Exercicos Resolvidos - Mecanica Aplica

Lista de Exerccios: solues - Unidade 2

2.1 Uma lmina de ao de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, mdulo de elasticidade E = 210 x 10

9 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e usada como uma mola

simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento.

(a) Determinar a constante de mola para a fora e deslocamento na direo vertical, na posio da massa. (b) Quais as modificaes que se fariam nas dimenses da viga para duplicar a sua constante de mola? (c) Determinar a constante de mola se duas lminas so usadas uma em cima da outra com lubrificante entre

elas (no h atrito).

(d) Encontrar a constante de mola se duas lminas so usadas uma em cima da outra e soldadas juntas.

Dados: t = 3 mm, L = 300 mm, b = 20 mm, E = 210 x 109 Pa

(a) Viga bi-apoiada sob flexo 3

48

L

EIk

com 41233

m 104512

003,002,0

12

bt

I

N/m 108,163,0

1045102104848 33

129

3

L

EIk

(b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes solues: 1. Diminuir o comprimento para

m 238,0108,162

10451021048

2

483

3

129

3

k

EIL

2. Aumento do momento de inrcia (dimenses da seo transversal)

4119

333

m 1091021048

3,0108,162

48

2

E

klI

(c) A configurao proposta consitui-se em uma associao em paralelo, implicando na duplicao da rigidez,

de forma que N/m 106,33108,16233 k

(d) Desta forma a espessura da viga duplicada t = 6 mm

412

33

m 1036012

006,002,0

12

bt

I

N/m 101343,0

10360102104848 33

129

3

L

EIk

2.2 Uma mquina de massa m = 500 kg montada em uma viga de ao bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que possui uma seo transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 10

9 N/m

2. Para

reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar o

valor de k necessrio para reduzir a flecha da viga para um tero do seu valor original (sem a mola). Assumir

que a massa da viga desprezvel.

m

k

Figura 2.1

Dados: m = 500 kg, L = 2 m, t = 0,1 m, b = 1,2 m e E = 206 x 109 N/m

2.

Como o momento de inrcia (em relao linha elstica) de uma viga

4433

m 1000,112

1,02,1

12

tb

I

A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro

N/m 101262

1000,1102104848 63

49

3

L

EIkv

A mola de rigidez k se associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flecha

seja reduzida para um tero de seu valor inicial tem-se

33

v

eq

viga

final

kP

k

P

De onde

N/m 10252106,123223 66 vvveq kkkkkk

2.3 O eixo de um elevador em uma mina est suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e dimetro d = 20 mm cada. Os cabos so feitos de ao com mdulo de elasticidade E = 210 x 10

9 Pa.

(a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do eixo para deslocamento na direo vertical.

(b) Determinar como a constante de mola ir variar se o nmero de cabos for aumentado para quatro. (c) Determinar como a constante de mola ir variar se o dimetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos).

Dados: L = 150 m, d = 20 mm, E = 210 x 109 Pa.

(a) N/m 104401504

02,010210

4

3292

L

Ed

L

EAk

Com dois cabos em paralelo

N/m 108802 3 kkeq

(b) N/m 1076,14 6 kkeq

(c) N/m 109901504

03,010210

4

3292

L

Ed

L

EAk

N/m 1098,12 6 kkeq

Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variao de 2,25 vezes na rigidez para uma

ampliao de 50% no dimetro do cabo.

2.4 Um sistema de barra de toro de uma suspenso automotiva possui comprimento L = 1,5 m e dimetro d = 18 mm. O mdulo de elasticidade transversal G = 85 GPa.

(a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. (b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa.

Dados: l = 1,5 m, d = 18 mm, G = 85 GPa

(a)

4944

m 103,1032

018,0

32

d

J

N.m/rad 5845,1

103,101085 99

L

GJk t

(b) Com G = 41 GPa

N.m/rad 2825,1

103,101041 99

L

GJk t

2.5 Uma mola de lminas mltiplas consiste de trs lminas de ao de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 m e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexo vertical se o mdulo de

elasticidade E = 210 x 109 Pa e o bloco de conexo rgido. Notar que as extremidades das lminas

permanecem sempre horizontais.

Figura 2.2

Dados: L = 0,3 m, b = 0,10 m, t = 0,005 m e E = 210 GPa

Uma viga bi-engastada, com carregamento P concentrado no seu centro, possui uma deformao igual a

EI

PLviga

192

3

Cada uma das 3 lminas uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformao

vertical, sem girar. Desta forma ela pode, em funo da simetria, ser considerada como a metade de uma

viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que ser necessrio

o dobro da carga para produzir uma igual deformao em uma viga bi-engastada com o dobro do

comprimento de cada lmina.

EI

LF

k

F

192

23

23

3

de onde

N/m 102,973,0

12

005,01,01021012

123 33

39

3

L

EI

F

k

Como so trs lminas que sofrem a mesma deformao, esto associadas em paralelo de forma que a

rigidez equivalente

N/m 102923 3 kkeq

2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = 8 mm, conectadas como mostrado, em um crculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento l = 250 mm e o mdulo de

elasticidade do material na mola E = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barra

est carregada em flexo com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos.

Figura3

Dados: d = 8 mm, R = 100 mm, l = 250 mm E = 210 GPa,

Cada barra se comporta como as lminas do exerccio anterior, submetidas a flexo, de forma que sua rigidez

312

l

EIPk

barra

A rigidez torsional proporcionada por cada barra determinada por

N.m/rad 32425,0

1,064

008,01021012

123

24

9

3

22

l

REIRk

R

RPMk barra

t

t

Como so 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associao em paralelo

(mesma deformao), a rigidez torsional equivalente

N.m/rad 1059,232488 3 teqt kk

2.7 Uma barra de toro consiste de trs segmentos com dimetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 600, e 500 mm, respectivamente, conectados em srie de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa,

determinar a constante de mola torsional.

Dados: d1 = 30 mm, d2 = 40 mm, d3 = 50 mm, l1 = 400 mm, l2 = 600 mm, l3 = 500 mm, G = 105 GPa.

N.m/rad 109,204,032

03,010105

32

3

49

1

4

1

1

1

1

l

dG

l

GIk P

t

N.m/rad 100,446,032

04,010105

32

3

49

2

4

2

2

2

2

l

dG

l

GIk P

t

N.m/rad 101295,032

05,010105

32

3

49

3

4

3

3

3

3

l

dG

l

GIk P

t

N.m/rad 108,12

10129

1

100,44

1

109,20

1

1

111

1 3

333

321

ttt

eq

kkk

k

2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmisso de caminho tem dimetro do arame d = 10 mm, dimetro D = 100 mm e tem 15 espiras, mdulo de elasticidade transversal G = 81 GPa.

(a) Encontrar a constante de mola axial. (b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o nmero de espiras. (c) Encontrar a constante de mola se duas molas esto conectadas em paralelo. (d) Encontrar a constante de mola se duas molas so conectadas em srie.

Dados: d = 10 mm, D = 100 mm, n = 15 espiras e G = 81 GPa.

(a) N/m 1075,61,0158

01,01081

8

3

3

49

3

4

nD

Gdk

(b) N/m 1038,31,0308

01,01081

8

3

3

49

3

4

nD

Gdk

(c) N/m 105,1323 kk

eq

(d) N/m 1038,32

4k

keq

2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e feita de ao com E = 2,1 x 1011 Pa, d = 3 mm e de Di = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola.

Dados: E = 210 GPa, d = 3 mm, Di = 30 mm e n = 6.

