de resfriamento é exibido na figura 56.


O fato da faixa de temperatura ser relativamente extensa nesse caso – há uma faixa de

37℃ – faz com que o gráfico de cores não consiga transmitir informação. Contudo, isso

não chega a ser um problema, pois a etapa seguinte é que é a nossa principal fonte de

informações. Um gráfico da sua distribuição de temperaturas é mostrado na figura 57.

63


A impressão que o gráfico nos passa é que o tumor é tão pequeno que praticamente não

influencia a temperatura da pele. Contudo, a temperatura da pele se mostra mais

eficiente em avaliar se este é de fato o caso.

Um gráfico contendo a variação de temperatura ao longo da pele para diferentes tempos

é exibido na figura 58.

64


Como podemos observar na figura 58, de fato a diferença de temperatura causada pelo

tumor parece ser mínima e somente o estudo da variação dessa diferença ao longo do

tempo é que vai poder nos dizer com mais precisão se a diferença de temperatura é

significativa ou não.

Um gráfico com a diferença máxima de temperatura para cada tempo é construído e

apresentado na figura 59.

65


Tempo

Extraímos dessa análise que a maior diferença encontrada é de 0,48℃ para o tempo de

22 segundos, como pode ser visto na figura 59. Apesar de não ser uma diferença muito

grande ela é sim grande o suficiente para os nossos propósitos e é claramente maior do

que para o caso do regime permanente onde ela não passava dos 0,1℃.

Novamente, é exibido um gráfico comparando a temperatura ao longo da superfície da

pele para o regime permanente, com o intuito de comparar a variação da largura para a

profundidade de 0,75 𝑚𝑚 (ver figura 60).

66


Para os Casos 5, 6 e 7

Por uma questão de completude também se pareceu razoável criar um gráfico para

analisar a influencia da variação da profundidade. Por isso, foi desenvolvido um gráfico

que agrupava as duas curvas de temperatura ao longo da superfície da pele quando a

largura 𝑤 é igual a 3 𝑚𝑚 e este pode ser visto na figura 61.

67


Para os Casos 3 e 6

O gráfico da figura 61 acima nos releva informações importantes. A primeira

observação a ser feita, é que a curva com maior profundidade possui temperatura maior

que a outra curva, para todas as posições radiais. Ou seja, não importa qual ponto se

esteja observando, é esperado que a temperatura para um caso em que a profundidade

do tumor é maior seja mais elevada. Outro ponto digno de menção é que a profundidade

do tumor influencia sensivelmente a variação de temperatura obtida em cada curva.

Além disso, o mesmo raio para as duas curvas parece evidenciar que este parâmetro

influencia diretamente na região de influência do tumor. Isto é, a faixa de comprimento

em que os valores da temperatura estão significativamente acima dos valores

encontrados nas extremidades é muito similar para as duas curvas.

Finalmente, a tabela 6, que agrupa os resultados obtidos ao final de cada experimento,

foi produzida. Nela constam os casos que contêm tumor, ou seja, os seis casos últimos

casos. E para cada um deles é assinalado a maior diferença de temperatura encontrada

na recuperação térmica e o tempo em que tal diferença foi obtida.

68

Tabela 6 - Resumo dos Casos

Caso 2 Caso 3 Caso 4

𝟑, 𝟑𝟗℃ 74𝑠 𝟐, 𝟐𝟓℃ 50𝑠 𝟎, 𝟕𝟕℃ 22𝑠

Caso 5 Caso 6 Caso 7

𝟏, 𝟖𝟗℃ 104𝑠 𝟏, 𝟐𝟕℃ 50𝑠 𝟎, 𝟒𝟖℃ 22𝑠

Os gráficos das figuras 28, 34, 40, 47, 53 e 59 apresentam todos a mesma estrutura.

Começam valendo 0℃ no tempo 0 𝑠, aumentam até atingir um valor máximo e então

decrescem e convergem para um valor limite no infinito. Isso ocorre pela forma que eles

foram definidos, isto é, por ser a diferença de temperatura entre dois pontos na

superfície da pele, pelo fato de que no instante inicial a temperatura é constante e igual a

0℃ para toda a superfície da pele e ainda por a temperatura na superfície da pele tender

ao regime permanente quando o tempo tende a infinito.

A tabela 6 nada mais é que um resumo das temperaturas máximas destes gráficos e dos

tempos em que elas são atingidas. Ela nos evidencia que à medida que as larguras do

tumor vão diminuindo, também diminuem o tempo necessário para a diferença de

temperatura atingir seu valor máximo. Outro ponto que também fica claro é a correlação

positiva entre a profundidade do tumor e a diferença máxima de temperatura.

O último, e talvez mais importante, ponto a ser ressaltado é a magnitude das diferenças

de temperatura obtidas. A menor delas foi obtida no caso mais extremo, em que o tumor

possuía a menor largura e a menor profundidade. Ainda assim, o valor de 0,48℃ é

grande o suficiente para ser facilmente detectado por uma termografia por

infravermelho, que é nosso objetivo final.

69

5 Considerações Finais

No presente projeto foi feito um estudo para se avaliar se a análise do desenvolvimento

dos perfis de temperatura da superfície da pele que sofreu um estímulo térmico teria a

capacidade de passar informação o suficiente de modo a servir como detecção de um

melanoma. Esse estudo teórico foi realizado com a ajuda do software COMSOL

Multiphysics®. Procurou-se através desta análise identificar se esse caminho era ou não

promissor e se valia a pena investir nessa direção no combate ao câncer.

De forma resumida, os resultados mostraram que, de fato, a abordagem ativa do

problema traz resultados muito melhores que a abordagem passiva, em que não há

estímulo térmico. Mesmo para o pior caso estudado, em que a largura e a profundidade

do tumor foram as menores consideradas, ainda foi possível detectar uma diferença de

temperatura significativa o suficiente para se afirmar que havia a presença de um tumor

maligno. Podemos, portanto afirmar com base nos resultados obtidos que, de fato, o

método desenvolvido parece promissor e mostra a capacidade de avaliar a presença de

um tumor maligno com alta sensibilidade.

Como sugestão de trabalho futuro seria muito interessante tentar reproduzir os

resultados aqui obtidos em experimentos realizados em laboratório. Em outras palavras

seria muito produtivo reproduzir em um laboratório os experimentos que foram

simulados no COMSOL Multiphysics® de forma a avaliar se de fato os resultados aqui

obtidos se reproduzem na vida real.

Neste caso, diversos novos obstáculos apareceriam de forma natural devido ao novo

ambiente. Incertezas relacionadas à medida da temperatura, imprecisões que algumas

das simplificações acarretam e até o próprio modelo de Pennes, que tem limitações

inerentes, teriam de ser comtemplados. O que torna essa pesquisa atraente, de acordo

com o ponto de vista deste trabalho, é avaliar quais das simplificações adotadas e

hipóteses feitas são pertinentes, quais não são e quais mais interferem no resultado final.

