Cap4 - Mecanica Das Estruturas - Problemas Resolvidos

8/13/2019 Cap4 - Mecanica Das Estruturas - Problemas Resolvidos

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4. 2

4.2 VIGAS

4.2.1 Introduo. Deslocamentos nodais

A anlise de vigas contnuas apresenta a particularidade destas estruturas seremconstitudas de elementos alinhados, os quais possuem sistemas locais dereferncias paralelos entre si, definindo assim as direes do sistema global.

No caso mais geral de vigas contnuas pode ocorrer os seguintes esforossolicitantes: momento fletor, momento torsor, fora cortante e fora normal.Entretanto, na maior parte das aplicaes prticas no ocorrerem solicitaespor toro e os esforos normais e respectivas deformaes podem serdesprezadas sem prejuzo para a anlise. Nesses casos, os deslocamentos nodais

de interesse so a flecha v e a rotao .

Assim, na anlise de vigas contnuas utilizando-se os modelos definidos na Figura(4.2), cada vo pode ser discretizado ou subdividido em vrios elementos,estando cada n sujeito aos deslocamentos assinalados, conforme ocomportamento considerado para a viga.

jkd1=uj

d2=vj

d6= k

d4=uk

d5=vk

Y,v

Z,

X,u

(a)

d3= j

(b)

jk

d1=vj

d4= k

d3=vk

Y,v

Z,

X

d2= j

i

i

Z,

X

Y

1 2m m+11 2 m-1

m

(c)

33

j

d2= k

Y

Z,

X

d1= j i

Fig. 4.2 - a) Elemento genrico de prtico plano: sistema de referncia e deslocamentos

nodais; b) Elemento usual de viga, sistema de referncia e deslocamentos nodais; c)Viga contnua com elementos simplificados, com ns sujeitos apenas rotaes.


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4/51

4. 4

4.2.2 - Matriz de Rigidez

Os coeficientes da matriz de rigidez de um elemento so definidos pelosesforos (reaes dos ns sobre as barras) que surgem nas extremidades do

elemento restringido (com seus deslocamentos nodais impedidos), nas direesdos deslocamentos nodais, considerando-se a aplicao isolada de cadadeslocamento nodal com valor unitrio, como representado na Figura 4.4. Amatriz de rigidez resultante para o elemento usual de viga, cujos coeficientespodem ser obtidos facilmente pelo mtodo das foras, definida por:

[ ]

L4EI

L6EI-L

12EISIM.L

2EI

L

6EI-

L

4EI

L6EIL

12EI-L6EIL

12EI

=S

Z

2Z

3Z

Z2

ZZ

2Z

3Z

2Z

3Z

(4.1)

sendo:E, mdulo de elasticidade;Iz, momento de inrcia da seo transversal;L, comprimento do elemento.

X

(a)

12

d1=v1

d4= 2

d3=v2

Y,v

Z,d2= 1

i

S13

S23

d3=v2=1

S43

S33

d2= 1=1S22

S12

S42

S32

d4= 2=1

S24

S14

S44

S34

d1=v1=1

S41

S11

S21

S31

(b)

Fig. 4.4 - a) Deslocamentos nodais para o elemento usual de viga; b) RepresentaoEsquemtica dos coeficientes de rigidez.


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4. 5

4.2.3 - Foras Nodais Equivalentes

As foras nodais equivalentes s aes aplicadas nos elementos so definidaspelas reaes, com sinais trocados, na estrutura restringida, resultando:

a) Carga indireta: Gradiente de temperatura

X

Y,v

1 2

M1 M2

h

T2

T1

Z, Fig. 4.5 - Foras nodais equivalentes (reaes) para variao linear de temperatura ao

longo da seo transversal

Para o gradiente de temperatura definido por (T2 T1), como representado naFigura (4.5), tem-se:

h)TT.(.E.IMM 12Z21

== (4.2)

sendo:

T1,T

2, respectivamente, temperatura na face inferior e face superior;

, coeficiente de dilatao trmica;

h, altura da seo transversal.

b) Cargas Diretas: devem ser consideradas positivas, quando seguem o sentidopositivo do eixo correspondente.

b.1) carga uniformemente distribuda

Para a fora uniforme ao lomgo de todo o comprimento, como representado naFigura (4.6a), as foras nodais equivalentes so definidas por:

2q.L=V=V,12

q.L=-M=M 212

21 (4.3)

Para a fora uniforme ao longo do trecho de comprimento c, como representadona Figura (4.6b), as foras nodais equivalentes so definidas por:

( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]L

)M+(M-q.c.a=V,L)M+(M+q.c.b=V

12L3a-Lc+12a.bq.c

=M,12L3b-Lc+12a.bq.c

=M21

221

1

2

22

22

22

1 (4.4)


6/51

4. 6

X

Y,v

1 2

M1 M2

Z, V1 V2L

q

(a)

X

Y,v

1 2

M1 M2

Z,V1 V2

L

q

c/2 c/2

a b

(b)

Fig. 4.6 - Foras nodais equivalentes de fora uniformemente distribuda: a) ao longode todo o elemento; b) em um trecho de comprimento c.

b.2) carga triangular crescente

X

Y,v

1 2

M1 M2

Z,V1 V2

L

q

Fig. 4.7 - Foras nodais equivalentes de fora distribuda triangular.

As foras nodais equivalentes para uma fora triangular, como como

representado na Figura (4.7), so definidas por:

207q.L=V;20

3q.L=V

20q.L-=M;30

q.L=M

21

2

2

2

1 (4.5)


7/51

4. 7

b.3) carga concentrada

X

Y,v

1 2

M1 M2

Z,V1 V2L

a b

P

Fig. 4.8 - Foras nodais equivalentes de carga concentrada

As foras nodais equivalentes para uma fora concentrada, como representadona Figura (4.8), so definidas por:

( ) ( )3

2

23

2

1

22

222

1

Lab3P.a=V;L

ba3P.b=V

Lb.P.a-=M;L

P.a.b=M

++ (4.6)

b.5) momento aplicado

X

Y,v

1 2

M1 M2

Z,V1 V2L

a b

M

Fig. 4.9 - Foras nodais equivalentes de momento aplicado.

