Método de Euler

O método de Euler é um procedimento que tem como objetivo aproximar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem.

y '=f (x , y ) (1)

Tal que a mesma dada uma condição inicial tal que seja y(x0) = y0, e que possua uma única solução em um intervalo que contenha o ponto x0 e o ponto xi, partindo do princípio que se conheça o comportamento da função próximo ao ponto x0.

Considerando-se o ponto x1 suficientemente próximo de x0, como mostra a equação (2).

y (x1 )≅ y (xo )+ y ' (xo ) [ x1−xo ] (2)

Chamando então.

[ x1−xo ]=h (3)

Pode-se observar que através da Série de Taylor, ocorre uma aproximação da função até o primeiro termo, a partir da equação (3).

y (xo+h )≅ y (xo )+h y ' (xo) (4)

Tomando conhecimento dos valores conhecidos (condições iniciais), faz-se a aproximação para os diferentes valores que a função pode assumir, podendo partir de k valendo 0, até que o mesmo satisfaça a determinada situação. Tomando os valores de k e aproximando a função genérica têm-se os valores conhecidos e os aproximados:

Geometricamente, o Método de Euler consiste em uma aproximação linear dos pontos que formam uma inclinação tangencial na curva, assim transformando o gráfico em uma única curva “unificando” os pontos, através da aproximação realizada com os valores conhecidos e a redução da variável “h”.

Figura 1 – Visão geométrica de função gerada antes da aproximação via o Método de Euler.

Figura 2 – Gráfico após a aproximação da função, quando a variável “h” é reduzida.

Vale lembrar que se a função y tiver uma derivada de segunda ordem limitada, então a aproximação pelo método de Euler converge para a solução exata quando o “h” tende a zero e o erro global depende tanto da derivada de “h” quanto da derivada da segunda. Está convergência ocorre de maneira lenta