Com base em resultados experimentais obtidos em laboratório poder-se-ia até retornar a

um estudo similar a este tentando aprimorar cada passo do estudo. Ou seja, se poderia

adotar um modelo que descreva melhor a situação física que o modelo de Pennes, se

poderia adotar um modelo geométrico que melhor representa o modelo real e assim por

diante.

70

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74

Apêndice A – Problemas de Verificação

Com o intuito de verificar a validade das simulações desenvolvidas no COMSOL

Multiphysics® foram estudados quatro problemas de verificação, em que algumas

situações de limitada complexidade, porém pertinentes, foram escolhidas, pois era

possível resolvê-las analiticamente.

Uma vez resolvidos tais problemas analiticamente (para dois deles foi necessário a

utilização do software Python para executar o cálculo dos resultados obtidos), resultados

foram reunidos e comparados com aqueles extraídos das simulações realizadas no

COMSOL Multiphysics® que resolviam o mesmo problema.

Ao final de cada um dos problemas é feita uma comparação entre as duas soluções e

uma análise de verificação dos resultados obtidos através do COMSOL Multiphysics®.

Todos os problemas abordados tem apenas uma dimensão espacial, os dois primeiros

são assumidos estacionários e, portanto não dependem do tempo e os dois últimos são

assumidos transientes e, portanto além da dimensão espacial também possuem uma

dimensão temporal.

Problema de Verificação 1:

O primeiro problema consiste em camadas justapostas, sem geração de energia no meio

e na qual a transferência de calor se dá em regime permanente. Em uma das

extremidades a temperatura é mantida constante em 𝑇0 = 37℃ e na outra extremidade

há convecção de calor para o meio externo com coeficiente de transferência de calor

ℎ = 10 𝑊/𝑚2 ℃ e temperatura ambiente igual a 𝑇ar = 23℃.

Como nosso problema está em regime permanente e não há geração de energia a

equação governante para cada uma das camadas será d2𝑇(x)

dx2= 0 e percebe-se facilmente

que a distribuição de temperatura ao longo de cada uma das camadas será dada por uma

reta. Em outras palavras, basta determinarmos as temperaturas nos pontos de interseção

de uma camada com outra. Para resolver este problema podemos utilizar o conceito de

resistência térmica já que não há geração de energia no meio. Adotando uma área da

seção de A = 100mm2 = 10−4m2, vemos que a taxa de fluxo de calor será:

75

𝑄 =

𝑇0 − 𝑇1𝑅1

=𝑇1 − 𝑇2𝑅2

=𝑇2 − 𝑇3𝑅3

=𝑇3 − 𝑇4𝑅4

=𝑇4 − 𝑇5𝑅5

=𝑇5 − 𝑇𝑎𝑟𝑅𝑏

(1)

Onde as resistências térmicas são:

𝑅1 =

𝐿1𝐴𝑘1

, 𝑅2 =𝐿2𝐴𝑘2

, 𝑅3 =𝐿3𝐴𝑘3

, 𝑅4 =𝐿4𝐴𝑘4

, 𝑅5 =𝐿5𝐴𝑘5

, 𝑅𝑏 =1

𝐴ℎ

(2)

Somando os numeradores e denominadores das razões individuais na equação (1),

chegamos a equação (3).

𝑄 =

𝑇0 − 𝑇𝑎𝑟𝑅

(3)

Onde

𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅𝑏 (4)

De posse do valor de 𝑄 podemos facilmente encontrar as temperaturas:

𝑇1 = 𝑇0 −𝑄𝑅1, 𝑇2 = 𝑇1 −𝑄𝑅2, 𝑇3 = 𝑇2 −𝑄𝑅3 (5)

𝑇4 = 𝑇3 − 𝑄 ∙ 𝑅4, 𝑇5 = 𝑇4 − 𝑄 ∙ 𝑅5 (6)

Os valores dos comprimentos e condutividade térmica de cada camada são dados na

tabela 7.

Tabela 7 – Comprimentos e Condutividades Térmicas do Problema de

Verificação 1

Músculo Gordura Derme Tumor Epiderme

𝐿𝑖 [𝑚𝑚] 8 2 0,75 0,75 0,1

𝑘𝑖 [W/m ∙ ℃ ] 0,51 0,185 0,445 0,558 0,235

De posse desses valores podemos calcular as resistências térmicas, a taxa de fluxo de

calor e finalmente as temperaturas desejadas.

76

𝑅1 =𝐿1𝐴𝑘1

=8 ∙ 10−3

10−4 ∙ 0,51= 156,862745℃ 𝑊⁄ ,

𝑅2 =2 ∙ 10−3

10−4 ∙ 0,185= 108,108108℃ 𝑊⁄


=0,75 ∙ 10−3

10−4 ∙ 0,445= 16,853933℃ 𝑊⁄ ,

𝑅4 =0,75 ∙ 10−3

10−4 ∙ 0,558= 13,440860℃ 𝑊⁄


=0,1 ∙ 10−3

10−4 ∙ 0,235= 4,255319℃ 𝑊⁄ , 𝑅𝑏 =

1

10−4 ∙ 10= 1000℃ 𝑊⁄

𝑅 = 1299,520965℃ 𝑊⁄

𝑄 =𝑇0 − 𝑇𝑎𝑟

𝑅=

37 − 23

1299,520965= 0,0107732 𝑊

𝑇1 = 𝑇0 −𝑄𝑅1 = 37 − 0,0107732 ∙ 156,862745 = 35,310086℃

𝑇2 = 𝑇1 − 𝑄𝑅2 = 35,310086− 0,0107732 ∙ 108,108108 = 34,145416℃

𝑇3 = 𝑇2 − 𝑄𝑅3 = 34,145416 − 0,0107732 ∙ 16,853933 = 33,963845℃

𝑇4 = 𝑇3 −𝑄𝑅4 = 33,963845 − 0,0107732 ∙ 13,440860 = 33,819044℃

𝑇5 = 𝑇4 −𝑄𝑅5 = 33,819044 − 0,0107732 ∙ 4,255319 = 33,773201℃

O próximo passo é implementar o mesmo problema no COMSOL Multiphysics® e

extrair os dados pertinentes para compararmos com nosso modelo teórico e analisar se

de fato eles concordam ou se há alguma discrepância nos valores.

Seguindo o procedimento padrão do COMSOL Multiphysics®, a primeira coisa a ser

feita é definir a geometria do problema. Como queríamos um problema relativamente

simples e que recaísse num problema unidimensional, estendemos a largura do tumor de

forma que todas as camadas tivessem a mesma largura e o problema originalmente

tridimensional virasse essencialmente um problema unidimensional devido à

axissimetria e ao fato das camadas serem todas de mesmo raio.

