Experiência 1 - Erros e Medidas

7/21/2019 Experiência 1 - Erros e Medidas

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DEP RT MENTO DE FÍSIC

ROTEIRO DE LABORATÓRIO

EXPERIÊNCIA 01

TÍTULO: ERROS E MEDIDAS - PROCESSO E REPRESENTAÇÃO

1. Objetivo:

Efetuar medidas e representá-las de acordo com a teoria estatística dos erros.

2. Fundamentação Teórica:

Antes da Revolução Francesa cada país adotava sua Unidade Padrão; porexemplo, para o comprimento: Tinha-se na Inglaterra a Jarda , que era a distância entre onariz do rei e a extremidade de seu polegar. O pé , que correspondia ao comprimento do

pé do Rei. Diversas outras unidades de comprimento tiveram nomes de outras partes do

corpo humano, como palmo , polegada , etc.Foi então em 1799, durante as últimas fases da Revolução Francesa, que osistema métrico, chamado Sistema Métrico Decimal, foi admitido como padrão pelosdiversos países. A intenção original do sistema métrico era definir o metro em termos da

própria Terra. E, ficou definido como sendo a décima milionésima parte da distância dalinha do Equador ao Pólo Norte, ao longo do círculo meridiano (longitude) que passa porParis. Ou seja,

do arco que vai do Equador ao Pólo Norte.

Entretanto, logo tornou evidente que não era possível medir as dimensões daTerra com a mesma precisão que poderia ser obtida no laboratório para um comprimentomenor. Em 1889 foi construído um modelo do Padrão de Comprimento que passou a serum Padrão Internacional adotado por todos os países: uma Barra de Platina-Irídio sobre a qual foram feitas duas marcas. A distância entre essas duas marcas correspondeao Metro Padrão, que está localizada numa caixa-forte do Bureau Internacional de

Pesos e Medidas em Paris, mantida a uma temperatura constante de 00 C.Em 1960 foi sancionado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas o Sistema

Internacional de Unidades (SI), que constituiu a expressão moderna e atualizada doantigo Sistema Métrico Decimal , ampliado de modo a abranger os diversos tipos deGrandezas Físicas. Com isso, foi adotado um novo padrão para o metro, desta vez como

sendo 1m = 1.650.763,73 Kr , onde Kr é o comprimento de onda da luz laranja emitida



pelos átomos de Criptônio-86, num tubo de descarga elétrica. Esta definição possibilitaa medição de comprimentos com precisão de 10-9 = 0,000000001.

Em 1983, o metro foi redefinido como a distância percorrida pela luz no vácuo

durante um intervalo de tempo igual a458.792.299

1do segundo, onde 299.792.458 m/s

representa a velocidade da luz no vácuo.Deste modo, fica definido que o ato de medir uma Grandeza significa comparar

uma unidade padrão com a que se deseja conhecer o valor. Quando estamos fazendo estacomparação devemos ter em mente que no ato da medição cometemos erros nadeterminação das medidas.

3. Teoria dos Erros – Introdução.

Considere que numa sala de laboratório de Física, o professor distribuiu umarégua graduada em milímetros para um grupo de cinco estudantes e pediu que cada umefetuasse uma medida da largura de uma mesa. Os resultados das medidas foramanotados na Tabela-1, a seguir:

Tabela 1. Medidas da Largura de uma mesa do laboratório de Física.

No de medidas Valor das medidas (cm)1 50,562 50,583 50,564 50,57

5 50,58

À primeira vista pode parecer estranho que cinco pessoas, com o mesmoinstrumento (mesma grandeza física), tenham obtido diferentes medidas de um mesmoobjeto. Vários fatores podem ser responsabilizados pelas diferenças, como por exemplo:o cuidado na leitura, a posição de cada estudante em relação à régua e a própria régua(instrumento de medida). Esses erros podem ser classificados como sendo Grosseiros,Sistemáti cos ou Acidentais .

Os Erros Grosseiros são cometidos devido à falta de atenção ou falta de práticado operador. Já os Erros Sistemáticos são caracterizados por conservarem em condiçõessucessivas, o mesmo valor. Enquanto os Erros Acidentais são aqueles que não guardamqualquer relação com as condições de observação.