D = Di + d = 3 + 30 = 33 mm

N.m/rad 895033,0632

003,010210

32

393

nD

Edk

t

Figura 2.4

2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direo de

Figura 2.5

2

2

1

eqkU

2323

2

12121

2

23

2

121

2

2

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2

1 lklkkkklklkkkkU

tttt

223

2

12121lklkkkkk

tteq

2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6

Os trs segmentos de eixos, com rigidezes k1, k2 e k3, esto submetidos toro esto associados em srie,

possuindo rigidez equivalente:

313221

321

321

1 111

1

kkkkkk

kkk

kkk

keq

Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k4,

ocorre uma associao em paralelo:

412kkk

eqeq

As duas molas de rigidezes k5 e k6 esto associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente

653kkk

eq

Figura 2.6

As duas molas de rigidezes k7 e k8 esto associadas em srie, possuindo rigidez equivalente

87

87

87

4 11

1

kk

kk

kk

keq

Os segmentos de eixo esto submetidos toro , enquanto que as molas esto submetas a uma deformao linear igual a

Rx A energia potencial total igual soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementos

deformados (segmentos de eixos e molas)

224

2

32

2

4

2

3

2

22

1

2

1

2

1

2

1 RkRkkxkxkkU

eqeqeqeqeqeq

Substituindo os termos das rigidezes

22

87

87

65

313221

321

42

1

R

kk

kkkk

kkkkkk

kkkkU

De forma que a rigidez torcional equivalente

2

87

87

65

313221

321

4R

kk

kkkk

kkkkkk

kkkkk

eq

2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de dimetro interno d e espessura t que possui a mesma constante de mola axial que o eixo slido cnico mostrado na Fig. 2.7.

D d

l

Figura 2.7

1

2

1

22

1

22

14

44

4

24

4 l

tdtE

l

dtdE

l

ddE

l

EA

l

EDdk

ie

Dd

tdltl

41

2.13 Determinar a massa equivalente referente coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8.

Figura 2.8

A massa m2 se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angular b

x e a massa m1

com velocidade linear xb

aa .

A energia cintica total igual soma das energias cinticas de cada uma das inrcias (massas em

translao e balancim em rotao), dada por

2

2

2

2

2

2

1

2

2

22

2

12

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1xmx

bJx

b

amxmJx

b

amT

OO

2

2

22

1

1

2

1xm

bJ

b

amT

O

De forma que a massa equivalente

22

2

1 mb

Jamm O

eq

2.14 Duas massas, com momentos de inrcia de massa J1 e J2, so colocadas em eixos rgidos rotativos que so ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o nmero de dentes nas engrenagens 1 e 2 so n1 e n2,

respectivamente, determinar o momento de inrcia de massa equivalente correspondente a 1.

Figura 2.9

Energia cintica

2

22

2

112

1

2

1 JJEC

Relao de transmisso

2211nn

Ento

212

2

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

112

1

2

1

2

1

J

n

nJ

n

nJJEC

Momento de inrcia equivalente

2

2

2

1

1J

n

nJJ

eq

2.15 Determinar o momento de inrcia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, com referncia ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, Ji e ni so os momentos de inrcia de massa e os nmeros de

dentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2N.

Figura 2.10

Energia cintica

N

i

iiJEC

2

1

2

2

1

Relaes de transmisso

11 iiii nn

N

i

iii

i

n

n

n

n

nJJEC

0

2

1

2

12

4

3

2

1122

22

1

Ento

210

2

12

4

3

2

1122

22

1

N

i

iii

i

n

n

n

n

nJJEC


N

i

iiieq

i

n

n

n

n

nJJJ

0

2

12

4

3

2

1122

2

2.16 Um oscilador harmnico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar a freqncia natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto).

Dados: m = 1,2 kg, k = 8,5 kN/m

rad/s 2,842,1

8500

m

kn

cpm 804 cpm 60) (13,4 Hz 4,132

2,84

2

f

2.17 Um oscilador harmnico possui massa m = 10 kg e perodo de vibrao natural, medido em um osciloscpio, igual a 35 ms. Determinar a constante de mola.

Dados: m = 10 kg, Tn = 35 ms.

N/m 10322035,0

10442 3

2

2

2

222

n

nnT

mfmmk

2.18 Um automvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspenso 0,02 m sob condies estticas. Determinar a freqncia natural do automvel na direo vertical assumindo que o amortecimento seja

desprezvel.

Dados: m = 2000 kg, st = 0,02 m

rad/s 1,2202,0

81,9

st

n

g

m

k

2.19 Uma prensa industrial est montada sobre uma camada de borracha para isol-la de sua base. Se a borracha est comprimida 5 mm pelo peso prprio da prensa, determinar a freqncia natural do sistema.

st

st

g

m

kkmg

rad/s 3,44005,0

81,9

st

n

g

m

k

Hz 05,72

3,44

2

n

nf

2.20 Um sistema massa-mola possui um perodo natural de 0,21 seg. Qual ser o perodo se a constante de mola (a) aumentada em 50 % ? (b) reduzida em 50 % ?

Dados: Tn = 0,21 seg

s 21,022

k

mT

n

n

(a) Rigidez aumentada em 50 % ?

s 171,021,05,1

1

5,12

k

mT

n

(b) Rigidez reduzida em 50 % ?

s 297,021,05,0

1

5,02

k

mT

n

2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqncia natural de 10 Hz. Quando a constante de mola reduzida em 800 N/m, a freqncia natural alterada em 45 % (a diferena). Determinar a massa e a constante de mola do

sistema original.

Dados: fn = 10 Hz, k = 800 N/m.

rad/s 201022 nn

fm

k

22 20 mmkn

2055,0

8002080055,0

2

m

m

m

kn

Resolvendo

kg 291,0

2055,01

80022

m

N/m 1015,1202905,020 322 mk

2.22 Um oscilador harmnico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqncia natural prxima freqncia excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqncia natural

em 30% (a diferena). Determinar as possveis mudanas requeridas.

Dados: m = 1 kg e k = 40 kN/m

rad/s 2001

40000

m

kn

rad/s 1402007,07,01

nn

Mantendo a massa

kN/m 6,191401 2211

n

mk

Mantendo a rigidez

kg 04,2140

4000022

1

1

n

km

ou uma infinita combinao de parmetros garantido que

rad/s 1401

n

2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma fora de 100 N para produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola esto agora rigidamente fixadas e uma massa de

10 kg colocada no ponto mdio de seu comprimento. Determinar o tempo necessrio para completar um ciclo

de vibrao quando a massa vibra.

Dados: F = 100 N, = 10 mm e m = 10 kg.

kN/m 0,10010,0

100

Fk

Quando dividida em duas a constante de mola se torna

10000

1111

11

kkk

kN/m 0,2010000

121

1

kk

Na nova configurao, as duas metades esto associadas em paralelo

kN/m 0,4020000221

kkeq

O tempo para cumprir um ciclo

ms 3,9940000

1022

k

mT

n

2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pisto com m = 0,3 kg e est suportado por uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m

2. Determinar a freqncia

natural da vibrao do pisto se no h leo no cilindro.

Figura 2.11

Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m2.

kN/m 31,101,0108

001,010105

8 3

49

3

4

nD

Gdk

rad/s 1,663,0

1031,1 3

m

kn

Hz 5,102

1,66

2

n

nf

2.25 O cilindro de uma vlvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pisto com m = 0,2 kg e suportado por uma mola helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m

2, determinar a freqncia natural de

vibrao do pisto se no h fluido na vlvula.

Figura 2.12

Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m2.

kN/m 30,103,068

002,010105

8 3

49

3

4

nD

Gdk

rad/s 5,802,0

1030,1 3

m

kn

Hz 8,122

5,80

2

n

nf

2.26 Uma unidade de ar-condicionado est ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade 300 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa

permissvel da constante de cada mola.

Dados: m = 300 kg, fn = entre 32 e 40 Hz.

rad/s 80 a 642 nn

f

Rigidez 24n

mk

MN/m 03,3

4

643002

min

k

MN/m 74,4

4

803002

max

k

2.27 Um desumidificador de ar est suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadas fixamente. A massa da unidade de 200 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao vertical seja

maior do que 30 Hz e para vibrao horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissvel para os

dimetros das barras. E = 210 GN/m2.