77

Como pode ser visto na figura 62 a seguir, dentro da aba ‘Geometry 1’ foram

construídas 5 camadas com as devidas medidas já mencionadas.

Figura 62 – Geometria do Problema de Verificação

O próximo passo foi definir os materiais, como pode ser visto na figura 63.

Figura 63 – Materiais do Problema de Verificação 1

Para cada camada foi definido seu material respectivo (com suas devidas propriedades)

e foi tomado o cuidado de se usar as mesmas condutividades térmicas que haviam sido

utilizadas quando o problema analítico foi resolvido.

78

Na figura 63 podemos ver que o material selecionado é o músculo cuja condutividade

térmica foi alterada para 𝑘 = 0,51 W/m℃ para concordar com o valor utilizado na

resolução do problema feita anteriormente.

Depois disso, foi definida a física do problema. Foi escolhida a transferência de calor

em sólidos e definidas as condições inicial e de contorno do problema.

Na figura 64 podemos observar a condição de contorno de convecção na camada

externa da pele sendo aplicada. Como se pode notar foi escolhido um coeficiente de

transferência de calor ℎ = 10 W/m2 ℃ e temperatura externa como sendo a

temperatura do ar previamente definida.

Figura 64 – Física do Problema de Verificação 1

Os passos seguintes foram criar uma malha para o modelo geométrico e definir o

estudo. No nosso caso o estudo é o de regime estacionário. Tendo definido isso, o

COMSOL Multiphysics® já tem condições de rodar o problema.

De forma a analisar os resultados definimos uma linha de corte para exibir os valores da

temperatura sobre os pontos desta linha. A linha escolhida foi uma perpendicular às

camadas e que passa bem no meio do modelo, que é um cilindro; ou seja, em 𝑟 = 0𝑚𝑚.

A figura 65 ilustra a definição de tal linha de corte.

79

Figura 65 – Linha de Corte do Problema de Verificação 1

Por último, cria-se um ‘Plot Group’, como pode ser visto na figura 66, onde podem ser

criados gráficos com os dados do problema e dentro deste grupo cria-se um gráfico de

linha com a linha anteriormente definida. É deste gráfico que os dados serão retirados,

pois queremos os valores da temperatura quando o sistema atinge o regime permanente

nos pontos de distância 0 𝑚𝑚; 8 𝑚𝑚; 10 𝑚𝑚; 10,75 𝑚𝑚; 11,5 𝑚𝑚 𝑒 11,6 𝑚𝑚.

Figura 66 – Gráfico do Problema de Verificação 1

O gráfico apresenta um bom resultado visual, mas queremos algo mais palpável e fácil

de analisar. Para isso, foram extraídos os dados do gráfico. O COMSOL Multiphysics®

80

permite que esta extração se dê para um arquivo ‘.txt’ em que são criadas duas colunas,

a primeira com os valores da abcissa e a segunda com os respectivos valores da

ordenada.

Esses valores foram então importados num arquivo Excel e tratados de forma a

comparar os valores recém coletados com os calculados anteriormente. A tabela 8

comparando tais valores é exibida abaixo.

Tabela 8 – Temperaturas Teóricas e Calculadas com o COMSOL

Multiphysics® para o Problema de Verificação 1

𝑥 [𝑚𝑚] 𝑇 (𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜) [℃] 𝑇 (𝐶𝑂𝑀𝑆𝑂𝐿) [℃]

0 37 37

8 35,310086 35,31008619

10 34,145416 34,14541585

10,75 33,963845 33,96384506

11,5 33,819044 33,81904397

11,6 33,773201 33,77320057

A proximidade dos dados é notável e o resultado é considerado bastante positivo para

este primeiro problema de verificação.


No segundo problema se é assumido que há geração de energia 𝑔0 = 400 W m3⁄ e que

todas as camadas são do mesmo material ou mesmo tecido, que foi arbitrariamente

escolhido ser tecido muscular. Ainda se está no caso do regime permanente e devido ao

fato de todas as camadas serem iguais, pode-se encarar esse modelo como sendo apenas

uma camada grossa de tecido muscular.

A equação que rege tal problema é:

81

𝑑2𝑇(𝑥)

𝑑𝑥2+1

𝑘𝑔(𝑥) = 0

0 < 𝑥 < L (7)

Novamente as condições de contorno são que a temperatura é mantida constante em

𝑇0 = 37℃ numa extremidade e na outra há convecção de calor para o meio externo com

coeficiente de transferência de calor ℎ = 10 W/m2 ℃ e temperatura ambiente igual a

𝑇𝑎𝑟 = 23℃. Elas podem ser resumidas nas equações a seguir.

𝑇(0) = 𝑇0 = 37℃ (8)

𝑘𝑑𝑇(𝑥)

𝑑𝑥+ ℎ𝑇 = ℎ𝑇𝑎𝑟

em 𝑥 = L (9)

É assumido que a geração de energia é uniforme e, portanto 𝑔(𝑥) = 𝑔0 para todo 𝑥.

Para encontrar a distribuição de temperatura integra-se a equação (7):

𝑑𝑇(𝑥)

𝑑𝑥= −

𝑔0𝑘x + 𝐶1

(10)

Que avaliada em 𝑥 = L resulta em:

𝑑𝑇(𝐿)

𝑑𝑥= −

𝑔0𝑘𝐿 + C1

(11)

Integrando mais uma vez a equação (7) obtém-se:

𝑇(𝑥) = −𝑔02𝑘𝑥2 + C1𝑥 + C2

(12)

Usando a condição de contorno (8) na última equação encontramos:

C2 = 𝑇0 = 37℃

Avaliando-se (12) em 𝑥 = 𝐿 chega-se a:

𝑇(𝐿) = −𝑔02𝑘𝐿2 + 𝐶1𝐿 + 𝑇0

(13)

Substituindo-se (11) e (13) em (9) obtém-se:

𝑘 (−𝑔0𝑘𝐿 + 𝐶1) + ℎ (−

𝑔02𝑘𝐿2 + 𝐶1𝐿 + 𝑇0) = ℎ𝑇𝑎𝑟

82

𝐶1(𝑘 + ℎ𝐿) = ℎ𝑇𝑎𝑟 + 𝑔0𝐿 +ℎ𝑔02𝑘

𝐿2 − ℎ𝑇0

𝐶1 =ℎ(𝑇𝑎𝑟 − 𝑇0)

(𝑘 + ℎ𝐿)+

𝑔0𝐿

(𝑘 + ℎ𝐿)+

ℎ𝑔0𝐿2

2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)

Finalmente,

𝑇(𝑥) = −𝑔02𝑘𝑥2 + [

ℎ(𝑇𝑎𝑟 − 𝑇0)

(𝑘 + ℎ𝐿)+

𝑔0𝐿

(𝑘 + ℎ𝐿)+

ℎ𝑔0𝐿2

2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)] 𝑥 + 𝑇0

Para facilitar as contas os valores dos parâmetros envolvidos são relembrados na tabela

9.