No exemplo analisado, os alunos trabalharam com uma régua graduada emmilímetros, ou seja, eles usaram uma régua que não apresentava subdivisões inferiores a1mm = 0,1cm. Neste contexto, analisando apenas a primeira medida do quadro acima(50,56 cm), pode-se afirmar que existe uma certeza apenas em relação aos três primeirosalgarismos (5, 0 e 5), que são chamados de Algarismos Corretos , pois foram obtidosatravés da contagem direta e inequívoca das divisões apresentadas na régua. Por outrolado, tendo em vista a limitação da régua, o algarismo 6 representa uma fração demilímetros adicionados a 50,5 cm que não é fornecida pelo instrumento de medida, masé fruto de uma avaliação feita pelo experimentador. Este último algarismo, obtido por

uma avaliação, é chamado de primeir o Algarismo Duvidoso ou Incerto tendo em vistaque é neste algarismo que podemos cometer erros na efetuação da medida. Assim, o



resultado de uma medida deve ser expresso com todos os algarismos corretos e o primeiro duvidoso sendo todos eles (corretos e o primeiro duvidoso) chamados deAlgarismos Signi fi cativos da medida.

Considerando as idéias expostas acerca dos algarismos significativos de umamedida, podemos levantar a questão: se os cinco estudantes obtiverem diferentes

medidas para uma mesma grandeza, como fazer para considerar a melhor medida? Qualo erro resultante deste processo e qual o método estatístico para minimizá-lo? Estes sãoos pontos que trabalharemos nos parágrafos seguintes.

3.1. Valor Médio (ou Valor Mais Provável) de uma Grandeza e seu Desvio Médio:

Uma das formas estatísticas para escolher a melhor medida que representa umconjunto de medições é a MÉDIA ARITMÉTICA dos valores individuais medidos.Esta, que chamará de X , é calculada por meio da expressão (1), a seguir:

n

X X X X X X

X

n

...54321

(1)

onde ,, 21 X X ... e

n X são as medidas e n é a quantidade de medidas efetuadas. No

exemplo das medidas da largura da mesa, X será dada por:

cm X 57,505

58,5057,5056,5058,5056,50

isto é, 50,57cm é o valor médio da medida da largura da mesa. Então, comparando-se

esta média com as medidas da Tabela-1 pode-se perceber que cada medida individual sedesviou do valor médio X .O conceito de Desvio (ou Er ro) é introduzido justamente porque na maioria das

medições é quase impossível se conhecer o valor verdadeiro de uma grandeza, e assim, portanto, não é possível expressar o erro cometido numa única medida, e sim a partir deum conjunto de medidas. Definimos desvio como sendo a diferença entre um valorobtido na medida de uma grandeza e o seu valor médio, ou seja:

X X X ii

; *,...,4,3,2,1 Z ni (2)

onde os índices Xi significam os vários valores das medidas, e a letra grega (Δ = delta)simboliza o desvio (erro) da medida em relação ao valor médio X . Nas medidasefetuadas apresentadas na Tabela-1, o desvio de cada medida é expresso por:

cmcm X

cmcm X

cmcm X

cmcm X

cmcm X

01,057,5058,50

00,057,5057,50

01,057,5056,50

01,057,5058,50

01,057,5056,50

5

4

3

2

1

Destes resultados pode-se perceber que há desvios NEGATIVOS e desvios POSITIVOS.Um desvio negativo significa que o erro foi por falta, isto é, ficou abaixo do valor médio;



e, quando o desvio é positivo significa que o erro foi por excesso, isto é, ficou acima dovalor médio. Nem sempre é interessante saber se o erro foi para mais ou menos,entretanto, é significativo saber o quanto se errou na execução medida, ou seja, o valorabsoluto do desvio. Assim, define-se o Desvio Absoluto de uma medida como sendo omódulo do seu desvio, ou seja:

X X X 11

*,...,4,3,2,1 Z ni (3)

Então, pode-se observar que o desvio absoluto só assume valores positivos e, portanto,apresenta o quanto foi cometido de erro nas medições.

Para apresentar o erro (desvio) do conjunto de medidas é mais convenienteestabelecer um valor médio dos desvios. Este valor é chamado de DESVIO ABSOLUTOMÉDIO, e é expresso pela média aritmética dos valores dos desvios absolutos, isto é:

n

X X X X X X X

n

...

54321 (4)

onde n é a quantidade de desvios. Na experiência feita pelos alunos em laboratório, odesvio absoluto médio será:

cm X 008,05

04,0

5

01,000,001,001,001,0

O resultado desta operação forneceu um valor com maior número de casas

decimais que a obtida com a régua milimetrada, ou seja, de acordo com as medidas dosestudantes, cada um deles encontrou uma medida com apenas duas casas decimais e odesvio absoluto médio registrou três casas decimais. O que fazer com o desvio absolutomédio quanto ao número de casas decimais excedentes? – Deve-se utilizar umaMAJORAÇÃO. Como é feita a majoração?