Dados: 4 barras, l = 0,5 m, m = 200 kg, fn > 30 Hz (vertical), 10 Hz fn 15 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m2.

rad/s 302

rad/s 202

maxmax

minmin

nn

nn

f

f

Limites para a rigidez horizontal (flexo)

MN/m 78,130200

kN/m 79020200

22

maxmax

22

minmin

n

n

mk

mk

Rigidez horizontal flexo (assumindo viga em balano)

49

3

4

9

310990

5,0

641021034

34 d

d

l

EIk

mm 6,3610990

1078,1

10990

mm 9,2910990

10790

10990

49

6

49

max

max

49

3

49

min

min

kd

kd

Rigidez horizontal flexo (assumindo duplo engaste)

412

3

4

9

31096,3

5,0

6410210124

124 d

d

l

EIk

mm 9,251096,3

1078,1

1096,3

mm 1,211096,3

10790

1096,3

412

6

412

max

max

412

3

412

min

min

kd

kd

Rigidez vertical trao-compresso

rad/s 602minmin

nn

f

MN/m 11,760200 22minmin

n

mk

212

2

9

1032,15,0

4102104

4 d

d

l

EAk

mm 32,21032,1

1011,7

1032,1 12

6

12

min

min

kd

2.28 Um coletor de lixo limpo est fixado no solo por 4 colunas de seo tubular retangular de espessura 5 cm e comprimento 0,5 m. A massa da unidade 500 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao horizontal

esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissvel para a largura da sesso tubular. E = 210 GN/m2.

Dados: 4 colunas de seo retangular, t = 5 cm, l = 0,5 m, m = 500 kg, 32 Hz fn 40 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m2.

rad/s 802

rad/s 642

maxmax

minmin

nn

nn

f

f

Limites para a rigidez horizontal (flexo)

MN/m 6,3180500

MN/m 2,2064500

22

maxmax

22

minmin

n

n

mk

mk

Rigidez horizontal flexo (assumindo viga em balano)

bb

l

btE

k 63

39

3

3

102105,0

05,010210123

4

mm 15010210

104,31

10210

mm 3,9610210

102,20

10210

6

6

6

max

max

6

6

6

min

min

kb

kb

Rigidez horizontal flexo (assumindo duplo engaste)

bb

l

btE

k 63

39

3

3

108405,0

05,01021041212

4

mm 6,3710840

104,31

10840

mm 1,2410840

102,20

10840

6

6

6

max

max

6

6

6

min

min

kb

kb

2.29 Um purificador de ar est fixado no solo por 6 pilares slidos de ferro de forma retangular, com 100 mm de largura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa da

unidade 800 kg. Determinar as freqncias naturais horizontais nas duas direes. E = 210 GN/m2.

Dados: 6 pilares, b = 100 mm, t = 50 mm, l =2 m, m = 800 kg e E = 210 GN/m2.

Rigidez horizontal primeira direo flexo (assumindo viga em balano)

kN/m 492212

05,01,01021036123

63

39

3

3

l

btE

k

rad/s 8,24800

10492 3

m

kn

Rigidez horizontal segunda direo flexo (assumindo viga em balano)

MN/m 97,1212

1,005,01021036123

63

39

3

3

l

tbE

k

rad/s

6,49800

1097,1 6

m

kn

Rigidez horizontal primeira direo flexo (assumindo duplo engaste)

MN/m 97,12

05,01,01021061212

63

39

3

3

l

btE

k

rad/s 6,49800

1097,1 6

m

kn

Rigidez horizontal segunda direo flexo (assumindo duplo engaste)

MN/m 88,72

1,005,01021061212

63

39

3

3

l

tbE

k

rad/s 2,99800

1088,7 6

m

kn

2.30 Um pequeno compressor est apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0 kN/m cada uma, na direo vertical, e 4,0 kN/m na direo horizontal. A massa da unidade 30 kg.

Determinar as freqncias naturais para vibraes horizontal e vertical.

Dados: quatro molas de borracha, kv = 3,0 kN/m, kh = 4,0 kN/m e m = 30 kg.

Direo horizontal

rad/s 1,2330

400044

m

kh

nh

Hz 68,32

09,23

2

nh

nhf

Direo vertical

rad/s 0,2030

300044

m

khv

nv

Hz 18,32

0,20

2

nh

nhf

2.31 O ncleo mvel de um rel eletromagntico mostrado na Fig. 2.13 possui massa m = 12 gr, e est suportado por uma mola com k = 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que esto montados em lminas

flexveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lmina mvel possui comprimento de 20 mm e as

estacionrias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqncia natural com o rel aberto e

fechado. E = 210 GN/m2.

Figura 2.13

Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mm e E = 210 GN/m2.

Com o rel aberto:

rad/s 500012,0

3000

m

kn

ou

Hz 6,79

2

500

2

n

nf

Com o rel fechado

a) lmina mvel dupla viga engastada

kN/m 161

202,0

12

0008,0006,0102103

2

33

3

9

3

1

1

l

EIk

b) lmina fixa viga engastada

kN/m 8,47015,0

12

0008,0006,0102103

33

3

9

3

2

2

l

EIk

De cada lado ocorre associao em srie de k1 e k2

kN/m 9,36108,4710161

108,471016133

33

21

21

1

kk

kkk

eq

Estes dois conjuntos esto associados em paralelo

kN/m 7,73109,36223

1

eqeqkk

A freqncia natural com rel fechado ser

rad/s 1053,2012,0

300073728 3

m

keq

n ou

Hz 4022

1053,2

2

3

n

nf

2.32 Achar a freqncia natural de vibrao do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, como mostrado na Fig. 2.14.

Figura 2.14

xmmgxkxk sin21

sendo x1 medido a partir da posio de equilbrio esttico

11211

sin xmmgxkxkstst

0sin121121 xkkxmmgkk

st

pela condio de equilbrio esttico.

A freqncia natural

m

kkn

21

2.33 Determinar a expresso para a freqncia natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezveis as massas das plataformas.

Figura 2.15

Viga engastada

3

1

11

1

3

l

IEk

Viga bi-apoiada

3

2

22

2

48

l

IEk

Constante de mola equivalente, associao em paralelo

21 kkkeq

Freqncia natural

3

2

22

3

1

1121483

l

IE

l

IE

W

g

W

kkg

m

keq

n

2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k cortada em duas metades e uma massa m conectada s duas metades como mostra a Fig. 2.16(a). O perodo natural deste sistema 0,5 seg. Se uma mola idntica cortada de forma que

uma das partes tenha de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha , com a massa sendo conectada

s duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual ser o perodo natural do sistema?

Figura 2.16

Uma mola pode ser considerada como duas metades associadas em srie, de forma que

kk 21 cada metade

As duas metades associadas em paralelo, como mostra a Fig. 2.16a, possuem rigidez

kkkeq

421

Freqncia natural

5,0

222

4

n

nTm

k

m

k

2m

k

Para a diviso mostrada na Fig. 2.16b, dividindo a mola em 4

kk 42

Associando 3 em srie

3

4

111

1

222

3

k

kkk

k

Associando k2 e k3

3

16

3

44

32

kkkkkk

eq

Freqncia natural

rad/s 5,1423

4

3

4

3

161

m

k

m

kn

Perodo

s 433,05,14

221

n

nT

2.35 Trs molas e uma massa esto presas a uma barra rgida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar a freqncia natural de vibrao do sistema.

Figura 2.17

Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezvel, a 2 Lei de Newton para

movimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relao ao ponto P como

0333

2

22

2

11 xllklklk

De onde se tem que

xlklklk

lk

2

33

2

22

2

11

33

Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2 Lei de Newton pode ser escrita para as foras atuantes na

massa

xmxlk 33

Substituindo a segunda expresso na terceira chega-se equao do movimento em x

02

33

2

22

2

11

2

22

2

113

x

lklklkm

lklkkx

De onde se extrai a freqncia natural como sendo

2

33

2

22

2

11

2

22

2

113

lklklkm

lklkkn

2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um rel eletro-mecnico. (a) Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do piv. (b) De determinar o valor da rigidez k que resultar em duas vezes a sua freqncia natural.

Figura 2.18

Equao do movimento

2

22

22a

l

g

WI

lk

O

022

2

2

2

lka

l

g

W

a) Freqncia natural

222

22

2

4

4

4

4

alW

gkl

al

g

W

lk

n

b) Como a rigidez proporcional ao quadrado da freqncia natural, necessrio quadruplic-la para dobrar

a freqncia natural.

2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o brao de um mecanismo de elevao de peso. Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do ponto A.

Figura 2.19

Equaes do movimento

xmLxk

xLLklk

2

2

2

10

Da primeira

Lk

Lklkx

2

2

2

2

1

e Lk

Lklkx

2

2

2

2

1

substituindo na segunda

02

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

L

Lk

Lklkk

Lk

Lklkm

resultando em

0212

2

2

2

1 lkkLklkm

ou ento

0

2

2

2

1

2

21

Lklkm

lkk

Freqncia natural

22

2

1

2

21

Lklkm

lkkn

2.38 Para o pndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismgrafo: (a) Determinar a freqncia natural. (b) Se a mola k1 removida para que o valor da constante de mola k2 a freqncia natural ser zero?

