FCC/TCE‐SP/2008  

  

Resolução da Prova de Matemática e Raciocínio Lógico‐Matemático 

  

(Referência: Cargo A01, Tipo 005, prova aplicada para o cargo de Agente de Fiscalização Financeira em fevereiro de 2008). 

                         

Rio de Janeiro, 24 março de 2009. 

Opus Pi.

21  ‐ A  tabela  abaixo permite exprimir os  valores de  certas  grandezas em  relação  a um  valor determinado  da  mesma  grandeza  tomado  como  referência.  Os  múltiplos  e  submúltiplos decimais das unidades derivadas das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados.  

(Quadro geral de Unidades de Medida, 2.ed. – INMETRO. Brasília, 2000)  

  Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse o metro (m), teríamos:  12 500 μm (micrometros) = 12 500 x 10‐6 m (metros) = 0,0125 m (metros)  

Considerando  o  watt  (W)  como  unidade  de  referência,  a  expressão  ( ) ( )kW 1,5

µW 0,5MW 0,48 ×  

equivale a  a) 160 μW b) 32 mW c) 1,6 cW d) 0,0032 dW e) 0,000016 kW  Resolução  Basta fazer as transformações necessárias de acordo com os dados da tabela:  ( ) ( ) ( ) ( ) µW 160 W 10160W10 0,16

W10 1,5 W0,24

W10 1,5 W10 x 0,5 W10 x 0,48

kW 1,5µW 0,5MW 0,48 6-3-

3

2

3

-66

=×=×=×

=××

=×  

 Resposta: A                    Gabarito oficial: A  

22 – O número 1001011, do sistema binário de numeração, no sistema décima de numeração equivale a um número x tal que  a) 0 < x < 26 b) x > 99 c) 74 < x < 100 d) 50 < x < 75 e) 25 < x < 51  Resolução  O número binário x = 1001011 em notação decimal é:  x = 1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 2 + 1. Logo,x = 75. Portanto, 74 < x < 100.  Resposta: C                    Gabarito oficial: C  23  –  Certo  dia,  Celeste  e  Haroldo,  agentes  de  fiscalização  financeira,  foram  incumbidos  de analisar 51  solicitações de usuários de uma unidade do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo. Decidiram, então, dividir o total de solicitações entre si, em partes que eram, ao mesmo tempo,  diretamente  proporcionais  aos  seus  respectivos  tempos  de  serviços  no  tribunal  e inversamente  proporcionais  às  suas  respectivas  idades.  Sabe‐se  também  que,  na  ocasião, Celeste trabalhava no Tribunal há 15 anos e tinha 36 anos de  idade, enquanto que Haroldo  lá trabalhava há 10 anos. Assim, se coube a Haroldo analisar 34 solicitações, a sua idade  a) estava compreendida entre 35 e 40 anos. b) era inferior a 40 anos. c) era superior a 50 anos. d) estava compreendida entre 45 e 50 anos. e) estava compreendida entre 40 e 45 anos.  Resolução  O  enunciado  desta  questão  está  impróprio.  Para  retirar  esta  impropriedade,  as  proporcionalidades  do enunciado deveriam estar invertidas. A divisão gerou 34 relatórios para Haroldo e 17 para Celeste, ou seja, a divisão  foi diretamente proporcional aos números 2 e 1. A  real proporcionalidade do enunciado é em relação  à  razão  (Idade)/(Tempo de  Serviço). Para Celeste,  a  razão  vale 2,4  (= 36/15). Para obedecer  ao critério, a razão entre a idade X de Haroldo e seus 10 anos de serviço, isto é, X/10, tem que ser duas vezes o 2,4, isto é, X/10 = 2*2,4 = 4,8. Portanto, X = 48 anos. Acredito que esta tenha sido a intenção da questão. Com isso teríamos letra D como resposta, conforme aponta o gabarito.  Usando  como o enunciado diz,  teríamos para Celeste  (Tempo de  Serviço/Idade) = 1/2,4 e para Haroldo (Tempo de Serviço/Idade) = 10/X. Como a divisão foi proporcional aos números 2 e 1, então 10/X = 2/2,4. O que resulta 12 anos de  idade para Haroldo, significando que Haroldo começou a trabalhar com 2 anos de idade. Devido a isso, a impropriedade no enunciado.  Em resumo: apesar de haver uma reposta para a questão (seria letra B, pois 12 anos é menor que 40 anos), não seria o caso de alteração de gabarito, mas sim de anulação de questão por conter algo  impossível de aceitar na prática, o que gera dúvida em relação à corretude da questão.  Resposta: sem resposta          Gabarito oficial: D 

24 – Na seqüência seguinte, o número que aparece entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação.  