As foras nodais equivalentes para uma fora momento concentrada, comorepresentado na Figura (4.9), so definidas por:

( ) ( )

3231

2221

L6M.a.b-=V;L

6M.a.b=VL

a-2bM.a=M;Lb-2aM.b=M

(4.7)


8/51

4. 8

4.2.4 Vigas de Um Elemento

Para uma primeira abordagem da aplicao do Mtodo da Rigidez para anlise deestrutura de barras, seja resolver a viga de um nico vo representada na Figura

(4.10), com mdulo de elasticidade E e momento de inrcia da seo transversalem relao ao eixo Z, constante e igual a Iz; com o emprego de um nicoelemento usual de viga.

d2= 1 d4= 2

d1=v1 d3=v2(b)

(a)

X

Y,v

Z,L

q

1 2

(c) (d)

q

F F10 0

3

0F2 F

04d 1= 2L

Fig. 4.10 - a) Viga de um nico vo com engaste e apoio simples; b) Graus de liberdade;

c) Grau de liberdade efetivo ou deslocamentos nodais livres; d) Foras nodaisequivalentes

Para o sistema de referncia adotado, as foras nodais equivalentes sodefinidas, para q com valor algbrico positivo, por:

2q.L-=F=F

12q.L-=F-=F

03

01

20

40

2 (4.8)

Neste caso, a matriz de rigidez da estrutura, sem a introduo das condies de

apoio, se confunde com a matriz do elemento, resultando inicialmente no seguintesistema:

12

L.q2

L.q-12

L.q-2

L.q-

=

dddd

L

4EIL

6EI-L12EI

L2EI

L6EI-L

4EIL

6EIL

12EI-L6EI

L12EI

2

2

4

3

2

1

Z

2Z

3Z

Z2

ZZ

2Z

3Z

2Z

3Z

(4.9)


9/51

4. 9

Uma vez que os deslocamentos prescritos so nulos, d1 = d2 = d3 0, o sistemase reduz a:

{ }

12

q.L=dL

.IE4 24

Z , (4.10)

Resultando em:

Z

3

2D14 48E.Iq.L==d=d (4.11)

Os esforos finais nas extremidades da viga se confundem com as reaes deapoio, valendo:

08

L.q38

L.q8

L.q5

=

12L.q

2L.q-

12L.q-

2L.q-

-.IE48q.L

L.IE4

L.IE6-

L.IE2

L.IE6

=

FFFF

2

2

2

Z

3

Z

2Z

Z

2Z

e

4

3

2

1

(4.12)

Os esforos finais nas extremidades da viga e os diagramas de esforossolicitantes so representados na Figura 4.11.

(a)

Y,v

Z,

X

L

q

1 2qL /8

2

5qL/8 3q.L/8

3qL/8-

5qL/8+

(c)

DQ

3L/8

+

q.L /14.222

-

(b)

q.L /82DM

q.L /82

+

Fig. 4.11 - a) Foras atuantes na viga; b) Diagrama de momento fletor; c) Diagrama defora cortante.


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4.10

4.2.5 - Vigas com Mais de Um Elemento

i) Introduo

No caso usual de estruturas com mais de um elemento, o sistema de equaes obtido pela soma das contribuies de cada elemento componente. Assim, monta-se para cada barra a matriz de rigidez e o vetor de foras nodais equivalentes sforas atuantes.

Esses valores so obtidos considerando-se os deslocamentos nodais impedidos(estrutura restringida) e utilizando-se, para cada barra, o sistema local dereferncia e de numerao dos graus de liberdade. Esta numerao local efetuada ordenando-se sequencialmente todos os graus de liberdade do n inicial

e a seguir do n final, os quais so definidos pela orientao ou conetividade dosns atribuda a barra.

A seguir, os valores calculados no sistema local so transformados para o sistemaglobal, que no caso de vigas, paralelo ao sistema local de cada barra edistribudos acumulativamente no sistema final de equaes, tendo por base anumerao global dos graus de liberdade da estrutura.

Esta distribuio pode, como j foi dito, ter por base a numerao global dos nsda estrutura ou, de forma mais eficiente, ser realizada por meio de uma matrizauxiliar de endereamento que relaciona os deslocamentos nodais de cadaelemento, com a correspondente numerao dos deslocamentos nodais livres ouefetivos da estrutura, que define sua posio no sistema final de equaes.

ii) Exemplos de Aplicao

ii.1) Exemplo 1: Para iniciar o estudo dos procedimentos envolvidos nos casos de

estruturas reticuladas com mais de um elemento, seja resolver a viga contnua dedois vos representada na Figura 4.12, considerando o emprego de um elementousual de viga para cada vo, com P = q.L/2.

Y,v

Z,

X

L

q

12L/2 L/2

P

3

Fig. 4.12 - Viga de dois vos e rigidez EI constante.


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4.11

Na Figura (4.13) esto representados as deslocamentos nodais globais e efetivos,as deslocamentos locais de cada elemento e as foras nodais equivalentes dasforas aplicadas. As foras nodais equivalentes s foras atuantes nas barras,considerando-se P = q.L e q com seu valor absoluto, so definidas por:

-barra 1:

8q.L-=8

P.L=F-=F

2q.L-=2

P=F=F2

1,04

1,02

1,03

1,01

(4.13)

-barra 2:

12q.L-=F-=F

2

q.L

-=F=F 22,0

42,0

2

2,0

3

2,0

1 (4.14)

d2= 1 d4= 2

d1=v1 d3=v2

1

1

1

11

d2= 1 d4= 2

d1=v1 d3=v2

2

2

2

22

2

1

P

21

F 10,1

F 20,1

F 30,1F 4

0,1

1 2

F 10,2

F 20,2

F 30,2F 4

0,2

(a)d2= 1 d6= 3

d1=v1 d5=v3

d4= 2

d3=v2

1 2 321

D1=d4= 2 D2=d6= 3

(b)

(c)

(d)

Fig. 4.13 - a) Numerao dos elementos, ns e deslocamentos nodais globais; b)Deformada imaginria e deslocamentos nodais; c) Deslocamentos nodais locais para cada

barra; d) Foras nodais equivalentes.A matriz de rigidez de cada elemento igual ao do elemento da viga anterior. A


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4.12

matriz de rigidez da estrutura, sem a introduo das condies de apoio,resultante da soma das contribuies de cada elemento, definida por:

d1 d2 d3 d4 d5 d6

12EIZ/L3 6EIZ/L2 -12EIZ/L36EIZ/L2 0 0 d1

4EIZ/L -6EIZ/L2 2EIZ/L 0 0 d224EIZ/L

30 -

12EIZ/L3

6EIZ/L2 d3

barra 1 8EIZ/L -6EIZ/L2

2EIZ/L d5

12EIZ/L3

-

6EIZ/L2

d5

SIM. barra 2 4EIZ/L d6(4.15)

Com o reordenando da matriz, com incio a partir dos deslocamentos impedidos,resulta:

12EIZ/L3

6EIZ/L2 -12EIZ/L

3

0 6EIZ/L2 0 d1

4EIZ/L -6EIZ/L2

0 2EIZ/L 0 d2

24EIZ/L3

-12EIZ/L

3

0 6EIZ/L2 d3

12EIZ/L3

-6EIZ/L2

-6EIZ/L2

d5

8EIZ/L 2EIZ/L d4SIM. 4EIZ/L d6

(4.16)

Como os deslocamentos impostos so nulos, eliminando as linhas e colunasrelativas aos deslocamentos impedidos, resulta:

12q.L+

12q.L-+8

q.L=

dd

4228

L.IE

2

22

6

4Z , (4.17)

Resolvendo o sistema, obtm-se:


13/51

4.13

Z

3

324D26

222

14D14

48E.Iq.L==d=d=d

0.0==d=d=d=d

(4.18)

Os esforos finais nas barras e as parcelas das reaes de apoio so obtidas pelaexpresso:

{ } [ ]{ } { } i,0iiie, FdS=F (4.19)

Considerando q com seu valor absoluto, resultam :

-Barra 1:

{ }

8L.q-2

L.q8

L.q2

L.q

=

8L.q+2

L.q-8

L.q-2

L.q-

-0,0

L.IE4

L.IE6-

L.IE2

L.IE6

=

FFFF

2

2

2

2

Z

2Z

Z

2Z

e,1

4

3

2

1

(4.20)

-Barra 2:

,002

L.q38

L.q8

L.q5

=

12L.q+2

L.q-12

L.q-2

L.q-

-.IE48

.Lq

0,0

L

.IE4

L

.IE2L

.IE6L

.IE6-

L.IE2L

.IE4L

.IE6L.IE6

=

FFFF

2

2

2

Z

3

ZZ

2Z

2Z

ZZ

2Z

2Z

e,2

4

3

2

1

(4.21)

Os resultados da anlise esto representados na Figura (4.14):


14/51

4.14

1

2

(b)

D1=d4=0,0

(a)

qL/2 qL/2

-qL /8

5qL/8 3qL/8

-qL /8

2qL /82

qL /82

qL /82

PL/4

(c)

qL /8

2

(d)

DM

DQ

+

-

+

+

-

-

+

-

qL/2

qL/2

5qL/8

3qL/8

P=qL

q

(2) D2=d6=qL /48EI3

(3)

Fig. 4.14 - a) Deformada final; b) Esforos atuantes nas extremidades barras; c)Diagrama de momento fletor; d) Diagrama de esforo cortante.

ii.2) Exemplo 2: Resolver a viga a seguir representada.

Fig. 4.15 - Viga de um nico vo e trs trechos de diferentes rigidez.

1,8 tf/m

2,4 tf 3,0 tf 3,0 tf

1,8 tf/m2,4 tf.m

2EIEI

2EI

1,25 1,25 1,251,0 1,02,0

2,5 m 4,0 m 2,5 m

9,0 m

1,2 tf/m

1,25


15/51

4.15

A - Numerao das barras, dos ns e das deslocabilidades nodais:

(a)d2= 1 d6= 3

d1=v1 d5=v3

d4= 2

d3=v2

1 2 321

d8= 4

d7=v4

43

D3=d5=v3D1=d3=v2

1 2 321

D5=d8= 4

43

D2=d4= 2 D4=d6= 3(b)

Fig. 4.16 - a) Numerao das barras, ns e deslocamentos nodais; b) Apoios edeslocamentos efetivas.

B - Matriz auxiliar de endereamento das deslocamentos nodais das barras:

504343212100

=MEnd (4.22)

C - Matriz de rigidez dos elementos:

C.1 - Elemento 1 = Elemento 3: 2EI=I.E Z e m2,5=L

[ ] [ ]

3.200SIM.1.920-1.536

1.6001.920-3.2001.9201.536-1.9201.536

EI=S=S 31 (4.23)

C.2 - Elemento 2: EI=I.E Z e m4,0=L

[ ]

1.000SIM.0.375-0.1870.5000.375-1.0000.3700.187-0.3750.187

=S 2 (4.24)


16/51

4.16

D - Matriz de rigidez da viga relativa aos deslocamentos livres:

[ ]

3.200SIM.1.6004.200

1.9201.545-1.723

0.0000.5000.375-4.2000.0000.3750.187-1.545-1.723

=SDD (4.25)

E - Clculo do vetor de foras nodais equivalentes

E.1 - Barra 1:

tf.m1.6875-=F-=F tf3,45-=F=F 1,041,0

2

1,0

3

1,0

1 (4.26)

E.2 - Barra 2:

3.85-=F-=F

tf5.4-=F=F2,0

42,0

2

2,03

2,01 (4.27)

E.3 - Barra 3:

tf.m0.3375=Ftf.m;1.5375=F

tf5.4-=Ftf;3.69-=F3,0

43,0

2

3,03

3,01 (4.28)

E.4 - Resultante das Foras Nodais Equivalentes:

{ }

0.33752.3125

9.090-2.175-8.85-

=F 0D (4.29)

F - Clculo dos Deslocamentos

Como no existem foras aplicadas diretamente nas direes dos deslocamentosnodais:

{ } { },0=F n (4.30)


17/51


18/51

4.18

H - Esforos solicitantes

(a)

1

2

3

33,0 tf.m -1.88 tf.m2,4 tf.m

1.8 tf/m

15.9 tf -9.0 tf

-12.52 tf.m

2.4 tf.m

-1.8 tf 6.3 tf

1.88 tf.m

9.0 tf 1.8 tf

12.52 tf.m

3.0 tf 3.0 tf

1.2 tf/m

1.8 tf/m

- 6.3 tf0.6 tf

2.4 tf

1.8 tf

-

+

15.9 tf

11.23 tf 4.8 tf9.0 tf

3.0 tf

2.4 tfDQ(c)

(b)

2.9 tf.m

1.88 tf.m

DM

-

33,0 tf.m

-13.72 tf.m 12.52 tf.m

2.4 tf.m

8.87 tf.m

+

Fig. 4.17 - a) Esforos nas barras; b) Diagrama de momento fletor;c) Diagrama de esforo cortante.


19/51

4.19

iii) Ordenao do sistema de equaes

O sistema de equaes de equilbrio gerado pelo Mtodo da Rigidezinterrelaciona os deslocamentos ou graus de liberdades nodais efetivos da

estrutura. Os coeficientes da matriz do sistema so obtidos pela soma acumuladados correspondentes coeficientes de rigidez de cada barra componente, deforma tal que os deslocamentos de diferentes ns s podero estar relacionados,isto , o coeficiente que relaciona dois deslocamentos de diferentes ns spoder ser no nulo, se houver uma barra que una ou conecte estes dois ns.

Como o trabalho computacional para a soluo do sistema de equaes e amemria necessria para armazenamento da matriz, so menores medida que oscoeficientes no nulos estejam mais prximos da diagonal principal. Assim, para

se obter um melhor condicionamento da matriz e maior eficincia na soluo dosistema, desejvel que dois deslocamentos nodais que estejam relacionadasdiretamente entre si tenham uma numerao final a mais prxima possvel.

Assim, considerando que os deslocamentos de um mesmo n estejam semprerelacionadas entre si e que a numerao destes deslocamentos seja associada anumerao global inicial do n, um melhor condicionamento da matriz do sistemaser obtido medida que se tenha uma numerao dos ns ordenada de modoa reduzir a diferena dos nmeros dos ns interligados por uma barra.

No caso de vigas contnuas ou outras estruturas reticuladas nas quais o nmerode ns e barras existentes em uma direo seja predominante em relao asdemais, a soluo para uma numerao eficiente dos ns simples, devendoacompanhar a direo predominante, isto , ser efetuada seqencialmente nadireo transversal e se propagar na direo longitudinal, conforme os exemplosde modelos estruturais alongados representadas na Figura (4.18).


20/51

4.20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

1 2 3 4

5 8

9

13

17

21

25

29

33

3741

45

49

53

5758 59 60

56

52

48

4440

36

32

28

24

20

16

121

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1415

Fig. 4.18 - Numeraes nodais adequadas em modelos estruturais alongados, comdiscretizao nmero de elementos e ns predominante em uma direo.