Figura 2.20

a) Freqncia natural

2211

2

22mLhkhkmgL

0222

2

11

2 mgLhkhkmL

2

2

22

2

11

mL

mgLhkhkn

b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqncia natural se anule necessrio que

2

2

2

2

22h

mgLkmgLhk

2.39 Para o pndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relgio: (a) Determinar a freqncia natural. (b) Para que valor da massa m2 a freqncia natural ser zero?

Figura 2.21

(a) Equao do movimento

222

2

111122LmLmgLmgLm

02211

2

22

2

11 gLmgLmLmLm

Freqncia natural

2

22

2

11

2211

LmLm

gLmLmn

(b) 00

22112

22

2

11

2211

LmLm

LmLm

gLmLmn

2

1

12L

Lmm

2.40 Uma barra uniforme rgida de massa m e comprimento l est articulada no ponto A e ligada a cinco molas como mostra a Fig. 2.22. Achar a freqncia natural do sistema se k = 2 kN/m, kt = 1 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m.

Figura 2.22

Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m.

Momento de inrcia da barra

12

2mlI

G

em relao a A

mllml

mdIIGA

22

2

23

2

12

936

3

612

22222 mlmlmlm

lmlI

A

Equao do movimento

At

Ikl

kl

k

22

3

22

32

09

10

9

22

klk

mlt

Freqncia natural

rad/s 1,45510

5200010100091092

2

2

2

ml

klkt

n

2.41 Um cilindro de massa m e momento de inrcia J0 rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restrito por duas molas de rigidez k1 e k2 como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqncia natural de vibrao e o valor de a

que maximiza a freqncia natural.

Figura 2.23

Rotao pura em torno do ponto de contato

222

2

1mRJaRkaRk

O

0221

2 aRkkmRJO

Freqncia natural

2

21

2

2

21

mRJ

kkaR

mRJ

aRkk

OO

n

Para maximizar

a = R

2.42 Achar a equao do movimento da barra rgida uniforme AO, de comprimento l e massa m mostrada na Fig. 2.24. Achar tambm sua freqncia natural.

Figura 2.24

3212

222 mllm

mlJ

O

3

2

2

2

2

1

mlklkak

t

03

2

2

2

1

2

t

klkakml

2

2

2

2

13

ml

klkakt

n

2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, pivotado no ponto O como mostra a Fig. 2.25. Achar a freqncia natural do sistema.

Momento de inrcia em relao ao centro do disco

2

2maJ

C

Figura 2.25

Equao do movimento

2

2

2mb

mamgb

02

2

2

gbb

a

Freqncia natural

22 2

2

ba

gbn

2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o brao de um sismgrafo vertical. (a) Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do piv. (b) Determinar o valor da rigidez k que resultar no dobro da sua freqncia natural

Figura 2.26

Equao do movimento

022

22

kamL

mLka

a) Freqncia natural

2

2

mL

kan

b) Rigidez para dobrar a freqncia natural

kk 41

2.45 Uma massa m montada na extremidade de uma barra de massa desprezvel e pode assumir trs diferentes configuraes como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configurao que proporciona a maior freqncia natural.

Figura 2.27

a) l

gn

b) 22 mlakmgl

022 akmglml

2

2

2

2

ml

ka

l

g

ml

mglkan

c) 22 mlakmgl

022 mglakml

l

g

ml

ka

ml

mglkan

2

2

2

2

A configurao que proporciona a maior freqncia natural a b).

2.46 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.

O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .

Figura 2.28

Momento de inrcia do retngulo em relao ao seu centro

2212

bam

J

Momento de inrcia do quadrado em relao ao seu centro

6

2

1

1

amJ

Massa do quadrado sem o furo espessura unitria 2

1am

Momento de inrcia do crculo em relao ao centro

822

1 22

2

22

DmDmJ

Massa do crculo (a ser retirada)

4

2

2

Dm

Massa total

4

2

2

21

Dammm

Momento de inrcia total em relao ao centro

442

1

6

1 222221

DDaaJJJ

O

326

44 DaJ

O

Momento de inrcia em relao ao piv Teorema dos eixos paralelos (Steiner)

443262

22

2

442 DDa

DaDmJJ

OP

32

3

46

4224 DDaaJ

P

Equao do movimento

P

JD

mg 2

02432

3

46

2

2

4224

DDag

DDaa

Freqncia natural

4224

22

92416

412

DDaa

DagDn



Figura 2.29

Momento de inrcia do crculo externo em relao ao seu centro

8

2

11

DmJ

Momento de inrcia do crculo interno em relao ao seu centro

8

2

22

dmJ

Massa do crculo externo espessura unitria

4

2

1

Dm

Massa do crculo interno (a ser retirada)

4

2

2

dm

Massa do crculo (a ser retirada)

4

2

2

Dm

Massa total

2221

4dDmmm

Momento de inrcia total em relao ao centro

4421

32

1dDJJJ

O

Momento de inrcia em relao ao piv Teorema dos eixos paralelos (Steiner)

4432

1

2

222

44

2

ddDdD

dmJJ

OP

2

3

216

4

22

4 ddD

DJ

P

Equao do movimento

P

Jd

mg 2

02

3

22

1 224

22

4

dDgd

ddD

D

Freqncia natural

4224

22

32

4

ddDD

dDgdn



Figura 2.30

Momento de inrcia do crculo externo em relao ao piv

2

2

11

RmJ

Momento de inrcia do crculo interno em relao ao piv

2

2

2

2

2

228

3

48Rm

Rm

RmJ

Massa do crculo externo espessura unitria 2

1Rm

Massa do crculo interno (a ser retirada)

4

2

2

Rm

Massa total

4

3 2

21

Rmmm

Novo centride

2

0

2

1

2211 Rr

r

mrrmrmc

6

4

3

24

22

Rr

rRRR

c

c

Momento de inrcia total em relao ao piv

32

13

48

3

2

4

2

22

2

21

RR

RRRJJJ

P

Equao do movimento

Pc

Jmgr

064

3

32

13 24

Rg

RR

04

13 gR

Freqncia natural

R

gn

13

4



Figura 2.31

Momento de inrcia do disco superior em relao ao seu centro 2

1

1122

1

dmJ

com massa

4

2

1

1

dm

Momento de inrcia da barra em relao ao piv

2

1

2

222

22212

dlmbl

mJ

com massa

blm 2

Momento de inrcia do disco inferior em relao ao piv 2

12

3

2

2

332222

1

dl

dm

dmJ

com massa

4

2

2

3

dm

Massa total

bldd

dbl

dmmmm 2

2

2

1

2

2

2

1

321444

Novo centride

22

22

0

21

3

1

2

1

332211

dl

dr

ldr

r

mrrmrmrmc

cr

dbl

ddl

ddldbl

4422422

2

2

2

121

2

21

2

2

2

1

21

2

21

42

24

dbld

dlddldblr

c

Momento de inrcia total em relao ao piv

2

12

2

2

2

1224

2

4

13212

16221232dld

ddlblbl

blddJJJJ

P

Equao do movimento

0442

24

216221232

0

2

2

2

12

2

2

1

21

2

21

2

12

2

2

2

1224

2

4

1

bldddbld

dlddldbl

dldddl

blblbl

dd

mgrJcP

Freqncia natural

2

12

2

2

2

1224

2

4

1

2

2

2

12

2

2

1

21

2

21

216221232

442

24

dldddl

blblbl

dd

bldddbld

dlddldbl

n



Figura 2.32

Momento de inrcia do quadrado em relao ao seu centro

6

2

1am

JG

Massa do quadrado espessura unitria 2

1am

Momento de inrcia em relao ao piv

3

2

262

4442

1

aaaamJJ

GP

Equao do movimento

0223

2

2

2

2

22

4

2

1

kaa

gaa

Ja

ka

gmP

Freqncia natural

222

)22(3

a

kagn

2.51 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.33, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv. O elemento possui espessura unitria e as massas das barras vertical e horizontal so iguais a m.