65(20)13 – 96(16)24 – 39(52)3 – 336(?)48  Segundo essa lei, o número que substitui corretamente o ponto de interrogação é  a) 18 b) 24 c) 28 d) 32 e) 36  Resolução  Considere o  caso genérico de disposição dos números X, Y Z na  forma da  seqüência: X  ( Y  ) Z. A  lei de formação observada é tal que Y = 4(X/Z). No caso a se determinar, temos X = 336 e Z = 48. Logo Y vale 28 (= 4*(336/48) = 4*7).  Resposta: C                    Gabarito oficial: C  25 – Um escritório dispõe de duas copiadoras A e B, tais que: operando sozinha, A é capaz de tirar  n  cópias  de  um  texto  em  8  horas  de  trabalho  ininterrupto  e B  tem  80%  da  capacidade operacional de A. Essas máquinas  foram acionadas  simultaneamente num mesmo  instante, a fim de tirar as n cópias de tal texto e, após funcionarem juntas e ininterruptamente por 4 horas, foram desligadas. É correto afirmar que, ao serem desligadas,  

a) haviam sido tiradas 83das n cópias 

b) 10% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído. c) o trabalho estava concluído. 

d) haviam sido tiradas 54das n cópias 

e) 20% das n cópias ainda deveriam ser tiradas para que o trabalho fosse concluído.  Resolução  A máquina A  tira  n  cópias  de  um  texto  em  8  horas,  isso  significa  que  em  uma  hora  tira  n/8  cópias. A capacidade operacional da máquina B é 80% da  capacidade da máquina A,  isto  significa que B  tira 0,8n cópias em 8 horas, o que equivale a  tirar n/10 cópias por hora. Sendo assim, em uma hora de  trabalho conjunto e  ininterrupto, as duas tiram 9n/40 cópias (= n/8 + n/10). Logo, em quatro horas tiraram 9n/10 cópias (= 4*9n/40). Como o objetivo era tirar n cópias, o trabalho ainda não estava concluído, pois ainda faltaram n/10 cópias (= n – 9n/10), isto é, faltavam tirar 10% das n cópias.  Resposta: B                    Gabarito oficial: B  

26  –  As  pedras  do  jogo  “dominó”,  mostradas  abaixo,  foram  escolhidas  e  dispostas sucessivamente no sentido horário, obedecendo a um determinado critério.  

  Segundo  esse  critério,  a  pedra  que  substituiria  corretamente  aquela  que  tem  os  pontos  de interrogação corresponde a:  

a)           b)             c)               d)           e)    Resolução  Observe o comportamento dos pares de peças opostas: (2; 4) e (2; 3); (6;2) e (2; 5); (2; 1) e (X; Y). Para cada par, o módulo da diferença entre a menor e a maior soma de seus dos pontos vale 1:  (2 + 4) – (2 + 3) = 6 – 5 = 1 (6 + 2) – (2 + 5) = 8 – 7 = 1  Assim, a diferença (2 + 1) – (X + Y) tem que ser 1. Portanto X + Y = 2. Em tese, temos duas peças no dominó que atendem à condição: os pares (1; 1) e (2;0). Para a questão, o par (2;0) é o que está presente entre as alternativas.  Resposta: E                    Gabarito oficial: E  

27 – Sabe‐se que, em um dado, a soma dos pontos de faces opostas é sempre igual a 7. Um dado é colocado sobre a superfície plana de uma mesa com a face “1” voltada para o leste, a “6” para o oeste, a “3” para o sul, a “4” para o norte, a “2” para cima e a “5” para baixo, da forma como mostrado na figura seguinte.  

  Considere  que  esse  dado  é  submetido  a  quatro movimentos  sucessivos,  cada  um  dos  quais consiste de uma  rotação de 90° em  torno de uma aresta que se apóia sobre a mesa. Se após cada movimento  as  faces  “1”,  “3”,  “5”  e  “6”  passam  a  ficar,  sucessivamente,  voltadas  para baixo, então, ao fim do quarto movimento, a face “1” estará voltada para  a) o sul b) o oeste c) baixo d) cima e) o norte  Resolução  O enunciado afirma que a soma dos pontos nas  faces opostas é 7.  Isso significa que  temos os seguintes pares de pontos em faces opostas: (1;6), (2;5) e (3;4). (Aqui um par (X;Y) qualquer significa que X está na face oposta onde Y está e vice‐versa, ou seja, os pares (X;Y) e (Y;X) contém a mesma informação, por isso é desnecessário colocar o par (5;2), por exemplo.)  A questão tem enunciado longo e informações em excesso e desnecessárias. Afirma‐se que após o quarto movimento a face “6” ficou para baixo e pergunta‐se para onde ficou a face com o “1”. Ora, as faces “1” e “6” formam um dos pares acima, logo, se a face “6” ficou para baixo, então a face “1” ficou para cima. Não é necessário reproduzir as rotações do enunciado.  Resposta: D                    Gabarito oficial: D  

28 – A malha quadriculada abaixo representa um terreno de  formato retangular que deve ser totalmente dividido em  sete  lotes menores, não necessariamente de mesmo  tamanho ou da mesma forma, cada qual contendo uma casa (C), um pomar (P) e um lago (L).  