No caso de estruturas complexas, nem sempre fcil estabelecer umaestratgia adequada de numerao da malha, sendo muitas vezes compensador autilizao de programas de reordenao da numerao de malhas, com vistas a

minimizar o custo computacional total da anlise, particularmente importantequando se utilizam mtodos iterativos.

Para exemplificar a forma da distribuio dos coeficientes no nulos na matrizdo sistema de final de equaes, seja uma viga contnua constituda de seteelementos usuais de viga, cuja representao na figura abaixo considera aestrutura j restringida e a totalidade dos graus de liberdades. Na Figura (4.19)esto esquematizadas a forma de ocupao da matriz de rigidez total daestrutura em funo da numerao atribuda aos ns e a seus deslocamentos

nodais.


21/51

4.21

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

Y,v

Z, q

(a)

1 2 3 4 5 6 7

1 3 5 7 9 11 13

2 4 6 8 10 12 14

(b)

1 4 5 2 7 6 3

1 7 9 3 13 11 5

2 8 10 4 14 12 6

(c)

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

(d)

Fig.4.19 - a) Deslocamentos nodais em uma viga de seis elementos, sete ns; b)Numerao ordenada dos ns; c) numerao aleatria dos ns; d) numerao aleatria

dos deslocamentos nodais


22/51

4.22

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.20 - Configuraes da matriz de rigidez total da viga contnua da Figura 4.19, paracada uma das numeraes utilizadas


23/51

4.23

4.3 TRELIA PLANA

4.3.1 Introduo

Trelias planas so estruturas constitudas de barras situadas num mesmo plano,no qual atuam as cargas, sendo os ns das trelias consideradas articulaes comliberdade rotao. Assim, o movimento de cada n, que produz esforos nasbarras, fica completamente definido pelos dois deslocamentos de translao.

Quando as cargas atuantes so aplicadas diretamente sobre os ns da trelia, asbarras ficam submetidas unicamente a esforos simples de trao oucompresso . Nos casos de existirem cargas atuando ao longo das barras, surgemtambm esforos adicionais de flexo e cisalhamento.

Na Figura 4.21 so representados os deslocamentos nodais de um elemento detrelia plana, no sistema local e no sistema global.

k

j

i

Y,v

X,u

j

d 2j = vj

1=dj uj

k k =d 1 uk

=kd 2 vk

X

Xi

d v4i

=i

2d u

i

3 = 2i

2

iYi

d1 uii

= 1

2d

i= v1

i

1

i

i

Fig. 4.21 - a) Elemento genrico de trelia plana de ordem i; b) Sistema local e

respectivas deslocabilidades nodais, com orientao do elemento definida pelos ns jk; c) Deslocabilidades nodais no sistema global, com respectiva numerao.

A numerao local das deslocabilidades nodais, efetuada a partir da incidncianodal do elemento e que define as direes do sistema local, valem:ii

v4u3v2u1

d4d3d2d1

=

(4.36)

A numerao global inicial desses deslocamentos, quando efetuada com base na

numerao global dos ns, resulta:


24/51

4.24

ii

dk2dk1dj2dj1

vkukvjuj

=

(4.37)

4.3.2 Matriz de Rigidez

A matriz de rigidez de um elemento de trelia plana com relao ao sistema localde referncia dada por:

[ ]

432

1

00000101 0000

0101

L.AES

d

i

iii

i

= (4.38)

sendo Ei, Ai e Lirespectivamente , o mdulo de elasticidade do material, a reada seo transversal e o comprimento da barra i.

Para uma barra inclinada de um ngulo i em relao ao sistema global, a matrizde rigidez da barra no sistema global definida a partir da relo:

[ ] [ ] [ ] [ ]RTiSRTiS i1iG= , (4.39)

onde:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

=

i

ii

R00R

RTi (4.40)

e:

[ ]

=

ii

iii cossen- sencosR (4.41)

Substituindo (4.38), (4.40) e (4.41) em (4.39) resulta:

[ ]

[ ]

k2k1j2j1

senSIM. .cossencos

sen-.cossen-sen.cossen-cos-.cossencos

L

.AES

d

i2 iii

2i

2iii

2iii

2iii

2

i

iiiG

= (4.42)


25/51

4.25

ii

k

j

y

x

k

X

Yl

X

Y

kj

j

X

Yl

i

i

X

Fig. 4.22 - Cosenos diretores para incidncia ou orientao definidas pelos ns j a k.

O comprimento da barra e os cosenos diretores dos eixos do sistema local emrelao aos eixos do sistema global, para uma barra genrica representado da

Figura (4.22), valem:

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )( )iL

YY=)sen(=

iLXX

=)-cos(90X2cos

iLXX

=)cos(X1cos

YYXXL

jki

jki

i

jki

i

1/22jk

2jki

=

=

+=

, (4.43)

4.3.3 - Foras Nodais Equivalentes

Em trelias com foras atuando ao longo das barras ou sob aes indiretas(deslocamentos e deformaes impostas), necessrio calcular ascorrespondentes foras nodais equivalentes, que representam as contribuiesdos esforos tranmitidos pelas barras para o termo independente do sistema deequaes. So definidas pelas reaes de apoio - com sinal contrrio, para asaes atuando em cada barra isoladamente, considerando-se seus deslocamentos

nodais impedidos.

Quando as cargas atuantes nas barras so concentradas ou distribudas, asreaes de extremidades so paralelas linha de ao da carga e,consequentemente, quando as cargas so definidas no sistema local, as forasnodais equivalentes s reaes de extremidades so facilmente obtidas nosistema local. De modo anlogo, quando estas cargas atuantes nas barrasestiverem definidas no sistema global, os valores das foras nodais equivalentespodem ser obtidas, mais facilmente, diretamente no sistema global.


26/51

4.26

No caso de momento aplicado, as foras nodais equivalentes inicialmente obtidasso perpendiculares barra, isto , so obtidas inicialmente no sistema local dabarra. Para obter as foras nodais equivalentes no sistema global a partir doscorrespondentes valores no sistema local, necessrio utilizar uma

transformao de coordenadas na forma:

{ } [ ] { }i0LTi0

G FRTiF = , (4.44)ou:

{ } [ ] { } i0,LTi0,

G FRTi=F (4.45)

Em forma expandida resulta:

[ ]

i0,

L2

1

21

T

i0,

Gk2

k1

j2j1

FFFF

RTi

FFFF

=

(4.46)

Para obter-se os valores no sistema local a partir dos valores no sistema global,procede-se de forma anloga:

{ } { } [ ]{ } i0,G0.i

L

i0,FRTi=F=F , (4.47)

ou:

[ ]

i0,

Gk2

k1

j2

j1

i0,

L2

1

2

1

F

F

F

F

RTi=

F

F

F

F

(4.48)

a) Fora Uniformemente Distribuda

1

2

i

iL

X li

Yli

o,i2

F

F4o,i

q= q =qY 2

q =x

q

q =y

q1

q2

1

2

i

iL

0,i2,G

F

F4,G0,i

q1,G

2,GqY=X

1X=X

2

i,1L

(a)(b)