Figura 2.33

Momento de inrcia da barra vertical em relao articulao

2

22

1212

LmbL

mJ

Momento de inrcia da barra vertical em relao articulao

2222

12mLbL

mJ

Momento de inrcia da total em relao articulao

22221

4

5

6mLbL

mJJJ

P

Novo centride

Lr

Lr

mrrmrmc

2

1

2211 2

Lr

mrmLL

m

c

c

4

3

22

Equao do movimento

04

32

4

5

6

02

222

LmgmLbLm

mgrJcP

Freqncia natural

22 172

18

Lb

gLn

2.52 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv. O elemento possui espessura unitria e largura desprezvel.

Figura 2.34

Momento de inrcia da barra em relao articulao

2

22

6

5

2

3

12mLLm

mLJ

Equao do movimento

02

3

6

5

02

3

2

LmgmL

LmgrJ

Freqncia natural

L

gn

5

33

2.53 A velocidade mxima atingida pela massa de um oscilador harmnico simples 10 cm/s, e o perodo de oscilao 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar:

(a) a velocidade inicial; (b) a amplitude do deslocamento; (c) a acelerao mxima e (d) o ngulo de fase.

Dados: vmax = 10 cm/s, Tn = 2 s, x0 = 2 cm.

(a) rad/s 2

22

n

nT

tv

txxn

n

n

sincos 0

0

tvtxxnnn

cossin00

20

2

max0

2

0

2

0maxxvvvxv

nn

mm/s 8,7702,01,0 220

v

(b) rad/s 2

22

n

nT

mm 8,310778,0

02,0

2

2

2

02

0

n

vxA

(c) 2

2

222

maxmm/s 314

0778,002,08,31

Aa

n

(d) rad 891,002,0

0778,0tantan 1

0

01

nx

v

2.54 Uma mquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem rigidez k = 130 kN/m. Se a mquina em sua base modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical, determinar:

(a) a freqncia natural e (b) a equao do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direo vertical.

Dados: m = 250 kg, k = 130 kN/m e x0 = 1 mm.

(a) Freqncia natural

rad/s 8,22250

130000

m

kn

(b) Equao do movimento

mm 10 xA

m 8,22cos001,0 tx

2.55 Uma mquina possui massa m = 250 kg e possui freqncia natural para vibrao vertical n = 5140 rad/s. Se a mquina em sua fundao modelada como sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,

determinar:

(a) a rigidez k do suporte elstico e (b) a equao do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical provocada por

um impacto.

Dados: m = 250 kg, n = 5140 rad/s e v0 = 1 mm/s. (a) Rigidez

GN/m 60,6514025022

nmk

(b) mm 1095,15140

001,0 40 n

vA

mm 5140sin1095,14 tx

2.56 Uma mquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 104 N/m e tem freqncia natural de vibrao vertical

n = 550 rad/s. Se a mquina em sua fundao modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical, determinar:

(a) a massa da mquina e (b) a equao do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130

mm/s na direo vertical.

Dados: k = 5,5 x 104 N/m, n = 550 rad/s, x0 = 1 mm e v0 = 130 mm/s.

(a) Massa da mquina

kg 182,0550

5500022

n

km

(b) Equao do movimento

mm 03,1550

1301

2

2

2

02

00

n

vxX

rad 232,01550

130tantan 1

0

01

x

v

n

tXxn

cos0

mm 232,0550cos03,1 tx

2.57 Um instrumento eletrnico tem massa m = 3,4 kg e suportado por 4 coxins de elastmero com uma rigidez k = 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte modelado como um sistema de um grau de liberdade para

vibrao vertical, determinar:

(a) a freqncia natural e (b) se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se mxima amplitude de vibrao do

movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente aps o impacto

da ferramenta.

Dados: 4 coxins, k = 5400 N/m cada, m = 3,4 kg, w1 = 0,5 kgf, X0 = 1,7 mm.


rad/s 7,794,3

540044

m

kn

(b) Velocidade

m 0017,0

2

1

02

00

n

vxX

m 10227,054004

81,95,0 310

k

gmx

rad/s 4,745,04,3

540044

1

1

mm

kn

mm/s 1254,74227,070,1 221

2

0

2

00

nxXv

2.58 Um instrumento eletrnico tem massa m = 3,4 kg e suportado por 4 coxins de elastmero com rigidez desconhecida. O instrumento no seu suporte modelado como um sistema de um grau de liberdade para

vibrao vertical. Durante um teste, uma massa m1 = 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O

impacto foi plstico e a amplitude de vibrao medida foi 2,2 mm com freqncia do movimento vertical

resultante igual a 325 rad/s. Determinar:

(a) a rigidez de cada um dos quatro coxins elsticos e (b) a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto.

Dados: 4 coxins, m = 3,4 kg, m1 = 0,5 kg, X0 = 2,2 mm e n1 = 325 rad/s. (a) Rigidez

kN/m 1034

3255,04,3

4

22

11

nmm

k

(b) Velocidade da massa em queda antes do impacto

mm 0119,0411900

81,95,01

0

k

gmx

mm/s 715325100119,00022,0 23220

2

00

nxXv

mm/s 55777155,0

5,04,30

1

1

0

v

m

mmv

2.59 A massa m cai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezvel, como mostra a Fig. 2.35, e a coliso plstica. Determinar a resposta do sistema.

Figura 2.35

k

mgx

0

ghv 20

m

kn

k

mgh

k

mg

m

k

gh

k

mgvxX

n

222

2

22

02

00

mg

hk

m

k

k

mg

gh 2tan

2tan 11

Resposta do sistema

mg

hkt

m

k

k

mgh

k

mgx

2tancos

2 12

2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 2.36, e a coliso plstica. Determinar a resposta do sistema.

Figura 2.36

Conservao da quantidade de movimento

010

vmmvm

ghv 20

ghmm

mv 2

1

0

Condies iniciais

1

0

0

2mm

mghv

k

mgx

Freqncia natural

1mm

kn

Amplitude do movimento

1

222

1

1

22

02

00

22

mmk

ghm

k

mg

k

mm

mm

ghm

k

mgvxX

n

ngulo de fase

1

1

1

11

0

012

tan

2

tantanmmg

hk

k

mg

mm

k

mm

mgh

x

v

n

A resposta do sistema ser

tXtxn

cos0

1

1

11

22 2tancos

2

mmg

hkt

mm

k

mmk

ghm

k

mgx

2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Mtodo de Rayleigh.

Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m2.

kN/m 31,101,0108

001,010105

8 3

49

3

4

nD

Gdk

tXx

tXx

nn

n

sin

cos

0

0

2

max

2

max

maxmax

2

1

2

1kxxm

UT

2

0

2

0

2

2

1

2

1kXXm

n

rad/s 1,663,0

1031,1 3

m

kn

Hz 5,102

1,66

2

n

nf

2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Mtodo de Rayleigh.

Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m2.

kN/m 30,103,068

002,010105

8 3

49

3

4

nD

Gdk

tXx

tXx

nn

n

sin

cos

0

0

2max

2

max

maxmax

2

1

2

1kxxm

UT

2

0

2

0

2

2

1

2

1kXXm

n

rad/s 5,802,0

1030,1 3

m

kn

Hz 8,122

5,80

2

n

nf

2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Mtodo da Energia.

a) Freqncia natural utilizando o Princpio da Conservao da Energia

2

2

22

2

11

2

1

cos2

1

2

1

LmT

LLmghkhkU

0sin 2222

2

11 mLmglhkhkUT

dt

d

sin 02

22

2

11

2 mgLhkhkmL

2

2

22

2

11

mL

mgLhkhkn

b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqncia natural se anule necessrio que

2

2

2

2

22h

mgLkmgLhk



222

2

11

2211

2

1

2

1

cos1cos1

LmLmT

gLmgLmU

0sinsin2211

2

22

2

11 gLmgLmLmLmUT

dt

d

sin 0

2211

2

22

2

11 LmLmLmLm

2

22

2

11

2211

lmlm

glmlmn

(b) 00

22112

22

2

11

2211

lmlm

lmlm

glmlmn

2

1

12l

lmm


Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m.