   Considerando que, na malha, quadradinhos unidos por um único ponto não pertencem a um mesmo lote, então, se cada quadradinho da malha representar uma área real de 180 m², a área da superfície do maior dos sete lotes deverá ser, em metros quadrados,  a) 1 260 b) 1 440 c) 1 800 d) 1 980 e) 2 160  Resolução  Essa questão, à primeira leitura, parece confusa. Lendo atentamente é possível perceber o que realmente se pede. Aqui não é necessário fazer arranjos, combinações ou coisa do tipo. Basta encontrar uma divisão do lote que atenda as condições. E estas condições são:  

1) Dividir  o  a  malha  quadriculada  em  sete  lotes  de  tamanho  (aqui  é  o  mesmo  que  área)  não necessariamente iguais; 

2) Cada lote deve contem uma casa (C), um pomar (P) e um lago (L); 3) Quadradinhos unidos por um único ponto não pertencem a um mesmo lote. 

 Note que há exatos sete pomares, sete casas e sete  lagos. Isso significa dizer que cada  lote da restrição 2 tem que ter exatamente a quantidade contida no item 2, isto é, somente um de cada. Com isso, o tamanho do menor lote deve ser necessariamente 540 m² (= 3*180). Nessas condições, quer‐se saber o tamanho do maior dos lotes. A restrição 3, em outras palavras, significa que os quadradinho vizinhos de um mesmo lote sejam unidos pelo menos por um lado. A divisão a seguir responde a questão.  

  Observe que o maior lote é o azul (na parte inferior) e possui área igual a 1 980 m² (= 11*180).  Resposta: D                    Gabarito oficial: D 

29 – Dos 50 funcionários que participaram de um curso sobre a utilização de sistemas aplicativos das atividades meio e fim o Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, sabe‐se que:  ‐ Todos eram formados em Ciência da Computação ou em Engenharia de Software, mas apenas em um dos cursos;  

‐ 51do  número  de mulheres  eram  formadas  em  Engenharia  de  Software  e 

87do  número  de 

homens eram formados em Ciência da Computação.  Sendo assim, nesse curso, o total de participantes formados em Engenharia de Software era  a) 23 b) 17 c) 13 d) 9 e) 7   Resolução  Seja T o total de funcionários, sendo H homens e M mulheres. Assim, H + M = T. Com T = 50, temos H + M = 50. Podemos dividir o total T em S e C, respectivamente, o total de funcionários formados em Engenharia de Software e Ciência da Computação, de sorte que S + C = 50, pois não há funcionários formados nos dois cursos.  Se  1/5  das mulheres  eram  formadas  em  Engenharia  de  Software,  então  o  restante,  4/5,  é  de formadas  em  Ciência  da  Computação;  e  se  7/8  dos  homens  são  formados  em  Ciência  da  Computação, então 1/8 é corresponde aos  formados em Engenharia de Software. Disso, podemos escrever: S = M/5 + H/8 e C = 4H/5 + 7H/8.  Queremos saber quanto vale S.  Se substituirmos as expressões de S e C em S + C = 50 chegaremos à equação já conhecida H + M = 50 (disso já sabemos). Aparentemente faltam dados, então. Só aparentemente.  Ora, estamos  tratando que quantidade de pessoas  formadas em algum curso.  Isso significa que  todas as quantidades são  inteiras,  inclusive as frações montadas. Sendo assim, S é  inteiro. Portanto, de S = M/5 + H/8, concluímos que M é múltiplo de 5 e que H é múltiplo de 8. H e M são tais que: H pertence a {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48} e M pertence a {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 e 50}.  Como H + M = 50, as soluções podem ser (H; M) = (0; 50) ou (H; M) = (40; 10). Depreende‐se do enunciado que há homens, de sorte que a primeira solução não pode, neste caso, ser aceita. Assim, temos dentro do grupo 40 homens e 10 mulheres.  O total de participantes formados em Engenharia de Software é 7 (= 10/5 + 40/8).  Resposta: E                    Gabarito oficial: E  Nota  A  rigor,  a  solução  que  conduz  a  nenhum  homem  e  todos  os  50  participantes  mulheres  é  válida  por  atender matematicamente às condições do problema. Neste caso,  também é  resposta para a questão o valor 10  (= 50/5 + 0/10). Como ele não está entre as alternativas, não resta dúvida de que a letra E responde corretamente à questão. 