Fig. 4.23 - Foras nodais equivalentes para foras distribudas, com sinal da foradefinido pela orientaco dos eixos: a) Sistema local; b) Sistema global


27/51

4.27

a.1) Fora definida no sistema local da barra, ver Figura 4.23a:

1,2=jpara,2

LqF=F iji0,

2j

i0,

j =

+

(4.49)

a.2) Fora definida no sistema global, ver Figura 4.23b

1,2=jpara,2.Lqj

FF j-i,3Gi0, G2,ji0,

Gj, == + , (4.50)

sendo:

)Xiijiji, .cosL=XL=L (4.51)

b) Carga Concentrada

i

iL

X li

Yli

0,i2

F

F40,i

a

b

P

Fig. 4.24 - Foras nodais equivalentes para fora concentrada definida no sistemalocal

As foras nodais equivalentes, para j = 1,2 valem:

LbP

Fi

ji0,Lj, = ; (4.52)

e:

i

ji0,L2,j L

aPF =+


28/51

4.28

4.3.4 - Exemplo de Aplicao

Resolver a trelia de banzos paralelos representada na Figura 4.25a, dados: E =2.105; A = 187.5; L = 1.00; H = 0.75; P = 1000.0.

PP / 2 PP / 2

LLL

H

2

3

4

56

78

910

11

12

1314

1516

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

2

3

4

56

78

910

11

12

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.25 a) Trelia de banzos paralelos; b) Numerao das barras, ns e

deslocamentos nodais; c) Deslocamentos nodais ou graus de liberdade efetivos

a) Dados

a.1) Dados gerais

Nmero de ns (NN) = 8; Nmero de elementos (NE) = 13.

a.2) Coordenadas nodais

N X1 (m) X2 (m) N X1 (m) X2 (m) N X1 (m) X2 (m)1 0.0 0.0 2 0.0 0.75 3 1.0 0.0

4 1.0 0.75 5 2.0 0.0 6 3.0 0.757 3.0 0.0 8 3.0 0.75


29/51

4.29

a.3) Dados dos elementos

BARRA NI NF REA COMP. COS SEN 1 1 2 187.5 0.75 0.0 1.0

2 1 3 187.5 1.0 1.0 0.03 1 4 187.5 1.25 0.8 0.64 1 4 187.5 1.0 1.0 0.05 3 4 187.5 0.75 0.0 1.06 3 5 187.5 1.0 1.0 0.07 3 6 187.5 1.25 0.8 0.68 4 6 187.5 1.0 1.0 0.09 5 6 187.5 0.75 0.0 1.010 5 7 187.5 1.0 1.0 0.0

11 5 8 187.5 1.25 0.8 0.612 6 7 187.5 1.25 0.8 -0.613 6 8 187.5 1.0 1.0 1.0

a.4) Deslocamentos prescritos

N IDPX1 VDPX1 IDPX2 VDPX27 1 0.0 1 0.08 1 0.0 1 0.0

sendo IDP, o ndice de prescrio de deslocamento, valendo: 1 (paradeslocamento prescrito) e 0 (deslocamento livre); VDP, valor do deslocamento.

a5) Foras nodais prescritas (Sistema Global)

N VFPX1 FPX22 0.0 -500.04 0.0 -1000.06 0.0 -1000.0

8 0.0 -500.0

b) Matriz de endereamento dos deslocamentos Nodais: MEnd(i,j), que define aposio no sistema final de equaes do deslocamento nodal j do elemento i.


30/51

4.30

[ ]

13

12111098765

4321

001211

00121100109001091211109121187121165109658765

8743872165214321

MEnd

= (4.53)

c) Matriz de Rigidez dos Elementos

c.1) Elementos 1, 5 e 9: cos = 0.0; sen = 1.0; L = 0.75

[ ] [ ] [ ]

[ ]

1211109

8765

4321

1SIM.00101

0000

5.10S

ddd

7

5L

5L

1L

= (4.54)

c.2) Elementos 2, 4, 6, 8, 10 e 13: cos = 1.0; sen = 0.0; L2 = 1.0

[ ][ ][ ][ ][ ][ ]

[ ]

001211

00109

121187

10965

8743

6521

0SIM.0100001-01

5.10S

dddddd

7

13L

10L

8L

6L

4L

2L

= (4.55)

c.3) Elementos 3, 7 e 11: cos = 0.8; sen = 0.6; L2 = 1.25

[ ]

0

0109

12

1165

8

721

1.08SIM.

1.441.921.081.441.081.441.921.441.92

10S

ddd

7

9L

5L

1L

= (4.56)


31/51

4.31

c.4) Elemento 12: cos = 0.8; sen = -0.6; L2 = 1.25

[ ]

[ ]

0012

11

1.08SIM.1.44-1.921.081.441.08

1.441.921.441.92

10S

d

7

11L

= (4.57)

c) Foras Nodais Aplicadas

[ ]

{ }

12111098765432

1

1000,00,00,00,0

1000,00,00,00,0500,00,00,0

0,0

F

d

nL

L

= (4.58)

e) Sistema de equaes

[ ]{ } { }LLLL FdS = , (4.59)

onde:

{ } { } { }oLnLL FFF += , (4.60)

Como:{ } { }0FoL = , (4.61)

resulta:{ } { }nLL FF = , (4.62)

e: [ ]{ } { }n

DDDD FdS = , (4.63)


32/51

4.32

Montando e resolvendo o sistema acima obtm-se:

{ }

1211109876543

21

2.8141.1852.581

1.12598.5331.3628.23

1.83713.6001.362

13.5002.014

10d 4L

= (4.64)

f) Esforos nas Extremidades das Barras

Os esforos nas extremidades das barras so dados no sistema local por:

{ } { } { }ioidie FFF = (4.65)

Como: { } { }0F io = , (4.66)

e: { } [ ]{ }iGiGid

G dSF = (4.67)

resulta:{ } [ ]{ }idG

idL FRTiF = (4.68)

f.1) Elementos 1, 5 e 9

-Elemento 1

=

=

500.0-0.0

500.00.0

13.600000-3629629.1

50000.130148148.2

10

1SIM.00101

0000

10.5

4F3F2F1F

4-7

1

G

(4.69)

=

=

0.0500.0-

0.0500.0

500.0-0.0

500.00.0

00.10.10

0000.1000.10

4F3F

2F1F 1

(4.70)


33/51

4.33

-Elemento 5:

=

=

0.00.1500

0.00.1500

4F3F2F1F

,

1500.0-0.0

1500.00.0

4F3F2F1F 55

G

(4.71)

-Elemento 9:

=

=

0.01166.7-

0.01166.7

4F3F2F1F

,

1166.7-0.0

1166.70.0

4F3F2F1F 99

G

(4.72)

f.2) Elementos 2, 4, 6, 8, 10 e 13

-Elemento 2:

=

=

=

0.0666.67-

0.067.666

8.233333-8370370.1

50000.130148148.2

10

0010000101

10.75.3

4F3F2F1F

4F3F2F1F

7-7

2

G

2

L

(4.73)

-Elemento 4:

=

=

0000

4F3F2F1F

4F3F2F1F 44

G

(4.74)

-Elemento 6:

=

=

0.067.2666

0.067.2666

4F3F2F1F

4F3F2F1F 66

G

(4.75)

-Elemento 8:

=

=

0.067.666

0.067.666

4F3F2F1F

4F3F2F1F 88

G

(4.76)


34/51

4.34

-Elemento 10:

=

=

0.022.4222

0.022.4222

4F3F2F1F

4F3F2F1F 1010

G

(4.77)

-Elemento 13:

=

=

0.044.4444

0.044.4444

4F3F2F1F

4F3F2F1F 1313

G

(4.78)

e.3) Elementos 3, 7 e 11

-Elemento 3:

500.0666.67

500.0-666.67

8.5333331.362962913.50000

2.0148148

10

1.081.441.921.081.441.081.441.921.441.92

10=

F4F3F2F1

4-7

3

G

=

(4.79)

=

=

0.0833.330.0

833.33

500.0666.67500.0-666.67-

0.80.6000.60.800000.80.6000.60.8

F4F3F2F1 3

(4.80)

Elemento 7:

=

=

0.00.2500

0.00.2500

FFFF

0.15000.20000.15000.2000

FFFF 7

4

3

2

1

4

3

2

1

(4.81)

-Elemento 11:

=

=

0,0 44.1944

0.044.1944

4F3F

2F1F

,

67.1166 55.1555

67.116655.1555

4F3F

2F1F 1111

G

(4.82)


35/51

4.35

e.4) Elemento 12

=

=

1333.331777.781333.33

1777.78

0.00.0

2.811481481.1851852

10

1.081.441.921.081.441.08

1.441.921.441.92

10

F4F3F2F1

4-7

12

G

(4.83)

=

=

0.022.2222

0.022.2222

33.133378.177733.1333

78.1777

8.06.0006.08.000

008.06.0006.08.0

4F3F2F1F 12

(4.84)

f) Reaes de apoio.{ } { } { }njR,

i

iGjR,j FFR = (4.85)

=

+

=

1333.336000.00

1333.331777.78

0.04222.22

R14R13 1210

(4.86)

=

+

+

=

1666.67

6000.00

500.0

0.0

0.0

4444.44

1166.67

1555.55

R16

R15 1311 (4.87)

g) Esforos finais na estrutura

0,0

500

-500,0

-666,67 -4222,22

-6000,0

4444,44666,67

2500,0

-1500,0

1333,33

1000 500

-2666,67

833,33

-1166,7

1000

2222,22

1944,441666,67

6000,0

Figura 4.26 - Esforos finais na estrutura.


36/51

4.36

4.4 PROBLEMA DE PRTICO PLANO

4.4.1 Introduo

Prticos planos so estruturas de barras situadas num mesmo plano, submetidas cargas e deslocamentos nesse mesmo plano. Como as barras e suas ligaes(caso mais comum) apresentam rigidez flexo, estas estruturas trabalhamsubmetidas a solicitaes de flexo simples (flexo e cisalhamento) e composta(flexo e fora normal). Assim, em cada seo transversal de uma barra, podemocorrer os trs possveis deslocamentos no plano e solicitaes combinadas deflexo, cisalhamento e fora normal.

(a)

Figura 4.27 - a) Exemplos de Estruturas do tipo prtico plano; b) Deslocamentos nodais

no sistema global de um elemento genrico de prtico plano de ordem i e incidncias j k;c) Deslocamentos nodais do elemento no sistema local.

4.4.2 - Matriz de Rigidez do Elemento

A matriz de rigidez de um elemento de prtico plano no sistema local,correspondente as seis deslocabilidades nodais, equivale a uma combinao dasmatrizes de rigidez do elemento usual de viga com o de trelia plana, resultando:

Y,v

X,u

Z,

uk

uj

vj

j

vk

k

i

j

k

(b) Yl

Xl

d1d2

d3

d4

d5

d6

i

i

1

2

(c)


37/51

4.37

[ ]

[ ]

654

321

4EIz/LSIM.6EIz/L12EIz/L

00EAx/L

2EIz/L6EIz/L04EIz/L6EIz/L12EIz/L06EIz/L12EIz/L

00EAx/L00EAx/L

S

d

23

2

2323

i

=

(4.88)sendo:

E, o mdulo de elasticidade do material;Ax, a rea da seo tranversal da barra;IZ, o momento de inrcia da seo transversal em relao ao eixo Z;

A matriz de rigidez do elemento de prtico plano no sistema global obtido deforma anloga a do elemento de trelia plana, fazendo-se a mudana de base naforma:

[ ] [ ][ ][ ]Tii

iiG RTSRTS = , (4.88)

sendo:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

=

i

ii Ro

0RRT , (4.89)

a matriz de rotao composta e:

[ ]

=

1000cossen-0sencos

R iiii

i , (4.90)

a matriz de rotao constituda dos cosenos diretores do elemento orientadoem relao aos eixos do sistema global.

iy

iX

sen=ccos=c

(4.91)

O nmero de graus de liberdade nodais efetivos (NGDL) de um prtico plano,conhecido o nmero de deslocamentos nodais impedidos (NR) e o nmero dens da estrutura (NN), dado por:

NR-NN.3NGDL= ; (4.92)


38/51

4.38


Seja resolver o prtico plano esquematizado na Figura (4.28) a seguir:

Y,v

X,uZ,

1.5 m

1.5 m

4.0 m 2.0 m

4.0 tf

2.0 tf/m 3.0 tf.m

Dados numricos: E = 200000 kgf/cm; IZ= 80000 cm; A = 600 cm

Figura 4.28- Exemplo de prtico plano.

a) Numerao das barras, dos ns e das deslocabilidades nodais:

1

d1

d2d3

d4

d5

d6d7

d8

d9

d12d10

2

3

1

D1

D2

D3D4

D5

D6

2

3

(a)

(b)

1

2 3

4

d11

Figura 4.29 - a) Numerao das barras, dos ns e deslocamentos nodais globais; b)

Deslocamentos nodais efetivos.

b - Dados iniciais


39/51

4.39

b.1 - Dados gerais

NN = 4 {Nmero de ns}NE = 3 {Nmero de elementos}

b.2 - Coordenadas nodais (cm)N X1 X21 0.0 0.02 0.0 300.03 400.0 300.04 600.0 0.0

b.3 - Dados dos elementos

BarraA

N1 N2 A (cm2) Iz(cm4)

L (cm) Cx1 Cx2

1 1 2 600 80000 300.00 0.0 1.02 2 3 600 80000 400.00 1.0 0.03 3 4 600 80000 360.55 0.55 -0.83

b.4 - Deslocamentos prescritosN IDP(X1) VDP(X1) IDP(X2) VDP(X2) IDP(X3

)VDP(X3)

1 1 0.0 1 0.0 1 0.04 1 0.0 1 0.0 1 0.0

b.5 - Foras nodais prescritas (kgf e kgf.cm)N VF(X1) VF(X2) VF(X3)3 0.0 0.0 300000.