Tabela 9 – Parâmetros Utilizados no Problema de Verificação 2

𝑔0 [Wm3⁄ ] 𝑘 [W/m ∙ ℃ ] ℎ [W/m2 ∙ ℃] 𝐿 [mm] 𝑇𝑎𝑟 [℃] 𝑇0 [℃]

400 0,51 10 11,6 23 37

Calculam-se agora os coeficientes que aparecem na equação de 𝑇(𝑥):

−𝑔02𝑘

= −400

2 ∙ 0,51= −392,156863 ℃/m2

ℎ ∙ (𝑇𝑎𝑟 − 𝑇0)

(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)+

𝑔0𝐿

(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)+

ℎ ∙ 𝑔0 ∙ 𝐿2

2𝑘 ∙ (𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)

=10 ∙ (23 − 37)

(0,51 + 10 ∙ 11,6 ∙ 10−3)+

400 ∙ 11,6 ∙ 10−3

(0,51 + 10 ∙ 11,6 ∙ 10−3)

+10 ∙ 400 ∙ (11,6 ∙ 10−3)2

2 ∙ 0,51 ∙ (0,51 + 10 ∙ 11,6 ∙ 10−3)= −215,387083 ℃/m

Ou seja, 𝑇(𝑥) é dado por:

𝑇(𝑥) = −392,156863 ℃/m2 ∙ 𝑥2 − 215,387083 ℃/m ∙ 𝑥 + 37 ℃

(8)

Avalia-se T em cada um dos 𝑥 =

{0 mm; 8 mm; 10 mm; 10,75 mm; 11,5 mm; 11,6 mm}, chegando ao resultado

resumido na tabela 10.

83

Tabela 10 – Temperaturas Teóricas para Algumas Posições Particulares

𝑥 [mm] 0 8 10 10,75 11,5 11,6

𝑇(𝑥) [℃] 37,000000 35,251805 34,806913 34,639270 34,471186 34,448741

Agora implementa-se o problema no COMSOL Multiphysics®. Seguindo a mesma

metodologia do problema 1, primeiro define-se a geometria, que será igual a do

problema 1 (ver figura 67).

Figura 67 – Geometria do Problema de Verificação 2

Apesar de na prática o problema consistir de apenas uma camada do mesmo tecido, não

há problema em definir a priori que existem cinco camadas, já que em seguida estas

serão definidas como possuindo o mesmo material. A figura 68 deixa essa explicação

mais clara. Apenas um material foi selecionado (músculo), sua condutividade térmica

alterada para o valor desejado, isto é, 𝑘 = 0,51 W/m ℃ e então definido que todas as

camadas são constituídas de tal material.

84

Figura 68 – Material do Problema de Verificação 2

O passo seguinte foi definir a física deste problema, como pode ser visto na figura 69.


A figura 69 evidencia que foi utilizada a mesma física e as mesmas condições de

contorno no problema 1. Vale ressaltar que a condição inicial é irrelevante neste caso

(assim como no problema 1) já que estamos analisando apenas o regime permanente. A

grande diferença deste caso fica por conta de termos adicionado uma geração de

energia, que como pode ser visto na figura 69, foi definida como sendo 𝑔0 =

400 W m3⁄ para todo o domínio do nosso modelo.

85

Após isso é necessário criar uma malha, que, como pode ser visto a frente com o

resultado, pode ser a própria malha sugerida para a física utilizada com o tamanho do

elemento de malha sendo normal. Isso se deve ao fato da complexidade do problema

não ser muito elevada e esse tamanho do elemento de malha já ser suficiente para

produzir excelentes resultados. Depois da malha é preciso definir o estudo, que assim

como no problema anterior foi escolhido como sendo regime permanente. Finalmente, é

possível resolver o problema e analisar seus resultados.

Mais uma vez define-se uma linha de corte, perpendicular às camadas, e passando pelo

centro do cilindro para se analisar as temperaturas ao longo desta linha, como pode ser

visto na figura 70.

Figura 70 – Linha de Corte do Problema de Verificação 2

De posse dessa linha de corte é possível criar um gráfico de linha dentro de um ‘Plot

Group’ em que se espera visualizar o gráfico da equação (8). A figura 71 exibe tal

gráfico.

86


A primeira vista o gráfico da figura 71 pode parecer um tanto inusitado, pois se

esperava o gráfico de uma parábola. Entretanto, não passa de uma impressão, se analisa-

se com mais cautela nota-se que os valores de 𝑥 utilizados na equação (8) devem estar

em metros, e isso faz com que o intervalo dos valores utilizados seja de apenas

11,6 𝑚𝑚 enquanto os coeficientes da mesma equação tem magnitude muito maior. Em

outras palavras, a variação dos valores de 𝑥 é tão pequena que a variação dos valores de

𝑦 também será pequena. Isso concorda com o fato já conhecido de que para variações

suficientemente pequenas uma função bem definida pode ser aproximada por uma reta.

Para obter os dados desejados a partir deste gráfico novamente faz-se uma exportação

dos dados para um arquivo ‘.txt’. Neste arquivo estão contidos os valores de 𝑇(𝑥) para

um número de valores de 𝑥. Todo o arquivo é importado para um arquivo em Excel e de

lá são ressaltados apenas os valores da temperatura para os valores 𝑥 =

{0 mm; 8 mm; 10 mm; 10,75 mm; 11,5 mm; 11,6 mm}. Finalmente, foi criada uma

tabela nos mesmos moldes do problema 1 para comparar os resultados obtidos de forma

analítica e os resultados obtidos pelo COMSOL Multiphysics® (ver tabela 11).

87

Tabela 11 – Temperaturas Teóricas e Calculadas com o COMSOL

Multiphysics® para O Problema de Verificacao 2

𝑥 [𝑚𝑚] 𝑇 (𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜) [℃] 𝑇 (𝐶𝑂𝑀𝑆𝑂𝐿) [℃]

0 37 37

8 35,2518053 35,2518053

10 34,80691348 34,80691349

10,75 34,63927023 34,63927023

11,5 34,4711858 34,4711858

11,6 34,44874121 34,44874121

Mais uma vez a proximidade dos valores é incontestável e o COMSOL Multiphysics®

demonstra elevada acurácia no cálculo das temperaturas.


O problema 3 apresenta um grau de complexidade levemente maior que os anteriores.