30  –  Argemiro,  Bonifácio,  Calixto,  Dalila  e  Esmeralda  são  formados  em  Engenharia  de Computação e sobre as datas de conclusão de seus cursos foram feitas as seguintes afirmações:  ‐ Se Argemiro concluiu seu curso após Bonifácio ter concluído o dele, então Dalilla e Esmeralda concluíram seus cursos no mesmo ano.  ‐ Se Dalila e Esmeralda concluíram seus curso no mesmo ano, então Calixto concluiu o seu antes que Bonifácio concluísse o dele.  ‐ Se Calixto concluiu seu curso antes de Bonifácio ter concluído o dele, então Argemiro concluiu o seu antes de Dalila ter concluído o dela.  Considere que as  três afirmações  são verdadeiras e  sabendo que Argemiro NÃO  concluiu  seu curso antes de Dalila ter concluído o dela, então é verdade que Argemiro concluiu seu curso  a) após Bonifácio ter concluído o dele e Calixto concluiu o seu antes que Bonifácio concluísse o dele. F b) antes que Dalila concluísse o dela e Calixto concluiu o seu antes que Bonifácio concluísse o dele. c) antes que Bonifácio concluísse o dele, além de Dalila e Esmeralda terem concluído os seus em anos distintos. d) após Bonifácio ter concluído o dele, além de Dalila e Esmeralda terem concluído os seus em anos distintos. e) no mesmo ano em que Calixto concluiu o seu e antes que Bonifácio concluísse o dele.  Resolução  Sejam  A,  B,  C  e  D  as  datas  de  conclusão  de  curso  de  Argemiro.  Bonifácio,  Calixto  e  Esmeraldo, respectivamente. Assim, a notação A < B, por exemplo, significa que Argemiro concluiu seu curso antes que Bonifácio  concluísse  o  dele.  Com  essa  notação,  temos  as  seguintes  simbologias  para  as  afirmações  do enunciado:  1. Se Argemiro concluiu seu curso após Bonifácio ter concluído o dele, então Dalilla e Esmeralda concluíram seus cursos no mesmo ano.   

Simbolicamente: A > B →  D = E  2.  Se Dalila  e  Esmeralda  concluíram  seus  curso no mesmo  ano,  então Calixto  concluiu o  seu  antes que Bonifácio concluísse o dele.    Simbolicamente: D = E →  C < B  3. Se Calixto  concluiu  seu  curso antes de Bonifácio  ter  concluído o dele, então Argemiro  concluiu o  seu antes de Dalila ter concluído o dela.    Simbolicamente: C < B →  A < D  Sabemos que as três afirmações acima são verdade e que Argemiro não concluiu seu curso antes de Dalila ter concluído o dela, ou seja, é falso que A < D, i.e, v(A < D) = F.  

Sendo v(A < D) = F, aplicando o Modus Tonens em 3, temos que v(C < B) = F. Sendo v(C < B) = F, pelo uso do Modus Tonens em 2,  tem‐se que v(D = E) = F. Finalmente, aplicando novamente o Modus Tonens em 1, visto que v(D = E) = F, conclui‐se que v(A > B) = F.  Em resumo, as conclusões encontradas são:  1) Calixto não concluiu seu curso antes que Bonifácio concluísse o dele. 2) Dalila e Esmeralda concluíram seus cursos em anos diferentes. 3) Argemiro não concluiu seu curso antes que Bonifácio concluísse o dele.  Em outras palavras, as conclusões 1 e 2 anteriores podem ser assim escritas (sem alteração na 3):  1) Calixto concluiu seu curso depois que Bonifácio concluísse o dele, ou Calixto e Bonifácio concluíram seus cursos no mesmo ano. 2) Dalila e Esmeralda concluíram seus cursos em anos diferentes. 3) Argemiro concluiu seu curso antes que Bonifácio concluísse o dele, ou Argemiro e Bonifácio concluíram seus cursos no mesmo ano.  A rigor, não há alternativa, e o correto seria a anulação d a questão. Ao que indica, a questão sugere que se v(C < B) = F, então só podemos ter C > B. O que não é de todo verdade, pois poderíamos ter C = B. Com essa ressalva, e assumindo tal  a hipótese, a alternativa D contém uma resposta para a questão.  Resposta: C                    Gabarito oficial: C