Sabe-se a priori que uma medida deve apresentar apenas um algarismo duvidosoe é neste algarismo que incide o erro cometido na medida. Assim, a majoração consisteem se aproximar sempre para mais a faixa de erro cometida em determinada medida.

No caso do arredondamento usual tem-se a seguinte regra: “se o número arredondado for

maior ou igual a cinco, a casa decimal anterior será acrescida de uma unidade; se onúmero arredondado for menor do que cinco, a casa decimal anterior permanece

inalterada”. Na majoração, qualquer que seja o número arredondado deve-seacrescentar uma unidade a casa decimal anterior. Assim, para atender ao requisito da majoração, o resultado do cálculo do desvio

deve apresentar apenas um algarismo significativo duvidoso, a fim de não se perder asegurança na faixa onde a medida, de fato se localiza. No exemplo apresentado, o valordo desvio absoluto médio foi de 0,008 cm. Para deixá-lo de acordo com o número decasas decimais do instrumento (régua), o valor do desvio majorado ficará então sendo0,01cm. Neste caso, a regra de majoração coincidiu com a regra de arredondamento.Mas, caso o desvio absoluto médio tivesse sido 0,002 cm; o valor do desvio absolutomédio também seria 0,01cm, pelo fato da majoração aproximar o valor sempre paramais.

Após determinar o valor médio e o desvio absoluto médio majorado, pode-seescrever o valor provável da medida acrescida de seu desvio (erro), ou também chamado



de incerteza da medida. Assim a forma de apresentar corretamente um conjunto demedidas efetuadas já com a sua incerteza incorporada será:

X X (5)

No exemplo trabalhado teremos: (50,57 ± 0,01) cm. Esta notação expressa umafaixa de valores corretos que vai de 50,56cm a 50,58cm. Certamente asseguramos quequalquer uma das medidas realizadas pelos alunos está dentro do intervalo compreendida

pelo valor médio e seu desvio.

3.2. Desvio Relativo.

Desvio relativo ou erro relativo é o quociente entre o desvio absoluto e o valormédio de uma grandeza, isto é:

X

X

E i

R R

sendo i = 1, 2, 3,4, ...,*

Z n (6)

Se fosse perguntado ao aluno qual o desvio relativo da segunda medida efetuada? Esteseria dado de acordo com o cálculo a seguir.

0002,057,50

01,0

cm

cm E

R R

Observe que o desvio relativo é um número ADIMENSIONAL , isto é, não possuiunidade Física.

Avaliar a precisão (incerteza) de uma medida por meio deste valor não é

intuitivo, portanto, é usual estabelecer estes valores em termos percentuais. Daídefinirmos o DESVIO RELATIVO PERCENTUAL (Erro Relativo Percentual) comosendo o desvio relativo multiplicado por cem (100), o qual será dado em porcentagem,isto é:

100100%%

X

X R E

i

R R. (7)

Assim, o erro relativo percentual da segunda medida efetuado pelos alunos é de:

%02,01000002,010057,5001,0%%

cmcm E

R R

3.3. Erro Avaliado

Os Instrumentos de medida, mesmo calibrados, introduzem alterações nosvalores das grandezas. Essas alterações são chamadas de “desvios avaliados ”.

Geralmente o fabricante informa o erro inerente do instrumento de medida. Quando issonão acontece, devemos supor como sendo a metade da menor divisão da escalautilizada. No caso da régua milimetrada, a menor divisão é 1mm (ou 0,1 cm), portanto,o erro avaliado de uma régua milimetrada utilizada no laboratório de Física é de 0,5 mm(0,05 cm).



4. Exercícios (Responda às questões e apresente os resultados na folha de dados).

4.1. Você vai fazer uma prova de medidas e esqueceu todos os seus instrumentosgraduados (por exemplo: sua régua milimetrada). Como você faria para efetuar asmedidas e não ter um conceito nulo (nota zero) nesta prova?

4.2. Seu professor indicará um objeto para que você efetue algumas medidas com umarégua milimetrada. Cada componente da equipe deverá efetuar pelo menos uma medidado objeto e, em seguida, você deverá colocá-las em uma tabela e determinar os seguintesitens:

4.2.1. O valor médio das medidas;4.2.2. O desvio absoluto de cada medida;4.2.3. O desvio absoluto médio majorado;4.2.4. O desvio relativo de cada medida;4.2.5. O desvio relativo percentual de cada medida;

4.2.6. Escreva o valor da medida corretamente, conforme apresentado na expressão (5).

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