Apesar de se utilizar a mesma geometria do problema 2 (todas as camadas do mesmo

tecido muscular), agora o regime de estudo é transiente e a função temperatura vai ter

duas variáveis independentes, uma espacial 𝑥 e uma temporal 𝑡.

Será assumido que não há geração de energia no meio e que as condições de contorno

seguem as mesmas; temperatura arterial constante 𝑇𝑏 = 37℃ em uma extremidade e

fluxo de calor convectivo na outra com coeficiente de transferência de calor ℎ =

10 W/m2 ℃ e temperatura do meio externo 𝑇∞ = 23℃.

O modelo matemático que descreve esse problema é dado abaixo:

{

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2=1

α

𝜕𝑇

𝜕𝑡

𝑇 = 𝑇𝑏

𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑥+ ℎ𝑇 = ℎ𝑇∞

𝑇 = 𝑇𝑏

0 < 𝑥 < L, 𝑡 > 0 s (9)

𝑥 = 0, 𝑡 > 0 𝑠 (10)

𝑥 = 𝐿, 𝑡 > 0 𝑠 (11)

0 < 𝑥 < L, 𝑡 = 0 s (12)

88

Para resolver o sistema de equações (9 − 12) escreve-se 𝑇 como sendo a soma de uma

parcela homogênea e uma parecela particular, isto é:

𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝑇𝑝(𝑥) + 𝑇ℎ(𝑥, 𝑡) (13)

Substituindo (13) em cada uma das equações do sistema (9 − 12), recai-se em 2

sistemas mais simples, um para 𝑇ℎ:

{

𝜕2𝑇ℎ𝜕𝑥2

=1

α

𝜕𝑇ℎ𝜕𝑡

𝑇ℎ = 0

𝑘𝜕𝑇ℎ𝜕𝑥

+ ℎ𝑇ℎ = 0

𝑇ℎ = 𝑇𝑏 − 𝑇𝑝 = 𝐹(𝑥)

0 < 𝑥 < L, 𝑡 > 0 s (14)

𝑥 = 0, 𝑡 > 0 𝑠 (15)

𝑥 = 𝐿, 𝑡 > 0 𝑠 (16)

0 < 𝑥 < L, 𝑡 = 0 s (17)

E um sistema para 𝑇𝑝:

{

d2𝑇𝑝dx2

= 0

𝑇𝑝 = 𝑇𝑏

𝑘𝜕𝑇𝑝𝜕𝑥

+ ℎ𝑇𝑝 = ℎ𝑇∞

0 < 𝑥 < L (18)

𝑥 = 0 (19)

𝑥 = 𝐿 (20)

O coeficiente α que apareceu nos sistemas (9 − 12) e (14 − 17) é a difusividade

térmica e é definida como:

𝛼 =

𝑘

𝜌 ∙ 𝑐𝑝

(21)

A variável 𝜌 é a massa específica e 𝑐𝑝 é o calor específico do material (músculo no

nosso caso) e todos esses dados são resumidos na tabela 12 abaixo.

89

Tabela 12 – Propriedades Utilizadas no Problema de Verificação 3

𝑘 [W/m ∙ ℃ ] 𝜌 [𝑘𝑔 𝑚3⁄ ] 𝑐𝑝 [𝐽 𝑘𝑔⁄ ∙ ℃] 𝛼 [𝑚2 𝑠⁄ ]

0,51 1085 3800 1,23696 ∙ 10−7

O sistema (18 − 20) nada mais é que nosso problema de verificação 2 com 𝑔0 = 0.

Sua solução, portanto é dada por:

𝑇𝑝(𝑥) = [

ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)

(𝑘 + ℎ𝐿)] 𝑥 + 𝑇𝑏

(22)

Para resolver o sistema (14 − 17) vamos usar separação de variáveis, ou seja, teremos:

𝑇ℎ(x, t) = 𝛹(𝑥) ∙ 𝛤(𝑡) ⇒

1

𝛹

𝑑2𝛹

𝑑𝑥2=

1

𝛼 ∙ 𝛤

𝑑𝛤

𝑑𝑡= −𝜆2

(23)

Como consegue-se escrever uma igualdade em que o lado esquerdo depende apenas de

𝑥 e o lado direito apenas de 𝑡, tem-se que tal igualdade deve obrigatoriamente ser uma

constante. Tal constante foi escrita desta forma, pois se pode mostrar que as EDO’s

apresentam solução não trivial apenas quando a constante é negativa. Portanto:

𝑑𝛤(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝛼 ∙ 𝜆2 ∙ 𝛤(𝑡) = 0

(24)

𝑑2𝛹(𝑥)

𝑑𝑥2+ 𝜆2 ∙ 𝛹(𝑥) = 0

(25)

Usando as condições de contorno do sistema (14 − 17), conclui-se sem dificuldades

que:

𝛹(𝑥) = 0 em 𝑥 = 0 (26)

𝑘𝑑𝛹(𝑥)

𝑑𝑥+ ℎ ∙ 𝛹(𝑥) = 0

em 𝑥 = L (27)

Não é difícil mostrar que a solução da EDO (13) é:

𝛤(𝑡) = 𝑒−𝛼𝜆2𝑡 (28)

A constante de integração foi suprimida, pois não será necessária.

90

A EDO (25) é um pouco mais complicada, mas foi resolvida por ÖZISIK (1990) e sua

solução é dada pelas autofunções:

𝛹𝑛(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝜆𝑛𝑥) (29)

Onde os 𝜆𝑛 são dados pela solução da equação:

𝜆 cot(𝜆𝐿) = −𝐻 (30)

E 𝐻 dado por:

𝐻 = ℎ/𝑘

Para encontrar tais autovalores, manipulou-se um pouco a equação (30) e aplicou-se o

método de Newton-Raphson, que foi escrito usando Python. Uma menção que merece

ser feita em relação ao código é que a equação estudada foi:

𝛽 cos𝛽 − 𝐻∗ sin 𝛽 = 0 (31)

Para ver que elas são equivalentes basta fazer as seguintes manipulações:

𝜆 cot(𝜆𝐿) = −𝐻⇒cot(𝜆𝐿) =−𝐻𝐿

𝜆𝐿=𝐻∗

𝜆𝐿

cos(𝜆𝐿)

sin(𝜆𝐿)=𝐻∗

𝜆𝐿⇒ 𝜆𝐿 cos(𝜆𝐿) − 𝐻∗ sin(𝜆𝐿) = 0

A preferência por esta equação e não a equação (30) se deve ao fato de que dentro do

método de Newton-Raphson é necessário dividir pela derivada da função estudada em

certos pontos, logo vale a preocupação de se evitar funções que tenham singularidades

como a função cotangente possui.

Tendo encontrado as soluções das EDO’s (24) e (25) é possível combinar as soluções

para então formar a solução procurada de 𝑇ℎ(x, t). Ela será dada, portanto pela equação

(32).

