VETORES7 As dimenses de uma sala so 3,00 m (altura) x 3,70 m x 4,30 m. Uma mosca parte de um canto da sala e vai pousar em um canto diagonalmente oposto. (a) Qual o modulo do deslocamento da mosca? (b) A distancia percorrida pode ser menor que este valor? (c) Pode ser maior? (d) Pode ser igual? (e) Escolha um sistema de coordenadas apropriado e expresse as componentes do vetor deslocamento em termos de vetores unitarios. (f) Se a mosca caminhar, em vez de voar, qual o comprimento do caminho mais curto para o outro canto? (Sugestao: o problema pode ser resolvido sem fazer clculos complicados. A sala e como uma caixa: desdobre as paredes para representa-las em um unico plano antes de procurar uma soluo).O medidor de unidade de comprimento est compreendido em todo o clculo.(a) Ns calcular a distncia de um canto para o canto diametralmente oposto: (3,00 m) + (3.70 m) + (4.30 m) .

(b) O vetor deslocamento ao longo da linha reta desde o incio at o ponto final da viagem. Uma vez que uma linha reta a menor distncia entre dois pontos, o comprimento do o percurso no pode ser menor do que a magnitude do deslocamento. (c) pode ser maior, no entanto. A mosca pode, por exemplo, rastrear ao longo das bordas do quarto. O deslocamento seria o mesmo, mas o comprimento do percurso seria l + w + h = 11,0 m. (d) O comprimento do percurso a mesma que a magnitude do deslocamento se a mosca voa juntamente o vetor deslocamento.(e) Tomamos o eixo x para estar fora da pgina, o eixo y seja para a direita, eo eixo z para ser ascendente. Em seguida, o componente X do deslocamento w = 3,70 m, o componente y o deslocamento 4,30 m, e o componente de z de 3,00 m. Assim, d = (3,70 m) de + (4,30 m) j + (3,00 m) k.Uma resposta igualmente correto obtido trocando o comprimento, largura e altura.

(f) Suponhamos que o caminho da mosca como mostrado pelas linhas tracejadas no diagrama superior. Fingir existe uma dobradia, onde a parede frontal do quarto se junta ao cho e colocar a parede para baixo, como mostrado no diagrama de baixo. A curta distncia mais curta entre a parte inferior lateral-esquerdo da sala e no canto superior direito da frente a linha reta pontilhada mostrada no diagrama. Seu comprimento de L = (w + h) + l = (3.70 m + 3,00 m) + (4,30 m) = 7,96 m.13 Dois vetores sao dados por a = (4,0m)i - (3,0m)j + (1,0m)k e b=(- 1,0m)i+(1,0m)j + (4,0m)k. Em termos de vetores unitrios. Determine (a) a + b, (b) a - b (c) um terceiro vetor, C, tal que a - b + C = 0.Todas as distncias desta soluo so entendidas como sendo em metros. (a) a + b = [4.0 + (-1,0)] i + [(-3,0) +1,0] j+ (1,0 + 4,0) k = (3.0i - 2.0J+ 5,0 k) m. (b) a - b = [4.0-(-1,0)] i + [(-3,0) -1,0] j + (1,0-4,0) k = (5,0 i - 4.0j - 3.0 k) m. (c) A exigncia de um a - b + c = 0 leva a c = b - a, o que notamos o oposto do que encontramos na parte (b). Assim, c = (-5.0i + 4.0j + 3.0k) m.22 Um explorador polar foi surpreendido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade a praticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento ele deveria caminhar 5,6 km para o norte, mas quando o tempo melhorou percebeu que na realidade havia caminhado 7,8 km em uma direao 50 ao norte do leste. (a) Que distancia e (b) em que sentido deve caminhar para voltar base?O resultado desejado o vetor de deslocamento, em unidades de Km, A = (5.6 km), 90 (medidos a partir do sentido anti-horrio eixo + x), ou A = (5,6 km) j em que j a unidade vetor ao longo do eixo y positivo (norte). Esta consiste na soma de dois deslocamentos: durante o White out, B = (7,8 km), 50 ou B = (7.8 km) (cos50 i + sin50 j) = (5,01 quilmetros) i + (5,98 km) j e o desconhecido C. Assim, A = B + C. (a) O deslocamento desejado dado por C = A-B = (-5,01 km) i - (0,38 km) j. A magnitude (-5,01 km) + (-0,38 km) = 5,0 km. (b) O ngulo tan [(-0,38 km) / (-5,01 km)] = 4,3 , ao sul do oeste.