Momento de inrcia da barra

12

2mlI

G

em relao a A

mllml

mdIIGA

22

2

23

2

12

936

3

612

22222 mlmlmlm

lmlI

A

Equao do movimento

09

10

9

22

tk

klmlUT

dt

d

0910 22 t

kklml

Freqncia natural

rad/s 1,45510

5200010100091092

2

2

2

ml

klkt

n


Energia cintica

222

1mRJT

O

Energia potencial

211

2

1aRkkU

0211

2 aRkkmRJUTdt

dO

0221

2 aRkkmRJO

Freqncia natural

2

21

2

2

21

mRJ

kkaR

mRJ

aRkk

OO

n

Para maximizar

a = R

2.67 Um cilindro circular de massa m e raio r ligado a uma mola de mdulo k, como mostra a Fig. 2.37. Utilizando o Mtodo da Energia, achar a freqncia do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfcie

spera.

Energia cintica

222

2

1

2

1

mrmrT

2

22

2

2

2

2

1

2

1

3

2

2

1

32

12

A

t

IT

kl

kl

kU

02

12

9

1022

2

tAk

lk

lk

lIUT

dt

d

Figura 2.37

Energia cintica

222

2

1

2

1

mrmrT

Energia potencial

22

1rkU

02

3 22 krmrUTdt

d

02

3 km

Freqncia natural

m

kn

3

2

2.68 No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensvel. Achar a freqncia natural de vibrao, utilizando o Mtodo da Energia.

Figura 2.38

Energia cintica

22

2

2

12

1

2

1

2

1 JxMxmT

com 2

,,22121

rxrxxx e 2

2

1MrJ

222

2

22

22

22

2

4

34

2

1

242

1

22

1

22

1

2

1

MrmrMrMrmr

MrrMrmT

Energia potencial

2

22

2

242

1

22

1

2

1

krrkkxU

Conservao da energia

044

34 222

krMrmrUT

dt

d

Equao do movimento

034 kMm Freqncia natural

Mm

kn

34

2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfcie de raio R, como mostra a Fig. 2.39. Determinar a freqncia de oscilao quando o cilindro ligeiramente deslocado da sua posio de equilbrio.

Use o Mtodo da Energia.

Figura 2.39

Energia cintica rotao pura em relao ao ponto de contato

22

2

22

1

mr

mrT

Energia potencial

cos1 rRmgmghU condio de rolamento puro

rrRrrRrrR Conservao da energia

0sin2

3 2 rRmg

mrUT

dt

d

Linearizando e substituindo os ngulos

02

3 2

rR

r

rR

rrRmg

mr

02

3

rR

g

Freqncia natural

rRg

n

3

2

2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s parada no final dos trilhos por uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola 40 kN/mm e a constante de amortecimento 20

kN.s/m determinar:

(a) o deslocamento mximo da locomotiva aps atingir o sistema e (b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento mximo.

Dados: m = 60 103 kg, v = 20 m/s, k = 40 kN/mm e c = 20 kN.s/m.

(a) deslocamento mximo

rad/s 8,251060

10403

6

m

kn

00645,08,2510602

1020

2 3

3

nm

c

rad/s 8,258,2500645,011 22 nd

Com x0 = 0 e v0 = 20 m/s

m 775,08,25

2002

0

2

00

dd

nv

xxv

X

rad 2

tantan 1

0

001

d

n

x

xv

m 2

8,25cos775,0cos 167,0

tetXetx td

tn

teteXtxd

t

dd

t

n

nn sincos

00 txx

mx

0sincos00

ttdddn

22

0

0

0

11tan

cos

sin

n

n

d

n

d

d

d tt

t

s 0606,0200645,01

00645,0tan

8,25

1

1tan

1

2

1

2

1

0

d

t

m 767,02

0606,08,25cos775,0 0606,0167,00

etx

(b) tempo

s 0606,00t

2.71 Um oscilador harmnico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de mola k = 0,5 kN/m. Determinar:

(a) A freqncia natural amortecida. (b) O fator de amortecimento e o decremento logartmico.

Dados: m = 1,2 kg, c = 12 N.s/m e k = 0,5 kN/m..

(a) Freqncia natural amortecida

rad/s 4,202,1

500

m

kn

245,04,202,12

12

2

nm

c

rad/s 8,194,20245,011 22 nd

(b) Fator de amortecimento e decremento logaritmico 245,0

59,1245,01

245,02

1

2

22

2.72 A razo entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido 18:1. Determinar a mesma relao de amplitudes se a quantidade de amortecimento

(a) dobrada, ou

(b) reduzida para a metade.

Dados: razo entre amplitudes sucessivas = 18:1.

89,218lnln2

1 x

x

Fator de amortecimento

418,0

89,22

89,2

2 2222

Constante de amortecimento

nmc 2

(a) Dobrando c dobra

57,9

418,021

418,022

1

2

22

357,9

2

1 103,14 eex

x

(b) Reduzindo pela metade

34,1

2

418,01

2

418,02

1

2

22

83,334,1

2

1 eex

x

2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilaes por segundo e em 50 ciclos sua amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logartmico e o fator de

amortecimento. Qual ser o percentual de diminuio do perodo de oscilao se o amortecimento for

removido?

Dados: f = 5 Hz, 50 ciclos amplitude cai para 10% da inicial.

0461,01,0

ln50

1ln

1

1

1

1

1

x

x

x

x

mm

00733,0

0461,02

0461,0

2 2222

s 2,05

1

dT

Sem amortecimento

s 199995,05

00733,011122

dn

nff

T

O percentual de reduo de 0,00269 %.

2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crtico de 20 N.s/m, e um decremento logartmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar o

deslocamento mximo do mesmo.

Dados: k = 5000 N/m, cc = 20 N.s/m, = 2,0 e v0 = 1 m/s. Fator de amortecimento

303,0

0,22

0,2

2 2222

A constante de amortecimento crtico permite determinar a massa do sistema

kg 02,050004

20

422

22

k

cm

m

c

m

kmc cc

nc

Ento

rad/s 50002,02

20

n e rad/s 476500303,011 22

nd

A expresso para o movimento

tXetxd

tn cos

com m 00210,04,476

10 d

vX

e rad

20

1tantan 1

0

01

nx

v

O deslocamento mximo ocorre quando a velocidade se anula

0sincos111

11 tXetXetxd

t

cd

t

n

nn

s 00265,01

tan2

1sincos0

2

1

111

d

dcdnttt

O deslocamento mximo ser o deslocamento no tempo t1

m 00134,02

00265,0476cos00210,0 00265,0500303,0

exmx

2.75 Um oscilador harmnico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m. Determinar:

(a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento = 0,1. (b) O decremento logartmico e a freqncia natural amortecida.

Dados: m = 30 kg, k = 100 kN/m e = 0,1. (a) Constante de amortecimento

N.s/m 346100000301,02222 mkm

kmmc

n

(b) Decremento logartmico e freqncia natural amortecida

631,01,01

1,02

1

2

22

rad/s 4,575001,011

rad/s 7,5730

100000

22

nd

nm

k

2.76 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c = 3,8 N.s/m, e constante de rigidez k = 1500 N/m. Determinar:

(a) O fator de amortecimento, o decremento logartmico, e a freqncia natural amortecida. (b) A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm.

Dados: m = 45 gr, c = 3,8 N.s/m, k = 1500 N/m e x0 = 1 mm.

(a) fator de amortecimento, o decremento logartmico, e a freqncia natural amortecida:

rad/s 183045,0

1500

m

kn

231,0183045,02

8,3

2

nm

c

49,1231,01

231,02

1

2

22

rad/s 178183231,011 22 nd

(b) resposta a um deslocamento inicial de 1 mm.

20

2

00 xxv

Xd

n

com v0 = 0 e x0 = 1 mm.

m 1003,1001,0178

001,0183231,0 322

X

rad 233,0231,01

231,0tan

1tan

2

1

2

1

mm 233,0178cos03,1 2,42 tex t

2.77 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k = 500 N/m. O decremento logartmico medido foi 2,5. Determinar:

(a) O fator de amortecimento. (b) A freqncia natural amortecida.

Dados: m = 3 kg, k = 500 N/m e = 2,5. (a) O fator de amortecimento.

