Geometria Euclidiana revisitada

A reta de Euler

João Lucas Marques Barbosa

Universidade Federal do Ceará

lucas@sbm.org.br

Leonhard Euler (1707-1783)

..

A BM

Seja AB um segmento Seja M o ponto médio de AB

Trace a reta m perpendicular a AB passando pelo ponto M

m

A reta m é chamada de bissetor perpendicular do segmento AB.

..

A BM

P

Seja P um ponto dessa reta. Trace PA e trace PB

Segue-se que PA = PB

m

Portanto, os pontos do bissetor de um segmento são eqüidistantes de suas extremidades.

..

A B

P

Inversamente,

Na figura abaixo suponha apenas que:

PA=PB

Seja M o ponto médio de AB.

M

Trace a reta m por P e M

m

Então AMP = BMP. Portanto, m e AB são perpendiculares

Logo m é o bissetor perpendicular ao segmento AB

Teorema: O bissetor perpendicular ao segmento AB é constituído dos pontos eqüidistantes de A e de B.

Provamos portanto o seguinte teorema:

Corolario: Os bissetores perpendiculares aos lados de um triângulo se encontram em um ponto.

O ponto O é eqüidistante dos 3 vértices. Por isto é chamado de cincuncentro do triângulo.

A

BC

M

N

PO

..

P, M, B, são pontos médios

PO e MO são bissetores perpendiculares

Logo: CO = AO = OB

Trace as 3 alturas do triângulo

Proposição: As alturas dos vértices de um triângulo se encontram em um ponto.

Por cada vértice trace uma reta paralela ao lado oposto

Tal ponto é chamado de ORTOCENTRO do triângulo

Os 4 triângulos são congruentes!!

As alturas do triângulo original são o bissetores perpendiculares do triângulo gigante!!

Logo se interceptam!!

Uma CEVIANA é um segmento ligando um vértice de um triângulo ao lado oposto.

Teorema de Cevas: Seja ABC um triângulo, X um ponto de AB, Y um ponto de BC e Z um ponto de CA. As cevianas AY, CX e BZ se encontram em um ponto se e somente se:

AXXB

BYYC

CZZA

=1

A

B C

X

Y

Z

A

CB

X

Y

E

D

Z

nm

Trace retas m e n paralelas a AY

Prolongue BZ até E em n

Prolongue CX até D em m

P

A

B

XD P

A

C

EZ

P

AXXB

APBD

CZZA

CEAP

AXXB

APBD

CZZA

CEAP

A

CB

X

Y

E

D

Z

nm

P

BYBC

YPCE

BCYC

BDYP

AXXB

APBD

CZZA

CEAP

CB Y

E

P

CB Y

D P

BYBC

YPCE

BCYC

BDYP

A

CB

X

Y

E

D

Z

nm

P

A XX B

A PB D

CZZA

CEAP

BYBC

YPCE

BCYC

BDYP

Multiplique estas igualdades termo a termo para obter

AXXB

CZZA

BYBC

BCYC

APBD

CEAP

YPCE

BDYP

1

Cancelando obtém-se

AXXB

BYYC

CZZA

1

Portanto, provamos que:

Se as cevianas AY, CX e BZ se encontram em um ponto então:

AXXB

BYYC

CZZA

=1

A

B C

X

Y

Z

Vamos agora provar que:

Dado um triângulo ABC em que AY, BZ e CX são cevianas, se

AXXB

BYYC

CZZA

=1

então as cevianas se encontram em um ponto.

PROVA: Escolha um ponto W em BC de modo que AW, BZ e CX se encontrem.

A

Z

W

X

CB

Então, pelo que já provamos:

AXXB

BWWC

CZZA

1AXXB

BYYC

CZZA

=1

Logo:B WW C

B YY C

e, portanto,

Y

BW WCWC

BY YCYC

BCWC

BCYC

Logo:

WC YC Y = W

Uma Mediana é uma ceviana ligando um vértice ao ponto médio do lado oposto.

A

BC M

AM = MB

Proposição: As três medianas de um triângulo se encontram em um ponto.

A

B

C

X

Y

Z

AY, BZ e CX são as três medianas, logo:

1ZB

AZ1

YC

BY

1XA

CX

Portanto: 1XA

CX

YC

BY

ZB

AZ

Pelo Teorema de Cevas AY, BZ e CX se interceptam

O Ponto de encontro das Medianas é chamado BARICENTRO do triângulo

Corolário: A distância do baricentro a cada vértice é 2/3 do comprimento da mediana.

A

BC

Y X

Z

AZAO3

2O

Corolário: A distância do baricentro a cada vértice é 2/3 do comprimento da mediana.

O Ponto de encontro das Medianas é chamado BARICENTRO do triângulo

A

BC

Y X

Z

O AZAO3

2

Prova:CX e BY são duas medianas e O é o Baricentro.

P Q

P é o ponto médio de CO. Q é o ponto médio de BO. Trace YX e PQObserve que AXY e ABC são semelhantes

Observe que OQP e OBC são semelhantes

XY = (1/2) BC

XY paralelo a BC

PQ = (1/2) BC

PQ paralelo a BC

YXQP é um paralelogramo XO = PO = CP

Trace YPTrace XQ

Teorema: Dado um triângulo ABC, seja U o circuncentro, S o baricentro e O o ortocentro. Então os pontos U, S e O estão sobre uma mesma reta (a qual é denominada reta de Euler).Alem disto, eles estão situados na reta na ordem U, S, O e estão espaçados de modo que SO = 2 SU.

A B

C

M

US

O

M = ponto médio de AB

U = circuncentro de ABC

MU é perpendicular a AB

S = Baricentro de ABC

Prolongue US até o ponto O de modo que SO = 2 SU

Lembre que SC = 2 SM

Portanto: SUM e SOC são semelhantes

Logo: MU e CO são paralelos

Conclusão: O ponto O esta na perpendicular baixada de C ao lado AB

O mesmo argumento repetido a partir de cada lado demonstra que: o ponto O

esta na perpendicular baixada de A ao lado CB e

esta na perpendicular baixada de B ao lado AC.

Portanto O é o ortocentro de ABC

E o teorema fica demonstrado

Terminamos!!

Muito Obrigado

João Lucas Barbosa

lucas@mat.ufc.br