𝑇ℎ(x, t) = ∑1

𝑁

∞

𝑛=1

𝑒−α𝜆𝑛2 𝑡𝛹𝑛(𝑥)∫ 𝐹(x′)𝛹𝑛(x

′)𝑑𝑥′𝐿

0

(32)

91

N é a constante de integralização e é dada por:

1

𝑁=

2(𝜆𝑛2 +𝐻2)

𝐿(𝜆𝑛2 +𝐻2) + 𝐻

(33)

A integral que aparece em (32) é calculada a seguir:

𝐼 = ∫ 𝐹(x′) ∙ 𝛹𝑛(𝑥′)𝑑𝑥′

𝐿

0

𝐹(𝑥) = 𝑇𝑏 − 𝑇𝑝 = 𝑇𝑏 − ([ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)

(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)]𝑥 + 𝑇𝑏) = −[


(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)] 𝑥

𝐼 = −ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)

(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)∫ 𝑥 sin(𝜆𝑛𝑥)𝑑𝑥𝐿

0

= −ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)

(𝑘 + ℎ𝐿)∙sin(𝜆𝑛𝑥) − 𝜆𝑛𝑥 cos(𝜆𝑛𝑥)

𝜆𝑛2|0

𝐿

𝐼 = −ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)

(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)[sin(𝜆𝑛𝐿) − 𝜆𝑛𝐿 cos(𝜆𝑛𝐿)

𝜆𝑛2]

(34)

Finalmente, ao substituirmos as equações (29), (33) e (34) na equação (32) chegamos

a expressão procurada de 𝑇ℎ(x, t).

De posse de expressões para 𝑇𝑝 e 𝑇ℎ já podemos calcular 𝑇 analiticamente para

quaisquer (𝑥, 𝑡) que quisermos.

O código em Python que implementa esse cálculo pode ser ver visto na figura 72.

92

Figura 72 – Código do Problema de Verificação 3

Neste código calculou-se o valor de T(x, t) para x =

{0 mm; 8 mm; 10 mm; 10,75 mm; 11,5 mm; 11,6 mm} e tempos de 0 a 180

segundos com intervalos de tamanho 36 segundos, ou seja, t =

{0 s; 36 s; 72 s; 108 s; 144 s; 180 s}. A escolha de x foi baseada nos mesmos valores

93

adotados nos problemas 1 e 2 e a escolha dos valores de t foi baseada no fato de

180 s = 3 min ser um tempo suficiente para demonstrar a progressão da variação de

temperatura, e o intervalo de 36 segundos foi escolhido de modo a termos 6 valores de t

para analisar.

A primeira parte do código foi conseguir calcular as raízes da equação (18), ou seja, os

λn necessários para realizar o cálculo do somatório. Os primeiros 5000 autovalores

foram calculados e armazenados numa lista. Então, foi-se estabelecido um critério de

parada no cálculo de Th, ou em outras palavras, um critério que decidisse se Th estava

próximo o suficiente do valor real.

A última parte do código cria um documento ‘.txt’ e armazena nela o cômputo dos

valores de T(x, t) para os valores de x e t descritos anteriormente levando em conta o

critério de parada no cálculo de Th, ou seja, o erro máximo admitido.

A segunda parte do problema consiste em realizar a simulação do mesmo no COMSOL

Multiphysics® e extrair os valores de T para os mesmos x e t utilizados no

desenvolvimento analítico da função temperatura.

Novamente, o primeiro passo é definir a geometria do problema, que continua sendo a

mesma adotada nos problemas anteriores. Esta pode ser vista na figura 73.

Figura 73 – Geometria do Problema de Verificação 3

94

Em seguida é feita a seleção do material, que será músculo para todas as camadas, assim

como no problema 2 e cuja condutividade térmica é 𝑘 = 0,51 W/m℃ (ver figura 74).

Figura 74 – Material do Problema de Verificação 3

A física desse problema será dada pela transferência de calor em sólidos e as condições

de contorno são temperatura mantida fixa e igual a 𝑇𝑏 = 37℃ em uma extremidade e

convecção de calor com coeficiente de transferência de calor ℎ = 10 W/m2℃ na outra

extremidade e temperatura do meio externo 𝑇∞ = 23℃. Além disso, a condição inicial é

de grande relevância nesse caso já que estamos no caso de regime transiente. Ela é

adotada como sendo 𝑇 = 𝑇𝑏 = 37℃ para todo o sólido. Uma imagem da definição de

uma condição de contorno é exibida na figura 75 como exemplo.

95


Na figura 75 pode ser visto que a condição de isolamento térmico é adotada nas laterais

do sólido para que tenhamos essencialmente uma condição de apenas uma dimensão

espacial.

Por esse ser um problema que apresenta um nível de complexidade mais elevado e por

estarmos atrás de uma solução assaz precisa foi-se adotado uma malha mais fina como

se pode observar na figura 76. A categoria escolhida foi a ‘Extra fine’.

Figura 76 – Malha do Problema de Verificação 3

96

O estudo escolhido para este caso foi o dependente do tempo, pois queremos estudar o

regime transiente e mais precisamente os primeiros 180 segundos da evolução térmica.

A definição dos parâmetros do estudo é vista na figura 77 abaixo.

Figura 77 – Estudo do Problema de Verificação 3

A mesma linha de corte dos problemas anteriores foi definida dentro da aba de

resultados e a partir dela foi criado um gráfico de linha que pode ser observado na figura

78.

Figura 78 – Gráficos do Problema de Verificação 3

97

O COMSOL Multiphysics® oferece a opção de selecionar o tempo para o qual se deseja

criar tal gráfico. Ademais ele também oferece a opção de selecionar vários tempos e,

por conseguinte de criar vários gráficos, um para cada tempo selecionado. Foram

selecionados os tempos 𝑡 = {0 𝑠; 36 𝑠; 72 𝑠; 108 𝑠; 144 𝑠; 180 𝑠} e criados os 6

gráficos correspondentes como se pode observar na figura 78.

A partir do conjunto de gráficos apresentado se extraem os dados correspondentes para

um arquivo ‘.txt’ em que os valores de 𝑇 estão armazenados para cada valor de 𝑥 e de 𝑡

correspondentes.

Neste ponto estamos de posse dos valores calculados através do código escrito em

Python e dos valores computados pelo COMSOL Multiphysics®. Todos os dados são

agrupados num arquivo Excel e tratados a partir daí. A tabela 13 reúne e compara cada

uma das temperaturas para cada (𝑥, 𝑡) e cada forma como foi obtida, de forma analítica

ou pelo COMSOL Multiphysics®.