370,0

5,22

5,2

2 2222

(b) A freqncia natural amortecida.

rad/s 9,123

500

m

kn

rad/s 0,129,12370,011 22 nd

2.78 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m = 8 kg e constante de rigidez k = 1,2 MN/m. Determinar: (a) O fator de amortecimento e a freqncia natural amortecida para um decremento logartmico 0,05. (b) A constante de amortecimento.

Dados: m = 8 kg, k = 1,2 MN/m e = 0,05. (a) O fator de amortecimento e a freqncia natural amortecida

3

22221096,7

05,02

05,0

2

rad/s 3878

102,1 6

m

kn

rad/s 38738700796,011 22 nd

(b) A constante de amortecimento

N.s/m 3,49387800796,022 n

mc

2.79 Uma mquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m e rigidez k = 130 kN/m. Se a mquina e sua base modelada para vibrao vertical como um sistema de um grau

de liberdade, determinar:

(a) A freqncia natural amortecida. (b) A expresso para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direo vertical.

Dados: m = 250 kg, c = 1,45 kN.s/m, k = 130 kN/m e x0 = 1mm.

(a) A freqncia natural amortecida.

rad/s 8,22250

130000

m

kn

127,08,222502

1450

2

nm

c

rad/s 6,228,22127,011 22 nd

(b) A expresso para o movimento resultante

2

0

2

00 xxv

Xd

n

com v0 = 0 e x0 = 1 mm.

m 1001,1001,06,22

001,08,22127,0 322

X

rad 128,0127,01

127,0tan

1tan

2

1

2

1

mm 128,06,22cos01,1 90,2 tex t

2.80 Uma mquina possui massa m = 250 kg e freqncia natural amortecida para vibrao vertical d = 5140 rad/s. Atravs da medio do decremento logartmico achou-se um fator de amortecimento = 0,12. Se a mquina e sua base modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibrao vertical, determinar:

(a) A rigidez k do suporte elstico. (b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical, imposta por um impacto.

Dados: m = 250 kg, d = 5140 rad/s, = 0,12 e v0 = 1mm/s. (a) A rigidez k do suporte elstico.

GN/m 70,612,01

5140250

1 2

2

2

2

d

mk

(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical, imposta por um impacto.

rad/s 5177250

10701,6 9

m

kn

v0 = 1mm/s

m 101955140

001,0 9020

2

00

dd

nv

xxv

X

2

m 2

5140cos10195 6219

tex t

2.81 Uma mquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqncia natural de vibrao vertical

amortecida d = 255 rad/s. Medindo-se o decremento logartmico, determinou-se um fator de amortecimento = 0,18. Se a mquina e sua base so modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,

determinar:

(a) A massa da mquina. (b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na

direo vertical.

Dados: k = 55 kN/m, d = 255 rad/s, = 0,18, x0 = 1mm e v0 = 130mm/s. (a) A massa da mquina.

kg 818,0

255

18,015500012

2

2

2

d

km

(b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na direo vertical.

rad/s 2,2598184,0

55000

m

kn

mm 22,1001,0255

001,025918,013,02

2

0

2

00

x

xvX

d

n

rad 606,0255001,0

001,025918,013,0tantan 1

0

001

d

n

x

xv

mm 606,0255cos22,1 7,46 tex t

2.82 Um instrumento eletrnico possui massa m = 3,4 kg e est apoiada em quatro coxins de elastmero com rigidez

k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logartmico, = 0,20. Se o instrumento e seus apoios modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,

determinar:

(a) A freqncia natural. (b) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibrao de 1,7

mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta.

Dados: m = 3,4 kg, k = 5400 N/m cada um dos 4 coxins, = 0,20, m1 = 0,5 kg e X = 1,7 mm. (a) Freqncia natural

rad/s 7,794,3

54004

m

kn

(b) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta

Xv x

xn

n

0 0

2

2

0

2

1

Explicitando para v0

0

2

0

2

0xxXv

nd

Com mm 227,054004

81,95,010

k

gmx e a nova freqncia natural igual a

rad/s 4,745,04,3

54004

n e

rad/s 9,724,742,01 2 d

a velocidade inicial resulta

mm/s 126000227,04,742,0000227,00017,09,72 220

v

2.83 Um voltmetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumnio ( = 2700 kg/m3) de comprimento l = 50 mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100

N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crtico posicionado a um raio r = 8 mm. Durante uma

medida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem desligada, determinar o tempo requerido para o

ponteiro retornar indicao de 1 volt.

Figura 2.40

Dados: = 2700 kg/m3, l = 50 mm, b = 3 mm, t = 1 mm, k = 100 N.mm/rad, r = 8 mm, X1 = 80 volts e X2 = 1 volt.

Massa

kg 10405,005,0001,0003,02700 3 btLm

Equao do movimento

033

03

22

2

2

2

mL

k

Lm

rc

kcrmL

Jrcrk

t

t

t

Freqncia natural

rad/s 3,54405,01005,4

1,033242

mL

kt

n

Equao do movimento com amortecimento crtico

tn

nett

000

Com rad 800

K e 00

tn

netKt 180

Para rad 1

1Kt

111

1801t

n

netKKt

De onde

s 01172,01t

2.84 Um medidor de nvel de gua mostrado na Fig. 2.41 possui uma bia cilndrica de 100 mm de dimetro (massa desprezvel), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Determinar a constante de amortecimento

requerida para produzir amortecimento crtico.

Figura 2.41

Dados: d = 100 mm, m = 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm.

Equao do movimento

04

33

342

2

2

22

m

dg

Lm

lc

LmLg

dLllc

Freqncia natural

rad/s 5,215,04

1,081,910003

4

3 22

m

dgn

Amortecimento crtico

22

2

2

3

22

3

l

Lmc

Lm

lcn

cn

N.s/m 25807,03

5,2142,05,022

2

cc

2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfcie seca sob a ao de uma mola de rigidez 10 N/mm. Aps quatro ciclos completos a amplitude 100 mm. Qual o coeficiente de atrito mdio entre as duas

superfcies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos?

Dados: m = 10 kg, k = 10 N/mm, 4 ciclos completos, X4 = 100 mm, X0 = 150 mm.

Queda de amplitude: k

N2 a cada meio ciclo

4 ciclos

k

N22410100150 3

Como kg 1,9881,910 mgN

Ento 0,31998,116

100001050 3

O movimento cessar aps r meio ciclos

ciclos meio 24 5,23

10000

1,983186,0210000

1,983186,015,0

2

0

k

Nk

Nx

r

O tempo para que se execute 4 ciclos

s 795,010000

102424

24

4

k

mt

n

ciclos

Tempo de parada

s 38,22

199,024

2

Trt

f

2.86 Uma massa de 20 kg est suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa est sujeito a uma fora de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola inicialmente deslocada de 5,5 cm

para baixo de sua posio de equilbrio esttico determinar:

(a) o nmero de meio ciclos transcorridos at que atinja o repouso; (b) o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e (c) o alongamento final da mola.

Dados: m = 20 kg, k = 10000 N/m, Fa = 50 N e x0 = 5 cm.

(a) Nmero de meio-ciclos at o repouso

ciclos meio 5

10000

50210000

50055,0

2

0

k

Nk

Nx

r

(b) Tempo transcorrido at atingir o repouso

s 281,010000

2022

2

k

mT

n

s 702,02

281,05

2

Trt

f

(c) Posio em que ocorrer a parada

m 005,010000

5025055,0

20

k

Nrxtx

f

2.87 A massa m = 2 kg de um oscilador harmnico linear com k = 500 N/m desliza em uma superfcie horizontal

com coeficiente de atrito esttico s = 0,2 e cintico = 0,08. (a) Determinar o mximo valor do deslocamento inicial que no resultar em qualquer movimento devido

fora de atrito.

(b) Determinar o nmero de ciclos para a vibrao iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm at parar completamente.

Dados: m = 2 kg, k = 500 N/m, s = 0,2 e c = 0,08. (a) Deslocamento inicial mximo

mm 85,7500

81,922,0max0

k

Nx s

(b) Nmero de ciclos at a parada

ciclos 2 ciclos meio 448,3

500

81,9208,02500

81,9208,0025,0

2

0

k

Nk

Nx

r

2.88 Um painel construdo por uma fibra composta especial reforada se comporta como um sistema de um grau de liberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 N/m. A relao entre amplitudes sucessivas 1,1. Determinar o

valor da constante de amortecimento histertico , da constante de amortecimento viscoso equivalente ceq e a energia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm.