23 O osis B esta 25 km a leste do osis A. Partindo do Oasis A, um camelo percorre 24 km em uma direo 15 ao sul do leste e 8.0 km para o norte. A que distancia o camelo esta do osis B?A estratgia encontrar onde o camelo esta (C ) Pela adio de dois consecutivos deslocamentos descritos no problema, e em seguida, encontrar a diferena entre os locais e o osis (B ). Usando a notao grandeza de ngulo C = (24 -15 ) + (8,0 90 ) = (23,25 4,41 ) assim B - C = (25 0 ) - (23,25 4,41 ) = (2,5 - 45 ) que implementado de forma eficiente usando uma calculadora capaz vetor no modo polar, o distncia , por conseguinte, 2,6 km. Seja A representam a primeira parte da viagem de besouro 1 (0,50 m leste ou 0.5 i) e C representam a primeira parte da viagem pretendida viagem de besouro 2 (1,6 m a 50 ao norte do leste), para as respectivas segundas partes: B de 0,80 m a 30 ao norte do leste e D o desconhecido. A posio final do besouro 1 : A + B = (0,5 m)i + (0,8 m) (cos30 i + sin30 j) = (1,19 m) i + (0,40 m) jA equao que se relaciona a estes A + B = C + D , onde C = (1,60 m) (i + cos50.0i + sin50.0 j) = (1,03 m) i + (1,23 m) j (a) Ns achamos D = A + B-C = (0,16 m) i + (-0,83 m) j, e a magnitude D = 0,84 m. (b) O ngulo tan (-0,83 / 0,16) = -79 , que interpretado como significando 79 sul de leste (ou 11 a leste do sul). O resultante (ao longo do eixo y, com a mesma magnitude C ) forma (juntamente com C ) de um lado do tringulo issceles (com B formando a base). Se o ngulo entre C e o eixo y = tan (3/4) = 36,87 , em seguida, deve ficar claro que (referindo-se a magnitudes dos vetores) B = 2Csin ( / 2). Assim, (j que C = 5,0), encontramos B = 3,2. Neste soluo , se empregam os mtodos "tradicionais" .(a) A magnitude de a = ( 4,0 m ) + (-3,0 m ) = 5,0 m .(b) O ngulo entre a e o eixo + x tan [ (-3,0 m) / (4,0 m)] = -37 . O vetor 37 no sentido horrio a partir do eixo definido pelo i.(c) A magnitude b = ( 6,0 m ) + ( 8,0 m ) = 10 m .(d) O ngulo entre b e o eixo + x tan [ ( 8,0 m ) / ( 6,0 m)] = 53 .(e) a + b = ( 4,0 m + 6,0 m ) i + [ (-3,0 m ) + 8,0 m ] j = ( 10 m ) i + ( 5,0 m ) j . A magnitude deste vetor | a + b | = (10 m) + (5,0 m) = 11 m; O que nos arredonda para duas significativas figuras em nossos resultados .(f ) O ngulo entre o vetor descrito na parte (e ) e do eixo + x tan [ ( 5,0 m ) / ( 10 m)] = 27 . ( g ) b - a = ( 6,0 m - 4.0 m ) i + [ 8,0 m - (-3,0 m ) ] j = ( 2,0 m ) i + ( 11 m ) j . A magnitude deste vetor | b - a | = (2,0 m) + ( 11 m ) = 11 m , que , de forma interessante , o mesmo resultado como na parte ( e) ( exatamente , e no apenas para dois algarismos significativos ) (esta curiosa coincidncia tornada possvel pelo facto de a b).(h) O ngulo entre o vetor descrito na parte (g) e o eixo + x tan [(11 m) / (2.0 m)] = 80 . (i) A-B = (4,0 m-6.0 m) i + [(-3,0 m) -8,0 m] j = (-2,0 m) i + (-11 m) j. A magnitude deste vetor | a-b | = (-2,0 m) + (-11 m) = 11 m(j) As duas possibilidades apresentadas por um clculo simples para o ngulo entre o vetor descrito na parte (i) e a + x so tan [(-11 m) / (-2,0 m)] = 80 , e 180 + 80 = 260 . A ltima possibilidade a resposta correta (ver parte (k) por mais um observao relacionada com este resultado). (k) Desde que a - b = (-1) (b - a), eles apontam em opostas (anti-paralelas) direes, o ngulo entre eles de 180 .

Os vetores de deslocamento pode ser escrito como (em metros)

(a) O produto escalar de d1 e d2 (b) O produto cruzado de d 1 e d 2

(c) As magnitudes de d 1 e d 2 so

Assim, o ngulo entre os dois vectores

Desde ab cos = AxBx + + ayby azbz, As magnitudes dos vectores indicados no problema est O ngulo entre eles encontrado a partir deO ngulo 22 A partir da definio de produto escalar entre A e B, A = B ABcos, temos Com A = 6,00, B = 7,00 e A B = 14,0, cos = 0,333, ou = 70,5 .