0

b.6 - Foras prescritas nos elementos (SL)

Elem. N0 deForas

L (C1) V (C1) L (C2) V (C2) L (C3) V(C3)

1 3 0.0 150.0 0.0 4000.0

0.0 150.0

2 1 20.0 400.0


40/51

4.40

qi

li

qi

li=0

Li

NTC=6

q1

l1

q2=0

l2

q3

l3=0

l4

q4=0 q5 q6

l5 l6

lj = Lij=1

NTC

Figura 4.30 - Esquema de representao das cargas aplicadas nos elementos.

b.7 - Matriz auxiliar de endereamento

[ ] 32

1

000654 654321

321000

MEnd

elem

=

(4.93)

c - Matriz de rigidez dos elementos

c.1 - Elemento 1:

Ax=600.0; L=300.0; Iz=80000.0; E=200000.0; cos1=0.0; sen1=1.0;[ ][ ]

[ ]

321000

654321

213333.33SIM.0.0400.0

1066.670.07.11106666.670.01066.67213333.33

0.0400.00.00.0400.01066.670.07.111066.670.07.11

10S

dd

31G

L

=

(4.94)

c.2 - Elemento 2:

Ax=600.0; L=400.0; Iz=80000.0; E=200000.0; cos2=1.0; sen2=0.0;[ ][ ]

[ ]

6

5

4

3

2

1

9

8

7

6

5

4

160000.0SIM.

600.03.0

0.00.03000.0

80000.0600.00.0160000.0

600.03.00.0600.03.0

0.00.0300.00.00.0300.0

10S

dd

32

G

L

= (4.95)

c.3- Elemento 3:


41/51

4.41

Ax=600.0;L=360.55;Iz=80000.0; E=200000.0; cos3=0.55; sen3=-0.83;

[ ]

00065

4

12111098

7

1775.0SIM.4.0962-2.31676.1443-1.5171-1.0524

887.524.0962-6.1443-1775.04.09622.3167-1.51714.09622.3164

6.14431.51711.0524-6.14431.5171-1.0524

10S

dd

53G

L

=

(4.96)d - Clculo das foras nodais equivalentes

d.1 - Elemento 1

4000

kgf

2000 kgf

2000 kgf

150000 kgf.cm

-150000 kgf.cm

150 cm

Yl1

Xl1

1

150 cm

Figura 4.31 - Foras nodais equivalentes no sistema local do elemento 1.

=

150000.02000.0

0.0150000.02000.0

0.0

FFFFFF 1,0

L6

5

4

3

2

1

(4.97)

[ ]

[ ]

=

=

150000.00.0

2000.0150000.0-

0.02000.0

150000.0-2000.0

0.0150000.0

2000.0-0.0

1.00.00.00.00.01.000.01.00.0

1.00.00.000.00.01.0

0.01.00.0

FFFFFF 1,0

G6

5

4

3

2

1

(4.98)

d.2 - Elemento 2


42/51

4.42

400 cm

20 kgf/cm

Xl2

Yl2

-4000 kg f -4000 kgf

266666.7-266666.7kgf.cm

kgf.cm

Figura 4.32 - Foras nodais equivalentes no elemento 2.

=

266666.74000.0

0.0266666.7-

4000.0-0.0

=

FFFFFF

FFFFFF 2,0

G6

5

4

3

2

12,0

L6

5

4

3

2

1

(4.99)

d.3 - Foras nodais equivalentes resultantes:

{ }

9876543

21

266666.674000.000.00

116666.674000.00

2000.00150000.00

0.002000.00

F

d

0G

= (4.100)

e - Foras nodais aplicadas

300000.0Fn9 = (4.101)

f - Sistema final de equaes

[ ]{ } { }DDDD FdS = , (4.102)onde:

{ } { } { }0D

n

DDFFF += , (4.103)

resultando:


43/51

4.43

=

33.334.0

0.0

116.674.0

2.00

ddd

ddd

167750.01009.62234.67614.43151.71405.24

80000.0600.00.0373333.33600.03.00.0600.0403.0

0.00.0300.01066.670.0307.11

L6

L5

L4

L3

L2

L1

(4.104)Resolvendo o sistema, obtm-se:

=

=

0.0027083-3.95553.3494-

0.029413

0.982242.5185-

10

dddd

dd

dddd

dd

2-

9

8

7

6

5

4

L6

L5

L4

L3

L2

L1

(4.105)

G - Esforos nas extremidades das barras

Os esforos nas extremidades das barras so dados no sistema local por:

{ } { } { } i0,id,ie, FF=F (4.106)

onde:{ } [ ] { } id,G

iid, FRT=F (4.107)e:

{ } [ ]{ }iGi

Gid,

G dS=F (4.108)

Resultando:

2.3961-2.49283.9289-

91.7621.50723.9290

10=

FFFFFF

3

e,1

L6

5

4

3

2

1

,

=

268.02-4.07102.4928-

239.613.92902.4928

10

FFFFFF

3

e,2

L6

5

4

3

2

1

,

=

34.3791-0.184044.7701-31.976-0.18404-4.7701

10

FFFFFF

3

e,3

L6

5

4

3

2

1

(4.109)

h - Reaes de apoio


44/51

4.44

{ } { } { }nR

i

iGR, FFR = (4.110)

Resultando:

=

34.380-4.07102.4928-

91.7613.92881.5072-

10

RRRRRR

3

12

11

10

3

2

1

(4.111)

DN(a) (kgf)

-

-

-

3929.0

2492.8

4770.1

-

-

+

-

+

DQ(b) (kgf)

1507.2

2492.8

3929

4071

184

91761.

300000.

239610.

400000. 268020.

31976

34379

+

+-

- -

- -

+

DM(c) (kgf.cm)

Figura 4.33 - Diagramas de esforos solicitantes: a) Fora normal; b) Fora Cortante; c)Momento Fletor.


45/51

4.45

4.5 PROBLEMA DE GRELHA

4.5.1 Introduo

Uma estrutura de grelha constituda basicamente de barras ligadas entre sisituadas num mesmo plano, com cargas atuando normalmente ao plano daestrutura. Como resultado desta composio, cada seco de um elemento degrelha pode ser submetida aos seguintes esforos solicitantes e correspondentesdeslocamentos: flexo simples e toro acompanhados de rotaes nos planosnormais ao plano da estrutura e de translao na direo normal ao plano daestrutura.

X

Z

Y

(a)

X

Y

Z

ij

k

dj1dj2

dj3dk1

dk2dk3

i

XY Z

id1

d3d4

d5

d6

lilili

X1

2

i

d2 (b) (c

Figura 4.34 - Estrutura tpica de grelha com seus eixos globais; b) Graus de liberdadenodais de um elemento genrico no sistema global; c) Graus de liberdade no sistema

local do elemento.

As grelhas se assemelham em muitos aspectos com os prticos planos, pois almda apresentarem o mesmo tipo de forma fsica, ambos trabalham principalmentesob esforos de flexo, sendo as diferenas no comportamento provocadas pelasdirees das cargas aplicadas que, consequentemente, produzem diferenas nosdemais esforos mobilizados e deslocamentos resultantes.

