Exercıcios de Mecanica Classica I - caps. 2 e 3

EX1: Uma partıcula se move sob acao de uma forca ~F = A~i + B~j + C~k; A,B,C saoconstantes. A partıcula parte do repouso com vetor posicao inicial ~r0 = 3~i + 2~j. Obtenhaos vetores aceleracao, velocidade, e posicao em funcao do tempo.EX2: Uma partıcula se move sob acao de uma forca ~F = A~i + B~j, A,B constantes. Apartıcula parte do repouso e da origem do sistema de coordenadas. Verifique que condicaoessas constantes deverao satisfazer para que a partıcula se encontre na posicao ~r = 15~i+3~jno instante t = 20.EX3: Uma partıcula se movimenta ao longo da linha y = 30 com vetor velocidade constantev1 = 3~i. Uma segunda partıcula parte da origem do sistema de coordenadas com aceleracaoconstante ~a2 = 0.4cosθ~i + 0.4senθ~j no mesmo instante em que a partıcula 1 atravessa oeixo y. Determine para que valor de θ ocorreria uma colisao entre as duas partıculas.EX4: Uma partıcula se move sob acao de uma forca ~F = cer ( c e uma constante), comvetor velocidade inicial ~v0 = eθ e posicao inicial ~r0 = 5er. Determine os vetores aceleracao,velocidade, e posicao em funcao do tempo.EX5: Um menino brinca com uma pedra amarrada num barbante (de comprimento 1.5m),com trajetoria circular horizontal uniforme, mantendo esse movimento a uma altura de2.0m acima do chao. Num certo instante o barbante se rompe e a pedra atinge o chao a10m de distancia. Determine o modulo do vetor aceleracao quando a pedra se encontravaem movimento circular.EX6: Uma partıcula se move sob acao de uma forca ~F associada a seguinte energia poten-cial U(x, y, z) = 1

2k(x2 + y2 + z2). Determine ~F .

EX7: Uma partıcula de massa m e carga q se movimenta imersa num campo eletricoexterno uniforme ~E = E0

~i . Dado que o vetor velocidade inicial e ~v0 = vx0~i + vy

0~j + vz

0~k

( e a posicao inicial e a origem do sistema de coordenadas) determine os vetores posicao,velocidade e aceleracao da partıcula em funcao do tempo.EX8: Um corpo se movimenta ao longo de um cırculo de raio R com vetor velocidade demodulo constante. Dado que a equacao da trajetoria da partıcula e dada por x2 + y2 =R2 determine os vetores velocidade e aceleracao da partıcula em funcao do tempo emcoordenadas retangulares e em coordenadas polares.EX9: Um projetil e lancado (com velocidade inicial de modulo v0 e angulo de lancamentoα) sobre um plano inclinado (rampa) de angulo β (α > β) . Determine a que distancia docomeco da rampa o projetil caira. ( 2.14 do Marion)EX10: Uma partıcula de massa m desliza por uma plano inclinado (de angulo θ), sobinfluencia da gravidade e sujeita tambem a uma forca de resistencia cujo modulo e dadopor F = kmv2. Mostre que o tempo necessario para a partıcula percorrer uma distanciaD (partindo do repouso) e dado por (2.15 do Marion)

t =cosh−1(ekD)√

kgsenθ

EX11: Uma partıcula esta em queda livre (partindo do repouso) sob a acao da forcagravitacional e da resistencia do ar. Encontre uma relacao entre a posicao y e a velocidade

1

v quando o modulo da forca de resistencia do ar e: a) αv b)βv2, α, β constantes. (2.34 doMarion)EX12: A velocidade de uma partıcula de massa m varia com a posicao x da forma v(x) =αx−n, α constante. Assuma que v(x = 0) = 0 para t = 0. a) Encontre a forca F(x)responsavel pelo movimento b) determine x(t). (2.38 do Marion)EX13: Um foguete comeca sua missao (partindo do repouso), no espaco livre, emitindomassa. a) Determine em que fracao da massa total o momento linear do foguete atingeum valor maximo. b) Obtenha a equacao 2.133 do Marion (2.48 do Marion)EX14: Um oscilador harmonico simples consiste de uma massa de 100 g ligada a uma molade constante k = 104dinas/cm . A massa e deslocada a 3cm do equilıbrio e e solta a partirdo repouso. Calcule a) a frequencia de oscilacao e o periodo do movimento. b) a energiatotal c) a velocidade maxima. ( ex 1. do Marion)EX15: O sistema do exercicio anterior se encontra agora imerso num meio resistente. Apososcilar por 10 s a amplitude maxima cai pela metade. Calcule: a) O parametro β. b) Afrequencia ω1. (ex. 2 do Marion).EX16: Considere um oscilador harmonico simples. Calcule as medias temporais da energiacinetica e da energia potencial sobre um periodo e mostre que sao iguais. Calcule a seguiras medias espaciais dessas grandezas. (ex. 4 do Marion).EX17: Um pendulo simples consiste de um corpo pendurado numa haste de comprimentoL. Obtenha a posicao angular em funcao do tempo e na aproximacao de pequenas oscilacoesmostre que a frequencia de oscilacao e dada por ω0 =

√

g/L. Obtenha a posicao angularem funcao do tempo no caso da presenca de uma forca viscosa. (ex. 12 do Marion)EX18: Mostre que a expressao 3.43 do Marion e de fato a solucao para o movimentooscilatorio com amortecimento crıtico supondo uma solucao da forma x(t) = y(t)exp(−βt)e determinando y(t).

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