98

Tabela 13 – Comparação Entre os Valores Teóricos e Calculados pelo COMSOL Multiphysics® para o Problema de Verificação 3

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 108𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 144𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 180𝑠

Posição [𝑚𝑚] Temperatura (Python) [℃]

Temperatura (COMSOL) [℃]

Discrepância Relativa

Temperatura (Python) [℃]






0 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000%

8 36,6118222774 36,6185063123 0,018253% 36,4818619815 36,4877626071 0,016172% 36,3646421524 36,3697893966 0,014153%

10 36,2939605912 36,3057048508 0,032348% 36,1432585867 36,1517565226 0,023506% 36,0119580131 36,0183995407 0,017884%

10,75 36,1381136869 36,1508291516 0,035173% 35,9845413867 35,9935029142 0,024898% 35,8515944104 35,8582479151 0,018555%

11,5 35,9612406193 35,9742288865 0,036104% 35,8079065184 35,8169718394 0,025310% 35,6755003099 35,6821786204 0,018716%

11,6 35,9360628878 35,9490329233 0,036079% 35,7830006378 35,7920512773 0,025287% 35,6508339070 35,6575009557 0,018697%











0 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000%

8 37,0000000674 37,0000000000 0,000000% 36,9114675331 36,9093534829 0,005728% 36,7561409296 36,7613694630 0,014223%

10 37,0000007069 36,9999999991 0,000002% 36,7029521443 36,7163929235 0,036607% 36,4733540964 36,4871633352 0,037847%

10,75 36,9999990064 36,9999999606 0,000003% 36,5678080354 36,5842509962 0,044945% 36,3232474005 36,3386689669 0,042438%

11,5 36,9999867503 36,9999765439 0,000028% 36,3954702760 36,4127280758 0,047395% 36,1470058642 36,1629354646 0,044050%

11,6 36,9998609317 36,9989777747 0,002387% 36,3695968320 36,3868899874 0,047526% 36,1215118092 36,1374170043 0,044013%

99


O problema 4 é uma variação do problema 3. A situação é a mesma com a diferença de

que agora o tecido muscular apresenta geração de energia que é assumida uniforme e

igual a 𝑔0 = 400 W m3⁄ .

O modelo matemático que descreve esse problema é dado abaixo:

{

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+g0k=1

𝛼

𝜕𝑇

𝜕𝑡

𝑇 = 𝑇𝑏

𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑥+ ℎ𝑇 = ℎ𝑇∞

𝑇 = 𝑇𝑏

0 < 𝑥 < L, 𝑡 > 0 s (35)

𝑥 = 0, 𝑡 > 0 𝑠 (36)

𝑥 = 𝐿, 𝑡 > 0 𝑠 (37)

0 < 𝑥 < L, 𝑡 = 0 s (38)

Para resolver o sistema (35 − 38) vamos escrever 𝑇 como sendo a soma de uma

parcela homogênea e uma parcela particular, isto é:

𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝑇𝑝(𝑥) + 𝑇ℎ(𝑥, 𝑡) (39)

Substituindo (39) em cada uma das equações do sistema (35 − 38), recaímos em 2

sistemas mais simples, um para 𝑇ℎ:

{

𝜕2𝑇ℎ𝜕𝑥2

=1

α

𝜕𝑇ℎ𝜕𝑡

𝑇ℎ = 0

𝑘𝜕𝑇ℎ𝜕𝑥

+ ℎ𝑇ℎ = 0

𝑇ℎ = 𝑇𝑏 − 𝑇𝑝 = 𝐹(𝑥)

0 < 𝑥 < L, 𝑡 > 0 s (40)

𝑥 = 0, 𝑡 > 0 𝑠 (41)

𝑥 = 𝐿, 𝑡 > 0 𝑠 (42)

0 < 𝑥 < L, 𝑡 = 0 s (43)

E um sistema para 𝑇𝑝:

100

{

d2𝑇𝑝dx2

+g0k= 0

𝑇𝑝 = 𝑇𝑏

𝑘𝜕𝑇𝑝𝜕𝑥

+ ℎ𝑇𝑝 = ℎ𝑇∞

0 < 𝑥 < L (44)

𝑥 = 0 (45)

𝑥 = 𝐿 (46)

O sistema (44 − 46) nada mais é que nosso problema de verificação 2.

Sua solução, portanto é dada por:

𝑇𝑝(x) = −𝑔02𝑘𝑥2 + [


(𝑘 + ℎ𝐿)+

𝑔0𝐿

(𝑘 + ℎ𝐿)+

ℎ𝑔0𝐿2

2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)] 𝑥 + 𝑇𝑏

O sistema (40 − 43) é o mesmo do problema 3 com a única distinção que o 𝐹(𝑥) é

diferente pois os 𝑇𝑝(𝑥) são diferentes.

Novamente, portanto 𝑇ℎ será dado por:

𝑇ℎ(𝑥, 𝑡) = ∑1

𝑁

∞

𝑛=1

𝑒−𝛼𝜆𝑛2 𝑡𝛹𝑛(𝑥)∫ 𝐹(𝑥′)𝛹𝑛(𝑥

′)𝑑𝑥′𝐿

0

(47)

Onde N é a constante de integralização e é dada por:

1

𝑁=

2(𝜆𝑛2 +𝐻2)

𝐿(𝜆𝑛2 +𝐻2) + 𝐻

(48)

𝛹𝑛 é dado por :

𝛹𝑛(𝑥) = sin(𝜆𝑛𝑥) (49)

Onde os λn são dados pela solução da equação:

𝜆 cot(𝜆𝐿) = −𝐻 (50)

E 𝐻 dado por:

𝐻 = ℎ/𝑘

A integral que aparece em (47) é calculada a seguir:

101

𝐼 = ∫ 𝐹(𝑥′)𝛹𝑛(𝑥′)𝑑𝑥′

L

0

𝐹(𝑥) = 𝑇𝑏 − 𝑇𝑝 = 𝑇𝑏 − (−𝑔02𝑘𝑥2 + [


(𝑘 + ℎ𝐿)+

𝑔0𝐿

(𝑘 + ℎ𝐿)+

ℎ𝑔0𝐿2

2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)] 𝑥 + 𝑇𝑏)

=𝑔02𝑘𝑥2 − [


(𝑘 + ℎ𝐿)+

𝑔0𝐿

(𝑘 + ℎ𝐿)+

ℎ𝑔0𝐿2

2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)]𝑥 =

𝑔02𝑘𝑥2 − 𝑅𝑥

𝐼 = ∫ (𝑔02𝑘𝑥2 − 𝑅𝑥)sin(𝜆𝑛𝑥)𝑑𝑥

L

0

=𝑔02𝑘(2 − 𝜆𝑛

2𝑥2

𝜆𝑛3 cos(𝜆𝑛𝑥) +

2𝑥 sin(𝜆𝑛𝑥)