Dados: m = 1 kg, k = 2 N/m, relao entre amplitudes sucessivas = 1,1 e X = 10 mm.

Decremento logartmico

0953,01,1ln Fator de amortecimento viscoso equivalente

0152,0

0953,02

0953,0

2 2222

Freqncia natural

rad/s 41,11

2

m

kn

Freqncia do movimento amortecido

rad/s 41,141,10152,011 22 nd

Constante de amortecimento viscoso equivalente

s/mN 0429,041,110152,022 neq

mc

Coeficiente de amortecimento histertico

03033,02

414,104290,0

k

cdeq

Energia dissipada por ciclo

)(N.m J 101,1901,041,10429,0 622 XcWdeq

2.89 Uma viga engastada com rigidez flexo de 200 N/m suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre. A massa deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a mover-se livremente. Se a amplitude aps 100 ciclos

do movimento 20 mm estimar a constante de amortecimento histertico da viga.

Dados: k = 200 N/m, m = 2 kg, x0 = 30 mm e x100 = 20 mm.

Decremento logartmico

00405,002,0

03,0ln

100

1ln

1

1

1

mx

x

m

Fator de amortecimento viscoso equivalente

000645,0

00405,02

00405,0

2 2222

Freqncia natural

rad/s 0,102

200

m

kn

Freqncia do movimento amortecido

rad/s 0,1010000645,011 22 nd

Constante de amortecimento viscoso equivalente

s/mN 0258,0102000645,022 neq

mc

Coeficiente de amortecimento histertico

00129,0200

100258,0

k

cdeq

2.90 Um oscilador harmnico torsional possui momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J = 1,2 kg.m

2 e rigidez torsional kt = 8500 N.m/rad. Determinar a freqncia natural torsional em rad/seg, Hz, e

CPM (ciclos por minuto).

Dados: J = 1,2 kg.m2 e kt = 8500 N.m/rad.

rad/s 2,842,1

8500

J

kt

n

cpm 804Hz 4,132

2,84

2

n

nf

2.91 Um oscilador harmnico torsional possui momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J = 10 kg.m

2 e seu perodo natural de vibrao foi medido em um osciloscpio, sendo igual a 35 ms. Determinar

a sua rigidez torsional.

Dados: J = 10 kg.m2 e Tn = 35 ms.

rad/s 180035,0

22

n

nT

kN/m 32218010 22 nt

Jk

2.92 Um oscilador harmnico torsional com momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J = 1 kg.m

2 e rigidez torsional kt = 40000 N.m/rad possui uma freqncia natural muito prxima freqncia

excitadora. Decidiu-se que o momento de inrcia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a freqncia

natural em 30%. Determinar a mudana requerida em cada opo.

Dados: J = 1 kg.m2, kt = 40000 N.m/rad.

Freqncia natural

rad/s 2000,1

40000

J

kt

n

Reduo de 30%

rad/s 1401

n

Alterao no momento de inrcia

2

2

1

1kg.m 04,2

n

tk

J

Alterao na rigidez

rad

mN 196002

11

ntJk

2.93 O rotor P de uma bomba centrfuga (Fig. 2.42) est conectada a um motor que gira com velocidade angular

constante , atravs de um acoplamento flexvel com constante de rigidez torsional KT e um par de

engrenagens com raios r1 e r2 e momentos de inrcia de massa polares J1 e J2, respectivamente. O rotor da

bomba possui momento de inrcia de massa polar JP. Determinar a freqncia natural da oscilao torsional,

assumindo que os eixos de conexo so rgidos.

Figura 2.42

Energia cintica

2

2

2

22

2

112

1

2

1

2

1

PJJJT

Relao de transmisso

1

2

1

22211

r

rrr

Resultando em uma energia cintica

2122

2

2

1

12

1

PJJ

r

rJT


2

2

2

12

2

21

r

rJJrJJ P

eq

Freqncia natural

212

2

21

2

2

rJJrJ

rk

J

k

P

T

eq

T

n

2.94 Determinar a freqncia natural de oscilao do pndulo duplo composto mostrado na Fig. 2.43 para pequenas oscilaes em torno da posio de equilbrio.

Figura 2.43

Equaes do movimento

22

2

222222

11

2

111111

sin

sin

JLmFrgLm

JLmFrgLm

Relao de transmisso

221122112211 rrrrrr

Da segunda das equaes do movimento, linearizando

2

2222

2

222

r

gLmLmJF

Substituindo F e as relaes da transmisso na primeira das equaes do movimento chega-se a

0122

2

2

1

111

2

222

2

2

12

111

gLm

r

rgLmLmJ

r

rLmJ

Cuja freqncia natural

2222

2

2

12

111

22

2

2

1

11

LmJr

rLmJ

gLmr

rgLm

n

2.95 Um oscilador harmnico torsional com momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J = 1 kg.m

2 e rigidez torsional kt = 10000 N.m/rad possui uma freqncia de oscilao torsional igual a 96

rad/seg, ao invs dos 100 rad/seg esperados. Suspeitou-se que alguma forma de amortecimento foi introduzida

no sistema diminuindo a freqncia de oscilao. Determinar o fator de amortecimento.

Dados: J = 1 kg.m2, kt = 10000 N.m/rad, n = 100 rad/s, d = 96 rad/s,

Freqncias natural e do movimento amortecido

n

21 d

De onde o fator de amortecimento pode ser obtido

280,0100

9611

22

n

d

2.96 O rotor de um indicador de sintonia de radio (dial) est conectado a uma mola e a um amortecedor torcionais formando um sistema de um grau de liberdade. A escala graduada em divises iguais e a posio de equilbrio

do rotor corresponde ao zero da escala. Quando um torque de 2x10-3

N.m aplicado estaticamente, o

deslocamento angular do rotor 50o com o ponteiro mostrando 80 divises da escala. Quando o rotor liberado

de sua posio, o ponteiro balana primeiro para -20 divises em um segundo e depois para 5 divises no outro

segundo. Achar:

(a) A constante de mola torsional; (b) O perodo natural no amortecido do rotor; (c) O momento de inrcia de massa do rotor, (d) A constante de amortecimento torsional.

Dados: Mt = 210-3

N.m, 0 = 50o 80 divises da escala, 0,5 -20 divises e 1 5 divises

(a) Constante de mola torsional

m/radN 1029,2

18050

102 33

t

t

Mk

(b) Perodo natural no amortecido O perodo amortecido 2 s. Para determinar o perodo no amortecido necessrio calcular o fator de

amortecimento, que exige o conhecimento do decremento logartmico.

77,25

80lnln

1

0

K

K

O fator de amortecimento

404,0

2 22

A relao entre os perodos

s 83,12404,011 22 dn

TT

(c) Momento de inrcia do rotor necessrio conhecer a freqncia natural que

rad/s 43,383,1

22

n

nT

De forma que o momento de inrcia

26

2mkg 10194

n

t

O

kJ

(d) Constante de amortecimento torsional

s/radmN 105392 6 nOt

Jc

2.97 Um pndulo torsional tem uma freqncia natural de 200 cpm quando vibrando no vcuo. O momento de inrcia de massa do disco 0,2 kg.m

2. Quando est imerso em leo sua freqncia natural 180 cpm.

Determinar a constante de amortecimento. Se o disco, quando imerso no leo, sofre um deslocamento inicial de

2o, achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo.

Dados: fn = 200 com, J = 0,2 kg.m2, fd = 180 com e 0 = 2

o.

Fator de amortecimento

436,0200

18011

22

n

d

f

f

Constante de amortecimento torsional

s/radmN 3,6560

22002,0436,022

nOtJc

Amplitude angular

rad 0388,0180

2

60

2180

1802

60

2200436,00 2

2

2

0

2

00

d

n

ngulo de fase

rad 451,0180

200436,0tan

60

2180

1802

1802

60

2200436,00

tantan

1

1

0

001

d

n

Perodo da oscilao amortecida

s 333,0

60

2180

22

d

dT

Posio angular aps o primeiro ciclo (transcorrido um perodo de oscilao)

rad 1066,1cos 3 dd

T

dTeT dn

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Exercicos Resolvidos - Mecanica Aplica