Entendendo o plano de atuao de um momento como sendo o plano normal direo de definio vetorial do momento; nos prticos planos as cargas aplicadas(foras e momentos) atuam no plano da estrutura, resultando esforos principaisde flexo simples (flexo e fora cortante) e esforos normais adicionais;


46/51

4.46

enquanto que nas grelhas, as cargas aplicadas (foras e momentos) atuamnormalmente ao plano da estrutura, resultando esforos principais de flexosimples e esforos adicionais de toro.

No caso mais geral de anlise de estruturas planas de comportamento linear,correspondente a ocorrncia de cargas com orientaes espaciais, pode-seutilizar uma anlise por parte com resultados complementares. Neste caso, aestrutura deve ser analisada como um prtico para as componentes das cargasatuando no plano da estrutura e como grelha, para as componentes das cargasatuando normalmente ao plano da estrutura. A superposio das solues destasanlises parciais reproduz a soluo do problema original.

Assim, a anlise de estruturas de grelhas pelo mtodo da rigidez pode ser feita

de forma semelhante a anlise de estruturas de prticos planos, inclusiveutilizando-se a mesma matriz de rotao, desde que a ordenao dos graus deliberdade dos ns da grelha seja efetuada de forma adequada, conforme definidana Figura (4.33).

4.5.2 - Matriz de Rigidez do Elemento

A matriz de rigidez de um elemento de grelha no sistema local, para umaordenao dos graus de liberdades nodais conforme definida na figura

anterior, apresenta uma distribuio semelhante a do elemento de prticoplano, resultando:

[ ]

[ ]

6

54321

/L12EISIM

/L6EI/L4EI00/LGJ

/L12EI/L6EI0/L12EI/L6EI/L2EI0/L6EI/L4EI

00/LGJ00/LGJ

S

3

Y

2YY

T

3Y

2Y

3Y

2YY

2YY

TT

i

=

d

(4.112)sendo:

E, o mdulo de elasticidade do material;JT, o momento de inrcia toro da seo transversal da barraIY, o momento de inrcia flexo da seo transversal em relao ao

eixo y;

Amatriz de rigidez do elemento de grelha no sistema global obtido de forma

anloga a do elemento de prtico plano, fazendo-se a mudana de base na forma:


47/51

4.47

[ ] [ ] [ ] [ ]iiT

iiG RTSRTS = , (4.113)

onde:

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

= i

i

i R0

0R

RT , (4.114)

a matriz de rotao composta, e:

[ ]

=

1000cossen0sencos

R iiii

i (4.115)

a matriz de rotao constituda dos cosenos diretores do elemento orientadoem relao aos eixos globais.

O nmero de graus de liberdade nodais efetivos (ND) de uma grelha, conhecido onmero de deslocamentos nodais impedidos (NR), dado por:

ND = 3 NN - NR , (4.116)

sendo: NN, o nmero de ns da estrutura.


Seja resolver grelha esquematizada na Figura (4.35) a seguir, considere:

.2.0J/I

2.4;=/GE

T =

X

Z

3.0 m

1 21

Y

6.0 m

2.0 tf/m

34

2

3

d1d2

d3

d4

d5d6

d7

d8d9

d10

d11d12

D1

D2D3

D4

D5D6

1

2

3

(a)

(b)

(c)

Figura 4.35 - a) Exemplo de grelha; b) Deslocamentos nodais; c) Deslocamentos livres.


48/51

4.48

a - Dados do problema

a.1 - Coordenadas nodais

N X1 X2

1 0.0 0.002 3.00 0.003 3.00 6.004 0.00 6.00

a.2 - Prescries de apoios

N. GL1 GL2 GL31 1 1 14 1 1 1

a.3 - Incidncias nodais dos elementosElem. Mat. Seo Comp. N1 N2 COSX1 COSX2

1 1 1 3.00 1 2 1.00 0.002 1 1 6.00 2 3 0.00 1.003 1 1 3.00 3 4 -1.00 0.00

a.4 - Foras nodais equivalentes no elemento 2

[ ]

{ }

654321

6,00-0,006,006,00-

0,006,00-

F

d

0,2

=

b - Matrizes de Rigidez dos elementos (S.L.)

b.1 - Elemento 1 = ELEMENTO 3

[ ] [ ]

03

0201605040

2.133SIM

3.26.400.000.000.3332.1333.20.002.1333.23.20.003.26.400.00.00.3330.00.00.333

SS

dd

31

3L

1L

== (4.117)


49/51

4.49

b.2 - Elemento 2[ ]

[ ]

6543

21

0.2667SIM0.803.200.000.000.16670.26670.800.00.2667

0.801.600.00.803.200.000.001.6670.000.001.667

S

d

2

2L

=

(4.118)

c- Matrizez de rotao

c.1 - Elemento 1 (1= 0):[ ] [ ]IR= (4.119)

c.2 - Elemento 2 (2= 90)

[ ]

1.00.00.00.00.01.0-0.01.00.0

=R2 (4.120)

c.3 - Elemento 3 (3= 180)

[ ]

1.00.00.00.01.0-1.0-0.00.01.0-

=R (4.121)

d - Matrizes de rigidez dos elementos do sistema global.

d.1 - Elemento 1: [ ] [ ]1L1G SS = (4.122)

d.2 - Elemento 2

[ ]

6

54321

0.2667SIM

0.000.16670.80-0.003.20

0.26670.000.800.26670.00.1667-0.000.000.16670.80-0.001.600.800.003.20

S

d

2G

G2L

=

(4.123)


50/51

4.50

d.3 - Elemento 3[ ]

[ ]

0006

54

2.133SIM3.2-6.40

0.000.000.3332.1333.20.002.133

3.2-3.20.003.26.400.00.00.3330.00.00.333

S

d

3G

G3L

= (4.124)

e- Sistema de equaes

6.00-0.006.006.00-0.00

6.00-

=

ddddd

d

40.220.35667.600.000.0533.3

2667.000.080.040.2 00.01667.000.020.35667.6

80.000.060.180.000.0533.3

D6

D5

D4

D3

D2

D1

(4.125)

f- Deslocamentos Nodais

{ }

=

12.2500-5.625003.1034511.2500-

5.625003.10345-

dL (4.126)

g - Esforos de extremidades dos elementos

{ }

=

6.000-0.001.034-6.00018.00-1.034

F e,1 ;{ }

=

6.0001.0340.0006.0001.034-0.000

F e,2 ;{ }

=

6.00018.0001.0346.000-

0.0001.034-

F e,3 (4.127)


51/51

H - Reaes de apoio

{ }

=

6.00018.000-1.034-6.000

18.00-1.034

R12R11R10R3

R2R1

R (4.128)

i - Diagramas de Esforos Solicitantes

DQ (tf)(b)

1 2

34

1

2

3

-18.0

-

-

-18.0

-1.034

1.034DM (tf.m)(a)

+

8.0

1.034

18.0

18.0

12

34

1

2

3

6.0

6.0

+

+

-

-

2

34

1

2

3DN (tf)(c)

1.034

-1.034

1.034

1.034

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Cap4 - Mecanica Das Estruturas - Problemas Resolvidos