𝜆𝑛2)|0

𝐿

− 𝑅(−𝑥 cos(𝜆𝑛𝑥)

𝜆𝑛+sin(𝜆𝑛𝑥)

𝜆𝑛2)|0

𝐿

𝐼 =

𝑔02𝑘[2 − 𝜆𝑛

2𝐿2

𝜆𝑛3 cos(𝜆𝑛𝐿) −

2

𝜆𝑛3 +

2𝐿 sin(𝜆𝑛𝐿)

𝜆𝑛2

]

− 𝑅 [sin(𝜆𝑛𝐿)

𝜆𝑛2−𝐿 cos(𝜆𝑛𝐿)

𝜆𝑛]

(51)

Onde

𝑅 =


(𝑘 + ℎ𝐿)+

𝑔0𝐿

(𝑘 + ℎ𝐿)+

ℎ𝑔0𝐿2

2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)

(52)

Finalmente, ao substituirmos as equações (48), (49) e (51) na equação (47) chegamos

a expressão procurada de 𝑇ℎ(𝑥, 𝑡). De posse de expressões para 𝑇𝑝 e 𝑇ℎ já podemos

calcular 𝑇 analiticamente para quaisquer (𝑥, 𝑡) que quisermos.

O código em Python que implementa esse cálculo pode ser ver visto na figura 79.

102

Figura 79 – Código do Problema de Verificação 4

Neste código calculou-se o valor de 𝑇(𝑥, 𝑡) para 𝑥 =

{0 mm; 8 mm; 10 mm; 10,75 mm; 11,5 mm; 11,6 mm} e tempos entre 0 e 180

segundos com intervalos de tamanho de 36 segundos, ou seja, 𝑡 =

{0 s; 36 s; 72 s; 108 s; 144 s; 180 s}. A escolha de tais valores baseou-se na escolha

feita anteriormente no problema 3. Além dos argumentos já apresentados, a escolha dos

103

mesmos (𝑥, 𝑡) servirá para compararmos estes 2 últimos resultados e analisarmos a

consequência da adoção da hipótese de geração de energia.

A última parte do código cria um documento ‘.txt’ e armazena nela o cômputo dos

valores de 𝑇(𝑥, 𝑡) para os valores de 𝑥 e 𝑡 descritos anteriormente levando em conta o

critério de parada no cálculo de 𝑇ℎ, ou seja, o erro máximo admitido.

A seguir se constrói a simulação do mesmo problema no COMSOL Multiphysics® e se

extrai dele os valores de 𝑇 para os mesmos 𝑥 e 𝑡 utilizados no desenvolvimento

analítico da função temperatura.

Novamente, o primeiro passo é definir a geometria do problema e a escolha dos

materiais utilizados. Ambos são os mesmos do problema anterior e podem ser

consultados nas figuras 73 e 74 exibidas anteriormente.

A física adotada é a da transferência de calor em sólidos e as condições de contorno são

temperatura mantida fixa e igual a 𝑇𝑏 = 37℃ em uma extremidade e convecção de

calor com coeficiente de transferência de calor ℎ = 10 W/m2 ℃ na outra extremidade e

temperatura do meio externo 𝑇∞ = 23℃. Além disso, o diferencial desse problema é

que há geração de energia 𝑔0 = 400 W m3⁄ em todas as camadas da geometria, como

se pode observar na figura 80.


104

Mais uma vez adotou-se uma malha extra fina para se obter resultados tão precisos

quanto possíveis, como pode ser visto na figura 81.

Figura 81 – Malha do Problema de Verificação 4

O estudo realizado é o mesmo do caso 3, estamos interessados na progressão da

temperatura ao longo dos primeiros 180 segundos (regime transiente). A definição do

estudo pode ser vista na figura 82.

Figura 82 – Estudo do Problema de Verificação 4

É possível observar que essas foram de fato as escolhas dos parâmetros selecionados

antes de rodar o programa, como se pode ver na figura 82. Por último, é traçado o

105

gráfico de linha da linha de corte que temos adotados em todos os problemas, como

pode ser visto na figura 83.


Os tempos selecionados para criar os gráficos são 𝑡 =

{0 s; 36 s; 72 s; 108 s; 144 s; 180 s}, totalizando 6 gráficos, assim como no problema

3. Os resultados são visualmente semelhantes ao do problema anterior como se pode ver

na figura 83 e para a análise mais detalhada extraímos os dados do grupo de gráficos

para um arquivo ‘.txt’, que por sua vez é acessado através do Excel para tratar tais

dados.

Neste mesmo arquivo de Excel também carregamos os valores de 𝑇(𝑥, 𝑡) computados

de forma analítica pelo nosso programa escrito em Python e exibido na figura 79. Os

valores são então comparados na tabela 14, onde também se é calculado as

discrepâncias relativas dos valores obtidos através dos dois métodos.

106

Tabela 14 – Comparação Entre os Valores Teóricos e Calculados pelo COMSOL Multiphysics® para o Problema de Verificação 4











0 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000%

8 36,6217438776 36,6282952671 0,017886% 36,4946117110 36,5003858694 0,015819% 36,3799678093 36,3850007139 0,013832%

10 36,3039778178 36,3156125333 0,032038% 36,1562575249 36,1646355264 0,023166% 36,0277020272 36,0340269478 0,017553%

10,75 36,1480704890 36,1606807910 0,034873% 35,9974823617 36,0063255839 0,024560% 35,8672884972 35,8738254673 0,018222%

11,5 35,9710863859 35,9839721697 0,035810% 35,8207106115 35,8296593567 0,024976% 35,6910359552 35,6975988331 0,018385%

11,6 35,9458898697 35,9587576389 0,035785% 35,7957804015 35,8047146933 0,024953% 35,6663401357 35,6728919692 0,018366%











0 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000%

8 37,0000000674 37,0000000330 0,000000% 36,9149484058 36,9128017672 0,005815% 36,7629680136 36,7680968328 0,013949%

10 37,0000007069 37,0000000330 0,000002% 36,7064086225 36,7198332840 0,036560% 36,4801719366 36,4939176933 0,037666%

10,75 36,9999990064 37,0000000206 0,000003% 36,5712398166 36,5876671423 0,044899% 36,3300142173 36,3453773023 0,042270%

11,5 36,9999867503 36,9999757919 0,000030% 36,3988634789 36,4161057905 0,047348% 36,1536940076 36,1695675544 0,043886%

11,6 36,9998609317 36,9989776594 0,002387% 36,3729835692 36,3902612857 0,047479% 36,1281871533 36,1440364252 0,043850%

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ESTUDO DE VIABILIDADE DE DETECÇÃO DE MELANOMA …monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10023944.pdf · a melanoma which receives a thermal stimulus. The result of this study